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江苏省普通高等学校高三数学招生考试模拟测试附加题(

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1 江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十一)

数学附加分

(满分40分，考试时间30分钟)

21. 【选做题】 在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

A. (选修4-1：几何证明选讲)

如图，圆O的直径AB＝10，C为圆上一点，BC＝6.过C作圆O的切线l，AD⊥l于点D，且交圆O于点E，求DE的长．

B. (选修4-2：矩阵与变换)

已知矩阵M＝1 02 2，求逆矩阵M－1的特征值．

C. (选修4-4：坐标系与参数方程)

在极坐标系中，已知点A2，π4，圆C的方程为ρ＝42sinθ(圆心为点C)，求直线AC的极坐标方程．

2 D. (选修4-5：不等式选讲)

已知a≥0，b≥0，求证：a6＋b6≥ab(a4＋b4)．

【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

22. 如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，AB＝1，AD＝AS＝2，P是棱SD上一点，且SP＝12PD.

(1) 求直线AB与CP所成角的余弦值；

(2) 求二面角APCD的余弦值．

23. 已知函数f0(x)＝x(sinx＋cosx)，设fn(x)为fn－1(x)的导数，n∈N*.

(1) 求f1(x)，f2(x)的表达式；

(2) 写出fn(x)的表达式，并用数学归纳法证明．

3 (十一)

21. A. 解：因为圆O的直径为AB，C为圆上一点，

所以∠ACB＝90°，AC＝AB2－BC2＝102－62＝8.

因为直线l为圆O的切线，所以∠DCA＝∠CBA.

所以Rt△ABC∽Rt△ACD，所以ABAC＝ACAD＝BCDC.(5分)

因为AB＝10，BC＝6，

所以AD＝AC2AB＝325，DC＝AC·BCAB＝245.

由DC2＝DE·DA，得DE＝DC2DA＝2452325＝185.(10分)

B. 解：设M－1＝a bc d，则

MM－1＝1 02 2a bc d＝1 00 1，

所以ab2a＋2c2b＋2d＝1 00 1，

所以a＝1，b＝0，2a＋2c＝0，2b＋2d＝1，解得a＝1，b＝0，c＝－1，d＝12.

所以M－1＝10－112.(5分)

M－1的特征多项式f(λ)＝λ－101λ－12

＝(λ－1)λ－12＝0，所以λ＝1或12.

所以，矩阵M的逆矩阵M－1的特征值为1或12.(10分)

C. 解：(解法1)以极点为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.

圆C的平面直角坐标方程为x2＋y2＝42y，即x2＋(y－22)2＝8，圆心C(0，22)．

A的直角坐标为(2，2)．(4分)

直线AC的斜率kAC＝22－20－2＝－1. 4 所以，直线AC的直角坐标方程为y＝－x＋22，(8分)

极坐标方程为ρ(cosθ＋sinθ)＝22，即ρsinθ＋π4＝2.(10分)

(解法2)在直线AC上任取一点M(ρ，θ)，不防设点M在线段AC上．

由于圆心为C22，π2，S△OAC＝S△OAM＋S△OCM，(4分)

所以12×22×2sinπ4＝12×2×ρsinθ－π4＋12×ρ×22sinπ2－θ，

即ρ(cosθ＋sinθ)＝22，

化简，得直线AC的极坐标方程为ρsinθ＋π4＝2.(10分)

D. 证明：∵ a6＋b6－ab(a4＋b4)＝a5(a－b)－(a－b)b5(2分)

＝(a－b)(a5－b5)(4分)

＝(a－b)2(a4＋a3b＋a2b2＋ab3＋b4)，(8分)

又a≥0，b≥0，

∴ a6＋b6－ab(a4＋b4)≥0，

即a6＋b6≥ab(a4＋b4)．(10分)

22. 解：(1) 如图，分别以AB，AD，AS为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，S(0，0，2)．

设P(x0，y0，z0)，

由SP→＝13SD→，得(x0，y0，z0－2)＝13(0，2，－2)，

∴ x0＝0，y0＝23，z0＝43，点P坐标为0，23，43.

CP→＝－1，－43，43，AB→＝(1，0，0)，(2分)

设直线AB与CP所成的角为α，

则cosα＝－1×1＋－43×0＋43×01＋－432＋432×1＝34141.(4分)

(2) 设平面APC的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，

所以m·AC→＝x1＋2y1＝0，m·AP→＝23y1＋43z1＝0. 5 令y1＝－2，则x1＝4，z1＝1，m＝(4，－2，1)．(6分)

设平面SCD的一个法向量为n＝(x2，y2，z2)，

由于DC→＝(1，0，0)，DS→＝(0，－2，2)，

所以n·DC→＝x2＝0，n·DS→＝－2y2＋2z2＝0，

令y2＝1，则z2＝1，n＝(0，1，1)．(8分)

设二面角APCD的大小为θ，

由于cos〈m，n〉＝0×4＋1×（－2）＋1×12×21＝－4242，

所以，由向量m，n的方向，得cosθ＝－cos〈m，n〉＝4242.(10分)

23. 解：(1) 因为fn(x)为fn－1(x)的导数，

所以f1(x)＝f′0(x)＝(sinx＋cosx)＋x(cosx－sinx)

＝(x＋1)cosx＋(x－1)(－sinx)，(2分)

同理，f2(x)＝－(x＋2)sinx－(x－2)cosx.(4分)

(2) 由(1)得f3(x)＝f′2(x)＝－(x＋3)cosx＋(x－3)sinx，(5分)

把f1(x)，f2(x)，f3(x)分别改写为

f1(x)＝(x＋1)sinx＋π2＋(x－1)cosx＋π2，

f2(x)＝(x＋2)sinx＋2π2＋(x－2)cosx＋2π2，

f3(x)＝(x＋3)sinx＋3π2＋(x－3)cosx＋3π2，

猜测fn(x)＝(x＋n)sinx＋nπ2＋(x－n)cos(x＋nπ2)(*)．(7分)

下面用数学归纳法证明上述等式．

(ⅰ) 当n＝1时，由(1)知，等式(*)成立；

(ⅱ) 假设当n＝k时，等式(*)成立，

即fk(x)＝(x＋k)sinx＋kπ2＋(x－k)cosx＋kπ2.

则当n＝k＋1时，

fk＋1(x)＝f′k(x)

＝sinx＋kπ2＋(x＋k)cosx＋kπ2＋cosx＋kπ2＋(x－k)－sinx＋kπ2

＝(x＋k＋1)cosx＋kπ2＋[x－(k＋1)]－sinx＋kπ2

＝[x＋(k＋1)]sinx＋k＋12π＋[x－(k＋1)]cos(x＋k＋12π)，

即当n＝k＋1时，等式(*)成立．

综上所述，当n∈N*时，fn(x)＝(x＋n)sinx＋nπ2＋(x－n)cosx＋nπ2成立．(10分) 6

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江苏数学高考真题(含答案)

江苏数学高考真题(含答案)

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2021年普通高等学校招生全国统一考试〔江苏卷〕

数学I

考前须知

考生在答题前请认真阅读本考前须知及各题答题要求

1. 本试卷共4页，包含非选择题〔第1题 ~ 第20题，共20题〕.本卷总分值为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5.如需改动，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗

一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上

1.集合1,2A，2,3Baa，假设AB={1}那么实数a的值为________

2.复数z=〔1+i〕〔1+2i〕,其中i是虚数单位，那么z的模是__________

3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，那么应从丙种型号的产品中抽取

件.

4.右图是一个算法流程图，假设输入x的值为116，那么输出的y的值是 .

.实用文档.

. 5.假设tan1-=46,那么tan= .

6.如图，在圆柱O1 O2 内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。记圆柱O1 O2 的体积为V1 ,球O的体积为V2 ，那么12VV 的值是

7.记函数2()6fxxx 的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x，那么x D的概率是

8.在平面直角坐标系xoy 中 ,双曲线2213xy 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q，其焦点是F1 ,

2020届江苏省南京市、盐城市高三第一次模拟考试(1月) 数学(理)(PDF版)【附参考答案】

2020届江苏省南京市、盐城市高三第一次模拟考试(1月) 数学(理)(PDF版)【附参考答案】

高三数学试题第1页（共4页） 南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试

数 学 理 试 题

(总分160分，考试时间120分钟)

注意事项：

1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷．

2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．

3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题

卡上．

参考公式：

柱体体积公式：VSh，锥体体积公式：1

3VSh，其中S为底面积，h为高.

样本数据

12,,,

nxxx

的方差22

11

()n

i

isxx

n

，其中

11n

i

ixx

n



.

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答

题纸的指定位置上）

1．已知集合(0,)A

，全集UR

，则

UA= ▲ ．

2．设复数2zi

，其中i

为虚数单位，则zz

▲ ．

3．学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲

被选中的概率为 ▲ ．

4．命题“R

，cossin1

”的否定是 ▲ 命题.(填“真”或

“假”)

5．运行如图所示的伪代码，则输出的I

的值为 ▲ ．

6．已知样本yx,,9,8,7

的平均数是9

，且110xy

，则此样本的方差是

▲ ．

7．在平面直角坐标系xOy

中，若抛物线2

4yx

上的点P

到其焦点的距离为3

，则点P

到

点O

的距离为 ▲ ．

0

0

10

1

S

I

WhileS

SSI

II

EndFor

PrintI





(第5题图)

高三数学试题第2页（共4页） 8．若数列{}

na

是公差不为0的等差数列，

1lna

、

2lna

、

5lna

成等差数列，则2

1a

a的值为 ▲ ．

9．在三棱柱

111ABCABC

中，点P

是棱

1CC

上一点，记三棱柱

111ABCABC

与四棱锥

11PABBA

的体积分别为

1V

与

2V，则2

1V

V

▲ ．

10．设函数()sin()fxx（0,0

江苏省苏锡常镇四市2020届高三数学第三次模拟考试试题

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江苏省苏锡常镇四市2020届高三数学第三次模拟考试试题

(满分160分，考试时间120分钟)

2020．5

一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1. 已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|0

2. 已知复数z＝3＋4i5i，其中i是虚数单位，则|z|＝________．

3. 已知双曲线C的方程为x24－y2＝1，则其离心率为________．

4. 根据如图所示的伪代码，最后输出i的值为________．

T←1

i←2

While T<6

T←2T

i←i＋2

End While

Print i

(第4题)

5. 某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4∶4∶3，现按年级用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高三年级的学生人数为15，则抽取的样本容量为________．

6. 口装中有形状、大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4.若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之积大于6的概率为________．

7. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn.若a6＝2a2，则S12S8＝________．

8. 若函数f(x)＝cos(ωx－π3)(ω>0)的图象关于直线x＝π2对称，则ω的最小值为________．

9. 已知正实数a，b满足a＋b＝1，则2a2＋1a－2b2＋4b的最小值为________．

10. 已知偶函数f(x)的定义域为R，且在[0，＋∞)上为增函数，则不等式f(3x)>f(x2＋2)的解集为____________．

11. 过直线l：y＝x－2上任意一点P作圆C：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，当切线长最小时，△PAB的面积为________．

12. 已知点P在曲线C：y＝12x2上，曲线C在点P处的切线为l，过点P且与直线l垂直的直线与曲线C的另一交点为Q，O为坐标原点．若OP⊥OQ，则点P的纵坐标为________．

20套数学附加题

20套数学附加题

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(一)

数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)

21. 【选做题】 在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

A. (选修4-1：几何证明选讲)

如图，已知AB为圆O的直径，BC切圆O于点B，AC交圆O于点P，E为线段BC的中点．求证：OP⊥PE.

B. (选修4-2：矩阵与变换)

设曲线2x2＋2xy＋y2＝1在矩阵A＝a 0b 1(a＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x2＋y2＝1.求实数a，b的值．

C. (选修4-4：坐标系与参数方程)

在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：x＝t＋1，y＝1－2t(t为参数)与曲线C2：x＝asinθ，y＝3cosθ(θ为参数，a＞0)有一个公共点在x轴上，P(m，n)为曲线C2上任一点，求m＋n的取值范围． D. (选修4-5：不等式选讲)

设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：1a＋1b＋1c≥9.

【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

22. 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．

(1) 求二面角ADFB的大小；

(2) 试在线段AC上确定一点P，使PF与BC所成的角是60°.

23.设f(x，n)＝(1＋x)n，n∈N*.

(1) 求f(x，6)的展开式中系数最大的项；

(2) n∈N*时，化简C0n4n－1＋C1n4n－2＋C2n4n－3＋…＋Cn－1n40＋Cnn4－1；

(3) 求证：C1n＋2C2n＋3C3n＋…＋nCnn＝n×2n－1.

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(二)

数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)

21. 【选做题】 在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

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