高中数学 第1章《三角函数》三角函数小结导学案 北师大版必修

陕西省榆林育才中学高中数学 第1章《三角函数》三角函数小结导学案 北师大版必修4

【学习目标】

1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化.

2.理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.

3.能画出函数xyxyxytan,cos,sin的图像.会利用单位圆或三角函数图像

推导出诱导公式，并能借助图像理解正弦函数、余弦函数在]2,0[，正切函数

在)2,2(上的性质（如单调性、最大值和最小值、图像与x轴交点等）.

4.了解)sin(xAy的实际意义；会画)sin(xAy的图像，体会参数

,,A对函数图像的影响.

2.弧度制

（1）1弧度的角：

（2）弧度与角度的互化：

（3）弧长公式和扇形面积公式：

3.任意角的三角函数

（1）定义：

（2）三角函数值的符号：

（3）诱导公式的口诀：

4.正弦、余弦、正切函数的图像及性质

函数 xysin

xycos xytan

图像

定义域

值域

周期性

奇偶性

单调性

对称性

【合作探究】

1. 已知角的终边在函数xy21的图像上，求cos,sin和.tan

2. )sin()cos()23sin()2cos()3sin()(f.

（1）化简)(f；

（2）若331，求)(f的值.

3. 函数)||,0,0()sin(AbxAy在一个周期内，当6x时，y取

最小值1；当65x时，y取最大值3.请求出此函数的解析式.

4. 求下列函数的值域：

（1）)34cos(32xy； （2）2sin1sin3xxy.

【课堂检测】

1. 求函数)343sin(51xy的最小正周期、单调递增区间、最大值及对应的x值

盐城市文峰中学美术生高中数学一轮复习教学案

§8三角函数的基本概念

【考点及要求】：

1.掌握任意角的概念，弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算;

2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；

3.能用弧长公式解决一些实际问题．

【基础知识】：

1.与角终边相同的角的集合为： .

2.把长度等于 的弧所对圆心角叫1弧度角；以弧度作为单位来度量角的单位制叫

做 ，rad= .

3.弧长公式为l= ．扇形面积公式为S= ．

4.任意角的三角函数的定义：设是一个任意角，(,)Pxy是终边上的任一异于原点

的点，则sin ，cos ，tan ．

【基本训练】：

1.已知角的终边过点)12,5(P，则cos__________.

2.已知扇形的半径为cm10，圆心角为120，则扇形的弧长为______，面积为______.

3.将分针拨慢10分钟，则分针转过的弧度数是________.

4.已知,1cosk且是第二象限角,则k的范围为 .

【典型例题讲练】

例1.已知角终边落在直线xy43上, P为终边上一点 ，且0sin，求tan2cos的值.

练习.若角的终边落在直线xy2上，求sin的值？

例2.已知一扇形的周长是cm40,当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最

大？最大面积是多少？

练习.已知扇形的面积为21cm，周长为cm4，求该扇形圆心角的弧度数？

【课堂小结】

【课堂检测】

1.若角120的终边上有一点),,4(a则a的值为___________

2. 若0sin且0tan，则是第___________象限角

1.6 余弦函数

课堂导学

三点剖析

1.余弦函数诱导公式

【例1】 有下列命题，其中正确的命题的个数是（ ）

①终边相同的角的同名三角函数的值相同

②终边不同的角的同名三角函数的值不等

③若sinα＞0，则α是第一、二象限的角

④若α是第二象限的角，且P（x,y）是其终边上一点，则cosα=22yxx

A.1 B.2 C.3 D.4

思路分析:运用概念判断，④中的x要具体分析它的正负.

解析：由任意角三角函数定义知①正确；

对②，我们举出反例sin3=sin32;

对③,可指出sin2＞0,但2不是第一、二象限的角；

对④，应是cosα=22yxx,

综上选A.

答案：A

友情提示

要准确地理解任意角的三角函数定义，可与三角函数线结合

记忆.

各个击破

类题演练 1

在［0，2π）内，使sinx＞cosx成立的取值范围是（ ）

A.（4，2）∪（π，45） B.（4，π）

C.（4，45） D.（4，π）∪（45，23）

解析：作出［0，2π）区间上的正弦和余弦函数图象，易知两交点的横坐标为4和45，由右图可知C正确.

答案：C

变式提升 1

作出函数y=1+cosx(0≤x≤2π)的图象.

解：列表：

x

0 2 π

23 2π

cosx 1 0 -1 0

1

1+cosx 2 1 0

1

2

描点作图

【例2】 已知cos(6-α)=33，求cos(65+α)-sin2(α-6)的值.

思路分析:注意到6-α+65+α=π可以把65+α化成π-(6-α)，α-6=-(6-α)利用诱导公式即可.

解：cos(65+α)=cos［π-(6-α)］

=-cos(6-α)=-33，

1 1.2 角的概念的推广

课堂导学

三点剖析

1.任意角和象限角的概念

【例1】 在体操、花样滑冰、跳台跳水比赛中，常常听到“转体三周”“转体两周半”的说法，像这种动作名称表示的角度是多大？

思路分析:利用角的定义及正角、负角的概念，“转体三周”即转过3个360°（或-360°），“两周半”即2.5个360°（或-360°），则问题迎刃而解.

解:如果是逆时针转体，则分别是360°×3=1 080°和360°×2.5=900°；若是顺时针转体，则分别为-1 080°和-900°.

友情提示

分清正角是按逆时针转动的角，负角是按顺时针转动的角,是学习角的关键.

各个击破

类题演练 1

若将时钟拨慢5分钟，则分针转了______度；时针转了______度.

解析：将时钟拨慢了5分钟，分针、时针都是按逆时针方向转动，转过的是正角这时，分针转过的角度是：360°12=30°;时针转过的角度是：30°12=2.5°.

答案:30 2.5

变式提升 1

时针走过两小时，则分针转过______度.

解析：分针按顺时针方向旋转，所以形成的角为负角.为-360°×2=-720°.

答案：-720

2.终边相同的符号表示

【例2】 在0°—360°之间，求出与下列各角终边相同的角，并判定下列各角是哪个象限的角.

（1）908°28′；（2）-734°.

思路分析:将题中角化成α+k·360°（k∈Z），α在0°—360°之间的形式即可.

解:（1）908°28′=188°28′+2×360°，则188°28′即为所求的角，因为它是第三象限角，从而908°28′也是第三象限角；

（2）-734°=346°-3×360°，则346°即为所求的角，因为它是第四象限角，从而-734°也是第四象限角.

友情提示

一般地，化角x为α+k·360°(k∈Z)时，可由x除以360°来确定k及α的值，对不合要求的α可以通过修正k来进一步求解.