高中数学 第一章 三角函数 1.3 弧度制学案 北师大版必修4

§3 弧度制

学习目标 1.理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数(重点).2.掌握弧度制下的弧长公式，会用弧度解决一些实际问题(难点)．

知识点1 弧度制

(1)角度制与弧度制的定义

角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的1360

弧度制 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制

(2)角的弧度数的计算

如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr.

【预习评价】

(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位(√)

(2)1°的角是周角的1360，1 rad的角是周角的12π(√)

(3)1°的角比1 rad的角要大(×)

(4)1 rad的角的大小和所在圆的半径的大小有关(×)

知识点2 角度制与弧度制的换算

常见角度与弧度互化公式如下：

角度化弧度 弧度化角度

360°＝2π rad 2π rad＝360°

180°＝π rad π rad＝180°

1°＝π180 rad≈0.017 45 rad 1 rad＝180π°≈57.30°

【预习评价】

请填充完整下表，一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系有：

角度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°

弧度 0 π180 π6 π4 π3 π2 2π3 3π4 5π6 π 3π2 2π

知识点3 扇形的弧长及面积公式

设扇形的半径为R，弧长为l，α(0

度量单位类别 α为角度制 Α为弧度制

扇形的弧长 l＝|α|πR180 L＝|α|·R

扇形的面积 S＝|α|πR2360 S＝12l·R＝12|α|·R2

【预习评价】

1.一个扇形的半径为2 cm，圆心角为π6，则该扇形所对的弧长l＝________cm.

答案 π3

2.一个扇形的半径为2 cm，其对应的弧长为2.则该扇形的面积为________cm2.

答案 2

知识点4 利用弧度制表示终边相同的角

在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2kπ＋α(k∈Z)，其中α的单位必须是弧度．

【预习评价】

1.与30°终边相同的角为( )

A．2kπ＋π3(k∈Z) B．2kπ＋π6(k∈Z)

C．360°k＋π3(k∈Z) D．2kπ＋30°(k∈Z)

答案 B

2.终边在x轴上的角的集合用弧度制表示为________．

答案 {α|α＝kπ，k∈Z}

题型一 角度与弧度的互化

【例1】 将下列角度与弧度进行互化：

(1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－115π.

解 (1)20°＝20×π180 rad＝π9 rad.

(2)－15°＝－15×π180 rad＝－π12 rad.

(3)712π rad＝712×180°＝105°.

(4)－115π rad＝－115×180°＝－396°.

规律方法 角度制与弧度制互化的原则、方法以及注意点

(1)原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝π180rad和1 rad＝180π°进行换算．

(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝α·180°；n°＝n·π180rad.

(3)注意点：

①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写；

②用“弧度”为单位度量角时，“常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数；

③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．

【训练1】 将下列各角度与弧度互化：

(1)512π；(2)－76π；(3)－157°30′.

解 (1)512π＝512×180°＝75°；

(2)－76π＝－76×180°＝－210°；

(3)－157°30′＝－157.5°＝－157.5×π180 rad

＝－78π rad.

题型二 用弧度制表示终边相同的角

【例2】 (1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α＜2π；

(2)若β∈[－4π，0)，且β与(1)中α终边相同，求β.

解 (1)∵－1 480°＝－74π9＝－10π＋16π9，0≤16π9＜2π，

∴－1 480°＝16π9－2×5π＝16π9＋2×(－5)π.

(2)∵β与α终边相同，∴β＝2kπ＋16π9，k∈Z.

又∵β∈[－4π，0)，∴β1＝－2π9，β2＝－209π.

【训练2】 用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断

2 015°是不是这个集合的元素．

解 因为150°＝5π6.所以终边在阴影区域内角的集合为

S＝β 5π6＋2kπ≤β≤3π2＋2kπ，k∈Z.

因为2 015°＝215°＋5×360°＝43π36＋10π，

又5π6＜43π36＜3π2.所以2 015°＝43π36∈S，即2 015°是这个集合的元素．

方向1 求弧长

【例3－1】 已知扇形OAB的圆心角α为120°，半径长为6.求的长；

解 ∵α＝120°＝23π，r＝6，

∴的长l＝23π×6＝4π.

方向2 求圆心角

【例3－2】 已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．

解 设圆心角是θ，半径是r，

则 2r＋rθ＝10，12θ·r2＝4⇒ r＝4，θ＝12或 r＝1，θ＝8(舍)．

故扇形圆心角为12.

方向3 求面积的最值

【例3－3】 已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？

解 设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，

则l＋2r＝40，∴l＝40－2r.

∴S＝12lr＝12×(40－2r)r＝20r－r2

＝－(r－10)2＋100.

∴当半径r＝10 cm时，扇形的面积最大，最大值为100 cm2，

此时θ＝lr＝40－2×1010rad＝2 rad.

∴当扇形的圆心角为2 rad，半径为10 cm时，扇形的面积最大为100 cm2.

规律方法 灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题.

课堂达标

1．与120°角终边相同的角为( )

A．2kπ－2π3(k∈Z) B.11π3

C．2kπ－10π3(k∈Z) D．(2k＋1)π＋2π3(k∈Z)

解析 120°＝2π3且2kπ－10π3＝(2k－4)π＋2π3(k∈Z)，

∴120°与2kπ－10π3(k∈Z)，终边相同．

答案 C

2．－23π12化为角度应为( )

A．－345° B．－15°

C．－315° D．－375°

解析 －23π12＝－2312×180°＝－345°.

答案 A

3．已知扇形的半径为12，弧长为18，则扇形圆心角为________．

解析 由弧长公式l＝αR得α＝lR＝1812＝32.

答案 32

4．下列结论不正确的是________(只填序号)．

①π3 rad＝60°；②10°＝π18 rad；③36°＝π5 rad；④5π8 rad＝115°.

解析 5π8 rad＝58×180°＝112.5°，∴④错．

答案 ④

5．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．

解 设扇形的半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4，

∴l＝4－2R，根据扇形面积公式S＝12lR，

得1＝12(4－2R)·R，

∴R＝1，∴l＝2，∴α＝lR＝21＝2，

即扇形的圆心角为2 rad.

课堂小结

1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．

2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式．

3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.

基础过关

1．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )

A.403π B.203π

C.2003π D.4003π

解析 240°＝240×π180 rad＝43π rad，

∴弧长l＝|α|·r＝43π×10＝403π，故选A.

答案 A

2．下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是( )

A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋9π4(k∈Z)

C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋5π4(k∈Z)

答案 C

3．若α＝－3，则角α的终边在( )

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

解析 ∵－π＜－3＜－π2，∴－3是第三象限角．

答案 C

4．若三角形三内角之比为4∶5∶6，则最大内角的弧度数是____________．

答案 25π

5．如果一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．

解析 由于S＝12lR，若l′＝32l，R′＝12R，则S′＝12l′R′＝12×32l×12R＝34S.

答案 34

6．把下列各角化为2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z) 的形式且指出它是第几象限角，并写出与它终边相同的角的集合．

(1)－46π3；(2)－1 485°；(3)－20.

解 (1)－46π3＝－8×2π＋2π3，它是第二象限角，终边相同的角的集合为β β＝2kπ＋2π3，k∈Z.

(2)－1 485°＝－5×360°＋315°＝－5×2π＋7π4，它是第四象限角．终边相同的角的集合为β β＝2kπ＋7π4，k∈Z.

(3)－20＝－4×2π＋(8π－20)，而3π2<8π－20<2π.∴－20是第四象限角，终边相同的角的集合为{α|α＝2kπ＋(8π－20)，k∈Z}．

7．直径为20 cm的圆中，求下列两个圆心角所对的弧长及扇形面积．

(1)4π3；(2)165°.

解 (1)l＝|α|·r＝43π×10＝403π(cm)，

S＝12|α|·r2＝12×43π×102＝2003π(cm2)．