高中数学第一章三角函数1.3弧度制导学案北师大版必修4
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高中数学第一章三角函数1.3弧度制导学案北师大版必修4
1 / 5 1.3 弧度制
问题导学
1．角度制与弧度制的互化
活动与探究1
(1)把112°30′化成弧度；(2)把－5π12化成度．
迁移与应用
把下列各角从度化成弧度或从弧度化成度．
(1)67°30′；(2)810°；(3)108°；(4)135°；(5)7π；(6)－5π2；(7)23π4；(8)－4π5．
1．角度与弧度的互化．
(1)原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝π180 rad，
1 rad＝180π°进行换算．
(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则
α rad＝α·180π°；n°＝n·π180 rad．
2．将角度制化为弧度制，当角度制中含有“分”“秒”单位时，应先将它们统一转化为“度”，再利用1°＝π180 rad化为弧度即可．
以弧度为单位表示角时，常把弧度写成多少π的形式．如无特殊要求，不必把π写成小数．
2．用弧度表示终边相同的角及区域角
活动与探究2
已知角α＝2 005°，
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角；
(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．
迁移与应用
已知角α的终边与π3的终边相同，求角α3在[0,2π)内的值．
(1)用弧度表示终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的集合用弧度可表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，这里α应为弧度数．
(2)在某个区间内寻找与α终边相同的角β
①首先表示β的一般形式．
②然后根据区间范围讨论k的值．
③最后把k的值代入β的一般形式求出．
活动与探究3
用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在图中的阴影部分内的角的集合(不包括边界)． 高中数学第一章三角函数1.3弧度制导学案北师大版必修4
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迁移与应用
用弧度表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分内的角的集合，如图所示，包括边界．
区域角的表示方法
(1)要用终边相同的角的表示形式表示出以阴影部分的边界为终边的角，并注意旋转的方向及两边界角的大小顺序；
(2)表达式中角度制与弧度制不能混用；
(3)要分清阴影部分是否包括边界，以确定表达式中是否带“等号”．
3．弧长公式及扇形面积公式的应用
活动与探究4
扇形AOB的周长为8 cm，圆心角为α(0＜α＜2π)．
(1)若这个扇形的面积为3 cm2，求圆心角α的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角α的大小．
迁移与应用
如图所示，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求：
(1)AB的长；
(2)弓形ACB的面积．
(1)在弧度制下的弧长公式及扇形面积公式中，由α，r，l，S中的两个量可以求出另外的两个量，即用方程的思想“知二求二”．
(2)求扇形的面积关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．相反，也可由扇形的面积结合其他条件，求扇形的圆心角、半径、弧长．解题时要注意公式的灵活变形及方程思想的运用．
当堂检测
1．下列说法中，错误的是( )．
A．用角度制和弧度制度量任一角，单位不同，量数也不同
B．1°的角是周角的1360，1 rad的角是周角的12π 高中数学第一章三角函数1.3弧度制导学案北师大版必修4
3 / 5 C．1 rad的角比1°的角要大
D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径无关
2．已知扇形的圆心角为2π3弧度，半径为2，则扇形的面积为( )．
A．83π B．43
C．2π D．4π3
3．把－1 485°写成2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式是( )．
A．－8π＋π4 B．－8π－7π4
C．－10π－π4 D．－10π＋7π4
4．(1)300°化为弧度是________；
(2)－5π6化为度是________；
(3)终边落在如图的阴影部分(包括边界)的角的集合是________．
5．已知扇形的周长为6 cm，面积为2 cm2，求扇形圆心角α(0＜α＜2π)．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．(1)1360 (2)1弧度的角
rad 弧度 弧度
预习交流1 略
预习交流2 30° 45° 120°
0 π12 π3 5π12
3π4 5π6 5π4 3π2
3．正数 负数 0
预习交流3 (1)32 (2)π3
4．|α|πr180 |α|r |α|πr2360 12lr 12|α|r2
预习交流4 (1)提示：此公式可类比三角形的面积公式来记忆． 高中数学第一章三角函数1.3弧度制导学案北师大版必修4
4 / 5 (2)π2 3π2
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 解：(1)112°30′＝112.5°＝112.5×π180＝2252×π180＝5π8；
(2)－5π12＝－5π12×180π°＝－75°.
迁移与应用 (1)3π8rad
(2)9π2rad (3)3π5rad (4)3π4rad
(5)1 260° (6)－450° (7)1 035°
(8)－144°
活动与探究2 解：(1)2 005°＝2 005×π180＝401π36＝5×2π＋4136π.
又π＜41π36＜3π2，
所以α与41π36终边相同，是第三象限角．
(2)与α角终边相同的角为2kπ＋41π36，k∈Z.
由－5π≤2kπ＋41π36＜0，可得－52－4172≤k＜－4172.
∵k∈Z，∴k＝－3，－2，－1.
∴在区间[－5π，0)上，与角α终边相同的角是－31π36，－103π36，－175π36.
迁移与应用 π9，7π9，13π9
活动与探究3 解：(1)图①中以OB为终边的角为330°，可看成是－30°，化为弧度，即－π6，而75°＝75×π180＝5π12，∴θ|2kπ－π6<θ<2kπ ＋5π12，k∈Z.
(2)图②中以OB为终边的角为225°，可看成是－135°，化为弧度，即－3π4，而135°＝135×π180＝3π4，∴θ|2kπ－3π4<θ<2kπ＋3π4，k∈Z.
迁移与应用 解：(1)
α 2kπ＋π6≤α≤2kπ＋5π4，k∈Z.
(2)
α 2kπ－π3≤α≤2kπ＋π6，k∈Z.
(3)
α kπ＋π4≤α≤kπ＋2π3，k∈Z.
活动与探究4 解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l， 高中数学第一章三角函数1.3弧度制导学案北师大版必修4
5 / 5 (1)由题意可得 2r＋l＝8，12lr＝3，
解得 r＝3，l＝2，或 r＝1，l＝6，
∴α＝lr＝23或α＝lr＝6.
(2)∵2r＋l＝8，
∴S扇＝12lr＝12(8－2r)·r＝－r2＋4r＝－(r－2)2＋4，
∴当r＝2时，S扇形最大取4，此时l＝4，α＝lr＝2.
迁移与应用 (1)4π
(2)12π－93
【当堂检测】
1．A 2．D 3．D
4．(1)5π3 (2)－150°
(3)α 3π4＋2kπ≤α≤5π4＋2kπ，k∈Z
5．1弧度或4弧度
