2020年中考数学压轴题突破之动态问题(几何)(含详解)
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2020年中考数学压轴题突破之动态问题(几何 )
1.如图，点O是等边 ABC内一点， AOB 110 , BOC .以OC为一边 作等边三角形 OCD，连接AC、AD .
(1)若 120 ,判断 OB OD BD (填“， 或”)
(2)当 150 ,试判断 AOD的形状，并说明理由；
(3)探究：当 时， AOD是等腰三角形.(请直接写出答案)
【答案】(1) 二; (2) ADO是直角三角形，证明见详解； (3) 125、110、140 .
【分析】
(1)根据等边三角形性质得出 COD 60 ,利用？BOC a = 120。求出
BOD 180 ,所以B, 0, D三点共线，即有 OB+ OD = BD ；
(2)首先根据已知条件可以证明 BOC ADC ,然后利用全等三角形的性质可以求
出 ADO的度数，由此即可判定 AOD的形状；
(3)分三种情况讨论，利用已知条件及等腰三角形的性质即可求解.
2 .如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCO的顶点O与坐标原点重合，顶点 A C在 坐标轴上，B(18,6),将矩形沿EF折叠，使点A与点C重合.
图3 G
(1)求点E的坐标;
(2)点P从O出发，沿折线O A E方向以每秒2个单位的速度匀速运动，到达终点 E时停止运动，设 P的运动时间为t, VPCE的面积为S,求S与t的关系式，直接写 出t的取值范围;
3
(3)在(2)的条件下，当PA=]PE时，在平面直角坐标系中是否存在点 Q,使得以点
P、E、G Q为顶点的四边形为平行四边形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出
点Q的坐标.
【答案】(1) E (10, 6); (2) S= -8t+54 (0
在，Q (14.4 , -4.8 )或(18.4 , -4.8 ).
【详解】
解：(1)如图 1,矩形 ABO, B (18, 6),
• .AB=18 BC=6,
设 AE=x,贝U EC=x BE=18-x,
Rt^EBC中，由勾股定理得： EB"+BC2=EC2,
(18-x) 2+62=x2,
x=10,
即 AE=10,
①当P在OA上时，0WtW3,如图 2,
=18X 6-1X10(62) — - X8X6 - 1 X 18X2t , 2 2 2
=-8t+54 ,
②当P在AE上时，3
6);
(2)分两种情况：
S=1PE?BC=1 X 6X(16-2t)=3 (16-2t ) =-6t+48 ;
2 2
(3)存在，由 PA=3PE可知：P在AE上，如图4,过G作GHLOC于H,
2
• .AP+PE=10
.•.AP=6 PE=4,
设 OF=y,则 FG=y, FC=18-y,
由折叠得：/ CGFW AOF=90 ,
由勾股定理得：FC2=FC+CG,
• . ( 18-y) 2=y2+62,
y=8,
• .FG=8 FC=18-8=10,
1 FC?GH= 1 FG?CG
2 2
1 X10XGH= 1 X6X8,
2 2
GH=4.8,
由勾股定理得：FH=J82 4 82 =6.4 ,
• .OH=8+6.4=14.4,
.•.G ( 14.4 , -4.8 ),
•・•点P、E G Q为顶点的四边形为平行四边形，且 PE=4,
.•.Q ( 14.4 , -4.8 )或(18.4 , -4.8 ). k ,
3.如图1,平面直角坐标系 xoy中，A(-4, 3),反比例函数y —(k 0)的图象分别 x
交矩形ABOC勺两边AC, BC于E, F (E, F不与A重合)，沿着EF将矩形ABO所叠使A,
D重合.
②若折叠后点 D落在矩形ABOCrt （不包括边界），求线段CE长度的取值范围.
（2）若折叠后，△ ABD是等腰三角形，请直接写出此时点 D的坐标.
7 . 23 3. 11 3.
【答案】（1）①EC= 2;②3 CE 4； （2）点D的坐标为（一,一）或（一，一）
8 8 2 5 5
【详解】
,k k
解：(1)①由题意得E(k,3) , F( 4,-), 3 4
k k k 0 ,则 EC — , FB 一, 3 4 AF 3 一， 4 1
7(12 k) 4
3 1 3 4(12 k) 3
..由 A(-4, 3)得：AC 4, AB 3,
,AC 4
一 --- 一,
AB 3
AE AC
AF AB '
又A=Z A,
・ .△AE% AACB
・ •/AEF4 ACB
・ •.EF// CB
如图2,连接AD交EF于点H ,•••
AE
.AE （1）①如图2,当点D恰好在矩形 ABOC勺对角线BC上时，求CE的长； 4
②由折叠得EF垂直平分AD,
••• /AHE 90 ,则 EAH AEF
又• BAD EAH BAC 90 ,
BAD AEF ，
・ .△AE% ABAQ
AE AF 口" AB AE 4
--- ----- ,则 ----- ------ -，
AB BD BD AF 3
4 3 9
BD AB - 3 -
3 4 4
设 AF=x,贝U FB=3— x, FD=AF=x
在Rt^BDF中，由勾股定理得： FB2 BD2 FD2， ri
图2
由折叠的性质得：
•••D 在 BC上，
,AE AH EC DH 1 EC AC 2 AH=DH
1,则 AE EC
2;
即(3 x)2 x2 ,解得: 如图，当D落在BO上时，: EAF ABD 90 ,
B 力。 4
75 x —, 32
则 DM AB, MN AC 4,
1
BMD EAF 90 , BM -AB
2
・ .△AE% △MBD
............ 23 3
.二点D的坐标为（—,—）•
8 2
D作DG//X轴分别交AR y轴于点M
N, AF
•••
AE
CE 75
32，
4 AL 4 75 25
-AF — ————,
3 3 32 8 4 AE 25
8
CE 4,即折叠后点D落在矩形ABOCJ （不包括边界），CE的取值范围为7 CE 4 ；
8
（2） ■「△ABD是等腰三角形，显然 AB AD ,
AD BD 或 AD AB,
①当 AD BD 时， BAD ABD ,
由(1)得： BAD AEF ,
ABD AEF ,
如图，过点D作DG//X轴分别交AR y轴于点M N,
,AE
MB ••• MD AF
MD
MB MB
MD
MN MD 4 AE 4 一, AF 3
9 23
8 8
②当AD AB时，如图，过点 2t 8 t
6 8
AMD EAF 90 ,
由（1）得 BAD
・•.△AEM AMAD)
（2）设4PQB的面积为S,求S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）当点Q在边CA上运动时，直接写出能使△ BCQ为等腰三角形的t的值.
24 2 八 3 2 48 192
【答案】（1） 今；（2） S=-t2+8t （0
11 5 5 5
t为5.5 , 6或6.6时，4BCQ为等腰三角形.
【详解】
解：（1）如图，当 PQ/ AC时，△BQmABCA 则 AD AB 3, DM AB MN AC 4
AM 设AM MD AM AE
MD AF
在Rt^MAD中，由勾股定理得: 2
AM2 2
MD2 2
AD2,
即（4a）2 (3a)2 32 ,解得:
••• AM 12 MD
BM AB AM 9
5
3 -
5 DN MN MD 4
，一 11 3
.••点D的坐标为（工3）
5 5 综上所述，若折叠后，△ ABD是等腰三角形，点 D的坐标为
4.如图，已知在△ ABC 中，/ B=90° , AB=8cnr] BC=6cm P, 23 3 11 3
一,一）或（一，一）.
8 2 5 5
Q是△ ABC边上的两个动
点，其中点P从点A出发沿A—B方向运动，速度为每秒1cm, 到达点B停止运动；点Q
从点B出发沿B-C-A方向运动，速度为每秒2cm,到达点A停止运动.它们同时出发,
PQ//
AQ
