第7节向心力〖精讲精练〗〖知识精讲〗知识点1、向心力（1）向心力的定义：做匀速圆周运动的物体具有向心加速度，根据牛顿第二定律，这个加速度一定是由于它受到了指向圆心的合力，这个合力叫做向心力。
（2）向心力的大小：F=mv 2/r=mr ω2=mr （2π/T ）2=mr （2πn ）2（3）向心力的作用效果：向心力总是指向圆心，而线速度是沿圆周的切线方向，故向心力的始终与线速度垂直。
所以向心力的作用效果只改变物体的速度方向而不改变物体的速度大小。
（4）向心力的来源：向心力是从力的作用效果命名的。
凡是产生向心加速度的力，不管属于哪种性质，都是向心力。
它可以是重力、弹力、摩擦力等各种性质的力，也可以是它们的合力，还可以是某个力的分力。
当物体做匀速圆周运动时，合外力就是向心力；当物体做变速圆周运动时，合外力指向圆心的分力就是向心力。
〖例1〗如图所示，一小球用细绳悬挂于O 点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以OA 、 绳的拉力。
B 、 重力和绳的拉力的合力。
C 、 重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力。
D 、绳的拉力和重力沿绳方向的合力。
〖思路分析〗本题考查向心力和绳子的有关知识。
如图所示，对小球进行受力分析，它受重力和绳子拉力作用，向心力是指向圆心方向的合力。
因此，它可以是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以是各力沿绳方向的分力的合力。
故选CD 。
〖答案〗CD〖总结〗非匀速圆周运动，绳的拉力一重力的合力不是向心力。
〖变式训练1〗质量为m 的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动如图所示，经过最高点而不脱离轨道的速度临界值是v ，当小球以2v 的速度经过最高点时，对轨道的压力值是：A 、0B 、mgC 、3mgD 、5mg〖答案〗C知识点2：变速圆周运动和一般的曲线运动（1）变速圆周运动物体所受的合力，并不指向圆心。
这一合力F 可以分解为互相垂直的两个力；跟圆周相切的分力F T 和指向圆心方向的分力F n 。
F n 产生了向心加速度，与速度垂直，改变了速度方向。
F T 产生切向加速度，切向加速度与物体的速度方向在一条直线上，它改变了速度的大小。
仅有向心加速度的运动是匀速圆周运动，同是时具有向心加速度和切向加速度的圆周运动是变速圆周运动。
说明：①变速圆周运动中，向心加速度和向心力的大小和方向都变化。
]②变速圆周运动中，某一点的向心加速度和向心力均可用a n =v 2/r 、a n =r ω2和F n = mv 2/r 、F n = mr ω2公式求解，只不过v 、ω都是指那一点的瞬时速度。
③物体做匀速圆周运动的条件：物体做匀速圆周运动所需向心力或所需向心加速度由物体的运动情况来决定。
当所需向心力（mv 2/r 、mr ω2）与合力提供的向心力达到相对“供需平衡”（即F 供=F 需）时，物体才做匀速圆周运动。
（2）一般曲线运动：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线。
一般的曲线运动可以分割成许多不同半径的极短一小段圆弧，这样一般曲线运动可以采用圆周运动的分析方法。
注意：圆周运动的力学问题一般解题方法：① 确定做圆周运动的物体为研究对象。
② 确定物体做圆周运动的轨道平面、圆心、半径及轨道③ 按通常的方法，对研究对象进行受力分析，从中确定出向心力的来源。
④ 选用合适的向心力公式，建立方程来求解，有些问题需运用几何知识建立辅助方程来帮助求解。
〖例2〗如图所示，细绳一端系着质量为M=0。
6kg 的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑小孔吊着质量为m=0。
3kg 的物体，M 的中点与圆孔距离为0。
2m ，并知M 和水平面的最大静摩擦力为2N 。
现使此平面绕中心轴转动。
问角速度ω在什么范围内m 处于静止状态？（g=10m/s 2）〖思路分析〗当ω具有最小值时，M 有向着圆心运动的趋势，故水平面对M 的摩擦力方向背离圆心，且等于最大静摩擦力F m =2N ，对于M ：F T - F m =Mr ω12 ， F T=mgω1=MrF F m T 代入数据得ω1=2。
9rad/s 当ω具有最大值时，M 有背离圆心运动的趋势，故水平面对M 的摩擦力方向指向圆心，且等于最大静摩擦力F m =2N ，对于M ：F T +F m =Mr ω22 ， F T =mgω2=MrF F m T +代入数据得ω2=6。
5rad/s 〖答案〗2。
9rad/s<ω<6。
5rad/s〖总结〗通过分析两个极端(临界)状态来确定变化范围,是求解”范围类”问题的基本思路和方法.提供的向心力等于所需向心力mv 2/r 时,物体维持圆周运动；提供的向心力小于所需向心力时，物体做离心运动；提供的向心力大于所需的向心力时，物体做近心运动，这是分析临界问题的关键。
〖变式训练2〗如图所示，水平转盘的中心有个竖直小圆孔，质量为m 的物体A放在转盘上，A 到竖直圆孔中心的距离为r ，物体A 通过轻绳、无摩擦的滑轮与物体B 相连，B 与A 质量相同。
物体A 与转盘间的最大静摩擦力是正压力的μ倍，则转盘转动的角速度在什么范围内，物体A 才能与转盘相对静止？〖答案〗r g )1(μ-≤ω≤r g )1(μ+〖难点精析〗〖例3〗如图所示，小物块与圆盘保持相对静止，跟着圆盘且起做匀速圆周运动，则下列关于A 的受力情况说法正确的是；A 、受重力、支持力。
A 、 受重力、支持力和指向圆心的摩擦力。
B 、 受重力、支持力、摩擦力和向心力。
D 、受重力、支持力和与运动方向相同的摩擦力。
〖思路分析〗物体A是一对平衡力。
A 是否受摩擦力，可通过对A 随圆盘一起做匀速圆周运动，故其必须有向心力作用，重力与支持力的合力不能提供向心力，只有A 受到摩擦力作用且此摩擦力方向指向圆心，大小就等于A的向心力。
〖答案〗B〖方法总结〗匀速圆周运动物体受到的向心力大小不变，但方向时刻在变，所以向心力是变力；重力、弹力、摩擦力是按其性质命名的，向心力是按力的效果命名的，做匀速圆周运动的物体并没有受到一个特别性质的力——向心力，而是把物体受到的合力称为向心力，重力、弹力、摩擦力可以分别提供向心力，也可以几个力的合力提供向心力。
〖变式训练3〗如图所示，一圆盘可绕一通过圆心且垂直盘面的竖直轴转动，在圆为ω，则橡皮受的静摩擦力为多少？ 〖答案〗f=mr ω2〖难点精析2〗将一小球拴在一根长为R 的轻绳一端，绳的另一端固定，使小球在竖直平面内做完整的圆周运动，求在最高点球的最小速度？〖思路分析〗球在最高点时受重力mgT+mg=mv2/R 当T=0时，球的速度最小，mg=mv2/R ，解得v=gR故球在最高点的最小速度为v=gR〖答案〗v=gR 〖方法总结〗绳拴球在竖直平面内做圆周运动，在最高点时只有重力提供向心力，此时球的速度最小v min =gR〖变式训练〗一根长为R 的轻绳一端拴一小球，另一端固定，使小球在竖直面内做圆周运动，球在最高点速度最小，当它运动到最低点绳的拉力为多少？〖答案〗6mg〖难点精析3〗如图所示，细杆的一端与小球相连，可绕O 点的水平轴自由转动，不计摩擦，杆长为R 。
（1）若小球在最高点速度为gR ，杆对球作用力为多少？当球运动到最低点时，杆对球的作用力为多少？（2）若球在最高点速度为gR /2时，杆对球作用力为多少？当球运动到最低点时，杆对球的作用力是多少？（3）若球在最高点速度为2gR 时，杆对球作用力为多少？当球运动到最低点时，杆对球的作用力是多少？〖思路分析〗（1）球在最高点受力如图（设杆对球作用力T 1向下）则T 1+mg=mv 12/R ，将v 1=gR 代入得T 1 =0。
故当在最高点球速为gR 时，杆对球无作用力。
当球运动到最低点时，由动能定理得： 2mgR=mv 22/2- mv 12/2，解得：v 22=5gR ，球受力如图：T 2-mg=mv 22/R ，解得：T 2 =6mg同理可求：（2）在最高点时：T 3=-3mg/4 “-方向相反，即杆对球作用力方向应为向上，也就是杆对球为支持力，大小为3mg/4当小球在最低点时：T 4=21mg/4（3）在最高点时球受力：T 5=3mg ；在最低点时小球受力：T 6=9mg〖答案〗（1）T 1 =0 ，T 2 =6mg （2）T 3=3mg/4，T 4=21mg/4 （3）T 5=3mg ，T 6=9mg〖方法总结〗（1）在最高点，当球速为gR ，杆对球无作用力。
当球速小于gR ，杆对球有向上的支持力。
当球速大于gR ，杆对球有向下的拉力。
（2）在最低点，杆对球为向上的拉力。
〖变式训练3〗如图所示细杆的一端与一小球相连，可绕过O 点的水平轴自由转动。
现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a 、b 分别表示小球的轨道的最低点和最高点。
则杆对小球的作用力可能是： A 、 a 处是拉力，b 处是拉力。
B 、 a 处是拉力，b 处是推力。
C 、 a 处是推力。
B 处是拉力。
D 、a 处是推力。
B 处是推力。
〖答案〗AB〖难点精析2〗〖例4〗汽车以速度v 行驶，驾驶员突然发现前方有一横沟，为了避免事故，驾驶员应该刹车好还是转弯好？〖思路分析〗无论是刹车还是转弯，都是为了避免汽车驶入沟中。
刹车时地面的摩擦力使汽车减速，设地面与汽车轮胎间的动摩擦因数为μ，则汽车刹车时的加速度为a=μg 。
故汽车从开始刹车到汽车静止，汽车行驶的距离为：gv a v s μ2222==。
当汽车转弯时，汽车转弯的摩擦力使汽车改变运动方向，因此在转弯时可以提供汽车转弯时的向心力，轨道半径R 为：gv R R mv mg μμ22,==。
由以上可得s<R ，故刹车时更易避免事故的发生。
〖答案〗刹车时更易避免事故的发生。
〖方法总结〗（1）在汽车转弯避免驶入横沟的情况下，汽车所做的运动是匀速圆周运动，且为了能转弯成功，开始转弯时距横沟的距离至少为R ，本题的创新之处在于出题的立意新，能够充分开发同学们的创新意识。
（2）向心力和向心加速度在实际生活中有很多应用，但在抽象出物理模型的过程中应注意拓展自己的思路，结合受力分析和运动分析综合求解。
〖变式训练〗如图所示，凸形拱桥半径为R ，汽车质量为m ，过桥的顶端的最大速度是多少？〖答案〗v m =gR〖难点精析3〗〖例5〗如图所示，在电动距轴O 为r 处固定一质量为m 的铁块，电机启动后，铁块以角速度ω绕轴O 匀速转动，则电机对地面的最大压力和最小压力之差为多少？〖思路分析〗铁块在竖直平面内做匀速圆周运动，其向心力是重力mg 与轮对它的作用力F 的合力，由圆周运动规律可知：当m 转到最低点时，F 最大，当m 转到最高点时F 最小。
设铁块在最高点和最低点时，电机对其作用力分别是F 1和F 2，且都指向轴心，根据牛顿第二定律有：在最高点：mg+F 1=m ω2r ① 在最低点：F 2-mg= m ω2r ②电机对地面的最大压力和最小压力分别出现在铁块m 位于最低点和最高点时，且压力差的大小为△F= F 2- F 1 ③由①②③得△F= 2m ω2r〖答案〗2m ω2r〖方法总结〗在最高点和最低点分别进行受力分析，再应用向心力公式计算。
