§6.7向心力(孔)

用细线拴住小球 在光滑水平面内 做匀速圆周运动
线的拉力提供 向心力，F＝T
示意图
物体随转盘 转盘对物体 做匀速圆周 的静摩擦力 运动，且相 提供向心 对转盘静止 力，F＝f 小球在细线 重力和细线 作用下，在 的拉力的合 水平面内做 力提供向心
圆周运动 力，F＝F合
特别提醒 (1)向心力不是具有特定性质的某种力，任何
ω＝vr＝ gLLtasinnααsinα＝ Lcgosα，
小球运动的周期T＝2ωπ＝2π 答案 (1)mg/cosα
Lcosα g.
(2) gLtanαsinα
g
Lcosα
(3) Lcosα 2π
g
二、变速圆周运动和一般的曲线运动 典例2 一辆汽车在水平公路上转弯，沿曲线由M向N行 驶，速度逐渐增加，下图中分别画出了汽车转弯时所受合力F 的四种方向，下列选项中正确的是( )
(2)当B对地面恰好无压力时，则有FT′＝Mg，拉力FT′
提供A做圆周运动所需的向心力
FT′＝mω12R，
ω1＝
FmT′R ＝
mMRg＝20 rad/s.
即当B对地面恰好无压力时，A的角速度应为20 rad/s.
答案 (1)30 N (2)20 rad/s
性质的力都可以作为向心力，受力分析时不分析向心力．
(2)公式F＝mω2r＝m
v2 r
既适用于匀速圆周运动，也适用于
变速圆周运动．
(3)匀速圆周运动中，合力提供向心力；非匀速圆周运动
中，合力不一定指向圆心，合力沿半径的分力充当向心力．
二、变速圆周运动和一般的曲线运动 1．变速圆周运动：物体做圆周运动，它的线速度大小不 断改变，这种圆周运动称为变速圆周运动． 做变速圆周运动的物体所受合力并不指向圆心，这个力F 可以分解成互相垂直的两个分力，跟圆周相切的分力Ft和指向 圆心的分力Fn.

提示：钢球在水平面内做圆周运动，其受力如图所示， 重力 mg 和拉力 FT 的合力提供向心力，Fn＝mgtan θ.
1．向心力的特点． (1)方向：方向时刻在变化，始终指向圆心，与线速 度的方向垂直． (2)大小：Fn＝mvr2＝mrω2＝mωv＝m4Tπ22r，在匀速圆 周运动中，向心力大小不变；在非匀速圆周运动中，其 大小随速率 v 的变化而变化．
2．匀速圆周运动的三个特点． (1)线速度大小不变、方向时刻改变． (2)角速度、周期、频率都恒定不变． (3)向心加速度和向心力的大小都恒定不变，但方向 时刻改变．
3．分析匀速圆周运动的步骤． (1)明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出 受力示意图．
(2)将物体所受外力通过力的正交分解，分解到沿切 线方向和沿半径方向．
A．重力、支持力、绳子拉力 B．重力、支持力、绳子拉力和向心力
C．重力、支持力、向心力 D．绳子拉力充当向心力 解析：小球受重力、支持力、绳子拉力三个力的作用， A 正确，B、C 错误；重力和支持力是一对平衡力，绳子 的拉力充当向心力，D 正确． 答案：AD
题后反思 向心力与合外力的辨析
1．“一定”关系：无论是匀速圆周运动还是非匀速圆 周运动，物体所受各力沿半径方向分量的矢量和一定为向 心力．
2．“不一定”关系：匀速圆周运动中，向心力就是合 外力；非匀速圆周运动中，向心力不一定是合外力，向心 力是合外力沿半径方向的分力，合外力不一定指向圆心．
拓展二 分析匀速圆周运动问题的思路
1．物体受到怎样的力，才能做匀速圆周运动？ 提示：物体做匀速圆周运动的条件是合力的大小不 变，方向始终与速度方向垂直．
知识点二 变速圆周运动和一般曲线运动
提炼知识 1．变速圆周运动． 变速圆周运动所受合外力一般不等于向心力，合外 力一般产生两个方面的效果： (1)合外力 F 跟圆周相切的分力 Ft，此分力产生切向 加速度 at，描述速度大小变化的快慢．

自行车轮的向心力分析
总结词
稳定与控制
详细描述
自行车轮高速旋转时，车轮外侧的点具有较 大的速度，因此受到较大的向心力。而车轮 内侧的点速度较小，受到的向心力也较小。 这使得车轮在旋转过程中趋于稳定，不会被 离心力所破坏。同时，通过控制车轮的旋转 速度和半径，可以控制自行车行驶的稳定性 和平衡性。
汽车过弯的向心力考虑
03
天体运动的向心力分析
总结词
天体运动受到向心力的影响，使它们沿着圆形或椭圆形的轨 道运动。
详细描述
天体运动受到的向心力是万有引力与速度平方的乘积，这个 力将天体束缚在圆形或椭圆形的轨道上。通过分析天体运动 的向心力，我们可以了解天体运动的规律和特点。
地球的向心力分析
总结词
地球上不同位置的物体受到的向心力大 小不同，导致地球上物体的重量和重力 加速度也不同。
太空旅游
向心力的研究也为太空旅游提供了可能性，未来人们可能会利用向心力 在太空中进行更远距离的旅行。
向心力与未来娱乐
虚拟现实游戏
向心力可以用于开发更逼真的虚 拟现实游戏，让玩家感受到真实 的失重或超重体验，增强游戏的
娱乐性和吸引力。
主题公园体验
向心力原理也可以被用于设计更 刺激的主题公园项目，例如旋转 式过山车或者模拟飞行体验，让 游客体验到前所未有的刺激感。
单位与量纲
• 向心力的单位是牛顿(N)，量纲是力的单位。在计算向心力时，需要使用物体的质量和速度的平方以及半径进行计算。
向心力的产生原因
• 向心力是由于物体在圆周运动中不断改变速度的方向而产生 的。由于速度是矢量量纲，因此物体在圆周运动中不仅有切 向速度，还有法向速度。切向速度使物体的速度大小发生变 化，而法向速度使物体的速度方向发生变化。因此，在圆周 运动中，物体受到一个指向圆心的法向加速度，这个加速度 不断改变物体的速度方向，从而产生了向心力。

提示：变速圆周运动中，某一点的向心力可用Fn＝m
v2 r
、Fn
＝mrω2求解．
2．如图5－6－1所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球
以O点为圆心做圆周运动，运动中小球所需的向心力是
( )．
A．绳的拉力
B．重力和绳拉力的合力
C．重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力
D．绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力
联立以上各式解得ω＝
gtan θ r＋Lsin θ.
答案 ω ＝
gtan θ r＋Lsin θ
【审题技巧】
质量为m的直升机以恒定速率v在空中水平盘旋(如图5－6－6所示)，其做匀速圆周运动的半径 为R，重力加速度为g，则此时空气对直升机的作用力大小为 ( )．
v2 A.m R B．mg
C.m g2＋Rv42 D．m g2－Rv42
图5－6－5
解析 对座椅受力分析，如图所示．
转盘转动的角速度为ω时，钢绳与竖直方向的夹角为θ，则座椅到转轴的距离即座椅做圆周运动 的半径为R＝r＋Lsin θ
设钢绳的拉力为FT，对座椅进行受力分析，则 竖 直 方 向 有 F Tc o s θ ＝ m g 水 平 方 向 有 F Ts i n θ ＝ m R ω 2
解析 由于圆盘上的木块A在竖直方向上没有加速度，所以，它在竖直方向上受重力和支持力的 作用而平衡．而木块在水平面内做匀速圆周运动，其所需向心力由静摩擦力提供，且静摩擦力的 方向指向圆心O.
答案 C
(1)向心力是按照力的作用效果命名的力，任何一个力或几个力的合力或某个力的分力， 只要它能使物体产生向心加速度，它就提供物体所需的向心力．
2．方向：向心力始终与线速度垂直，是变力，它只改变线速度的方向，不改变其大小． 3．大小

向心力与半径的关系
总结词
向心力与半径成反比
详细描述
公式F=m*v^2/r中的r代表半径，当 半径增大时，向心力会减小，因此， 向心力与半径成反比关系。
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向心力的公式
总结词
向心力的公式是 F = mω²r 或 F = mv²/r，其中 m 是物体的质量，ω 是角速度，v 是线速度，r 是半径。
详细描述
向心力的公式有多种表达形式。其中一种是 F = mω²r，其中 m 是物体的质量，ω 是角速度，r 是半径。 这个公式适用于匀速圆周运动的情况。另一种是 F = mv²/r，其中 m 是物体的质量，v 是线速度，r 是半 径。这个公式适用于变速圆周运动的情况。
详细描述
在天体运动中，天体之间的引力充当向心力，使天体能够沿椭圆轨道运动。地球与月球、太阳之间的引力关系是 相互的，地球对月球的引力提供月球绕地球运动的向心力，同时地球也受到太阳的引力作用。
卫星轨道的稳定性
总结词
分析卫星轨道稳定性的原因，讨论卫星 轨道变化对卫星运行的影响。
VS
详细描述
卫星轨道的稳定性取决于多种因素，包括 地球引力、太阳辐射压和其他天体引力的 影响。地球引力是维持卫星轨道稳定的主 要因素，而太阳辐射压和其他天体的引力 可能导致轨道变化。卫星轨道的变化可能 导致卫星运行不稳定，甚至坠毁。
向心力课件
目录
• 向心力简介 • 向心力在生活中的应用 • 向心力在科学实验中的应用 • 向心力在物理问题中的应用 • 向心力与其他物理量的关系
01
向心力简介
向心力的定义
总结词
向心力是指物体受到的力，使其沿着圆周或曲线的中心点向 外运动。
详细描述

几种常见情景的向心力分析： 几种常见情景的向心力分析：
南京市第十三中学
1、汽车转弯时的向心力
v
O F 静
F合=f静=mv2/r
2、圆锥摆 、
竖直方向：F cosθ＝mg 竖直方向： cosθ＝
F
θ
O
l
水平方向： 水平方向： F合=Fsinθ =Fsinθ F合=mω2l sinθ
θ
m
F合 ω mg
F静
5、飞机转弯
N Fn
G
F升
θ
m
θ
r F合
O
mg
ω
竖直方向：F升 cosθ＝mg cosθ＝ 竖直方向： 水平方向： 水平方向：F合=mω2r
O'
3、漏斗 、
m
FN
θ
r F合
O
mg
θ
ω
竖直方向：FN cosθ＝mg 竖直方向： 水平方向： sinθ 水平方向：F合=FNsinθ=mω2r
FN
θ θ
O
m mg
R F合 ω
O'
竖直方向：FN cosθ＝mg 竖直方向： cosθ＝ 水平方向： 水平方向：F合=mω2 R sinθ
4、转盘上的向心力 、
物体相对转盘静止， 物体相对转盘静止， 随盘做匀速圆周运动 静摩擦力 谁充当向 指向圆心 心力？ 心力？
回顾： 、 一起向左加 回顾：A、B一起向左加 分析A的受力情况 的受力情况。 速，分析 的受力情况。
a FN F F静
A B
rቤተ መጻሕፍቲ ባይዱF静
v
ω mg
O
竖直方向： 竖直方向：FN＝mg 水平方向： 水平方向：F合=F静=mω2r

Fn r
v
ω
3、变速率圆周运动的合外力并不指向圆心，即不 、变速率圆周运动的合外力并不指向圆心， 是向心力；而沿半径指向圆心方向的合力才是向心力。 是向心力；而沿半径指向圆心方向的合力才是向心力。
FT
mg
（1）切线方向的分力改变速度 ） 的大小。 的大小。 指向圆心方向)的合 （2）法向 指向圆心方向 的合 ）法向(指向圆心方向 力改变速度的方向，这个方向 力改变速度的方向， 的合力才是向心力。 的合力才是向心力。
0
v2
Fn = mrω
4.实验原理： 4.实验原理： 实验原理
2
Fn r
ω
Fn 如果在控制质量不变， 如果在控制质量不变， 分别绘出在不同半径下的 Fn-ω 2图象，如果半径 图象， 直线的斜率大， 大，直线的斜率大，则说 明半径越大，向心力越大。 明半径越大，向心力越大。 0 ω2
六、一般的曲线运动
（1）任何一个曲线运动的法向加速度 都可以看成是向心加速度。 都可以看成是向心加速度。 （2）法向合力仍满足向心力公式，就 法向合力仍满足向心力公式， 是半径为该点的曲线半径。 是半径为该点的曲线半径。
任意曲线运动
3.任何曲线运动的一小段均可以近 3.任何曲线运动的一小段均可以近 似为一小段圆弧，但在不同地方曲线 似为一小段圆弧， 半径可能不同。因此， 半径可能不同。因此，曲线运动也可 以用圆周运动来处理。 以用圆周运动来处理。
2、变速圆周运动线速度的大小、方向都发生变化， 变速圆周运动线速度的大小、方向都发生变化， 向心加速度和切向加速度。（ 同时具有向心加速度和切向加速度。（合外力的方 同时具有向心加速度和切向加速度。（合外力的方 向不指向圆心） 向不指向圆心）
变速圆周运动的合外力不指向圆心，F合可以分解 变速圆周运动的合外力不指向圆心， 为沿半径指向圆心的向心力F 和切向力F 为沿半径指向圆心的向心力Fn和切向力Ft , Fn产生向心 加速度a 加速度an， Ft产生切向加速度，两个加速度分别描述 产生切向加速度， 线速度方向和大小改变的快慢程度。 线速度方向和大小改变的快慢程度。

命名的。它是根据力的作用效果来命名的。
(2)凡是产生向心加速度的力,不管属于哪种力,都是向心力。匀
速圆周运动的向心力一定是其合力。
5.实验验证
如图甲所示,细线下面悬挂一个钢球,用手带动钢球,使它在某个
水平面内做圆周运动,组成一个圆锥摆。
(1)钢球在水平面内做圆周运动,其受力如图乙所示,重力 G=mg
F 合≠Fn(在某些位置,可能会有 F 合=Fn,例如物体在竖直面内的圆周运
动中过最高点和最低点时)。
2.在直线运动、匀速圆周运动和一般曲线运动中,力是如何改变
速度的?
答案:(1)根据变速直线运动的知识,当物体所受外力的方向跟运
动方向相同时,物体做加速直线运动;当外力的方向跟运动方向相反
时,物体做减速直线运动。
大小,只改变线速度的方向。
2.大小
2
F n=ma n=m =mω2 r=mωv。
对于匀速圆周运动,向心力大小始终不变,但对于非匀速圆周运
动(如用一根绳拴住小球绕固定圆心在竖直平面内做的圆周运动),
其向心力大小随速率 v 的变化而变化,公式表述的只是瞬时值。
3.方向
无论是否为匀速圆周运动,其向心力总是沿着半径指向圆心,方
量必须是同一位置的瞬时值。
典题例解
【例 1】 一个圆盘绕通过圆盘的中心 O 且垂直于盘面的竖直
轴匀速转动,在圆盘上距 O 点为 R 处放一个质量为 m 的物块,物块随
着圆盘一起做匀速圆周运动,如图所示。
(1)物块受几个力作用,力的方向如何?
(2)向心力由什么力提供?
(3)如果物块与圆盘之间的动摩擦因数为 μ,则当圆盘角速度大
向时刻改变,故向心力是变力。
4.向心力的来源

●二、变速圆周运动和一般的曲线运动
●1．变速圆周运动 ●变速圆周运动所受合外力一般不等于向心力，
合外力一般产生两个方面的效果．
●( 1 ) 合 外 力 F 跟 圆 周 相 切 的 分 力 F t ， 此 分 力 产 生
_切__向_加速度at，描述__速__度__大__变小化的快慢．
●(2)合外力F指向圆心的分力Fn叫向心力，此分 力产生向心加速度an，向心加速度只改变速度
图5－6－8
【思路点拨】 解答本题时应把握以下两 点：
(1)注意分析物体所受静摩擦力的大小和方 向随圆盘转速的变化而变化．
(2)物体所受静摩擦力达到了最大静摩擦力， 此时对应的角速度也达到了临界值．
【自主解答】 (1)当 ω 最小时，A 受的
最大静摩擦力 Ff 的方向与拉力方向相
反，则有 mg－Ff＝Mrω21，
力提供向心力呢？由于A物体仅与平台接触 ，除了受重力G和支持力FN外，只可能受到 平台对它的静摩擦力的作用．根据静摩擦力
的特点，该静摩擦力的方向应与A相对于平
台运动趋势方向相反，但这个相对运动趋势 方向不易判断，我们可以由牛顿第二定律及 匀速圆周运动的特点来分析．因物体A的加 速度必定指向圆心，故产生加速度的静摩擦 力Ff必定指向圆心，所以B正确．C选项的 错误在于多加了一个向心力，应当明确这里 的向心力就是静摩擦力．
二、向心力公式的理解和应用 1．向心力公式的理解 (1)由向心力公式 Fn＝ma 向＝mvr2＝mrω2. 可以看出公式的意义就是向心力方向上
的牛顿第二定律．向心力的公式具有瞬
时性，不仅适用于匀速圆周运动，也适
用于一般圆周运动．
(2)向心力公式可以根据问题需要进行 如下变换： Fn＝mvr2＝mrω2＝m(2Tπ)2r＝m(2πn)2r. 2．向心力公式的应用 用向心力公式解题的思路与用牛顿第二 定律解题的思路相似： (1)明确研究对象，受力分析，画出受力 示意图；

挥动细绳,使小球做匀速圆周运动,小球受几个力的
作用?可以说小球受到重力、绳的拉力和向心力三
个力的作用吗?为什么?
不可以说小球受到重力、绳的拉力和向心力三个力 的作用。
因为向心力是根据力的作用效果来命名的一种力, 通常由重力、弹力、摩擦力中的某一个力,或几个 力的合力所提供。
所以小球只受两个力,重力和绳的拉力
解：
2
1
A B
TA
2
TB பைடு நூலகம்nB
TA
1
nA nB
2 5
TB
nA
FA向
mArA
2
A
3 25 2 2
3
FB向
mB
rB
2
B
116 5 5
4
向心力的大小
F = mω2r
角速度一定时,向心力与半径成正比
F = mv2/r
线速度一定时,向心力与半径成反比
做变速圆周运动的物体所受的力
Ft F合
Fn
Ft 切向分力,它产生切向加速度,改变速度的大小。 Fn 向心分力,它产生向心加速度,改变速度的方向。
〖讨论与交流〗
T
如图,取一条细绳,一端
系一个小球,另一端用手 mg
请分析下列两个物体的向心力来源。
Ff FN
G
θT
F G
分析向心力来源的思路
1、明确研究对象; 2、确定圆周运动所在的平面,明 确圆周运动的轨迹、半径及圆心 位置; 3、进行受力分析,分析指向圆心 方向的合力即向心力。
体验与猜测
向心力大小如何,可 能与哪些因素有关?
以小球为研究对象,对其进行受力分析,可得
解析:小橡皮受力分析如图。
小橡皮恰不下落时,有:

变速圆周运动
v
·
· O
合外力全部提供向心力
合外力部分提供向心力
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练习一：
质量为m的球用长为L的细绳悬于天花板的O点， 并使之在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直 线成θ角，则以下正确的是( B C D)
A.摆球受重力、拉力和向心力的作用 B.摆球只受重力、拉力的作用 C.摆球做匀速圆周运动的向心力为mg• tanθ D.摆球做匀速圆周运动的周期为 T 2 π
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小球受力分析：
FN
O O
F
G
FN与G相抵消，所以合力为F
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小球受力分析：
V F
O O
做匀速圆周运 动的物体，合 外力指向圆心， 与速度V垂直
F
F V V
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分析：首先应明确物体做匀速圆 周运动；再确定圆周轨迹、圆心 及半径。
物体随地球自转的角速度 ω =2 π/T 圆周半径r=R • cos32° ∴F=mr ω2 =m R • cos32°•(2 π/T) 2 代入数据可得F=2.87×10-2N A R
O’
r
O
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r= L• sin θ
θ
F1
由F向= F合，联立上述各式可得
Lcosθ T2 π g
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F合
G
r
练习二：
南通在北纬32°，求南通所在处质量为1Kg的物体绕 地轴做圆周运动所受向心力是多大？（设地球半径 R=6400km，COS32°=0.85）

2. 匀 速圆 周 运动 的性 质
(1)线速度大小不变而方向时刻改变, 是变速运动, 不是匀速 运动 (2)加速度大小不变而方向时刻改变, 是变加速曲线运动 (3)匀速圆周运动具有周期性, 即每经过一个周期运动物体 都要重新回到原来的位置, 其运动状态(如 v、a 的大小及方 向)也要重复原来的情况 (4)匀速圆周运动的物体所受外力的合力大小恒定, 方向总 是沿半径指向圆心, 方向时刻改变
上例中, 小铁块受到的合力等于 静摩擦力, 指向圆心, 只改变速度 的方向, 而不改变速度的大小 小球在竖直光滑圆轨道内侧做非 匀速圆周运动, 在与圆心等高处 所受的重力和弹力的合力不指向 圆心。如图
(1)一个力 3. 提供向心 向 力 心 力 的 (2)几个力 来 的合力提 源 供向心力
绳的一端系一个物体, 在光滑平面内绕另一端做匀 速圆周运动, 向心力由绳的拉力提供。如图 用细绳拴着质量为 m 的物体, 在竖直平面内做圆周 运动到最低点时, 其向心力由绳的拉力和物体的重 力两个力的合力(F=FT-mg)提供。如图
2 在水平冰面上, 狗拉着雪橇做匀速圆周运动,O 点为圆心。能正 确表示雪橇受到的牵引力 F 及摩擦力 F f 的图是( )
解析:由于雪橇在冰面上滑动, 故滑动摩擦力方向必与运动方向相反, 即方向应为圆的切线方向, 因做匀速圆周运动, 合力一定指向圆心, 由 此可知 C 正确。 答案:C
3A 、B 两物体都做匀速圆周运动,A 的质量是 B 的质量的一半, A 的轨道半径是 B 轨道半径的一半, 当 A 转过 60° 角的时间内, B 转过了 45° 角, 则 A 物体的向心力与 B 的向心力之比为( ) A. 1∶4 B. 2∶3 C. 4∶9 D. 9∶16 解析:F=mω r=m 答案:C