山西高中数学第2章参数方程2参数方程的应用学案无解答

2.2 圆的参数方程 2.3 椭圆的参数方程 2.4 双曲线的参数方程学习目标：1.了解圆锥曲线参数方程的推导过程.2.掌握圆和圆锥曲线的参数方程．(易错易混点)3.能用圆、椭圆参数方程解决有关问题．(难点)教材整理1 圆的参数方程 1．标准圆的参数方程已知一个圆的圆心在原点，半径为r ，设点P (x ，y )是圆周上任意一点，连结OP ，令OP 与x 轴正方向的夹角为α，则α唯一地确定了点P 在圆周上的位置．作PM ⊥Ox ，垂足为M ，显然，∠POM ＝α(如图)．则在Rt△POM 中有OM ＝OP cos α，MP ＝OP sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α(α为参数)．这就是圆心在原点，半径为r 的圆的参数方程．参数α的几何意义是OP 与x 轴正方向的夹角．2．一般圆的参数方程以(a ，b )为圆心，r 为半径的圆，普通方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，它的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α(α为参数，a ，b 是常数)．填空：(1)圆心为(2,1)，半径为2的圆的参数方程是________． (2)在圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos αy ＝sin α(α为参数)中，圆的圆心是________，半径是________．(3)圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)上的点到O (0,0)的距离的最大值是________，最小值是________．[解析] (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝1＋2sin α(α为参数)．(2)由圆的参数方程知圆心为(－1,0)，半径为1. (3)由圆的参数方程知圆心为(1,1)，半径为1. ∵圆心到原点的距离为2，∴最大值为2＋1， 最小值为2－1.[答案] (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝1＋2sin α(α为参数)(2)(－1,0) 1 (3)2＋1 2－1教材整理2 椭圆与双曲线的参数方程 1．椭圆的参数方程 (1)椭圆的中心在原点标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)．参数φ的几何意义是以a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与x 轴正半轴的夹角． (2)椭圆方程不是标准形式其方程也可表示为参数方程的形式，如(x －x 0)2a2＋(y －y 0)2b2＝1(a ＞b ＞0)，参数方程可表示为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋a cos φ，y ＝y 0＋b sin φ(φ为参数)．2．双曲线的参数方程当以F 1，F 2所在的直线为x 轴，以线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，双曲线的普通方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．此时参数方程为 (φ为参数)．其中φ∈[0,2π)且φ≠π2，φ≠3π2.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆参数方程中，参数φ的几何意义是椭圆上任一点的离心角．( ) (2)在椭圆上任一点处，离心角和旋转角数值都相等．( ) (3)在双曲线参数方程中，参数φ的范围为[0,2π)．( ) [解析] (1)√ 椭圆中，参数φ的几何意义就是离心角．(2)× 在四个顶点处是相同的，在其他任一点处，离心角和旋转角在数值上都不相等． (3)× 双曲线中，参数φ的范围是φ∈[0,2π)且φ≠π2，φ≠3π2.[答案] (1)√ (2)× (3)×【例1】 圆(x －r )2＋y 2＝r 2(r >0)，点M 在圆上，O 为原点，以∠MOx ＝φ为参数，求圆的参数方程．[精彩点拨] 根据圆的特点，结合参数方程概念求解． [尝试解答] 如图所示，设圆心为O ′，连结O ′M ，∵O ′为圆心， ∴∠MO ′x ＝2φ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos 2φ，y ＝r sin 2φ.1．确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题容易把参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos φ，y ＝r sin φ.2．由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．1．已知点P (2,0)，点Q 是圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ上一动点，求PQ 中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．[解] 设中点M (x ，y )．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ2，y ＝0＋sin θ2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12cos θ，y ＝12sin θ(θ为参数)，这就是所求的轨迹方程．它是以(1,0)为圆心，以12为半径的圆.【例2】 如图所示，已知点M 是椭圆a 2＋b 2＝1(a ＞b ＞0)上在第一象限的点，A (a,0)和B (0，b )是椭圆的两个顶点，O 为原点，求四边形MAOB 的面积的最大值．[精彩点拨] 本题可利用椭圆的参数方程，把面积的最大值问题转化为三角函数的最值问题求解．[尝试解答] M 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上在第一象限的点，由椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)，故可设M (a cos φ，b sin φ)，其中0＜φ＜π2，因此，S 四边形MAOB ＝S △MAO ＋S △MOB＝12OA ·y M ＋12OB ·x M ＝12ab (sin φ＋cos φ)＝22ab sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋π4.所以，当φ＝π4时，四边形MAOB 面积的最大值为22ab ．本题将不规则四边形的面积转化为两个三角形的面积之和，这是解题的突破口和关键，用椭圆的参数方程，将面积表示为参数的三角函数求最大值，思路顺畅，解法简捷，充分体现了椭圆的参数方程在解决与椭圆上点有关最值问题时的优越性．2．(2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t2，y ＝4t1＋t2(t为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos θ＋3ρsin θ＋11＝0.(1)求C 和l 的直角坐标方程； (2)求C 上的点到l 距离的最小值．[解] (1)因为－1＜1－t 21＋t 2≤1，且x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋4t 2(1＋t 2)2＝1，所以C 的直角坐标方程为x 2＋y 24＝1(x ≠－1)．l 的直角坐标方程为2x ＋3y ＋11＝0.(2)由(1)可设C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos αy ＝2sin α(α为参数，－π＜α＜π)．C 上的点到l 的距离为|2cos α＋23sin α＋11|7＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋117.当α＝－2π3时，4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋11取得最小值7，故C 上的点到l 距离的最小值为7.【例312|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.[精彩点拨] 将双曲线方程化为参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1cos φ，y ＝tan φ，再利用三角运算进行证明．[尝试解答] 因为双曲线的方程为x 2－y 2＝1， 所以设P ⎝⎛⎭⎪⎫1cos φ，tan φ.∵F 1(－2，0)，F 2(2，0)， ∴|PF 1|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos φ＋22＋tan 2φ＝2cos 2φ＋22cos φ＋1， |PF 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos φ－22＋tan 2φ ＝2cos 2φ－22cos φ＋1， ∴|PF 1|·|PF 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2φ＋12－8cos 2φ＝2cos 2φ－1. ∵|OP |2＝1cos 2φ＋tan 2φ＝2cos 2φ－1，∴|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.1．与双曲线上点有关的问题，常利用其参数方程转化为三角的计算与证明问题． 2．对由参数方程给出的双曲线确定其几何性质问题，常将其化为普通方程后，再求解．3．求证：双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值．[证明] 由双曲线x 2a 2－y 2b2＝1，得两条渐近线的方程是：bx ＋ay ＝0，bx －ay ＝0， 设双曲线上任一点的坐标为(a sec φ，b tan φ)， 它到两渐近线的距离分别是d 1和d 2，则d 1·d 2＝|ab sec φ＋ab tan φ|b 2＋a 2·|ab sec φ－ab tan φ|b 2＋(－a )2＝|a 2b 2(sec 2φ－tan 2φ)|a 2＋b 2＝a 2b2a 2＋b 2(定值).[探究问题1．给定参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α，其中a ，b 是常数．(1)如果r 是常数，α是参数，那么参数方程表示的曲线是什么？ (2)如果α是常数，r 是参数，那么参数方程表示的曲线是什么？[提示] (1)参数方程表示的曲线是以(a ，b )为圆心，r 为半径的圆(r ≠0)． (2)参数方程表示的曲线是过(a ，b )点，且倾斜角为α的直线． 2．圆的参数方程中，参数有什么实际意义？[提示] 在圆的参数方程中，设点M 绕点O 转动的角速度为ω(ω为常数)，转动的某一时刻为t ，因此取时刻t 为参数可得圆的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos ωt ，y ＝r sin ωt(t 为参数)，此时参数t 表示时间．若以OM转过的角度θ(∠M 0OM ＝θ)为参数，可得圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)，此时θ具有明显的几何意义．3．利用圆的参数方程表示其上任意点坐标时有什么优越性？[提示] 将其横纵坐标只用一个参数(角)来表示，可将与点的坐标有关的问题转化为三角问题求解．【例4】 设方程⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝3＋sin θ(θ为参数)表示的曲线为C .(1)判断C 与直线x ＋3y －2＝0的位置关系； (2)求曲线C 上的动点到原点O 的距离的最小值；(3)点P 为曲线C 上的动点，当|OP |最小时(O 为坐标原点)，求点P 的坐标； (4)点M 是曲线C 上的动点，求其与点Q (－1，－3)连线中点的轨迹．[精彩点拨] 本题考查圆的参数方程的应用，以及运算和转化与化归能力． (1)利用圆心到直线的距离与半径的关系判断． (2)设P 的坐标表示出|OP |，利用三角函数知识求最值． (3)利用(2)取最小值的条件即可．(4)设出点M 的坐标，进而表示出MQ 中点坐标，即得轨迹的参数方程．[尝试解答] (1)曲线C 是以(1，3)为圆心，半径为1的圆，则圆心(1，3)到直线x ＋3y －2＝0的距离为|1＋3×3－2|12＋(3)2＝1，故直线和圆相切． (2)设圆上的点P (1＋cos θ，3＋sin θ)(0≤θ<2π)． |OP |＝(1＋cos θ)2＋(3＋sin θ)2＝5＋4cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3， 当θ＝4π3时，|OP |min ＝1.(3)由(2)知，θ＝4π3，∴x ＝1＋cos 4π3＝12，y ＝3＋sin4π3＝32，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32. (4)设MQ 的中点为(x ，y )．∵M (1＋cos θ，3＋sin θ)，Q (－1，－3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ－12＝12cos θ，y ＝－3＋3＋sin θ2＝12sin θ(θ为参数)．所以中点轨迹是以原点为圆心，12为半径的圆．1．与圆的参数方程有关的问题求解时，可直接利用参数方程求解，也可转化为普通方程问题求解．2．与圆上点有关的距离最值问题，需建立目标函数求解时，常利用圆的参数方程，将圆上的点用角表示，从而将待求最值，转化为三角函数的最值问题求解，但要注意参数θ的取值范围．4．如图，设矩形ABCD 的顶点C 的坐标为(4,4)，点A 在圆x 2＋y 2＝9(x ≥0，y ≥0)上移动，且AB ，AD 两边分别平行于x 轴，y 轴．求矩形ABCD 面积的最小值及对应点A 的坐标．[解] 设A (3cos θ，3sin θ)(0＜θ＜90°)，则|AB |＝4－3cos θ，|AD |＝4－3sin θ， ∴S ＝|AB |·|AD |＝(4－3cos θ)(4－3sin θ) ＝16－12(cos θ＋sin θ)＋9cos θsin θ.令t ＝cos θ＋sin θ(1＜t ≤2)，则2cos θsin θ＝t 2－1.∴S ＝16－12t ＋92(t 2－1)＝92t 2－12t ＋232＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫t －432＋72，∴t ＝43时，矩形ABCD 的面积S取得最小值72.此时⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＋sin θ＝43，cos θsin θ＝718，解得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝4±26，sin θ＝4∓26.∴对应点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22，2－22或 ⎝⎛⎭⎪⎫2－22，2＋22.1．圆的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则圆的圆心坐标为( )A ．(0,2)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(2,0)[解析] 由圆的参数方程知，圆心为(2,0)． [答案] D2．圆心在点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－cos θ，y ＝5＋2sin θ(0≤θ<2π)B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋5cos θ，y ＝－1＋5sin θ(0≤θ<2π)C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ<π)D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ<2π)[解析] 圆心在点C (a ，b )，半径为r的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ∈[0,2π))．故圆心在点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ<2π)．[答案] D3．曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝5sin φ(φ为参数)的离心率为________．[解析] 由曲线C 的参数方程可以看出a ＝3，b ＝5，得a 2＝9，b 2＝5，⇒c 2＝4，所以e＝c a ＝23. [答案] 234．双曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sec φ，y ＝4tan φ(φ为参数)的焦点坐标为________．[解析] 曲线C 的普通方程为x 29－y 216＝1，得焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0)．[答案] (－5,0)，(5,0)5．能否在椭圆x 216＋y 212＝1上找一点，使这一点到直线x －2y －12＝0的距离最小．[解] 设椭圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos φ，y ＝23sin φ(φ是参数，0≤φ＜2π)．则d ＝|4cos φ－43sin φ－12|5＝455⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π3－3，当cos ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋π3＝1时， 即φ＝53π时，d min ＝455，此时对应的点为(2，－3)．。

双曲线的参数方程【学习目标】1、了解双曲线参数方程，了解其参数的意义。

2、能够将双曲线的参数方程与普通方程进行互化【重点难点】双曲线的参数方程【学习过程】一、问题情景导入将参数方程cossinx ay bϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）化为普通方程，并说明其为什么曲线二、自学探究：（阅读课本第27-30页，完成下面知识点的梳理）1、中心在原点，焦点在x轴上的椭圆22221x ya b+=（a＞b＞0）的参数方程是＿＿＿＿＿＿规定ϕ的取值范围为＿＿＿＿＿＿2、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线22221x ya b-=的参数方程是＿＿＿＿＿＿中心在原点，焦点在y轴上的双曲线22221y xa b-=的参数方程是＿＿＿＿＿＿规定参数ϕ的取值范围＿＿＿＿＿＿如何判断焦点的位置＿＿＿＿＿＿三、例题演练：例1、A、B分别是椭圆221369x y+=的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹的普通方程。

练习1．双曲线⎩⎨⎧x ＝23tan α，y ＝6sec α(α为参数)的两焦点坐标是( ) A ．(0，－43)，(0，43)B ．(－43，0)，(43，0)C ．(0，－3)，(0，3)D ．(－3，0)，(3，0)2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α2＋cos α2，y ＝2＋sin α(α为参数)的普通方程为 ( )A ．y 2－x 2＝1B ．x 2－y 2＝1C ．y 2－x 2＝1(|x |≤2)D ．x 2－y 2＝1(|x |≤2)3．与方程xy ＝1等价的曲线的参数方程(t 为参数)是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t －2 B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin t ，y ＝csc t C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝sec t D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t ，y ＝cot t 4．双曲线⎩⎨⎧x ＝3sec 2，y ＝tan 2的顶点坐标为________． 5．圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sec θ＋1，y ＝3tan θ(θ为参数)的焦点坐标是________．。

直线的参数方程(第一课时)三维目标:知识与技能：了解直线参数方程的条件及参数的意义过程与方法：能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

学习重点：参数t 的含义，直线单位方向向量)sin ,(cos αα=的含义。

学习难点：如何引入参数t ，理解和写直线单位方向向量)sin ,(cos αα=e学法指导：认真阅读教材，按照导学案的导引,深刻领会数学方法,认真思考、独立规范作答。

知识链接: 我们学过的直线的普通方程都有哪些?学习过程:问题1已知一条直线过点),(000y x M ,倾斜角α,求这条直线方程。

问题2在直线l 上，任取一个点M (x ,y )，求0M M 坐标。

问题3试用直线l 的倾斜角α表示直线l 的方向单位向量e 。

问题4设0M M t =，则e 与0M M 具有什么位置关系？用t 能否表示出这种关系。

问题5通过坐标运算，用),(000y x M ，α，t 把在直线l 上，任取一点M (x ,y )的坐标表示出来。

即过定点00M (x ,y )倾斜角为α的直线的参数方程：问题6在直线l 的参数方程中，哪些是变量，哪些是常量？问题70,M M te l t =由你能得到直线的参数方程中参数的几何意义吗？问题8参数t 的取值范围是什么？分别代表什么含义？练习:A1、直线⎪⎩⎪⎨⎧=+=0020cos 20sin 3t y t x (t 为参数)的倾斜角是( ) A, 020 B, 070 C, 0110 D, 0160⎩⎨⎧+==θθ2cos 1cos 2y x （θ为参数）的曲B 例1：已知直线01:=-+y x l 与抛物线2x y =交与B A ,两点，求线段AB 的长度和点)2,1(-M 到B A ,的距离之积.问题9直线与曲线)(x f y 交于21M M 两点,对应的参数分别为21,t t ,(1)曲线的弦21M M 的长是多少?(2)线段21M M 的中点M 对应的参数t 的值是多少?。

二 圆锥曲线的参数方程1．理解椭圆的参数方程及其应用．(重点) 2．了解双曲线、抛物线的参数方程．3．能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题．(难点、易错点)[基础·初探]教材整理1 椭圆的参数方程阅读教材P 27～P 29“思考”及以上部分，完成下列问题．普通方程参数方程x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0) ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数)y 2a 2＋x2b 2＝1(a >b >0) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b cos φy ＝a sin φ(φ为参数)椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φy ＝5sin φ(φ为参数)的离心率为( )A.45 B.35 C.34D.15【解析】 由椭圆方程知a ＝5，b ＝4，∴c 2＝9，c ＝3，e ＝35.【答案】 B教材整理2 双曲线的参数方程 阅读教材P 29～P 32，完成下列问题.普通方程参数方程x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec φy ＝b tan φ(φ为参数)下列双曲线中，与双曲线⎩⎨⎧x ＝3sec θ，y ＝tan θ(θ为参数)的离心率和渐近线都相同的是( )A.y 23－x 29＝1B.y 23－x 29＝－1 C.y 23－x 2＝1 D.y 23－x 2＝－1 【解析】 由x ＝3sec θ得， x 2＝3cos 2θ＝3sin 2θ＋cos 2θcos 2θ＝3tan 2θ＋3， 又∵y ＝tan θ，∴x 2＝3y 2＋3，即x 23－y 2＝1.经验证可知，选项B 合适． 【答案】 B教材整理3 抛物线的参数方程阅读教材P 33～P 34“习题”以上部分，完成下列问题． 1．抛物线y2＝2px 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2y ＝2pt(t 为参数)．2．参数t 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．若点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t2y ＝4t (t 为参数)上，则|PF |＝________.【解析】 抛物线为y 2＝4x ，准线为x ＝－1， |PF |等于点P (3，m )到准线x ＝－1的距离，即为4. 【答案】 4[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑：疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：椭圆的参数方程及应用将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)化为普通方程，并判断方程表示曲线的焦点坐标．【思路探究】 根据同角三角函数的平方关系，消去参数，化为普通方程，进而研究曲线形状和几何性质．【自主解答】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝3sin θ得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x5，sin θ＝y3，两式平方相加，得x 252＋y 232＝1.∴a ＝5，b ＝3，c ＝4.因此方程表示焦点在x 轴上的椭圆，焦点坐标为F 1(4,0)和F 2(－4,0)．椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ，(θ为参数，a ，b 为常数，且a >b >0)中，常数a ，b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长，焦点在长轴上．[再练一题]1．若本例的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝5sin θ，(θ为参数)，则如何求椭圆的普通方程和焦点坐标？【解】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝5sin θ，化为⎩⎪⎨⎪⎧x3＝cos θ，y5＝sin θ，两式平方相加，得x 232＋y 252＝1.其中a ＝5，b ＝3，c ＝4.所以方程的曲线表示焦点在y 轴上的椭圆，焦点坐标为F 1(0，－4)与F 2(0,4).双曲线参数方程的应用求证：双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值．【思路探究】 设出双曲线上任一点的坐标，可利用双曲线的参数方程简化运算．【自主解答】 由双曲线x 2a 2－y 2b2＝1，得两条渐近线的方程是：bx ＋ay ＝0，bx －ay ＝0， 设双曲线上任一点的坐标为(a sec φ，b tan φ)， 它到两渐近线的距离分别是d 1和d 2， 则d 1·d 2＝|ab sec φ＋ab tan φ|b 2＋a 2·|ab sec φ－ab tan φ|b 2＋－a 2＝|a 2b2sec 2 φ－tan 2 φ|a 2＋b 2＝a 2b2a 2＋b2(定值)．在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式sec 2φ－tan 2φ＝1的应用．[再练一题]2．如图2­2­1，设P 为等轴双曲线x 2－y 2＝1上的一点，F 1、F 2是两个焦点，证明：|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.图2­2­1【证明】 设P (sec φ，tan φ)， ∵F 1(－2，0)，F 2(2，0)， ∴|PF 1|＝sec φ＋22＋tan 2φ＝2sec 2φ＋22sec φ＋1，|PF 2|＝sec φ－22＋tan 2φ＝2sec 2φ－22sec φ＋1，|PF 1|·|PF 2|＝2sec 2φ＋12－8sec 2φ＝2sec 2φ－1.∵|OP |2＝sec 2φ＋tan 2φ＝2sec 2φ－1， ∴|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.抛物线的参数方程设抛物线y 2＝2px 的准线为l ，焦点为F ，顶点为O ，P 为抛物线上任一点，PQ ⊥l于Q ，求QF 与OP 的交点M 的轨迹方程.【导学号：91060021】【思路探究】 解答本题只要解两条直线方程组成的方程组得到交点的参数方程，然后化为普通方程即可．【自主解答】 设P 点的坐标为(2pt 2,2pt )(t 为参数)， 当t ≠0时，直线OP 的方程为y ＝1tx ，QF 的方程为y ＝－2t ⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2，它们的交点M (x ，y )由方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1t x y ＝－2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2确定，两式相乘，消去t ，得y 2＝－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，∴点M 的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0(x ≠0)． 当t ＝0时，M (0,0)满足题意，且适合方程2x 2－px ＋y 2＝0. 故所求的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0.1．抛物线y2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)，参数t 为任意实数，它表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．2．用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程．[再练一题]3．已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)，其中p >0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E ，若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________.【解析】 根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y 2＝2px ，所以y 2M ＝6p ，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，±6p ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以p2＋3＝p 2＋6p ，所以p 2＋4p －12＝0，解得p ＝2(负值舍去)．【答案】 2[构建·体系]圆锥曲线的参数方程—⎪⎪⎪—椭圆的参数方程—双曲线的参数方程—抛物线的参数方程1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)化为普通方程为( )A ．x 2＋y 24＝1 B ．x 2＋y 22＝1C ．y 2＋x 24＝1D ．y 2＋x 24＝1【解析】 易知cos θ＝x ，sin θ＝y2，∴x 2＋y 24＝1，故选A.【答案】 A2．方程⎩⎪⎨⎪⎧x cos θ＝a ，y ＝b cos θ(θ为参数，ab ≠0)表示的曲线是( )【导学号：91060022】A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．双曲线的一部分【解析】 由x cos θ＝a ，∴cos θ＝ax， 代入y ＝b cos θ，得xy ＝ab ，又由y ＝b cos θ知，y ∈[－|b |，|b |]， ∴曲线应为双曲线的一部分． 【答案】 D3．圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．【解析】 将参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，表示开口向右，焦点在x 轴正半轴上的抛物线，由2p ＝4⇒p ＝2，则焦点坐标为(1,0)．【答案】 (1,0) 4．在直角坐标系xOy中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t(t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________.【解析】 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t ，消去参数t 得2x ＋y －3＝0.又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ，消去参数θ得x 2a 2＋y 29＝1.方程2x ＋y －3＝0中，令y ＝0得x ＝32，将⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0代入x 2a 2＋y 29＝1，得94a 2＝1. 又a >0，∴a ＝32.【答案】 325．已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，求它们的交点坐标．【解】 将⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)化为普通方程得：x 25＋y 2＝1(0≤y ≤1，x ≠－5)，将x ＝54t 2，y ＝t 代入得：516t 4＋t 2－1＝0，解得t 2＝45，∴t ＝255(y ＝t ≥0)，x ＝54t 2＝54×45＝1，∴交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，255.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)学业分层测评(七) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝5sin φ(φ为参数)的离心率为( )A.23B.35C.32D.53【解析】 由题设，得x 29＋y 25＝1，∴a 2＝9，b 2＝5，c 2＝4，因此e ＝c a ＝23.【答案】 A 2．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P ，原点为O ，直线PO 的倾斜角为π4，则P 点坐标是( )A ．(3,4) B.⎝⎛⎭⎪⎫322，22 C ．(－3，－4) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫125，125 【解析】 因为y －0x －0＝43tan θ＝tan π4＝1，所以tan θ＝34，所以cos θ＝45，sin θ＝35，代入得P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫125，125.【答案】 D3．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α2＋cos α2，y ＝2＋sin α(α为参数)的普通方程是( )A ．y 2－x 2＝1 B ．x 2－y 2＝1C ．y 2－x 2＝1(1≤y ≤3) D ．y 2－x 2＝1(|x |≤2)【解析】 因为x 2＝1＋sin α， 所以sin α＝x 2－1.又因为y 2＝2＋sin α＝2＋(x 2－1)， 所以y 2－x 2＝1.∵－1≤sin α≤1，y ＝2＋sin α， ∴1≤y ≤3，∴普通方程为y 2－x 2＝1，y ∈[1，3]． 【答案】 C4．点P (1,0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2y ＝2t (参数t ∈R )上的点的最短距离为( )A ．0B ．1 C. 2D ．2【解析】 d 2＝(x －1)2＋y 2＝(t 2－1)2＋4t 2＝(t 2＋1)2， 由t 2≥0得d 2≥1，故d min ＝1. 【答案】 B5．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t－2－ty ＝2t ＋2－t(t 为参数)表示的曲线是( )【导学号：91060023】A ．双曲线B ．双曲线的上支C ．双曲线的下支D ．圆【解析】 将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，得：x 2－y 2＝(2t －2－t )2－(2t ＋2－t )2＝－4，即y 2－x 2＝4.又注意到2t＞0,2t＋2－t≥22t ·2－t＝2，得y ≥2. 可见与以上参数方程等价的普通方程为：y 2－x 2＝4(y ≥2)．显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支． 【答案】 B 二、填空题6．已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t y ＝4sin t(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为________．【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π3＝1，y ＝4sin π3＝23，得点M 的坐标为(1,23) 直线OM 的斜率k ＝231＝2 3.【答案】 2 37．设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t2化为普通方程为y ＝x 2，由于ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，所以化为极坐标方程为ρsin θ＝ρ2cos 2θ，即ρcos 2θ－sin θ＝0.【答案】 ρcos 2θ－sin θ＝08．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t (t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．【解析】 由⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t ，得y ＝x ，又由⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，得x 2＋y 2＝2.由⎩⎨⎧y ＝x ，x 2＋y 2＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即曲线C 1与C 2的交点坐标为(1,1)． 【答案】 (1,1) 三、解答题9．如图2­2­2所示，连接原点O 和抛物线y ＝12x 2上的动点M ，延长OM 到点P ，使|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹方程，并说明是什么曲线？图2­2­2【解】 抛物线标准方程为x2＝2y ，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝2t 2，得M (2t,2t 2)．设P (x ，y )，则M 是OP 中点．∴⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝x ＋02，2t 2＝y ＋02，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t y ＝4t2(t 为参数)，消去t 得y ＝14x 2，是以y 轴对称轴，焦点为(0,1)的抛物线．10．已知直线l 的极坐标方程是ρcos θ＋ρsin θ－1＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，椭圆C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝sin θ(θ为参数)，求直线l 和椭圆C 相交所成弦的弦长．【解】 由题意知直线和椭圆方程可化为：x ＋y －1＝0，① x 24＋y 2＝1，②①②联立，消去y 得：5x 2－8x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝85.设直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 两点直角坐标分别为(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫85，－35，则|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫852＝825，故所求的弦长为825.[能力提升]1．P 为双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sec θ，y ＝3tan θ(θ为参数)上任意一点，F 1，F 2为其两个焦点，则△F 1PF 2重心的轨迹方程是( )A ．9x 2－16y 2＝16(y ≠0) B ．9x 2＋16y 2＝16(y ≠0) C ．9x 2－16y 2＝1(y ≠0) D ．9x 2＋16y 2＝1(y ≠0)【解析】 由题意知a ＝4，b ＝3，可得c ＝5， 故F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设P (4sec θ，3tan θ)，重心M (x ，y )，则x ＝－5＋5＋4sec θ3＝43sec θ，y ＝0＋0＋3tan θ3＝tan θ.从而有9x 2－16y 2＝16(y ≠0)． 【答案】 A2．若曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos θ－1(θ为参数)与直线x ＝m 相交于不同两点，则m 的取值范围是( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(0,1)D ．[0,1)【解析】 将曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos θ－1化为普通方程得(y ＋1)2＝－(x －1)(0≤x ≤1)．它是抛物线的一部分，如图所示，由数形结合知0≤m <1.【答案】 D3．对任意实数，直线y ＝x ＋b 与椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝4sin θ(0≤θ≤2π)，恒有公共点，则b 的取值范围是________．【解析】 将(2cos θ，4sin θ)代入y ＝x ＋b 得： 4sin θ＝2cos θ＋b .∵恒有公共点，∴以上方程有解．令f (θ)＝4sin θ－2cos θ＝25sin(θ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫tan φ＝12，∴－25≤f (θ)≤25， ∴－25≤b ≤2 5. 【答案】 [－25，25]4．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝sin α(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．【解】 (1)把极坐标系下的点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标，得点(0,4)．因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上．(2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)，从而点Q 到直线l 的距离为d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋42＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋22，由此得，当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.。

2.2 圆的参数方程 2.3 椭圆的参数方程 2.4 双曲线的参数方程对应学生用书P24][自主学习]1．有向线段的数量如果P ，M 是l 上的两点，P 到M 的方向与直线的正方向一致，那么PM 取正值，否则取负值．我们称这个数值为有向线段2．直线参数方程的两种形式(1)经过点P (x 0，y 0)、倾斜角是α的直线的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．其中M(x ，y )为直线上的任意一点，参数t 的几何意义是从点P 到M的位移，可以用有(2)经过两个定点Q (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋λx21＋λ，y ＝y 1＋λy 21＋λ(λ为参数，λ≠－1)．其中M (x ，y )为直线上的任意一点，参数λ的几何意义是：动点M 量比QM MP.①当λ>0时，M 为内分点；②当λ<0且λ≠－1时，M 为外分点； ③当λ＝0时，点M 与Q 重合．[合作探究]1．如何引入参数求过定点P (x 0，y 0)且与平面向量a ＝(a ，b )⎝⎛⎭⎪⎫或斜率为b a平行的直线的参数方程？提示：在直线l 上任取一点M (x ，y )，a，＝(x －x 0，y －y 0)，可得x －x 0a ＝y －y 0b ，设这个比值为t ，即：x －x 0a ＝y －y 0b＝t ，则有：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t ∈R )．2．问题1中得到的参数方程中参数何时与⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t ∈R )中参数t 具有相同的几何意义？提示：当a 2＋b 2＝1时．对应学生用书P24][例1] (1)写出直线l 的参数方程；(2)求直线l 与直线x －y ＋1＝0的交点．[思路点拨] 本题考查如何根据已知条件确定直线的参数方程及运算求解能力，解答此题需要将条件代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α得到直线的参数方程，然后与x －y ＋1＝0联立可求得交点．[精解详析] (1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos 120°，y ＝4＋t sin 120°(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3－12t ，y ＝4＋32t (t 为参数)．(2)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－12t ，y ＝4＋32t 代入x －y ＋1＝0，得3－12t －4－32t ＋1＝0，得t ＝0.把t ＝0代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－12t ，y ＝4＋32t ，得两直线的交点为(3,4)．1．已知直线经过的定点与其倾斜角，求参数方程利用⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．2．已知直线过两点，求参数方程利用⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋λx21＋λ，y ＝y 1＋λy21＋λλ为参数且λ≠－3．已知直线经过的定点与其方向向量a ＝(a ，b )(或斜率ba)，则其参数方程可为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋ta ，y ＝y 0＋tb(t 为参数)．1．已知两点A (1,3)，B (3,1)和直线l ：y ＝x ，求过点A ，B 的直线的参数方程，并求它与直线l 的交点M 分AB 的比．解：设直线AB 与l 的交点M (x ，y )，且AMMB＝λ，则直线AB 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3λ1＋λ，y ＝3＋λ1＋λ(λ为参数且λ≠－1)．①把①代入y ＝x 得1＋3λ1＋λ＝3＋λ1＋λ，得λ＝1，所以点M 分AB 的比为1∶1.[例2] 写出经过点M 0(－2,3)，倾斜角为4的直线l 的参数方程，并且求出直线l 上与点M 0相距为2的点的坐标．[思路点拨] 本题考查直线参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)的应用，特别是参数几何意义的应用．解答此题需先求出直线上与点M 0相距为2的点对应的参数t ，然后代入参数方程求此点的坐标．[精解详析] 直线l 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos 3π4，y ＝3＋t sin 3π4(t 为参数)．①设直线l 上与已知点M 0相距为2的点为M 点，M 点对应的参数为t ，则|M 0M |＝|t |＝2， ∴t ＝±2.将t 的值代入①式：当t ＝2时，M 点在M 0点上方，其坐标为(－2－2，3＋2)； 当t ＝－2时，M 点在M 0点下方，其坐标为(－2＋2，3－2)．1．过定点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，|t |P 与M 间的距离．2．过定点M 0(x 0，y 0)，斜率为ba 的直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (a ，b 为常数，t为参数)．当a2＋b 2＝1时，|t |a 2＋b 2≠1时，|t |的长度的1a 2＋b 2.2．过点A (1，－5)的直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝－5＋3t(t 为参数)，它与方程为x－y －23＝0的直线l 2相交于一点P ，求点A 与点P 之间的距离．解：将直线l 1的参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝－5＋32t(t 为参数)．⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1且32＞0，令t ′＝2t ，则将t ′代入上述方程得直线l 1的参数方程的标准式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ′，y ＝－5＋32t ′(t ′为参数)．代入x －y －23＝0得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫－5＋32t ′－23＝0，解得t ′＝43， ∴|AP |＝|t ′|＝4 3.[例3] 已知直线l 过点P (1,0)，倾斜角为3，直线l 与椭圆3＋y 2＝1相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M .(1)求P ，M 两点间的距离； (2)求线段AB 的长|AB |.[思路点拨] 本题考查直线的参数方程在解决直线与圆锥曲线相交中的中点、弦长等问题中的应用，解答此题需要求出直线的形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)的方程，然后利用参数的几何意义求解．[精解详析] (1)∵直线l 过点P (1,0)，倾斜角为π3，cos α＝12，sin α＝32.∴直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．①∵直线l 和椭圆相交，将直线的参数方程代入椭圆方程 并整理得5t 2＋2t －4＝0，Δ＝4＋4×5×4>0.设这个二次方程的两个实根为t 1，t 2.由根与系数的关系得：t 1＋t 2＝－25，t 1t 2＝－45，由M 为AB 的中点，根据t 的几何意义， 得|PM |＝|t 1＋t 22|＝15. (2)|AB |＝|t 2－t 1|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝8425＝2215.1．在解决直线与圆锥曲线相交关系的问题中，若涉及到线段中点、弦长、交点坐标等问题，利用直线参数方程中参数t 的几何意义求解，比利用直线l 的普通方程来解决更为方便．2．在求直线l 与曲线C ：f (x ，y )＝0的交点间的距离时，把直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α代入f (x ，y )＝0，可以得到一个关于t 的方程f (x 0＋t cos α，y 0＋t sin α)＝0.假设该方程的解为t 1，t 2，对应的直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，那么由参数t 的几何意义可得|AB |＝|t 1－t 2|.(1)弦AB 的长|AB |＝|t 1－t 2|. (2)线段AB 的中点M 对应的参数t ＝t 1＋t 22(解题时可以作为基本结论使用)．3．(江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎪⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.本课时常考查直线参数方程的确定与应用，同时考查运算、转化及求解能力，高考、模拟常与极坐标方程及圆锥曲线的参数方程交汇命题．[考题印证](湖南高考)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2s ＋1，y ＝s (s 为参数)和直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝2t －1(t 为参数)平行，则常数a 的值为________．[命题立意] 本题主要考查对参数方程的理解、两直线的位置关系，以及平面直角坐标系下由两直线的位置关系确定参数值的方法．[自主尝试] 先把两直线的参数方程化成普通方程．直线l 1：x －2y －1＝0，直线l 2：2x －ay －a ＝0.因为两直线平行，所以1×(－a )＝－2×2，故a ＝4，经检验，符合题意．[答案] 4对应学生用书P26]一、选择题1．已知直线l 过点A (1,5)，倾斜角为π3，P 是l t 为参数，则直线l 的参数方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋12t ，y ＝5－32tB.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－12t ，y ＝5＋32tC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－12t ，y ＝5－32t解析：选D t t .则参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋－t π3，y ＝5＋－tπ3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－12t ，y ＝5－32t .故选D.2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t sin 20°，y ＝－t cos 20°(t 为参数)的倾斜角是( )A ．20°B ．70°C ．110°D ．160°解析：选C 法一：将原方程改写成⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝t sin 20°，－y ＝t cos 20°，消去t ，得y ＝tan 110°(x －3)，所以直线的倾斜角为110°.法二：将原参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋－t ，y ＝－t ，令－t ＝t ′，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t ′cos 110°，y ＝t ′sin 110°，所以直线的倾斜角为110°. 3．直线⎩⎨⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t(t 为参数)上与点P (－2,3)的距离等于2的点的坐标是( )A ．(－4,5)B ．(－3,4)C ．(－3,4)或(－1,2)D ．(－4,5)或(0,1)解析：选C 设直线上的点Q (－2－2t,3＋2t )与点P (－2,3)的距离等于2， 即d ＝－2－2t ＋2＋＋2t －2＝ 2.解得t ＝±22.当t ＝22时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－2×22＝－3，y ＝3＋2×22＝4，∴Q (－3,4)．当t ＝－22时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－1，y ＝3＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝2，∴Q (－1,2)．综上，符合题意的点的坐标为(－3,4)或(－1,2)．4．直线l 经过点M 0(1,5)，倾斜角为π3，且交直线x －y －2＝0于点M ，则|MM 0|等于( )A.3＋1 B ．6(3＋1) C ．6＋ 3D ．63＋1解析：选B 由题意可得直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t (t 为参数)，代入直线方程x －y －2＝0，得1＋12t －⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋32t －2＝0，解得t ＝－6(3＋1)．根据参数t 的几何意义可知|MM 0|＝6(3＋1)． 二、填空题5．过P (－4,0)，倾斜角为5π6的直线的参数方程为________． 解析：∵直线l 通过P (－4,0)，倾斜角α＝5π6，所以直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋t cos 5π6，y ＝0＋t sin 5π6，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4－32t ，y ＝t 2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4－32t ，y ＝12t6．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t(t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________. 解析：直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t的斜率为－32，∴－4k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－1，k ＝－6.答案：－67．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t sin θ，y ＝－2＋t cos θ(t 为参数)，其中角θ的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则直线l 的倾斜角是________．解析：将原参数方程改写成⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝t sin θ，y ＋2＝t cos θ，消去参数t ，得y ＋2＝(x －1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ，由θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π和倾斜角的范围可知直线l 的倾斜角为3π2－θ. 答案：3π2－θ8．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t (t 为参数)与圆x 2＋y 2＝1有两个交点A ，B ，若点P 的坐标为(2，－1)，则|PA |·|PB |＝________.解析：把直线的参数方程代入圆的方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12t 2＋⎝⎛⎭⎪⎫－1＋12t 2＝1， 即t 2－6t ＋8＝0，解得t 1＝2，t 2＝4，∴A (1,0)，B (0,1)．∴|PA |＝12＋12＝2，|PB |＝22＋22＝2 2.∴|PA |·|PB |＝2×22＝4.答案：4三、解答题9．已知P 为半圆C ：x 2＋y 2＝1(0≤y ≤1)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π3. (1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，求点M 的极坐标；(2)求直线AM 的参数方程．解：(1)由已知，M 点的极角为π3，且M 点的极径等于π3， 故点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π3. (2)M 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，3π6，A (1,0)，故直线AM 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－1t ，y ＝3π6t (t 为参数)． 10．已知直线l 经过点P (1,1)，倾斜角α＝π6. (1)写出直线l 的参数方程； (2)设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于点A 和点B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积． 解：(1)因为直线l 过P (1,1)，且倾斜角α＝π6，所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t (t 为参数)．(2)因为点A ，B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数分别为t 1，t 2.将直线l 的参数方程代入圆的方程x 2＋y 2＝4，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32t 2＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＝4， 整理，得t 2＋(3＋1)t －2＝0.因为t 1，t 2是方程t 2＋(3＋1)t －2＝0的根，所以t 1t 2＝－2.故|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝2.所以点P 到A ，B 两点的距离之积为2. 11．已知圆锥曲线⎩⎨⎧ x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ是参数)和定点A (0，3)，F 1，F 2是圆锥曲线的左、右焦点． (1)求经过点F 1垂直于直线AF 2的直线l 的参数方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF 2的极坐标方程．解：(1)圆锥曲线⎩⎨⎧ x ＝2cos θ，y ＝3sin θ化为普通方程是x 24＋y 23＝1，所以F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则直线AF 2的斜率k ＝0－31－0＝－3，于是经过点F 1垂直于直线AF 2的直线l 的斜率k ′＝33，直线l 的倾斜角是30°，所以直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋t cos30°，y ＝0＋t sin30°(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t －1，y ＝12t (t 为参数)． (2)法一：直线AF 2的斜率k ＝0－31－0＝－3，倾斜角是120°，设P (ρ，θ)是直线AF 2上任一点，则根据正弦定理得ρsin60°＝1－θ， 即ρsin(120°－θ)＝sin60°， 即ρsin θ＋3ρcos θ＝ 3. 法二：直线AF 2的直角坐标方程是y ＝－3(x －1)，将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得直线AF 2的极坐标方程：ρsin θ＝－3ρcos θ＋3，即ρsin θ＋3ρcos θ＝ 3.。

高中数学参数方程教案
教学目标：
1. 了解参数方程的概念及其运用；
2. 掌握参数方程在几何问题中的应用；
3. 能够独立解决使用参数方程求解问题。

教学重点：
1. 参数方程的定义和性质；
2. 参数方程在不同问题中的应用。

教学难点：
1. 参数方程的理解和运用；
2. 根据问题设置合理的参数方程。

教学过程：
一、导入（5分钟）
通过一个简单几何问题引导学生思考参数方程的概念和作用。

二、讲解（15分钟）
1. 参数方程的定义和性质；
2. 参数方程在直线、曲线、图形等几何问题中的应用。

三、示例讲解（20分钟）
老师通过几个具体的例题，详细讲解参数方程的求解步骤和方法。

四、练习（20分钟）
学生自主完成一些练习题，巩固参数方程的应用能力。

五、总结（10分钟）
总结参数方程的特点和运用，强化学生对参数方程的理解。

六、作业布置（5分钟）
布置相关的作业，让学生巩固课堂所学内容。

教学反思：
参数方程在数学中是一个重要的概念，可以帮助我们解决一些复杂的几何问题。

在教学中，需要引导学生从实际问题出发，理解参数方程的定义和运用，培养学生的分析和解决问题
的能力。

同时，教师需要及时总结和巩固课堂内容，帮助学生深化对参数方程的理解。

2021-2022年高中数学第二章参数方程2.2.2圆的参数方程学案新人教B版[对应学生用书P28]如图，质点以匀角速度ω做圆周运动，圆心在原点，半径为R ，记t 为时间，运动开始时t ＝0，质点位于点A 处，在时刻t ，质点位于点M (x ，y )处，θ＝ωt ，θ为Ox 轴正向到向径所成的角，则圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝R cos ωt ，y ＝R sin ωt (t ≥0)，也可写成⎩⎨⎧x ＝R cos θ，y ＝R sin θ(0≤θ≤2π)．若圆心在点M 0(x 0，y 0)处，半径为R ，则圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋R cos θ，y ＝y 0＋R sin θ(0≤θ≤2π)．[小问题·大思维]1．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝R cos θ，y ＝R sin θ(0≤θ≤2π)是以坐标原点为圆心，以R 为半径的圆的参数方程，能否直接由圆的普通方程转化得出？提示：以坐标原点为圆心，以R 为半径的圆的标准方程为x 2＋y 2＝R 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y R2＝1.令⎩⎪⎨⎪⎧x R ＝cos θ，y R ＝sin θ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝R cos θ，y ＝R sin θ.2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(0≤θ≤π)表示什么曲线？提示：表示圆心为(0,1)，半径为2的圆的上半部分即半圆(包括端点)．[对应学生用书P29]求圆的参数方程[例1] 点M 在圆(x －r )2＋y 2＝r 2(r >0)上，O 为原点，x 轴的正半轴绕原点旋转到OM 形成的角为φ.以φ为参数，求圆的参数方程．[思路点拨] 本题考查圆的参数方程的求法．解答此题需要借助图形分析圆上点M (x ，y )的坐标与φ之间的关系，然后写出参数方程．[精解详析] 如图，设圆心为O ′，连接O ′M .①当M 在x 轴上方时， ∠MO ′x ＝2φ.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos 2φ，y ＝r sin 2φ.②当M 在x 轴下方时， ∠MO ′x ＝2φ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos －2φ，y ＝－r sin－2φ.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos 2φ，y ＝r sin 2φ.③当M 在x 轴上时， 对应φ＝0或φ＝±π2.综上得圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos 2φ，y ＝r sin 2φ，－π2≤φ≤π2.(1)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程，它们表示的曲线却可以是相同的．另外在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围．(2)确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题如果把参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos φ，y ＝r sin φ，φ的意义就改变了．1．设y ＝tx (t 为参数)，则圆x 2＋y 2－4y ＝0的参数方程是________． 解析：把y ＝tx 代入x 2＋y 2－4y ＝0， 得x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t21＋t 2，∴参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t1＋t 2，y ＝4t21＋t 2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t21＋t2[例2] (福建高考)已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t(t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围． [思路点拨] (1)化参数方程为普通方程． (2)利用圆心到直线的距离d ≤4可求．[精解详析] (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.解决此类问题的关键是化圆的参数方程为普通方程后再求解．2. 设点M (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上移动，求点Q (x (x ＋y )，y (x ＋y ))的轨迹的参数方程． 解：设M (cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点Q (x 1，y 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝cos θcos θ＋sin θ，y 1＝sin θcos θ＋sin θ，0≤θ≤2π，即为所求的参数方程． [例3] 已知点P (x ，y )是圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ0≤θ≤2π上的动点．(1)求3x ＋y 的取值范围；(2)若x ＋y ＋a ≥0恒成立，求实数a 的取值范围．[思路点拨] 本题考查圆的参数方程的求法及不等式的恒成立问题．解决本题需要正确求出圆x 2＋y 2＝2y 的参数方程，然后利用参数方程求解．[精解详析] (1)∵P 在圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ上，∴3x ＋y ＝3cos θ＋sin θ＋1＝2sin(θ＋π3)＋1.∴－2＋1≤3x ＋y ≤2＋1，即3x ＋y 的取值范围为 [－1,3]．(2)x ＋y ＋a ＝cos θ＋sin θ＋1＋a ≥0，∴a ≥－(cos θ＋sin θ)－1.又－(cos θ＋sin θ)－1＝－2sin(θ＋π4)－1≤2－1，∴a ≥2－1，即a 的取值范围为[2－1，＋∞)．(1)解决此类问题的关键是根据圆的参数方程写出点的坐标，并正确确定参数的取值范围．(2)利用圆的参数方程求参数或代数式的取值范围的实质是利用正、余弦函数的有界性．3．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(0≤θ≤2π)转化为直角坐标方程是________________，该曲线上的点与定点A (－1，－1)的距离的最小值为________．解析：易得直角坐标方程是(x －1)2＋y 2＝1，所求距离的最小值应为圆心到点A 的距离减去半径，易求得为5－1.答案：(x －1)2＋y 2＝1 5－1[对应学生用书P30]一、选择题 1．圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ0≤θ≤2π.则圆的圆心坐标为( )A ．(0,2)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(2,0)解析：选D 圆的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4. 故圆心坐标为(2,0)．2．若直线2x －y －3＋c ＝0与曲线⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ(0≤θ≤2π)相切，则实数c等于( )A ．2或－8B ．6或－4C ．－2或8D ．4或－6解析：选C 将曲线⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ(0≤θ≤2π)化为普通方程为x 2＋y 2＝5，由直线2x －y －3＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝5相切，可知|－3＋c |5＝5，解得c ＝－2或8.3．P (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α0≤α≤2π上任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为( )A ．36B ．6C ．26D ．25解析：选A 设P (2＋cos α，sin α)，代入得 (2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2＝25＋sin 2α＋cos 2α－6cos α＋8sin α ＝26＋10sin(α－φ)(tan φ＝34，φ为锐角)．∴最大值为36.4．已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(0≤θ≤2π)和直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t ＋b (t 为参数，b为实数)，若曲线C 上恰有3个点到直线l 的距离等于1，则b ＝( )A. 2 B ．－ 2 C ．0D ．± 2解析：选D 将曲线C 和直线l 的参数方程分别化为普通方程为x 2＋y 2＝4和y ＝x ＋b ，依题意，若要使圆上有3个点到直线l 的距离为1，只要满足圆心到直线的距离为1即可，得到|b |2＝1，解得b ＝± 2.二、填空题5．把圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0化为参数方程为________．解析：圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的标准方程是(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，圆心为(－1,2)，半径为2，故参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ(0≤θ≤2π)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ(0≤θ≤2π)6．已知圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，则实数a 的取值范围为________．解析：将圆C 的方程代入直线方程，得 cos θ－1＋sin θ＋a ＝0，即a ＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.∵－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1，∴1－2≤a ≤1＋ 2.答案：[1－2，1＋2]7．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos θ，y ＝t sin θ(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝2sin α(0≤α≤2π)相切，则θ＝________.解析：直线为y ＝x tan θ，圆为(x －4)2＋y 2＝4，作出图形，相切时，易知倾斜角为π6或5π6. 答案：π6或5π68．已知动圆x 2＋y 2－2ax cos θ－2by sin θ＝0(a ，b 是正常数，且a ≠b ，θ为参数)，则圆心的轨迹的参数方程为________．解析：设P (x ，y )为动圆的圆心， 由x 2＋y 2－2ax cos θ－2by sin θ＝0， 得(x －a cos θ)2＋(y －b sin θ)2＝a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ.答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ三、解答题9．已知圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，写出它的参数方程． 解：x 2＋y 2＝2x 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1. 设x －1＝cos θ，y ＝sin θ，则参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(0≤θ≤2π)．10．已知实数x ，y 满足x 2＋(y －1)2＝1，求t ＝x ＋y 的最大值． 解：方程x 2＋(y －1)2＝1表示以(0,1)为圆心，以1为半径的圆．∴其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ.∴t ＝x ＋y ＝cos θ＋sin θ＋1 ＝2sin(θ＋π4)＋1.∴当sin(θ＋π4)＝1时，t max ＝2＋1.11．已知过点M (2，－1)的直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t 2，y ＝－1＋t2(t 为参数)，与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点， 求|AB |及|AM |·|BM |.解：l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2－22⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，y ＝－1＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2(t 为参数)．令t ′＝t2，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22t ′，y ＝－1＋22t ′(t ′是参数)．其中t ′是点M (2，－1)到直线l 上的一点P (x ，y )的有向线段的数量，代入圆的方程x 2＋y 2＝4，化简得t ′2－32t ′＋1＝0.∵Δ>0，可设t 1′、t 2′是方程的两根，由根与系数关系得t 1′＋t 2′＝32，t 1′t 2′＝1.由参数t ′的几何意义得|MA |＝|t 1′|，|MB |＝|t 2′|，∴|MA |·|MB |＝|t 1′·t 2′|＝1，|AB |＝|t 1′－t 2′|＝t 1′＋t 2′2－4t 1′t 2′＝14.9- '25452 636C 捬x28131 6DE3 淣38400 9600 阀37423 922F 鈯27322 6ABA 檺26876 68FC 棼 28493 6F4D 潍25005 61AD 憭31172 79C4 秄。

三直线的参数方程1．直线的参数方程（1)过点M0（x0,y0）,倾斜角为α的直线l的参数为错误!（t为参数)．（2）由α为直线的倾斜角知,α∈已知直线l的方程为3x－4y＋1＝0，点P（1，1)在直线l上，写出直线l的参数方程，并求点P到点M(5,4）的距离．由直线参数方程的概念，先求其斜率，进而由斜率求出倾斜角的正弦值、余弦值，从而得到直线参数方程．由直线方程3x－4y＋1＝0可知，直线的斜率为错误!,设直线的倾斜角为α，则tan α＝错误!，sin α＝错误!，cos α＝错误!.又点P(1，1)在直线l上，所以直线l的参数方程为错误!(t为参数）．因为3×5－4×4＋1＝0，所以点M在直线l上．由1＋错误!t＝5，得t＝5，即点P到点M的距离为5.理解并掌握直线参数方程的转化,弄清参数t的几何意义，即直线上动点M到定点M0的距离等于参数t的绝对值，是解决此类问题的关键．1．一直线过P0(3,4）,倾斜角α＝错误!,求此直线与直线3x＋2y＝6的交点M与P0之间的距离．解：由题意设直线的参数方程为错误!（t为参数），将它代入已知直线3x＋2y－6＝0，得3错误!＋2错误!＝6。

解得t＝－错误!，∴｜MP0｜＝|t|＝错误!。

2．已知直线l的参数方程为错误!求直线l的倾斜角．解:将参数方程化成另一种形式错误!若2t为一个参数,则错误!在α∈已知直线l经过点P(1，1），倾斜角α＝错误!，(1）写出直线l的参数方程；(2)设l与圆x2＋y2＝4相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．（1)由直线参数方程的概念可直接写出方程；(2)充分利用参数几何意义求解．(1）∵直线l过点P（1，1)，倾斜角为错误!，∴直线的参数方程为错误!即错误!(t为参数)为所求．(2）∵点A,B都在直线l上，所以可设它们对应的参数为t1和t2，则点A，B的坐标分别为A错误!，B错误!，将直线l的参数方程代入圆的方程x2＋y2＝4整理得到t2＋（错误!＋1)t－2＝0,①又∵t1和t2是方程①的解，从而t1t2＝－2。

直线的参数方程
【学习目标】
1.根据直线的条件引进适当的参数，能写出直线的参数方程。

2.体会参数的几何意义。

3.能用直线参数方程及参数的意义解决数学问题。

4.体会向量工具的便捷，以及不同的直线方程形式设法的优越性。

探究直线的参数方程
【情境链接】
我们在必修二中学习了直线方程的五种表示形式，请同学们复习回顾。

【研读课本】
1. 经过点00,0()M x y ，倾斜角为α（2πα≠
）的直线l 的方程
2.阅读课本，试着引入向量，得到直线的参数方程。

【问题探究】
直线的参数方程：
1. 写出直线的参数方程，直线的参数方程中哪些是变量，哪些是常量？
2. 参数t 的几何意义是什么？
3. 参数t 取值的大小决定其对应点的位置，该位置与 定点()000,M x y 的位置和参数 t 的正负、大小有什么关系？
练习：
000003sin 20cos 20.20.70.110.16010x t t y t A B C D x y ⎧=+⎨=⎩+-=1 直线（为参数）的倾斜角是（）
2 直线的一个参数方程是。

3已知直线：10x y +-=与抛物线2y x =相交于A,B 两点，求线段AB 的长和点M (1,2)-到A,B 两点的距离之积。

4由上题类比得一般地：直线⎩
⎨⎧+=+=ααsin cos t y y t x x 与曲线)(x f y =交于21,M M 两点，对应的参数分别为21,t t
（1） 曲线的弦21M M 的长是多少？
（2） 线段21M M 的中点M 对应的参数t 的值是多少？
2
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y +=于A,B 两点，如果点M 恰好为线段AB。

2．3.2 & 2.3.3 抛物线、双曲线的参数方程[对应学生用书P34][读教材·填要点]1．抛物线的参数方程抛物线y 2＝2px 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt .2．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec θ，y ＝b tan θ，参数θ的取值范围为0≤θ≤2π且θ≠π2，θ≠3π2.(2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2b2＝1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b tan θ，y ＝a sec θ,0≤θ≤2π.[小问题·大思维]1．在双曲线的参数方程中，θ的几何意义是什么？提示：参数θ是点M 所对应的圆的半径OA 的旋转角(称为点M 的离心角)，而不是OM 的旋转角．2．如何由双曲线的参数方程判断焦点的位置？提示：如果x 对应的参数形式是a sec θ，则焦点在x 轴上； 如果y 对应的参数形式是a sec θ，则焦点在y 轴上． 3．若抛物线的参数方程表示为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2ptan 2α，y ＝2ptan α，则参数α的几何意义是什么？提示：参数α表示抛物线上除顶点外的任意一点M ，以射线OM 为终边的角．[对应学生用书P35]抛物线参数方程的应用[例1] 连接原点O 和抛物线2y ＝x 2上的动点M ，延长OM 到P 点，使|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹方程，并说明它是何曲线．[思路点拨] 本题考查抛物线的参数方程的求法及其应用．解答本题需要先求出抛物线的参数方程并表示出M ，P 的坐标，然后借助中点坐标公式求解．[精解详析] 设M (x ，y )为抛物线上的动点，P (x 0，y 0)在抛物线的延长线上，且M 为线段OP 的中点，抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝2t 2.由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4t ，y 0＝4t 2.变形为y 0＝14x 20，即x 2＝4y .它表示的为抛物线．在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，常根据需要引入一个中间变量即参数(将x ，y 表示成关于参数的函数)，然后消去参数得普通方程．这种方法是参数法，而涉及曲线上的点的坐标时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标．1．已知曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α，y ＝cos 2αα∈[0,2π)，曲线D 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－ 2.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程； (2)曲线C 与曲线D 有无公共点？试说明理由． 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α，y ＝cos 2α，α∈[0,2π)得x 2＋y ＝1，x ∈[－1,1]． (2)由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－2得曲线D 的普通方程为x ＋y ＋2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0，x 2＋y ＝1得x 2－x －3＝0.解得x ＝1±132∉[－1,1]，故曲线C 与曲线D 无公共点.双曲线参数方程的应用[例2] 在双曲线x 2－y 2＝1上求一点M ，使M 到直线y ＝x 的距离为 2.[思路点拨] 本题考查双曲线的参数方程的应用．解答本题需要先求出双曲线的参数方程，设出M 点的坐标，建立方程求解．[精解详析] 设M 的坐标为(sec θ，tan θ)，由M 到直线x －y ＝0的距离为2，得|sec θ－tan θ|2＝ 2.整理得|1cos θ－sin θcos θ|＝2，|1－sin θ|＝2|cos θ|.平方得1－2sin θ＋sin 2θ＝4(1－sin 2θ)． 即5sin 2θ－2sin θ－3＝0， 解得sin θ＝1或sin θ＝－35.sin θ＝1时，cos θ＝0(舍去)． sin θ＝－35时，cos θ＝±45.∴M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫54，－34或⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，34.参数方程是用一个参数表示曲线上点的横纵坐标的，因而曲线的参数方程具有消元的作用，利用它可以简化某些问题的求解过程，特别是涉及最值、定值等问题的计算时，用参数方程可将代数问题转化为三角问题，然后利用三角知识处理．2．如图， 设P 为等轴双曲线x 2－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是两个焦点，证明|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.证明：∵P 在双曲线x 2－y 2＝1上， ∴设P (sec φ，tan φ)． ∵F 1(－2，0)，F 2(2，0)， ∴|PF 1|＝sec φ＋22＋tan 2φ＝2sec 2φ＋22sec φ＋1， |PF 2|＝sec φ－22＋tan 2φ＝2sec 2φ－22sec φ＋1. |PF 1|·|PF 2|＝2sec 2φ＋12－8sec 2φ＝2sec 2φ－1.∵|OP |2＝sec 2φ＋tan 2φ＝2sec 2φ－1， ∴|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.圆锥曲线的参数方程的综合应用[例3] 如果椭圆右焦点和右顶点分别是双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sec θ，y ＝3tan θ的右顶点和右焦点，求该椭圆上的点到双曲线渐近线的最大距离．[思路点拨] 本题考查椭圆及双曲线的参数方程．解答本题需要先将双曲线化为普通方程并求得渐近线方程，然后根据已知条件求出椭圆的参数方程求解即可．[精解详析] ∵x 216－y 29＝1，∴右焦点为(5,0)，右顶点为(4,0)．设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1，∴a ＝5，c ＝4，b ＝3.∴方程为x 225＋y 29＝1.设椭圆上一点P (5cos θ，3sin θ)， 双曲线一渐近线为3x －4y ＝0，∴点P 到直线的距离d ＝|3×5cos θ－12sin θ|5＝3|41sin θ－φ|5⎝ ⎛⎭⎪⎫tan φ＝54. ∴d max ＝3415.对于同一个方程，确定的参数不同， 所表示的曲线就不同．当题目条件中出现多个字母时，一定要注明什么是参数，什么是常量，这一点尤其重要．3．已知定点A (1,0)，F 是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋cos 2θ(0≤θ≤2π)的焦点，则|AF |＝________.解析：曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋cos 2θ(0≤θ≤2π)的普通方程为x 2＝2y ，所以焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，又A (1,0)，所以|AF |＝0－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－02＝52. 答案：52[对应学生用书P36]一、选择题1．下列在曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos θ＋sin θ(0≤θ≤2π)上的点是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，12C ．(2，3)D ．(1，3)解析：选B 转化为普通方程：y 2＝1＋x (|y |≤2)，把选项A ，B ，C ，D 代入验证得，选B.2．下列双曲线中，与双曲线⎩⎨⎧x ＝3sec θ，y ＝tan θ的离心率和渐近线都相同的是( )A.y 23－x 29＝1B.y 23－x 29＝－1C.y 23－x 2＝1 D.y 23－x 2＝－1 解析：选B 由x ＝3sec θ，得 x 2＝3cos 2θ＝3sin 2θ＋cos 2θcos 2θ＝3tan 2θ＋3 又∵y ＝tan θ，∴x 2＝3y 2＋3，即x 23－y 2＝1.经验证可知，选项B 合适．3．过点M (2,4)且与抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝4t 只有一个公共点的直线有( )A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝4t 得y 2＝8x .∴点M (2,4)在抛物线上．∴过点M (2,4)与抛物线只有一个公共点的直线有2条． 4．双曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sec φ，y ＝4tan φ(φ为参数)的一个焦点为( )A ．(3,0)B ．(4,0)C ．(5,0)D ．(0,5)解析：选 C 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sec φ，y ＝4tan φ得⎩⎪⎨⎪⎧x3＝sec φ，y 4＝tan φ，于是⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 42＝sec 2φ－tan 2φ＝1，即双曲线方程为x 29－y 216＝1，焦点F 为(±5,0)．故选C.二、填空题5．若点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t 上，则|PF |＝________.解析：抛物线为y 2＝4x ，准线为x ＝－1，|PF |等于点P (3，m )到准线x ＝－1的距离，即为4.答案：46．已知抛物线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝2t 设O 为坐标原点，点M 在C 上运动(点M 与O 不重合)，P (x ，y )是线段OM 的中点，则点P 的轨迹的普通方程为________．解析：抛物线的普通方程为y 2＝2x ，设点P (x ，y )，点M 为(x 1，y 1)(x 1≠0)，则x 1＝2x ，y 1＝2y .∵点M 在抛物线上，且点M 与O 不重合， ∴4y 2＝4x ⇒y 2＝x (x ≠0)． 答案：y 2＝x (x ≠0)7．曲线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3t －2，y ＝t 2－1与x 轴交点的坐标是________．解析：将曲线的参数方程化为普通方程：(x ＋2)2＝9(y ＋1)，令y ＝0，得x ＝1或x ＝－5.答案：(1,0)，(－5,0)8．若曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt ，y ＝2pt 2上异于原点的不同两点M 1，M 2所对应的参数分别是t 1，t 2，则弦M 1M 2所在直线的斜率是________．解析：设M 1(2pt 1,2pt 21)，M 2(2pt 2,2pt 22)， ∴k ＝2pt 21－2pt 222pt 1－2pt 2＝t 21－t 22t 1－t 2＝t 1＋t 2.答案：t 1＋t 2 三、解答题9．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，A ，B 是双曲线同支上相异两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点P (x 0,0)，求证：|x 0|>a 2＋b 2a.证明：设A ，B 坐标分别为(a sec α，b tan α)，(a sec β，b tan β)，则中点为M ⎝⎛⎭⎪⎫a 2sec α＋sec β，b 2(tan α＋tan β))，于是线段AB 的中垂线方程为y －b2(tan α＋tan β)＝－a sec α－sec βb tan α－tan β[x －a2(sec α＋sec β)]．将P (x 0,0)代入上式，得x 0＝a 2＋b 22a(sec α＋sec β)．∵A ，B 是双曲线同支上的不同两点， ∴|sec α＋sec β|>2，∴|x 0|>a 2＋b 2a.10．过点A (1,0)的直线l 与抛物线y 2＝8x 交于M ，N 两点，求线段MN 的中点的轨迹方程．解：设抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t .可设M (8t 21，8t 1)，N (8t 22，8t 2)， 则k MN ＝8t 2－8t 18t 22－8t 21＝1t 1＋t 2. 设MN 的中点为P (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 21＋8t 222，y ＝8t 1＋8t22.∴k AP ＝4t 1＋t 24t 21＋t 22－1. 由k MN ＝k AP 知t 1·t 2＝－18.又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 21＋t 22，y ＝4t 1＋t 2，故y 2＝16(t 21＋t 22＋2t 1t 2)＝16(x 4－14)＝4(x －1)．∴所求轨迹方程为y 2＝4(x －1)．11．已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (0≤t ≤2π)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(0≤θ≤2π)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线x －2y －7＝0的距离的最小值．解：(1)C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，C 2：x 264＋y 29＝1.C 1为圆心是(－4,3)，半径是1的圆．C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t ＝π2时，P (－4,4)，设Q (8cos θ，3sin θ)，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋4cos θ，2＋32sin θ. 点M 到直线的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|＝55|5cos(θ＋φ)－13|，其中φ为锐角，tan φ＝34. 故d 的最小值为855.。