第8章 创建空间曲线

空间曲线和空间曲面的基本概念和性质空间曲线和空间曲面是高等数学中重要的概念，它们在几何学和物理学等领域有着广泛的应用。

本文将介绍空间曲线和空间曲面的基本概念和性质，帮助读者更好地理解和运用这些概念。

一、空间曲线的基本概念空间曲线是指在三维空间中的一条曲线，可由参数方程、一般方程或向量方程来描述。

1. 参数方程空间曲线的参数方程给出了曲线上每一点的坐标与参数的关系。

一条参数方程为x = f(t)，y = g(t)，z = h(t)的曲线在三维空间中表示为(x, y, z) = (f(t), g(t), h(t))。

2. 一般方程空间曲线的一般方程为F(x, y, z) = 0。

例如，x^2 + y^2 + z^2 = 4表示一个球面。

3. 向量方程空间曲线的向量方程用向量表示曲线上任一点，用参数表示向量的方向。

例如，r(t) = ai + bj + ck表示一个向量r在三维空间中随参数t改变的轨迹。

二、空间曲线的性质空间曲线有着一些重要的性质，包括弧长、切向量和曲率等。

1. 曲线的弧长曲线的弧长是曲线上两点之间的路径长度。

利用参数方程，可以通过积分计算曲线的弧长。

2. 曲线的切向量曲线的切向量表示曲线在某点的切线方向，其方向是曲线在该点的切线方向，模为单位长度。

切向量与曲线的切线垂直。

3. 曲线的曲率曲线的曲率衡量了曲线的弯曲程度。

曲率的倒数称为曲率半径，表示曲线上某点处的曲线在该点的局部半径。

三、空间曲面的基本概念空间曲面是指在三维空间中的一个二维曲面，可由一般方程或参数方程来描述。

1. 参数方程空间曲面的参数方程给出了曲面上每一点的坐标与参数的关系。

一条参数方程为x = f(u, v)，y = g(u, v)，z = h(u, v)的曲面在三维空间中表示为(x, y, z) = (f(u, v), g(u, v), h(u, v))。

2. 一般方程空间曲面的一般方程为F(x, y, z) = 0。

UG NX 8.0第一章UG NX 8.0 概述1、导出STP文件2、图层操作3、坐标系统操作4、平面工具本课程重点掌握内容：本章主要介绍了UG8.0入门知识以及相关操作，通过本章学习，用户可以了解UG的相关功能，熟悉UG软件的安装，启动和退出等操作，并掌握鼠标对图形的操作、文件的管理等功能。

第二章视图控制与图形操作1、转层2、过滤选取3、列表拾取4、隐藏5、显示结点网格线6、通过直线镜像7、矩形阵列8、圆形阵列9、通过一平镜像10、距离移动操作11、角度移动操作12、点到点移动操作13、轴与矢量对齐14、Csys到csys移动操作15、动态移动操作16、增量移动操作17、三角尺本课程重点掌握内容：本章主要介绍了UG的对象选取方式、对象操作变换方法，以及对象移动的操作方式。

此外本章还介绍了布局、图层、坐标系以及表达式和常用工具等命令，这些命令都是辅助UG设计或辅助UG编程时使用频率较高的工具第三章草图功能1、绘制轮廓2、直线和园3、镜像曲线4、偏置曲线5、阵列曲线6、草图联系17、草图联系28、草图联系39、草图联系4本课程重点掌握内容：本章主要介绍了UG8.0草图功能。

UG可以使用强大的草图功能绘制任何截图曲线，并进行相关的参数化约束。

用户可以很方便的先绘制大概轮廓，在给以尺寸和几何约束条件，即可实现参数化控制草图的目的。

第四章曲线功能1、直线2、圆弧3、圆4、倒圆角5、直线6、圆弧|圆7、内切圆多边形8、外接圆多边形9、椭圆10、规律曲线11、偏置曲线12、桥接曲线13、投影曲线14、创建空间曲线本课程重点掌握内容：本章主要介绍了UG8.0曲线功能。

曲线是创建实体模型或曲面片体模型的基础，同事也是UG编程及其他模块的辅助工具。

曲线由直接绘制的曲线和来自曲线集曲线之分，掌握各种曲线的创建方式，合理地调取相关的曲线命令是非常重要的。

第五章基础特征设计1、布尔求和2、布尔求差3、布尔求交4、长方体5、圆柱体6、圆锥体7、球体8、拉伸9、回转10、沿导引线扫掠11、管道12、果冻杯本课程重点掌握内容：本章主要介绍了UG8.0的基础实体命令，包括布尔运算、基本的长方体、圆柱体、圆锥体、球体以及基于草图的实体特征解基本创建命令。

空间曲线生成方法空间曲线的生成方法多种多样，可以根据不同的应用需求和设计意图选择适当的方法。

以下是一些常见的空间曲线生成方法：1. 参数化方法：通过定义一个或多个参数方程来描述曲线的形状和位置。

例如，可以使用三维参数方程来定义曲线上的点，通过改变参数的值来调整曲线的形状。

这种方法在计算机辅助设计（CAD）中非常常见，可以用来创建复杂的几何形状。

2. 插值方法：给定一系列空间中的点，通过某种数学方法构造一条曲线，使其通过这些点或者在这些点的附近。

常用的插值方法有贝塞尔曲线、B样条曲线等。

这些方法可以生成平滑的曲线，并且可以通过控制点来调整曲线的形状。

3. 逼近方法：与插值不同，逼近是找到一个曲线，使其在一定的意义下最接近给定的一组点，但不一定经过这些点。

例如，最小二乘法可以用来找到一条最佳拟合曲线，使得曲线与给定点集的偏差最小。

4. 隐式方法：通过定义一个隐式方程 （如球面方程、椭球方程等），在满足该方程的所有点构成的集合中选取一部分作为曲线。

隐式曲线通常用于表示复杂或者不规则的形状。

5. 基于物理模型的方法：根据自然界中的物理现象 （如流体流动、电磁场等）来模拟曲线的形状。

这种方法通常用于模拟自然界中的现象，或者在动画和视觉效果中创建逼真的运动轨迹。

6. 交互式方法：通过用户与计算机的交互来直接绘制或修改曲线。

这种方法通常用于艺术设计和游戏开发中，允许用户直观地控制曲线的形状。

7. 随机生成方法：使用随机过程或算法来生成曲线，这种方法可以用于创建具有随机性或独特性的曲线形状，常用于纹理生成、地形建模等领域。

每种方法都有其特点和适用场景，选择合适的曲线生成方法可以大大提高设计的效率和质量。

§8.4 空间曲线8.4.1空间曲线及其方程1．空间曲线的参数方程在第8.2节中我们学习过的直线是一种最简单的空间曲线，直线可以用参数方程表示．如果把参数t 看作时间，那么直线可以看作空间中作匀速运动的质点的轨迹．一般地，空间运动的质点的轨迹对应一条空间曲线．同样，空间曲线可以由参数方程来刻画．对于空间曲线C 来说，曲线C 上动点M 的坐标,,x y z 也可以用一个参数t 的函数来表达为()()()x x t y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩ （8.4.1） 反之，对于方程组(8.4.1)，当给定t 的一个值1t 时，就得到曲线C 上的对应的一个点()1111(),(),()M x t y t z t ．当t 在某一个区间内变动时，便可得到曲线C 上所有的点．我们称方程组(8.4.1)为空间曲线C 的参数方程，并称t 为参数．例 1 设空间一动点M ，在圆柱面222x y R +=上以等角速度ω绕z 轴旋转，同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正向均匀地上升．动点M 的轨迹称为圆柱螺旋线．试求其参数方程．解 取时间t 为参数．当0t =时（运动开始时刻），动点M 位于点(),0,0A R ，经过时间t 后，动点位于点(),,M x y z ，如图8.4.1所示．点M 在xOy 平面上的投影点为(),,0N x y ．因为动点在圆柱面上以等角速度ω绕z 轴旋转，所以经过时间t 后旋转的角度为AON t ω∠=．于是有cos cos x ON t R t ωω==， sin sin y ON t R t ωω==．由于动点同时又以匀线速度v 沿平行于z 轴的正向上升，因此，z NM vt ==．这样就得圆柱螺旋线的参数方程为cos sin x R ty R t z vt ωω=⎧⎪=⎨⎪=⎩（8.4.2）图8.4.1 圆柱螺旋线也可选用其它参数．例如，令t ωθ=，则圆柱螺旋线的参数方程 (8.4.2)可以写成以θ为参数的方程cos sin x R y R z b θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩其中，vb ω=为常数．圆柱螺旋线是实际中常用的曲线．例如，平头螺丝钉的外缘曲线就是圆柱螺旋线．当拧紧螺丝时，曲线上任何一点M ，一方面绕螺丝钉轴旋转，另一方面又沿平行于轴线的方向移动．当点M 转过一周时，它上升的高度为2h b π=．称h 为螺距．2．空间曲线的一般方程我们知道，直线可以看作是两平面的交线．同样，任何空间曲线总可以看成是某两个曲面的交线．设两曲面的方程为(),,0F x y z = 及 (),,0G x y z =，它们的交线为曲线C ，因为曲线C 上任何点(),,M x y z 都同时在这两个曲面上，所以曲线C 上任何点M 的坐标,,x y z 都满足这两个方程．反之，同时满足这两个方程的,,x y z 所对应的点M 必定在它们的交线C 上．因此，把这两个曲面的方程联立所得的方程组()(),,0,,0F x y zG x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩ （8.4.3） 称为空间曲线C 的方程．这种形式的空间曲线方程称为空间曲线的一般方程．例2 方程组222222220,0x y z Rz x y z R ⎧++−=⎪⎨++−=⎪⎩ 表示怎样的曲线？解 方程组中的第一个方程表示球心在()0,0,R ，半径为R 的球面；第二个方程表示球心在原点，半径为R 的球面．因此，方程组所表示的是两球面的交线，它是一个圆，如图8.4.2所示．这个圆还可以用方程组222212x y z R z R⎧++=⎪⎨=⎪⎩来表示，也可用方程组2223412x y R z R ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （8.4.4） 来表示．前一个方程组是由球心在原点，半径为R 的球面与平面12z R =的交线来表示圆．后一个方程组是由母线平行于z 轴的圆柱面22234x y R +=与平面12z R =的交线来表示圆．这三个方程组是等价的，因为它们表示同一个圆．由此可知，表示一条空间曲线的方程组不是唯一的．另外，由（8.4.4）式容易得到该曲线的参数方程为1cos ,sin ,222x R y R z R θθ===． 例3 方程组22z x y Rx ⎧=⎪⎨+−=⎪⎩ （8.4.5） 表示什么样的曲线？解 方程组中的第一个方程表示球心在()0,0,R ，半径为R 的上半球面；第二个方程表示准线为xOy 平面上的圆220x y Rx +−=，母线平行于z 轴的圆柱面．因此，方程组表示上半球面与圆柱面的交线，如图8.4.3所示．称该空间曲线为维维安尼曲线．图8.4.3 维维安尼曲线图8.4.2 两球面的交线8.4.2空间曲线在坐标平面上的投影在研究多元函数的积分问题时，我们通常需要知道空间曲线在平面上，特别是坐标面上的投影曲线的方程和形状．下面分别就空间曲线方程为参数形式以及一般形式两种情况进行讨论．设空间曲线C 的参数方程为C ：()()(),,x x t y y t z z t === ()01[,]t t t ∈． （8.4.6）在建立坐标系Oxyz 时，我们就知道了空间一点(),,P x y z 在xOy 、yOz 和xOz 平面中的投影分别为(),,0x y 、()0,,y z 和(),0,x z ．因此，当空间曲线C 由参数方程（8.4.6）表示时，很容易求得曲线在各坐标面上的投影曲线．例如，曲线C 在xOy 平面上的投影曲线为xy C ：()(),,0x x t y y t z === ()01[,]t t t ∈．读者亦不难自己得出曲线C 在其余两坐标平面上的投影曲线的参数表示．例4 求例1中的圆柱螺旋线在三个坐标面上的投影曲线．解 根据上述点在坐标面上投影的关系易知，圆柱螺旋线在xoy 面上的投影曲线的参数方程为cos ,sin ,0x R t y R t z ωω===，即，222x y R +=，0z =，这是xoy 平面上的一个圆．同理，圆柱螺旋线在yoz 平上的投影曲线的参数方程为0,sin ,x y R t z vt ω===，这是yoz 平面上的一条正弦曲线，方程为siny R z vω=，0x =；圆柱螺旋线在xoz 平面上的投影曲线的参数方程为cos ,0,x R t y z vt ω===，这是xoz 平上的一条余弦曲线，方程为cos,0x R z y vω==．接下来，考虑空间曲线由一般方程给出时，它在坐标面上的投影曲线． 设空间曲线C 的一般方程为()()1200F x,y,z ,F x,y,z =⎧⎪⎨=⎪⎩ （8.4.7） 由方程组（8.4.7）消去z ，得方程()0F x,y =． （8.4.8）因为，若x,y,z 满足方程组（8.4.7），则其中的x,y 也满足方程（8.4.8），因此，曲线C 上所有的点都在由方程（8.4.8）所确定的曲面上．由8.3节知道，方程（8.4.8）表示一个母线平行于z 轴的柱面．该曲面包含曲线C ．换言之，柱面的任意一条母线必定过曲线C 上的某一点．这种以空间曲线C 为准线，母线平行于z 轴的柱面称为空间曲线C 关于xOy 平面的投影柱面．投影柱面与xOy 平面的交线Γ为空间曲线C 在xOy 平面上的投影曲线，其方程为(),0,:0.F x y z =⎧⎪Γ⎨=⎪⎩如果把投影柱面理解为经过空间曲线C 且垂直射向xOy 平面的“光柱”，那么，投影曲线Γ就是曲线C 在该光柱下的影子．同理，由方程组（8.4.7）消去x 或y 后，就得到空间曲线C 分别关于yOz 平面及zOx 平面的投影柱面方程分别为()0G y,z = 或 ()0H x,z =，曲线C 在yOz 平面上、zOx 平面上的投影曲线方程为()00G y,z ,x =⎧⎪⎨=⎪⎩ 或 ()00H x,z ,y .=⎧⎪⎨=⎪⎩ 例5 求空间曲线C ：()()2222221111x y z ,x y z ⎧++=⎪⎨+−+−=⎪⎩在xOy 平面上的投影曲线方程． 解 两方程相减得1y z +=，将1z y =−代入曲线C 的第一个方程，得其在xOy 平面上的投影柱面的方程22220x y y +−=，投影曲线为222200x y y ,z .⎧+−=⎨=⎩图8.4.4 给出了空间曲线C 及其投影的图形．例6 求例3中的维维安尼曲线在各坐标面上的投影曲线，并写出维维安尼曲线的参数方程．解 将曲线C 的方程220z x y Rx ⎧=⎪⎨+−=⎪⎩化为222222,(0).0x y z R z x y Rx ⎧++=⎪≥⎨+−=⎪⎩ （8.4.9） 由于（8.4.9）式的第二个方程不含变量z ，所以曲线C 关于xOy 平面的投影柱面的方程为220x y Rx +−=，曲线C 在xOy 平面上的投影曲线为220,0.x y Rx z ⎧+−=⎨=⎩ （8.4.10）由方程组（8.4.9）消去x ，得曲线C 关于yOz 平面的投影柱面方程为22422224R R R y z ⎛⎞+−=⎜⎟⎝⎠，曲线C 在yOz 平面上的投影曲线方程为 224222,240.R R R y z x ⎧⎛⎞+−=⎪⎜⎟⎨⎝⎠⎪=⎩ 由方程组（8.4.9）消去y ，得曲线C 关于zOx 平面的投影柱面方程为22z Rx R −=，曲线C 在zOx 平面上的投影曲线方程为22,0.z Rx R z ⎧−=⎨=⎩由（8.4.10）式知，曲线C 在xOy 平面上的投影曲线是一个圆，其方程为22222R R x y ⎛⎞⎛⎞−+=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠，写成参数方程为cos ,sin 222R R Rx y θθ=+= （02θπ≤≤）． 代入（8.4.9）式的第一个方程得 sin2z R θ=，所以，曲线C 的参数方程为cos ,sin ,sin .22222R R R R x y z θθθ=+== 图8.4.5给出了维维安尼曲线在各坐标面上的投影曲线以及其参数方程中参数的几何意义．例7 画出由曲面1S ：2220x y z +−=与曲面2S ：2220x y x +−=以及xOy 平面所围成的立体Ω在xOy 平面上的投影区域．解 曲面1S 是旋转抛物面，曲面2S 是母线平行于z 轴方向的圆柱面，它们的交线C 的方程为222220,20.x y z x y x ⎧+−=⎪⎨+−=⎪⎩ 曲线C 在xOy 平面上的投影曲线是一个圆，其方程为2220,0.x y x z ⎧+−=⎨=⎩从立体Ω的图形（如图8.4.6）看出，立体在xOy 平面上的投影区域就是曲线C 在xOy 平面上的投影曲线所围平面区域D ，用不等式表示为2220x y x +−≤，即 22(1)1x y −+≤．例8 作出由不等式组220,0,0,1,1x y z x z y z ≥≥≥+≤+≤图8.4.4 例5中的曲线C 为阴影部分的边界线，它在xOy 面上的投影曲线为椭圆图8.4.5 维维安尼曲线及其在三个坐标面上的投影图8.4.6 例7中立体及其投影图形图8.4.7 例8中空间立体Ω的图形所确定的立体Ω的图形，并画出它在各坐标面上的投影区域．解 立体Ω由它的五个边界曲面围成，这五个边界面分别为220,0,0,1,1x y z x z y z ===+=+=，把它们及其交线的图形画出来，就得到立体Ω的图形（如图8.4.7），并且，直观上容易得到立体Ω在各坐标面上的投影区域，如图8.4.8所示．8.4.2用截痕法研究曲面在第8.3节，我们介绍了利用伸缩变换将许多二次曲面转换为诸如旋转曲面、圆锥面等熟悉的曲面来想象这些一般二次曲面的图形．我们也发现了这一方法的局限性，如马鞍面图形特征就不能通过这一方法得到．这里，我们将通过例子介绍能较好地考察曲面特征的截痕法．所谓截痕法是用坐标平面及与坐标平面平行的平面来截曲面，考察其交线（截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌．例9 试用截痕法考察椭球面的图形特征． 解 椭球面的方程为2222221x y z a b c++= （8.4.11）由方程（8.4.11）知2222221,1,1x y z a b c≤≤≤， 即||,||,||x a y b z c ≤≤≤．这说明椭球面是在以平面,,x a y b z c =±=±=±所围成的长方体内．并且，在方程（8.4.11）中，如果用x −代替的x ，或者用y −代替的y ，或者用z −代替的z ，方程的形式都不变，所以，椭球关于三个坐标平面、三个坐标轴以及坐标原点皆对称．现在用截痕法来研究椭球面的形状．选用三个坐标平面来截它，截痕(交线)分别为22221,0,x y ab z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩22221,0,z y cb x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩ 22221,0.x z a cy ⎧+=⎪⎨⎪=⎩这三个截痕都是椭圆．图8.4.8 空间立体Ω及其在三个坐标面上的投影区域再用平行于xoy 平面的平面z h =(||h c ≤)来截它，所得截痕为()()22222222221,x y a b c h c h cc z h⎧+=⎪⎪−−⎨⎪⎪=⎩ 这是在平面z h =上的一个椭圆，其长、h 变动时，这些椭圆的中心都在z 轴上．当h 从0逐渐增大到c 时，这些椭圆的半轴逐渐变小，最后缩成一点()0,0,c 或()0,0,c −．用平面y k =()()||,||k b x m m a ≤=≤或去截椭球面时，可得到与上述完全类似的结果． 综合上述讨论，可知椭球面（8.4.11）的形状如图8.4.8所示． 特别地，若a b =时，方程（8.4.11）变为222221x y z a c++=． 这是旋转轴为z 轴的旋转椭球面．它与一般椭球面不同之处在于，用垂直于z 轴的平面z h =()||h c ≤去截旋转椭球面时截痕为圆心在z 轴上的圆()222222,a x y c h cz h ⎧+=−⎪⎨⎪=⎩． 例10试用截痕法考察单叶双曲面的图形特征． 解 单叶双曲面的方程为2222221x y z a b c+−=． （8.4.12） 因为方程（8.4.12）只含,,x y z 的平方项，故曲面关于三个坐标平面、三个坐标轴以及坐标原点皆对称．现在用截痕法来研究曲面的形状．先用xOy 平面来截它，截痕为222210x y a b z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，这是在0z =平面上中心在原点、半轴为a 和b 的椭圆．用平行于xOy 平面的平面z h =来截图8.4.8 椭球面的截痕它得截痕为()()22222222221x y a b c h c h cc z h⎧+=⎪⎪++⎨⎪⎪=⎩ 这是在z h =平面上中心在z和||h 从0逐渐增大时， 这些椭圆的半轴也逐渐增大．用zOx 平面来截曲面（8.4.12），得截痕为双曲线22221,0.x z a c y ⎧−=⎪⎨⎪=⎩它的实轴为x 轴，虚轴为z 轴，两半轴为a 和c ．用平行于zOx 平面的平面y k =()k b ≠±来截时得截痕也是双曲线()()22222222221x z a cb k b k bb y k⎧−=⎪⎪−−⎨⎪⎪=⎩ 当22k b <，且实轴平行于x 轴，虚轴平行于z 轴．当22k b >时，，且实轴平行于z 轴，虚轴平行于x 轴．特别，用y b =±平面来截时得截痕为在平面y b =±上相交于点B ()0,,0b ±图8.4.9 用截痕法研究单叶双曲面(a ) 用平行于xOy 的平面截单叶双曲面的截痕为椭圆(b ) 用平行于xOz 的平面截单叶双曲面的截痕为双曲线的一对直线x z a c =和x z a c=−． 用yOz 平面及与其平行的平面来截曲面（8.4.12）时也得截痕为双曲线．特别地，用平面x a =±来截时，所得截痕为在平面x a =±上相交于点A (),0,0a ±的一对直线y zb c=和y zb c=−． 综合上述讨论，可知单叶双曲面（8.4.12）的形状如图8.4.9所示． 若a b =方程（8.4.12）变为222221x y z a c+−=．这是旋转单叶双曲面．它与单叶双曲面的不同在于，用平行于xOy 平面的平面来截它所得截痕都是圆．例11试用截痕法考察双曲抛物面的图形特征． 解 双曲抛物面的方程为2222x y z a b−+= （8.4.13） 现在用截痕法来研究曲面的形状．用xOy 平面来截曲面时所得截痕是一对相交于坐标原点的直线0000x y x ya b a bz z ⎧⎧+=−=⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎩⎩ 与 用平面z h =来截曲面所得截痕为双曲线22221,x y a h b h z h ⎧−+=⎪⎨⎪=⎩当0h >时， 它的实轴平行于y 轴，虚轴平行于x 轴．当0h <时， 它的实轴平行于x 轴，虚轴平行于y 轴．用xOz 平面来截曲面得截痕为抛物线22,0.x a z y ⎧=−⎨=⎩ 它的对称轴为z 轴，顶点在原点，开口朝z 轴之负方向．用平面y k =来截曲面所得截痕也为抛物线2222,.k x a z b y k ⎧⎛⎞=−−⎪⎜⎟⎨⎝⎠⎪=⎩它的对称轴平行于z 轴，顶点在220,,k k b ⎛⎞⎜⎟⎝⎠，开口朝z 轴的负方向．用yoz 平面及平面x m = 来截曲面所得截痕也都是抛物线，这些抛物线的轴都平行于z 轴．综合上述，双曲抛物面（8.4.13）的形状如图8.4.10所示．习题8.4（A）基础题1．指出下列方程所表示的曲线．(1) ()()2221425,10.x y z y ⎧−+++=⎪⎨+=⎪⎩ (2) 221,9420.y z x ⎧−=⎪⎨⎪−=⎩(3) 22,3320.x y z x y ⎧=+⎪⎨⎪−=⎩(4)22350,0.x y xz z ⎧−+=⎨=⎩ 2．点M 在xOy 平面内，M 到原点O 的距离等于它到点()531A ,,−的距离，求M 的轨迹．3．求曲线29622493630,230y xy xz x y z x y z ⎧−+−+−+−=⎨−+=⎩关于xOy 平面的投影柱面．图8.4.10 用截痕法研究双曲抛物面(a ) 用平行于xoy 平面的平面截双曲抛物面的截痕(b ) 用平行于xoz 平面的平面截双曲抛物面的截痕(c ) 用平行于yoz 平面的平面截双曲抛物面的截痕4．求椭球面2221164x y z ++=与平面410x z +−=的交线在坐标平面上的投影．5．写出空间曲线2224,:x y z y x ⎧++=Γ⎨=⎩的参数方程，并求其在各坐标面上的投影． 6．画出下列不等式所确定的空间立体的图形． （1）22x y z +≤≤（2z ≤≤；（3）220,1,2z x y x z ≥+≤+≤； （4）2224x y z x +≤≤−．（B）综合题7．将曲线方程222224,:3812y z x z y z x z⎧++=⎪Γ⎨+−=⎪⎩换成母线分别平行于x 轴与y 轴的柱面交线的方程来表示．8．设直线L 在yOz 平面以及xOz 平面上的投影曲线的方程分别为231,y z x −=⎧⎨=⎩和2,0,x z y +=⎧⎨=⎩求直线L 在xOy 平面上的投影曲线的方程． 9．试确定λ为何值时，平面10x z λ+−=与单叶双曲面2221x y z +−=的相交成： （1）椭圆； （2）双曲线．10．（1）证明：空间曲线:(),(),()x t y t z t ϕφψΓ===绕z 轴旋转一周所得旋转曲面的参数方程为x θ=，y θ=，()z t ψ=，(02)θπ≤≤；（2）求直线:1,,2L x y t z t ===绕z 轴旋转一周所得旋转曲面方程，并指出其图形为何曲面？（3）求直线:01x y b zL a −==绕z 轴旋转一周所成曲面的方程，并讨论常数,a b 的不同值所对应的图形为何曲面？（C）应用题11．设有一束平行于直线L ：x y z ==−的平行光束照射不透明球面S ：2222x y z z ++=，求球面在xOy 平面上留下的阴影部分的边界线方程．12．一条过原点、且与z 轴正向夹角为α的直线L 以固定的角速度ω绕z 轴匀速旋转，同时动点M 从原点出发以速度v 沿直线L 运动．求下列两种情况下，动点M 的轨迹．（1）v 为常数； （2）v 与OM 成比例．13．工业上一个带圆锥形进料口的圆柱形管（如图）是一个圆锥面224()z x y =+与229x z +=截交而成，试写出截交曲线的参数方程．（D）实验题14．由yOz 平面上的圆C ：222(),0y a z b x ⎧−+=⎨=⎩（0b a <<）绕z 轴旋转所得曲面为环面．（1）写出环面的直角坐标方程； （2）写出环面的参数方程；（3）利用Mathematica 软件参数曲面作图语句画出环面的图形； （4）试用截痕法研究环面的图形特点．15．利用Mathematica 软件参数曲面作图语句画出两圆柱面垂直相贯的图形，并适当调整圆柱面的长度以方便观察其交线．。