高三数学-2014-2015学年江苏省南通一中高三(上)段考数学试卷

江苏省南通第一中学2015—2016学年度第一学期第二次阶段考试卷高三数学注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1． 本试卷共4页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题），满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将答题卡交回。

2． 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上。

3． 作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1．已知集合{}05A x x =<<，{}24B x x =≥，则A B =I 2．已知复数z 满足()3425i z -=，则z =3.若条件:14p x +≤，条件:23q x <<，则q ⌝是p ⌝的 条件 (填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”)．4.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1234,2,a a a 成等差数列，若11a =，则4S =5.已知正四棱锥的底面边长是3，高为2，则这个正四棱锥的侧面积 6.设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()()21f x x x =-，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭7．从抛物线24x y =上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且PM =5， 设抛物线的焦点为F ，则三角形MPF 的面积为8.过点A （-1，10）且被圆2242200x y x y +---=截得的弦长为8的直线方程是9．如图,21,F F 是椭圆221:1124x y C +=与双曲线2C 的公共焦点,B A ,分别是1C ,2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形,则2C 的离心率是10．如图，正方形ABCD 的边长为2，,M N 分别为边,BC CD 上的动点，且45MAN ∠=o，则AM AN ⋅u u u u r u u u r 的最小值为11已知函数11 6() 1x x f x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，1lnx ，，方程()f x =ax 恰有两个不同的实根，则实数a 的范围12. 已知直线1+-=x y 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 相交于B A ,两点，且OB OA ⊥(O为坐标原点)，若椭圆的离心率]22,21[∈e ，则a 的最大值为_________.13.已知0,0x y >>，且1232xy x y++=，则2x y +的最小值为_________.14若关于x 的不等式(1)(lnx ax)0(0,)ax -+≥+∞在上恒成立，则实数a 的范围二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15已知函数233()sin 2cos ()24f x x x x R =-+∈ （1）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈125,12ππx 时，求函数)(x f 的最小值和最大值； （2）若0x x =()0π02x ≤≤为()f x 的一个零点，求0sin 2x 的值．16如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，AD DC CB a ===，o60ABC ∠=．平面ACEF ⊥平面ABCD ，四边形ACEF 是矩形，点M 在线段EF 上． （1）求证：BC ⊥平面ACEF ；（2）当FM 为何值时，//AM 平面BDE ？证明你的结论．M BACDE（第16题图）F17 已知海岛 B 在海岛 A 的北偏东45o的方向上，两岛相距 10 海里．小船 P 从海岛 B 以 2 海里/小时的速度沿直线向海岛 A 移动，同时小船 Q 从海岛 A 出发，沿北偏西15o方向以4海里/小时的速度移动．（1）求小船航行过程中，两船相距的最近距离；（2）求小船 P 处于小船 Q 的正东方向时，小船航行的时间．18如图，已知00(,)M x y 是椭圆C :13622=+y x 上的任一点，从原点O 向圆M ：()()22002x x y y -+-=作两条切线，分别交椭圆于点P 、Q .（1）若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为1k ，2k ，求证：12k k 为定值； （2）试问22OP OQ +是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．19．已知函数f （x ）=ln （x+1）+ax 2﹣x ，a ∈R ．（Ⅰ）当14a =时，求函数y=f （x ）的极值； （Ⅱ）若对任意实数b ∈（1，2），当x ∈（﹣1，b]时，函数f （x ）的最大值为f （b ），求a 的取值范围．20.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n s ，且a 1＝2，a n a n +1＝2(S n ＋1)。

2014-2015学年江苏省南通市启东中学高三（上）第一次月考数学试卷（文科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．函数y=的定义域是．2．设函数f（x）=log2x，则“a＞b”是“f（a）＞f（b）”的条件．3．若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（）+f（）= ．4．为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象．5．已知集合A={（0，1），（1，1），（﹣1，2）}，B={（x，y）|x+y﹣1=0，x，y∈Z}，则A∩B= ．6．函数y=|2x﹣1|在区间（k﹣1，k+1）内不单调，则k的取值范围是．7．若函数f（x）=log a（x﹣1）+4（a＞0且a≠1）的图象过定点（m，n），则log m n= ．8．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.2]=1，[﹣1.5]=﹣2．若x0是函数f（x）=lnx﹣的零点，则[x0]= ．9．已知f（x）=3sin（2x﹣），若存在α∈（0，π），使f（α+x）=f（α﹣x）对一切实数x恒成立，则α= ．10．已知函数f（x）=ax3+bsinx+4（a，b∈R），f（lg（log210））=5，则f（lg（lg2））= ．11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．若C=，则= ．12．设函数f（x）=1﹣xsinx在x=x0处取极值，则（1+x02）（1+cos2x0）= ．13．已知函数f（x）=ax2+bx+与直线y=x相切于点A（1，1），若对任意x∈[1，9]，不等式f（x﹣t）≤x恒成立，则所有满足条件的实数t的值为．14．在△ABC中，若的最大值为．二、简答题：（本大题共6小题，共90分）15．已知函数f（x）=cos2x，g（x）=1+sin2x．（1）若点A（α，y）（α∈[0，]）为函数f（x）与g（x）的图象的公共点，试求实数α的值；（2）求函数h（x）=f（x）+g（x），x∈[0，]的值域．16．在△ABC中，内角A， B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos2A﹣cos2B=sinAcosA ﹣sinBcosB．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若sinA=，求△ABC的面积．17．已知全集U=R，非空集合A={x|＜0}，B={x|＜0}．（Ⅰ）当a=时，求（∁U B∩A）；（Ⅱ）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．18．我国西部某省4A级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后，任何一个月内（每月按30天计算）每天的旅游人数f（x）与第x天近似地满足（千人），且参观民俗文化村的游客人均消费g（x）近似地满足g（x）=143﹣|x﹣22|（元）．（1）求该村的第x天的旅游收入p（x）（单位千元，1≤x≤30，x∈N*）的函数关系；（2）若以最低日收入的20%作为每一天的计量依据，并以纯收入的5%的税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？19．已知函数f（x）=π（x﹣cosx）﹣2sinx﹣2，g（x）=（x﹣π）+﹣1．证明：（Ⅰ）存在唯一x0∈（0，），使f（x0）=0；（Ⅱ）存在唯一x1∈（，π），使g（x1）=0，且对（Ⅰ）中的x0，有x0+x1＞π．20．已知函数，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x﹣12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2﹣x）=f′（x）．（1）求f（x）；（2）设，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1﹣t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．2014-2015学年江苏省南通市启东中学高三（上）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．函数y=的定义域是{x|x＞2且x≠3} ．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：由分式的分母不等于0，对数的真数大于0联立不等式组求解x的取值集合得答案．解答：解：由，解得：x＞2且x≠3．∴函数y=的定义域是{x|x＞2且x≠3}．故答案为：{x|x＞2且x≠3}．点评：本题考查了函数的定义域及其求法，是基础的计算题．2．设函数f（x）=log2x，则“a＞b”是“f（a）＞f（b）”的必要非充分条件．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据函数f（x）=log2x，在x∈（0，+∞）上单调递增．可得“a＞b”⇐“f（a）＞f（b）”，反之不成立．解答：解：∵函数f（x）=log2x，在x∈（0，+∞）上单调递增．∴“a＞b”⇐“f（a）＞f（b）”，而反之不成立．∴“a＞b”是“f（a）＞f（b）”的必要非充分条件．故答案为：必要非充分．点评：本题考查了对数函数的单调性、简易逻辑的判定方法，属于基础题．3．若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（）+f（）= ．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：通过函数的奇偶性以及函数的周期性，化简所求表达式，通过分段函数求解即可．解答：解：函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（）+f（）=f（8﹣）+f（8﹣）=f（﹣）+f（﹣）=﹣f（）﹣f（）===．故答案为：．点评：本题考查函数的值的求法，分段函数的应用，考查计算能力．4．为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象向右平移个单位．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式，然后利用平移原则判断选项即可．解答：解：函数y=sin3x+cos3x=cos（3x﹣），故只需将函数y=cos3x的图象向右平移个单位，得到y=cos[3（x﹣）]=cos（3x﹣）的图象．故答案为：向右平移个单位．点评：本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的平移变换的应用，基本知识的考查．5．已知集合A={（0，1），（1，1），（﹣1，2）}，B={（x，y）|x+y﹣1=0，x，y∈Z}，则A∩B= {（0，1），（﹣1，2）} ．考点：交集及其运算．专题：综合题．分析： A、B都表示点集，A∩B即是由A中在直线x+y﹣1=0上的所有点组成的集合，代入验证即可．解答：解：把集合A中的点的坐标（0，1）代入集合B中的x+y﹣1=0+1﹣1=0，所以（0，1）在直线x+y ﹣1=0上；把（1，1）代入直线方程得：1+1﹣1=1≠0，所以（1，1）不在直线x+y﹣1=0上；把（﹣1，2）代入直线方程得：﹣1+2﹣1=0，所以（﹣1，2）在直线x+y﹣1=0上．则A∩B={（0，1），（﹣1，2）}．故答案为：{（0，1），（﹣1，2）}点评：此题属于以点集为平台，考查了交集的运算，是一道基础题．学生做题时应注意点集的正确书写格式．6．函数y=|2x﹣1|在区间（k﹣1，k+1）内不单调，则k的取值范围是（﹣1，1）．考点：指数函数的图像与性质．专题：数形结合．分析：根据解析式为函数y=|2x﹣1|画出函数的图象，根据图象写出单调增区间．解答：解：∵函数y=|2x﹣1|，其图象如图所示，由图象知，函数y=|2x﹣1|在区间（k﹣1，k+1）内不单调，则：﹣2＜k﹣1＜0，则k的取值范围是（﹣1，1）故答案为：（﹣1，1）．点评：此题是个基础题．考查根据函数图象分析观察函数的单调性，体现分类讨论与数形结合的数学思想方法．7．若函数f（x）=log a（x﹣1）+4（a＞0且a≠1）的图象过定点（m，n），则log m n= 2 ．考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：函数的性质及应用．分析：令x﹣1=1，可得x=2，且y=4，故函数f（x）=log a（x﹣1）+4（a＞0且a≠1）的图象过定点（2，4），结合条件求得m、n的值，可得log m n的值．解答：解：令x﹣1=1，可得x=2，且y=4，故函数f（x）=log a（x﹣1）+4（a＞0且a≠1）的图象过定点（2，4），再由函数f（x）=log a（x﹣1）+4（a＞0且a≠1）的图象过定点（m，n），可得m=2、n=4，故log m n=2，故答案为 2．点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，属于中档题．8．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.2]= 1，[﹣1.5]=﹣2．若x0是函数f（x）=lnx﹣的零点，则[x0]= 2 ．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数零点的判定定理，求出根所在的区间，即可得到结论．解答：解：∵f（x）=lnx﹣，则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴f（1）=ln1﹣2=﹣2＜0，f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣，∴f（2）f（3）＜0，∴在区间（2，3）内函数f（x）存在唯一的零点，∵x0是函数f（x）=lnx﹣的零点，∴2＜x0＜3，则[x0]=2，故答案为：2．点评：本题主要考查函数零点的判断，以及函数的新定义的应用，要求熟练掌握函数零点的判断条件．9．已知f（x）=3sin（2x﹣），若存在α∈（0，π），使f（α+x）=f（α﹣x）对一切实数x恒成立，则α= ，．考点：正弦函数的对称性；函数恒成立问题．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：依题意，f（x）=3sin（2x﹣），且f（α+x）=f（α﹣x）⇒y=f（x）关于x=α对称，利用正弦函数的对称性及α∈（0，π）即可求得α的值．解答：解：∵f（x）=3sin（2x﹣），且f（α+x）=f（α﹣x），∴y=f（x）关于直线x=α对称，由正弦函数的对称性得：2α﹣=kπ+（k∈Z），∴α=+（k∈Z），又α∈（0，π），∴k=0时，α=；故答案为：，．点评：本题考查正弦函数的对称性，f（α+x）=f（α﹣x）⇒y=f（x）关于x=α对称是关键，考查函数恒成立问题，属于中档题．10．已知函数f（x）=ax3+bsinx+4（a，b∈R），f（lg（log210））=5，则f（lg（lg2））= 3 ．考点：对数的运算性质；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由lg（log210）与lg（lg2）互为相反数，令f（x）=g（x）+4，则g（x）=ax3+bsinx是一个奇函数，从而g（lg（log210））+g（lg（lg2））=0，由此能求出f（lg（lg2））=3．解答：解：∵lg（log210）+lg（lg2）=lg1=0，∴lg（log210）与lg（lg2）互为相反数，令f（x）=g（x）+4，即g（x）=ax3+bsinx，此函数是一个奇函数，故g（lg（log210））+g（lg（lg2））=0，∴f（lg（log210））+f（lg（lg2））=g（lg（log210））+4+g（lg（lg2））+4=8，又f（lg（log210））=5，所以f（lg（lg2））=8﹣5=3．故选：3．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．若C=，则= ．考点：正弦定理的应用．专题：解三角形．分析：由条件利用二倍角公式可得sinAsinB+sinBsinC=2 sin2B，再由正弦定理可得 ab+bc=2b2，即 a+c=2b，由此可得a，b，c成等差数列．通过C=，利用c=2b﹣a，由余弦定理可得（2b﹣a）2=a2+b2﹣2ab•cosC，化简可得 5ab=3b2，由此可得的值．解答：解：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∵已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1，∴sinAsinB+sinBsinC=2sin2B．再由正弦定理可得 ab+bc=2b2，即 a+c=2b，故a，b，c成等差数列．C=，由a，b，c成等差数列可得c=2b﹣a，由余弦定理可得（2b﹣a）2=a2+b2﹣2ab•cosC=a2+b2+ab．化简可得 5ab=3b2，∴=．故答案为：．点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，二倍角公式、余弦定理的应用，属于中档题．12．设函数f（x）=1﹣xsinx在x=x0处取极值，则（1+x02）（1+cos2x0）= 2 ．考点：函数在某点取得极值的条件．分析：先根据函数f（x）=1﹣xsinx在x=x0处取得极值可得出x02=tan2x0，代入（x02+1）（cos2x0+1）化简求值即可得到所求答案解答：解：f（x）=1﹣xsinx则f′（x）=﹣sinx﹣xcosx，令﹣sinx﹣xcosx=0，化得tanx=﹣x，∴x02=tan2x0，∴（1+x02）（1+cos2x0）=（tan2x0+1）（cos2x0+1）==2故答案为2点评：本题主要考查了函数在某点取得极值的条件，解题的关键得出x02=tan2x，从而把求值的问题转化到三角函数中，得以顺利解题．13．已知函数f（x）=ax2+bx+与直线y=x相切于点A（1，1），若对任意x∈[1，9]，不等式f（x﹣t）≤x恒成立，则所有满足条件的实数t的值为 4 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；二次函数的性质．专题：导数的概念及应用．分析：对f（x）进行求导，根据它与直线y=x相切于点A（1，1），可得f′（1）=0，可得把点A代入得到方程，求出a，b，求出f（x）的解析式，根据题意对任意x∈[1，9]，不等式f （x﹣t）≤x恒成立，根据根与系数的关系进行求解；解答：解：∵已知函数f （x）=ax2+bx+与直线y=x相切于点A（1，1），f′（x）=2ax+b，∴f′（1）=1，可得2a+b=1①，又f（x）过点A（1，1）可得a+b+=1②，联立方程①②可得a=，b=，f（x）=x2+x+，∵对任意x∈[1，9]，不等式f （x﹣t）≤x恒成立，可得f（x﹣t）=（x﹣t+1）2≤x，化简可得，x2﹣2x（t﹣1）+（t﹣1）2﹣4x≤0，在[1，9]上恒成立，令g（x）=x2﹣2x（t+1）+（t﹣1）2≤0，在[1，9]上恒成立，∴，解①可得0≤t≤4，解②可得4≤t≤14，解③可得t≥4综上可得：t=4，故答案为4点评：考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．掌握不等式恒成立时所取的条件；考点：余弦定理；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值．分析：由A和B为三角形的内角，得到sinA和sinB都大于0，进而确定出C为钝角，利用诱导公式及三角形的内角和定理化简已知等式的左边，得到sinB=﹣2sinAcosC，再由sinB=sin（A+C），利用两角和与差的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系化简，得到tanC=﹣3tanA，将tanB利用诱导公式及三角形的内角和定理化简为﹣tan（A+C），利用两角和与差的正切函数公式化简，将tanC=﹣3tanA代入，变形后利用基本不等式求出tanB的范围，即可得到tanB的最大值．解答：解：∵sinA＞0，sinB＞0，∴=2cos（A+B）=﹣2cosC＞0，即cosC＜0，∴C为钝角，sinB=﹣2sinAcosC，又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC=﹣2sinAcosC，即cosAsinC=﹣3sinAcosC，∴tanC=﹣3tanA，∴tanB=﹣tan（A+C）=﹣=﹣=≤=，当且仅当=3tanA，即tanA=时取等号，则tanB的最大值为．点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦、正切函数公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握基本关系及公式是解本题的关键．二、简答题：（本大题共6小题，共90分）15．已知函数f（x）=cos2x，g（x）=1+sin2x．（1）若点A（α，y）（α∈[0，]）为函数f（x）与g（x）的图象的公共点，试求实数α的值；（2）求函数h（x）=f（x）+g（x），x∈[0，]的值域．考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象；余弦函数的图象．专题：三角函数的求值．分析：（1）由于点A（α，y）（0≤α≤π）为函数f（x）与g（x）的图象的公共点，可得，利用倍角公式展开即可得出；（2）利用倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性即可得出．解答：解：（1）∵点A（α，y）（0≤α≤π）为函数f（x）与g（x）的图象的公共点，∴，∴cos2α﹣sin2α=1∴cos2α﹣1=sin2α，∴﹣2sin2α=2sinαcosα，∴sinα=0，或tanα=﹣1．∵∴α=0．（2）∵h（x）=f（x）+g（x）===∵，∴．∴，∴．即函数h（x）的值域为．点评：本题考查了倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性，考查了计算能力，属于难题．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若sinA=，求△ABC的面积．考点：正弦定理；二倍角的正弦；二倍角的余弦．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）△ABC中，由条件利用二倍角公式化简可得﹣2sin（A+B）sin（A﹣B）=2•cos（A+B）sin （A﹣B）．求得tan（A+B）的值，可得A+B的值，从而求得C的值．（Ⅱ）由 sinA=求得cosA的值．再由正弦定理求得a，再求得 sinB=sin[（A+B）﹣A]的值，从而求得△ABC的面积为的值．解答：解：（Ⅰ）∵△ABC中，a≠b，c=，cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB，∴﹣=sin2A﹣sin2B，即 cos2A﹣cos2B=sin2A﹣sin2B，即﹣2sin（A+B）sin（A﹣B）=2•cos（A+B）sin（A﹣B）．∵a≠b，∴A≠B，sin（A﹣B）≠0，∴tan（A+B）=﹣，∴A+B=，∴C=．（Ⅱ）∵sinA=＜，C=，∴A＜，或A＞（舍去），∴cosA==．由正弦定理可得，=，即=，∴a=．∴sinB=sin[（A+B）﹣A]=sin（A+B）cosA﹣cos（A+B）sinA=﹣（﹣）×=，∴△ABC的面积为=×=．点评：本题主要考查二倍角公式、两角和差的三角公式、正弦定理的应用，属于中档题．（Ⅰ）当a=时，求（∁U B∩A）；（Ⅱ）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：（Ⅰ）先求出集合A、B，再求出C U B，借助数轴求出，（C U B）∩A．（Ⅱ）由题意知，p⇒q，可知A⊆B，B={x|a＜x＜a2+2}．对于集合A，其解集的端点是 3a+1和2，大小有三种情况，在每种情况下，求出集合A，借助数轴列出A⊆B时区间端点间的大小关系，解不等式组求出a 的范围．解答：解：（Ⅰ）当时，，（2分）C U B=，（C U B）∩A=．（4分）（Ⅱ）由q是p的必要条件，即p⇒q，可知A⊆B．（6分）由a2+2＞a，得 B={x|a＜x＜a2+2}．（8分）①当3a+1＞2，即时，A={x|2＜x＜3a+1}，再由，解得．②当3a+1=2，即a=时，A=∅，不符合题意；③当3a+1＜2，即时，A={x|3a+1＜x＜2}，再由，解得．综上，∪．（12分）点评：本题考查2个集合间的交、并、补运算方法以及A⊆B时2个区间端点之间的大小关系（借助数轴列出不等关系），体现了分类讨论的数学思想．18．我国西部某省4A级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后，任何一个月内（每月按30天计算）每天的旅游人数f（x）与第x天近似地满足（千人），且参观民俗文化村的游客人均消费g（x）近似地满足g（x）=143﹣|x﹣22|（元）．（1）求该村的第x天的旅游收入p（x）（单位千元，1≤x≤30，x∈N*）的函数关系；（2）若以最低日收入的20%作为每一天的计量依据，并以纯收入的5%的税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：（1）根据旅游收入p（x）等于每天的旅游人数f（x）与游客人均消费g（x）的乘积，然后去绝对值，从而得到所求；（2）分别研究每一段函数的最值，第一段利用基本不等式求最小值，第二段利用函数的单调性研究最小值，再比较从而得到日最低收入，最后根据题意可判断该村在两年内能否收回全部投资成本．解答：解：（1）依题意有p（x）=f（x）•g（x）=（8+）（143﹣|x﹣22|）（1≤x≤30，x∈N*）=；*p（x）=8x++976≥2+976=1152（当且仅当x=11时，等号成立）∴p（x）min=p（11）=1152（千元），②当22＜x≤30，x∈N*时，p（x）=﹣8x++1312，考察函数y=﹣8x+，可知函数y=﹣8x+在（22，30]上单调递减，∴p（x）min=p（30）=1116（千元），又1152＞1116，∴日最低收入为1116千元．该村两年可收回的投资资金为1116×20%×5%×30×12×2=8035.2（千元）=803.52（万元）．∵803.52（万元）＞800（万元），∴该村在两年内能收回全部投资成本．点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．属于中档题．19．已知函数f（x）=π（x﹣cosx）﹣2sinx﹣2，g（x）=（x﹣π）+﹣1．证明：（Ⅰ）存在唯一x0∈（0，），使f（x0）=0；（Ⅱ）存在唯一x1∈（，π），使g（x1）=0，且对（Ⅰ）中的x0，有x0+x1＞π．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：（Ⅰ）导数法可判f（x）在（0，）上为增函数，又可判函数有零点，故必唯一；（Ⅱ）化简可得g（x）=（π﹣x）+﹣1，换元法，令t=π﹣x，记u（t）=g（π﹣t）=﹣﹣t+1，t∈[0，]，由导数法可得函数的零点，可得不等式．解答：解：（Ⅰ）当x∈（0，）时，f′（x）=π+πsinx﹣2cosx＞0，∴f（x）在（0，）上为增函数，又f（0）=﹣π﹣2＜0，f（）=﹣4＞0，∴存在唯一x0∈（0，），使f（x0）=0；（Ⅱ）当x∈[，π]时，化简可得g（x）=（x﹣π）+﹣1=（π﹣x）+﹣1，令t=π﹣x，记u（t）=g（π﹣t）=﹣﹣t+1，t∈[0，]，求导数可得u′（t）=，由（Ⅰ）得，当t∈（0，x0）时，u′（t）＜0，当t∈（x0，）时，u′（t）＞0，∴函数u（t）在（x0，）上为增函数，由u（）=0知，当t∈[x0，）时，u（t）＜0，∴函数u（t）在[x0，）上无零点；函数u（t）在（0，x0）上为减函数，由u（0）=1及u（x0）＜0知存在唯一t0∈（0，x0），使u（t0）=0，于是存在唯一t0∈（0，），使u（t0）=0，设x1=π﹣t0∈（，π），则g（x1）=g（π﹣t0）=u（t0）=0，∴存在唯一x1∈（，π），使g（x1）=0，∵x1=π﹣t0，t0＜x0，∴x0+x1＞π点评：本题考查零点的判定定理，涉及导数法证明函数的单调性，属中档题．20．已知函数，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x﹣12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2﹣x）=f′（x）．（1）求f（x）；（2）设，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1﹣t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）求导数，利用f′（2﹣x）=f′（x），可求b的值；利用曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x﹣12，可求a，c，d的值，从而可得函数解析式；（2）确定函数解析式，分类讨论，可求函数g（x）在[0，m]上的最大值；（3）求出函数h（x），再将不等式转化为具体不等式，利用最值法，即可求得实数t的取值范围．解答：解：（1）求导数可得f′（x）=x2+2bx+c∵f′（2﹣x）=f′（x），∴f′（x）关于x=1对称，∴b=﹣1与x轴交点处的切线为y=4x﹣12，设交点为（a，0），则f（a）=0，f′（a）=4∴在（a，0）处的切线为：y=4（x﹣a）+0=4x﹣4a=4x﹣12，∴4a=12，∴a=3由f'（3）=9﹣6+c=3+c=4得：c=1由f（3）=×27﹣32+3+d=0得：d=﹣3所以有：2+x﹣3（2）=x|x﹣1|当x≥1时，g（x）=x（x﹣1）=x2﹣x=（x﹣）2﹣，函数为增函数x＜1时，g（x）=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+，最大为g（）=比较g（m）=m（m﹣1）与得：m≥时，m（m﹣1）≥因此，0＜m时，g（x）的最大值为m﹣m2；时，g（x）的最大值为；m＞时，g（x）最大值为m2﹣m（3）h（x）=ln（1﹣x）2．∵h（x+1﹣t）＜h（2x+2）∴ln（t﹣x）2＜ln（2x+1）2∴（t﹣x）2＜（2x+1）2∴|t﹣x|＜2x+1∴﹣2x﹣1＜t﹣x＜2x+1∴﹣x﹣1＜t＜3x+1∵x∈[0，1]且上式恒成立∴t＞﹣x﹣1的最大值且t＜3x+1的最小值∴﹣1＜t＜1又由x∈[0，1]，则有﹣1＜t＜0点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的解析式，考查函数的最值，考查恒成立问题，确定函数的解析式是关键．。

南通市2015届高三第一次调研测试数学Ⅰ参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1． 已知集合A ={2-，1-}，B ={1-，2，3}，则AB = ▲ ．【答案】{1-}2． 已知复数z 满足(34i)1z +=（i 为虚数单位），则z 的模为 ▲ ．【答案】153． 某中学共有学生2800人，其中高一年级970人，高二年级930人，高三年级900人．现采用分层抽样的方法，抽取280人进行体育达标检测，则抽取的高二年级学生人数为 ▲ ． 【答案】934． 函数2()lg(23)f x x x =-++的定义域为 ▲ ． 【答案】(13)-，5． 右图是一个算法流程图，则输出的x 的值是 ▲．【答案】596． 同时抛掷两枚质地均匀的骰子（一种各面上分别标有2，3，4，5，6个点的正方体玩具）则两个点数之积不小于4的概率为 ▲ ． 【答案】31367． 底面边长为2，高为1的正四棱锥的侧面积为 ▲ ． 【答案】8． 在平面直角坐标系xOy 中，以直线2y x =±为渐近线，且经过抛物线24y x =焦点的双曲线的方程为 ▲ ．（第5题）【答案】2214y x -= 9． 在平面直角坐标系xOy 中，记曲线2(2m y x m m x=-∈≠-R ，）在1x =处的切线为直线l ．若直线l 在两坐标轴上的截距之和为12，则m 的值为 ▲ ． 【答案】3-或4-10．已知函数()π()sin 26f x x =+．若π()(0)2y f x ϕϕ=-<<是偶函数，则ϕ= ▲ ．【答案】π311．在等差数列{}n a 中，已知首项10a >，公差0d >．若1260a a +≤，23100a a +≤，则155a a +的最大值为 ▲ ． 【答案】20012．已知函数x y a b =+(0)b >的图象经过点(13)P ，，如下图所示，则411a b +-的最小值为 ▲ ．【答案】9213．如上图，圆O 内接△ABC 中，M 是BC 的中点，AC =3．若4AO AM ⋅=，则AB = ▲ ．14．已知()f x 是定义在[)1+∞，上的函数，且1|23|12()11()222x x f x f x x --<⎧⎪=⎨⎪⎩，，，，≤≥ 则函数2()3y xf x =-在区间()12015，上零点的个数为 ▲ ． 【答案】11二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答． 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（第13题）（第12题）A 1A 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos cos 2cos b C c B a A +=． （1）求A 的大小；（2）若=3AB AC ⋅，求△ABC 的面积．【解】（1）解法一：在△ABC 中，由正弦定理，及cos cos 2cos b C c B a A +=，得sin cos sin cos 2sin cos B C C B A A +=， (3)分即sin 2sin cos A A A =，因为(0π)A ，，所以sin 0A ≠，所以1cos 2A =，…………………………6分所以π3A =. ……………………………………………………………………8分解法二：在△ABC 中，由余弦定理，及cos cos 2cos b C c B a A +=，得2222222222222a b c a c b b c a b c a ab ac bc+-+-+-+=， (3)分所以222a b c bc =+-，所以2221cos 22b c a A bc +-==， ………………………………………………6分因为(0π)A ，，所以π3A = (8)分（2）由=cos AB AC cb A⋅bc =11分所以△ABC的面积为113=sin 60222S bc A =⨯=. (14)分16．(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，CC 1= 4，M 是棱CC 1上的一点．（1）求证：BC ⊥AM ；（2）若N 是AB 的中点，且CN ∥平面1AB M ，求CM 的长． 【解】（1）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1CC ⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，所以1CC BC ⊥． …………………………………2分 因为AC BC ⊥，1CC AC C =，1CC AC ⊂，平面11ACC A ，所以BC ⊥平面11ACC A ． ………………………………………………… 4分 因为AM ⊂平面11ACC A ，所以BC AM ⊥． …………………………… 6分（2）证法一：如图1，取1AB 的中点P ，连结NP ，PM ．因为N 是AB 的中点，所以1//NP BB ，… 8分 因为1//CM BB ，所以//NP CM ，所以NP 与CM 共面． …………………10分 因为CN ∥平面1AB M ，平面CNPM 平面1AB M MP =，所以//CN MP ． (12)分所以四边形CNPM 为平行四边形，所以1122CM NP CC ===． (14)分证法二：如图2，设NC 与1CC 确定的平面交1AB 于点P ，连结NP ，PM ． 因为CN ∥平面1AB M ，CN ⊂平面CNPM ，平面1AB M平面CNPM PM =，所以//CN MP ． (8)分因为1//BB CM ，1BB ⊄平面CNPM ，CM ⊂平面CNPM ，PB1BA NM1C C图11AP B1BANM1C C 图21A所以1//BB 平面CNPM ． (10)分又1BB ⊂平面1ABB ，平面1ABB 平面CNPM NP =，所以1//BB NP ，所以//CM NP ，所以四边形CNPM 为平行四边形． (12)分因为N 是AB 的中点，所以1111222CM NP BB CC ====．……… 14分证法三：如图3，取1BB 的中点Q ，连结NQ ，CQ ．因为N 是AB 的中点，所以1//NQ AB ，因为NQ ⊄平面1AB M ，1AB ⊂平面1AB M ，所以//NQ 平面1AB M ． (8)分因为CN ∥平面1AB M ，NQNC N =，NQ NC ⊂，平面NQC ，所以平面//NQC 平面1AB M ．…… 10分 因为平面11BCC B 平面NQC QC =，平面11BCC B 平面11AB M MB =，所以1//CQ MB ． (12)分因为11//BB CC ，所以四边形1CQB M 是平行四边形，所以11122CM B Q CC ===． (14)分证法四：如图4，分别延长1BC B M ，，设交点为S ，连结AC ．因为CN ∥平面1AB M ，CN ⊂平面ABS ， 平面ABS平面1AB M AS =，所以CN ∥AS ．………………………… 10分QB1B A NM1C 1AC图3B1B A NM1C 1AC图4S由于AN=NB ，所以BC=CS ．又因为CM ∥1BB ，同理可得，1SM MB =，所以1111222CM BB CC ===． (14)分17．(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为（0，b ），且△BF 1F 2是边长为2（1）求椭圆的方程；（2）过右焦点F 2的直线l 与椭圆相交于A ，C 两点，记△ABF 2，△BCF 2的面积分别为S 1，S 2． 若S 1＝2S 2，求直线l 的斜率．【解】（1）由题意，得a =2c =2，b 2=a 2－c 2=3，所求椭圆的方程为22143yx +=． ……………… 4分（2）设B 到直线AC 的距离为h ，由于S 1＝2S 2，所以，2211222AF h F C h ⋅=⨯⋅，即222AF F C =， …………………………6分所以，222AF F C =．解法一：设1122,A x y C x y （，）（，），又210F （，）， 则11221,21,x y x y --=-（）（）,即1212322.x x y y =-⎧⎨=-⎩， (8)分由22222222143322143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨--⎪+=⎪⎩，（）（）解得，2274x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ………………………12分所以，直线l 的斜率为8714k ==- …………………………………14分（第17题）解法二：由（1）知，1232x x =-． (8)分设点A 11x y （，）到椭圆22143y x +=右准线4x =的距离为d ， 则212AF d =，所以21122AF x =-，同理22122CF x =-，由222AF F C =得，12112=2222x x --（），即211=2+2x x ． …………………10分所以，274x =（以下同解法一）． (12)分解法三：椭圆的右准线为直线4x =，分别过A C ，作准线的垂线，垂足分别为A C ''，， 过C 作CH ⊥AA '，垂足为H ．由于2212CF AF CC AA ==''，……………10又222AF FC =，在RT △CAH 中，2232AC F C AH F C ==，，所以CH =所以tan CAH ∠=根据椭圆的对称性知，所求直线斜率为． (14)分18．(本小题满分16分)在长为20 m ，宽为16 m 米的长方形展厅正中央有一圆盘形展台（圆心为点C ），展厅入口位于长方形的长边的中间．在展厅一角B 点处安装监控摄像头，使点B 与圆C 在同一水平面上，且展台与入口都在摄像头水平监控范围内(如图阴影所示)． （1）若圆盘半径为m ，求监控摄像头最小水平摄像视角的正切值； （2）若监控摄像头最大水平摄像视角为60°，求圆盘半径的最大值．（注：水平摄像视角指镜头中心点水平观察物体边缘的视线的夹角．） 【解】（1）解法一：如图，过B 作圆C 的切线BE ，切点为E ，设圆C 所在平面上入口中点为A连结CA ，CE ，CB ，则CE BE ⊥，CA AB ⊥， 则摄像水平视角为∠ABE 时， 水平摄像视角最小．在Rt △ABC 中，10AB =，8AC =，4tan 5ABC ∠=，…………………………………………2分在Rt △BCE中，CE =12BE ==，tan CBE ∠=， (4)分所以45tan tan()1ABE ABC CBE +∠=∠+∠==+，所以最小摄像视角的正切值为1+ (8)分解法二：过B 作圆C 的切线BE ，切点为E ， 设圆C 所在平面上入口中点为A ，连结CA ，CE ，CB ，则CE BE ⊥，CA AB ⊥， 则摄像视角为∠ABE 时，摄像视角最小． 在平面ABC 内，以B 为原点，BA 为x 轴建立直角坐标系，则108C（，）， 设直线BE 的方程为y kx =， 由圆C 与直线BE 相切得，， ………………………4分解得，1k =1k =．答：所以最小摄像视角的正切值为1+ (8)分（2）解法一：当ABE ∠=60︒时，若直线BE 与圆C 相切，则圆C 的半径最大．.在平面ABC 内，以B 为坐标原点，BA 为x 轴建立平面直角坐标系， 所以直线BE方程为：y =， (12)（第18题）分所以4CE ==，则圆C的最大半径为4 m ． (16)分解法二：设圆盘的最大半径为r ，当ABE ∠=60︒时，若直线BE 与圆C 相切，则圆C 的半径最大．在Rt △ABC 中，10AB =，8AC =，4tan 5ABC ∠=， 在Rt △BCE 中，CE r =，BE ，tan CBE ∠， (10)分由tan tan()ABE ABC CBE ∠=∠+∠415=-， (12)分即54)r r =，所以(5r =+，即22914)r =-=所以，4r =． (15)分答：圆C的最大半径为4 m ． (16)分19．(本小题满分16分)若函数()y f x =在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数()y f x =的极值点． 已知函数3()3ln ()f x ax x x a a =+-∈R ． （1）当0a =时，求()f x 的极值；（2）若()f x 在区间()1e e ，上有且只有一个极值点，求实数a 的取值范围．（注：e 是自然对数的底数．）【解】（1）当0a =时，()3ln f x x x =，所以()3(ln 1)f x x '=+． ……………………2分令()0f x '=，得1ex =，当1(0)e x ∈，时，()0f x '<；当1()ex ∈+∞，时，()0f x '>， 所以()f x 在1(0)e ，上单调递减，在1()e+∞，上单调递减增．………………4分所以，当1e x =时，()f x 有极小值13()e e f =-． …………………………6分（2）解法一：设2()()3(1ln )g x f x ax x '==++，()1e e D =，．由题意，()g x 在D 上且只有一个零点0x ，且0x 两侧()g x 异号．① 当0a ≥时，()g x 在D 上单调递增，且1()()0eg x g >≥，所以()g x 在D 上无零点； (8)分② 当0a <时，在(0,)+∞上考察()g x ：()g x '=，令()0g x '=，得1x = ()g x 在1(0x ，）上单调递增，在1(+x ∞，）上单调递减． ……………10分（i ）当1(e)()0e g g ⋅<，即22(e 2)0e a a +⋅<，即220e a -<<时， ()g x 在D 上有且只有一个零点0x ，且在0x 两侧异号． (13)分（ii ）令1()0e g =，得230e a =，不可能．（iii ）令(e)0g =，得22e a =-e 2D =∈，e 1e 1e ()3(1ln )3(ln )022222g g ==-++=+>，又因为213()0e e ag =<，所以()g x 在D 上有且只有一个零点0x ，且0x 两侧()g x 异号．综上所述，实数a 的取值范围是)220e ⎡-⎣，． ………………………………16分解法二：令2()3(1ln )0f x ax x '=++=，得21ln x a x+-=． ………………8分设21ln ()x h x x +=，由312ln ()x h x x +'=-，令()0h x '=，得()1201e ,e e x -=∈， 当0(e)x x ∈，，()0h x '<，所以()h x 在0(e)x ，上为减函数； 当01()e x x ∈，，()0h x '>，所以()h x 在01()ex ，上为增函数，所以0x 为()h x 的极大值点． …………………………………………………11分又1()0e h =，22(e)eh =，01()e 2h x =， 所以220e a <-≤或1e 2a -=，即220ea -<≤或1e 2a =-． ………………13分当1e 2a =-时，21()3(1ln )2f x ex x '=-++．设21()1ln 2m x ex x =-++，则21e 1()e x m x x x x -+'=-+=，令()0m x '=，得12e x -=． 当121(e)ex -∈，，()0m x '>，所以()m x 在121(e)e-，上为增函数；当12(e e)x -∈，，()0m x '<，所以()m x 在12(e e)-，上为减函数．所以12()(e )0m x m -=≤，即()0f x '≤在()1e e，恒成立，所以()f x 在()1e e，上单调递减．所以当1e 2a =-时，()f x 在()1e e ，上不存在极值点．所以实数a 的取值范围是)220e ⎡-⎣，． ………………………………………16分20．(本小题满分16分)设数列{a n }的前n 项和为S n ．若112()2n n an a +∈*N ≤≤，则称{a n }是“紧密数列”．（1）若数列{a n }的前n 项和21(3)()4n S n n n =+∈*N ，证明：{a n }是“紧密数列”；（2）设数列{a n }是公比为q 的等比数列．若数列{a n }与{S n }都是“紧密数列”， 求q 的取值范围．【解】（1）由数列{a n }的前n 项和2*1(3)()4n S n n n =+∈N ，得a n ＝⎩⎨⎧S 1， n ＝1，S n －S n -1，n ≥2＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝1，12n +12，n ≥2＝12n +12(*n ∈N )．……………2分所以，a n +1a n ＝12(n +1)+12 12n +12＝n +2n +1＝1+1n +1， ……………………………………4分因为对任意n ∈N*，0＜1n +1≤ 12，即1＜1+1n +1≤32，所以，1＜a n +1a n ＝1+1n +1≤32，所以，12≤a n +1a n≤2，即{a n }是“紧密数列”． ……………………………6分（2）解法一：由数列{a n }是公比为q 的等比数列，得q ＝a n +1a n，因为{a n }是“紧密数列”，所以12≤q ≤2． ………………………………8分① 当q ＝1时，S n =na 1，S n +1S n =n +1n =1+1n ，所以，12≤1<S n +1S n =n +1n =1+1n≤2，故q ＝1时，数列{S n }为“紧密数列”，故q ＝1满足题意． …………10分② 当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ，则S n +1S n =1－q n +11－q n ．因为数列{S n }为“紧密数列”，所以，12≤S n+1S n =1－q n +11－qn ≤2对于任意*n ∈N 恒成立． （i ）当12≤q ＜1时，12(1－q n )≤1－q n +1≤2(1－q n)即⎩⎨⎧q n (2q －1)≤1，q n (q －2)≥－1对于任意*n ∈N 恒成立．因为0＜q n ≤q ＜1，0≤2q －1＜1，－32≤q －2＜－1，所以 q n (2q －1)＜q ＜1， q n (q －2)≥q (q －2)≥12×(－32)＝－34＞－1，所以，当12≤q ＜1时，⎩⎨⎧q n (2q －1)≤1，q n (q －2)≥－1对于任意*n ∈N 恒成立．13分（ii ）当1＜q ≤2时，12(q n －1)≤q n +1－1≤2(q n－1)，即⎩⎨⎧q n (2q －1)≥1，q n (q －2)≤－1对于任意*n ∈N 恒成立．因为q n ≥q ＞1，2q －1＞1，－1＜q －2≤0．所以⎩⎨⎧q (2q －1)≥1，q (q －2)≤－1，解得q =1，又1＜q ≤2，此时q 不存在．综上所述， q 的取值范围是112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． (16)分解法二：因为{a n }是“紧密数列”，所以12≤q ≤2． (8)分① 当q ＝1时，S n =na 1，S n +1S n =n +1n =1+1n ，所以，12≤1<S n +1S n =n +1n =1+1n≤2，故q ＝1时，数列{S n }为“紧密数列”，故q ＝1满足题意． …………10分② 当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ，则S n +1S n =1－q n +11－q n ．因为数列{S n }为“紧密数列”，所以，12≤S n+1S n =1－q n +11－qn ≤2对于任意*n ∈N 恒成立． （i ）当12≤q ＜1时，12(1－q n )≤1－q n +1≤2(1－q n )，即⎩⎨⎧q n (2q －1)≤1，q n (2－q )≤1对于任意*n ∈N 恒成立． 所以⎩⎨⎧q (2q －1)≤1，q (2－q )≤1.解得12≤q ＜1． (13)分（第21-A 题）AB MO NDC·（ii ）当12≤q ＜1时，同理可得⎩⎨⎧q (2q －1)≥1，q (2－q )≥1.无解．综上所述， q 的取值范围是112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． (16)分数学Ⅱ（附加题）参考答案及评分建议21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内．．．．．．．．．．．．．．．．．作答．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，分别 延长AB ，CD 相交于点M ，N 为⊙O 上一点，AN =AC ，证明：∠MDN =2∠OCA ．【解】连结ON ，因为AN=AC ，ON =OC ，OA 是公共边，所以△ANO ≌△ACO ，故∠OAC =∠OAN ．………3分 又∠OAC =∠OCA ，所以∠NAC =∠OAC +∠OAN=∠OCA +∠OAC=2∠OCA ． 因为A ，C ，D ，N 四点共圆，所以∠MDN =∠NAC ， 所以，∠MDN =2∠OCA ． ………………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵273m⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的逆矩阵127n m --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M ，求实数m ，n ． 【解】由 1221401073772114301mn mn m n m ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦MM ， …………5分 所以14172101431mn n m -=⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩，解得53m n =⎧⎨=⎩． ……………………………………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）（第21-A 题）A B MO NDC·在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为21214x t y t ⎧=⎪⎨⎪=⎩，（t 为参数），曲线与直 线l ：12y x =相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【解】解法一：将曲线C 的参数方程21214x t y t ⎧=⎪⎨⎪=⎩，化为普通方程为28x y =，………3分 方程组282x y x y ⎧=⎨=⎩， 解得00x y =⎧⎨=⎩或1214x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩． ……………………………………6分所以(00)A ，，11()24B ，，所以AB ==10分 解法二：将曲线C 的参数方程为21214x t y t ⎧=⎪⎨⎪=⎩，代入直线l ，得21144t t =， 解得10t =，21t =． ……………………………………………………………3分 可得(00)A ，，11()24B ，， ………………………………………………………6分所以AB ==10分D ．选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）已知a ，b ，c 均为正数．求证：111a b c bc ca ab a b c++++≥． 【解】因为a ，b ，c 都是为正数，所以12()a b a b bc ca c b a c++=≥．…………………………………………………3分同理可得2b c ca ab a +≥，2c a ab bc b+≥． 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2， 得111a b c bc ca ab a b c++++≥． …………………………………………………10分 【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．CBADE第22题图22． 如图，在四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为平行四边形，平面ABE ⊥平面BCDE ，AB AE =，DB DE =，=BAE BDE ∠=∠90°．（1）求异面直线AB 与DE 所成角的大小； （2）求二面角B AE C --的余弦值． 【解】设BE 的中点为O ，连结AO ，DO ， 由于AB =AE ，BO=OE ， 所以AO ⊥BE ，同理DO BE ⊥．又因为平面ABE ⊥平面BCDE ，平面ABE平面BCDE=BE ，所以AO ⊥平面BCDE ，由题意，22222BE AB DB ==，所以AB BD DE AE ===． 解法一：（1）不妨设OA a =，以O 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系O-xyz ，则(00)A a ，， ，(00)B a -，，，(20)C a a -，，，(00)D a ，，，(00)E a ，，．所以(0)AB a a =--，，，(0)DE a a =-，，因为2cos 2AB DE AB DE AB DE⋅-〈〉===，所以AB 与DE 的夹角为120°，所以异面直线AB 与DE 所成角为60°．………………………………………5分 （2）设平面ACE 的法向量为1()n x y z =，，， 因为(0)AE a a =-，，，(30)EC a a =-，，， 所以10n AE ⋅=，10n EC ⋅=，所以，y z =且3x y =，取1y z ==，得3x =， 所以，1(311)n =，，，又平面ABE 的法向量为2(100)n =，，， 设二面角B AE C --的平面角为θ，由12123cos 11n n n n θ⋅===，因此，二面角B AE C --． ……………………………10分第22题图。

江苏省南通第一中学2014—2015学年度第一学期期中考试卷高三数学（理）数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应．．．．．位置上．．．． 1．i 是虚数单位，()=-+113i i i ▲ ． 2．设集合|l 3M {}x x <<=，2N {|20}x x x =-<，则M⋂N = ▲ ．3．已知平面向量(2,1)=-a ，向量(1,1)=b ，向量(5,1)=-c . 若()//k +a b c ，则实数k 的值 为 ▲ ．4.已知数列{}n a ，n s 是{}n a 的前n 项和，且21n s n =+，则数列{}n a 的通项n a ＝ ▲ ．5．函数y ＝23log (2)x x -的单调递减区间是 ▲ ．6．设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k = ▲ ．．7．已知4(,0),cos()25παπα∈--=-，则tan 2α= ▲ ． 8.要得到1sin2y x =的图象，只须将函数1sin()23y x π=-的图象向左最少平移 ▲个单位。

9．设命题p ：2210ax ax ++>的解集是实数集R ；命题q ：01a <<，则p 是q 的 ▲ ． （填．充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件）10．已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝ ▲11．在四边形ABCD 中，AB =DC =（1，1），113BA BC BD BABCBD+=，则四边形ABCD的面积是 ▲ ． 12．给出下列四个命题（1）命题“x R ∀∈，cos 0x >”的否定是“x R ∃∈，cos 0x”；（2）若2()21f x ax x =++只有一个零点，则1a =；（3）命题“若且，则”的否命题为“若且，则”；（4）对于任意实数x ，有()()f x f x -=，()()g x g x -=-，且当0x >时，()0f x '>，()0g x '>， 则当0x <时，()()f x g x ''>；（5）在中，“”是“”的充要条件。

江苏省南通市如东高中2014-2015学年高一上学期第二次段考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．设集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A∪B=．2．集合{x|0＜x＜3且x∈Z}的子集个数为．3．函数f（x）=lg（2﹣x）+的定义域是．4．已知幂函数f（x）的图象过，则f（4）=．5．底面边长为2m，高为1m的正三棱锥的全面积为m2．6．函数f（x）=x2﹣2|x|的单调递增区间是．7．f（x）=在定义域上为奇函数，则实数k=．8．已知函f（x）=，则f（f（））=．9．如果函数f（x）=lnx+x﹣3的零点所在的区间是（n，n+1），则正整数n=．10．关于直线m，n和平面α，β，有以下四个命题：①若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n；②若m∥n，m⊂α，n⊥β，则α⊥β；③若α∩β=m，m∥n，则n∥α且n∥β；④若m⊥n，α∩β=m，则n⊥α或n⊥β．其中假命题的序号是．11．已知偶函数f（x）在m2，n上的单调性并用定义证明；（3）当a=16时，若对任意x∈（0，+∞），不等式f（x）＞m﹣+9恒成立，求实数m的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）=ax2﹣|x+1|+2a（a是常数且a∈R）（1）若函数f（x）的一个零点是1，求a的值；（2）求f（x）在上的最小值g（a）；（3）记A={x∈R|f（x）＜0}若A=φ，求实数a的取值范围．江苏省南通市如东高中2014-2015学年高一上学期第二次段考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．设集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A∪B={1，2，3，4，5}．考点：并集及其运算．专题：计算题．分析：集合A与集合B的所有元素合并到一起，构成集合A∪B，由此利用集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，能求出A∪B．解答：解：∵集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，∴A∪B={1，2，3，4，5}．故答案为：{1，2，3，4，5}．点评：本题考查集合的并集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2．集合{x|0＜x＜3且x∈Z}的子集个数为4．考点：子集与真子集．专题：集合．分析：根据题意，易得集合M中有2个元素，由集合的元素数目与其子集数目的关系，可得答案．解答：解：集合A={x∈N|0＜x＜3}={1，2}，则其子集有22=4个，故答案为4．点评：本题考查集合的元素数目与其子集数目的关系，牢记若一个集合有n个元素，则其有2n个子集．3．函数f（x）=lg（2﹣x）+的定义域是1，2），故答案为：﹣1，01，+∞）．考点：二次函数的性质．专题：数形结合．分析：根据已知中函数的解析式f（x）=x2﹣2|x|，我们易画出函数f（x）=x2﹣2|x|的图象，根据图象即可分析出函数f（x）=x2﹣2|x|的单调递增区间．解答：解：函数f（x）=x2﹣2|x|的图象如下所示：由函数的图象可得函数f（x）=x2﹣2|x|的单调递增区间是和﹣1，01，+∞）点评：本题考查的知识点是二次函数的图象及性质，其中根据函数的解析式，画出函数的图象是解答本题的关键．7．f（x）=在定义域上为奇函数，则实数k=±1．考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性的定义，解方程f（﹣x）=﹣f（x），即可得到结论．解答：解：若f（x）=在定义域上为奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），即=﹣，即=﹣，则（k•2x﹣1）（1+k•2x）=﹣（k﹣2x）（k+2x），即k2•22x﹣1=﹣（k2﹣22x，则k2•22x﹣1+k2﹣22x=0，即k2﹣1=0，解得k=±1，故答案为：±1点评：本题主要考查函数奇偶性的判断和应用，根据条件建立方程是解决本题的关键．8．已知函f（x）=，则f（f（））=．考点：对数的运算性质；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：利用分段函数直接进行求值即可．解答：解：由分段函数可知f（）=，f（f（））=f（﹣2）=．故答案为：．点评：本题主要考查分段函数求值，比较基础．9．如果函数f（x）=lnx+x﹣3的零点所在的区间是（n，n+1），则正整数n=2．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：根据对数函数单调性和函数单调性的运算法则，可得f（x）=lnx+x﹣3在（0，+∞）上是增函数，再通过计算f（1）、f（2）、f（3）的值，发现f（2）•f（3）＜0，即可得到零点所在区间．解答：解：∵f（x）=lnx+x﹣3在（0，+∞）上是增函数f（1）=﹣2＜0，f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3＞0∴f（2）•f（3）＜0，根据零点存在性定理，可得函数f（x）=lnx+x﹣3的零点所在区间为（2，3），∴n=2．故答案为2．点评：本题给出含有对数的函数，求它的零点所在的区间，着重考查了基本初等函数的单调性和函数零点存在性定理等知识，属于基础题．10．关于直线m，n和平面α，β，有以下四个命题：①若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n；②若m∥n，m⊂α，n⊥β，则α⊥β；③若α∩β=m，m∥n，则n∥α且n∥β；④若m⊥n，α∩β=m，则n⊥α或n⊥β．其中假命题的序号是①③④．考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：综合题．分析：①m∥n或m，n相交或m，n异面；②由面面垂直的判定定理可得α⊥β；③n∥α或n⊂α，④n⊥α或n⊥β．，但也有可能n与α，β斜交解答：解：①若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n或m，n相交或m，n异面，故①错误②若m∥n，m⊂α，则当n⊄α时，根据线面平行的判定定理可得n∥α，由n⊥β可得α⊥β，当n⊂α时，由n⊥β，则可得m⊥β，由平面垂直的判定定理可得，α⊥β，故②正确③若α∩β=m，m∥n，当n⊆α时，满足已知；当n⊈α时，由线面平行的判定定理可得则n∥αn与β的关系同理可判断，故③错误④若m⊥n，α∩β=m，若n⊆β，由线面垂直的判定定理可得则n⊥α或若n⊆α，由线面垂直的判定定理可得n⊥β．n⊈α，n⊈β时，n与α，β不垂直，即有可能n与α，β斜交，故④错误故答案为：①③④点评：本题主要题考查的知识点是平面的基本性质及推论，空间直线与平面位置关系的判断，其中根据面面平行，线面垂直的判定及性质，空间直线与平面位置关系的定义和几何特征11．已知偶函数f（x）在0，+∞）单调递减，f（2）=0，∴不等式f（x﹣1）＞0等价为f（x﹣1）＞f（2），即f（|x﹣1|）＞f（2），∴|x﹣1|＜2，解得﹣1＜x＜3，故答案为：（﹣1，3）点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f （2）是解决本题的关键．12．对于四面体ABCD，下列命题正确的序号是①④⑤．①相对棱AB与CD所在的直线异面；②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD的三条高线的交点；③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所在直线异面；④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；⑤最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱．考点：棱锥的结构特征．专题：常规题型；压轴题．分析：①根据三棱锥的结构特征判断．②根据对棱不一定相互垂直判断．③可由正四面体时来判断．④由棱中点两两连接构成平行四边形判断．⑤根据两边之和大于第三边判断．解答：解：①根据三棱锥的结构特征知正确．②因为只有对棱相互垂直才行，所以不一定，不正确．③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，若是正四面体时，则两直线相交，不正确．④因为相对棱中点两两连接构成平行四边形，而对棱的中点的连接正是平行四边形的对角线，所以三条线段相交于一点，故正确．⑤设图中CD是最长边．BC+BD＞CD，AC+AD＞CD若AC+BC≤CD 且AD+BD≤CD则AC+AD+BC+BD≤CD+CD，矛盾则命题成立．故答案为：①④⑤点评：本题主要考查三棱锥的结构特征，通过作高，取中点连线，来增加考查的难度，即全面又灵活，是一道好题，属中档题．13．已知函数f（x）=|log2x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间上的最大值为2，则n+m=．考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：先结合函数f（x）=|log2x|的图象和性质，再由f（m）=f（n），得到m，n的倒数关系，再由“若f（x）在区间上的最大值为2”，求得m．n的值得到结果．解答：解：∵f（x）=|log2x|，且f（m）=f（n），∴mn=1∵若f（x）在区间上的最大值为2∴|log2m2|=2∵m＜n，∴m=∴n=2∴n+m=故答案为：点评：本题主要考查对数函数的图象和性质，特别是取绝对值后考查的特别多，解决的方法多数用数形结合法．14．已知函数f（x）=若存在x1，x2，当0≤x1＜x2＜2时，f（x1）=f（x2），则x1f（x2）的取值范围是0，）的最小值大于等于2x﹣1在0，）上的最小值为；2x﹣1在，）上递增∴当x=时y=当x=时y=∴y∈，）故答案为上的单调性并用定义证明；（3）当a=16时，若对任意x∈（0，+∞），不等式f（x）＞m﹣+9恒成立，求实数m的取值范围．考点：函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：（1）通过a的值是否为0，利用奇偶性的定义，直接判断f（x）的奇偶性；（2）通过a=16，利用函数的单调性的定义判断f（x）在x∈（0，2上递减．…（3）由题意得，由（2）知f（x）在区间（0，22，+∞）上递增，所以f（x）min=f（2）=12，…所以，即，令，则t2﹣t﹣2＜0，解得﹣1＜t＜2，故0≤t＜2，即，即1≤m＜5．…（16分）点评：本题考查函数的恒成立，函数的单调性的应用，奇偶性的判断，分类讨论思想的应用，是中档题．20．（16分）已知函数f（x）=ax2﹣|x+1|+2a（a是常数且a∈R）（1）若函数f（x）的一个零点是1，求a的值；（2）求f（x）在上的最小值g（a）；（3）记A={x∈R|f（x）＜0}若A=φ，求实数a的取值范围．考点：函数的零点；二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据函数f（x）的一个零点是1，得到f（1）=0，即可求a的值；（2）根据二次函数的图象和性质，即可求f（x）在上的最小值g（a）；（3）根据不等式的解法，即可求a的取值范围．解答：解：（1）∵函数f（x）的一个零点是1，∴．（2）f（x）=ax2﹣x+2a﹣1，x∈，①当a=0时g（a）=f（2）=﹣3．②当a＜0时，对称轴为g（a）=f（2）=6a﹣3．③当a＞0时，抛物线开口向上，对称轴x=，若x=＜1，即a＞时，g（a）=f（1）=3a﹣2．若1≤≤2，即时，g（a）=f（）=2a﹣1﹣，若＞2，即0＜a＜时，g（a）=f（2）=6a﹣3．综上：g（a）=，（3）由题意知：不等式f（x）＜0无解即ax2﹣|x+1|+2a≥0恒成立，即对任意x∈R恒成立，令t=x+1，则对任意t∈R恒成立，①当t=0时g（0）=0，②当t＞0时，③当t＜0时，∴a≥g（t）max，即．点评：本题主要考查二次函数的图象和性质以及函数零点的应用，对应含有参数的问题要对参数进行分类讨论．。

南通市2014届高三第一次调研测试数 学 试 题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合U ={1，2，3，4，5}，A ={1，2，4}，则U A =ð ▲ ．2．已知复数1z 13i =+，2z 3i =+(i 为虚数单位)．在复平面内，12z z -对应的点在第 ▲ 象限． 3．命题：“x ∃∈R ，0x ≤”的否定是 ▲ ．4．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线28y x =上横坐标为1的点到其焦点的距离为 ▲ ．5．设实数x ，y 满足0 0 3 24 x y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≤≤≥，≥，，，则32z x y =+的最大值是 ▲ ．6．如图是一个算法的流程图．若输入x 的值为2，则输出y 的值是 ▲ ． 7． 抽样统计甲，乙两个城市连续5天的空气质量指数(AQI)，数据如下：则空气质量指数(AQI )较为稳定(方差较小)的城市为 ▲ （填甲或乙）．8． 已知正三棱锥的侧棱长为1．现从该正三棱锥的六条棱中随机选取两条棱，则这两条棱互相垂直的概率是 ▲ ．9． 将函数()()sin 2f x x ϕ=+()0ϕ<<π的图象上所有点向右平移π6个单位后得到的图象关于原点对称，则ϕ等于 ▲ ．10．等比数列{a n }的首项为2，公比为3，前n 项和为S n ．若log 3［12a n (S 4m +1)］=9，则1n +4m的最小值是 ▲ ．11．若向量()cos sin αα=，a ，()cos sin ββ=，b ，且2+⋅≤a b a b ，则cos()αβ-的值是 ▲ ．（第6题）12．在平面直角坐标系xOy 中，直线y x b =+是曲线ln y a x =的切线，则当a ＞0时，实数b 的最小值是▲ ．13．已知集合M ={(,)|3x y x -≤y ≤1}x -，N ={|P PA,(1,0),(1,0)}A B -，则表示M ∩N 的图形面积等于 ▲ ．14．若函数2()2014(0)f x ax x a =++>对任意实数t ，在闭区间[1 1]t t -+，上总存在两实数1x 、2x ，使得12|()()|f x f x -≥8成立，则实数a 的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分)如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ，1AB BC ⊥，且1AA AB =． （1）求证：AB ∥平面11D DCC ；（2）求证：1AB ⊥平面1A BC ．A 1B 11CDAD 1（第15题）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边长，且c =－3b cos A ，tan C =34． （1）求tan B 的值；（2）若2c ，求△ABC 的面积．17．(本小题满分14分)已知a 为实常数，y =f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，且当x <0时，f (x )=2x －a 3x 2+1．（1）求函数f (x )的单调区间；（2）若f (x )≥a －1对一切x ＞0成立，求a 的取值范围．如图，一块弓形薄铁片EMF，点M为»EF的中点，其所在圆O的半径为4 dm（圆心O在弓形EMF内），∠EOF=23π．将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD(不计损耗)，AD∥EF，且点A、D在»EF上，设∠AOD=2θ．（1）求矩形铁片ABCD的面积S关于θ的函数关系式；（2）当矩形铁片ABCD的面积最大时，求cosθ的值．（第18题）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆22221(0)yx a ba b+=>>过点(1，又椭圆内接四边形ABCD (点A、B、C、D在椭圆上)的对角线AC，BD相交于点1(1)4P，，且2AP PC=u u u r u u u r，2BP PD=u u u r u u u r．（1）求椭圆的方程；（2）求直线AB的斜率．（第19题）已知等差数列{a n}、等比数列{b n}满足a1+a2＝a3，b1b2＝b3，且a3，a2+ b1，a1+ b2成等差数列，a1，a2，b2成等比数列．（1）求数列{a n}和数列{b n}的通项公式；（2）按如下方法从数列{a n}和数列{b n}中取项：第1次从数列{a n}中取a1，第2次从数列{b n}中取b1，b2，第3次从数列{a n}中取a2，a3，a4，第4次从数列{b n}中取b3，b4，b5，b6，……第2n－1次从数列{a n}中继续依次取2n－1个项，第2n次从数列{b n}中继续依次取2n个项，……由此构造数列{c n}：a1，b1，b2，a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6，a5，a6，a7，a8，a9，b7，b8，b9，b10，b11，b12，…，记数列{c n}的前n和为S n．求满足S n＜22014的最大正整数n．（第21—A 题）数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】A ． 选修4—1：几何证明选讲 （本小题满分10分）在△ABC 中，已知CM 是∠ACB 的平分线，△AMC 的外接圆交BC 于点N ，且BN =2AM ． 求证：AB 2=AC ．B ． 选修4—2：矩阵与变换 （本小题满分10分） 设二阶矩阵A ，B 满足11234-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，()11001-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦BA ，求1-B ．C ．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，已知曲线C ：2sin =ρθ，过极点O 的直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，AB 求直线l 的方程．D ．选修4—5：不等式选讲 （本小题满分10分）已知x ，y ，z 均为正数，求证：111y x z yz zx xy x y z++++≥．【必做题】22．（本小题满分10分）如图，设1P ，2P ，…，6P 为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S ．（1）求S =的概率； （2）求S 的分布列及数学期望()E S ．23．（本小题满分10分）已知1，2，…，n 满足下列性质T 的排列1a ，2a ，…，n a 的个数为()f n （n ≥2，且n ∈N *）． 性质T ：排列1a ，2a ，…，n a 中有且只有一个1i i a a +>（i ∈{1，2，…，1n -}）． （1）求(3)f ； （2）求()f n ．4（第22题）南通市2014届高三第一次调研测试数学试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1.{3，5}．2.二．3.x ∀∈R ，||0x >． 3. 3．4. 7．5. 32-． 6. 乙． 7.25． 8. π3． 9.52． 11．1． 12.1-． 13．.43π+． 14．8． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分)（1）证明：在四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ，AB ⊄平面11D DCC ， CD ⊂平面11D DCC ，所以//AB 平面11D DCC ． ……………………………………………………………………6分 （2）证明：在四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形11A ABB 为平行四边形，又1AA AB =，故四边形11A ABB 为菱形．从而11AB A B ⊥．…………………………………………………………………………… 9分 又1AB BC ⊥，而1A B I BC B =，1 A B ，BC ⊂平面1A BC ， 所以1AB ⊥平面1A BC ． ………………………………………………………………… 14分16．(本小题满分14分)（1）解：由正弦定理，得 sin 3sin cos C B A =-，………………………………………………2分即sin()3sin cos A B B A +=-．所以sin cos cos sin 3sin cos A B A B B A +=-． 从而sin cos 4sin cos A B B A =-． 因为cos cos 0A B ≠，所以tan 4tan A B=-．……………………………………………………4分又tan tan tan tan()tan tan 1A B C A B A B +=-+=-，由（1）知，23tan 344tan 1B B =+， 解得1tan 2B =．………………………………………………………………………………6分（2）解：由（1），得sin Asin B 3sin 5C =．………………………10分ABCCDABD（第15题）由正弦定理，得sin sin 35c A a C ===12分 所以△ABC的面积为114sin 2223ac B ==．……………………14分 17．(本小题满分14分)（1）解：由奇函数的对称性可知，我们只要讨论f (x )在区间(－∞，0)的单调性即可．f ′(x )＝2＋2a 3x 3，令f ′(x )＝0，得x ＝－a ． ………………………………………2分 ①当a ≤0时，f ′(x )＞0，故f (x )在区间(－∞，0)是单调递增．……………… 4分 ②当a ＞0时，x ∈(－∞，－a )，f ′(x )＞0，所以f (x )在区间(－∞，－a )是单调递增．x ∈(－a ，0)，f ′(x )＜0，所以f (x )在区间(－a ，0)是单调减．…… 6分综上所述：当a ≤0时，f (x )单调增区间为(－∞，0)，(0，+∞)；当a ＞0时，f (x )单调增区间为(－∞，－a )，(a ，+∞)，单调减区间为(－a ，0)，(0，a )．… 7分（2）解：因为f (x )为奇函数，所以当x ＞0时，f (x )＝－f (－x )＝－(－2 x －a 3x 2＋1)＝2x ＋ a 3x 2－1．……………… 9分①当a ＜0时，要使f (x )≥a －1对一切x ＞0成立，即2x ＋ a 3x 2≥a 对一切x ＞0成立．而当x ＝－a2＞0时，有－a +4a ≥a ，所以a ≥0，则与a ＜0矛盾．所以a ＜0不成立．………………………………………………………………………11分 ②当a ＝0时，f (x )＝2x －1＞－1=a －1对一切x ＞0成立，故a ＝0满足题设要求．…12分 ③当a ＞0时，由(1)可知f (x )在(0，a )是减函数，在(a ，+∞)是增函数．所以f min (x )=f (a )＝3a －1＞a －1，所以a ＞0时也满足题设要求．………………… 13分 综上所述，a 的取值范围是[0,)+∞．………………………………………………… 14分 18．(本小题满分16分)（1）解：设矩形铁片的面积为S ，AOM θ∠=．当03θπ<<时（如图①），4cos 2AB θ=+，24sin AD θ=⨯，()()()4cos 224sin 16sin 2cos 1S AB AD θθθθ=⨯=+⨯=+．…………………………… 3分当32θππ<≤时（如图②），24cos AB θ=⨯，24sin AD θ=⨯，故64sin cos 32sin2S AB AD θθθ=⨯==． 综上得，矩形铁片的面积S 关于θ的函数关系式为（第18①()16sin 2cos 1 0 332sin 2 .32S θθθθθπ⎧+<<⎪=⎨ππ⎪<⎩，，，≤……………………………………………………… 7分 （2）解：当03θπ<<时，求导，得 ()()()216cos 2cos 1sin 2sin 164cos cos 2S θθθθθθ'=++-=+-⎡⎤⎣⎦． 令0S '=，得cos θ．…………………………………………………………… 10分记区间(0 )3π，θ（唯一存在）．列表：又当32θππ<≤时，32sin2S θ=在[ )32ππ，上的单调减函数， 所以当0θθ=即cos θ= 16分19．(本小题满分16分)（1）解：依题意，222221314. c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎪⎩，解得224 1. a b ⎧⎪⎨⎪⎩=，= 所求椭圆的方程为2214x y +=． ………………………………… 6分（2）解：设()11 A x y ，，则221114x y +=．由2AP PC =u u u r u u u r ，得()1133428x y C --，．…………………………………………… 8分 代入椭圆方程2214x y +=，得()()21213342148x y --+=．整理，得221111319()04216x y x y +-+-=，…………………………………………… 10分即1118x y +=-．③ ……………………………………… 12分设()22 B x y ，，同理可得2218x y +=-． ④ ……………………………………… 14分 ③-④，得21211y y x x -=--，即直线AB 的斜率为21211y y k x x -==--．……………… 16分（第1920．(本小题满分16分)（1）解：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，依题意，得1112111111112111()2 () (2)()2[() ()(). a a d a d b b q b q a d a b q a d b a d a b q ++=+⎧⎪=⎪⎨+++=++⎪⎪+=⎩，，]，解得a 1=d =1，b 1=q =2．故a n =n ，b n =2n ．…………………………………………………………………………… 6分（2）解：将a 1，b 1，b 2记为第1组，a 2，a 3，a 4，b 3，b 4，b 5，b 6记为第2组，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，b 7，b 8，b 9，b 10，b 11，b 12记为第3组，……以此类推，则第n 组中，有2n －1项选取于数列{a n }，有2 n 项选取于数列{b n }，前n 组共有n 2项选取于数列{a n }，有n 2＋n 项选取于数列{b n }，记它们的总和为P n ，并且有()22211222nn n n n P +++=+-． ………… 11分222014207120144545(451)222202P +-=+-->，2220141981334444(441)22(21)202P +-=---<．当2245(451)2n S +=＋（2＋22＋…＋22012）时，222014201345(451)22202n S +-=--+<．………………………………………………… 13分当2245(451)2n S +=＋（2＋22＋…＋22013)时，22201445(451)2202n S +-=-+>．可得到符合20142n S <的最大的n =452＋2012=4037．…………………………………… 16分（第21—A 题）ABCMNO数学Ⅱ（附加题）参考答案与评分标准21．【选做题】C ． 选修4—1：几何证明选讲（本小题满分10分）证明：如图，在△ABC 中，因为CM 是∠ACM 的平分线，所以AC AM BC BM=， ① …………………………… 3分 又因为BA 与BC 是圆O 过同一点B 的割线， 所以BM BA BN BC ⋅=⋅， 即BA BN BC BM=，…………………………………… 6分 又BN =2AM ， 所以2 BA AM BC BM=， ②…………………………… 8分 由①②，得AB 2=AC ． ……………………… 10分 D ． 选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）解：设1a b c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B，因为()111---=BA A B ，…………………………………… 2分 所以10120134a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即21 20 340 341 a c b d a c b d +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，，，，…………………………………… 6分 解得2 1 3 21 2a b c d =-⎧⎪=⎪⎪⎨=⎪⎪=-⎪⎩，，，，所以1213122--⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎣⎦B ．…………………………………………… 10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）解：设直线l 的方程为0θθ=(ρ∈R )，() 0A 0，，()10 B ρθ，，…………………………2分 则1|0|AB =-=ρ0|2sin |θ．…………………………………………………………… 5分 又3AB =，故03sin =θ ……………………………………………………… 7分解得03π=θ+2k π或03π=-θ+2k π，k ∈Z ．所以直线l 的方程为3π=θ或32π=θ (ρ∈R )． …………………………………… 10分D ．选修4—5：不等式选讲 （本小题满分10分）证明：因为x ，y ，z 均为正数，所以()12y y x x yz zx z x y z++≥≥．……………… 4分同理可得2y z xy zx x +≥，2x z yz xy y+≥．…………………………………………… 7分当且仅当x =y =z 均时，以上三式等号都成立． 将上述三个不等式两边左，右两边分别相加，并除以2，得111yx z yzzxxyxyz++++≥．……………………………………………………… 10分 【必做题】22．（本小题满分10分）解：（1）从六个点任选三个不同点构成一个三角形共有36C 种不同选法，其中S =的为有一个角是30o的直角三角形（如△145P P P ），共6212⨯=种，所以(361235C P S ===． ………………… 3分（2）S．S =的为顶角是120o的等腰三角形（如△123P P P ），共6种，所以(366310C P S ==．…………………………………………… 5分S =的为等边三角形（如△135P P P ），共2种，所以(362110C P S ===．…… 7分又由（1）知(361235C P S ===，故S的分布列为所以331()10510E S 10分23．（本小题满分10分）解：（1）当3n =时，1，2，3的所有排列有(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)， (3，1，2)，(3，2，1)，其中满足仅存在一个i ∈{1，2，3}，使得1i i a a +>的排列有(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，所以(3)4f =．………………………………………………………………………… 3分 （2）在1，2，…，n 的所有排列1(a ，2a ，…，)n a 中，若(11)i a n i n =-≤≤，从1n -个数1，2，3，…，1n -中选1i -个数按从小到大的顺序排列为1a ，2a ，…，1i a -，其余按从小到大的顺序排列在余下位置，于是满足题意的排列个数为11C i n --．………………………………………… 6分 若n a n =，则满足题意的排列个数为(1)f n -．…………………………… 8分 综上，()f n =(1)f n -+1111Cn i n i ---=∑1(1)21n f n -=-+-．从而()33212()(3)(3)2112n n f n n f n --=--+=---． ……………………… 10分564（第22题）。

江苏省南通第一中学2014—2015学年度第一学期期中考试卷高三数学（理）数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应．．．．．位置上．．．． 1．i 是虚数单位，()=-+113i i i ▲ ． 2．设集合|l 3M {}x x <<=，2N {|20}x x x =-<，则 = ▲ ．3．已知平面向量(2,1)=-a ，向量(1,1)=b ，向量(5,1)=-c . 若()//k +a b c ，则实数k 的值 为 ▲ ．4.已知数列{}n a ，n s 是{}n a 的前n 项和，且21n s n =+，则数列{}n a 的通项n a ＝ ▲ ．5．函数y ＝23log (2)x x -的单调递减区间是 ▲ ．6．设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k = ▲ ．．7．已知4(,0),cos()25παπα∈--=-，则tan 2α= ▲ ． 8.要得到1sin2y x =的图象，只须将函数1sin()23y x π=-的图象向左最少平移 ▲个单位。

9．设命题p ：2210ax ax ++>的解集是实数集R ；命题q ：01a <<，则p 是q 的 ▲ ． （填．充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件）10．已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝ ▲11．在四边形ABCD 中，AB =DC =（1，1），113B A B CB DB A B CB D+=，则四边形ABCD的面积是 ▲ ． 12．给出下列四个命题（1）命题“x R ∀∈，cos 0x >”的否定是“x R ∃∈，cos 0x …”；（2）若2()21f x ax x =++只有一个零点，则1a =；（3）命题“若且，则”的否命题为“若且，则”；（4）对于任意实数x ，有()()f x f x -=，()()g x g x -=-，且当0x >时，()0f x '>，()0g x '>， 则当0x <时，()()f x g x ''>；（5）在中，“”是“”的充要条件。

2014-2015学年江苏省南通市某校高三（上）调研数学试卷（文科）（一）一、填空题1. 已知集合A ={1, 3, m +1}，B ={1, m}，A ∪B =A ，则m =________．2. 已知a →=(3, 3)，b →=(1, −1)，若(a →+λb →)⊥(a →−b →)，则实数λ=________．3. 圆锥的母线长为3，侧面展开图的中心角为2π3，那么它的表面积为________．4. 函数函数y =x a 2−2a−3是偶函数，且在(0, +∞)上是减函数，则整数a 的取值为________．5. 若命题“∃x ∈R ，使得x 2+4x +m <0”是假命题，则实数m 的取值范围是________．6. 已知数列{a n }为等差数列，且a 1+a 4+a 7=12，则S 7=________．7. 若实数x ，y 满足{y ≥2x −2y ≥−x +1y ≤x +1，则z =2x +y 的最小值为________．8. 已知函数f(x)=2sin(ωx +π6)(ω>0)，函数f(x)的图象与x 轴两个相邻交点的距离为π，则f(x)的单调递增区间是________．9. 曲线y =x 3+mx +c 在点P(1, n)处的切线方程为y =2x +1，其中m ，n ，c ∈R ，则m +n +c 的值为________．10. 将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得平面ADC ⊥平面ABC ，则折起后形成的三棱锥D −ABC 的体积是________．11. 已知f(x)=log 4(x −2)，若实数m ，n 满足f(m)+f(2n)=1，则m +n 的最小值是________．12. 已知|OA →|=4，|OB →|=2，OA →与OB →的夹角为120∘，点P 为线段AB 上得一点，且BP →=3PA →，则OP →⋅AB →=________．13. 已知数列{a n }满足：a n +a n+1=2n +1(n ∈N ∗)，且a 1=3，则a 2014=________．14. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f(x)=|x −a 2|+|x −3a 2|−4a 2．若对任意x ∈R ，f(x)≤f(x +2)，则实数a 的取值范围为________．二、解答题15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边为a ，b ，c ．（1）若sin(A +π6)=2cosA ，求A 的值． （2）若cosA =13，b =3c ，求sinC 的值．16. 如图，在三棱锥P−ABC中，BC⊥平面PAB．已知PA=AB，D，E分别为PB，BC的中点．（1）求证：AD⊥平面PBC；（2）若点F在线段AC上，且满足AD // 平面PEF，求AF的值．FC17. 已知关于x的不等式(ax−1)(x+1)>0．（1）若此不等式的解集为{x|−1<x<−1}，求实数a的值；2（2）若a∈R，解这个关于x的不等式．18. 已知数列a n的前n项和S n:a n+3S n=1，b n+10=3log1a n(n∈N∗)4（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：数列{b n}是等差数列；（3）若c n=a n⋅b n，则是否存在正整数k，使c k，c k+1，c k+2重新排列后成等比数列，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．19. 某公司为了公司周年庆典，先将公司门前广场进行装饰，广场上有一垂直于地面的墙面AB高8+8√3，一个垂直于地面的可移动柱子CD高为8m，现用灯带对它们进行如下装饰（如图）：设柱子CD与墙面AB相距8m，在AB上取一点E，以C为支点将灯带拉直并固定在地面的F处，再讲灯带拉直依次固定在D处、B处、E处，形成一个三角形型的灯带（图中虚线所示）设∠EFB=θ，灯带总长为y（单位：m）（1）求y关于θ的函数表达式及θ的取值范围；（2）当BE多长时，所用灯带总长最短？20. 已知函数f(x)=xlnx．（1）求函数y=f(x)的单调区间；（2）是否存在正数x1，x2，且|x1−x2|≥1，使得f(x1)=f(x2)．若存在，求出x1，x2的值；若不存在，说明理由．2014-2015学年江苏省南通市某校高三（上）调研数学试卷（文科）（一）答案1. 32. 93. 4π4. 15. [4, +∞)6. 287. 18. [−2π3+2kπ, π3+2kπ]，k∈Z9. 510. √21211. 3+2√212. −1313. 201214. [−√22, √2 2]15. 解：（1）若sin(A+π6)=2cosA，即sinA⋅√32+cosA⋅12=2cosA，变形可得sinA⋅√32=32cosA，即sinA=√3cosA，则tanA=√3，则A=π3；（2）cosA=b 2+c2−a22bc=10c2−a26c2=13，∴ 8c2=a2，∴ a=2√2c，∴ 2√2sinC=sinA=√1−cos2A=2√23，∴ sinC=13．16. 解：（1）∵ BC⊥平面PAB，AD⊂平面PAB，∴ BC⊥AD．∵ PA=AB，D是PB的中点，∴ AD⊥PB∵ PB、BC是平面PBC内的相交直线，∴ AD平面PBC；（2）连结DC，交PE于点G，连结FG、DE∵ AD // 平面PEF，AD⊂平面ADC，平面ADC∩平面PEF=FG，∴ AD // FG．∵ D、E分别是PB、BC的中点，∴ DE为△BPC的中位线，因此，△DEG∽△CPG，可得DGGC =DEPC=12，∴ AFFC =DGGC=12，即AFFC的值为12．17. 解：（1）∵ 不等式(ax−1)(x+1)>0的解集为{x|−1<x<−12}，∴ 方程(ax−1)(x+1)=0的两根是−1，−12；∴ −12a−1=0，∴ a=−2；（2）∵ (ax−1)(x+1)>0，∴ a<0时，不等式可化为(x−1a)(x+1)<0；若a<−1，则1a >−1，解得−1<x<1a；若a=−1，则1a=−1，解得不等式为⌀；若−1<a<0，则1a <−1，解得1a<x<−1；a=0时，不等式为−(x+1)>0，解得x<−1；当a>0时，不等式为(x−1a)(x+1)>0，∵ 1a >−1，∴ 解不等式得x<−1或x>1a；综上，a<−1时，不等式的解集为{x|−1<x<1a}；a=−1时，不等式的解集为⌀；−1<a<0时，不等式的解集为{x|1a<x<−1}；a=0时，不等式的解集为{x|x<−1}；当a>0时，不等式的解集为{x|x<−1, 或x>1a}．18. 解：（1）∵ a n+3S n=1，∴ a n+1+3S n+1=1，两式相减得a n+1−a n+3(S n+1−S n)=0a n+1−a n+3a n+1=0，则a n+1=14a n，则数列{a n }是公比q =14的等比数列， 当n =1时，a 1+3S 1=1，解得a 1=14， 则a n =14⋅(14)n−1=(14)n ．（2）∵ b n +10=3log 14a n =3n ， ∴ b n =3n −10，则b n −b n−1=3，则数列{b n }是等差数列，公差d =3，首项b 1=−7．（3）∵ b n =3n −10，c n =a n ⋅b n ，∴ c n =(3n −10)•(14)n ，则c k =(3k −10)•(14)k ， c k+1=(3k −7)•(14)k+1，c k+2=(3k −4)•(14)k+2， 若存在正整数k ，使c k ，c k+1，c k+2重新排列后成等比数列，则满足c k+12=c k c k+2，即[(3k −7)⋅(14)k+1]2=(3k −10)•(14)k )(3k −4)•(14)k+2，即(3k −7)2•(14)2k+2=(3k −10)⋅(3k −4)•(14)2k+2，则(3k −7)2=(3k −10)⋅(3k −4)，展开得49=40，方程不成立，即k 不存在． 19. 解：（1）过C 点作CM ⊥BE ，垂足为E ．在Rt △CME 与Rt △CFD 中，CE =CM cosθ，EM =CMtanθ，CF =CD sinθ，FD =CD tanθ， ∴ y =CE +CF +BF +BE =8cosθ+8sinθ+8+8tanθ+8+8tanθ=8(1+sinθcosθ+cosθ+1sinθ)+16 =8(sinθ+cosθ+1)sinθcosθ+16．在△CEM 中，0<tanθ≤√3，∴ θ∈(0,π3]．（2）设sinθ+cosθ=t=√2sin(θ+π4)，∵ θ∈(0,π3]，∴ (θ+π4)∈(π4，7π12)．∴ sin(θ+π4)∈(√22，1]，∴ t∈(1,√2]．∴ t2=1+2sinθcosθ，∴ sinθcosθ=t2−12．∴ y=8(t+1)t2−12+16=16t−1+16，∵ t∈(1,√2]，∴ 1t−1≥√2−1=√2+1．∴ y≥16(√2+1)+16=32+16√2，当t=√2时，θ=π4，此时EM=CM=8，∴ BE=16<8+8√3．20. 解：（1）∵ f(x)=xlnx，定义域为(0, +∞)，∴ f′(x)=lnx+1，∴ 由f′(x)>0得，x>1e ，由f′(x)<0得，0<x<1e，∴ f(x)=xlnx的单调递增区间是(1e , +∞)，单调递减区间是(0, 1e)．（2）不存在．假设存在正数x1，x2，且|x1−x2|≥1，使得f(x1)=f(x2)，不妨令x1<x2，则由f(x1)= f(x2)得，x1lnx1=x2lnx2，即x2lnx2−x1lnx1=0，∴ x2(lnx2−lnx1)<0，即ln x2x1<0，∴ x2x1<1，即x2<x1，这与|x1−x2|≥1相矛盾，故不存在正数x1，x2，且|x1−x2|≥1，使得f(x1)=f(x2)．。

江苏省南通第一中学2014—2015学年度第一学期阶段考试卷高三数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上．.1．设集合{A =，{}B a =，若B A ⊆，则实数a 的值为___▲___． 2．设复数z 满足（i 为虚数单位），则=___▲___．3．若命题“存在R ，使x 2+2x +m ≤0”是假命题，则实数m 的取值范围是___▲_ _．4．设向量(2,1)x -，(1,4)x +，则“3x =”是“∥”的___▲___的条件．（从“充分不必要”,“必要不充分”,“充要”,“既不充分也不必要”中选出符合题意的一个填空）5．函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间为 ▲ ． 6．已知函数 （）的部分图象如下图所示，则的函数解析式为 ▲ ．7．已知函数的导数()f x '＝a (x ＋1)(x －a )，若f (x )在x ＝a 处取到极大值，则实数a 的取值范围是 ▲ ．8．已知实数,x y 满足1310x y x y -⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤+，则222x y x -+的最小值是 ▲ ．9．设等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N*)．若S 3，S 9，S 6成等差数列，则 a 8a 2＋a 5的值是 ▲ ． 10．设P是函数1)y x +图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是 ▲ ．i 12i z =+||z x ∈(x ==-a b ,1),(3,x ==-a b a b ()cos ()f x A x ωϕ=+0,0,2A πωϕ>><)(xf ()f x11．在直角三角形中，90,2,ACB AC BC ∠=== 点是斜边上的一个三等分点，则 ▲ ．12．已知函数3[0,1]()93,(1,3]22x x f x x x ⎧, ∈⎪=⎨- ∈⎪⎩，当[0,1]m ∈时，(())[0,1]f f m ∈，则实数m 的取值范围是 ▲ ．13．已知直线2y ax =+与圆22230x y x ++-=相交于A 、B 两点，点00(,)P x y 在直线2y x =上，且PA PB =，则0x 的取值范围为 ▲ ．14．给出定义，若11(,]22x m m ∈-+（其中m 为整数），则m 叫做与实数x “亲密的整数”，记作{}x m =，在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x =-的四个命题：①函数()y f x =是周期函数，最小正周期为1；②函数()y f x =在开区间(0,1)是增函数；③函数()y f x =的图象关于直线2kx =（k ∈Z ）对称； ④当(0,2]x ∈时，函数()()ln g x f x x =-有两个零点． 其中正确命题的序号是 ▲ ．（写出所有正确命题的序号）二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15．（本小题满分14分）设命题p ：关于x 的不等式12x a -⋅≥0在(,0]x ∈-∞上恒成立；命题q ：函数2lg()y ax x a =-+的定义域是实数集R ．如果命题p 和q 有且仅有一个正确，求实数a的取值范围．16．（本小题满分14分）在中，分别为角的对边，，且. （1）求角的大小；（2）求的取值范围．17．（本小题满分15分）如图，有一块边长为2（百米）的正方形区域ABCD ，在点A 处有一个可转动的探照灯，其照射角∠P AQ 始终为45°（其中点P ，Q 分别在边BC ，CD 上），设∠P AB ＝θ，tan θ＝t ．（1）用t 表示出PQ 的长度，并探求△CPQ 的周长l 是否为定值；（2）问探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S 至多为多少（平方百米）？18．（本小题满分15分）若半径为r 的圆C ：220x y Dx Ey F ++++=的圆心C 到直线l ：0Dx Ey F ++=的距离为d ，其中222D E F +=，且0F >． （1）求F 的范围； （2）求证：22d r -为定值；（3）是否存在定圆M ，使得圆M 既与直线l 相切又与圆C 相离？若存在，请求出定圆M 的方程，并给出证明；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分16分）已知函数f (x )＝mx 2－x ＋ln x ．ABC ∆,,a b c ,,A B C 1sin(2)22C π-=222a b c +<C a bc+（1）当m ＝－1时，求f (x )的最大值；（2）若在函数f (x )的定义域内存在区间D ，使得该函数在D 上为减函数，求实数m 的取值范围；（3）当m ＞0时，若曲线C ：y ＝f (x )在点x ＝1处的切线l 与C 有且只有一个公共点，求m 的值．20．（本小题满分16分）在数列中，，且对任意的k ∈*N ，成等比数列，其公比为． （1）若= 2（k ∈*N ），求13521k a a a a -++++；（2）若对任意的k ∈*N ，,,成等差数列，其公差为，设． ① 求证：成等差数列，并指出其公差； ②若=2，试求数列的前项的和．江苏省南通第一中学2013—2014学年度第一学期阶段考试{}n a 11a =21221,,k k k a a a -+k q k q k a 212+k a 22+k a k d 11k k b q =-{}k b 1d {}k d k k D高三数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上．.1．0 23．(1,)+∞ 4．充分不必要 5．(0,1) 6．7．(－1,0) 8．1 9． 10． ⎣⎡⎭⎫π3，π2 11．4 12．37[log ,1]3 13．3(1,0)(0,)5- 14．①③④二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．解：若命题p 为真，即1()2x a ≤在(],0x ∈-∞上恒成立，∴ 1a ≤． ……………5分若命题q 为真，即20ax x a -+>在R 上恒成立，①若0a =，则 0x ->在R 上恒成立，显然不可能，舍去； ②若0a ≠，则2140a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得12a >． ………………………10分∵ 命题p 和q 有且仅有一个正确，∴ p 真q 假或者p 假q 真， ……………………12分而由p 真q 假，可得12a ≤；由p 假q 真，可得1a >， 综上可得，所求a 的取值范围为()1,1,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦． ………………………14分16．解：（1）（法一）因为，由余弦定理得，222cos 02a b c C ab+-=<，所以∠C 为钝角． ………………………2分因为，32222C πππ<-<，所以5226C ππ-=，解得23C π∠=． 6分（法二）因为，由余弦定理得，222cos 02a b c C ab+-=<，所以∠C 为钝角． 2分所以22C ππ<<，又cos 2sin(22C C π=--)，所以1cos 22C =-，解得423C π=，即23C π∠=． ………………………6分（2）（法一）由（1）得，,033B A A ππ∠=-∠ <<，根据正弦定理得，3cos()24x y π=+12222a b c +<1sin(2)22C π-=222a b c +<sin sin()sin sin 3sin sin A A a b A B c C Cπ+-++== ………………………8分1sin )])23A A A A π=+-=+， ………………………11分因为2333A πππ<+<sin()13A π<+≤， 从而a b c +的的取值范围是(1,3． ……………………………14分（法二）由（1）得，23C π∠=，根据余弦定理得， 2222222cos3c a b ab a b ab π=+-=++ …………………………8分22223()()()()24a b a b ab a b a b +=+-≥+-=+，所以24(),3a b a b c c ++≤ ≤ ………………………………………11分又,a b a b c c ++>>1，从而a b c +的的取值范围是(1,3． ……………14分17．解：（1）BP ＝t ，CP ＝1－t ，0≤t ≤1，∠DAQ ＝45°－θ，DQ ＝tan(45°－θ)＝1－t1＋t， (2)分CQ ＝1－1－t 1＋t ＝2t1＋t，PQ ＝CP 2＋CQ 2＝＝1＋t 21＋t ，………………………………5分所以△CPQ 的周长l ＝CP ＋CQ ＋PQ ＝1－t ＋2t 1＋t ＋1＋t21＋t＝1－t ＋1＋t ＝2，故△CPQ 的周长l 为定值． (8)分（2）S ＝S 正方形ABCD －S △ABP －S △ADQ ＝1－t 2－12×1－t 1＋t (11)分＝2－12⎝⎛⎭⎫t ＋1＋2t ＋1≤2－2，当且仅当t ＝2－1时，取等号． …………………………………………14分答：探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S 至多为2－2(平方百米)．…………………………………………15分 18．解：（1）因为，又，且， 所以且，解得． …………………………………………4分（2）易得圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离， 所以． …………………………………………8分（3）存在定圆：满足题意， …………………………………………9分下证之：1 因为M (0，0)到直线1R ==，所以圆与直线相切；2 因为F CM =，且11R +， 事实上，，故1CM R >+，所以圆与圆相离．由1，2得，存在定圆：满足题意． ………………………………15分19．解：（1）当m ＝－1时f (x )＝－x 2－x ＋ln x ，定义域为(0，＋∞)，因为f ′(x )＝－2x －1＋1x ＝－(21)(1)x x x-+，所以当0＜x ＜12，f ′(x )＞0；当x ＞12，f ′(x )＜0，因此当x ＝12 时，f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－34－ln 2． ………………………………4分（2）f ′(x )＝2mx －1＋1x ＝2mx 2－x ＋1x，即2mx 2－x ＋1≤0在(0，＋∞)上有解，①当m ≤0显然成立；②m ＞0时，由于对称轴x ＝14m ＞0，故Δ＝1－8m ≥0⇒m ≤18，所以0＜m ≤18，而当m = 18 时，2×18x 2－x ＋1=（12x ）2－x ＋1=（12x －1）2≥0在(0，＋∞)上恒成立，不适合题意， ………………………………8分综上，m 的取值范围是m ＜18． (9)分(3)因为f (1)＝m －1，f ′(1)＝2m ，所以切线方程为y －m ＋1＝2m (x －1)，即y ＝2mx －m －1 从而方程mx 2－x ＋ln x ＝2mx －m －1在(0，＋∞)上只有一解． 令g (x )＝mx 2－（1＋2m ）x ＋ln x ＋m ＋1，则224+>D E F 222D E F +=0F >24,>F F 0F >4>F C ()D E C --, rC l 22F d-==2222212F d r --=-=M 221x y +=l M l ()2241140224F F F F -⇔->⇔>M C M 221x y +=g ′(x )＝2mx －（1＋2m ）＋1x ＝(21)(1)mx x x --， (11)分所以①当m ＝12，g ′(x )≥0所以y ＝g (x )在x ∈(0，＋∞)单调递增，且g (1)＝0，所以mx 2－x ＋ln x ＝2mx －m －1只有一解．②当0＜m ＜12，x ∈(0,1)，g ′(x )＞0；x ∈⎝⎛⎭⎫1，12m ，g ′(x )＜0；x ∈⎝⎛⎭⎫12m ，＋∞，g ′(x )＞0， 由g (1)＝0及函数单调性可知g ⎝⎛⎭⎫12m ＜0，因为g (x )＝mx ⎝⎛⎭⎫x －⎝⎛⎭⎫2＋1m ＋m ＋ln x ＋1，取x ＝2＋1m，则g ⎝⎛⎭⎫2＋1m ＞0， 因此在⎝⎛⎭⎫12m ，＋∞方程mx 2－x ＋ln x ＝2mx －m －1必有一解从而不符题意； ③当m ＞12，x ∈⎝⎛⎭⎫0，12m ，g ′(x )＞0；x ∈⎝⎛⎭⎫12m ，1，g ′(x )＜0；x ∈(1，＋∞)，g ′(x )＞0 同理在⎝⎛⎭⎫0，12m 方程mx 2－x ＋ln x ＝2mx －m －1必有一解，不符题意， 综上所述m ＝12. …………………………………………16分20．解：（1）因为= 2，所以21214k k a a +-=，故13521,,,,k a a a a -是首项为1，公比为4的等比数列，所以13521141(41)143k kk a a a a --++++==--， ………………………4分（2）①因为,,成等差数列，所以2=+， 而21222211,k k k k k k a a a a q q ++++= =⋅，所以112k k q q ++=，即111k k k q q q +--=， …………7分 得1111111k k k k q q q q +==+---，即111111k k q q +-=--，所以11k k b b +-=， 所以成等差数列，且公差为1． ………………………………………………9分②因为=2，所以，则由223212a a a =⨯=+，解得22a =或21a =-， ……………10分当22a =时，q 1= 2，所以b 1=1，则b k =1+（k —1）= k ，即11k k q =-，得1k k q k +=，所以221211)k k a k a k+-+=(， 则2222212132112123112)))11)11k k k k k a a a k k a a k a a a k k +-+--+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(⋅(⋅⋅⋅⋅⋅(⋅=(+-，……………12分k q k a 212+k a 22+k a 12+k a k a 222+k a {}k b 1d则2212(1)(1)1k k ka k a k k k q k++===++， 所以2121k k k d a a k +=-=+，故(3)2k k k D +=， ……………………………………14分当21a =-时，q 1= -1，所以b 1=12-，则b k =12-+（k —1）= k 32-，即1312k k q =--，得12123232k k k q k k --==--，所以2212121)23k k a k a k +--=(-， 则2222212132112123121231)))11)23251k k k k k a a a k k a a k a a a k k +-+----=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(⋅(⋅⋅⋅⋅⋅(⋅=(2----， 所以2212(21)(21)(23)2123k k ka k a k k k q k +-===----， 则21242k k k d a a k +=-=-，故22k D k =，综上所述，(3)2k k k D +=或22k D k =． (16)分。

2014—2015学年度第一学期江苏省南通第一中学高三阶段考试数学试题注意事项：本试卷分试题和答卷两部分，共160分，考试时间为120分钟．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 已知集合U ＝{2,3,6,8}，A ＝{2,3}，B ＝{2,6,8}，则(∁U A )∩B ＝ ▲ ． 2． 命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是 ▲ ． 3．函数()f x =的定义域是 ▲ ．4． 若a ＝30.6，b ＝log 30.2，c ＝0.63，则a 、b 、c 的大小关系为 ▲ ．（从大到小排列） 5． 函数y ＝x e x 的最小值是 ▲ ．6． 已知U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，B ∩(∁U A )＝∅，则m ＝ ▲ ． 7． 已知命题p ：“∃x ∈R ，使得x 2＋2ax ＋1＜0成立”为真命题，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 8．已知函数()f x =的值域是[)0+∞，则实数m 的取值范围是 ▲ ．9． 已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg 2))＝ ▲ ．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－3a )x ＋10a ，x ≤7，a x －7，x >7是定义域R 上的递减函数，则实数a 的取值范围是 ▲ ．11．函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x <0的解集为 ▲ ．12．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝|x |，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin (πx )，x ＞0，－1x，x ＜0，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]上的零点的个数为 ▲ ．13．将一个长宽分别是a ，b (0<b <a )的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则ab的取值范围是 ▲ ．14．设a ＞0，函数2(),()ln a f x x g x x x x=+=-，若对任意的x 1，x 2∈[1,e ]，都有12()()f x g x ≥成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题14分）已知集合A ＝{y |y ＝2x －1,0＜x ≤1}，B ＝{x |(x －a )[x －(a ＋3)]＜0}．分别根据下列条件，求实数a 的取值范围． (1)A ∩B ＝A ；(2)A ∩B ≠∅. 16．（本小题14分）已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a >0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立． (1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－k x 是单调函数，求k 的取值范围．17．A,B 两地相距S 千米，要将A 地所产汽油运往B 地．已知甲、乙二型运油车行驶S 千米的耗油量（不妨设空载时，满载时相同）分别为各自满载油量的11,1514，且甲型车的满载油量是乙型车的56，今拟在A,B 之间设一运油中转站C ，由从A 出发，往返于A,C 之间的甲型车将A 处的汽油运至C 处，再由从C 出发，往返于C,B 之间的乙型车将C 处收到的汽油运至B 处．若C 处收到的汽油应一次性运走，且各辆车的往返耗油从各自所载汽油中扣除，问C 地设在何处，可使运油率最大？此时，甲、乙二型汽车应如何配备？（运油率精确到1%，运油率=B 处收到的汽油A 处运出的汽油×100%） 18．（本小题16分）已知定义域为R 的函数()122x x af x b+-+=+是奇函数，（1）求,a b 的值；( 2) 判断并证明函数()f x 的单调性；（3）若对任意的t ∈R ，不等式()()22220f t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围.19．（本小题16分）已知函数()2f x x x a x =-+．（1）若函数()f x 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；（2）求所有的实数a ，使得对任意[1,2]x ∈时，函数()f x 的图象恒在函数()21g x x =+图象的下方；（3）若存在[4,4]a ∈-，使得关于x 的方程()()f x t f a =有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．20．（本小题16分）已知函数f (x )＝sin x －x cos x 的导函数为f ′(x )． (1)求证：f (x )在(0，π)上为增函数；(2)若存在x ∈(0，π)，使得f ′(x )＞12x 2＋λx 成立，求实数λ的取值范围；(3)设F (x )＝f ′(x )＋2cos x ，曲线y ＝F (x )上存在不同的三点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)， x 1＜x 2＜x 3，且x 1，x 2，x 3∈(0，π)，比较直线AB 的斜率与直线BC 的斜率的大小，并证明．_____________________________________________________________________________________命题、校对、制卷： 吴勇贫 审核：吴勇贫江苏省南通第一中学2015届高三阶段考试理科数学答案1. 解析 由集合的运算，可得(∁U A )∩B ＝{6,8}∩{2,6,8}＝{6,8}．答案 {6,8}2．解析 由于“x ，y 都是偶数”的否定表达是“x ，y 不都是偶数”，“x ＋y 是偶数”的否定表达是“x ＋y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”． 答案 若x ＋y 不是偶数，则x 、y 不都是偶数 3． {0}∪[1,+∞)；4． 解析 30.6＞1，log 30.2＜0,0＜0.63＜1，所以a ＞c ＞b .答案 a ＞c ＞b5． 解析 y ′＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x ，令y ′＝0，则x ＝－1，因为x ＜－1时，y ′＜0，x ＞－1时，y ′＞0，所以x ＝－1时，y min ＝－1e .答案 －1e6．答案0,1，－12；7． 解析 “∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋1＜0”是真命题，即不等式x 2＋2ax ＋1＜0有解，∴Δ＝(2a )2－4＞0，得a 2＞1，即a ＞1或a ＜－1. 答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)8．[][)0,19,+∞，试题分析：由题意得：函数2(3)1y mx m x =+-+的值域包含[)0,+∞， 当m ＝0时，31[0,),y x =-+∈⊃+∞R 满足题意；当0m ≠时，要满足值域包含[)0,+∞，需使得0,0.m >∆≥即9m ≥或01m <≤， 综合得：实数m 的取值范围是[][)0,19,+∞.9．解析 ∵f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4，①∴f (－x )＝a (－x )3＋b sin(－x )＋4， 即f (－x )＝－ax 3－b sin x ＋4，② ①＋②得f (x )＋f (－x )＝8，③又∵lg(log 210)＝lg ⎝⎛⎭⎫1lg 2＝lg(lg 2)－1＝－lg(lg 2)， ∴f (lg(log 210))＝f (－lg(lg 2))＝5，又由③式知f (－lg(lg 2))＋f (lg(lg 2))＝8， ∴5＋f (lg(lg 2))＝8，∴f (lg(lg 2))＝3. 答案 310．解析 ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－3a )x ＋10a ，x ≤7，a x －7，x >7是定义域上的递减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－3a <0，0<a <1，(1－3a )×7＋10a ≥a 0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－3a <0，0<a <1，7－11a ≥1，解得13<a ≤611.答案 ⎝⎛⎦⎤13，61111．解析 当x ∈(0,1)时，cos x >0，f (x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫1，π2时，cos x >0，f (x )<0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，4时，cos x <0，f (x )<0，当x ∈(－1,0)时，cos x ＞0，f (x )＞0；当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，－1时，cos x ＞0，f (x )＜0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫－4，－π2时，cos x ＜0，f (x )＜0. 故不等式f (x )cos x <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－π2<x <－1，或1<x <π2. 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－π2＜x ＜－1，或1＜x ＜π212．解析 函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝－f (x )，故f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝－[－f (x )]＝f (x )，即函数f (x )的周期为2，作出x ∈[－1,1]时，f (x )＝|x |的图象，并利用周期性作出函数f (x )在[－5,5]上的图象，在同一坐标系内再作出g (x )在[－5,5]上的图象，由图象可知，函数f (x )与g (x )的图象有9个交点，所以函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]上的零点的个数为9.答案 913．解析 设切去正方形的边长为x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，b 2，则该长方体外接球的半径为r 2＝14[(a －2x )2＋(b －2x )2＋x 2]＝14[9x 2－4(a ＋b )x ＋a 2＋b 2]，在x ∈⎝⎛⎭⎫0，b 2存在最小值时，必有0<2(a ＋b )9<b 2，解得a b <54，又0<b <a ⇒a b >1，故ab 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，54. 14．答案)+∞．15．解 因为集合A 是函数y ＝2x －1(0＜x ≤1)的值域，所以A ＝(－1,1]，B ＝(a ，a ＋3)．…………………………4分(1)A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a ＋3＞1，即－2＜a ≤－1，故当A ∩B ＝A 时，a 的取值范围是(－2，－1]．……………………7分 (2)当A ∩B ＝∅时，结合数轴知，a ≥1或a ＋3≤－1，即a ≥1或a ≤－4. …………12分 故当A ∩B ≠∅时，a 的取值范围是(－4,1). …………………14分16．解 (1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0，∴b ＝a ＋1，……………………2分 ∴f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1.∵对任意实数x 均有f (x )≥0恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＝(a ＋1)2－4a ≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，(a －1)2≤0.………………4分 ∴a ＝1，从而b ＝2，∴f (x )＝x 2＋2x ＋1， ………………6分∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x ＞0，－x 2－2x －1，x ＜0. ………………8分(2)g (x )＝x 2＋2x ＋1－k x ＝x 2＋(2－k )x ＋1. ∵g (x )在[－2,2]上是单调函数， ∴k －22≤－2或k －22≥2，………………12分解得k ≤－2或k ≥6. ………………14分 故k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞). 17．解：设AC ＝l （千米），0＜l ＜S ，则CB ＝S －l （千米），设甲型车满车载油量为a 吨，则乙型车满车载油量为65a 吨．…………2分一辆甲型车往返一次，C 地收到的汽油为12(1)15la S -⋅吨，一辆乙型车往返一次，B 地收到的汽油为1212()(1)[1]1514l S l a S S--⋅⨯-⋅吨．………6分故运油率21(1)(1)261157(1)()1577l S l a l l S S y a S S--⋅⨯-⋅==-⋅+⋅ 2216()105357l l S S =-+⋅+． …………8分 当1335242()105l S =-=-时，y 有最大值，max 24387%280y =≈． …………10分 此时一辆甲型车运到C 处的汽油量为910a 吨，设甲、乙二型车各x 、y 辆，则有96105a x a y ⋅=⋅，所以43x y =． …………12分答：C 地设在靠近B 地的四分之一处，可使运油率最大，此时甲、乙二型车数量之比为4:3．………………………………………………14分18．解：（1）()(),f x f x -=-112222x x x x a ab b--++-+-∴=++，()()()()112222x x x x b a b a -+-∴+-=+-,42222222x x x x ab b a a b --∴-+⋅-⋅=⋅-⋅4201222ab a b ab a b-=⎧=⎧⎪=⇒⎨⎨=⎩⎪=⎩. 4分 （2）因为()11212xf x =-++，所以()y f x =是单调递减的.证明：设12,x x <()()()()211212221212x x x x f x f x --=++,因为12,x x <所以21220,x x ->从而()()12f x f x >，所以()y f x =在R 上是单调递减的. 10分（3）()()2222,f t f t k -<--又()f x 是奇函数，∴()()2222,f t f k t -<-又()f x 是减函数，∴2222t k t ->-，即232,k t <-∴ 2.k <- 16分19．解：（1）22(2),,()2(2),,x a x x a f x x x a x x a x x a ⎧+-⎪=-+=⎨-++<⎪⎩≥由()f x 在R 上是增函数，则2,22,2a a a a -⎧-⎪⎪⎨+⎪⎪⎩≥≤即22a -≤≤，则a 范围为22a -≤≤；…4分 （2）由题意得对任意的实数[1,2]x ∈，()()f x g x <恒成立，即1x x a -<，当[1,2]x ∈恒成立，即1x a x -<，11x a x x-<-<，11x a x x x -<<+，故只要1x a x-<且1a x x <+在[1,2]x ∈上恒成立即可，在[1,2]x ∈时，只要1x x -的最大值小于a 且1x x+的最小值大于a 即可，而当[1,2]x ∈时，21110x x x '⎛⎫-=+> ⎪⎝⎭，1x x -为增函数，max 132x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭；当[1,2]x ∈时，21110x x x '⎛⎫+=-> ⎪⎝⎭，1x x +为增函数，min 12x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以322a <<；（3）当22a -≤≤时，()f x 在R 上是增函数，则关于x 的方程()()f x t f a =不可能有三个不等的实数根； 则当(2,4]a ∈时，由22(2),,()(2),x a x x a f x x a x x a⎧+-⎪=⎨-++<⎪⎩≥得x a ≥时，2()(2)f x x a x =+-对称轴22a x a -=<，则()f x 在[,)x a ∈+∞为增函数，此时()f x 的值域为[(),)[2,)f a a +∞=+∞，x a <时，2()(2)f x x a x =-++对称轴22a x a +=<，则()f x 在2,2a x +⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦为增函数，此时()f x 的值域为2(2),4a ⎛⎤+-∞ ⎥⎝⎦， ()f x 在2,2a x a +⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭为减函数，此时()f x 的值域为2(2)2,4a a ⎛⎤+ ⎥⎝⎦；由存在(2,4]a ∈，方程()()2f x t f a ta ==有三个不相等的实根，则2(2)22,4a ta a ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即存在(2,4]a ∈，使得2(2)1,8a t a ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭即可，令2(2)14()488a g a a a a +⎛⎫==++⎪⎝⎭， 只要使()max ()t g a <即可，而()g a 在(2,4]a ∈上是增函数，()max 9()(4)8g a g ==， 故实数t 的取值范围为91,8⎛⎫ ⎪⎝⎭； 同理可求当[4,2)a ∈--时，t 的取值范围为91,8⎛⎫⎪⎝⎭；综上所述，实数t 的取值范围为91,8⎛⎫⎪⎝⎭．20．解 (1)证明：f′(x )＝x sin x ，当x ∈(0，π)时，sin x ＞0，所以f′(x )＞0恒成立，所以f (x ) 在(0，π)上单调递增．………………………………4分(2)因为f′(x )＞12x 2＋λx ，所以x sin x ＞12x 2＋λx ．当0＜x ＜π时，λ＜sin x －12x ． ………………………………6分设φ(x )＝sin x －12x ，x ∈(0，π)，则φ′(x )＝cos x －12．当0＜x ＜π3时，φ′(x )＞0；当π3＜x ＜π时，φ′(x )＜0．于是φ (x )在(0，π3)上单调递增，在 (π3，π)上单调递减，…………………………8分所以当0＜x ＜π时，φ(x )max ＝g (π3)＝32－π6因此λ＜32－π6． ………………………………10分(3)由题意知只要判断F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1的大小．首先证明：F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F′(x 2)．由于x 2＜x 3，因此只要证：F (x 3)－F (x 2)＜(x 3－x 2) F′(x 2)．………………………………12分 设函数G (x )＝F (x )－F (x 2)－(x －x 2) F′(x 2)( x 2＜x ＜π)，因为F ′(x )＝x cos x －sin x ＝－f (x )，所以G′(x )＝F′(x )－F′(x 2)＝f (x 2)－f (x )， 由（1）知f (x )在(0，π)上为增函数，所以G′(x )＜0． 则G (x )在(x 2，π)上单调递减，又x ＞x 2，故G (x )＜G (x 2)＝0．而x 2＜x 3＜π，则G (x 3)＜0，即F (x 3)－F (x 2)－(x 3－x 2) F′(x 2)＜0，即F (x 3)－F (x 2)＜(x 3－x 2) F′(x 2)．从而F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F′(x 2)得证． ………………………………14分同理可以证明：F′(x 2)＜F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1．因此有F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1，即直线AB 的斜率大于直线BC 的斜率．……………16分。