平均值与平均值不等式

陈平不等式证明陈平不等式，又称为平均值不等式，是初中数学中经典的不等式之一。

它有两种形式，即算术平均数大于等于几何平均数和算术平均数大于等于调和平均数。

下面我们来证明这两种形式。

1. 算术平均数大于等于几何平均数我们先证明当只有两个数时，不等式成立。

设两个数为a和b，它们的算术平均数为(A(a+b))/2，几何平均数为√(ab)。

我们来比较它们:(A(a+b))/2 ≥√(ab)化简可得：A(a+b) ≥ 4ab即Aa + 2Aab + Ab ≥ 4ab移项并整理：(Aa - Ab) ≥ 0显然，(Aa - Ab)大于等于0，等号成立当且仅当a等于b。

因此，当只有两个数时，平均值不等式成立。

我们再来考虑当n个数时，不等式是否成立。

设这n个数为a1, a2, …, an，它们的算术平均数为A，几何平均数为G。

我们有：G^n = √(a1a2 … an)A = (a1 + a2 + … + an)/n要证明平均值不等式成立，即A ≥ G，我们可以考虑将G^n用A代替，即：A^n ≥ a1a2 … an我们用数学归纳法证明上式成立。

当n = 2时，我们已经证明了平均值不等式成立。

现在假设当n = k时不等式成立，即：A^k ≥ a1a2 … ak我们来证明当n = k + 1时不等式也成立。

对于这k + 1个数，我们可以将其中一个数ai（1 ≤ i ≤ k + 1）与它们的算术平均数A进行比较：A ≥ (a1 + a2 + … + ai-1 + ai+1 + … + ak + ak+1)/(k + 1)移项并整理，得到：A(k+1) ≥ a1a2 … ak + (ai-1 + ai+1)Gk根据归纳假设，我们有：A^k ≥ a1a2 … ak将上式代入，得到：A(k+1) ≥ a1a2 … ak + (ai-1 + ai+1)A因为A ≥ G，所以：(ai-1 + ai+1)/2 ≥√(ai-1ai+1)即(ai-1 + ai+1)A ≥ 2√(ai-1ai+1)A将上式代入前面的不等式中，得到：A(k+1) ≥ a1a2 … ak + 2√(a1a2 … akai-1ai+1) 根据平均值不等式的两个数的情况，可得：2√(a1a2 … akai-1ai+1) ≤ aia(k-1)/2将上式代入前面的不等式中，得到：A(k+1) ≥ a1a2 … ak + aia(k-1)/2这就是平均值不等式成立的证明。

均值不等式是数学中常见的一个不等式，它描述了一组数的平均值与其它某些函数值之间的关系。

一般地，均值不等式有以下几种形式：
算术平均数与几何平均数之间的关系：对于任意正实数$a_1,a_2,\ldots,a_n$，有$$\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$$ 其中等号成立当且仅当$a_1=a_2=\cdots=a_n$。

算术平均数与调和平均数之间的关系：对于任意正实数$a_1,a_2,\ldots,a_n$，有$$\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \geq \frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}}$$ 其中等号成立当且仅当$a_1=a_2=\cdots=a_n$。

算术平均数与平方平均数之间的关系：对于任意实数$a_1,a_2,\ldots,a_n$，有$$\sqrt{\frac{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}{n}} \geq \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}$$ 其中等号成立当且仅当$a_1=a_2=\cdots=a_n$ 或$a_1=a_2=\cdots=a_k=-a_{k+1}=\cdots=-a_n$（$1\leq k\leq n-1$）。

§3平均值不等式第1课时平均值不等式1．了解两个(三个)正数的算术平均值与几何平均值．(易错、易误点)2．掌握平均值不等式性质定理，能用性质定理证明简单的不等式．(重点、难点)[基础·初探]教材整理平均值不等式阅读教材P10～P12“思考交流”以上部分，完成下列问题．1．定理1：对任意实数a，b，有a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”号)．2．定理2：对任意两个正数a，b当且仅当a＝b时取“＝”号)．语言叙述为：两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值．3．定理3：对任意三个正数a，b，c，有a3＋b3＋c3≥3abc(当且仅当a＝b ＝c时取“＝”号)．4．定理4：对任意三个正数a，b，c当且仅当a＝b＝c 时取“＝”号)．语言叙述为：三个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)x＋1x≥2.()(2)e x＋1e x≥2.()(3)当a，b，c不全为正数时，a＋b＋c3≥3abc成立．()(4)ba＋cb＋ac≥3.()【解析】(1)×当x>0时，x＋1x≥2，当x<0时，x＋1x≤－2.(2)√ 因为e x>0，∴e x＋1e x ≥2，当且仅当x ＝0时取等号．(3)× 如a ＝1，b ＝c ＝－1时，a ＋b ＋c 3＝－13，但3abc ＝1.这时有a ＋b ＋c 3<3abc .(4)× 当a ，b ，c 同号时，b a ，c b ，a c 均为正数，有b a ＋c b ＋ac ≥3，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]命题：①任意x ＞0，lg x ＋1lg x ≥2；②任意x ∈R ，a x ＋1a x ≥2(a >0且a ≠1)；③任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x ＋1tan x ≥2；④任意x ∈R ，sin x ＋1sin x ≥2. 其中真命题有( ) A ．③ B ．③④ C ．②③D ．①②③④【精彩点拨】 关键看是否满足平均值不等式．【自主解答】 在①，④中，lg x ∈R ，sin x ∈[－1,1]，不能确定lg x ＞0与sin x ＞0，因此①，④是假命题． 在②中，a x ＞0，a x ＋1a x ≥2 a x ·1a x ＝2，当且仅当x ＝0时取等号，故②是真命题．在③中，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，tan x ＞0，有tan x ＋1tan x ≥2，且x ＝π4时取等号，故③是真命题．【答案】 C本题主要涉及平均值不等式成立的条件及取等号的条件.在定理1和定理2中，“a ＝b ”是等号成立的充要条件.但两个定理有区别又有联系：(1)a ＋b2 ≥ab 是a 2＋b 2≥2ab 的特例，但二者适用范围不同，前者要求a ，b 均为正数，后者只要求a ，b ∈R ；(2)a ，b 大于0是a ＋b2 ≥ab 的充分不必要条件；a ，b 为实数是a 2＋b 2≥2ab 的充要条件.[再练一题]1．设a ，b 为实数，且ab ＞0，下列不等式中一定成立的个数是( )【导学号：94910010】①b a ＋ab ≥2；②a ＋b ≥2ab ； ③1a 2＋1b 2≥2ab ；④b 2a ＋a 2b ≥a ＋b .A ．1B ．2C ．3D ．4 【解析】 ∵ab ＞0，∴a b ＋ba ≥2ab ·b a ＝2，①成立；a ，b ＜0时，②不成立； 1a 2＋1b 2≥2ab ，③成立；当a ＝－1，b ＝－2时，④不成立． 因此，①③成立．【答案】 B(1)＋c 2a 2； (2)设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ac b ＋abc ≥a ＋b ＋c .【精彩点拨】 本题考查平均值不等式及不等式的性质等基础知识，同时考查推理论证能力．解答此题需要先观察所求式子的结构，然后拆成平均值不等式的和，再进行证明．【自主解答】 (1)a 4＋b 4≥2a 2b 2， 同理a 4＋c 4≥2a 2c 2，b 4＋c 4≥2b 2c 2， 将以上三个不等式相加得：a 4＋b 4＋a 4＋c 4＋b 4＋c 4≥2a 2b 2＋2a 2c 2＋2b 2c 2， 即a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋a 2c 2＋b 2c 2. (2)∵当a >0，b >0时，a ＋b ≥2ab ， ∴bc a ＋acb ≥2bc a ·ac b ＝2c .同理：bc a ＋abc ≥2bc a ·abc ＝2b ，ac b ＋ab c ≥2ac b ·abc ＝2a .将以上三个不等式相加得： 2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ac b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )， ∴bc a ＋ac b ＋abc ≥a ＋b ＋c .平均值不等式具有将“和式”和“积式”相互转化的放缩功能，常常用于证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用平均值不等式的切入点.但应注意连续多次使用平均值不等式定理的等号成立的条件是否保持一致.[再练一题]2．设a ，b ，c 为正数，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2＋1c 2(a ＋b ＋c )2≥27.【证明】 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴a ＋b ＋c ≥33abc ＞0，从而(a ＋b ＋c )2≥93a 2b 2c 2＞0， 又1a 2＋1b 2＋1c 2≥331a 2b 2c 2＞0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2＋1c 2(a ＋b ＋c )2 ≥331a 2b 2c 2·93a 2b 2c 2＝27.当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 故原不等式成立．[探究共研型]探究1 不等式a ＋b 2≥ab ，a ＋b ＋c 3≥3abc 成立的条件都是a ，b ，c 为正数，在条件b ≥a >0成立时，a ，ab ，a ＋b 2，2aba ＋b ，a 2＋b 22，b 之间有怎样的大小关系？【提示】 a ≤2aba ＋b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22≤b .探究2 若问题中一端出现“和式”，另一端出现“积式”时，这便是应用不等式的“题眼”，那么若条件中有“和式为1”时，应如何思考？【提示】 应用平均值不等式时，一定要注意条件a >0，b >0，c >0.若有“和式为1”时，常反过来应用“1”的代换，即把“1”化成“和”，再试着应用平均值不等式．已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：(1)a＋b2≤a2＋b22；(2)a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2(a＋b＋c)．【精彩点拨】(1)式两端均是“和”，不能直接利用平均值不等式，解决的关键是对a2＋b22的处理，先考虑平方关系，化难为易；(2)注意两边都是“和”式，可利用(1)题的结论．【自主解答】(1)∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2，∴a2＋b22≥(a＋b)24.又a＞0，b＞0，∴a＋b2≤a2＋b22.(2)由(1)得a2＋b2≥22(a＋b)．同理：b2＋c2≥22(b＋c)，c2＋a2≥22(a＋c)．三式相加得：a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2(a＋b＋c)．当且仅当a＝b＝c时，取“＝”号．1．第(2)问利用了第(1)问的结论a＋b2≤a2＋b22，记住这一结论可帮我们找到解题思路，但此不等式要给予证明．2．一般地，数学中的定理、公式揭示了若干量之间的本质联系，但不能定格于某种特殊形式，因此平均值不等式a2＋b2≥2ab的形式可以是a2≥2ab－b2，也可以是ab ≤a 2＋b 22，还可以是a ＋b 2a ≥2b (a ＞0)，b 2a ≥2b －a 等．解题时不仅要会利用原来的形式，而且要掌握它的几种变形形式以及公式的逆用．[再练一题]3．已知a ，b ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥252.【证明】 因为a ，b ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＝1， 所以a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立， 所以ab ≤12⇒ab ≤14⇒1ab ≥4，a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝12，1a 2＋1b 2≥2ab ≥8.⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＝a 2＋b 2＋4＋1a 2＋1b 2≥12＋4＋8＝252，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥252.[构建·体系]1．“a ＞0且b ＞0”是“a ＋b ≥2ab ”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】 A2．设x ，y ，z 为正数，且x ＋y ＋z ＝6，则lg x ＋lg y ＋lg z 的取值范围是( ) A ．(－∞，lg 6] B ．(－∞，3lg 2] C ．[lg 6，＋∞)D ．[3lg 2，＋∞) 【解析】 ∵6＝x ＋y ＋z ≥33xyz ， ∴xyz ≤8，∴lg x ＋lg y ＋lg z ＝lg (xyz )≤lg 8＝3lg 2. 【答案】 B3．设a ＞b ＞0，把a ＋b2，ab ，a ，b 按从大到小的顺序排列是________.【导学号：94910011】【解析】 ∵a ＞b ＞0， ∴a ＞a ＋b2＞ab ＞b . 【答案】 a ＞a ＋b2＞ab ＞b4．不等式b a ＋ab ＞2成立的充要条件是________． 【解析】 由b a ＋a b ＞2，知ba ＞0，即ab ＞0. 又由题意知，b a ≠ab ，∴a ≠b .因此，b a ＋ab ＞2的充要条件是ab ＞0且a ≠b . 【答案】 ab ＞0且a ≠b5．设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c≥9.【证明】 1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号． 所以1a ＋1b ＋1c ≥9. 我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)。

均值不等式一、 基本知识梳理1.算术平均值：如果a ﹑b ∈R +，那么 叫做这两个正数的算术平均值.2.几何平均值：如果a ﹑b ∈R +，那么 叫做这两个正数的几何平均值3.重要不等式：如果a ﹑b ∈R ，那么a 2+b 2≥ (当且仅当a=b 时，取“=”) 均值定理：如果a ﹑b ∈R +，那么2a b+≥ (当且仅当a=b 时，取“=”) 均值定理可叙述为： 4．变式变形：()()()()()()22221;22;230;425a b ab a b b a ab a ba b +≤+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭+≥>+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭≤；5.利用均值不等式求最值，“和定，积最大；积定，和最小”，即两个正数的和为定值，则可求其积的最大值；积为定值，则可求其和的最小值。

注意三个条件：“一正，二定，三相等”即：（1）各项或各因式非负；（2）和或积为定值； （3）各项或各因式都能取得相等的值。

6.若多次用均值不等式求最值，必须保持每次取“=”号的一致性。

有时为了达到利用均值不等式的条件，需要经过配凑﹑裂项﹑转化﹑分离常数等变形手段，创设一个应用均值不等式的情景。

二、 常见题型：1、分式函数求最值，如果)(x f y =可表示为B x g Ax mg y ++=)()(的形式，且)(x g 在定义域内恒正或恒负，,0,0>>m A 则可运用均值不等式来求最值。

例：求函数)01(112>->+++=a x x x ax y 且的最小值。

解：1)1(11112++-+=++-+=+++=x aa ax x x ax ax x x ax y1212211)1(=-+≥-++++=a a a x ax a 当1)1(+=+x ax a 即x=0时等号成立，1min =∴y2、题在给出和为定值，求和的最值时，一般情况都要对所求式子进行变形，用已知条件进行代换，变形之后再利用均值不等式进行求最值。

高中数学第一轮复习04基本不等式·知识梳理·模块01：平均值不等式一、平均值不等式有关概念1、通常我们称a b+2为正数a b 、a b 、的几何平均值。

2、定理：两个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数b a 、，有2a b+≥，且等号当且仅当a b =时成立.3、定理：对于任意的实数b a 、，有2()2a b ab +≥，且等号当且仅当b a =时成立。

即对任意的实数b a 、，有222a b ab +≥，且等号当且仅当b a =时成立。

[注意事项]：222a b ab +≥和2a b+≥两者的异同：（1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数；（2）取等号的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”；（3）222a b ab +≥可以变形为：222a b ab +≤；2a b +≥可以变形为：2(2a b ab +≤。

4、平均值不等式的几何证明法：如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC a =,BC b =，过点C 作DC AB ⊥交圆于点D ，连接AD 、BD .易证~Rt ACD Rt DCB ∆∆，那么2CD CA CB =⋅，即CD =.这个圆的半径为2b a +，它大于或等于CD ，即ab ba ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立.[知识拓展]1、当0a b <≤时，2112a ba b a b+≤≤≤+（调和平均值≤几何平均值≤算术平均值≤平方平均值）2、123,,,,n a a a a 是n 个正数，则12na a a n+++ 称为这n个正数的算术平均数，称为这n 个正数的几何平均数，它们的关系是：12n a a a n+++≥ ，当且仅当12n a a a ===时等号成立.二、利用基本不等式求最值问题（1）“积定和最小”：a b +≥⇔如果积ab 是定值P ，那么当a b =时，和a b +有最小值；（2）“和定积最大”：2(2a b ab +≤⇔如果和a b +是定值S ，那么当a b =时，积ab 有最大值214S .[注意事项]：基本不等式求最值需注意的问题：（1）各数(或式)均为正；（2）和或积为定值；（3）等号能否成立，即“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可。

平均值不等式的公式平均值不等式是数学中一个非常重要的概念，它在解决很多数学问题时都能派上用场。

咱先来说说平均值不等式的公式哈。

对于正数 a 和 b ，有算术平均数大于等于几何平均数，也就是（a + b）/ 2 ≥ √(ab) 。

这看起来简单的式子，里面的学问可大着呢！就拿我之前批改学生作业的事儿来说吧。

有一道题是这样的：已知两个正数 x 和 y 的和是 10 ，求 xy 的最大值。

好多同学看到这题就懵了，不知道从哪儿下手。

其实，用平均值不等式就能轻松解决。

因为（x + y）/ 2 ≥ √(xy) ，x + y = 10 ，所以10/2 ≥ √(xy) ，也就是5 ≥ √(xy) ，两边平方一下，25 ≥ xy ，所以 xy 的最大值就是 25 ，当且仅当 x = y =5 时取等号。

再比如说，在实际生活中，我们也能用到平均值不等式。

比如有个果农要种果树，他有一块固定面积的地，要种两种果树 A 和 B ，已知A 果树每棵占地 a 平方米，平均产量是 m 千克；B 果树每棵占地 b 平方米，平均产量是 n 千克。

那怎么分配种植数量，才能让总产量最大呢？这时候平均值不等式就能发挥作用啦。

还有啊，在求解一些函数的最值问题时，平均值不等式也是一把好手。

比如说，求函数 f(x) = x + 1/x （x > 0）的最小值。

根据平均值不等式，x + 1/x ≥ 2√(x × 1/x) = 2 ，当且仅当 x = 1/x ，即 x = 1 时取等号，所以函数 f(x) 的最小值是 2 。

从这些例子能看出来，平均值不等式虽然公式简单，但是用处可真不少。

它就像一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多数学难题的大门。

而且在不等式的证明中，平均值不等式也经常出现。

比如说要证明一个复杂的不等式成立，我们往往会通过一系列变形，巧妙地运用平均值不等式来达到目的。

在数学的世界里，平均值不等式就像是一个默默耕耘的老牛，虽然不起眼，但是特别实在，特别有用。

平均值不等式公式四个
叫做bai平方平均数、算术平均数、几何平均数du、调和zhi平均数
1.平方平均数：
又名均方根（Root Mean Square），英dao文缩写为RMS。

它是2次方的广义平均数的表达式，也可称为2次幂平均数。

英文名为，一般缩写成RMS。

2.算术平均数：
又称均值，是统计学中最基本、最常用的一种平均指标，分为简单算术平均数、加权算术平均数。

它主要适用于数值型数据，不适用于品质数据。

3.几何平均数：
是对各变量值的连乘积开项数次方根。

求几何平均数的方法叫做几何平均法。

如果总水平、总成果等于所有阶段、所有环节水平、成果的连乘积总和时，求各阶段、各环节的一般水平、一般成果，要使用几何平均法计算几何平均数，而不能使用算术平均法计算算术平均数。

4.调和平均数：
是总体各统计变量倒数的算术平均数的倒数。

调和平均数是平均数的一种。

但统计调和平均数，与数学调和平均数不同，它是变量倒数的算术平均数的倒数。

扩展资料
在数学中调和平均数与算术平均数都是独立的自成体系的。

计算结果前者恒小于等于后者。

因而数学调和平均数定义为：数值倒数的平均数的倒数。

但统计加权调和平均数则与之不同，它是加权算术平均数的变形，附属于算术平均数，不能单独成立体系。

且计算结果与加权算术平均数完全相等。

主要是用来解决在无法掌握总体单位数（频数）的情况下，只有每组的变量值和相应的标志总量，而需要求得平均数的情况下使用的一种数据方法。

平均值不等式公式四个
均值不等式公式对于两个数a,b 他们的调和平均,算术平均,平方平均,几何平均分别是什么? 这4个平均之间的关系是什么? (a,b的平方平均是√(ab)还是2*√(ab),还有对于三个数a,b,c的平方平均是三次根号下(abc)还是3*三次根号下(abc) ) 写错了最下面的不是平方平均是几何平均
平方平均>=算术平均>=几何平均>=调和平均举个三个数的例子,即：[√(a^2+b^2+c^2)]/3 >= (a+b+c)/3 >= 三次根号下(abc) >=3/[(1/a)+(1/b)+(1/c)] 这个公式就背吧,很有用的.
此外关于均值不等式的证明方法有很多，例如数学归纳法（第一数学归纳法或反向归纳法）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以证明均值不等式，在这里简要介绍数学归纳法的证明方法：（注：在此证明的，是对n维形式的均值不等式的证明方法。

）用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

引理：设A≥0，B≥0，则，且仅当B=0时取等号。

注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A+B≥0，有兴趣的同学可以想想如何证明（用数学归纳法）（或用二项展开公式更为简便）。

原题等价于：, 当且仅当时取等号。

当n=2时易证；假设当n=k时命题成立，即, 当且仅当时取等号。

那么当n=k+1时，不妨设是中最大者，则设，，根据引理，当且仅当且时，即时取等号。

值得一提的是利用琴生不等式法也可以很简单地证明均值不等式，同
时还有柯西归纳法等等方法。

建议感兴趣的小伙伴们可要深入学习，多多咨询老师，让自己掌握更多的解题方法与思路。