考研数学三(线性代数)历年真题汇编1.doc

2024考研(数学三)真题答案及解析完整版2024年全国硕士研究生入学考试数学(三)真题及参考答案考研数学三考什么内容?数学三在高等数学这一部分因为要求的内容相对较少，所以很多学校经济类、管理类专业在本科期间所用教材并非理工类专业通常会使用的《高等数学》同济大学版，更多的学校本科阶段的教材是中国人民大学版《微积分》。

而考数学三的同学中在实际复习过程中使用哪一本教材的都有)(函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程与差分方程);线性代数(行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型);概率论与数理统计(随机事件和概率、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验)。

考研的考试内容有哪些一、考研公共课：政治、英语一、英语二、俄语、日语、数学一、数学二、数学三，考研公共课由国家教育部统一命题。

各科的考试时间均为3小时。

考研的政治理论课(马原22分、毛中特30分、史纲14分、思修18分、形势与政策16分)。

考研的英语满分各为100分(完型10分、阅读理解60分、小作文10分、大作文20分)。

数学(其中理工科考数一、工科考数二、经管类考数三)满分为150分。

数一的考试内容分布：高数56%(84分)、线代22%(33分)、概率22%(33分);数二的内容分布：高数78%(117分)、线代22%(33分);数三的内容分布：高数56%(84分)、线代22%(33分)、概率22%(33分)。

这些科目的考试知识点和考试范围在各科考试大纲上有详细规定，一般变动不大，因此可以参照前一年的大纲，对一些变动较大的科目，必须以新大纲为准进行复习。

二、考研专业课统考专业课：由国家教育部考试中心统一命题，科目包括：西医综合、中医综合、计算机、法硕、历史学、心理学、教育学、农学。

其中报考教育学、历史学、医学门类者，考专业基础综合(满分为300分);报考农学门类者，考农学门类公共基础(满分150分)。

考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(14年)行列式【】A．(ad－bc)2B．－(ad－bc)2C．a2d2－b2c2D．b2c2－a2d2正确答案：B解析：按第1列展开，得所求行列式D等于D＝＝－ad(ad－bc)＋bc(ad－bc)＝－(ad－bc)2 知识模块：线性代数2．(89年)设A和B都是n×n矩阵，则必有【】A．｜A＋B｜＝｜A｜＋｜B｜B．AB＝BAC．｜AB｜＝｜BA｜D．(A＋B)-1＝A-1＋B-1正确答案：C 涉及知识点：线性代数3．(94年)设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B＝AC的秩为r1，则【】A．r＞r1．B．r＜r1．C．r＝r1．D．r与r1的关系依C而定．正确答案：C解析：因为，用可逆矩阵C右乘矩阵A相当于对A施行若干次初等列变换，而初等变换不改变矩阵的秩，故有r(AC)＝r(A)．知识模块：线性代数4．(96年)设n阶矩阵A非奇异(n≥2)，A*是矩阵A的伴随矩阵，则【】A．(A*)*＝｜A｜n-1AB．(A*)*＝｜A｜n+1AC．(A*)*＝｜A｜n-2AD．(A*)*＝｜A｜n+2A正确答案：C解析：由A*＝｜A｜A-1，得(A*)*＝｜A*｜(A*)-1，又｜A*｜＝｜A｜n-1，故(A*)*＝｜A｜n-1(｜A｜A-1)-1＝｜A｜n-1A＝｜A｜n-2A．故C正确．知识模块：线性代数5．(97年)设A、B为同阶可逆矩阵，则【】A．AB＝BA．B．存在可逆矩阵P，使P-1AP＝B．C．存在可逆矩阵C，使CTAC＝B．D．存在可逆矩阵P和Q，使PAQ＝B．正确答案：D解析：因为，方阵A可逆A与同阶单位阵E行等价，即存在可逆矩阵P，使PA＝E．同理，由于B可逆，存在可逆矩阵M，使MB＝E．故有PA＝MB，PAM-1＝B，记M-1＝Q，则P、Q可逆，使PAQ＝B．于是知D正确．知识模块：线性代数6．(98年)设n(n≥3)阶矩阵A＝的秩为n－1，则a必为【】A．1B．C．－1D．正确答案：B解析：因为r(A)＝n－1＜n，故必有｜A｜＝0，而因此，或者a＝，或者a＝1．显然，当a＝1时，有r(A)＝1＜n－1,所以，有a＝，而且当a＝时，A 的左上角的n－1阶子式等于，可知此时确有r(A)＝n一1，故选项B正确．知识模块：线性代数7．(01年) 其中A可逆，则B-1等于【】A．A-1P1P2B．P1A-1P2C．P1P2A-1D．P2A-1P1正确答案：C解析：矩阵B是经A的列重排后所得的矩阵，由初等列变换与初等方阵的关系，有B＝AP2P1，故B-1＝P1-1P2-1A-1，而P1-1＝P1，P2-1＝P2，故有B-1＝P1P2A-1．知识模块：线性代数8．(03年)设三阶矩阵A＝，若A的伴随矩阵的秩等于1，则必有【】A．a＝b或a＋2b＝0．B．a＝b或a＋2b≠0．C．a≠b且a＋2b＝0．D．a≠b且a＋2b≠0．正确答案：C 涉及知识点：线性代数9．(04年)设n阶矩阵A与B等价，则必有【】A．当｜A｜＝a(a≠0)时，｜B｜＝a．B．当｜A｜＝a(a≠0)时，｜B｜＝－a．C．当｜A｜≠0时，｜B｜＝0．D．当｜A｜＝0时，｜B｜＝0．正确答案：D解析：A与B等价是指A可经若干次初等变换化成B．如果对A分别施行一次第1、2、3种初等变换得到方阵B，则由行列式的性质知，依次有｜B｜＝－｜A｜，｜B｜＝k｜A｜(常数k≠0)，｜B｜＝｜A｜．可见，经初等变换后，方阵的行列式等于零或者不等于零的事实不会改变，但在不等于零时，行列式的值可能改变．因此，只有D正确．知识模块：线性代数10．(05年)设矩阵A＝(aij)3×3满足A*＝AT，其中A*为A的伴随矩阵，A*为A的转置矩阵．若a11，a12，a13为三个相等的正数，则a11为【】A．B．3C．D．正确答案：A解析：由题设条件A*＝AT，即其中Aij为｜A｜中元素aij的代数余子式(i，j＝1，2，3)，得aij＝Aij(i，j＝1，2，3)，故有再从AT＝A*两端取行列式，得｜A｜＝｜AT｜＝｜A*｜＝｜A｜2，即｜A｜(1－｜A｜)＝0 由此得｜A｜＝1．所以，有知识模块：线性代数11．(06年)设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的－1倍加到第2列得C，记P＝，则【】A．C＝p-1AP．B．C＝PAP-1．C．C＝PTAP．D．C＝PAPT．正确答案：B解析：将单位矩阵E的第2行加到第1行即得初等矩阵P，由初等变换与初等矩阵的关系，有B＝PA．令矩阵则将E的第1列的－1倍加到第2列即得矩阵Q，于是有C＝BQ，从而有C＝PAQ．由于所以，C＝PAQ＝PAP-1，只有选项B正确．知识模块：线性代数填空题12．(88年)＝_______．正确答案：－3解析：把行列式的各行都加到第1行，得知识模块：线性代数13．(16年)行列式＝_______．正确答案：λ4＋λ3＋2λ2＋3λ＋4解析：按第1列展开，得行列式为知识模块：线性代数14．(88年)设矩阵A＝，则A-1＝_______．正确答案：解析：利用初等行变换法：故A-1＝A．知识模块：线性代数15．(91年)设A和B为可逆矩阵，X＝为分块矩阵，则X-1＝_______．正确答案：解析：设A、B分别为m阶、n阶可逆方阵，设其中X12，X21分别为m阶、n阶方阵，则有XX-1＝Em+n，即由分块矩阵的乘法，得AX21＝Em，AX22＝0，BX11＝0，BX12＝En 因为A、B均为可逆矩阵，所以解得X21＝A-1，X22＝0，X11＝0，X12＝B-1 于是得知识模块：线性代数16．(92年)设A为m阶方阵，B为n阶方阵，且｜A｜＝a，｜B｜＝b，C ＝，则｜C｜＝_______．正确答案：(－1)mnab解析：从[O A]的第m行开始，依次将[O A]的每一行作，z次相邻两行的交换，把它移到[B O]的下边去，则经mn次相邻两行的交换，就将[O A]移到了[B O]的下边，因此有知识模块：线性代数17．(93年)设4阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为_______．正确答案：0解析：因为r(A4×4)＝2，即A中非零子式的最高阶数为2，故A的3阶子式全为0，即A的每个元素的余子式全为0，从而每个元素的代数余子式全为0，故A*＝O，从而有r(A*)＝0．知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学三线性代数（二次型）-试卷1(总分94,考试时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1. 二次型f(x1，x2，x3)=的标准形可以是( )A. B.C. D.2. 下列二次型中是正定二次型的是( )A. f1=(x1-x2)2+(x2-x3)2+(x3-x1)2B. f2=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2C. f3=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3-x4)2+(x4-x1)2D. f4=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4-x1)23. 下列矩阵中A与B合同的是( )A. B.C. D.4. 设A是n阶实对称矩阵，将A的i列和j列对换得到B，再将B的i行和j行对换得到C，则A与C( )A. 等价但不相似．B. 合同但不相似．C. 相似但不合同．D. 等价，合同且相似．5. 下列矩阵中，正定矩阵是( )A. B.C. D.6. n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( )A. 二次型xTAx的负惯性指数为零．B. 存在可逆矩阵P使P-1AP=E．C. 存在n阶矩阵C使A=C-1C．D. A的伴随矩阵A*与E合同．7. 下列矩阵中不是二次型的矩阵的是( )A. B.C. D.8. n元实二次型正定的充分必要条件是( )A. 该二次型的秩=n．B. 该二次型的负惯性指数=n．C. 该二次型的正惯性指数=它的秩．D. 该二次型的正惯性指数=n．9. 下列条件不能保证n阶实对称阵A为正定的是( )A. A-1正定．B. A没有负的特征值．C. A的正惯性指数等于n．D. A合同于单位阵．10. 关于二次型f(x1，x2，x3)=，下列说法正确的是( )A. 是正定的．B. 其矩阵可逆．C. 其秩为1．D. 其秩为2．11. 设f=XTAX，g=XTBX是两个n元正定二次型，则下列未必是正定二次型的是( )A. XT(A+B)XB. XTA-1XC. XTB-1XD. XTABX．12. 设A，B为正定阵，则( )A. AB，A+B都正定．B. AB正定，A+B非正定．C. AB非正定，A+B正定．D. AB不一定正定，A+B正定．13. 实对称矩阵A的秩等于r，它有t个正特征值，则它的符号差为( )A. r．B. t-r．C. 2t-r．D. r-t．14. 二次型f=xTAx经过满秩线性变换x=Py可化为二次型yTBy，则矩阵A与B( )A. 一定合同．B. 一定相似．C. 既相似又合同．D. 既不相似也不合同．15. f(x1，x2，x3)=对应的矩阵是( )A. B.C. D.2. 填空题1. 设f=为正定二次型，则未知系数a的范围是________2. 二次型f(x1，x2，x3)=xTAx=的规范形是______3. 若二次曲面的方程为x2+3y2+z2+2axy+2xz+2yz=4，经正交变换化为，则a=_______4. 设f(x1，x2)=，则二次型的对应矩阵是_______5. 二次型f(x1，x2，x3，x4)=的规范形是______6. 若二次型f(x1，x2，x3)=是正定的，则a的取值范围是______7. 设A是三阶实对称矩阵，满足A3=2A2+5A-6E，且kE+A是正定阵，则k的取值范围是______8. 设A是m×n矩阵，E是n阶单位阵，矩阵B=-aE+A TA是正定阵，则a的取值范围是________3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

线性代数-考研题第一章 行列式一．选择题1． （95）若21321,,,,ββααα都是四维列向量，且四阶行列式m =|,,,|1321βααα，n =|,,,|3221αβαα，则四阶行列式|)(,,,|21321ββααα+等于（ ） （A ）n m +． （B ）)(n m +−．（C ）m n −．（D ）n m −．二．填空题：1． （96）五阶行列式=−−−−−−−−−=aa a aa aa aaD 110001100011000110001 ． 2． （97）设n 阶矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=0111110111110111110111110L L L L L L L L L L L A ，则=||A ． 3． （99）设随机变量)2;,,2,1,(≥=n n j i X ijL 独立同分布，2)(=ij X E ，则行列式 nnn n n n X X X X X X X X X Y L LLL L L L 212222111211=的数学期望=)(Y E ．4． （01）设行列式2235007022220403−−=D ，则第四行各元素余子式之和的值为 ．5． （05）设321,,ααα均为三维列向量，记三阶矩阵),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ．如果1||=A ，那么=||B ．6． （06）已知21,αα为2维列向量，矩阵),2(2121αααα−+=A ，),(21αα=B ．若行列式6||=A ，则=||B ．第二章 矩阵一．选择题：1． （96）设n 阶矩阵A 非奇异)2(≥n ，*A 是矩阵A 的伴随矩阵，则（ ）（A ）A A A n 1||*)*(−=． （B ）A A A n 1||*)*(+=． （C ）A A A n 2||*)*(−=．（D ）A A A n 2||*)*(+=．2． （97）设B A ,为同阶可逆矩阵，则（ ）（A ）BA AB =．（B ）存在可逆矩阵P ，使B AP P =−1． （C ）存在可逆矩阵C ，使B AC C T =． （D ）存在可逆矩阵P 和Q ，使B PAQ =． 3． （98）设)3(≥n n阶矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1111L L L L L L L L L a a a a a a a a a a a a A ， 若矩阵A 的秩为1−n ，则a 必为（ ） （A ）1．（B ）n−11． （C ）1−． （D ）11−n ． 4． （01）设⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a A ，⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=41424344313233342122232411121314a a a a a a a a a a a a a a a a B ，⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=00010100001010001P ，⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=10000010010000012P ，其中A 可逆，则1−B 等于（ ） （A ）211P P A −．（B ）211P A P −．（C ）121−A P P ．（D ）112P A P −．5． （02）设B A ,为n 阶矩阵，**,B A 分别为B A ,对应的伴随矩阵，分块矩阵⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=B O O A C ，则C 的伴随矩阵=*C （ ）（A ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛*||*||B B O O A A ． （B ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛*||*||A A O O B B ． （C ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛*||*||A B O O B A ． （D ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛*||*||B A O O A B ． 6． （03）设三阶矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=a b b b a b b b a A ，若A 的伴随矩阵的秩为1，则必有（ ）（A ）b a =或02=+b a ．（B ）b a =或02≠+b a ． （C ）b a ≠且02=+b a ． （D ）b a ≠且02≠+b a ． 7． （04）设n 阶矩阵A 与B 等价，则必有（ ）（A ）当)0(||≠=a a A 时，a B =||．（B ）当)0(||≠=a a A 时，a B −=||．（C ）当0||≠A 时，0||=B ． （D ）当0||=A 时，0||=B ．8． （05）设矩阵33)(×=ij a A 满足T A A =*，其中*A 为A 的伴随矩阵，T A 为A 的转置矩阵，若131211,,a a a 为三个相等的正数，则11a 为（ ）（A ）33． （B ）3． （C ）31． （D ）3．9． （05）设C B A ,,均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若AB E B +=，CA A C +=，则C B −为（ ） （A ）E ． （B ）E −． （C ）A ． （D ）A −．10．（06）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的−1倍加到第2列得C ，记⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=100010011P ，则（ ）（A ）AP P C 1−=． （B ）1−=PAP C ． （C ）AP P C T =． （D ）T PAP C =．11．（08）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵．若O A =3，则（ ）（A ）A E −不可逆，A E +不可逆． （B ）A E −不可逆，A E +可逆． （C ）A E −可逆，A E +可逆． （D ）A E −可逆，A E +不可逆． 12．（09）设B A ,均为2阶矩阵，**,B A 分别为B A ,的伴随矩阵，若3||,2||==B A ，则分块矩阵⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛O B A O 的伴随矩阵为（ ） （A ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛O A B O *2*3． （B ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛O A B O *3*2． （C ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛O B A O *2*3． （D ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛O B A O *3*2． 13．（09）设P A ,均为3阶矩阵，T P 为P 的转置矩阵，且⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=200010001AP P T ，若),,(321ααα=P ，),,(3221αααα+=Q ，则AQ Q T 为（ ） （A ）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛200011012．（B ）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛200021011．（C ）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛200010002．（D ）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛200020001．14．（11）设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第三行得单位矩阵，记⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=1000110011P ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=010*******P ，则=A （ ）（A ）21P P ．（B ）211P P −．（C ）12P P ．（D ）112−P P ．15．（12）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=−2111AP P ，),,(321ααα=P ，),,(3221αααα+=Q ，则=−AQ Q 1（ ） （A ）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛121． （B ）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛211． （C ）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛212． （D ）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛122． 二．填空题：1． （95）设4阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵*A 的秩为 ．2． （98）设矩阵B A ,满足E BA BA A 82*−=，其中⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=100020001A ，E 为单位矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，则=B ．3． （98）设B A ,均为n 阶矩阵，3||,2||−==B A ，则=−|*2|1B A ．4． （99）设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=101020101A ，而2≥n 为正整数，则=−−12n n A A ．5． （99）已知A B AB =−，其中⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=200012021B ，则=A ．6． （00）设T )1,0,1(−=α，矩阵T A αα=，n 为正整数，则=−||n A aE ．7． （01）设矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=k k k kA 111111111111，且3)(=A 秩，则=k ．8． （02）设矩阵⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=3211A ，E A A B 232+−=，则=−1B ．9． （03）设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T L α，T E A αα−=，T aE B αα1+=，E 是n 阶单位矩阵，其中A 的逆矩阵为B ，则=a ．10．（03）设B A ,均为三阶矩阵，E 三阶单位矩阵，已知B A AB +=2，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=202040202B ，则=−−1)(E A ．11．（04）设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=100001010A ，AP P B 1−=，其中P 为三阶可逆矩阵，则=−220042A B ．12．（06）设矩阵⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=2112A ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足E B BA 2+=，则=B ．13．（07）设矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=0000100001000010A ，则3A 的秩为 ．14．（10）设B A ,为3阶矩阵，且2||,2||,3||1=+==−B A B A ，则=+−||1B A ．15．（12）设A 为3阶矩阵，3||=A ，*A 为A 的伴随矩阵，若交换A 的第一行与第二行得到矩阵B ，则=|*|BA ． 三．解答题：1． （95）已知三阶矩阵A 的逆矩阵为⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=−3111211111A ，试求伴随矩阵*A 的逆矩阵．2． （97）设A 为n 阶非奇异矩阵，α为n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=A A IP T *0α，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=b A Q T αα，其中*A 是矩阵A 的伴随矩阵，I 为n 阶单位矩阵． （1）计算并化简PQ ；（2）证明：矩阵Q 可逆的充分必要条件是b A T ≠−αα1．第三章 线性方程组一．选择题：1． （96）设有任意两个n 维向量组α1, …, αm 和β1, …, βm ，若存在两组不全为零的数λ1, …, λm 和k 1, …, k m ，使 (λ1 + k 1)α1 + … + (λ m + k m )α m + (λ1 − k 1)β1 + … + (λ m − k m )β m = 0，则（ ） （A ）α1, …, α m 和β1, …, β m 都线性相关． （B ）α1, …, α m 和β1, …, β m 线性无关． （C ）α1 + β1 , … , α m + β m , α1 − β1 , … , α m − β m 线性无关． （D ）α1 + β1 , … , α m + β m , α1 − β1 , … , α m − β m 线性相关．2． （97）设向量组α 1, α 2, α 3线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）（A ）α 1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 − α 1． （B ）α 1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 1 + 2α 2 + α 3．（C ）α 1 + 2α 2 , 2α 2 + 3α 3 , 3α 3 + α 1． （D ）α 1 + α 2 + α 3 , 2α 1 − 3α 2 + 22α 3 , 3α 1 + 5α 2 − 5α 3 ． 3． （97）非齐次线性方程组AX = b 中未知量个数为n ，方程个数为m ，系数矩阵A 的秩为r ，则（ ）（A ）r = m 时，方程组AX = b 有解． （B ）r = n 时，方程组AX = b 有唯一解． （C ）m = n 时，方程组AX = b 有唯一解． （D ）r < n 时，方程组AX = b 有无穷多解． 4． （98）齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0,0,03213213221x x x x x x x x x λλλλ 的系数矩阵记为A ，若存在三阶矩阵B ≠ O 使得AB = O ，则（ ）（A ）λ = −2且 | B | = 0． （B ）λ = −2且 | B | ≠ 0． （C ）λ = 1且 | B | = 0． （D ）λ = 1且 | B | ≠ 0． 5． （98）若向量组α, β, γ 线性无关，α, β, δ 线性相关，则（ ）（A ）α必可由β, γ, δ线性表示． （B ）β必不可由α, γ, δ线性表示．（C ）δ必可由α, β, γ线性表示． （D ）δ必不可由α, β, γ线性表示． 6． （99）设向量β可由向量组α 1 , α 2 , …, α m 线性表示，但不能由向量组（Ⅰ）：α 1 , α 2 , …, α m −1线性表示，记向量组（Ⅱ）：α 1 , α 2 , …, α m −1 , β ，则（ ） （A ）α m 不能由（Ⅰ）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示． （B ）α m 不能由（Ⅰ）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示． （C ）α m 可由（Ⅰ）线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示． （D ）α m 可由（Ⅰ）线性表示，但不可由（Ⅱ）线性表示．7． （00）设α 1, α 2, α 3是四元非齐次线性方程组AX = b 的三个解向量，且秩(A ) = 3 ，α 1 = (1, 2, 3, 4)T ，α 2 + α 3 = (0, 1, 2, 3)T ，c 表示任意常数，则线性方程组AX = b 的通解X =（ ）（A ）⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛11114321c ．（B ）⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛32104321c ．（C ）⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛54324321c ．（D ）⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛65434321c ．8． （01）设A 是n 阶矩阵，α是n 维列向量，若秩=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛0TααA秩(A )，则线性方程组（ ） （A ）AX = α必有无穷多解．（B ）AX = α必有唯一解．（C ）00T=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛y X Aαα仅有零解． （D ）00T=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛y X Aαα必有非零解． 9． （02）设A 是m × n 矩阵，B 是n × m 矩阵，则线性方程组 (AB ) X = θ（ ）（A ）当n > m 时仅有零解． （B ）当n > m 时必有非零解． （C ）当m > n 时仅有零解． （D ）当m > n 时必有非零解． 10．（03）设α 1 , α 2 , …, α s 均为n 维向量，下列结论不正确的是（ ）（A ）若对于任意一组不全为零的数k 1 , k 2 , …, k s ，都有k 1α 1 + k 2α 2 + … + k s α s ≠ θ ，则α 1 , α 2 , …, αs线性无关．（B ）若α 1 , α 2 , …, α s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数k 1 , k 2 , …, k s ，都有k 1α 1 + k 2α 2 + … +k s α s = θ ．（C ）α 1 , α 2 , …, α s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s ．（D ）α 1 , α 2 , …, α s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关． 11．（04）设n 阶矩阵A 的伴随矩阵A * ≠ O ，若ξ 1, ξ 2, ξ 3, ξ 4是非齐次线性方程组Ax = b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax = θ 的基础解系（ ） （A ）不存在． （B ）仅含一个非零解向量． （C ）含两个线性无关的解向量． （D ）含三个线性无关的解向量．12．（06）设α 1 , α 2 , …, α s 均为n 维列向量，A 是m × n 矩阵，下列选项正确的是（ ）（A ）若α 1 , α 2 , …, α s 线性相关，则A α 1 , A α 2 , …, A α s 线性相关． （B ）若α 1 , α 2 , …, α s 线性相关，则A α 1 , A α 2 , …, A α s 线性无关． （C ）若α 1 , α 2 , …, α s 线性无关，则A α 1 , A α 2 , …, A α s 线性相关． （D ）若α 1 , α 2 , …, α s 线性无关，则A α 1 , A α 2 , …, A α s 线性无关．13．（07）设向量组α 1 , α 2 , α 3线性无关，则下列向量组线性相关的是（ ）（A ）α 1 − α 2 , α 2 − α 3, α 3 − α 1． （B ）α 1 + α 2 , α 2 + α 3, α 3 + α 1． （C ）α 1 − 2α 2 , α 2 − 2α 3, α 3 − 2α 1． （D ）α 1 + 2α 2 , α 2 + 2α 3, α 3 + 2α 1． 14．（10）设向量组I ：r ααα,,,21L 可由向量组II ：s βββ,,,21L 线性表示，下列命题正确的是（ ）（A ）若向量组I 线性无关，则s r ≤．（B ）若向量组I 线性无关，则s r >．（C ）若向量组II 线性无关，则s r ≤． （D ）若向量组II 线性无关，则s r <．15．（11）设A 为34×矩阵，321,,ηηη是非齐次线性方程组β=Ax 的3个线性无关的解，21,k k 为任意常数，则β=Ax 的通解为（ ）（A ）)(212132ηηηη−++k ．（B ）)(212232ηηηη−+−k ． （C ）)()(212213132ηηηηηη−+−++k k ．（D ）)()(213312232ηηηηηη−+−+−k k ．16．（12）设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=4433221111,11,10,00c c c c αααα，其中4321,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ） （A ）321,,ααα．（B ）421,,ααα．（C ）431,,ααα．（D ）432,,ααα．二．填空题：1． （02）设向量组α 1 = (a , 0, c ) , α 2 = (b , c , 0) , α 3 = (0, a , b )线性无关，则a , b , c 必满足关系式 ．2． （02）设三阶矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=403212221A ，三维列向量⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=11a α．已知A α 与α 线性相关，则a = ．3． （05）设行向量组 (2, 1, 1, 1), (2, 1, a , a ), (3, 2, 1, a ), (4, 3, 2, 1) 线性相关，且a ≠ 1，则a = ．三．解答题：1． （95）设A 是m × n 矩阵，B 是n × m 矩阵，E 是n 阶单位矩阵（m > n ），已知BA = E ，试判断A 的列向量组是否线性相关？为什么？ 2． （95）k 为何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧−=+−=++−=++42,,43212321321x x x k x kx x kx x x 有唯一解、无解、有无穷多组解？在有解的情况下，求出其全部解．3． （96）已知线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−−−−=+++−=+−+=+−+,6,1723,1462,0324321432143214321t x x x x x px x x x x x x x x x x 讨论参数p , t 取何值时，方程组有解、无解；当有解时，试用其导出组的基础解系表示通解．4． （98）设已知下列非齐次线性方程组（I ），（II ），（I ）⎪⎩⎪⎨⎧=−−=−−−−=−+,33,14,623214321421x x x x x x x x x x （II ）⎪⎩⎪⎨⎧+−=−−=−−=−−+.12,112,434324321t x x x x nx s x x mx x（1）求解方程组（I ），用其导出组的基础解系表示通解；（2）当方程组（II ）中的参数m , n , s , t 为何值时，方程组（I ）与（II ）同解． 5． （99）已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,0,0,0322212321321x c x b x a cx bx ax x x x （1）a , b , c 满足何种关系时，方程组仅有零解？（2）a , b , c 满足何种关系时，方程组有无穷多组解，并用基础解系表示全部解．6． （00）设向量组α 1 = (a , 2, 10)T , α 2 = (−2, 1, 5)T , α 3 = (−1, 1, 4)T , β = (1, b , c )T ．试问：满足什么条件时，（1）β 可由α 1, α 2, α 3线性表出，且表示唯一？ （2）β 不能由α 1, α 2, α 3线性表出？（3）β 可由α 1, α 2, α 3线性表出，但表示不唯一？并求出一般表达式． 7． （02）设四元齐次线性方程组（I ）为⎩⎨⎧=−++=−+,02,0324321321x x x x x x x 且已知另一四元齐次线性方程组（II ）的一个基础解系为 α 1 = (2, −1, a +2, 1)T , α 2 = (−1, 2, 4, a +8)T ，（1）求方程组（I ）的一个基础解系；（2）当a 为何值时，方程组（I ）与（II ）有非零公共解？在有非零公共解时，求出全部非零公共解． 8． （02）设齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++,0,0,0321321321nn n ax bx bx bx bx bx ax bx bx bx bx ax L L L L L L L L L L 其中a ≠ 0, b ≠ 0, n ≥ 2．试讨论a , b 为何值时，方程组仅有零解，有无穷多组解？在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解． 9． （03）设向量组（I ）：α 1 = (1, 0, 2)T , α 2 = (1, 1, 3)T , α 3 = (1, −1, a +2)T 和向量组（II ）：β 1 = (1, 2, a +3)T ,β 2 = (2, 1, a +6)T , β 3 = (2, 1, a +4)T ．问：a 为何值时，向量组（I ）与向量组（II ）等价；a 为何值时，向量组（I ）与向量组（II ）不等价． 10．（03）已知齐次线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++++=+++++,0)(,0)(,0)(,0)(332211332211332211332211n n n n n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 其中01≠∑=ni i a ，试讨论a 1 , a 2 , …, a n 和b 满足何种关系时，（1）方程组仅有零解；（2）方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系．11．（04）设α1 = (1, 2, 0)T ，α 2 = (1, a + 2, −3a )T ，α 3 = (−1, −b − 2, a + 2b )T ，β = (1, 3, −3)T ，试讨论a , b 为何值时，（1）β 不能由α1 , α 2 , α 3线性表示；（2）β 可由α1 , α 2 , α 3唯一地线性表示，并求出表达式；（3）β 可由α1 , α 2 , α 3线性表示，但表达式不唯一，并求出表达式．12．（04）设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++++=+++=+++.14)4()2(3,022,0432143214321x x x x x x x x x x x x µλµλ 已知 (1, −1, 1, −1)T 是该方程组的一个解，试求（1）方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解； （2）该方程组满足x 2 = x 3的全部解． 13．（05）已知齐次线性方程组（i ）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0,0532,032321321321ax x x x x x x x x 和 （ii ）⎩⎨⎧=+++=++0)1(2,03221321x c x b x cx bx x 同解，求a , b , c 的值．14．（06）设4维向量组α 1 = (1 + a , 1, 1, 1)T , α 2 = (2, 2 + a , 2, 2)T , α 3 = (3, 3, 3 + a , 3)T , α 4 = (4, 4, 4, 4 + a )T ，问a 为何值时α 1 , α 2 , α 3 , α 4线性相关？当α 1 , α 2 , α 3 , α 4线性相关时，求一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出．15．（07）设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++04,02,03221321321x a x x ax x x x x x ①与方程x 1 + 2x 2 + x 3 = a − 1 ②有公共解，求a 的值及所有公共解．16．（08）设n 元线性方程组AX = b ，其中nn a a a aa A ×⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=2121222O O O ，X = (x 1, …, x n)T ，b = (1, 0, …, 0)T， （1）证明行列式 | A | = (n + 1)a n ；（2）a 为何值，方程组有唯一解，求x 1； （3）a 为何值，方程组有无穷多解，求通解．17．（09）设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−=240111111A ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=2111ξ， （1）求满足12ξξ=A ，132ξξ=A 的所有向量32,ξξ； （2）对（1）中任一向量32,ξξ，证明321,,ξξξ线性无关．18．（10）设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=λλλ1101011A ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=11a b ．已知线性方程组b Ax =存在两个不同的解，（1）求a ,λ；（2）求方程组b Ax =的通解．19．（11）T T T )5,3,1(,)1,1,0(,)1,0,1(321===ααα不能由T T T a )5,3,1(,)3,2,1(,)1,,1(321===βββ线性表出．（1）求a ；（2）将321,,βββ由321,,ααα线性表出．20．（12）设⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=100100010001a a a a A ，⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=0011b ， （1）求||A ；（2）已知线性方程组b Ax =有无穷多解，求a ，并求b Ax =的通解．第四章 向量空间一．选择题：1． （00）设A 为n 阶实矩阵，A T 是A 的转置矩阵，则对于线性方程组（Ⅰ）：AX = O 和（Ⅱ）：A T AX = O ，必有（ ） （A ）（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）的解也是（Ⅱ）的解． （B ）（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，但（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解． （C ）（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解，（Ⅱ）的解也不是（Ⅰ）的解． （D ）（Ⅰ）的解是（Ⅱ）的解，但（Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解． 二．填空题：1． （04）设A = (a i j ) 3×3是实正交矩阵，且a ii = 1, b = (1, 0, 0)T ，则线性方程组AX = b 的解是 ． 三．解答题：1． （01）设α i = (a i 1 , a i 2 , …, a in )T (i = 1, 2, …, r , r < n ) 是n 维实向量，且α 1, α 2, …, α r 线性无关．已知β = (b 1, b 2, …, b n )T 是线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0,0,0221122221211212111n rn r r nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a L L L L L L L L L L 的非零解向量．试判断向量组α 1, α 2, …, α r , β的线性相关性．第五章 特征值与特征向量一．选择题：1． （95）n 阶方阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的（ ）（A ）充分必要条件．（B ）充分而非必要条件．（C ）必要而非充分条件．（D ）既非充分也非必要条件．2． （95）设λ = 2是非奇异矩阵A 的一个特征值，则矩阵1231−⎟⎠⎞⎜⎝⎛A 有一特征值等于（ ）（A ）34．（B ）43．（C ）31．（D ）41．3． （99）设A , B 为n 阶矩阵，且A 与B 相似，E 为n 阶单位矩阵，则（ ）（A ）λE − A = λE − B ．（B ）A 与B 有相同的特征值和特征向量． （C ）A 与B 都相似于同一个对角矩阵． （D ）对任意常数t ，tE − A 与tE − B 相似．4． （02）设A 是n 阶实对称矩阵，P 是n 阶可逆矩阵．已知n 维列向量α 是A 的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P −1AP )T 属于特征值λ 的特征向量是（ ）（A ）P −1α ． （B ）P T α ． （C ）P α ． （D ）(P −1)T α ．5． （03）设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=001010100B ，已知矩阵A 相似于B ，则秩（A − 2E ）与秩（A − E ）之和等于（ ）（A ）2． （B ）3． （C ）4． （D ）5．6． （05）设λ1 , λ 2是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α 1 , α 2 ，则α1 , A (α 1 + α 2)线性无关的充分必要条件是（ ）（A ）λ1 = 0． （B ）λ 2 = 0． （C ）λ1 ≠ 0． （D ）λ 2 ≠ 0．7． （10）设A 为4阶实对称矩阵，且O A A =+2，若A 的秩为3，则A 相似于（ ）（A ）⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛0111． （B ）⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−0111． （C ）⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−0111． （D ）⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−0111． 二．填空题： 1． （00）若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为51,41,31,21，则行列式 | B −1 − E | = ． 2． （00）四阶矩阵A 相似于B ，A 的特征值为2, 3, 4, 5．E 为四阶单位矩阵，则 | B − E | = ．3． （08）设3阶矩阵A 的特征值1, 2, 2，则 | 4A −1 − E | = ．4． （08）设3阶矩阵A 的特征值互不相同，若行列式 | A | = 0，则A 的秩为 ．5． （09）设T T k ),0,1(,)1,1,1(==βα，若矩阵T αβ相似于⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛000000003，则=k ．三．解答题：1． （96）设有4阶方阵A 满足条件 | 3I + A | = 0 , AA T = 2B , | A | < 0 , | B | = 1，其中I 是4阶单位阵，求方阵A 的伴随矩阵A *的一个特征值．2． （97）设三阶实对称矩阵A 特征值是1, 2, 3；矩阵A 属于特征值1, 2的特征向量分别是α 1 = (−1, −1, 1)T ,α 2 = (1, −2, −1)T ，（1）求A 的属于特征值3的特征向量；（2）求矩阵A ．3． （97）设矩阵A 与B 相似，且⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=a A 33242111， ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=b B 00020002， （1）求a , b 的值；（2）求可逆矩阵P ，使P −1AP = B ．4． （98）设向量α = (a 1, a 2, …, a n )T , β = (b 1, b 2, …, b n )T 是非零向量且满足条件αT β = 0，记n 阶矩阵A =αβ T ，求：（1）A 2；（2）矩阵A 的特征值和特征向量．5． （99）设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=3241223k k A ．问当k 为何值时，存在可逆矩阵P ，使得P −1AP = B 为对角阵？并求出P 和相应的对角矩阵．6． （99）设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=a c b c a A 01351，且 | A | = −1，又设A 的伴随矩阵A *有特征值λ 0，属于λ 0的特征向量为α = (−1, −1, 1)T ，求a , b , c 及λ 0的值．7． （00）设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=5334111y x A ，已知A 有三个线性无关的特征向量，λ = 2是A 的二重特征值．试求可逆矩阵P ，使得P −1AP 为对角形矩阵．8． （01）设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=111111a a a A ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=211β． 已知线性方程组AX = β 有解但不唯一，试求： （1）a 的值，（2）正交矩阵Q ，使Q T AQ 为对角矩阵．9． （02）设实对称阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=a a a A 111111，求可逆矩阵P ，使P −1AP 为对角形矩阵，并计算行列式 | A − E |的值．10．（03）设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=a A 11121112可逆，向量⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=11b α是矩阵A *的一个特征向量，λ 是α 对应的特征值，其中A *是矩阵A 的伴随矩阵．试求a , b 和λ 的值．11．（04）设三阶实对称矩阵A 的秩为2，λ1 = λ2 = 6是A 的二重特征值．若α1 = (1, 1, 0)T , α 2 = (2, 1, 1)T , α 3 = (−1, 2, −3)T 都是A 的属于特征值6的特征向量．（1）求A 的另一特征值和对应的特征向量；（2）求矩阵A ．12．（04）设n 阶矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=111L L L L L L L b b b b b b A ． （1）求A 的特征值和特征向量；（2）求可逆矩阵P ，使得P −1AP 为对角矩阵．13．（05）设A 为三阶矩阵，α 1 , α 2 , α 3是线性无关的三维列向量，且满足A α 1 = α 1 + α 2 + α 3 , A α 2 = 2α 2 + α 3 , A α 2 = 2α 2 + 3α 3 ，（1）求矩阵B ，使得A (α 1 , α 2 , α 3) = (α 1 , α 2 , α 3)B ；（2）求矩阵A 的特征值；（3）求可逆矩阵P ，使得P −1AP 为对角矩阵．14．（06）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3，向量α 1 = (−1, 2, −1)T , α 2 = (0, −1, 1)T 是线性方程组AX = θ 的两个解．（1）求A 的特征值与特征向量；（2）求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ，使得Q T AQ = Λ；（3）求A 及6)23(E A −，其中E 为3阶单位矩阵． 15．（07）设3阶实对称矩阵A 的特征值 λ1 = 1, λ 2 = 2, λ 3 = −2，α1 = (1, −1, 1)T 是A 的属于λ1的一个特征向量．记B = A 5 − 4A 3 + E ，其中E 为3阶单位矩阵．（1）验证α1是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量；（2）求矩阵B ．16．（08）设A 为3阶矩阵，α 1, α 2为A 的分别属于特征值−1, 1的特征向量，向量α 3满足A α 3 = α 2 + α 3，（1）证明α 1, α 2, α 3线性无关；（2）令P = (α 1, α 2, α 3)，求P −1AP ． 17．（10）设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=0431410a a A ，正交矩阵Q 使得AQ Q T 为对角矩阵，若Q 的第1列为T )1,2,1(61，求Q a ,．18．（11）A 为三阶实对称矩阵，2)(=A R ，且⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−110011110011A ．（1）求A 的特征值与特征向量；（2）求A ．第六章 二次型一．选择题：1． （07）设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−=211121112A ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=000010001B ，则A 与B （ ）（A ）合同，且相似．（B ）合同，但不相似．（C ）不合同，但相似．（D ）既不合同，也不相似．2． （08）设⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=1221A ，则在实数域上与A 合同的矩阵为（ ） （A ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−2112．（B ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−2112．（C ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛2112．（D ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−1221．二．填空题：1． （97）若二次型f (x 1, x 2, x 3) = 2x 12 + x 22 + x 32 + 2x 1x 2 + tx 2x 3是正定的，则t 的取值范围是 ．2． （04）二次型f (x 1, x 2, x 3) = (x 1 + x 2)2 + (x 2 − x 3)2 + (x 3 + x 1)2的秩为 ．3． （11）设二次型Ax x x x x f T =),,(321的秩为1，A 中行元素之和为3，则f 在正交变换Qy x =下的标准型为 ．三．解答题：1． （95）设二次型f (x 1, x 2, x 3) = x 12 + x 22 + x 32 + 2α x 1x 2 + 2β x 2x 3 + 2x 1x 3，经正交变换X = PY 化成f = y 22 +2y 32，其中X = (x 1, x 2, x 3)T 和Y = (y 1, y 2, y 3)T 是三维列向量，P 是3阶正交矩阵，试求常数α, β．2． （98）设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=101020101A ，矩阵B = (kE + A )2，其中k 为实数，E 为单位矩阵，求对角矩阵Λ，使B 与Λ相似，并求k 为何值时，B 为正定矩阵．3． （99）设A 为m × n 实矩阵，E 为n 阶单位矩阵，已知矩阵B = λE + A T A ，试证：当λ > 0时，B 为正定矩阵．4． （00）设有n 元实二次型f (x 1, x 2, …, x n ) = (x 1 + a 1x 2 ) 2 + (x 2 + a 2x 3 ) 2 + … + (x n −1 + a n −1x n ) 2 + (x n + a n x 1 ) 2，其中a i (i = 1, 2, …, n )为实数．试问：当a 1, a 2, …, a n 满足何种条件时，二次型f (x 1, x 2, …, x n )为正定二次型．5． （01）设A 为n 阶实对称矩阵，秩(A ) = n ，A ij 是A = (a ij )n ×n 中元素a ij 的代数余子式（i , j = 1, 2, …, n ）， 二次型j i n i n j ijn x x A A x x x f ∑∑===1121),,,(L ．（1）记X = (x 1, x 2, …, x n )T ，把f (x 1, x 2, …, x n )写成矩阵形式，并证明二次型f (X )的矩阵为A −1；（2）二次型g (X ) = X T AX 与f (X )的规范形是否相同？说明理由．6． （02）设A 为三阶实对称矩阵，且满足条件A 2 +2A = O ，已知A 的秩r (A ) = 2．（1）求A 的全部特征值；（2）当k 为何值时，矩阵A + kE 为正定矩阵，其中E 为三阶单位矩阵．7． （03）设二次型)0(222),,(312322211321>+−+==b x bx x x x a AX X x x x f T 中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为12−．（1）求b a ,的值；（2）利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用正交变换和对应的正交矩阵．8． （05）设⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=B C C A D T 为正定矩阵，其中B A ,分别为m 阶、n 阶对称矩阵，C 为n m ×矩阵， （1）计算DP P T ，其中⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−n m E O C A E P 1； （2）利用（1）的结果判断矩阵C A C B T 1−−是否为正定矩阵，并证明你的结论．9． （09）设二次型323123222132122)1(),,(x x x x x a ax ax x x x f −+−++=， （1）求二次型f 的矩阵的所有特征值；（2）若二次型),,(321x x x f 的规范型为2221y y +，求a 的值． 10．（12）已知矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−=1001110101a a A ，T A 为矩阵A 的转置，二次型x A A x x x x f T T )(),,(321=的秩为2．（1）求实数a的值；x=将二次型f化为标准型．（2）求正交变换Qy。

考研数学三（函数、极限、连续）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．[2004年]函数在区间( )内有界．A．(－1，0)B．(0，1)C．(1，2)D．(2，3)正确答案：A解析：解一大家知道，若f(x)在有限闭区间[a，b]上连续，则f(x)一定在[a，b]上有界，但若f(x)在开区间(a，b)内连续，则f(x)在(a，b)内未必有界，而如果再附加条件和存在，则f(x)必在(a，b)内有界，这就是命题1．1．1．1(2)．由于下述极限存在，又f(x)在(－1，0)内连续，故由命题1．1．1．1(2)知f(x)在(－1，0)内有界．仅(A)入选．解二因可补充定义则补充定义后的函数f(x)成为有界闭区间[－1，0]上的连续函数．利用有界闭区间上连续函数的有界性可知f(x)在[－1，0)[－1，0]上有界．仅(A)入选．解三因由命题[1．1．1．1(1)：如果x∈(a,b)，或则f(x)在(a,b)内无界。

即知，f(x)在(0，1)及(1，2)，(2，3)内均无界．仅(A)入选．注：命题1．1．1．1 (1)如果x0(a，b)，或则f(x)在(a，b)内无界．(2)如果和存在，且f(x)在(a，b)内连续，则f(x)在(a，b)内有界．知识模块：函数、极限、连续2．[2014年]设且a≠0，则当n充分大时，有( )．A．B．C．D．正确答案：A解析：解一由可取从而有不等式即亦即当a＞0时有当a＜0时有由式①、式②可知仅(A)入选．解二因由极限的定义，对任意ε＞0，存在正整数N，使得n＞N时，有|an一a|＜ε，从而取时有即仅(A)入选．解三由得到取则存在N＞0，当n>N时有即亦即故仅(A)入选．知识模块：函数、极限、连续3．[2000年]设对任意的x，总有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且则( ).A．存在且等于零B．存在但不一定为零C．一定不存在D．不一定存在正确答案：D解析：下面举反例说明(A)，(B)，(C)都不正确．仅(D)入选．令φ(x)=1-1／x2，f(x)=1，g(x)=1+1／x2，显然有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且这时有这说明(A)、(C)都不正确．事实上，满足上述条件的f(x)，其极限不一定存在．因而(B)也不正确．例如，令φ(x)=x－1／x2，f(x)=x，g(x)=x+1／x2，显然它们均满足题设条件，但知识模块：函数、极限、连续4．[2015年]设{xn)是数列．下列命题中不正确的是( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：由命题1．1．3．8的充分条件知选项(B)正确．由命题1．1．3．8的必要条件知选项(A)、(C)正确，因而仅(D)入选．注：命题1．1．3．8 如果与均存在且相等，则存在，且知识模块：函数、极限、连续5．[2009年]当x→0时，f(x)=x—sinax与g(x)=x2ln(1—bx)是等价无穷小量，则( )．A．a=1，b=－1／6B．a=1，b=1／6C．a=－1，b=－1／6D．a=－1，b=1／6正确答案：A解析：解一因故必存在，所以必有因而a=1．再由－a3／(6b)=1得－1／(6b)=1，故b=－1／6．仅(A)入选．解二反复利用洛必达法则求之．即a3=－6b(排除(B)、(C))．又因存在，而故必有即1－a=0，故a=1，从而b=－1／6．仅(A)入选．注：命题1．1．3．1 当x→0时，有(2)x－sinx～x3/6；1－cosλ～λx2(λ为常数). 知识模块：函数、极限、连续6．[2010年]若则a等于( )．A．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：解一即a=2．仅(C)入选．解二由题设知，a－1=1，故a=2．仅(C)入选．知识模块：函数、极限、连续7．[2014年]设P(x)=a+bx+cx2+dx3，当x→0时，若P(x)=-tanx是比x3高阶的无穷小，则下列选项中错误的是( )．A．a=0B．b=1C．c=0D．正确答案：D解析：由题设得故a=0，b－1=0，c=0，即a=0，b=1，c=0，仅(D)入选．知识模块：函数、极限、连续填空题8．[2012年]设函数则正确答案：解析：当x=e时，y=lnx－1，故知识模块：函数、极限、连续9．[2012年]正确答案：解析：知识模块：函数、极限、连续10．[2009年]正确答案：3e/2解析：知识模块：函数、极限、连续11．[2015年]正确答案：解析：知识模块：函数、极限、连续12．[2002年]设常数则正确答案：解析：知识模块：函数、极限、连续13．[2005年]正确答案：2解析：解一当x→∞时，sin[2x／(x2+1)]～2x／(x2+1)，由命题1．1．4．1 [*]其中m,n为正整数.得到[*] 解二令[*]则[*]故[*] 知识模块：函数、极限、连续14．[2007年]正确答案：0解析：解一因|sinx+cosx|≤|cosx|+|sinx|≤2，故sinx+cosx为有界变量，又根据命题1．1．3．6即得所求极限为0．解二当x→∞时，2x是比xk(k 为正整数)高阶的无穷大量，因而显然|sinx+cosx|≤2，于是由命题1．1．3．6即得所求极限为0．注：命题1．1．3．6 有界变量与无穷小量的乘积为无穷小量. 知识模块：函数、极限、连续解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）设,0,0,0,1cos )(=≠⎪⎩⎪⎨⎧=x x xx x f 若若λ其导函数在x=0处连续，则λ的取值范围是_____. （2）已知曲线b x a x y +-=233与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为=2b ________. （3）设a>0，，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==而D 表示全平面，则⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(=_______.（4）设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T α；E 为n 阶单位矩阵，矩阵 T E A αα-=， T aE B αα1+=， 其中A 的逆矩阵为B ，则a=______.（5）设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9, 若4.0-=X Z ，则Y 与Z 的相关系数为________.（6）设总体X 服从参数为2的指数分布，n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本，则当∞→n 时，∑==ni i n X n Y 121依概率收敛于______.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数xx f x g )()(=(A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0.(C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. [ ] （2）设可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是(A) ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. （B ）),(0y x f 在0y y =处的导数大于零. (C) ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零. (D) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在. [ ] （3）设2nn n a a p +=，2nn n a a q -=， ,2,1=n ，则下列命题正确的是(A) 若∑∞=1n na条件收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.(B) 若∑∞=1n na绝对收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.(C) 若∑∞=1n na条件收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq敛散性都不定.(D) 若∑∞=1n na绝对收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq敛散性都不定. [ ]（4）设三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a b b b a b b b a A ，若A 的伴随矩阵的秩为1，则必有 (A) a=b 或a+2b=0. (B) a=b 或a+2b ≠0.(C) a ≠b 且a+2b=0. (D) a ≠b 且a+2b ≠0. [ ] （5）设s ααα,,,21 均为n 维向量，下列结论不正确的是(A) 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有02211≠+++s s k k k ααα ，则sααα,,,21 线性无关.(B) 若s ααα,,,21 线性相关，则对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有.02211=+++s s k k k ααα(C) s ααα,,,21 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D) s ααα,,,21 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ ]（6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A ={掷第一次出现正面}，2A ={掷第二次出现正面}，3A ={正、反面各出现一次}，4A ={正面出现两次}，则事件(A) 321,,A A A 相互独立. (B) 432,,A A A 相互独立.(C) 321,,A A A 两两独立. (D) 432,,A A A 两两独立. [ ] 三、（本题满分8分） 设 ).1,21[,)1(1sin 11)(∈--+=x x x x x f πππ 试补充定义f(1)使得f(x)在]1,21[上连续.设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足12222=∂∂+∂∂v f u f ，又)](21,[),(22y x xy f y x g -=,求.2222y gx g ∂∂+∂∂ 五、（本题满分8分） 计算二重积分 .)sin(22)(22dxdy y x e I Dy x +=⎰⎰-+-π其中积分区域D=}.),{(22π≤+y x y x六、（本题满分9分）求幂级数∑∞=<-+12)1(2)1(1n nnx n x 的和函数f(x)及其极值.七、（本题满分9分）设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在),(+∞-∞内满足以下条件： )()(x g x f ='，)()(x f x g ='，且f(0)=0, .2)()(x e x g x f =+(1) 求F(x)所满足的一阶微分方程； (2) 求出F(x)的表达式. 八、（本题满分8分）设函数f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在)3,0(∈ξ，使.0)(='ξf九、（本题满分13分） 已知齐次线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++++=+++++,0)(,0)(,0)(,0)(332211332211332211332211nn nn n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a 其中.01≠∑=ni ia试讨论n a a a ,,,21 和b 满足何种关系时，(1) 方程组仅有零解；(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系. 十、（本题满分13分） 设二次型)0(222),,(31232221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T ，中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12. (1) 求a,b 的值；(2) 利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.设随机变量X 的概率密度为;],8,1[,0,31)(32其他若∈⎪⎩⎪⎨⎧=x x x fF(x)是X 的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.十二、（本题满分13分）设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为⎪⎪⎭⎫⎝⎛7.03.021~X ，而Y 的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y 的概率密度g(u).2003年考研数学（三）真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）设,0,0,0,1cos )(=≠⎪⎩⎪⎨⎧=x x xx x f 若若λ其导函数在x=0处连续，则λ的取值范围是2>λ. 【分析】 当≠x 0可直接按公式求导，当x=0时要求用定义求导.【详解】 当1>λ时，有,0,0,0,1sin 1cos )(21=≠⎪⎩⎪⎨⎧+='--x x xx x x x f 若若λλλ 显然当2>λ时，有)0(0)(lim 0f x f x '=='→，即其导函数在x=0处连续.（2）已知曲线b x a x y +-=233与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为=2b 64a .【分析】 曲线在切点的斜率为0，即0='y ，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即可找到2b 与a 的关系.【详解】 由题设，在切点处有03322=-='a x y ，有 .220a x =又在此点y 坐标为0，于是有0300230=+-=b x a x ,故 .44)3(6422202202a a a x a x b =⋅=-=【评注】 有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程. （3）设a>0，，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==而D 表示全平面，则⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(= 2a .【分析】 本题积分区域为全平面，但只有当10,10≤-≤≤≤x y x 时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.【详解】 ⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(=dxdy ax y x ⎰⎰≤-≤≤≤10,102=.])1[(2121012adx x x ady dx ax x=-+=⎰⎰⎰+【评注】 若被积函数只在某区域内不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分上积分即可.（4）设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T α；E 为n 阶单位矩阵，矩阵 T E A αα-=， T aE B αα1+=， 其中A 的逆矩阵为B ，则a= -1 .【分析】 这里T αα为n 阶矩阵，而22a T =αα为数，直接通过E AB =进行计算并注意利用乘法的结合律即可.【详解】 由题设，有)1)((T T a E E AB αααα+-= =T T T T a a E αααααααα⋅-+-11=T T T T a a E αααααααα)(11-+-=T T T a a E αααααα21-+-=E aa E T =+--+αα)121(,于是有 0121=+--aa ，即 0122=-+a a ，解得 .1,21-==a a 由于A<0 ,故a=-1.（5）设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9, 若4.0-=X Z ，则Y 与Z 的相关系数为 0.9 .【分析】 利用相关系数的计算公式即可. 【详解】 因为)4.0()()]4.0([()4.0,cov(),cov(---=-=X E Y E X Y E X Y Z Y =)(4.0)()()(4.0)(Y E X E Y E Y E XY E +-- =E(XY) – E(X)E(Y)=cov(X,Y), 且.DX DZ =于是有 cov(Y ,Z)=DZDY Z Y ),cov(=.9.0),cov(==XY DYDX Y X ρ【评注】 注意以下运算公式：DX a X D =+)(，).,cov(),cov(Y X a Y X =+（6）设总体X 服从参数为2的指数分布，n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本，则当∞→n 时，∑==ni i n X n Y 121依概率收敛于 21 .【分析】 本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量n X X X ,,,21 ，当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值：).(1111∞→→∑∑==n EX n X n ni i pn i i【详解】 这里22221,,,nX X X 满足大数定律的条件，且22)(i i i EX DX EX +==21)21(412=+，因此根据大数定律有∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于.21112=∑=n i i EX n二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数xx f x g )()(=(A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0.(C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. [ D ] 【分析】 由题设，可推出f(0)=0 , 再利用在点x=0处的导数定义进行讨论即可. 【详解】 显然x=0为g(x)的间断点，且由f(x)为不恒等于零的奇函数知，f(0)=0. 于是有 )0(0)0()(lim )(lim)(lim 00f x f x f x x f xg x x x '=--==→→→存在，故x=0为可去间断点. 【评注1】 本题也可用反例排除，例如f(x)=x, 则此时g(x)=,0,0,0,1=≠⎩⎨⎧=x x x x 可排除(A),(B),(C) 三项，故应选(D).【评注2】 若f(x)在0x x =处连续，则.)(,0)()(lim000A x f x f A x x x f x x ='=⇔=-→.（2）设可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是(A) ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. （B ）),(0y x f 在0y y =处的导数大于零. (C) ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零. (D) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在. [ A ] 【分析】 可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论.【详解】 可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，根据取极值的必要条件知0),(00='y x f y ，即),(0y x f 在0y y =处的导数等于零, 故应选(A).【评注1】 本题考查了偏导数的定义，),(0y x f 在0y y =处的导数即),(00y x f y '；而),(0y x f 在0x x =处的导数即).,(00y x f x '【评注2】 本题也可用排除法分析，取22),(y x y x f +=，在(0,0)处可微且取得极小值，并且有2),0(y y f =，可排除(B),(C),(D), 故正确选项为(A).（3）设2nn n a a p +=，2nn n a a q -=， ,2,1=n ，则下列命题正确的是(A) 若∑∞=1n na条件收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.(B) 若∑∞=1n na绝对收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.(C) 若∑∞=1n na条件收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq敛散性都不定.(D) 若∑∞=1n na绝对收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq敛散性都不定. [ B ]【分析】 根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答案. 【详解】 若∑∞=1n n a 绝对收敛，即∑∞=1n n a 收敛，当然也有级数∑∞=1n n a 收敛，再根据2nn n a a p +=，2nn n a a q -=及收敛级数的运算性质知，∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛，故应选(B).（4）设三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a b b b a b b b a A ，若A 的伴随矩阵的秩为1，则必有 (A) a=b 或a+2b=0. (B) a=b 或a+2b ≠0.(C) a ≠b 且a+2b=0. (D) a ≠b 且a+2b ≠0. [ C ] 【分析】 A 的伴随矩阵的秩为1, 说明A 的秩为2，由此可确定a,b 应满足的条件. 【详解】 根据A 与其伴随矩阵A*秩之间的关系知，秩(A)=2，故有0))(2(2=-+=b a b a ab b b a b bb a ，即有02=+b a 或a=b.但当a=b 时，显然秩(A)2≠, 故必有 a ≠b 且a+2b=0. 应选(C).【评注】 n （n )2≥阶矩阵A 与其伴随矩阵A*的秩之间有下列关系：.1)(,1)(,)(,0,1,*)(-<-==⎪⎩⎪⎨⎧=n A r n A r n A r n A r（5）设s ααα,,,21 均为n 维向量，下列结论不正确的是(A) 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有02211≠+++s s k k k ααα ，则sααα,,,21线性无关.(B) 若s ααα,,,21 线性相关，则对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有.02211=+++s s k k k ααα(C) s ααα,,,21 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D) s ααα,,,21 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ B ]【分析】 本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解，以及线性相关、线性无关的等价表现形式. 应注意是寻找不正确的命题.【详解】(A): 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有 02211≠+++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 必线性无关，因为若s ααα,,,21 线性相关，则存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,使得02211=+++s s k k k ααα ，矛盾. 可见（A ）成立.(B): 若s ααα,,,21 线性相关，则存在一组，而不是对任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有.02211=+++s s k k k ααα (B)不成立.(C) s ααα,,,21 线性无关,则此向量组的秩为s ；反过来，若向量组s ααα,,,21 的秩为s ，则s ααα,,,21 线性无关，因此(C)成立.(D) s ααα,,,21 线性无关,则其任一部分组线性无关，当然其中任意两个向量线性无关，可见(D)也成立.综上所述，应选(B).【评注】 原命题与其逆否命题是等价的. 例如，原命题：若存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，使得02211=+++s s k k k ααα 成立，则s ααα,,,21 线性相关. 其逆否命题为：若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有02211≠+++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 线性无关. 在平时的学习过程中，应经常注意这种原命题与其逆否命题的等价性.（6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A ={掷第一次出现正面}，2A ={掷第二次出现正面}，3A ={正、反面各出现一次}，4A ={正面出现两次}，则事件(A) 321,,A A A 相互独立. (B) 432,,A A A 相互独立.(C) 321,,A A A 两两独立. (D) 432,,A A A 两两独立. [ C ]【分析】按照相互独立与两两独立的定义进行验算即可，注意应先检查两两独立，若成立，再检验是否相互独立.【详解】 因为21)(1=A P ，21)(2=A P ，21)(3=A P ，41)(4=A P ，且 41)(21=A A P ，41)(31=A A P ，41)(32=A A P ，41)(42=A A P 0)(321=A A A P ，可见有)()()(2121A P A P A A P =，)()()(3131A P A P A A P =，)()()(3232A P A P A A P =，)()()()(321321A P A P A P A A A P ≠，)()()(4242A P A P A A P ≠.故321,,A A A 两两独立但不相互独立；432,,A A A 不两两独立更不相互独立，应选(C).【评注】 本题严格地说应假定硬币是均匀的，否则结论不一定成立.三 、（本题满分8分） 设 ).1,21[,)1(1sin 11)(∈--+=x x x x x f πππ 试补充定义f(1)使得f(x)在]1,21[上连续.【分析】 只需求出极限)(lim 1x f x -→，然后定义f(1)为此极限值即可. 【详解】 因为)(lim 1x f x -→=])1(1sin 11[lim 1x x x x --+-→πππ =xx xx x πππππsin )1(sin )1(lim 111---+-→=xx x xx ππππππππcos )1(sin cos lim 111-+---+-→=xx x x xx ππππππππππsin )1(cos cos sin lim 11221----+-→=.1π由于f(x)在)1,21[上连续，因此定义π1)1(=f ，使f(x)在]1,21[上连续.【评注】 本题实质上是一求极限问题，但以这种形式表现出来，还考查了连续的概念.在计算过程中，也可先作变量代换y=1-x ，转化为求+→0y 的极限，可以适当简化.四 、（本题满分8分）设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足12222=∂∂+∂∂v f u f ，又)](21,[),(22y x xy f y x g -=,求.2222y gx g ∂∂+∂∂ 【分析】 本题是典型的复合函数求偏导问题：),(v u f g =，)(21,22y x v xy u -==，直接利用复合函数求偏导公式即可，注意利用.22uv fv u f ∂∂∂=∂∂∂【详解】vfxu f y x g ∂∂+∂∂=∂∂， .vf y u f x yg ∂∂-∂∂=∂∂ 故 vf v f x v u f xy u f y xg ∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂2222222222， .2222222222v f vf y u v f xy u f x yg ∂∂-∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂ 所以 222222222222)()(vf y x u f y x yg x g ∂∂++∂∂+=∂∂+∂∂ =.22y x +【评注】 本题考查半抽象复合函数求二阶偏导. 五 、（本题满分8分） 计算二重积分 .)sin(22)(22dxdy y x e I Dy x +=⎰⎰-+-π其中积分区域D=}.),{(22π≤+y x y x【分析】 从被积函数与积分区域可以看出，应该利用极坐标进行计算. 【详解】 作极坐标变换：θθsin ,cos r y r x ==，有 dxdy y x e e I Dy x )sin(22)(22+=⎰⎰+-π=.sin 2022dr r re d e r ⎰⎰-πππθ令2r t =，则 tdt e eI t sin 0⎰-=πππ.记 tdt e A tsin 0⎰-=π，则t t de e A --⎰-=int 0π=]cos sin [0⎰----ππtdt e t e t t=⎰--πcos t tde=]sin cos [0tdt e t e t t ⎰--+-ππ=.1A e -+-π 因此 )1(21π-+=e A ， ).1(2)1(2πππππe e e I +=+=-【评注】 本题属常规题型，明显地应该选用极坐标进行计算，在将二重积分化为定积分后，再通过换元与分步积分（均为最基础的要求），即可得出结果，综合考查了二重积分、换元积分与分步积分等多个基础知识点.六、（本题满分9分）求幂级数∑∞=<-+12)1(2)1(1n n nx n x 的和函数f(x)及其极值.【分析】 先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数，注意当x=0时和为1. 求出和函数后，再按通常方法求极值.【详解】.1)1()(1212∑∞=-+-=-='n n n x xx x f 上式两边从0到x 积分，得).1ln(211)0()(202x dt t t f x f x+-=+-=-⎰ 由f(0)=1, 得).1(),1ln(211)(2<+-=x x x f 令0)(='x f ，求得唯一驻点x=0. 由于,)1(1)(222x x x f +--='' 01)0(<-=''f ，可见f(x)在x=0处取得极大值，且极大值为 f(0)=1.【评注】 求和函数一般都是先通过逐项求导、逐项积分等转化为可直接求和的几何级数情形，然后再通过逐项积分、逐项求导等逆运算最终确定和函数.七、（本题满分9分）设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在),(+∞-∞内满足以下条件：)()(x g x f ='，)()(x f x g ='，且f(0)=0, .2)()(x e x g x f =+(3) 求F(x)所满足的一阶微分方程； (4) 求出F(x)的表达式.【分析】 F(x)所满足的微分方程自然应含有其导函数，提示应先对F(x)求导，并将其余部分转化为用F(x)表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程.【详解】 (1) 由)()()()()(x g x f x g x f x F '+'='=)()(22x f x g +=)()(2)]()([2x g x f x g x f -+ =(22)x e -2F(x), 可见F(x)所满足的一阶微分方程为.4)(2)(2x e x F x F =+'(2) ]4[)(222C dx e e e x F dxx dx +⎰⋅⎰=⎰-=]4[42C dx e e x x +⎰-=.22x x Ce e -+将F(0)=f(0)g(0)=0代入上式，得 C=-1. 于是.)(22x x e e x F --=【评注】 本题没有直接告知微分方程，要求先通过求导以及恒等变形引出微分方程的形式，从题型来说比较新颖，但具体到微分方程的求解则并不复杂，仍然是基本要求的范围.八、（本题满分8分）设函数f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在)3,0(∈ξ，使.0)(='ξf【分析】 根据罗尔定理，只需再证明存在一点c )3,0[∈，使得)3(1)(f c f ==，然后在[c,3]上应用罗尔定理即可. 条件f(0)+f(1)+f(2)=3等价于13)2()1()0(=++f f f ，问题转化为1介于f(x)的最值之间，最终用介值定理可以达到目的.【详解】 因为f(x)在[0，3]上连续，所以f(x)在[0，2]上连续，且在[0，2]上必有最大值M 和最小值m ，于是M f m ≤≤)0(， M f m ≤≤)1(， M f m ≤≤)2(. 故.3)2()1()0(M f f f m ≤++≤由介值定理知，至少存在一点]2,0[∈c ，使.13)2()1()0()(=++=f f f c f因为f(c)=1=f(3), 且f(x)在[c,3]上连续，在(c,3)内可导，所以由罗尔定理知，必存在)3,0()3,(⊂∈c ξ，使.0)(='ξf【评注】 介值定理、微分中值定理与积分中值定理都是常考知识点，且一般是两两结合起来考. 本题是典型的结合介值定理与微分中值定理的情形.九、（本题满分13分） 已知齐次线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++++=+++++,0)(,0)(,0)(,0)(332211332211332211332211nn nn n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a 其中.01≠∑=ni ia试讨论n a a a ,,,21 和b 满足何种关系时，(1) 方程组仅有零解；(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.【分析】方程的个数与未知量的个数相同，问题转化为系数矩阵行列式是否为零，而系数行列式的计算具有明显的特征：所有列对应元素相加后相等. 可先将所有列对应元素相加，然后提出公因式，再将第一行的（-1）倍加到其余各行，即可计算出行列式的值.【详解】 方程组的系数行列式ba a a a a ba a a a ab a a a a a b a A n n n n++++= 321321321321 =).(11∑=-+ni i n a b b(1) 当0≠b 时且01≠+∑=ni iab 时，秩(A)=n ，方程组仅有零解.(2) 当b=0 时，原方程组的同解方程组为 .02211=+++n n x a x a x a 由01≠∑=ni ia可知，),,2,1(n i a i =不全为零. 不妨设01≠a ，得原方程组的一个基础解系为T a a )0,,0,1,(121 -=α，T a a )0,,1,0,(132 -=α，.)1,,0,0,(,1T n n a a-=α当∑=-=ni iab 1时，有0≠b ，原方程组的系数矩阵可化为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----∑∑∑∑====n i i n nni inni inni ia a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 1321132131213211（将第1行的-1倍加到其余各行，再从第2行到第n 行同乘以∑=-ni ia11倍）→ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----∑=1001010100113211 n ni ia a a a a（ 将第n 行n a -倍到第2行的2a -倍加到第1行，再将第1行移到最后一行）→ .0000100101010011⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---由此得原方程组的同解方程组为12x x =，13x x =，1,x x n = . 原方程组的一个基础解系为 .)1,,1,1(T =α【评注】 本题的难点在∑=-=ni iab 1时的讨论，事实上也可这样分析：此时系数矩阵的秩为 n-1(存在n-1阶子式不为零)，且显然T )1,,1,1( =α为方程组的一个非零解，即可作为基础解系.十、（本题满分13分）设二次型)0(222),,(31232221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T ，中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12. (3) 求a,b 的值；(4) 利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.【分析】 特征值之和为A 的主对角线上元素之和，特征值之积为A 的行列式，由此可求出a,b 的值；进一步求出A 的特征值和特征向量，并将相同特征值的特征向量正交化（若有必要），然后将特征向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵.【详解】 （1）二次型f 的矩阵为.200200⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=b b a A 设A 的特征值为).3,2,1(=i i λ 由题设，有1)2(2321=-++=++a λλλ，.12242002002321-=--=-=b a b ba λλλ解得 a=1,b= -2.(2) 由矩阵A 的特征多项式)3()2(2020202012+-=+----=-λλλλλλA E ， 得A 的特征值.3,2321-===λλλ对于,221==λλ解齐次线性方程组0)2(=-x A E ，得其基础解系 T )1,0,2(1=ξ，.)0,1,0(2T =ξ对于33-=λ，解齐次线性方程组0)3(=--x A E ，得基础解系 .)2,0,1(3T -=ξ由于321,,ξξξ已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将321,,ξξξ单位化，由此得T )51,0,52(1=η，T )0,1,0(2=η，.)52,0,51(3T -=η令矩阵[]⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==5205101051052321ηηηQ ，则Q 为正交矩阵. 在正交变换X=QY 下，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=300020002AQ Q T ，且二次型的标准形为.322232221y y y f -+=【评注】 本题求a,b ，也可先计算特征多项式，再利用根与系数的关系确定：二次型f 的矩阵A 对应特征多项式为)].2()2()[2(2020022b a a bbaA E +----=+----=-λλλλλλλ 设A 的特征值为321,,λλλ，则).2(,2,2232321b a a +-=-=+=λλλλλ由题设得1)2(2321=-+=++a λλλ，.12)2(22321-=+-=b a λλλ解得a=1,b=2.十一、（本题满分13分） 设随机变量X 的概率密度为;],8,1[,0,31)(32其他若∈⎪⎩⎪⎨⎧=x x x fF(x)是X 的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.【分析】 先求出分布函数F(x) 的具体形式，从而可确定Y=F(X) ,然后按定义求Y 的分布函数即可.注意应先确定Y=F(X)的值域范围)1)(0(≤≤X F ，再对y 分段讨论.【详解】 易见，当x<1时，F(x)=0; 当x>8 时，F(x)=1. 对于]8,1[∈x ，有 .131)(3132-==⎰x dt t x F x设G(y)是随机变量Y=F(X)的分布函数. 显然，当0<y 时，G(y)=0；当1≥y 时，G(y)=1. 对于)1,0[∈y ，有})({}{)(y X F P y Y P y G ≤=≤= =})1({}1{33+≤=≤-y X P y X P =.])1[(3y y F =+于是，Y=F(X)的分布函数为.1,10,0,1,,0)(≥<≤<⎪⎩⎪⎨⎧=y y y y y G 若若若【评注】 事实上，本题X 为任意连续型随机变量均可，此时Y=F(X)仍服从均匀分布:当y<0时，G(y)=0; 当 1≥y 时，G(y)=1;当 01<≤y 时，})({}{)(y X F P y Y P y G ≤=≤= =)}({1y F X P -≤ =.))((1y y F F =- 十二、（本题满分13分）设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛7.03.021~X ，而Y 的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y 的概率密度g(u).【分析】求二维随机变量函数的分布，一般用分布函数法转化为求相应的概率. 注意X 只有两个可能的取值，求概率时可用全概率公式进行计算.【详解】 设F(y)是Y 的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y 的分布函数为 }{)(u Y X P u G ≤+==}2{7.0}1{3.0=≤++=≤+X u Y X P X u Y X P =}22{7.0}11{3.0=-≤+=-≤X u Y P X u Y P . 由于X 和Y 独立，可见G(u)= }2{7.0}1{3.0-≤+-≤u Y P u Y P=).2(7.0)1(3.0-+-u F u F 由此,得U 的概率密度)2(7.0)1(3.0)()(-'+-'='=u F u F u G u g =).2(7.0)1(3.0-+-u f u f【评注】 本题属新题型，求两个随机变量和的分布，其中一个是连续型一个是离散型，要求用全概率公式进行计算，类似问题以前从未出现过，具有一定的难度和综合性.2004年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若5)(cos sin lim0=--→b x ae xx x ，则a =______，b =______. (2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y ) ≠ 0，则2fu v∂=∂∂.(3) 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则212(1)f x dx -=⎰.(4) 二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 .(5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X P _______.(6) 设总体X 服从正态分布),(21σμN , 总体Y 服从正态分布),(22σμN ,1,,21n X X X 和 2,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则12221112()()2n n i j i j X X Y Y E n n ==⎡⎤-+-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A) (-1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). [ ](8) 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞→)(lim ， ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x x f x g ，则(A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点.(C) x = 0必是g (x )的连续点.(D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. [ ] (9) 设f (x ) = |x (1 - x )|，则(A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.(D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点. [ ] (10) 设有下列命题：(1) 若∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛，则∑∞=1n n u 收敛.(2) 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=+11000n n u 收敛.(3) 若1lim 1>+∞→nn n u u ，则∑∞=1n n u 发散.(4) 若∑∞=+1)(n n n v u 收敛，则∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都收敛.则以上命题中正确的是(A) (1) (2). (B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4). [ ] (11) 设)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是(A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (a ).(B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (b ). (C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.[ D ](12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必有(A) 当)0(||≠=a a A 时, a B =||. (B) 当)0(||≠=a a A 时, a B -=||.(C) 当0||≠A 时, 0||=B . (D) 当0||=A 时, 0||=B . [ ] (13) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*≠A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组 b Ax =的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量.[ ](14) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(∈α, 数αu 满足αu X P α=>}{,若αx X P =<}|{|, 则x 等于 (A) 2αu . (B) 21αu-. (C) 21αu -. (D) αu -1. [ ]三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分8分)求)cos sin 1(lim 2220xxx x -→. (16) (本题满分8分)求⎰⎰++Dd y y x σ)(22，其中D 22122=所围成的平面区域(如图).(17) (本题满分8分) 设f (x ) , g (x )在[a , b ]上连续，且满足⎰⎰≥x axadt t g dt t f )()(，x ∈ [a , b )，⎰⎰=bab adt t g dt t f )()(.证明：⎰⎰≤babadx x xg dx x xf )()(.(18) (本题满分9分) 设某商品的需求函数为Q = 100 - 5P ，其中价格P ∈ (0 , 20)，Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)；(II) 推导)1(d E Q dPdR-=(其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时， 降低价格反而使收益增加.(19) (本题满分9分) 设级数)(864264242864+∞<<-∞+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅x x x x 的和函数为S (x ). 求：(I) S (x )所满足的一阶微分方程； (II) S (x )的表达式. (20)(本题满分13分)设T α)0,2,1(1=, T ααα)3,2,1(2-+=, T b αb α)2,2,1(3+---=, T β)3,3,1(-=, 试讨论当b a ,为何值时,(Ⅰ) β不能由321,,ααα线性表示;(Ⅱ) β可由321,,ααα唯一地线性表示, 并求出表示式;(Ⅲ) β可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. (21) (本题满分13分) 设n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111 b b b bb b A . (Ⅰ) 求A 的特征值和特征向量;(Ⅱ) 求可逆矩阵P , 使得AP P 1-为对角矩阵. (22) (本题满分13分)设A ，B 为两个随机事件,且41)(=A P , 31)|(=AB P , 21)|(=B A P , 令 ⎩⎨⎧=不发生，，发生，A A X 0,1 ⎩⎨⎧=.0,1不发生，发生，B B Y 求(Ⅰ) 二维随机变量),(Y X 的概率分布; (Ⅱ) X 与Y 的相关系数 XY ρ; (Ⅲ) 22Y X Z +=的概率分布.(23) (本题满分13分)设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，，，αx αx x αβαx F β0,1),,( 其中参数1,0>>βα. 设n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本,(Ⅰ) 当1=α时, 求未知参数β的矩估计量;(Ⅱ) 当1=α时, 求未知参数β的最大似然估计量; (Ⅲ) 当2=β时, 求未知参数α的最大似然估计量.2004年考研数学（三）真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若5)(cos sin lim0=--→b x ae xx x ，则a =1，b =4-.【分析】本题属于已知极限求参数的反问题. 【详解】因为5)(cos sin lim0=--→b x ae xx x ，且0)(cos sin lim 0=-⋅→b x x x ，所以0)(lim 0=-→a e x x ，得a = 1. 极限化为 51)(cos lim )(cos sin lim00=-=-=--→→b b x xxb x a e x x x x ，得b = -4. 因此，a = 1，b = -4. 【评注】一般地，已知)()(limx g x f ＝ A ， (1) 若g (x ) → 0，则f (x ) → 0；(2) 若f (x ) → 0，且A ≠ 0，则g (x ) → 0.(2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y ) ≠ 0，则)()(22v g v g vu f '-=∂∂∂.【分析】令u = xg (y )，v = y ，可得到f (u , v )的表达式，再求偏导数即可. 【详解】令u = xg (y )，v = y ，则f (u , v ) =)()(v g v g u+，所以，)(1v g u f =∂∂，)()(22v g v g v u f '-=∂∂∂. (3) 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则21)1(221-=-⎰dx x f .【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x - 1 = t ，再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可.【详解】令x - 1 = t ，⎰⎰⎰--==-121121221)()()1(dt x f dt t f dx x f＝21)21(0)1(12121212-=-+=-+⎰⎰-dx dx xe x .【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解. (4) 二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 2 .【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换或配方法均可得到答案. 【详解一】因为213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=323121232221222222x x x x x x x x x -++++=于是二次型的矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=211121112A ,由初等变换得 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→000330211330330211A ,从而 2)(=A r , 即二次型的秩为2.【详解二】因为213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=323121232221222222x x x x x x x x x -++++= 2322321)(23)2121(2x x x x x -+++= 2221232y y +=,其中 ,21213211x x x y ++= 322x x y -=.所以二次型的秩为2.(5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X Pe1. 【分析】 根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案. 【详解】 由于21λDX =, X 的分布函数为 ⎩⎨⎧≤>-=-.0,0,0,1)(x x e x F x λ故=>}{DX X P =≤-}{1DX X P =≤-}1{1λX P )1(1λF -e1=. 【评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考查, 属基本题型.(6) 设总体X 服从正态分布),(21σμN , 总体Y 服从正态分布),(22σμN ,1,,21n X X X 和 2,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则22121212)()(21σn n Y Y X X E n j j n i i =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-∑∑==.【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.【详解】因为 2121])(11[1σX X n E n i i =--∑=, 2122])(11[2σY Y n E n j j =--∑=, 故应填 2σ.【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A) (-1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). [ A ]【分析】如f (x )在(a , b )内连续，且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→存在，则函数f (x )在(a , b )内有界.【详解】当x ≠ 0 , 1 , 2时，f (x )连续，而183sin )(lim 1-=+-→x f x ，42sin )(lim 0-=-→x f x ，42sin )(lim 0=+→x f x ，∞=→)(lim 1x f x ，∞=→)(lim 2x f x ，所以，函数f (x )在(-1 , 0)内有界，故选(A).【评注】一般地，如函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续，则f (x )在闭区间[a , b ]上有界；如函数f (x )在开区间(a , b )内连续，且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→存在，则函数f (x )在开区间(a , b )内有界.(8) 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞→)(lim ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x xf xg ，则 (A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点.(C) x = 0必是g (x )的连续点.(D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. [ D ] 【分析】考查极限)(lim 0x g x →是否存在，如存在，是否等于g (0)即可，通过换元xu 1=， 可将极限)(lim 0x g x →转化为)(lim x f x ∞→.【详解】因为)(lim )1(lim )(lim 0u f x f x g u x x ∞→→→=== a (令xu 1=)，又g (0) = 0，所以，当a = 0时，)0()(lim 0g x g x =→，即g (x )在点x = 0处连续，当a ≠ 0时，)0()(lim 0g x g x ≠→，即x = 0是g (x )的第一类间断点，因此，g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关，故选(D).【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性. (9) 设f (x ) = |x (1 - x )|，则(A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.(D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点. [ C ] 【分析】由于f (x )在x = 0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考查f (x )在x = 0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.【详解】设0 < δ < 1，当x ∈ (-δ , 0) ⋃ (0 , δ)时，f (x ) > 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x )的极小值点. 显然，x = 0是f (x )的不可导点. 当x ∈ (-δ , 0)时，f (x ) = -x (1 - x )，02)(>=''x f ， 当x ∈ (0 , δ)时，f (x ) = x (1 - x )，02)(<-=''x f ，所以(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. 故选(C).【评注】对于极值情况，也可考查f (x )在x = 0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断. (10) 设有下列命题：(1) 若∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛，则∑∞=1n n u 收敛.(2) 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=+11000n n u 收敛.(3) 若1lim 1>+∞→nn n u u ，则∑∞=1n n u 发散.(4) 若∑∞=+1)(n n n v u 收敛，则∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都收敛.则以上命题中正确的是 (A) (1) (2). (B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4). [ B ]【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性. 【详解】(1)是错误的，如令nn u )1(-=，显然，∑∞=1n n u 分散，而∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛.(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.(3)是正确的，因为由1lim 1>+∞→nn n u u 可得到n u 不趋向于零(n → ∞)，所以∑∞=1n n u 发散.(4)是错误的，如令n v n u n n 1,1-==，显然，∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都发散，而∑∞=+1)(n n n v u 收敛. 故选(B).【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型.(11) 设)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是(A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (a ). (B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (b ). (C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.[ D ]【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项. 【详解】首先，由已知)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则由介值定理，至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f ； 另外，0)()(lim )(>--='+→ax a f x f a f a x ，由极限的保号性，至少存在一点),(0b a x ∈使得0)()(00>--ax a f x f ，即)()(0a f x f >. 同理，至少存在一点),(0b a x ∈使得)()(0b f x f >. 所以，(A) (B) (C)都正确，故选(D).【评注】 本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度. (12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必有(A) 当)0(||≠=a a A 时, a B =||. (B) 当)0(||≠=a a A 时, a B -=||.(C) 当0||≠A 时, 0||=B . (D) 当0||=A 时, 0||=B . [ D ] 【分析】 利用矩阵A 与B 等价的充要条件: )()(B r A r =立即可得.【详解】因为当0||=A 时, n A r <)(, 又 A 与B 等价, 故n B r <)(, 即0||=B , 故选(D). 【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查, 属基本题型.(13) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*≠A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组 b Ax =的 互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量. [ B ] 【分析】 要确定基础解系含向量的个数, 实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩. 【详解】 因为基础解系含向量的个数=)(A r n -, 而且⎪⎩⎪⎨⎧-<-===.1)(,0,1)(,1,)(,)(*n A r n A r n A r n A r根据已知条件,0*≠A 于是)(A r 等于n 或1-n . 又b Ax =有互不相等的解, 即解不惟一, 故1)(-=n A r . 从而基础解系仅含一个解向量, 即选(B).【评注】本题是对矩阵A 与其伴随矩阵*A 的秩之间的关系、线性方程组解的结构等多个知识点的综合考查.(14) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(∈α, 数αu 满足αu X P α=>}{,若αx X P =<}|{|, 则x 等于。

T (α1 + α ). 2 , α2 , α3 ), 则 ( Q AQ为 1 1 0 2 0 0 2 1 0 (C) 0 1 0 (B) 1 2 0 (A) 1 1 0 0 0 2 0 0 2 0 0 2 2 18.【10数一/二/三】设A为四阶对称矩阵, A + A = O,
−1 (B)P1 P2
(C)P2 P1
−1 (D)P2 P1
21.【11数三】设A为4 × 3矩阵, η1 , η2 , η3 是非齐次线性方程组Ax = β 的三个线性无关的解, k1 , k2 为任意实数, 则Ax = β 的通解为(
η3 (A) η2 + + k1 (η2 − η1 ) 2 η3 (C) η2 + + k1 (η3 − η1 ) + k2 (η2 − η1 ) 2
(B)仅含一个非零解向量 (D)含有三个线性无关的解向量
9.【05数一/二/三】设λ1 , λ2 是矩阵A的两个不同的特征值, 对应的特征向量分别为α1 , α2 , 则α1 , A(α1 + α2 )线性无关的充要条件是( (A)λ1 ̸= 0 (B)λ2 ̸= 0 (C)λ1 = 0 ). (D)λ2 = 0
12.【07数一/二/三/四】设向量组α1 , α2 , α3 线性无关, 则下列向量组中线性无关的是( (A)α1 − α2 , α2 − α3 , α3 − α1 (C)α1 − 2α2 , α2 − 2α3 , α3 − 2α1 (B)α1 + α2 , α2 + α3 , α3 + α1
(D)α1 + 2α2 , α2 + 2 α3 , α 3 + 2 α1 2 −1 −1 1 0 0 13.【07数一/二/三/四】设矩阵A = −1 2 −1 , B = 0 1 0 , 则A与B ( −1 −1 2 0 0 0 (A)合同且相似 (B)合同但不相似 (C)不合同但相似 (D)既不合同也不相似 14.【08数一/二/三/四】设A为n阶非零矩阵, 且A3 = O, 则( (A)E − A不可逆, E + A不可逆 (C)E − A可逆, E + A可逆 ).

考研数学三线性代数（线性方程组）模拟试卷1(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．某五元齐次线性方程组的系数矩阵经初等变换，化为，则自由变量可取为(1)x4，x5 (2)x3，x5 (3)x1，x5 (4)x2，x3那么正确的共有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个正确答案：B解析：因为系数矩阵的秩r(A)=3，有n-r(A)=5-3=2，故应当有2个自由变量．由于去掉x4，x5两列之后，所剩三阶矩阵为，因为其秩与r(A)不相等，故x4，x5不是自由变量．同理，x4，x5不能是自由变量．而x1，x5与x2，x3均可以是自由变量，因为行列式都不为0．所以应选B．知识模块：线性方程组2．已知α1，α2，α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解，那么下列向量α1-α2，α1+α2-2α3，(α2-α1)，α1-3α2+2α3中能导出方程组Ax=0解的向量共有( )A．4个．B．3个．C．2个．D．1个．正确答案：A解析：由Aαi=b(i=1，2，3)有A(α1-α2)=Aα1-Aα2=b-b=0，A(α1+α2-2α3)=Aα1+Aα2-2Aα3=b+b-2b=0，A(α1-3α2+2α3)=Aα1-3Aα2+2Aα3=b-3b+2b=0，那么，α1-α2，α1+α2-2α3，(α2-α1)，α1-3α2+2α3均是齐次方程组Ax=0的解．所以应选A．知识模块：线性方程组3．已知α1=(1，1，-1)T，α2=(1，2，0)T是齐次方程组Ax=0的基础解系，那么下列向量中Ax=0的解向量是( )A．(1，-1，3)TB．(2，1，-3)TC．(2，2，-5)TD．(2，-2，6)T正确答案：B解析：如果A选项是Ax=0的解，则D选项必是Ax=0的解．因此选项A、D均不是Ax=0的解．由于α1，α2是Ax=0的基础解系，那么α1，α2可表示Ax=0的任何一个解η，亦即方程组x，α1+x2α2=η必有解，因为可见第二个方程组无解，即(2，2，-5)T不能由α1，α2线性表示．所以应选B．知识模块：线性方程组4．设n元齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵A的秩为r，则Ax=0有非零解的充分必要条件是( )A．r=nB．r≥n．C．r＜n．D．r＞n．正确答案：C解析：将矩阵A按列分块，A=(α1，α2，…，αn)，则Ax=0的向量形式为x1a1+x2a2+…+xnan=0，而Ax=0有非零解甘α1，α2，…，αn线性相关r(α1，α2，…，αn)＜nr(A)＜n．所以应选C．知识模块：线性方程组5．已知4阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为四维列向量，其中α1，α2线性无关，若α1+2α2-α3=β，α1+α2+α3+α4=β，2α1+3α2+α3+2α4=β，k1，k2为任意常数，那么Ax=β的通解为( ) A．B．C．D．正确答案：B解析：由α1+2α2-α3=β知即γ1=(1，2，-1，0)T是Ax=β的解．同理γ2=(1，1，1，1)T，γ3=(2，3，1，2)T也均是Ax=β的解，那么η1=γ1-γ2=(0，1，-2，-1)T，η2=γ3-γ2=(1，2，0，1)T是导出组Ax=0的解，并且它们线性无关．于是Ax=0至少有两个线性无关的解向量，有n-r(A)≥2，即r(A)≤2，又因为α1，α2线性无关，有r(A)=r(α1，α2，α3，α4)≥2．所以必有r(A)=2，从而n-r(A)=2，因此η1，η2就是Ax=0的基础解系，根据解的结构，所以应选B．知识模块：线性方程组6．已知β1，β2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，α1，α2是对应的齐次线性方程Ax=0的基础解系，k1，k2为任意常数，则方程组Ax=b 的通解是( )A．B．C．D．正确答案：B解析：对于A、C选项，因为所以选项A、C中不含有非齐次线性方程组Ax=b的特解，故均不正确．对于选项D，虽然(β1-β2)是齐次线性方程组Ax=0的解，但它与α1不一定线性无关，故D也不正确，所以应选B．事实上，对于选项B，由于α1，(α1-α2)与α1，α2等价(显然它们能够互相线性表示)，故α1，(α1-α2)也是齐次线性方程组的一组基础解系，而由可知，是齐次线性方程组Ax=b的一个特解，由非齐次线性方程组的通解结构定理知，B选项正确. 知识模块：线性方程组7．三元一次方程组，所代表的三个平面的位置关系为( )A．B．C．D．正确答案：C解析：设方程组的系数矩阵为A，对增广矩阵A作初等行变换，有因为r(A)=2，而r(A)=3，方程组无解，即三个平面没有公共交点．又因平面的法向量n1=(1，2，1)，n2=(2，3，1)，n3=(1，-1，-2)互不平行．所以三个平面两两相交，围成一个三棱柱．所以应选C．知识模块：线性方程组8．设A是m×n矩阵，Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是( )A．若Ax=0仅有零解，则Ax=b有唯一解．B．若Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多个解．C．若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0仅有零解．D．若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0有非零解．正确答案：D解析：因为不论齐次线性方程组Ax=0的解的情况如何，即r(A)=n或r(A)＜n，以此均不能推得r(A)=r(A：b)，所以选项A、B均不正确．而由Ax=b有无穷多个解可知，r(A)=r(A：b)＜b．根据齐次线性方程组有非零解的充分必要条件可知，此时Ax=0必有非零解．所以应选D．知识模块：线性方程组填空题9．设A为3×3矩阵，且方程组Ax=0的基础解系含有两个解向量，则r(A)=_____正确答案：1解析：由线性方程组的基础解系所含解向量的个数与系数矩阵的秩的和等于未知数的个数，且本题系数矩阵为3×3阶，因此r(A)=n-r=3-2=1．知识模块：线性方程组10．设A是一个五阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若η1，η2是齐次线性方程组Ax=0的两个线性无关的解，则r(A*)=_______正确答案：0解析：η1，η2是齐次线性方程组Ax=0的两个线性无关的解．因此由方程组的基础解系所含解向量的个数与系数矩阵秩的关系，因此有n-r(A)≥2，即r(A)≤3．又因为A是五阶矩阵，而r(A)≤3，因此｜A｜4阶子式一定全部为0，因此代数余子式Aij恒为零，即A*=O，所以r(A*)=0．知识模块：线性方程组11．设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组Ax=0，如果矩阵A中的每行元素的和均为0，且r(A)=n-1，则方程组的通解是______正确答案：k(1，1，…，1)T，k是任意常数．解析：由题干可知r(A)=n-1，则线性方程组Ax=0的基础解系由1个解向量组成，即任意的一个非零解都可以成为基础解系．又已知矩阵每行的元素之和都为0，因此有Ai1+Ai2+…+Ain=1×Ai1+1×Ai2+…+1×Ain=0，故(1，1，…，1)T满足每一个方程，是Ax=0的解，所以通解为k(1，1，…，1)T，k 是任意常数．知识模块：线性方程组12．方程组有非零解，则k=_______正确答案：-1解析：一个齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是方程组的系数矩阵对应的行列式等于零，即=12(K+1)=0，因此得k=-1．知识模块：线性方程组13．设A=，A*是A的伴随矩阵，则A*x=0的通解是_____正确答案：k1(1，2，-1)T+k2(1，0，1)T解析：A是一个3阶矩阵，由已知得｜A｜=0，且r(A)=2，因此r(A*)=1，那么可知n-r(A*)=3-1=2，因此A*x=0有两个基础解系，其通解形式为k1η1+k2η2．又因为A*A=｜A｜E=0，因此矩阵A的列向量是A*x=0的解，故通解是k1(1，2，-1)T+k2(1，0，1)T 知识模块：线性方程组14．已知方程组总有解，则λ应满足的条件是______正确答案：解析：对于任意的b1，b2，b3，方程组有解的充分必要条件是系数矩阵A 的秩为3，即｜A｜≠0，由可知λ≠1且λ≠知识模块：线性方程组解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2．设 A 为 n 阶方阵，B 是 A 经过若干次矩阵的初等变换后所得到的矩阵，则有（ ）。 A．|A|＝|B| B．|A|≠|B| C．若|A|＝0，则一定有|B|＝0 D．若|A|＞0，则一定有|B|＞0 【答案】C 【解析】矩阵 A 经过若干次初等变换后得到矩阵 B，则存在可逆矩阵 P，Q 使得 B＝PAQ， 因此|B|＝|PAQ|＝|P|·|A|·|Q|，若|A|＝0，则必有|B|＝|P|·|A|·|Q|＝0 成立。
1
1
1 ，则|A|＝____。
0
【解析】行列式每列所含元素相同，可将其余各列均加到第一列上，提出公因子（n－
1）后，再计算。
n 1 1 1
1
2,3, ,n列加到第一列上 n 1 0 1
1
原式
n 1 1 0
1
n 1 1 1
0
11 1
1
101
1
n 1 1 1 0
1
11 1
0
11 1
1
2,3, ,n行＋1行1
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】根据题设条件可知
AB
2
2
2
22
2 2
2
1 2
1 3
2 2
2 B
1 3
A 2 B
2
2 3 2 3 2 3 3 3
3 3
二、填空题
2x 1 1
1．在函数 f x x x x 中，x2 的系数是____。
12x
【答案】－3
【解析】根据行列式的定义，能出现 x2 的只有以下两项：（－1）r（132）a11a23a32＋
0 1 0
0

考研数学三(矩阵的特征值和特征向量)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题3.解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1.[2002年]设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量a 是A的属于特征值入的特征向量，贝V矩阵(P-1AP)T属于特征值入的特征向量是().A.P-1aB.PT aC.P aD.(P-1)T a正确答案：B解析：解一由题设有A a=入a,且AT=A,令B=(P-1AP)T,则B=(P-1AP)T=PTAT(P-1)T=PTA(PT)-1A=(PT)-1BPT,故A a=(PT)-1BPT a,即(PT)-1B(PT a)=Na.两边左乘PT,得到B(PT a)=入PT a.又PT aH0.事实上，如PT a=0,则由P为可逆矩阵知，PT也为可逆矩阵，于是有(PT)-1PT a=(PT)-10=0,即a=0.这与aH0矛盾，故PT a为矩阵B=(P-1AP)T的属于特征值入的特征向量.仅(B)入选.解二用定义(P-1AP)TX=入乂判别.当X=PTa时，计算(P-1AP)T(PT a)时看其是否为P-1T a的入倍.事实上，有(P-1AP)T(PT a)=PTAT(P-1)T(PT a)=PTA(PT)-1PT a=PT(A a)=入PT a.又PTT H0.因而PTT是(PTAP)-1的属于特征值入的特征向量.解三为检验选项中4个向量哪个是特征向量，只需检验哪个向量是齐次方程组[(P-1AP)T－N E]X=0的非零解向量.事实上，令X=PTT，有[(P-1AP)T－N E](PTa)=[PTA(PT)-1PT a－N PT a]=PTA a－N PT a=N PT a－N PT a=0.易验证(A)、(C)、(D)中向量均不满足上述方程.又PT aH0.仅(B)入选.知识模块:矩阵的特征值和特征向量2.[2016年]设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是().A.AT与BT相似B.A－1与B－1相似C.A+AT与B+BT相似D.A+A－1与B+B－1相似正确答案：C解析：因A〜B,故存在可逆矩阵P使得B=P-1AP.①在式①两边取转置，得到BT=(P-1AP)T=PTAT(P-1)T=[(PT)-1]-1AT[(PT)-1]故AT与BT 相似.选项(A)正确.在式①两边求逆运算得到B-1=(P-1AP)-1=P-。

征向量，其中 "A 的伴随矩阵，E 为3阶单位矩阵.5. （03-1,8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为/] : ax + 2by + 3c = 0 , /2 : bx + 2cy + 3。

= 0 , 13 : cx + lay + 3/> = O.试证这二条直线交于一点的充分必要条件为a + b + c = Q. H —、（本题满分io 分）「2 2 o -若矩阵/= 8 2a 相似于对角阵A,试确定常数a 的值；并求可逆矩阵P 使P~xAP K.0 0 6十二、（本题满分8分）已知平面上二条不同直线的方程分别为k : ax + 2by + 3c = 0 ,/2 : Zzx + 2cy + 3。

= 0 , /3 : cx + 2ay + 3b = 0.试证这三条直线交于一点的充分必要条件为Q +人+ C = 0.（ 0 3 0 3 ）九、（本题满分13分） 已知齐次线性方程组（。

1 + b ）X] + a 2x 2 + a 3x 3 H --------- F a n x n = 0, 。

1玉 + （。

2 + b ）x 2 + a 3x 3 H ----- F a n x n = 0,< a x x x + a 2x 2 +（Q3 + b ）x 3 H ---------------- F a n x n = 0, a x x x + a 2x 2 + a 3x 3 H -------------- （Q 〃 + b ）x n = 0,其中壬0.试讨论。

1，。

2，・・・,。

〃和b 满足何种关系时， i=l（1） 方程组仅有零解；（2） 方程组有非零解.在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.十、（本题满分13分）设二次型f(x 1,x 2,x 3) = X T AX = axl + 2%2 一+ 2bx r x 3(Z? > 0),「3 2 2「0 1 o -4 .( 0 3 — 1 , 1 0分)设矩阵,=2 3 2,P = 1 0 12 2 30 0 1B = P-'A*P ,求B+2E 的特征值与特( 0 4 0 2 ) (22) (本题满分9设 = (1,2,0)r ,a中二次型的矩阵A 的特征值之和为1,特征值之积为-12.(1) 求a,b 的值；(2) 利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. ( 0 3 0 4 )九、(本题满分13分)设有向量组(I)： % = (1,0,2)', a 2 = (1,1,3)r> % = (l,-l,a + 2)‘和向量组(II)： /31 = (1,2,a+ 3)7, ”2 =(2,1,。

考研数学三（线性方程组）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．[2002年] 设A是m×n矩阵，B是n×m的矩阵，则线性方程组(AB)X=0( )．A．当n＞m时，仅有零解B．当n＞m时，必有非零解C．当m＞n时，仅有零解D．当m＞n时，必有非零解正确答案：D解析：解一显然AB为m阶矩阵，因而(AB)X=0是含m个未知数的齐次方程组，而当m＞n时，有秩(AB)≤秩(A)≤n＜m．因而(AB)X=0有非零解．仅(D)入选．解二因秩(A)≤min(m，n)，秩(B)≤min(m，n)，而秩(AB)≤min(秩(A)，秩(B))，于是当n＞m时，有秩(A)≤m，秩(B)≤m，秩(AB)≤m，而AB为m阶矩阵．由于秩(AB)可能小于等于m，只能说当n＞m时，如果秩(AB)=m，则(AB)X=0只有零解，如果秩(AB)＜m，(AB)X=0必有非零解，因而(A)、(B)都不对．又当n＜m时，秩(AB)≤n＜m，而AB为m阶矩阵，因而矩阵AB 的秩小于未知数的个数，齐次方程(AB)X=0必有非零解，于是(C)也不对．仅(D)入选．知识模块：线性方程组2．[2004年] 设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠O．若考ξ1，ξ2，ξ3，ξ4是非齐次线性方程组AX=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组AX=0的基础解系( )．A．不存在B．仅含一个非零解向量C．含有两个线性无关的解向量D．含有三个线性无关的解向量正确答案：B解析：解一当A*≠O时，秩(A*)≠0．因而秩(A*)=n或秩(A*)=1．于是秩(A)=n或秩(A)=n-1．由题设知AX=b有四个互不相等的解，因而解不唯一，于是秩(A)=n-1．因而其基础解系仅含一个解向量．仅(B)入选．解二因A*≠O，故秩(A*)≥1，则秩(A)≥n-1．又因AX=0有解且不唯一，故秩(A)≤n－1．因而秩(A)=n-1．其基础解系仅含一个解向量．仅(B)入选．解三因A*≠o，故A*中至少有一个元素Aij=(－1)i+jMij≠0，即A的元素aij的余子式Mij≠0，而Mij为A的n一1阶子行列式，故秩(A)≥n一1．又由AX=b有解且不唯一，有秩(A)≤n－1＜n，故秩(A)=n－1，于是AX=0的一个基础解系所含解向量的个数为n－秩(A)=n－(n－1)=1．仅(B)入选．知识模块：线性方程组3．[2000年] 设α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组AX=b的3个解向量，且秩(A)=3，α1=[1，2，3，4]T，α2+α3=[0，1，2，3]T，c表示任意常数，则线性方程组AX=b的通解X=( )．A．[1，2，3，4]T+c[1，1，1，1]TB．[1，2，3，4]T+c[0，1，2，3]TC．[1，2，3，4]T+c[2，3，4，5]TD．[1，2，3，4]T+c[3，4，5，6]T正确答案：C解析：解一仅(C)入选．AX=b为四元非齐次方程组，秩(A)=3，AX=0的一个基础解系只含n－秩(A)=4－3=1个解向量．将特解的线性组合2α1，α2+α3写成特解之差的线性组合，即2α1－(α2+α3)=(α1－α2)+(α1－α3)．因2一(1+1)=0，由命题2．4．4．1知，2α1－(α2+α3)=[2，3，4，5]T≠0仍为AX=0的一个解向量，且为其一个基础解系，故AX=b的通解为X=α1+k[2α1－(α2+α3)]=[1，2，3，4]T+k[2，3，4，5]T．解二仅(C)入选．因秩(A)=3，故四元齐次方程组AX=0的基础解系所含向量的个数为4一秩(A)=1，所以AX=0的任一个非零解都是它的基础解系．由于α1及(α2+α3)／2都是AX=b的解(因1／2+1／2=1)，故α1－(α2+α3)=[2α1－(α2+α3)]=[2，3，4，5]T是AX=0的一个解，从而2×[2，3，4，5]T=[2，3，4，5]T=η也是AX=0的一个解，且因η≠0，故η为Ax=0的一个基础解系，所以AX=b的通解为X=α1+cη=[1，2，3，4]T+c[2，3，4，5]T，c为任意常数．知识模块：线性方程组4．[2011年] 设A为4×3矩阵，η1，η2，η3是非齐次线性方程组AX=β的3个线性无关的解，k1，k2为任意常数，则AX=β的通解为( )．A．(η2+η3)／2+k1(η2－η1)B．(η2－η3)／2+k1(η2－η1)C．(η2+η3)／2+k1(η2－η1)+k2(η3－η1)D．(η2－η3)／2+k1(η2－η1)+k2(η3－η1)正确答案：C解析：解一仅(C)入选．因n元非齐次线性方程组AX=b的线性无关的解向量最多的个数为n－秩(A)+1，故3－秩(A)+1≥3，即秩(A)≤1．又秩(A)≥1(如秩(A)=0，则A=0与AX=β≠0矛盾)，故秩(A)=1，所以AX=0的一个基础解系含n－秩(A)=3=1－2个解向量，而η3－η1，η2－η1均为AX=0的非零解，因而它们为AX=0的基础解系．又(η2+η3)／2中的系数1／2+1／2=1．由命题2．4．4．1知，(η2+η3)／1为AX=β的一特解．于是AX=β的通解为(η2+η3)／2+k1(η2－η1)+k2(η3－η1)．解二由非齐次线性方程组AX=B 通解的结构(该方程组的一特解加上对应齐次线性方程组AX=0的基础解系)可分别排除选项(A)、(B)、(D)．事实上，(B)、(D)中的为AX=0的解，不是AX=B的特解，可排除(B)、(D)．又因AX=0的解η2－η1，η3－η1线性无关，故AX=0的基础解系至少包含2个解向量，从而排除(A)．仅(C)入选．知识模块：线性方程组解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学三-线性代数、概率论与数理统计(一)(总分：106.00，做题时间：90分钟)一、填空题(总题数：53，分数：106.00)．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：24）解析：[解析] 在用按行(列)展开公式计算行列式的值时，应先用行列式的性质作恒等变形．以期减少计算量．逐行(列)相加(减)的技巧应当熟悉．．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：b3i)）解析：[解析] 每行元素都是a1，a2，a3，a4，b．把每列均加至第一列，则第1列有公因数可提出．把各行(列)均加至某一行(列)是计算行列式值时的一个重要的构思．．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：(a1c2-a2c1)(b1d2-b2d1)）解析：[解析] 本题有较多的0，并有较好的规律性，应当有用拉普拉斯展开式的设想．拉普拉斯展开式的两种特殊情况应当会用．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：120）解析：[解析] 将行列式第四行加到第一行上，可提出公因子10再将第四行逐行相换至第二行得：要熟悉范德蒙行列式范德蒙行列式可以直接使用，但要注意是下标大的数减下标小的数。

例如：．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：4!3!2!(或288)）解析：[解析] 第2、3、4行提出公因子2、3、4，再转置，得范德蒙行列式，直接代入范德蒙行列式的结果得答案4!3!2!均正确，这个答案体现了范德蒙行列式的特点，若能具体计算出4!3!2!=288填入288当然也是满分，注意若计算错则是零分．______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：a，b，-(a+b)）解析：[解析] 行列式的展开后是一元三次方程，应有三个根，由观察，当x=a时，一、二行相等，行列式为零，x=a是方程的根．同理x=b也是．(理由?)又行列式每行元素和为相等，且等于x+a+b，将第二、三列加到第一列，并提公因子，得得x=-(a+b)故方程的三个根是a，b，-(a+b)．也可直接计算如下f(x+1)-f(x)=______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：6x2）解析：[解析]*处右端第一个行列式的第3列拆成了四个数之和，从而拆开四个行列式．行列式的性质从左至右是拆项，将一个行列式分解成二个行列式之和，从右至左是两个行列式相加．注意这不是全部对应元素相加的矩阵的和，两个行列式相加的条件是其余各列(或行)全部对应相同，只有一列(或行)不同地，可以相加，相加时，其余各列(或行)不变，不同的列对应元素相加即可．8.在xoy x轴的交点的坐标是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：，(3，0)）解析：[解析] 曲线与x轴即y=0的交点为方程右端为范德蒙行列式，x=2，x=3，故曲线与x轴的交点坐标为(2，0)(3，0)．9.设A=[α1，α2，α3]是3阶矩阵，且|A|=4，若B=[α1-3α2+2α3，α2-2α3，2α2+α3]，则|B|=______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：20）解析：[解析] 由行列式性质|B|=|α1-3α2+2α3，α2-2α3，2α2+α3|=|α1-2α2，α2-2α3，5α3|=5|α1-2α2，α2，α3|=5|α1，α2，α3|=20或者，利用分块矩阵乘法B=[α1-3α2+2α3，α2-2α3，2α2+α3]10.设四阶方阵A=[α，γ2，γ3，γ4]，B=[β，γ2，γ3，γ4]，其中α，β，γ2，γ3，γ4均为四维列向量，且|A|=4，|B|=-1，则|A-3B|=______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：-56）解析：[解析] 因为A-3B=[α，γ2，γ3，γ4]-[3β，3γ2，3γ3，3γ4]=[α-3β，-2γ2，-2γ3，-2γ4]故有|A-3B|=|α-3β，-2γ2，-2γ3，-2γ4|=-8|α-3β，γ2，γ3，γ4|=-8(|α，γ2，γ3，γ4|-3|β，γ2，γ3，γ4|)=-8(|A|-3|B|)=-56矩阵行列式在考研中多次出现，当A，B均为n阶矩阵时，有|AB|=|A|·|B|，但|A+B|≠|A|+|B|，而|α+β，γ，δ|=|α，γ，δ|+|β，γ，δ|，两者不要混；又若三阶矩阵A=[α，β，γ]则kA=[kα，kβ，kγ]那么|kA|=k3|A||kα，β，γ|=k|A|两者也不要混淆．11.若三阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为1，3，-2．B*是矩阵B的伴随矩阵，．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：-27）解析：[解析] 由|A|=|A T|及|A|=Ⅱλi知|A T|=-6，再根据相似矩阵有相同的特征值，知矩阵B的特征值为1，3，-2，又知|B|=-6．从而12.A11+2A21+A31+2A41=______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：-12）解析：[解析] 因为代数余子式A ij的值与元素a ij的值无关．本题求第一列元素的代数余子式，故可构造一个新的行列式．把|A|中第1列换为所求和的代数余子式的系数，即则|A|与|B|的A11，A21，A31，A41是一样的，而对|B|按第1列展开就是|B|=A11+2A21+A31+2A41那么只要计算出行列式|B|的值也就求出本题代数余子式的和．易计算出|B|=-12．在计算代数余子式的和时，不要忘记两个公式a i1Aa j1+a i2A j2+…+a in A jn=0 (i≠j)a ij A1k+a2j A2k+…+a nj A nk=0 (j≠k)若要计算A11+A12+A13+A14呢?注意到A11+A12+A13+A14=(2A11+2A12+2A13+2A14)(a41A11+a42A12+a43A13+a44A14)=013.设α=(1，3，-2)T，β=(2，0，0)T，A=αβT，则A3=______．（分数：2.00）填空项1:__________________解析：[解析] 因为又因所以A3=(αβT)(αβT)(αβT)=α(βTα)(βTα)βT=4αβT=4A．矩阵的运算要正确熟练．注意，若α=[α1，α2，α3]T，β=[b1，b2，b3]T，则前者αβT是秩为1的三阶矩阵，而βTα是一个数．当秩r(A)=1时，A2=lA其中l=βTα=αTβ=∑a ii．进而A m=l m-1A14.A99=______．（分数：2.00）填空项1:__________________解析：[解析]从而有A5=A3A2=2A·A2=2A3=22A…………A的伴随矩阵A*=______．（分数：2.00）填空项1:__________________解析：[解析] 按定义，求出行列式|A|的代数余子式，有所以或者，由A*=|A|A-1，现在|A|=-10，用定义法求伴随矩阵时，要防止两种错误：求代数余子式不要丢掉正负号(-1)i+j；组装伴随矩阵时不要排错位置．本题A-1，|A|均好计算，所以用A*=|A|A-1求A*是方便的。

考研数学三线性代数（向量）-试卷1(总分56, 做题时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1.设α1，α2，…，αs均为n维向量，下列结论中不正确的是( ) SSS_SINGLE_SELA若对于任意一组不全为零的数k1，k2，…，ks，都有k1α1+k2α2+…+ks αs≠0，则α1，α2，…，αs线性无关．B若α1，α2，…，αs线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1，k2，…，ks，都有k1α1+k2α2+…+ksαs=0．Cα1，α2，…，αs线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为sDα1，α2，…，αs线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关该题您未回答:х该问题分值: 2答案:B解析：选项A的条件即齐次线性方程组 x1 a1+x2a2+…+xsas=0 只有零解，故α1，α2，…，αs线性无关，A选项正确．对于选项B，由α1，α2，…，αs线性相关知，齐次线性方程组 x1α1+x2α2+…+xsαs=0 存在非零解，但该方程组存在非零解，并不意味着任意一组不全为零的数均是它的解，因此选项B是错误的．选项C是教材中的定理．由“无关组减向量仍无关”(线性无关的向量组其任意部分组均线性无关)可知选项D也是正确的．综上可知，应选B．2.设A是m×n矩阵，则齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分条件是( ) SSS_SINGLE_SELA A的列向量线性无关．B A的列向量线性相关．C A的行向量线性无关．D A的行向量线性相关．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:A解析：齐次线性方程组Ax=0的向量形式为 x1α1+x2α2+…+xnαn=0，其中α1，α2，…，αn为A的x个m维的列向量．由Ax=0只有零解α1，α2，…，αn线性无关．可知选项A正确．对于选项C、D，只要m＜n，不管A的行向量线性相关性如何，该齐次线性方程组都必有非零解，故C、D均不正确．所以应选A．3.设则三条直线a1 x+b1y+c1=0，a2x+b2y+c1=0，a3x+b3y+c3=0(其中，i=1，2，3)交于一点的充分必要条件是( )SSS_SINGLE_SELAα1，α2，α3线性相关Bα1，α2，α3线性无关Cr(α1，α2，α3)=r(α1，α2)．Dα1，α2，α3线性相关，α1，α2线性无关．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D解析：三直线交于一点的充分必要条件是以下线性方程组或xα1+yα2+α3， (2) 有唯一解．由(2)式可得α3=-xα1-yα2而方程组(2)(或(1))有唯一解α3可由α1，α2线性表示，且表示式唯一．α1，α2，α3线性相关，α1，α2线性无关．所以应选D．4.设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是( ) SSS_SINGLE_SELAα1 -α2，α2-α3，α3-α1Bα1+α2，α2+α3，α3+α1Cα1 -2α2，α2-2α3，α3-2α1Dα1+2α2，α2+2α3，α3+2α1该题您未回答:х该问题分值: 2答案:A解析：利用向量组线性相关的定义，令 x1(α1-α2)+x2(α2-α3)+x3(α3-α1)=0，(x1，x2，x3为不全为零的实数) 可得(x1-x3)α1+(-x1 +x2)α2+(-x2+x3)α3=0 又已知α1，α2，α3线性无关，则则齐次线性方程组(母)有非零解，故α1 -α2，α2-α3，α3 -α1线性相关．故应选A．5.若α1，α2线性无关，β是另外一个向量，则α1+β与α2+β( )SSS_SINGLE_SELA 线性无关．B 线性相关．C 即线性相关又线性无关．D 不确定．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D解析：例如，令α1 =(1，1)，α2=(0，2)，β=(-1，-1)，则α1，α2线性无关，而α1+β=(0，0) 与α2+β=(-1，1)线性相关．如果设β=(0，0)，那么α1+β与α2+β却是线性无关的．故选D6.已知向量组则向量组α1，α2，α3，α4，α5的一个极大无关组为( )SSS_SINGLE_SEL Aα1，α3Bα1，α2Cα1，α2，α5Dα1，α3，α5该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D解析：对以α1，α2，α3，α4，α5为列向量的矩阵作初等行变换，有所以α1，α3，α5是一个极大无关组，且α2=α1+3α5，α4=α1+α3+α57.设α1 =(1，2，3，1) T，α2=(3，4，7，-1) T，α3=(2，6，0，6)T，α4 =(0，1，3，a) T，那么a=8是α1，α2，α3，α4线性相关的( )SSS_SINGLE_SELA 充分必要条件．B 充分而非必要条件．C 必要而非充分条件．D 既不充分也非必要条件该题您未回答:х该问题分值: 2答案:B解析：n个n维向量线性相关性一般用行列式｜α1，α1，…αn｜是否为零去判断．因为｜α1，α1，…，α4｜= 因此，当a=8时，行列式｜α1，α2，…，α4｜=0，向量组α1，α2，α3，α4线性相关，但a=2时仍有行列式｜α1，α2，…，α4｜=0，所以a=8是向量组α1，α2，α3，α4线性相关的充分而非必要条件．8.设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αm-1线性表示，记向量组(Ⅱ)：α1，α2，…，αm-1，β，则( )SSS_SINGLE_SEL Aαm不能由(Ⅰ)线性表示，也不能由(Ⅱ)线性表示．Bαm不能由(Ⅰ)线性表示，但可以由(Ⅱ)线性表示．Cαm可以由(Ⅰ)线性表示，也可以由(Ⅱ)线性表示．Dαm可以由(Ⅰ)线性表示，但不能由(Ⅱ)线性表示．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:B解析：按题意，存在组实数k1，k2，…，km使得 k1α1+k2α2+…+km αm=β (*) 且必有km≠0．否则与β不能由α1，α2，…，αm-1线性表示相矛盾，从而即αm可由向量组(Ⅱ)线性表示，排除选项A、D．若αm 可以由(Ⅰ)线性表示，即存在实数l1，l2，…，lm-1，使得αm =l1α1+l2α2+…+lm-1αm-1，将其代入(*)中，整理得β=(k1 +kml1)α1+(k2+kml2)α2+…+(km-1+kmlm-1)αm-1，这与题设条件矛盾．因而αm不能由向量组(Ⅰ)线性表示，排除选项C.9.已知四维向量组α1，α2，α3，α4线性无关，且向量β1=α1+α3+α4，β2=α2-α4，β3=α3+α4，β4=α2+α3，β5=2α1+α2+α3．则r(β1，β2，β3，β4，β5)=( ) SSS_SINGLE_SELA 1．B 2．C 3．D 4．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C解析：将表示关系合并成矩阵形式有(β1，β2，β3，β4，β5)=(α1，α2，α3，α4) 因4个四维向量α1，α2，α3，α4线性无关，故｜α1，α2，α3，α4｜≠0．A=(α1，α2，α3，α4)是可逆矩阵，A左乘C，即对C作若干次初等行变换，故有r(C)=r(AC)=r(AC)=r(β1，β2，β3，β4，β5) 故知r(β1，β2，β3，β4，β5)=r(C)=3，因此应选C.10.设A是n阶方阵，且｜A｜=0，则A中( )SSS_SINGLE_SELA 必有一列元素全为0．B 必有两列元素对应成比例．C 必有一列向量是其余列向量的线性组合．D 任一列向量是其余列向量的线性组合．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C解析：对于方阵A，因为的行(列)向量组的秩小于n，所以A的列向量组必然线性相关，再由向量组线性相关的充分必要条件可知，其中至少有一个向量可由其余向量线性表示，故选C．选项A、B仅是｜A｜=0的充分条件，故均不正确．由向量组线性相关的充分必要条件之“至少存在一个向量可用其余向量线性表示”可知，D也不正确．2. 填空题1.如果β=(1，2，t) T可以由α1 =(2，1，1) T，α2=(-1，2，7) T，α3=(1，-1，-4) T线性表示，则t的值是_______SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：5解析：β可以由向量组α1，α2，α3线性表示的充分必要条件是非齐次线性方程组x1α1+x2α2+x3α3=β有解，对该方程组的增广矩阵作初等行变换得而方程组有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵有相同的秩，因此t-5=0，即t=5．2.设x为3维单位列向量，E为3阶单位矩阵，则矩阵E—xx T的秩为_____ SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：2解析：由题设知，矩阵xx T的特征值为0，0，1，故E-xx T的特征值为1，1，0．又由于实对称矩阵是可相似对角化的，故它的秩等于它非零特征值的个数，即r(E-xx T )=2．3.向量组α1 =(1，0，0)，α2=(1，1，0)，α3=(-5，2，0)的秩是________ SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：2解析：对向量组构成的矩阵进行初等变换，变为阶梯形矩阵，其不全为0的行向量的个数就是向量组的秩，即，因此秩是2．4.已知r(α1，α2，…，αs)=r(α1，α2，…，αs，β)=r，r(α1，α2，…，αs，γ)=r+1，则r(α1，α2，…，αs，β，γ)=______SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：r+1解析：已知r(α1，α2，…，αs)=r(α1，α2，…，αs，β)=r，表明向量β可以由向量组α1，α2，…，αs线性表示，但是r(α1，α2，…，αs，γ)=r+1，则表明向量γ不能由向量组α1，α2，…，αs 线性表示，因此通过对向量组α1，α2，…，αs，β，γ作初等列变换，可得(α1，α2，…，αs，β，γ)=(α1，α2，…，αs，0，γ)，因此可得r(α1，α2，…，αs，β，γ)=r+1．5.设α1 =(1，2，1) T，α2=(2，3，a) T，α3=(1，a+2，-2) T，若β1=(1，3，4) T可以由α1，α2，α3线性表示，但是β2=(0，1，2) T不可以由α1，α2，α3线性表示，则a=________ SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：-1解析：根据题意，β1 =(1，3，4) T可以由α1，α2，α3线性表示，则方程组x1α1+x2α2+x3α3=β1有解，β2=(0，1，2) T不可以由α1，α2，α3线性表示，则方程组x1α1+x2α2+x3α3=β无解，由于两个方程组的系数矩阵相同，因此可以合并一起做矩阵的初等变换，即因此可知，当a=-1时，满足方程组x1α1+x2α2+x3α3=β有解，方程组x1α1+x2α2+x3α3=β2无解的条件，故a=-1．6.已知α1 =(1，4，2) T，α2=(2，7，3) T，α3=(0，1，a) T可以表示任意一个三维向量，则a的取值是______SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：a≠1解析：α1，α2，α3可以表示任一个3维向量，因此向量α1，α2，α3与ε1=(1，0，0) T，ε2=(0，1，0) T，ε=(0，0，1) T是等价向量，因此α1，α2，α3的秩为3，即｜α1，α2，α3｜≠0，于是因此a≠1．7.与α1 =(1，2，3，-1) T，α2=(0，1，1，2) T，α3=(2，1，3，0) T都正交的单位向量是_______SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：解析：已知，若向量α，β正交，则内积α Tβ=0，设β=(x1，x2，x3，x4) T与α1，α2，α3均正交，那么对以上齐次方程组的系数矩阵作初等行变换，有得到基础解系是(-1，-1，1，0) T，将这个向量单位化得，即为所求向量．3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

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一，数字型行列式的计算
二，抽象型行列式的计算
三，行列式|A|是否为零
第二章矩阵
一，矩阵运算
二，伴随矩阵
三，可逆矩阵
四，初等变换
五，矩阵方程
六，矩阵的秩
第三章向量一，向量的线性表出
二，向量组的线性相关问题
三，向量组的极大线性无关组和秩
第四章线性方程组一，齐次线性方程组有关
二，非齐次线性方程组
三，有解判定及解的结构
四，公共解及同解
第五章特征值和特征向量一，矩阵的特征值，特征向量
二，相似矩阵与相似对角化
三，实对称矩阵的特征值，特征向量
第六章二次型
一，二次型的概念及标准型
二，二次型的正定性
三，合同矩阵。