整数乘法、除法复习

初二数学整式的乘除复习练习§14.1幂的运算§14.1.1同底数幂的乘法1、同底数幂的乘法公式：m n a a ∙= （m 、n 均为正整数） 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数 ，指数 。

2、公式逆用：m na +=（m 、n 均为正整数） 一、填空题1.计算：103×105= .2.计算：（a －b ）3·（a －b ）5= .3.计算：a·a 5·a 7= .4. 计算：a(____)·a 4=a 20.（在括号内填数）二、选择题1.32x x ∙的计算结果是（ ） A.5x ； B.6x ； C.8x ； D.9x . 2.下列各式中，①824x x x =∙，②6332x x x =∙，③734a a a =∙，④1275a a a =+，⑤734)()(a a a =-∙-.正确的式子的个数是( )A.1个；B.2个；C.3个；D.4个.三、解答题1、计算：62753m m m m m m ∙+∙+∙；2、已知8=m a ，32=n a ，求n m a+的值.§14.1.2幂的乘方1、幂的乘方公式：)(a m n = （m 、n 均为正整数） 幂的乘方法则：幂的乘方，底数 ，指数 。

2、公式逆用：mna =（ ）m =( )n （m 、n 均为正整数）一、选择题1．计算（x 3）2的结果是（ ）A ．x 5B ．x 6C ．x 8D ．x 92．下列计算错误的是（ ）A ．a 2·a=a 3B ．（ab ）2=a 2b 2C ．（a 2）3=a 5D ．－a+2a=a二、填空题1．12x =( )2 =( )6 =( )3 =( )4 2．（a 3）4=_____．3．若x 3m =2，则x 9m =_____． §14.1.3积的乘方1、积的乘方公式：)(ab n = （n 为正整数）积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别 ，再把所得的幂 。

期末复习-----整式的乘除一．选择题（共2小题）后拼成一个梯形，如图（2），根据这两个图形的面积关系，表明下列式子成立的是（）3．（2011•临沂）分解因式：9a﹣ab2=_________．4．（2009•烟台）设a＞b＞0，a2+b2﹣6ab=0，则的值等于_________．5．（2007•白银）若x2﹣6x+m是完全平方式，则m=_________．6．（2004•山西）已知x+y=1，则x2+xy+y2=_________．7．已知10n=3，10m=4，则10n+m的值为_________．8．已知：a是的小数部分，则代数式的值为_________．9．已知：162×43=4x+y，9x÷3y=9，则x=_________，y=_________．三．解答题（共21小题）10．利用分解因式计算：（1）已知a+b=2，ab=﹣3，求代数式a2b+ab2的值；（2）若a﹣b=﹣3，ab=4，求的值．11．已知a=﹣3，是否存在实数b使等式（a+b）2+2（a+b）+1=0成立？若存在求出b的值；若不存在请说明理由．12．先化简，再求值：5（3x2y﹣xy2）﹣4（﹣xy2+3x2y），其中x=﹣2，y=3．13．动手操作：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中的虚线剪开分成四个大小相等的长方形，然后按照图②所示拼成一个正方形．提出问题：（1）观察图②，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积；（2）请写出三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的一个等量关系．根据上述（2）中得到的等量关系，解决下列问题：已知：x+y=6，xy=3．求：（x﹣y）2的值．14．因式分解：（1）a3﹣a （2）4x2y+4xy2+y3 （3）a2﹣b2+4b﹣4 （4）（x﹣2）2+x﹣8．15．因式分解：①x3﹣25x ②x2﹣6xy+9y2﹣1．16．按下面规则扩充新数：已有a和b两个数，可按规则c=ab+a+b扩充一个新数，而a，b，c三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…，每扩充一个新数叫做一次操作．现有数2和3．①求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；②能否通过上述规则扩充得到新数5183？并说明理由．17．为了求1+2+22+23+…+22012的值，可令s=1+2+22+23+…+22012，则2s=2+22+23+24…+22013，因此2s﹣s=22013﹣1，所以1+2+22+23+…+22012=22013﹣1．仿照以上推理，计算1+5+52+53+…+52013的值．18．先化简，再求值：（2x+1）2﹣（2x+1）（2x﹣1），其中．19．如图，用一张边长为a的正方形纸片，2张边长为b的正方形纸片，三张长、宽分别为b，a的长方形纸片拼成新的长方形（无缝隙），通过不同的方法计算面积，探求相应的等式．（1）你得到的等式是_________：（2）借助拼图的方法，将多项式a2+5ab+4b2分解因式．20．计算：（1）（x﹣8y）（x﹣y）（2）x（x2﹣x+1）﹣3x（2x﹣5）（3）（x+1）（x﹣2）﹣（x+1）2（4）（用简便方法计算）21．把多项式x2﹣11x+24分解因式，可以采取以下两种方法：①将﹣11x拆成两项，﹣6x﹣5x；将24拆成两项，9+15，则：x2﹣11x+24=x2﹣6x+9﹣5x+15=（x2﹣6x+9）﹣5（x﹣3）=（x﹣3）2﹣5（x﹣3）=（x﹣3）[（x﹣3）﹣5]=（x﹣3）（x﹣8）．②添加一个数，再减去这个数，则：=．根据上面的启发，请将多项式x2+4x﹣12分解因式．22．已知a，求（1）的值；（2）a3﹣a2﹣5a+2010的值．23．解方程（1）3（x﹣3）2﹣12=0（2）（6x+1）2﹣（6x+5）2=24．24．观察下列各式：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1…（1）根据上面各式的规律得：（x﹣1）（x m﹣1+x m﹣2+x m﹣3+…+x+1）=_________；（其中n为正整数）；25．已知对任意的x，x2+3x+2=（x﹣1）2+B（x﹣1）+C总能成立，试求B，C的值．26．先化简，再求值：①，其中；②[（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）2+4a2（a+1）]÷a，其中b﹣3a﹣2a2=4．27．（1）算一算下面两组算式：（3×5）2与32×52；[（﹣2）×3]2与（﹣2）2×32，每组两个算式的结果是否相同？（2）想一想，（ab）3等于什么？（3）猜一猜，当n为正整数时，（ab）n等于什么？你能利用乘方的意义说明理由吗？（4）利用上述结论，求（﹣8）2009×（0.125）2010的值．28．分解因式（1）20a3x﹣45ay2x （2）1﹣9x2 （3）4x2﹣12x+9 （4）4x2y2﹣4xy+1（5）p2﹣5p﹣36 （6）y2﹣7y+12 （7）3﹣6x+3x2 （8）﹣a+2a2﹣a329．已知x2+x+1=0，求x3﹣x2﹣x+7的值．30．求代数式5x2﹣4xy+y2+6x+25的最小值．期末复习-----整式的乘除参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）2．（2006•荆门）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），再沿虚线剪开，如图（1），然后拼成一个梯形，如图（2），根据这两个图形的面积关系，表明下列式子成立的是（）二．填空题（共7小题）3．（2011•临沂）分解因式：9a﹣ab2=a（3+b）（3﹣b）．4．（2009•烟台）设a＞b＞0，a2+b2﹣6ab=0，则的值等于﹣．的平方，再利用完全平方公式化简，得（①得，可得=．．5．（2007•白银）若x2﹣6x+m是完全平方式，则m=9．6．（2004•山西）已知x+y=1，则x2+xy+y2=．后再利用完全平方公式整理即可转化为已知条件的形式，然后平方即可求解．x y（（．7．已知10n=3，10m=4，则10n+m的值为12．8．已知：a是的小数部分，则代数式的值为1．的整数部分，进一步求出的小数部分，代入后根据平方差公式求出即可．＜是﹣+2（+29．已知：162×43=4x+y，9x÷3y=9，则x=3，y=4．三．解答题（共21小题）10．利用分解因式计算：（2）若a﹣b=﹣3，ab=4，求的值．ab ab=11．已知a=﹣3，是否存在实数b使等式（a+b）2+2（a+b）+1=0成立？若存在求出b的值；若不存在请说明理由．12．先化简，再求值：5（3x2y﹣xy2）﹣4（﹣xy2+3x2y），其中x=﹣2，y=3．13．动手操作：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中的虚线剪开分成四个大小相等的长方形，然后按照图②所示拼成一个正方形．提出问题：（2）请写出三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的一个等量关系．问题解决：根据上述（2）中得到的等量关系，解决下列问题：已知：x+y=6，xy=3．求：（x﹣y）2的值．14．因式分解：（1）a3﹣a（2）4x2y+4xy2+y3（3）a2﹣b2+4b﹣4（4）（x﹣2）2+x﹣8．15．因式分解：①x3﹣25x②x2﹣6xy+9y2﹣1．16．按下面规则扩充新数：已有a和b两个数，可按规则c=ab+a+b扩充一个新数，而a，b，c三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…，每扩充一个新数叫做一次操作．现有数2和3．①求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；②能否通过上述规则扩充得到新数5183？并说明理由．17．为了求1+2+22+23+…+22012的值，可令s=1+2+22+23+…+22012，则2s=2+22+23+24…+22013，因此2s﹣s=22013﹣1，所以1+2+22+23+…+22012=22013﹣1．仿照以上推理，计算1+5+52+53+…+52013的值．S=18．先化简，再求值：（2x+1）2﹣（2x+1）（2x﹣1），其中．19．如图，用一张边长为a的正方形纸片，2张边长为b的正方形纸片，三张长、宽分别为b，a的长方形纸片拼成新的长方形（无缝隙），通过不同的方法计算面积，探求相应的等式．（1）你得到的等式是（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2：（2）借助拼图的方法，将多项式a2+5ab+4b2分解因式．20．计算：（1）（x﹣8y）（x﹣y）（2）x（x2﹣x+1）﹣3x（2x﹣5）（3）（x+1）（x﹣2）﹣（x+1）2（4）（用简便方法计算）60+）的形式，再根据平方差公式计算即可．）﹣﹣．21．把多项式x2﹣11x+24分解因式，可以采取以下两种方法：①将﹣11x拆成两项，﹣6x﹣5x；将24拆成两项，9+15，则：x2﹣11x+24=x2﹣6x+9﹣5x+15=（x2﹣6x+9）﹣5（x﹣3）=（x﹣3）2﹣5（x﹣3）=（x﹣3）[（x﹣3）﹣5]=（x﹣3）（x﹣8）．②添加一个数，再减去这个数，则：=．根据上面的启发，请将多项式x2+4x﹣12分解因式．22．已知a，求（1）的值；（2）a3﹣a2﹣5a+2010的值．）将）a+aaa+）﹣）﹣23．解方程（1）3（x﹣3）2﹣12=0（2）（6x+1）2﹣（6x+5）2=24．24．观察下列各式：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1…（1）根据上面各式的规律得：（x﹣1）（x m﹣1+x m﹣2+x m﹣3+…+x+1）=x m﹣1；（其中n为正整数）；（2）根据这一规律，计算1+2+22+23+24+…+268+269的值．25．已知对任意的x，x2+3x+2=（x﹣1）2+B（x﹣1）+C总能成立，试求B，C的值．26．先化简，再求值：①，其中；②[（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）2+4a2（a+1）]÷a，其中b﹣3a﹣2a2=4．xxx﹣×（﹣×）27．（1）算一算下面两组算式：（3×5）2与32×52；[（﹣2）×3]2与（﹣2）2×32，每组两个算式的结果是否相同？（2）想一想，（ab）3等于什么？（3）猜一猜，当n为正整数时，（ab）n等于什么？你能利用乘方的意义说明理由吗？（4）利用上述结论，求（﹣8）2009×（0.125）2010的值．28．分解因式（1）20a3x﹣45ay2x（2）1﹣9x2（3）4x2﹣12x+9（4）4x2y2﹣4xy+1（5）p2﹣5p﹣36（6）y2﹣7y+12（7）3﹣6x+3x2（8）﹣a+2a2﹣a3（9）m3﹣m2﹣20m29．已知x2+x+1=0，求x3﹣x2﹣x+7的值．30．求代数式5x2﹣4xy+y2+6x+25的最小值．。

整式乘除与因式分解复习教案第一篇：整式乘除与因式分解复习教案整式的乘除与因式分解复习菱湖五中教学内容复习整式乘除的基本运算规律和法则，因式分解的概念、方法以及两者之间的关系。

通过练习，熟悉常规题型的运算，并能灵活运用。

教学目标通过知识的梳理和题型训练，提高学生观察、分析、推导能力，培养学生运用数学知识解决问题的意识。

教学分析重点根据新课标要求，整式的乘除运算法则与方法和因式分解的方法与应用是本课重点。

难点整式的除法与因式分解的应用是本课难点。

教学方法与手段采用多媒体课件，由于本课内容较多，故设计了大量的练习，使学生理解各种类型的运算方法。

本课教学以练习为主。

教学过程一．回顾知识点（一）整式的乘法1、同底数的幂相乘2、幂的乘方3、积的乘方4、同底数的幂相除5、单项式乘以单项式6、单项式乘以多项式7、多项式乘以多项式8、平方差公式9、完全平方公式（二）整式的除法1、单项式除以单项式2、多项式除以单项式（三）因式分解1、因式分解的概念2、因式分解与整式乘法的关系3、因式分解的方法4、因式分解的应用二．练习巩固（一）单项式乘单项式(1)(5x3)⋅(-2x2y),(2)(-3ab)2⋅(-4b3)(3)(-am)2b⋅(-a3b2n)，231(4)(-a2bc3)⋅(-c5)⋅(ab2c)343（二）单项式与多项式的乘法(1)(-2a)⋅(x+2y-3c),(2)(x+2)(y+3)-(x+1)(y-2)(3)(x+y)(-2x-1y)2（三）乘法公式应用(1)(-6x+y)(-6x-y)(2)(x+4y)(x-9y)(3)(3x+7y)(-3x-7y)（四）整式的除法1(1)(-a6b4c)÷((2a3c)41(2)6(a-b)5÷[(a-b)2]3(3)(5x2y3-4x3y2 +6x)÷(6x)13(4)x3my2n-x2m-1y2+x2m+1y3)÷(-0.5x2m-1y2)3 4（五）提取公因式法因式分解(1)3ay-3by+3y(2)-4a3b2+6a2b-2ab(3)3(x-y)3-6(x-y)2(4)5m(a-b)4-4m2(b-a)3（六）乘法公式因式分解(1)25-16x2(2)-81x2+4(y-1)2(3)x2-14x+49(4)(x+y)2-6(x+y)+9（七）因式分解的应用1、解方程（1）9x2+4x=0(2)x2=(2x-5)22、计算（1）(2mp-3mq+4mr)÷(2p-3q+4r)（2）(16-x4)÷(4+x2)÷(x-2)探究活动:求满足4x2-9y2=31的正整数解。

《整式的乘除》全章复习与巩固【要点梳理】要点一、幂的运算1.同底数幂的乘法：(m n ，为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.幂的乘方：(m n ，为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方：(n 为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4.同底数幂的除法：(a ≠0, m n ，为正整数，并且m n >).同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：()010.a a =≠即任何不等于零的数的零次方等于1. 6.负指数幂：1n na a -=（a ≠0，n 是正整数）. 要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；需灵活地双向应用运算性质.要点二、整式的乘法和除法1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项包含前面的“＋”“－”号．根据多项式的乘法，能得出一个应用广泛的公式：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++. 4.单项式相除单项式相除、把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.即：()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++要点三、乘法公式1.平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：1.在这里，a b ，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.2.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2. 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；2222)(b ab a b a +-=-两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是三项，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.【典型例题】类型一、幂的运算1、已知：2m +3n ＝5，则4m •8n ＝（ ）A ．16B ．25C ．32D ．64 【解答】解：4m •8n ＝22m •23n ＝22m +3n ＝25＝32，故选：C ．2．下列各式正确的有（ ）①x 4+x 4＝x 8；②﹣x 2•（﹣x ）2＝x 4；③（x 2）3＝x 5；④（x 2y ）3＝x 3y 6；⑤（﹣3x 3）3＝﹣9x 9；⑥2100×（﹣0.5）99＝﹣2；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：①x 4+x 4＝2x 4，此计算错误；②﹣x 2•（﹣x ）2＝﹣x 4，此计算错误；③（x 2）3＝x 6，此计算错误；④（x 2y ）3＝x 6y 3，此计算错误；⑤（﹣3x 3）3＝﹣27x 9，此计算错误；⑥2100×（﹣0.5）99＝2×299×（﹣0.5）99＝2×（﹣0.5×2）99＝2×（﹣1） ＝﹣2，此计算正确；故选：A ．3、阅读下列两则材料，解决问题：材料一：比较322和411的大小．解：∵411＝（22）11＝222，且3＞2∴322＞222，即322＞411小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小材料二：比较28和82的大小解：∵82＝（23）2＝26，且8＞6∴28＞26，即28＞82小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小【方法运用】（1）比较344、433、522的大小（2）比较8131、2741、961的大小（3）已知a 2＝2，b 3＝3，比较a 、b 的大小（4）比较312×510与310×512的大小【解答】解；（1）∵344＝（34）11＝8111，433＝（43）11＝6411，522＝（52）11＝2511， ∵81＞64＞25，∴8111＞6411＞2511，即344＞433＞522；（2）∵8131＝（34）31＝3124，2741＝（33）41＝3123，961＝（32）61＝3122，∵124＞123＞122，∴3124＞3123＞3122，即8131＞2741＞961；（3）∵a 2＝2，b 3＝3，∴a 6＝8，b 6＝9，∵8＜9，∴a 6＜b 6，∴a ＜b ；（4）∵312×510＝（3×5）10×32，310×512＝（3×5）10×52，又∵32＜52，∴312×510＜310×512．类型二、整式的乘除法运算1、要使()()621x a x -+的结果中不含x 的一次项，则a 等于( )A.0B.1C.2D.3【答案】D ；【解析】先进行化简，得：，要使结果不含x 的一次项，则x 的一次项系数为0，即：62a -＝0.所以3a =.【总结升华】代数式中不含某项，就是指这一项的系数为0.2．如图，一个边长为（m +2）的正方形纸片剪去一个边长为m 的正方形，剩余的部分可以拼成一个长方形，若拼成的长方形的一边长为2，则另一边长为 2m +2 ．【解答】解：设另一边长为x ，根据题意得，2x ＝（m +2）2﹣m 2，解得x ＝2m +2．故答案为：2m +2．3．如图，现有A ，C 两类正方形卡片和B 类长方形卡片各若干张，用它们可以拼成一些新的长方形．如果要拼成一个长为（3a+2b），宽为（a+b）的长方形，那么需要B类长方形卡片5张．【解答】解：长为3a+2b，宽为a+b的长方形的面积为：（3a+2b）（a+b）＝3a2+5ab+2b2，∵A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为ab，C类卡片的面积为b2，∴需要A类卡片3张，B类卡片5张，C类卡片2张，故答案为：5．类型三、乘法公式1．如果x2﹣2（m+1）x+4是一个完全平方公式，则m＝．【解答】解：∵x2﹣2（m+1）x+4是一个完全平方公式，∴﹣2（m+1）＝±4，则m＝﹣3或1．故答案为：﹣3或1．2、用简便方法计算：（1）1002﹣200×99+992（2）2018×2020﹣20192 （3）计算：（x﹣2y+4）（x+2y﹣4）【解答】解：（1）1002﹣200×99+992＝1002﹣2×100×（100﹣1）+（100﹣1）2＝[100﹣（100﹣1）]2＝12＝1；（2）2018×2020﹣20192＝（2019﹣1）（2019+1）﹣20192＝20192﹣1﹣20192＝﹣1．（3）原式＝x2﹣（2y﹣4）2＝x2﹣4y2+16y﹣16；3．图①是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称抽）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）A．ab B．a2+2ab+b2C．a2﹣b2D．a2﹣2ab+b2【解答】解：图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，∴正方形的边长为：a +b ，∴正方形的面积为（a +b ）2，∵原矩形的面积为4ab ，∴中间空的部分的面积＝（a +b ）2﹣4ab ＝a 2﹣2ab +b 2．故选：D ．4、已知222246140x y z x y z ++-+-+=，求代数式2012()x y z --的值.【思路点拨】将原式配方，变成几个非负数的和为零的形式，这样就能解出,,x y z .【答案与解析】解：222246140x y z x y z ++-+-+= ()()()2221230x y z -+++-= 所以1,2,3x y z ==-=所以20122012()00x y z --==.【总结升华】一个方程，三个未知数，从理论上不可能解出方程，尝试将原式配方过后就能得出正确答案.类型四、综合类大题1．在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，利用图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同时感受到这样的抽象代数运算也有直观的背景．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．请你利用上述方法解决下列问题：（1）请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（x+y）（x+3y）＝x2+4xy+3y2【拓展应用】提出问题：47×43，56×54，79×71，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：（1）画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面．（2）分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，47×43的矩形面积或（40+7+3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43＝（40+10）×40+3×7＝5×4×100+3×7＝2021，用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．请你参照上述几何建模步骤，计算57×53．要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注有关线段）归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）：证明上述速算方法的正确性．【解答】解：（1）图（1）所表示的代数恒等式：（x+y）•2x＝2x2+2xy，图（2）所表示的代数恒等式：（x+y）（2x+y）＝2x2+3xy+y2图（3）所表示的代数恒等式：（x+2y）（2x+y）＝2x2+5xy+2y2．（2）几何图形如图所示：拓展应用：（1）①几何模型：②用文字表述57×53的速算方法是：十位数字5加1的和与5相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果；即57×53＝（50+10）×50+3×7＝6×5×100+3×7＝3021；十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；故答案为十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；2．阅读下列材料并解决后面的问题材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler，1707﹣﹣1783）才发现指数与对数之间的联系，我们知道，n个相同的因数a相乘a•a…，a记为a n，如23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28，即log28＝3一般地若a n＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log a b，即log a b＝n．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381，即log381＝4．（1）计算下列各对数的值：log24＝，log216＝，log264＝（2）通过观察（1）中三数log24、log216、log264之间满足的关系式是；（3）拓展延伸：下面这个一股性的结论成立吗？我们来证明log a M+log a N＝log，a MN（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）证明：设log a M＝m，log a N＝n，由对数的定义得：a m＝M，a n＝N，∴a m•a n＝a m+n＝M•N，∴log a MN＝m+n，又∵log a M＝m，log a N＝n，∴log a M+log a N＝log a MN（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（4）仿照（3）的证明，你能证明下面的一般性结论吗？log a M﹣log a N＝log a（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（5）计算：log34+log39﹣log312的值为．【解答】解：（1）log24＝log222＝2，log216＝log224＝4，log264＝log226＝6；故答案为：2，4，6；（2）通过观察（1）中三数log24、log216、log264之间满足的关系式是：log24+log216＝log264；（4）证明：设log a M＝m，log a N＝n，由对数的定义得：a m＝M，a n＝N，∴a m÷a n＝a m﹣n＝，∴log a＝m﹣n，又∵log a M＝m，log a N＝n，∴log a M﹣log a N＝log a（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（5）log34+log39﹣log312，＝log3，＝log33，＝1，故答案为：1．。

可编辑修改精选全文完整版七下第一章《整式的乘除》复习教学设计教学目标：1、掌握同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方。

2、能灵活运用单项式和多项式的乘法。

3、熟练平方差公式和完全平方公式4、通过练习，梳理知识建立系统的知识体系。

教学重点：重点：掌握同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方。

能灵活运用单项式和多项式的乘法。

难点：熟练和灵活运用平方差公式和完全平方公式教学思路：先复习整式乘除一系列的知识，通过学生自己对自我知识的掌握情况有针对性的找出重点题、易错题、难题，小组对题目分析和理解，然后全班交流，以学生为主体、教师主导，共同分享解决问题，最后归纳方法、思路，明确知识。

教学方法：小组分组学习为主教学过程：教学过程预设环节教师活动（教学内容的呈现）学生活动（学习活动的设计）设计意图一、梳理知识①请一位学生将梳理的整式的乘除这部分的知识进行板书。

学生板书②其余学生小组交流，互相检查，看看是否同学是否写对了，有遗漏之处，互相补充。

小组学员互助二、学生自主出题把学生分成6个大组，每个大组再分成两个小组，小组之间互相共享、推荐、解决学生自己找出的重点题、易错题、难题，然后每组派一个代表上黑板给全班同学推荐好题，并由学生充当小老师讲解，然后不当之处教师点播。

提起学生的兴趣提高学生的辨析题目的能力提高学生的语言表达能力提高学生的逻辑思维能力七下第一章《整式的乘除》学情分析及教学方法和学法从年龄特点来看，初一学生好动，好奇，好表现，爱发表见解，希望得到老师的表扬，所以在教学中要抓住这一生理特点，充分调动学生的的兴趣、创造性，另一方面要创造条件和机会，让其发表见解，发挥学习的主动性。

从知识掌握层次来看，学生已经学会了整式运算的相关知识，具备了一定解题技巧和能力，只是缺少对零散知识点进行组串，使之条理化、系统化，形成新的认知结构。

此时让学生让学生根据以往的作业、试卷、课外题等手头的资料，根据自己平时的易错题、重点题目，进行反思总结，集大家的智慧与一体，教师和学生们进行甄选。

数学教案－整数的乘法和除法一、教学目标1.让学生理解和掌握整数乘除法的概念和运算方法。

2.培养学生运用整数乘除法解决实际问题的能力。

3.培养学生的逻辑思维和推理能力。

二、教学内容1.整数乘法的概念、运算方法及性质。

2.整数除法的概念、运算方法及性质。

3.整数乘除法的应用。

三、教学重点与难点1.教学重点：整数乘除法的概念、运算方法及性质。

2.教学难点：整数乘除法的灵活运用。

四、教学过程1.导入联系生活实际，引导学生回顾已学的整数加法和减法。

提问：同学们，我们已经学习了整数的加法和减法，那么你们知道整数乘法和除法吗？今天我们就来学习整数的乘法和除法。

2.教学整数乘法讲解整数乘法的概念：整数乘法就是将两个整数相乘的运算。

示例：2×3=6，表示2加3次。

引导学生观察乘法算式的特点：乘法算式由两个乘数和一个乘积组成。

讲解整数乘法的运算方法：先计算乘数的乘积，再确定乘积的正负号。

示例：(-2)×3=-6，2×(-3)=-6。

3.教学整数除法讲解整数除法的概念：整数除法就是将一个整数除以另一个整数的运算。

示例：6÷2=3，表示6被2除的商是3。

引导学生观察除法算式的特点：除法算式由被除数、除数和商组成。

讲解整数除法的运算方法：先确定商的正负号，再计算商的绝对值。

示例：(-6)÷2=-3，6÷(-2)=-3。

4.整数乘除法的性质讲解整数乘除法的性质：交换乘数的位置，积不变；交换被除数和除数的位置，商不变。

示例：2×3=3×2，6÷2=2÷6。

5.整数乘除法的应用提问：同学们，我们已经学习了整数乘除法的概念和运算方法，那么你们知道如何运用整数乘除法解决实际问题吗？示例：小明的爸爸每天工资是200元，他工作了10天，一共赚了多少钱？答：200×10=2000元。

6.练习出示练习题，让学生独立完成。

示例：计算下列各式的值：（1）5×7（2）(-4)×3（3）8÷2（4）(-6)÷(-3)回顾本节课所学内容，让学生复述整数乘除法的概念、运算方法和性质。