湖南四大名校内部资料长郡中学2019届高三月考二理数答案(2)

长郡中学2019届高三月考试卷（一）数学（理科）（考试时间：120分钟，满分150分）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.1.设复数，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据复数除法运算，分子分母同时乘以分母的共轭复数，化简即可。

【详解】所以所以选D【点睛】本题考查了复数的除法运算，复数模的定义，属于基础题。

2.2.已知集合，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合，故，集合表示非负的偶数，故，故选C.3.3.若定义在上的偶函数满足且时，，则方程的零点个数是（）A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】C【解析】【分析】根据函数的周期性和奇偶性，画出函数图像，根据函数图像的交点个数确定零点个数即可。

【详解】因为数满足，所以周期当时，，且为偶函数，所以函数图像如下图所示学。

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网...由图像可知，方程有四个零点所以选C【点睛】本题考查了函数的奇偶性和周期性，绝对值函数图像的画法和函数零点的概念，关键是根据函数解析式能够正确画出函数的图像，属于基础题。

4.4.计算的结果为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据诱导公式，化简三角函数值；再根据正弦的差角公式合并即可得到解。

长郡中学2019届高三月考试卷（二）数学（理科）时量120分钟。

满分150分。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|y=}，B={0，1，2，3，4}，则A∩B=（）A．φB．{0，1，2) C.{0,1,2,3) D.(-∞,3]∪{4}2．已知函数f(x)= ，那么f(8)的值为（）A．3 B．4 C．15 D．163．当n是正整数时，用数学归纳法证明1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2时，从n=k 到n=k+1，等号左边需要增加的代数式为（）A. k(3k+4) B．（k+1)(3k+l) C.(k+1)3k D．（k+1)(3k+4)4．直角△ABC(∠A=90°)的外接圆圆心O，半径为1，且，则向量在向量方向的投影为（）A．B．- C．D．-5．已知f(x)是定义在实数集R上的偶函数，且在(0，+∞)上递增，则（）A.f(20.7)<f(-log25)<f（一3)B.f(-3)<f(20.7)<f(-log25)C．f(一3)<f(-log25)<f(20.7) D.f(20.7)<f(-3)<f(-log25)6．某地区空气质量监测表明，一天的空气质量为优的概率是0. 75，连续两天为优的概率是0.6，已知某天的空气质量为优，则随后一天空气质量为优的概率是（）A.0.8B.0.75C.0.6D.0.457．要得到函数f(x) =2sinxcosx，x∈R，只需将函数g(x)=2cos2x-l，x∈R的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位8．等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}前6 项的和为（）A．8 B．-3 C．3 D．-249．△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若则tan(A-B)的最大值为（）A．B．C．1 D．10.函数在x∈(1，2)内存在极值点，则（）A．B．C．D．11.下表中的数表为“森德拉姆筛”（森德拉姆，东印度学者），其特点是每行每列都成等差数列．在表中，“361”出现的次数为（）A. 12B. 6C. 24D. 4812.若函数f(x)满足f(x)=x(f'(x)一ln(x)，且，则+1的解集为（）A．（一1，+∞）B．C．(0，) D．（一∞，一1）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量a=（3，-1），b=（1，m），a∥（a-2b），则m=____．14．我国成功申办2022年第24届冬季奥林匹克运动会，届时冬奥会的高山速降运动将给我们以速度与激情的完美展现，某选手的速度ξ服从正态分布（100，σ2）(σ>0)，若ξ在(80，120)内的概率为0.7，则他速度超过120的概率为．15．设a= ，则的展开式中常数项是．16．已知A,B是函数f(x)= （其中常数a>0）图象上的两个动点，点P(a，0)，若的最小值为0，则函数f(x)的最大值为．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csinB=bcosC，a2-c2=2b2．(1)求C的大小；(2)若△ABC的面积为21，求b的值．18.（本小题满分12分）已知数列{a n}满足：a n≥1，S n是其前n项的和，且2S n=a n2+n．数列{b n}满足b l= -a2，b n+1=b n+a n·．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{b n}的通项公式．为增强学生体质，长郡中学组织体育社团，某班级有4人积极报名参加篮球和足球社团，每人只能从两个社团中选择其中一个社团，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己参加哪个社团，掷出点数为5或6的人参加篮球社团，掷出点数小于5的人参加足球社团．(1)求这4人中恰有1人参加篮球社团的概率；(2)用ξ，η分别表示这4人中参加篮球社团和足球社团的人数，记随机变量X为ξ和η之差的绝对值，求随机变量X的分布列与数学期望E(X)．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：万元）对年销售量y（单位：吨）和年利润z(单位：万元)的影响．对近六年的年宣传费x i和年销售量y i（i=1，2，3，4，5，6）的数据作了初步统计，得到如下数据：经电脑模拟，发现年宣传费x（万元）与年销售量y（吨）之间近似满足关系式y=a·x b（a，b>0）．对上述数据作了初步处理，得到相关的值如下表：(1)根据所给数据，求y关于x的回归方程；(2)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为若想在2019年达到年利润最大，请预测2019年的宣传费用是多少万元？附：对于一组数据（u l，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线v=β·u+a中的斜率和截距的最小二乘估计分别为已知函数f(x)=(x+b)（e x-a），(b>0)，在（-1，f(-l)）处的切线方程为(e-l)x+ey+e-l=0．(1)求a，b；(2)若方程f'(x)=m有两个实数根x1，x2，且x1<x2，证明：x2-x1≤1（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为，直线l过点P（0，一）且倾斜角为(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．23.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲已知函数f(x)=|x-a|+2+a，g(x)=|x-l|+|2x+4|.(1)解不等式|g(x)|<6；(2)若存在x1、x2∈R，使得f(x1)=g(x2)成立，求实数a的取值范围．。

湖南省长郡中学2019届高三下学期第二次模拟考试试题数学（理）一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的. 1.设全集，则 （ ） A.B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】求出集合A 中的元素，从而求出A 的补集即可．或者将分别代入检验.【详解】解法1：，故 ，所以选C. 解法2：将分别代入检验，可得，故，所以选C.【点睛】本题考查了集合的运算，考查不等式解法，是基础题．2.若为第二象限角．则复数 （为虚数单位）对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】根据复数对应复平面的点，然后判断对应三角函数的符号即可得到答案. 【详解】解：因为为第二象限角．所以，即复数的实部为负数，虚部为正数，所以对应的点在第二象限． 故选：B ．【点睛】本题主要考查复数对应的复平面的点的相关概念，难度较小.3.已知等差数列前9项的和为27，，则A. 100B. 99C. 98D. 97【答案】C【解析】试题分析：由已知，所以故选C.【考点】等差数列及其运算【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.4.条件，条件，则是的（）A. 充分非必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件【答案】A【解析】试题分析：条件等价于，条件等价于集合，因为，且，所以是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件．考点：充分必要条件．5.设函数，则使成立的的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】通过判断原函数单调性和奇偶性脱离f，建立不等式关系解出即可.【详解】解：根据题意，函数，则，即函数为偶函数，当时，易得为增函数，则，变形可得：，解可得或，即的取值范围为故选：D．【点睛】本题主要考查函数的单调性，奇偶性以及通过函数性质解不等式问题，难度中等.6.如图所示，半径为1的圆是正方形的内切圆，将一颗豆子随机地扔到正方形内，用表示事件“豆子落在圆内”，表示事件“豆子落在扇形（阴影部分）内”，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用几何概型先求出，，再由条件概率公式求出．【详解】如图所示，半径为1的圆O是正方形MNPQ的内切圆，将一颗豆子随机地扔到正方形MNPQ内，用A表示事件“豆子落在圆O内”，B表示事件“豆子落在扇形阴影部分内”，则，，．故选：B．【点睛】本题考查概率的求法，考查几何概型、条件概率能等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数. 详解：由三视图可得四棱锥，在四棱锥中，，由勾股定理可知：，则在四棱锥中，直角三角形有：共三个，故选C.点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解.8.已知，则的展开式中的系数为（）A. B. 15 C. D. 5【答案】D【解析】由题意得，故求的展开式中的系数．∵，展开式的通项为．∴展开式中的系数为．选D．9.把函数的图象向左平移个单位长度，再把所得的图象上每个点的横、纵坐标都变为原来的2倍，得到函数的图象，并且的图象如图所示，则的表达式可以为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据条件先求出φ和ω，结合函数图象变换关系进行求解即可．【详解】∵g（0）＝2sinφ＝1，即sinφ，∴φ或φ（舍去）则g（x）＝2sin（ωx），又当k=1,即g（x）＝2sin（x），把函数g（x）的图象上所有点的横坐标缩短到到原来的，得到y＝2sin（4x），再把纵坐标缩短到到原来的，得到y＝sin（4x），再把所得曲线向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，即g（x）＝sin[（x-）]＝故选：B．【点睛】本题主要考查三角函数图象的应用，根据条件求出ω和φ的值以及利用三角函数图象平移变换关系是解决本题的关键．10.已知是双曲线的左、右焦点，若点关于双曲线渐近线的对称点满足（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用对称求出点的坐标，根据可得，再利用两点间距离得出关于方程，从而解得渐近线方程.【详解】解：设因为点关于渐近线的对称点为，不妨设渐近线方程为，故有，解得，因为，所以，根据两点间距离可得，，即，即，即，即，可得，所以，故渐近线方程为，故选B.【点睛】本题考查了点关于直线对称点的知识，考查了双曲线渐近线方程、两点间距离公式等知识，解题时需要有较强的运算能力.11.电子计算机诞生于20世纪中叶，是人类最伟大的技术发明之一．计算机利用二进制存储信息，其中最基本单位是“位（bit）”，1位只能存放2种不同的信息：0或l，分别通过电路的断或通实现．“字节（Byte）”是更大的存储单位，，因此1字节可存放从至共256种不同的信息．将这256个二进制数中，所有恰有相邻两位数是1其余各位数均是0的所有数相加，则计算结果用十进制表示为（）A. 254B. 381C. 510D. 765【答案】B【解析】【分析】将符合题意的二进制数列出，转化为十进制，然后相加得出结果.【详解】恰有相邻两位数是1其余各位数均是0的二进制数为，，，，，，，共个.转化为十进制并相加得，故选B.【点睛】本小题主要考查二进制转化为十进制，阅读与理解能力，属于基础题.12.已知函数有唯一零点，则a=A. B. C. D. 1【答案】C【解析】函数的零点满足，设，则，当时，；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，当时，函数取得最小值，为.设，当时，函数取得最小值，为，若，函数与函数没有交点；若，当时，函数和有一个交点，即，解得.故选C.【名师点睛】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量满足，且，则在方向上的投影为_____．【答案】1【解析】【分析】通过向量的数量积及投影的相关概念建立方程即可得到答案.【详解】解：向量满足，且，则在方向上的投影为：．故答案为：1．【点睛】本题主要考查向量的数量积，及投影的相关概念，难度较小.14.设满足约束条，则目标函数的最大值为_____．【答案】4【解析】【分析】画出不等式表示的平面区域，通过目标函数表示的斜率式观察图像即可得到答案.【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．目标函数的几何意义为区域内的动点到定点的斜率，由图象知的斜率最大，由得，此时的斜率，即的最大值为4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查线性规划问题，在于考查学生的作图能力及转化能力，此题只需将目标函数化为斜率式即可得到答案.15.已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若，则_____．【答案】【解析】【分析】画出几何图像，建立几何关系，通过建立方程即可得到答案.【详解】解：由题意利用定义，结合其他几何性质可得抛物线的焦点，准线．又直线过定点，因为，所以为中点，连接，所以．设，所以，．作，则垂足为的中点，设，则，，求得、，所以，故答案为：．【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质及学生的计算能力，难度中等.16.某工厂现将一棱长为的正四面体毛坯件切割成一个圆柱体零件，则该圆柱体体积的最大值为_____．【答案】【解析】【分析】找出正四面体中内接圆柱的最大值的临界条件，通过体积公式即可得到答案.【详解】解：圆柱体体积最大时，圆柱的底面圆心为正四面体的底面中心，圆柱的上底面与棱锥侧面的交点在侧面的中线上．∵正四面体棱长为，∴，，，∴，设圆柱的底面半径为，高为，则．由三角形相似得：，即，圆柱的体积，∵，当且仅当即时取等号．∴圆柱的最大体积为．故答案为：．【点睛】本题主要考查学生的空间想象能力,以及分析问题的能力，基本不等式的运用,难度较大.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知分别是的三个内角的对边，若，角是最小的内角，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若的面积为42，求的值．【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) .【解析】【分析】(Ⅰ)由正弦定理，三角形内角和定理可得，结合，整理可得，又，利用同角三角函数基本关系式可求的值．(Ⅱ)由(Ⅰ)及三角形的面积公式可求的值，利用同角三角函数基本关系式可求的值，根据余弦定理可求的值．【详解】(Ⅰ) 由、，及正弦定理可得：，由于，整理可得：，又，因此得：．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，又的面积为42，且，从而有，解得，又角是最小的内角，所以，且，得，由余弦定理得，即．【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想。

2019届湖南省四大名校高三3月联考数学（理）试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知集合 ,则（）A．___________________________________ B．___________________________________ C．____________________ D．2. 下列命题中，真命题为（）A. ，B. ，C. 已知为实数，则的充要条件是D. 已知为实数，则，是的充分不必要条件3. 以下四个命题中：①在回归分析中, 可用相关指数的值判断的拟合效果, 越大 , 模型的拟合效果越好；② 两个随机变量的线性相关性越强 , 相关系数的绝对值越接近；③ 若数据的方差为 ,则的方差为；④ 对分类变量与的随机变量的观测值来说 , 越小 , 判断“ 与有关系”的把握程度越大 .其中真命题的个数为（）A．___________________________________ B． C．___________________________________ D．4. 已知双曲线的离心率为 , 则的渐近线方程为（）A． B．C． D．5. 已知 ,则的大小关系为（） A． B．C． D．6. 在平行四边形中, 与交于点是线段的中点的延长线与交于点 .若 ,则（）A． B．___________________________________ C．___________________________________ D．7. 将函数的图象向左平移个单位 , 得到函数的图象 , 则的表达式可以是（）A． B．C．__________________________________D．8. 某程序框图如图所示 , 现将输出值依次记为：若程序运行中输出的一个数组是 , 则数组中的（）A． B． C．_____________________________________ D．9. 在直角坐标系中 , 点的坐标为是第三象限内一点, , 且,则点的横坐标为（）A． B． C．D．10. 某几何体的三视图如图所示 , 则该几何体的体积为（）A． B． C．_________________________________ D．11. 现定义 , 其中为虚数单位 , 为自然对数的底 ,且实数指数幂的运算性质对都适用 , 若，,那么复数（）A． B．C． D．12. 已知函数 ,若 ,且对任意的恒成立,则的最大值为（）A． B． C．_____________________________________ D．二、填空题13. 若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点 , 则_________ ．14. 已知实数、满足 ,则目标函数的最大值为_________ ．15. 若函数在上单调递增 , 则实数的取值范围是_________ ．16. 已知平面四边形为凸四边形 ( 凸四边形即任取平面四边形一边所在直线 , 其余各边均在此直线的同侧 ), 且 ,则平面四边形面积的最大值为 _________ ．三、解答题17. 已知数列与满足 .（1）若数列的通项公式；（2）若且对一切恒成立 , 求实数的取值范围 .18. 如图 , 四棱锥中, 与都是等边三角形.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值 .19. “ 根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在(不含 ) 之间,属于酒后驾车；血液酒精浓度在(含 ) 以上时 , 属醉酒驾车.”，年, “ 夕” 晚时开始 , 长沙市交警队在解放路一交通岗前设点 , 对过往的车辆进行抽查 , 经过个小时共查出喝过酒的驾车者名 , 下图是用酒精测试仪对这名驾车者血液中酒精浓度进行检测后所得结果画出的频率分布直方图 .（1）求这名驾车者中属醉酒驾车的人数；(图中每组包括左端点 , 不包括右端点 )（2）求这名驾车者血液的酒精浓度的平均值；（3）将频率分布直方图中的七组从左到右依次命名为第一组 , 第二组, … , 第七组 , 在第五组和第七组的所有人中抽出两人 , 记他们的血液酒精浓度分别为、 , 则事件的概率是多少？20. （本小题满分12分）如图 , 在平面直角坐标系中, 已知分别是椭圆的左、右焦点分别是椭圆的左、右顶点, 为线段的中点, 且 .（1）求椭圆的方程；（2）若为椭圆上的动点 ( 异于点 ) , 连接并延长交椭圆于点 , 连接、并分别延长交椭圆于点连接 , 设直线、的斜率存在且分别为、 , 试问是否存在常数 , 使得恒成立？若存在 , 求出的值；若不存在 , 说明理由 .21. 已知函数为自然对数的底数 )．（1）若 , 求函数的单调区间；（2）若 ,且方程在内有解 , 求实数的取值范围 .22. 选修4-1：几何证明选讲如图, 交圆于两点, 切圆于为上一点且 ,连接并延长交圆于点 ,作弦 , 垂直 , 垂足为 .（1）求证：为圆的直径；（2）若 , 求证： .23. 选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程为为参数 ), 以坐标原点为极点 , 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 , 圆的极坐标方程为 .（1）求圆的直角坐标方程；（2）若是直线与圆面的公共点 , 求的取值范围 .24. 选修4-5：不等式选讲已知函数 .（1）若不等式的解集为 ,求实数的值；（2）在（1）的条件下 , 若存在实数使成立 , 求实数的取值范围 .参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。

长郡中学2019届高三月考试卷（二）数学（理科）（考试时间：120分钟，满分150分）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.1.设复数，则（ ）A. B. C. D. 2.2.已知集合，，，则（ ）A.B.C.D.3.3.若定义在上的偶函数满足且时，，则方程的零点个数是（ ）A. 个B. 个C. 个D. 个 4.4.计算的结果为（ ）A. B. C. D.5.5.已知、、是双曲线上不同的三点，且、连线经过坐标原点，若直线、的斜率乘积，则该双曲线的离心率为（ ）A.B.C. D.6.6.某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量（单位：千瓦·时）与气温（单位：℃）之间的关系，随机选取了天的用电量与当天气温，并制作了以下对照表： （单位：℃）（单位：千瓦·时）由表中数据得线性回归方程：，则由此估计：当某天气温为℃时，当天用电量约为（）A. 千瓦·时B. 千瓦·时C. 千瓦·时D. 千瓦·时7.7.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（）学￥科￥网...学￥科￥网...A. B. C. D.8.8.已知平面向量，满足，且，，则向量与夹角的正弦值为A. B. C. D.9.9.设，则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10.10.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A. B. C. D.11.11.过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，与圆交于，两点，若有三条直线满足，则的取值范围为（）A. B. C. D.12.12.设函数，函数，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.13.设，满足约束条件，则的最大值为__________．14.14.《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术。

2019届湖南省长郡中学高三下学期第二次模拟考试数学（理）试题一、单选题1．设全集{}21,2,3,4,5},3,{4|0U A x x x x N ==≤∈-+，则U C A = （ ）A ．{}1,2,3B ．{}3,4,5C ．{}4,5D ．{}0|3x x x <>或【答案】C【解析】求出集合A 中的元素，从而求出A 的补集即可．或者将1,2,3,4,5x =分别代入2430x x -+≤检验. 【详解】解法1：2{|430,}{|13,}A x x x x N x x x N =-+≤∈=≤≤∈，故U C A = {}4,5，所以选C.解法2：将1,2,3,4,5x =分别代入2430x x -+≤检验，可得1,2,3A ∈，故U C A ={}4,5，所以选C.【点睛】本题考查了集合的运算，考查不等式解法，是基础题．2．若θ为第二象限角．则复数cos sin z i θθ=+ （i 为虚数单位）对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】根据复数对应复平面的点，然后判断对应三角函数的符号即可得到答案. 【详解】解：因为θ为第二象限角．所以cos 0,sin 0θθ<>，即复数z 的实部为负数，虚部为正数，所以z 对应的点在第二象限． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查复数对应的复平面的点的相关概念，难度较小. 3．已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=aA.100B.99C.98D.97【答案】C【解析】试题分析：由已知，1193627{,98a d a d +=+=所以110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=故选C.【考点】等差数列及其运算【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法. 4．条件，条件，则是的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件 【答案】A【解析】试题分析：条件等价于，条件等价于集合，因为，且，所以是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件．【考点】充分必要条件．5．设函数()2(ln 1)f x x =+，则使()()21f x f x >+成立的x 的取值范围是（ ）A.(,1)-∞B.(1,)+∞C.1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭ D.1,(1,)3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】通过判断原函数的单调性和奇偶性脱离f ，建立不等式关系解出即可. 【详解】解：根据题意，函数()2(ln 1)f x x =+，则()()()22ln 1ln 1()f x x x f x ⎡⎤-=-+=+=⎣⎦，即函数()f x 为偶函数，当0x ≥时，易得()f x 为增函数，则()()()()212121f x fx fx f x x x >+⇒>+⇒>+，变形可得：23210x x -->，解可得13x <-或1x >，即x 的取值范围为1,(1,)3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭故选：D ． 【点睛】本题主要考查函数的单调性，奇偶性以及通过函数性质解不等式问题，难度中等. 6．如图所示，半径为1的圆O 是正方形MNPQ 的内切圆，将一颗豆子随机地扔到正方形MNPQ 内，用A 表示事件“豆子落在圆O 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OEF （阴影部分）内”，则()|P B A =（ ）A.4π B.14C.16π D.18【答案】B【解析】利用几何概型先求出()22124P A ππ⨯==，()22114216P AB ππ⨯⨯==，再由条件概率公式求出(|)P B A ． 【详解】如图所示，半径为1的圆O 是正方形MNPQ 的内切圆，将一颗豆子随机地扔到正方形MNPQ 内，用A 表示事件“豆子落在圆O 内”，B 表示事件“豆子落在扇形(OEF 阴影部分)内”，则()22124P Aππ⨯==，()22114216P ABππ⨯⨯==，()()116(|)44P ABP B AP Aππ∴===．故选：B．【点睛】本题考查概率的求法，考查几何概型、条件概率能等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.详解：由三视图可得四棱锥P ABCD-，在四棱锥P ABCD-中，2,2,2,1PD AD CD AB====，由勾股定理可知：22,22,3,5PA PC PB BC====则在四棱锥中，直角三角形有：,,PAD PCD PAB∆∆∆共三个，故选C.点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解. 8．已知，则的展开式中的系数为（ ）A ．B ．15C ．D ．5【答案】D 【解析】由题意得，故求的展开式中的系数．∵，展开式的通项为． ∴展开式中的系数为．选D ．9．把函数()y f x =的图象向左平移23π个单位长度，再把所得的图象上每个点的横、纵坐标都变为原来的2倍，得到函数()g x 的图象，并且()g x 的图象如图所示，则()f x 的表达式可以为（ ）A.()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B.()sin 46f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C.()sin 46f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D.()2sin 46f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】B【解析】根据条件先求出φ和ω，结合函数图象变换关系进行求解即可． 【详解】∵g （0）＝2sinφ＝1，即sinφ12=， ∴φ52,6k ππ=+或φ2,6k k Z ππ=+∈（舍去） 则g （x ）＝2sin （ωx 56π+），又755122,,2,12667k k Z k ππωπω⎛⎫+=∈∴=-⨯ ⎪⎝⎭当k=1, 2ω= 即g （x ）＝2sin （2x 56π+）， 把函数g （x ）的图象上所有点的横坐标缩短到到原来的12，得到y ＝2sin （4x 56π+），再把纵坐标缩短到到原来的12，得到y ＝sin （4x 56π+），再把所得曲线向右平移23π个单位长度得到函数g （x ）的图象， 即g （x ）＝sin[4（x -23π）56π+]＝8511sin 4x sin 4sin 43666x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭故选：B ． 【点睛】本题主要考查三角函数图象的应用，根据条件求出ω 和φ的值以及利用三角函数图象平移变换关系是解决本题的关键．10．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若点2F 关于双曲线渐近线的对称点A 满足11F AO AOF ∠=∠（O 为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．y =C ．y =D ．y x =±【答案】B【解析】先利用对称求出点A 的坐标，根据11F AO AOF ∠=∠可得1PF c =，再利用两点间距离得出关于,,a b c 方程，从而解得渐近线方程. 【详解】 解：设00(,)P x y因为2F 点关于渐近线的对称点为00(,)P x y ，不妨设渐近线方程为by x a=， 故有00001()22y b x c a y x c b a⎧⨯=-⎪-⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得22002a b x caby c ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因为11F AO AOF ∠=∠， 所以11PF F O c ==，根据两点间距离d =1PF c ==，即()()22222a b 2abc 0c c c -++-=，即4222224a 4a b c c c+=， 即42244a 4a b c +=，即()22244a a b c +=， 可得223a b =，所以ba=故渐近线方程为y =，故选B. 【点睛】本题考查了点关于直线对称点的知识，考查了双曲线渐近线方程、两点间距离公式等知识，解题时需要有较强的运算能力.11．电子计算机诞生于20世纪中叶，是人类最伟大的技术发明之一．计算机利用二进制存储信息，其中最基本单位是“位（bit ）”，1位只能存放2种不同的信息：0或l ，分别通过电路的断或通实现．“字节（Byte ）”是更大的存储单位，18Byte bit =，因此1字节可存放从()200000000至()211111111共256种不同的信息．将这256个二进制数中，所有恰有相邻两位数是1其余各位数均是0的所有数相加，则计算结果用十进制表示为（ ） A ．254 B ．381C ．510D ．765【答案】B【解析】将符合题意的二进制数列出，转化为十进制，然后相加得出结果. 【详解】恰有相邻两位数是1其余各位数均是0的二进制数为11000000，1100000，110000，11000，1100，110，11，共7个.转化为十进制并相加得()()()()()()() 76655443322110 22222222222222+++++++++++++381=，故选B.【点睛】本小题主要考查二进制转化为十进制，阅读与理解能力，属于基础题.12．已知函数有唯一零点，则a=A．B．C．D．1【答案】C【解析】函数的零点满足，设，则，当时，；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，当时，函数取得最小值，为.设，当时，函数取得最小值，为，若，函数与函数没有交点；若，当时，函数和有一个交点，即，解得.故选C.【名师点睛】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.二、填空题13．已知向量,a b满足2b=，则a在b方向上的投影为_____．a b⋅=，且(1,3)【答案】1【解析】通过向量的数量积及投影的相关概念建立方程即可得到答案.【详解】解： 向量,a b 满足2a b ⋅=，且(1,3)b=，则a 在b 方向上的投影为：||cos 1||13a b a b θ⋅===+． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查向量的数量积，及投影的相关概念，难度较小.14．,x y 设满足约束条10103x y x y y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则目标函数31y z x +=+的最大值为_____．【答案】4【解析】画出不等式表示的平面区域，通过目标函数表示的斜率式观察图像即可得到答案. 【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．目标函数31y z x +=+的几何意义为区域内的动点(),x y 到定点()1,3D --的斜率， 由图象知AD 的斜率最大， 由1010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得()0,1A ，此时AD 的斜率13410z +==+， 即z 的最大值为4． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查线性规划问题，在于考查学生的作图能力及转化能力，此题只需将目标函数化为斜率式即可得到答案.15．已知直线()()10y k x k =+>与抛物线2:4C y x =相交于,A B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =，则k =_____．【答案】223【解析】画出几何图像，建立几何关系，通过2FA FB =建立方程即可得到答案. 【详解】解：由题意利用定义，结合其他几何性质可得抛物线2:4C y x =的焦点()1,0F ，准线1x =-．又直线()1y k x =+过定点()1,0P -， 因为2FA FB =，所以B 为AP 中点， 连接OB ，所以OB AF ∕∕．设BF m =，所以，OB m =．作BE OF ⊥，则垂足E 为OF 的中点，设BE n =， 则2214m n -=，221m m n =-32m =、2n =221312BE n k PE ===+，故答案为：23． 【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质及学生的计算能力，难度中等.16．某工厂现将一棱长为3的正四面体毛坯件切割成一个圆柱体零件，则该圆柱体体积的最大值为_____． 【答案】227π【解析】找出正四面体中内接圆柱的最大值的临界条件，通过体积公式即可得到答案. 【详解】解：圆柱体体积最大时，圆柱的底面圆心为正四面体的底面中心'O ，圆柱的上底面与棱锥侧面的交点N 在侧面的中线AM 上．∵3，∴32BM =，12O M '=，1BO '=， ∴2AO '=设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则102r <<． 由三角形相似得：2122r h-=222h r =，圆柱的体积()22212V r h r r ππ=-，∵()3212112327r r r r r ++-⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12r r =-即13r =时取等号． ∴2π． 故答案为：227π． 【点睛】本题主要考查学生的空间想象能力,以及分析问题的能力，基本不等式的运用,难度较大.三、解答题17．已知,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，若10a =，角B 是最小的内角，且34sin 3cos c a B b A =+． （Ⅰ）求sin B 的值；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为42，求b 的值．【答案】(Ⅰ) 3sin 5B =;(Ⅱ) b =【解析】(Ⅰ)由正弦定理，三角形内角和定理可得()3sin 4sin sin 3sin cos A B A B B A +=+，结合sin 0A >，整理可得3cos 4sin B B =，又sin 0B >，利用同角三角函数基本关系式可求sin B 的值．(Ⅱ)由(Ⅰ)及三角形的面积公式可求c 的值，利用同角三角函数基本关系式可求cos B 的值，根据余弦定理可求b 的值． 【详解】(Ⅰ) 由34sin 3cos c a B b A =+、A B C π++=，及正弦定理可得：()3sin 4sin sin 3sin cos A B A B B A +=+，由于sin 0A >，整理可得：3cos 4sin B B =， 又sin 0B >，因此得：3sin 5B =． (Ⅱ)由(Ⅰ)知3sin 5B =，又ABC 的面积为42，且10a =， 从而有13104225c ⨯⨯=，解得14c =， 又角B 是最小的内角，所以03B π<≤，且3sin 5B =，得4cos 5B =，由余弦定理得2224141021410725b =+-⨯⨯⨯=，即b =．【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想。

2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学大联考高三（上）月考数学试卷（二）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={x||x|⩽2}，B ={t|1⩽2t ⩽8(t ∈Z)}，则A ∩B =( )A. [−1,3]B. {0,1}C. [0,2]D. {0,1,2}2.已知复数z 满足|z−i|=1，则|z|的取值范围是( )A. [0,1]B. [0,1)C. [0,2)D. [0,2]3.已知p ：f(x)=ln(21−x +a)(−1<x <1)是奇函数，q ：a =−1，则p 是q 成立的( )A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4.若锐角α满足sinα−cosα=55，则sin (2α+π2)=( )A. 45B. −35 C. −35或35D. −45或455.某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是( )A. 理科男生多于文科女生B. 文科女生多于文科男生C. 理科女生多于文科男生D. 理科女生多于理科男生6.如图，某车间生产一种圆台形零件，其下底面的直径为4cm ，上底面的直径为8cm ，高为4cm ，已知点P 是上底面圆周上不与直径AB 端点重合的一点，且AP =BP ，O 为上底面圆的圆心，则OP 与平面ABC 所成的角的正切值为( )A. 2B. 12C.5D.557.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：y =kx +12与圆C ：x 2+y 2=1交于A ，B 两点，则△AOB 的面积的最大值为( )A. 1B. 12C.32D.348.设函数f(x)=(x 2+ax +b)lnx ，若f(x)≥0，则a 的最小值为( )A. −2B. −1C. 2D. 1二、多选题：本题共3小题，共18分。