2019届湖南省长郡中学、衡阳八中等十四校高三5月大联考理科数学试题

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数学理科参考答案
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设 an是等比数列，公比 q 0 ，其前 n 项和为 Sn （ n N * ）， bn是等差数
列．已知 a1 1， a3 a2 2 ， a4 b3 b5 ， a5 b4 2b6 ．
（Ⅰ）求数列 an和 bn的通项公式； （Ⅱ）求数列 bn Sn的前 n 项和Tn ．
PO

1 2
AD

AO
．
在△ BOP 和△ BOA 中，因为 PO AO ， PB AD AB ， BO BO ，所以△ BOP △ BOA ．
2
【（2）另解：错位相减法】
18．（1）证明：取 AD 中点 O ，连结 OP ， OB ， BD ，
P
因为底面 ABCD 为菱形， BAD 60 ，
所以 AD AB BD ． 因为 O 为 AD 的中点，
D
C
所以 OB AD ．………………………………1 分
O
在△ APD 中， APD 90 ， O 为 AD 的中点，
组别 30, 40 40, 50 50, 60 60, 70 70, 80 80, 90 90,100
频数
25
150
200
250
225
100
50
（1）由频数分布表可以认为，此次问卷调查的得分 Z 服从正态分布 N , 210， 近似为这 1000 人得分
的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表），请利用正态分布的知识求 P36 Z 79.5；
A
B
PO 1 AD AO
所以
2
．
设 AD PB 2a ，则 OB 3a ， PO OA a ，
因为 PO2 OB2 a2 3a2 4a2 PB2 ，所以 OP OB ．……………………2 分

湖南省长郡中学2019届高三5月最后模拟试卷理科数学全卷满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题作答用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试卷和草稿纸上无效。

3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试卷和草稿纸上无效。

考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，只需上交答题卡。

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】转化M,可得M,N的关系,即可.【详解】,所以可得,故选A.【点睛】本道题考查了集合与集合的关系,难度较小.2.在复平面内表示复数的点位于第一象限，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本道题结合复数的四则运算,化简该复数,结合复数的意义,建立不等式,即可.【详解】,因为在第一象限内,所以满足所以,故选D.【点睛】本道题考查了复数的基本运算,难度中等.3.在等比数列中，“，是方程的两根”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】结合充分、必要条件判定，即可。

【详解】结合,可知都是负数,,因而，是方程的两根”是“的充分不必要条件.【点睛】本道题考查了充分必要条件判定以及等比数列的性质，难度中等。

4.下列函数中，图象关于原点对称且单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】选项，，函数单调递减不符合条件；选项，定义域不关于原点对称，不符合条件；选项，函数图象先减后增，在时，函数取得最小值，不符合条件；选项中，因为，所以函数为奇函数，将函数式变为，随着增大函数值也增大，是单调递增函数，符合条件，故选D.5.已知一种元件的使用寿命超过年的概率为，超过年的概率为，若一个这种元件使用到年时还未失效，则这个元件使用寿命超过年的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】结合条件概率计算公式，代入数据，即可。

衡阳市八中2019届高三第十二次月考试题理科数学考试时间：2019年5月30日15:00——17:00 试卷满分：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}20<≤=x x A ，集合{}0322<--=x x x B ，则集合=B AA ．{}10<≤x xB ．{}20<≤x xC ．{}30<≤x xD ．{}21<<-x x2．若复数z 满足()i i z +=+11，则=zA ．i -B ．i -1C ．1D ．2 3．已知R b a i i ∈,，且i i b a ,都不为0（2,1=i ），则“2211b a b a =”是“关于x 的不等式011>-b x a 与022>-b x a 同解”的A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件4. 执行如图的算法程序，若输出的结果为120，则横线处应填入A ．6≤kB ．6<kC ．6>kD ．6≥k5. 某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A. 4B. 3C. 2D. 16．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织多少尺布？A ．25B ．21C ．20D ．187．设设函数24()3x x f x =，则函数()f x 的图象大致为正（主）视图俯视图侧（左）视图8．若多项式()()()()()88772210811112x a x a x a x a a x +++++++++=+ ，则=+62a aA ．1904B ．1792C ．56D ．269. 将函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin )(πx x f 的图象向右平移ϕ（0>ϕ）个单位长度，得到函数()x g 的图象，且()()x g x g -=-，则ϕ的一个可能值为A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π10．已知函数()x x x x f +++=1ln)(2，则不等式()()01ln >-+x f x f 的解集是A ．()0,1B ．()0,eC ．()1,+∞D ．(),e +∞11. 已知高为H 的正三棱锥ABC P -的每个顶点都在半径为R 的球O 的球面上，若二面角C AB P --的正切值为4，则=RH A.73 B.53 C.95D.8512．已知线段AB 是过抛物线pxy 22=（0>p ）的焦点F 的一条弦，过点A （A 在第一象限内）作直线AC 垂直于抛物线的准线，垂足为C ，直线AT 与抛物线相切于点A ，交x 轴于点T ， 给出下列命题：（1）TAF AFx ∠=∠2； （2）AF TF =； （3）CF AT ⊥. 其中正确的命题个数为A.3 B ．2 C ．1 D ．0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分． 把答案填在答题卡中的横线上）13．已知()1,2=，()4,k =，若()()-+3//2，则=k __________.14．若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≤41024y y x x ，则x y ln 3ln -的最大值为__________.15．从5,4,3,2,1,0六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位奇数，有__________个这样的四位奇数（用数字填写答案）.16．在ABC ∆中，G 为ABC ∆的重心，BG AG 2=，4=BC ，则ABC ∆面积的最大值为_________.三、解答题（本大题共6小题，共70分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（一）必考题：60分．17．(本小题满分12分) 设{}n a 是等比数列，公比0>q ，其前n 项和为n S （*N n ∈），{}n b 是等差数列．已知11=a ，223+=a a ，534b b a +=，6452b b a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n n S b ⋅的前n 项和n T ．18．(本小题满分12分) 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，60=∠BAD ， 90=∠APD ，且PB AD =．（1）求证：ABCD PAD 平面平面⊥；（2）若PB AD ⊥，求二面角C PB D --的余弦值．19．(本小题满分12分) 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y x 62=与直线l ：3+=kx y 交于N M ,两点.（Ⅰ）设N M ,到y 轴的距离分别为21,d d ，证明：1d 和2d 的乘积为定值；（Ⅱ）y轴上是否存在点P，当k变化时，总有OPN∠？若存在，求=OPM∠点P的坐标；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分12分) 为了迎接2019年全国文明城市评比，某市文明办对市民进行了一次文明创建知识的网络问卷调查．每一位市民有且仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分：100分）数据，统计结果如下表所示：（1）由频数分布表可以认为，此次问卷调查的得分Z 服从正态分布()210 ,μN ，μ近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表），请利用正态分布的知识求()5.7936≤<Z P ；（2）在（1）的条件下，文明办为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：（i ）得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费；（ii ）每次获赠的随机话费和对应的概率为现市民小明要参加此次问卷调查，记X （单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列及数学期望．附：①5.14210≈；②若),(~2σμN Z ，则6826.0)(=+<<-σμσμZ P ，9544.0)22(=+<<-σσσμZ P ，9974.0)33(=+<<-σμσμZ P .21. (本小题满分12分) 已知函数()()21x e x x f x --=，()1022-+-=m mx me x g x （R m ∈）．（Ⅰ）求曲线()x f y =在()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）当0>x 时，()()x g x f >恒成立，求实数m 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22. (本小题满分10分) [选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos 2y x （ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 是圆心的极坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛2,7π且经过极点的圆.（1）求曲线1C 的极坐标方程和2C 的普通方程； （2）已知射线6πθ=（0≥ρ）分别与曲线21,C C 交于点B A ,（点B 异于坐标原点O ），求线段AB 的长.23. (本小题满分10分) [选修4－5：不等式选讲]已知函数()12-+-=x m x x f （R m ∈）. （Ⅰ）当1=m 时，求2)(≤x f 的解集；（Ⅱ）若12)(+≤x x f 的解集包含集合⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21，求实数m 的取值范围.衡阳市八中2019届高三第十二次月考试题理科数学 参考答案命题：廖洪波、徐五洲 审题：彭 韬考试时间：2019年5月30日15:00——17:00 试卷满分：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．B 2．C 3．B 4．D 5．B 6．B 7．A 8．C 9．D 10．C 11．D 12．A()的角平分线是则简析：设两边求导CAF AT k py py AFx ATF y pATF y py p y y px y k p y py p x k y px y y x A x x ∠⇒=-=∠=∠⇒=∠⇒='⇒='⋅−−−→−==-⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==2200002220000020002tan 2tan tan 2222)2(2, .12二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．8 14．4ln （或2ln 2） 15．84 16．212三、解答题（本大题共6小题，共70分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17． （Ⅰ）解：由1321,2,a a a ==+可得220q q --=.因为0q >，可得2q =，故12n n a -=.设等差数列{}n b 的公差为d ，由435a b b =+，可得13 4.b d += 由5462a b b =+，可得131316b d +=， 从而11,1b d ==， 故.n b n = 所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，数列{}n b 的通项公式为.n b n =（Ⅱ）由（Ⅰ），有122112nn n S -==--，所以 ()()()n n n n n n S b n n n n n n -⋅--⋅-=-⋅=-=⋅+22212121，故()[][][]()()[]nn n T n n n -⋅--⋅-++-⋅-⋅+-⋅-⋅+-⋅--⋅=+22213212222021121201342312 ()()()()n n n n n ++++-⋅--⋅-++⋅-⋅+⋅-⋅+⋅--⋅=+ 32122212122202121201342312()()()21212111+-⋅--⋅-=+n n n n ()()212211+-+⋅-=+n n n n ． 【（2）另解：错位相减法】18．（1）证明：取AD 中点O ，连结OP ，OB ，BD ，因为底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=， 所以AD =AB BD =． 因为O 为AD 的中点，所以OB AD ⊥．………………………………1分 在△APD 中，90APD ∠=， O 为AD 的中点， 所以12PO AD AO ==． 设2AD PB a ==，则OB =，PO OA a ==，因为22222234PO OB a a a PB +=+==，所以OP OB ⊥．……………………2分【2分段另证：在△APD 中，90APD ∠=，O 为AD 的中点，所以12P O A D A O ==． 在△ BOP 和△ BOA 中，因为PO AO =，PB AD AB ==，BO BO =，所以△ BOP ≅△ BOA ．所以90BOP BOA ∠=∠=．所以OP OB ⊥．】 因为OP AD O =，OP ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以OB ⊥平面PAD ．………………………………………………………………3分因为OB ⊂平面ABCD ， 所以平面PAD ⊥平面A B ．……………………………………………………4分（2）解法1：因为A D P B ⊥，AD OB ⊥，zPCD D CBAPOOBPB B =，PB ⊂平面POB ，OB ⊂平面POB ， 所以AD ⊥平面POB ． 所以PO AD ⊥．由（1）得PO OB ⊥，AD OB ⊥，所以OA ，OB ，OP 所在的直线两两互相垂直．……………………5分以O 为坐标原点，分别以OA ，OB ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．………………………………………………………6分设2AD =，则(1,0,0)A ，(1,0,0)D -，()B ，()0,0,1P ，……………7分所以()1,0,1PD =--，()1PB =-，(2,0,0)BC AD ==-，……………8分设平面PBD 的法向量为()111,,x y z =n ，则11110,30,PD x z PB y z ⎧∙=--=⎪⎨∙=-=⎪⎩n n 令11y =，则1x =1z = 所以(,=n ．………………………………………………………………9分 设平面PBC 的法向量为()222,,x y z =m ，则22220,30,BC x PB y z ⎧∙=-=⎪⎨∙=-=⎪⎩m m令21y =，则20x =，2z = 所以(0,=m ．…………………………………………………………………10分设二面角D PB C --为θ，由于θ为锐角， 所以cos cos ,θ=<>=m nm n m n…………………………………………………11分7==． 所以二面角D P --的余弦值为．…………………………………………12分 解法2：因为AD PB ⊥，AD OB ⊥，OB PB B =，PB ⊂平面POB ，OB ⊂平面POB ，所以AD ⊥平面POB ． 所以P ⊥．………………………………………………………………………5分所以PO a =，PD =． 过点D 作DH PB ⊥，H 为垂足，过点H 作//HG BC 交PC 于点G ，连接DG ，……6分因为AD PB ⊥，//BC AD ， 所以BC PB ⊥，即HG PB ⊥．所以DHG ∠为二面角D PB C --的平面角．………7分在等腰△BDP 中，2BD BP a ==，PD =， 根据等面积法可以求得2DH a =．………………………………………………8分 进而可以求得12PH a =，H GD CB AP O所以12HG a =，PG =．……………………………………………………9分在△PDC 中，PD =，2DC a =，PC =，所以2223cos 24PD PC DC DPC PD PC +-∠==⨯．在△PDG 中，PD =，PG =，3cos 4DPC ∠=， 所以22222cos DG PD PG PD PG DPG a =+-⨯⨯∠=，即DG a =．……10分在△DHG 中，DH =，12HG a =，DG a =， 所以222cos 2DH HG DG DHG DH HG+-∠=⨯ (11)分=所以二面角D PB C --的余弦值为．……………………………………12分19.（Ⅰ）证明：设()11,y x M ，()22,y x N ，则联立⎩⎨⎧=+=yx kx y 632，得01862=--kx x ．…………………………………………………………………………2分()()072361814622>+=-⨯⨯--=∆k k ，k x x 621=+，1821-=x x ．…………3分所以18212121==∙=x x x x d d 为定值．………………………………………………5分（Ⅱ）解：存在符合题意的点．证明如下：设()b P ,0为符合题意的点，直线PM ，PN 的斜率分别为1k ，2k ．由（1）知k x x 621=+．………………………………………………………………………………5分 从而221121x by x b y k k -+-=+………………………………………………………………7分()()21212132x x x x b x kx +-+=…………………………………………………………………8分()213636x x b k k -+-=．………………………………………………………………………9分当3-=b 时，有021=+k k ，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补． ……11分故OPN OPM ∠=∠，所以点()3,0-P 符合题意．………………………………………12分 评分细则：第（1）问中，直线方程与抛物线方程联立正确得2分，两根之和对（1）问无贡献，若第（2）问未写，而第（1）问写了，应给1分．20. 【解析】（1）根据题中所给的统计表，结合题中所给的条件，可以求得05.0951.085225.07525.0652.05515.045025.035⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=μ 6575.45.8875.1625.161175.6875.0=++++++=， 又21026536-≈，210655.79+≈，()8185.06826.0219544.0215.7936=⨯+⨯=≤<∴Z P . ………………………………5分（2）由条件，()()21=≥=<μμZ P Z P ，X 的可能取值为20，40，60，80， ()83432120=⨯==X P ，()3213434321412140=⨯⨯+⨯==X P ， ()163414322160=⨯⨯⨯==X P ，()32141412180=⨯⨯==X P ， X ∴的分布列为：()27532180163603213408320=⨯+⨯+⨯+⨯=∴X E . …………………………………12分21. 解：(Ⅰ) ()()12x x f x e x e x '=+--, (1)2f e '=-(1)1f =-,所求切线方程为()21y e x e =-+- ………4分(Ⅱ)令22()()()(1)210(0)x h x f x g x x m e x mx m x =-=---+-+>()(1)22()(2)x x x h x e x m e x m x m e '=+---+=--① 当0m ≤时，0x m ->，0ln 2x <<时，()0h x '<；ln 2x >时，()0h x '>()h x ∴在()0,ln 2上是减函数，在()ln 2,+∞上是增函数， 22()(ln 2)(2ln 22)ln 22ln 280h x h m m ∴≥=-+--++>(ln 22)(ln 24)0m m ∴---+<，即ln 240m -<≤ (7)分② 当0ln 2m <<时，()h x 在()0,m 上是增函数，在(),ln 2m 上是减函数，在()ln 2,+∞上是增函数，要使()0h x >，则(ln 2)0(0)0h h >⎧⎨≥⎩，解得0ln 2m << ………9分③ 当ln 2m =时，()0h x '≥，()h x 在()0,+∞上是增函数，2(0)9ln 2ln 20h =-->，成立 ………10分④ 当ln 2m >时，()h x 在()0,ln 2上是增函数，在()ln 2,m 上是减函数，在(),m +∞上是增函数，要使()0h x >，则()0(0)0h a h >⎧⎨≥⎩，解得ln 2ln10m <<综上，实数m的取值范围为()ln 24,ln10- ………12分22. 【解析】（1）由曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos 2y x （ϕ为参数），消去参数ϕ得1422=+y x . 又⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ，代入1422=+y x 得1C 的极坐标方程为θθθρ2222sin 314sin 4cos 4+=+=， ………………………………5分由曲线2C 是圆心的极坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛2,7π且经过极点的圆，可得其极坐标方程为θρsin 72=，从而得2C 的普通方程为07222=-+y y x .（2）将6πθ=（0≥ρ）代入θρsin 72=得76sin 72==πρB . 又将6πθ=（0≥ρ）代入θρ22sin 314+=得7746sin 3142=+=πρA 故7737747=-=-=A B AB ρρ. ………………………………10分23. 【解析】（Ⅰ）当1=m 时，()121-+-=x x x f ， 由2)(≤x f 得2121≤-+-x x ， 上述不等式可化为⎪⎩⎪⎨⎧≤-+-≤221121x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤-+-<<2121121x x x 或⎩⎨⎧≤-+-≥21211x x x ， 解得⎪⎩⎪⎨⎧≥≤021x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤<<2121x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤≥341x x ∴210≤≤x 或121<<x 或341≤≤x∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤340x x . ………………………………5分 （Ⅱ） 12)(+≤x x f 的解集包含集合⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21，∴当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,21x 时，不等式12)(+≤x x f 恒成立， 即1212+≤-+-x x m x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,21x 上恒成立， ∴1212+≤-+-x x m x ，即2≤-m x ，∴22≤-≤-m x ， ∴22+≤≤-x m x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,21x 上恒成立∴()()min max 22+≤≤-x m x ，∴251≤≤-m ，∴m 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-25,1.………10分。

姓名，年级：时间：高三年级五月份联考数学（理科)考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟. 2。

请将各题答案填在试卷后面的答题卡上。

3。

本试卷主要考试内容：高考全部内容.第Ⅰ卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1。

设集合A={x|x 2〈5}，B=｛x|1<x<4}，则A ∪B=A 。

{x|1<x<5｝B .｛x|-√5<x<4}C .｛x|1<x<√5}D 。

｛x|—5〈x<4｝2。

若复数z=5-i1-i，则z = A .3+2i B 。

-3+2iC 。

-3—2iD .3—2i3.设双曲线C ：x 2a 2—y 2b2=1(a 〉0，b>0）的实轴长与焦距分别为2，4,则双曲线C 的渐近线方程为A .y=±√33x B .y=±13x C .y=±√3x D .y=±3x4。

函数f (x )={6x -2,x >0,x +log 612,x ≤0的零点之和为A .-1B 。

1C .—2D .25.函数f （x )=cos （3x+π2）的单调递增区间为 A .［π6+2kπ3,π2+2kπ3］(k ∈Z)B 。

[π6+kπ3,π2+kπ3]（k ∈Z)C .[—π6+kπ3,π6+kπ3］（k ∈Z)D 。

[—π6+2kπ3,π6+2kπ3］(k ∈Z）6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A .24π-6B 。

8π-6C 。

24π+6D 。

8π+67.已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为60°,向量m=te 1+2e 2(t 〈0）,则A .|m|t 的最大值为-√32B .|m|t 的最小值为—2 C .|m|t 的最小值为-√32 D .|m|t的最大值为—28。

湖南省长郡中学2019届高三第五次模拟考试理科数学试卷本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合A、B、C满足，，，若，则集合C为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先根据题的条件，确定出，之后利用分式不等式的解法，求得集合A，之后结合指数函数的性质，求得集合C，得到结果.【详解】根据，可得，由解得，所以，结合指数函数的单调性，可知当时，解得，所以，故选D.【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有集合的性质，分式不等式的解法，指数不等式的解法，属于简单题目.2.在复平面内，复数所对应的点位于第四象限，则n的最小值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】首先根据题意，对n逐个赋值，逐个判断复数Z所对应的点的坐标，从而判断出点所属的象限，得到结果，属于简单题目.【详解】当时，，其对应的点位于第一象限；当时，，其对应的点位于坐标原点；当时，，其对应的点位于第四象限，满足条件；所以的最小值为3，故选C.【点睛】该题考查的是有关复数所对应的点所属的象限问题，在解题的过程中，需要明确复数的运算，以及对应点的坐标定义，属于简单题目.3.在区间［－4，5］内任取一个数x，使得函数有意义的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先根据偶次根式要求被开方式大于等于零，求得函数的定义域，之后应该长度型几何概型的概率公式求得结果.【详解】解不等式，得，所以所求的概率为，故选B.【点睛】该题考查的是有关长度型几何概型的有关问题，在解题的过程中，注意应用题中的条件，求得事件对应的几何度量，之后应用公式，求得结果.4.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先利用诱导公式，将三角式子进行化简，之后应用和角正弦公式，结合特殊角的三角函数值，求得结果.【详解】根据相应公式可得.故选B.【点睛】该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有诱导公式和正弦的和角公式，属于简单题目.5.《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也．以等数约之．”翻译成现代语言如下：第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步；第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．现给出“更相减损术”的程序框图如图所示，如果输入的a＝114，b＝30，则输出的n为A. 3B. 6C. 7D. 30【答案】C【解析】【分析】首先根据题的意思,以及题中所给的程序框图,一步一步循环执行,到最后结束为止,读出对应的数据,从而求得结果.【详解】跟进题意,输入,因为114和30都是偶数,则,此时57和15不都是偶数,且两者不相等,因为,则,,42和15不相等,则,27和15不相等,则,,此时互换, ,,再就是,,,此时输出,从而得到,故选C.【点睛】该题考查的是有关程序框图数据读取的问题，在解题的过程中，需要明确其规则，注意流程线的方向，认真审题，求得结果.6.已知ABC中，，延长BD交AC于E，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用小题小做的思想，将三角形特殊化，将其放在坐标系中来研究，从而求得对应点的坐标，之后应用向量模的概念，求得对应的结果.【详解】取特殊三角形，令，则有，直线BD的方程为，化简得，令，解得，所以，，故选D.【点睛】该题考查的是有关向量模的比值的问题，在解题的过程中，用的方法是坐标法，以及特殊三角形的思想，需要注意一定要坚持小题小做的思想.7.定义两个实数间的一种新运算：．对任意实数a、b、c，给出如下结论：①；②；③，其中正确的是A. ② B. ①② C. ②③ D. ①②③【答案】D【解析】【分析】首先根据题中所给的条件，利用新定义运算法则，分别求相应的量，逐个验证是否正确，从而选出正确的结果.【详解】根据运算法则，可知，，所以，故①正确；结合相应式子的运算律，可知，故②正确；，所以，故③正确；所以正确的是①②③，故选D.【点睛】该题考查的是有关新定义运算的问题，解题的方法是现学现用，需要认真分析其定义，之后结合所掌握的基础知识，得出正确的结果，属于中档题目.8.“军事五项”是衡量军队战斗力的一种标志，从1950年开始，国际军体理事会每年组织一届军事五项世界锦标赛．“军事五项”的五个项目分别为200米标准步枪射击、500米障碍赛跑、50米实用游泳、投弹、8公里越野跑．已知甲、乙、丙共三人参加“军事五项”．规定每一项运动队的前三名得分都分别为a、b、c（a＞b＞c且a、b、c∈N*），选手最终得分为各项得分之和．已知甲最终得22分，乙和丙最终各得9分，且乙的投弹比赛获得了第一名，则50米实用游泳比赛的第三名是A. 甲B. 乙C. 丙D. 乙和丙都有可能【答案】B【解析】【分析】首先根据题中所给的条件，求得三个名次对应的分数的值，从而得到甲乙丙三人各自的得分，从而得到相应的名次，从而求得结果.【详解】根据题中所给的五人的得分，可知，所以有，又因为，且，所以的值为或，又因为乙投弹获得了第一名，且得分为分，所以不合题意，所以得到乙的成绩为投弹第一，剩下的都是第三名，因为甲得分22分，所以甲投弹第二，其余四项都是第一，所以丙投弹第三，剩下四项都是第二，从而得到50米实用游泳比赛的第三名是乙，故选B.【点睛】该题考查的是有关推理论证的问题，需要从题的条件中归纳甲乙丙的得分，以及分数满足的条件，求得名次对应的分数是解题的关键.9.已知关于x，y的不等式组，所表示的平面区域构成一个锐角三角形，则实数m的取值范围为A. B. C. D. （0，1）【答案】D【解析】【分析】首先根据题中所给的约束条件，画出可行域对应的边界线，直线，，之后判断出直线过定点，之后对应的两个边界就是直角三角形时，直线的位置，从而求得相应的斜率，之后得到对应的范围，求得结果.【详解】根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，如图所示：要使可行域为锐角三角形，可知直线与是直线的两个边界位置，又因为，所以m的取值范围是，故选D.【点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，在解题的过程中，需要注意题中的条件，锐角三角形，再者就是能通过直线的方程判断出动直线所过的定点，之后应用两个边界位置得出直线的斜率的边界值，得到范围.10.已知椭圆，与双曲线具有相同焦点F1、F2，且在第一象限交于点P，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，若∠F1PF2＝，则的最小值是A. B. 2＋ C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根据椭圆与双曲线的定义，得出与所满足的关系，列出式子，求得边长，之后借助于余弦定理，求得，之后应用椭圆的离心率与双曲线的离心率的式子，化简应用基本不等式求得最小值.【详解】根据题意，可知，解得，根据余弦定理，可知，整理得，所以，故选A.【点睛】该题考查的是有关椭圆和双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有椭圆和双曲线的定义，余弦定理，椭圆和双曲线的离心率，基本不等式求最小值的问题，正确理解知识点是正确解题的关键.11.已知数列的前n项和为S n，且S n＝n2＋4n，若首项为的数列满足，则数列的前10项和为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根据数列中与的关系，求得，利用条件，用累加法求得，用裂项相消法求和，之后将代入求得结果.【详解】由，可得，根据，结合题的条件，应用累加法可求得，所以，所以数列的前项和为，所以，故选A.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有项与和的关系求通项，累加法求通项，裂项相消法求和，属于综合性比较强的问题.12.已知点P（－1，0），设不垂直于x轴的直线l与抛物线y2＝2x交于不同的两点A、B，若x轴是∠APB的角平分线，则直线l一定过点A. （，0）B. （1，0）C. （2，0）D. （-2，0）【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的对称性，分析得出直线过的顶点应该在x轴上，再设出直线的方程，与抛物线方程联立，设出两交点的坐标，根据角分线的特征，得到所以AP、BP的斜率互为相反数，利用斜率坐标公式，结合韦达定理得到参数所满足的条件，最后求得结果.【详解】根据题意，直线的斜率不等于零，并且直线过的定点应该在x轴上，设直线的方程为，与抛物线方程联立，消元得，设，因为x轴是∠APB的角平分线，所以AP、BP的斜率互为相反数，所以，结合根与系数之间的关系，整理得出，即，，解得，所以过定点，故选B.【点睛】该题考查的是有关直线过定点问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的位置关系，韦达定理，角平分线的性质，两点斜率坐标公式，思路清晰是正确解题的关键.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.（e为自然对数的底数）＝____．【答案】【解析】【分析】首先应用定积分的性质，将函数分开，之后结合偶函数的性质，再改变积分区间，以及将变量转换，应用公式求得结果.【详解】根据定积分的性质，可得，故答案是.【点睛】该题考查的是有关定积分的运算问题，涉及到的知识点有定积分的运算法则以及相应的运算性质以及对应的公式，属于较难题目.14.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为____．【答案】【解析】【分析】首先根据题中所给的三视图，还原几何体，可以断定其为不完整的圆锥，总之其仍是一个锥体，之后应用相应的公式求得对应几何体的体积，得到结果.【详解】根据题中所给的三视图，可知该几何体是一个被消去一部分的不完整的圆锥，从图中可以发现，对应的圆锥的高是2，底面圆的半径是，故剩余部分的底面的面积为，所以该几何体的体积为，故答案是.【点睛】该题考查的是有关三视图的问题，涉及到的知识点是利用三视图求几何体的体积问题，需要我们从中观察，得出几何体的特征，之后应用相应的公式求解即可.15.已知点列P1（1，y1），P2（2，y2），P3（3，y3），…，P n＋1（n＋1，y n＋1）在x轴的投影为Q1，Q2，…，Q n＋1，且点P n＋1满足y1＝1，直线P n P n＋1的斜率k＝2n．则多边形P1Q1Q n＋1P n＋1的面积为____．【答案】3×2n-n-3【解析】【分析】首先根据题中的条件，列出相邻两点的纵坐标之间的关系，从而应用累加法求得，之后将多边形看做n个直角梯形来算，之后应用公式求得结果.【详解】根据题意可得，结合，应用累加法，可以求得，根据题意可以将该多边形分成n个直角梯形来算，且从左往右，第n个梯形的面积为，总的面积应用分组求和法，可求得多边形的面积为，故答案是.【点睛】该题考查的是有关多边形的面积问题，在解题的过程中，需要判断各个点对应的坐标，之后应用直角梯形的面积公式求解，注意对等比数列求和公式的熟练应用，涉及到的求和方法是分组求和.16.已知A、B、C为ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c，若，．若，ABC的周长为a＋4，ABC的面积为，则a的值是____．【答案】2【解析】【分析】首先应用两个向量的数量积，求得角A的大小，根据三角形的面积公式求得，结合三角形的周长，求得，之后应用余弦定理，求得边长a的值.【详解】根据题意，有，整理得，从而求得，所以，根据题意有，，即，根据余弦定理，可得，故答案是.【点睛】该题考查的是有关三角形的边长的问题，涉及到的知识点有向量数量积坐标运算式，三角形的面积公式，余弦定理，属于中档题目.三、解答题（共70分。

2019年湖南省长沙市长郡中学高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设a∈R，i为虚数单位．若复数z=a-2+（a+1）i是纯虚数，则复数应的点的坐标为（）2.已知集合，若B⊆A，则实数m的取值范围为（）A. （4，+∞）B. [4，+∞）C. （2，+∞）D. [2，+∞）3.美国总统伽菲尔德利用图给出了种直观、简捷、易懂、明了的证明勾股定理的方法，该图利用三个直角三角形拼成了个直角梯形，后人把此证法称为“总统证法”．现已知a=3，b=4，若从该直角梯形中随机取一点，则该点也在△CDE的内切圆内部的概率为（）4.已知为锐角，则sin（α+β）的值为（）B.5.执行如图所示的程序框图，若输入x=0，y=0，n=1，则输出的x，y的值满足（）D. xy=26.已知命题p：数列{a n}a，b，c为实数，n∈N*），且a2017+k，a2018+k，a2019+k（k＞0）恒为等差数列；命题q：数列{b n}的通项公式为bn=aq n-1（q＞1，n∈N*）时，数列{b n}为递增数列．若p∨q为真，则实数a的取值范围为（）A. （-∞，0）B. [0，+∞）C. （0，+∞）D. （-∞，0]7.）8.函数某相邻两支图象与坐标轴分别交于点，则方程）A. C.9.已知某长方体的三视图如图所示，在该长方体的一组相对侧面M，N上取三点A，B，P，其中P为侧面M的对角线上一点（与对角线端点小重合），A，B为侧面N的一条对角线的两个端点．若以线段AB为直径的圆过点P，则m的最小值为（）C. 4D. 210.F1，F2与双曲线C交于纵坐标为1的点M，直线F1M与抛物线的准线交于N，若）A.11.某观察者站在点O观察练车场上匀速行驶的小车P的运动情况，小车从点A出发的运动轨迹如图所示．设观察者从点A开始随动点P变化的视角为θ=∠AOP，练车时间为t，则函数θ=f（t）的图象大致为（）12.α，β为函数f（x）=x2+px+q的两个零点，若存在整数n满足n＜α＜β＜n+1，则min{f（n），f（n+1）}的值（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，点F是CD．14.太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫、白外五观的标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗、新加坡空军机徽……，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可示，设（x，y）是阴影中任意一点，则z=2x+y的最大值为______．15.已知⊙C1与⊙C2相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则r1r2为______．16.在各项均为正数的等比数列{a n}中，a3-a1=8，当a4取最小值时，则数列n项和为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2a=3c．（Ⅰ）若tan B=2tan C，求B；（Ⅱ）若△ABC△ABC的周长．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥AD，底面四边形ABCD为直角梯形，AD=λBC，AD∥BC，∠BCD=90°，M为线段PB上一点．（ⅠPB上是否存在点M，使得AM∥平面PCD？若存在，请确定M点的位置；若不存在，请说明理由；（Ⅱ）己知PA=2，AD=1，若异面直线PA与CD成90°角，二而角B-PC-D的余弦CD的长．19.随着经济的发展，个人收入的提高．自2018年10月1日起，个人所得税起征点和税率的调整．调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额．依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如表：（）假如小李某月的工资、薪金等所得税前收入总和不高于元，记表示总收入，y表示应纳的税，试写出调整前后y关于x的函数表达式；（2）某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：①先从收入在，）及，）的人群中按分层抽样抽取人，再从中选4人作为新纳税法知识宣讲员，用a表示抽到作为宣讲员的收人在[3000，5000）元的人数，b表示抽到作为宣讲员的收入在[5000，7000）元的人数，随机变量Z=|a-b|，求Z的分布列与数学期望；②小李该月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请你帮小李算一下调整后小李的实际收人比调整前增加了多少？20.F1（-1，0），F2（1，0）且椭圆上存在一点M，满足（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知A，B分别是椭圆C的左、右顶点，过F2的直线交椭圆C于P，Q两点，记直线AP，BQ的交点为T，是否存在一条定直线l，使点T恒在直线l上？21.（Ⅰ）求函数f（x）的极值点个数；（Ⅱ）若22.曲线C1x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C2：ρ=2a cosθ（a＞0）关于C1对称．（Ⅰ）求C1极坐标方程，C2直角坐标方程；（Ⅱ）将C2向左平移4C3；C3与两坐标轴交于A、B两点，P为C3上任一点，求△ABP的面积的最大值．已知f（x）=|x|+|2x-1|．（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）＞4；（Ⅱ）对任意正数a、b x的取值集合M．2019年湖南省长沙市长郡中学高考数学一模试卷（理科）答案和解析【答案】1. D2. B3. C4. D5. B6. B7. A8. A9. B10. C11. D12. B13.14. 1+16. S n=（8n-4）•3n+417. （本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵2a=3c，由正弦定理可得：2sin A=3sin C，可得：sin A C，…1分由tan B=2tan C，可得：sin B cos C=2sin C cos B，两边同时加sin C cos B，可得：sin（B+C）=3sin C cos B，可得：sin（B+C）=sin A C=3sin C cos B，…3分由C∈（0，π），可得：sin C≠0，可求cos B4分由B∈（0，π），可得：B5分（Ⅱ）由tan A，可得：cos A sin A可得S△ABC，解得：bc，…9分又由2a=3c，a2=b2+c2-2bc cos A，2=b2+c2-4，联立bc=42c2-4，…10分化简整理可得：5c4+16c2-488=0，解得：c b a11分可得△ABC的周长为a+b+c12分18. 解：（Ⅰ）则在线段PB上是存在点M，且PM使得AM∥平面PCD．理由如下：如图取CN AN，MN．可得AD∥CN，AD=CN，∴四边形ADCN为平行四边形，∴AN∥CD，∵M，N分别为PB，CN的三等分点，∴MN∥PC．∴面AMN∥面PCD，∴AM∥平面PCD．（Ⅱ）如图，过A作AN∥DC交BC与N，设CD=a．则A（0，0，0），N（a，0，0），P（0，0，2），D（0，1，0）．C（a，1，0）设面PDC，设面PNC|cos|=a=2．∴CD的长为2．19. 解：（1）调整前y关于x的解析式为y调整后y关于x的解析式为y；（2）①由频率分布表可知，从收入在[3000，5000）及[5000，7000）的人群中抽取7人，其中在[3000，5000）元的人数为3人，在[5000，7000）元的人数为4人，再从这7人中选4人，所以Z的取值可能为0，2，4；则P（Z=0）=P（a=2，b=2）P（Z=2）=P（a=1，b=3）+P（a=3，b=1）P（Z=4）=P（a=0，b=4）所以Z的分布列为，数学期望为E（Z）=0×+2×+4×②由于小李的工资、薪金等税前收入为7500元，按调整前起征点应纳个税为1500×3%+2500×10%=295（元）；按调整后起征点应纳个税为2500×3%=75（元），比较两个纳税方案可知，按照调整后起征点应纳个税少交295-75=220（元），即个人的实际收入增加了220元，所以小李的实际收人比调整前增加了220元．20. 解：（Ⅰ）设|F1M|=x，则△MF1F2故2a=|MF1|+|MF2|=4，∴a=2，得b2=a2-c2=3，因此，椭圆C（Ⅱ）如下图所示，已知A（-2，0）、B（2，0），设T（x，y）、P（x1，y1）、Q（x2，y2），由k TA=k PA由k TB=k QB，可得，②设直线PQ的方程为x=my+1，代入椭圆C的方程并整理得（3m2+4）y2+6my-9=0，△＞0恒成立，=得x=4，故点T在定直线x=4上．21. 解：（Ⅰ）∵f（x）是奇函数，其图象关于原点对称，故只需考虑x∈（0，+∞）上的极值点的个数，f′（x）令h（x）=（x2-1）h′（x）故x∈（0h′（x）＜0，h（x）递减，x∈+∞）时，h′（x）＞0，h（x）递增，故h（h（0）=0，取x，h＞0，+∞）上存在唯一的x0使得h（x0）=0，故f（x）在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，又f（x）是奇函数，故f（x）在（-∞，-x0）递增，在（-x0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，故f（x）的极值点共2个；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）在区间（0f（x）＜0恒成立，故x∈（02-x+ln（x）＜0，2+ln（x x，又令x（0得a n+∴a1+a2+…+a n…22. 解：（Ⅰ）C1t得，x-y=4，x-y=4，ρcosθ-ρsinθ=4，即ρsinθ-ρcosθ+4=0所以C1∵曲线C2：ρ=2a cosθ（a＞0）所以ρ2=2aρcosθ，即x2+y2=2ax，即（x-a）2+y2=a2（a＞0）∴圆心坐标是（a，0），半径是a，又曲线C2：ρ=2a cosθ（a＞0）关于C1对称所以圆心在曲线C1上，所以a=4，故C2：（x-4）2+y2=162（Ⅱ）将C2向左平移4个单位长度，得到新曲线的方程是x2+y2=a2，换得到C3C3又C3与两坐标轴交于A、B两点，不妨令A（4，（0，2），P为C3可得l AB则P AB d=d∴△ABP的面积的最大值为23. 解：（Ⅰ）f（x）＞4即为|x|+|2x-1|＞4，当x x+2x-1＞4，解得x当0＜x x+1-2x＞4，解得x∈∅；当x≤0时，-x+1-2x＞4，解得x＜-1，综上可得，f（x）＞4的解集为{x|x＜-1或x；（Ⅱ）对任意正数a、b可得f（x的最小值，+ab，当a=b=2时取得等号，即有f（x）＜3，即为|x|+|2x-1|＜3，当x x+2x-1＜3x当0＜x x+1-2x＜3，解得0＜x当x≤0时，-x+1-2x＜3，解得x≤0．综上可得，M={x x．【解析】1. 解：∵复数z=a-2+（a+1）i是纯虚数，a=2．=∴复数在复面上对应的点的坐标为（故选：D．由已知求得a本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2. 解：解一元二次不等式x2-3x-4＞0得：x＜-1或x＞4，即A=（-∞，-1）∪（4，+∞），解一元二次不等式x2-3mx+2m2＜0（m＞0）得m＜x＜2m，即B=（m，2m），又B⊆A，解得m≥4，故选：B．由二次不等式的解法得：A=（-∞，-1）∪（4，+∞），B=（m，2m），本题考查了集合的包含关系及二次不等式的解法，属简单题3. 解：由图可知：S梯形直角三角形CDE的内切圆半径为S圆=π（）2设“该点也在△CDE的内切圆内部”为事件A，由几何概型中的面积型可得：P（A）故选：C．由梯形的面积分式得：S梯形由直角三角形内切圆的面积得：S圆=π（2由几何概型中的面积型求概率可得：P（A）=本题考查了梯形的面积分式，直角三角形内切圆的面积及几何概型中的面积型，属中档题．4. 解：∵β是锐角，∴又，∴β2β＜π∵α是锐角，∴0＜αα+2β∵sin（α+2β）=＜α+2β＜π，∴cos（α+2β）＜0，且cos（α+2β）则sin（α+β）=sin（α+2β-β）=sin（α+2β）cosβ-cos（α+2β）sinβ×（×故选：D．根据同角的三角函数关系结合两角和差的正弦公式进行求解即可．本题主要考查三角函数值的化简和求值，利用同角的三角函数关系以及两角和差的正弦公式，结合拆角技巧是解决本题的关键．5. 解：由题意，模拟程序的运行，可得x=0，y=0，n=1执行循环体，x y不满足条件x+y≥，执行循环体，n=2，x y不满足条件x+y n=3，x，y=不满足条件x+y n=4，x，y不满足条件x+y n=5，x，y…不满足条件x+y n=8，x，y此时，满足条件x+y x的值为2，y可得此时x，y的值满足xy故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6. 解：若a2017+k，a2018+k，a2019+k（k＞0）恒为等差数列，2a2018+k=a2018+k+a2019+k（k＞0），即2[a（2018+k）2+b（2018+k）+c]=a（2017+k）2+b（2017+k）+c+a（2019+k）2+b（2019+k）+c，整理得-2a=0，即a=0．即p：a=0，若数列{b n}的通项公式为bn=aq n-1（q＞1，n∈N*）时，则a＞0，即q：a＞0，若p∨q为真，则p，q至少有一个为真命题，即{0}∪（0，+∞）=[0，+∞），故选：B．分别求出命题p，q为真命题的等价条件，结合p∨q为真，则p，q至少有一个为真命题进行求解即可．本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键．7. -x+2）dx，（-x+2）dx=（2+2x=（4+4）-×）表示以（3，0）为圆心，以1为半径的圆的面积的二分之一，故故-x+2）dx故选：A．根据定积分的计算法则和用定积分的几何意义计算定积分，本小题主要考查定积分、定积分的几何意义、圆的面积等基础知识，考查考查数形结合思想．属于基础题．8. 解：∵∴函数的周期Tω=2，此时f（x）=tan（2x+φ），又f=tan（2×）=tan）=0，+φ=kπ，即φ=kπ∵0＜|φ|∴当k=0时，φ=则f（x）=tan（2x∵f（x）与y=cos（2x∴f（x）与y=cos（2x）的交点关于同一个对称中心对称，由2x kπ，k∈Z，得x+k∈Z，∵x∈[0，π]，∴当k=0时，x即两个好的对称中心为0），由图象知两个函数只有两个交点，∴x1+x2故选：A．根据条件求出ω 和φ的值，结合同角的正切函数和余弦函数有相同的对称中心，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，求出正切函数的解析式，以及利用同角的正切函数和余弦函数有相同的对称中心是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．9. 解：根据长方体的三视图知，该长方体的底面是边长为2的正方形，且高为m，如由题意知，AB为圆O的直径，则AB的最小值为2OP=4，此时△ABC为直角三角形，m故选：B．根据长方体的三视图知该长方体的底面是正方形，高为m，画出图形结合图形求出AB的最小值为4，利用直角三角形求出m的最小值．本题考查了几何体的三视图与长方体的结构特征应用问题，是基础题．10. C交于纵坐标为1的点M，可得M1），抛物线的准线方程为x N的横坐标为设F1（-c，0可得c c），解得c=3，可得焦点为（-3，0），（3，0），由双曲线的定义可得2a=|MF1|-|MF2可得a b，．故选：C．求得M的坐标和抛物线的准线方程，可得N的横坐标，由向量的共线坐标表示解方程可得c，再由双曲线的定义可得a，进而得到b，可得双曲线的方程．本题考查双曲线和抛物线的方程和性质，考查准线方程和向量共线的坐标表示、双曲线的定义，考查化简运算能力，属于中档题．11. 解：根据小车从点A出发的运动轨迹可得，视角θ=∠AOP的值先是匀速增大，然后又减小，接着基本保持不变，然后又减小，最后又快速增大，故选：D．题干错误：θ=∠AOP（＞0），应该去掉括号．根据视角θ=∠AOP的值的变化趋势，可得函数图象的单调性特征，从而选出符合条件的选项．本题主要考查利用函数的单调性判断函数的图象特征，属于基础题．12. 解：由题意可知，f（n）＞0，f（n+1）＞0，由根与系数的关系可得：-p=α+β，q=αβ，当f（n）=f（n+1）时，有n2+pn+q=（n+1）2+p（n+1）+q，即-p=2n+1，所以α+β=-p=2n+1，所以n因为f（n）=n2+pn+q=n2-（2n+1）n+q=-n2-n+q=-n（n+1）+qα+β-1）（α+β+1）则min{f（n），f（n+1）}故选：B．由根与系数的关系可得：-p=α+β，q=αβ，由“取小函数”的特征得：当f（n）=f（n+1）时，有n2+pn+q=（n+1）2+p（n+1）+q，即-p=2n+1，所以α+β=-p=2n+1，所以n因为f（n）=n2+pn+q=n2-（2n+1）n+q=-n2-n+q=-n（n+1）+qα+β-1）（α+β+1）min{f（n），f（n+1）}，得解本题考查了方程根与系数的关系及对取小函数的理解，属中档题故答案为：．由平面向量的线性运算得：本题考查了平面向量的线性运算，属简单题．14. 解：由题意可知：z=2x+y与x2+（y-1）2=1相切时，切点在上方时取得最大值，如图：，解得zz=2x+y的最大值为：故答案为：平移直线z=2x+y，当直线与阴影部分在上方相切时取得最大值．本题考查线性规划的数据应用，考查转化思想以及计算能力；考查分析问题解决问题的能力．15. 解：设两圆的公切线为y=7x+t，即7x-y+t=0，已知圆心C1（2，2），C2（-1，-1），设C1，C2到公切线的距离为d1，d2，可得d1=r1d2=r2由于公切线在两圆的同侧，r1+r2C1C2即|t+3|=15，可得t=12或-18，当t=12时，r1r2当t=-18时，r1r2=综上可得r1r2．设两圆的公切线为y=7x+t，求得两圆的圆心，由直线和圆相切的条件：d=r，两圆相切的条件，可得t=12或-18，计算可得所求值．本题考查直线和圆的位置关系，主要是相切的条件：d=r，考查化简运算能力，属于中档题．16. 解：各项均为正数的等比数列{a n}中，首项为a1，公比设为q（q＞0），由a3-a1=8q＞0且q≠1），，可得f′（q）=0＜q f′（q）＞0，f（q）递增；当q f′（q）＜0，f（q）递减，可得q f（q）取得极大值，且为最大值，则na n2=n•（-4n-1）2=16n•3n-1，n项和为S n=16（1•30+2•31+…+n•3n-1），3S n=16（1•3+2•32+…+n•3n），两式相减可得-2S n=16（1+3+…+3n-1-n•3n）=16n•3n），化简可得S n=（8n-4）•3n+4．故答案为：S n=（8n-4）•3n+4．设等比数列的公比为q（q＞0且q≠1），运用等比数列的通项公式和导数，判断单调性和极值、最值，可得公比q，再由数列的错位相减法求和，即可得到所求和．本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，化简整理的运算能力，属于中档题．17. （Ⅰ）由正弦定理可得sin A C，利用三角函数恒等变换的应用可求C=3sin C cos B，由sin C≠0，可求cos B B∈（0，π），可得B．（Ⅱ）由同角三角函数基本关系式可求cos A，sin A的值，根据三角形面积公式可求bc c的值，求得a，b即可得解三角形的周长．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18. （ⅠPB上是存在点M，且PM AM∥平面PCD．（Ⅱ）如图，过A作AN∥DC交BC与N，以A为原点，AN所在直线为x轴建立空间直角坐标系，设CD=a．求得面PDC PNCa=2．本题主要考查空间二面角求解和线面平行判定，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决本题的关键．19. （1）用分段函数分别写出调整前和调整后y关于x的关系式即可；（2）①根据分层抽样原理求出的7人知以及随机变了Z的取值可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值；②计算小李按调整前起征点和调整后起征点应纳个税数，比较即可得出结论．本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望问题，也考查了分段函数的应用问题，是中档题．20. （Ⅰ）先利用余弦定理求出|MF1|，利用定义求出a的值，再由c的值，从而可得出b的值，进而求出椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设点T（x，y）、P（x1，y1）、Q（x2，y2），分别由P、A、T三点共线和点Q、B、T三点共线并结合斜率相等得出两个等式，并将两个等式相除，设直线PQ的方程为x=my+1，将该直线方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，代入等式通过化简计算得出x=4，从而得出点T恒在直线x=4上．本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的定义、点差法以及韦达定理法在椭圆综合中的应用，考查计算能力，属于中等题．21. （Ⅰ）求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的极值点的个数即可；（Ⅱ2+ln（x x，令x（0n=1，2，…，累加即可．本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是一道综合题．22. （Ⅰ）C1的参数方程消去参数即可得到普通方程，再由公式转化为极坐标方程即可得到答案，同理由公式得到C2直角坐标方程；（Ⅱ）由题意，根据所给的变换方式得到C3的方程，将其化为标准方程，根据题意得出A、B的坐标，计算出直线AB的方程，然后设出点P的坐标，表示出点P到直线AB 的距离，即可求出△ABP的面积的最大值．本题考查了参数方程，普通方程、极坐标方程的互化，以及利用参数方程解决圆锥曲线中的综合问题，难度较大，本题极好的体现了参数方程在求圆锥曲线的最值问题的妙用，将最值问题转化为三角函数的最值，极大的降低了此类综合题的解答难度．23. （Ⅰ）运用绝对值的意义，对x讨论，解不等式求并集，即可得到所求解集；（Ⅱ）由题意可得f（x的最小值，运用基本不等式可得最小值，解绝对值不等式可得集合M．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，注意运用分类讨论思想方法和基本不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．23.。

13．（5 分）在平行四边形 ABCD 中，点 E 是 AD 的中点，点 F 是 CD 的中点，记 ＝ ，
＝ ，用 ， 表示 ，则 ＝
．
14．（5 分）太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫、白外五 观的标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗、新加坡空军机徽……，太 极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称 为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用小等式 组
D．xy＝2
第 1 页（共 28 页）
6．（5 分）已知命题 p：数列{an}的通项公式为
（a，b，c 为实数，n∈N*），
且 a2017+k，a2018+k，a2019+k（k＞0）恒为等差数列；命题 q：数列{bn}的通项公式为 bn＝ aqn﹣1（q＞1，n∈N*）时，数列{bn}为递增数列．若 p∨q 为真，则实数 a 的取值范围为 （）
A．
B．
10．（5 分）已知双曲线
C．4
D．2
的左、右焦点分别为 F1，F2，抛物
线
与双曲线 C 交于纵坐标为 1 的点 M，直线 F1M 与抛物线的准线交于 N，若
，则双曲线的方程为（ ）
A．
B．
第 2 页（共 28 页）
C．
D．
11．（5 分）某观察者站在点 O 观察练车场上匀速行驶的小车 P 的运动情况，小车从点 A 出 发的运动轨迹如图所示．设观察者从点 A 开始随动点 P 变化的视角为 θ＝∠AOP，练车 时间为 t，则函数 θ＝f（t）的图象大致为（ ）
个人所得税税
率表（调整后）
级数
免征额 3500 元 全月应纳税所得额

湖南省长郡中学2019届高三第五次模拟考试数学（理科）本试题卷共6页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|y=}，B={0，1，2，3，4}，则A∩B=A．φ B．{0，1，2) C.{ 0,1,2,3) D.(-∞,3]∪{4}2．已知函数f(x)= ，那么f(8)的值为A．3 B．4 C．15 D．163．当n是正整数时，用数学归纳法证明1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2时，从n=k到n=k+1，等号左边需要增加的代数式为A. k(3k+4) B．（k+1)(3k+l) C.(k+1)3k D．（k+1)(3k+4)4．直角△ABC(∠A=90°)的外接圆圆心O，半径为1，且，则向量在向量方向的投影为A． B．- C． D．-5．已知f(x)是定义在实数集R上的偶函数，且在(0，+∞)上递增，则A.f(20.7)<f (-log25)<f（一3)B.f (-3)<f(20.7)<f(-log25)C．f(一3)<f(-log25)<f(20.7) D.f(20.7)<f(-3)<f(-log25)6．某地区空气质量监测表明，一天的空气质量为优的概率是0. 75，连续两天为优的概率是0.6，已知某天的空气质量为优，则随后一天空气质量为优的概率是A.0.8B.0.75C.0.6D.0.457．要得到函数f(x) =2sinxcosx，x∈R，只需将函数g(x)=2cos2x-l，x∈R的图象A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位8．等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}前6 项的和为 A．8 B．-3 C．3 D．-249．△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若则tan(A-B)的最大值为A． B． C．1 D．10.函数在x∈(1，2)内存在极值点，则A． B．C． D．11.下表中的数表为“森德拉姆筛”（森德拉姆，东印度学者），其特点是每行每列都成等差数列．在表中，“361”出现的次数为A. 12B. 6C. 24D. 4812.若函数f(x)满足f(x)=x(f'(x)一ln(x)，且，则+1的解集为A．（一1，+∞） B． C．(0，) D．（一∞，一1）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量a=（3，-1），b=（1，m），a∥（a-2b），则m=____．14．我国成功申办2022年第24届冬季奥林匹克运动会，届时冬奥会的高山速降运动将给我们以速度与激情的完美展现，某选手的速度ξ服从正态分布（100，σ2）(σ>0)，若ξ在(80，120)内的概率为0.7，则他速度超过120的概率为．15．设a= ，则的展开式中常数项是．16．已知A,B是函数f(x)= （其中常数a>0）图象上的两个动点，点P(a，0)，若的最小值为0，则函数f(x)的最大值为．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csinB=bcosC，a2-c2=2b2．(1)求C的大小；(2)若△ABC的面积为21，求b的值．18.（本小题满分12分）已知数列{a n}满足：a n≥1，S n是其前n项的和，且2S n=a n2+n．数列{b n}满足b l= -a2，b n+1=b n+a n·．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{b n}的通项公式．19.（本小题满分12分）为增强学生体质，长郡中学组织体育社团，某班级有4人积极报名参加篮球和足球社团，每人只能从两个社团中选择其中一个社团，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己参加哪个社团，掷出点数为5或6的人参加篮球社团，掷出点数小于5的人参加足球社团．(1)求这4人中恰有1人参加篮球社团的概率；(2)用ξ，η分别表示这4人中参加篮球社团和足球社团的人数，记随机变量X为ξ和η之差的绝对值，求随机变量X的分布列与数学期望E(X)．20.（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：万元）对年销售量y（单位：吨）和年利润z(单位：万元)的影响．对近六年的年宣传费x i和年销售量y i（i=1，2，3，4，5，6）的数据作了初步统计，得到如下数据：经电脑模拟，发现年宣传费x（万元）与年销售量y（吨）之间近似满足关系式y=a·x b（a，b>0）．对上述数据作了初步处理，得到相关的值如下表：(1)根据所给数据，求y关于x的回归方程；(2)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为若想在2019年达到年利润最大，请预测2019年的宣传费用是多少万元？附：对于一组数据（u l，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线v=β·u+a中的斜率和截距的最小二乘估计分别为21.（本小题满分12分）已知函数f(x)=(x+b)（e x-a），(b>0)，在（-1，f(-l)）处的切线方程为(e-l)x+ey+e-l=0．(1)求a，b；(2)若方程f'(x)=m有两个实数根x1，x2，且x1<x2，证明：x2-x1≤1（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为，直线l过点P（0，一）且倾斜角为(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．23.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲已知函数f(x)=|x-a|+2+a，g(x)=|x-l|+|2x+4|.(1)解不等式|g(x)|<6；(2)若存在x1、x2∈R，使得f(x1)=g(x2)成立，求实数a的取值范围．。

湖南省长沙市长郡中学2019届高三月考（二）数学(理)试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，1，2，3，，则A. ∅B. {0，1，2}C. {0，1，2，3}D. （-∞，3]∪{4}【答案】C【解析】解：因为y=，要使函数有意义，则需：3-x≥0，即x≤3，即A=（-∞，3]，又B=，所以A∩B=，故选：C．由集合A的代表元可得，集合A为函数的定义域，由3-x≥0，解得x≤3，即A=（-∞，3]，再求交集即可．本题考查了求函数的定义域及集合交集的运算，属简单题．2.已知函数，那么的值为A. 3B. 4C. 15D. 16【答案】A【解析】解：函数，．故选：A．由，得，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.当n是正整数时，用数学归纳法证明时，从到，等号左边需要增加的代数式为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：当时，，时，，即有，可得从到，等号左边需要增加的代数式为，故选：D．求得，时的等式，作差即可得到所求代数式．本题考查数学归纳法的步骤，考查化简运算能力和推理能力，属于基础题．4.直角的外接圆圆心O，半径为1，且，则向量在向量方向的投影为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：依题意得，，如图：向量在向量方向的投影为，故选：B．依题意得，，再根据向量在向量上的投影的概念可得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．5.已知是定义在实数集R上的偶函数，且在上递增，则A. B.C. D.【答案】A【解析】解：，在上递增，，是定义在实数集R上的偶函数，，故选：A．利用，在上递增，可得，结合是定义在实数集R上的偶函数，即可得出结论．本题考查函数的单调性与奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．6.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是，连续两天为优良的概率是，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得，解得，故选：A．设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得，由此解得p的值．2本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题．7.要得到函数，的图象，只需将函数，的图象A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位【答案】D【解析】解：将函数，的图象向右平移个单位，可得函数，的图象，故选：D．利用诱导公式、二倍角公式，以及的图象变换规律，得出结论．本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，以及的图象变换规律，属于基础题．8.等差数列的首项为1，公差不为若，，成等比数列，则前6项的和为A. B. C. 3 D. 8【答案】A【解析】解：等差数列的首项为1，公差不为，，成等比数列，，，且，，解得，前6项的和为．故选：A．利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程，求出公差，由此能求出前6项的和．本题考查等差数列前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．9.设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的最大值为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：，结合正弦定理，得，，得，，整理可得：，同除以，得，由此可得，、B是三角形内角，且与同号，、B都是锐角，即，，，，当且仅当，即时，的最大值为．故选：B．利用正弦定理，将已知等式化简整理得，两边同除以，得到利用两角差的正切公式，得，最后利用基本不等式求最值，可得当且仅当时，的最大值为．本题已知三角形边角的一个关系式，求的最大值，着重考查了正弦定理、两角差的正切公式和基本不等式求最值等知识，属于中档题．10.函数在内存在极值点，则A. B. 或 C. D. 或【答案】C【解析】解：由题意得：在内存在变号零点，分离参数，在内连续且单调递减，值域是，故和有变号交点的范围是，故选：C．求出函数的导数，问题转化为，求出函数在的值域，从而求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．11.如表中的数表为“森德拉姆筛”森德拉姆，东印度学者，其特点是每行每列都成等差数列在表中，“361”出现的次数为4A. 12B. 6C. 24D. 48【答案】C【解析】解：根据题意，解：第i行第j列的数记为那么每一组i与j的组合就是表中一个数．因为第一行数组成的数列2，是以2为首项，公差为1的等差数列，所以，所以第j列数组成的数列2，是以为首项，公差为j的等差数列，所以．令，则，则361出现的次数为次所以，表中361共出现24次．故选：C．第1行数组成的数列2，是以2为首项，公差为1的等差数列，第j列数组成的数列2，是以为首项，公差为j的等差数列，求出通项公式，就求出结果．本题考查归纳推理的应用，涉及行列模型的等差数列应用，解题时利用首项和公差写出等差数列的通项公式，运用通项公式求值，12.若函数满足，且，则的解集是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由，整理得，即，两边积分，整理得：，，代入求得，，，令，，，单调递增，由，，，由，整理得：，由函数单调性递增，即，由，单调递增，则，不等式的解集，故选：A．将函数整理得，两边积分，求得函数的解析式，求导，求得函数的单调性及，则不等式转化成，利用函数的单调性即可求得不等式的解集．本题考查求函数的解析式，不等式的解法，考查求函数的不定积分的应用，考查转换思想，属于难题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，，，则______．【答案】【解析】解：；；；解得．故答案为：．可解出，根据即可得出，解出m即可．考查向量坐标的减法和数乘运算，以及平行向量的坐标关系．14.我国成功申办2022年第24届冬季奥林匹克运动会，届时冬奥会的高山速降运动将给我们以速度与激情的完美展现，某选手的速度服从正态分布，若在内的概率为，则他速度超过120的概率为______．【答案】【解析】解：由题意可得，，且，则或．或．则他速度超过120的概率为．6故答案为：．根据正态分布的定义，可以求出或的概率，除以2得答案．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．15.若，则二项式的展开式中常数项是______．【答案】【解析】解：，二项式的展开式的通项公式为，令，得，此时展开式中常数项是故答案为：．根据定积分的计算法则求出a的值，再根据二项式定理求出即可．本题考查了定积分的计算好二项式定理，属于基础题．16.已知A，B是函数其中常数图象上的两个动点，点，若的最小值为0，则函数的最大值为______．【答案】【解析】解：A，B是函数其中图象上的两个动点，当时，，函数的图象关于直线对称．当点A，B分别位于分段函数的两支上，且直线PA，PB分别与函数图象相切时，的最小值为0，设PA与相切于点，，，解得，的最小值为0，，，，，，．故答案为：先推出的图象关于直线对称，然后得出直线PA，PB分别与函数图象相切时，的最小值为0，再通过导数的几何意义得切线的斜率，解出，结合图象可得时，的最大值为．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属难题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足，Ⅰ求C的大小；Ⅱ若的面积为，求b的值．【答案】本小题满分12分解：Ⅰ由已知及正弦定理可得，，，，分Ⅱ由Ⅰ可得，，，又，，由题意可知，，，可得：分【解析】Ⅰ由已知及正弦定理可得，，进而利用同角三角函数基本关系式可求，即可得解C的值．Ⅱ由Ⅰ利用余弦定理可求，又，可得，利用三角形面积公式即可解得b的值．本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．18.已知数列满足：，是其前n项的和，且数列满足，．求数列的通项公式；求数列的通项公式．【答案】解：根据题意，数列满足，当时，有，可得：，变形可得：，又由，则，即，则数列是首项为，公差为1的等差数列，则；由可得：，，变形可得：，当时，则设，则，8两式相减可得：，则，则，，当时，也符合；则．【解析】根据题意，由可得，两式相减可得，变形可得：，进而可得，即，据此可得数列是首项为，公差为1的等差数列，由等差数列的通项公式计算可得答案；根据题意，分析可得，当时，由累加法可得，设，由错位相减法分析可得，即可得，，验证时，即可得答案．本题考查数列的递推公式，涉及累加法的应用，属于综合题．19.为增强学生体质，长郡中学组织体育社团，某班级有4人积极报名参加篮球和足球社团，每人只能从两个社团中选择其中一个社团，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己参加哪个社团，掷出点数为5或6的人参加篮球社团，掷出点数小于5的人参加足球社团．求这4人中恰有1人参加篮球社团的概率；用，分别表示这4人中参加篮球社团和足球社团的人数，记随机变量X为和之差的绝对值，求随机变量X的分布列与数学期望．【答案】解：依题意，这4个人中，每个人参加篮球社团的概率为，参加足球社团的概率为，设“这4个人中恰有i个人参加篮球社团”为事件，1，2，3，，则，1，2，3，，这4人中恰有1人参加篮球社团的概率．由已知得X的所有可能取值为0，2，4，，，，的分布列为：．【解析】依题意，这4个人中，每个人参加篮球社团的概率为，参加足球社团的概率为，设“这4个人中恰有i个人参加篮球社团”为事件，1，2，3，，则，1，2，3，，由此能求出这4人中恰有1人参加篮球社团的概率．由已知得X的所有可能取值为0，2，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和．本题考查概率的求法，考查离散型随机事件的分布列、数学期望的求法，考查n次独立试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费单位：万元对年销售量单位：吨和年利润单位：万元的影响对近六年的年宣传费和年销售量2，3，4，5，的数据作了初步统计，得到如下数据：经电脑模拟，发现年宣传费万元与年销售量吨之间近似满足关系式对上述数据作了初步处理，得到相关的值如表：根据所给数据，求关于的回归方程；已知这种产品的年利润z与x，y的关系为若想在2019年达到年利润最大，请预测2019年的宣传费用是多少万元？附：对于一组数据，，，，其回归直线中的斜率和截距的最小二乘估计分别为，【答案】解：对，，两边取对数得，令，，得，由题目中的数据，计算，，且，；则，，101 得出，所以y关于x的回归方程是；由题意知这种产品的年利润z的预测值为，所以当，即时，取得最大值，即当2019年的年宣传费用是98万元时，年利润有最大值．【解析】对两边取对数得，令，，得，求出u关于v的线性回归方程，得出y关于x的回归方程；写出年利润z的预测值函数，利用函数的性质求出x为何值时取得最大值即可．本题考查了函数模型的应用问题，也考查了线性回归方程的计算问题，是难题．21.已知函数，，在处的切线方程为．Ⅰ求a，b；Ⅱ若方程有两个实数根，，且，证明：．【答案】解：Ⅰ在处的切线方程为，可得，即，又函数，，可得导数为，所以，若，则，与矛盾，故；Ⅱ证明：由Ⅰ可知，，，设在处的切线方程为，易得，则，令，即，，当时，，当时，设，，故函数在上单调递增，又，所以当时，，当时，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故F，，设的根为，则，又函数单调递减，故，故，设在处的切线方程为，易得，令，，当时，，当时，设，，故函数在上单调递增，又，所以当时，，当时，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，，，设的根为，则，又函数单调递增，故，故，又，则．【解析】Ⅰ求得切点坐标，求出的导数，可得切线的斜率，即可得到所求a，b的值；Ⅱ求得，，设出在处的切线方程为，求得k，令，求得导数和单调性，求出的根，同理设在处的切线方程为，易得，求得的根，即可得证．本题考查函数的导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查不等式的证明，注意运用方程和函数的转化思想和构造函数法，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于难题．22.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为，直线过点且倾斜角为．求曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；设直线l与曲线C交于两点A，B，求的值．【答案】解：曲线：转换为，所以，即，得曲线C的直线坐标方程为，直线l的参数方程为为参数．将为参数代入圆的方程，得，121整理得，所以．【解析】直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．利用直线和曲线的位置关系，建立一元二次方程，进一步利用根和系数的关系求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用．23.已知函数，．解不等式；若存在、，使得成立，求实数a的取值范围．【答案】解：因为故由得：或或解得或或，故原不等式解集为：．由可知的值域为，显然的值域为．依题意得：所以实数a的取值范围为．【解析】由零点分段法去掉绝对值，分别解出不等式取交集即可；分别求出函数和的值域，则所对应的两个集合交集非空，即可求出a的取值范围．本题考查绝对值不等式的解法，以及与绝对值有关的方程有解的问题，属于中档题目．。

2019届湖南省长沙市长郡中学高三上学期第五次调研考试数学（理科）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合A、B、C满足，，，若，则集合C为A. B. C. D.【答案】D2.在复平面内，复数所对应的点位于第四象限，则n的最小值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C3.在区间［－4，5］内任取一个数x，使得函数有意义的概率为A. B. C. D.【答案】B4.A. B. C. D.【答案】B5.《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也．以等数约之．”翻译成现代语言如下：第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步；第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．现给出“更相减损术”的程序框图如图所示，如果输入的a＝114，b＝30，则输出的n为A. 3B. 6C. 7D. 30【答案】C6.已知ABC中，，延长BD交AC于E，则A. B. C. D.【答案】D7.定义两个实数间的一种新运算：．对任意实数a、b、c，给出如下结论：①；②；③，其中正确的是A. ②B. ①②C. ②③D. ①②③【答案】D8.“军事五项”是衡量军队战斗力的一种标志，从1950年开始，国际军体理事会每年组织一届军事五项世界锦标赛．“军事五项”的五个项目分别为200米标准步枪射击、500米障碍赛跑、50米实用游泳、投弹、8公里越野跑．已知甲、乙、丙共三人参加“军事五项”．规定每一项运动队的前三名得分都分别为a、b、c（a＞b＞c且a、b、c∈N*），选手最终得分为各项得分之和．已知甲最终得22分，乙和丙最终各得9分，且乙的投弹比赛获得了第一名，则50米实用游泳比赛的第三名是A. 甲B. 乙C. 丙D. 乙和丙都有可能【答案】B9.已知关于x，y的不等式组，所表示的平面区域构成一个锐角三角形，则实数m的取值范围为A. B. C. D. （0，1）【答案】D10.已知椭圆，与双曲线具有相同焦点F1、F2，且在第一象限交于点P，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，若∠F1PF2＝，则的最小值是A. B. 2＋ C. D.【答案】A11.已知数列的前n项和为S n，且S n＝n2＋4n，若首项为的数列满足，则数列的前10项和为A. B. C. D.【答案】A12.已知点P（－1，0），设不垂直于x轴的直线l与抛物线y2＝2x交于不同的两点A、B，若x轴是∠APB 的角平分线，则直线l一定过点A. （，0）B. （1，0）C. （2，0）D. （-2，0）【答案】B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.（e为自然对数的底数）＝____．【答案】14.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为____．【答案】15.已知点列P1（1，y1），P2（2，y2），P3（3，y3），…，P n＋1（n＋1，y n＋1）在x轴的投影为Q1，Q2，…，Q nP n＋1满足y1＝1，直线P n P n＋1的斜率k＝2n．则多边形P1Q1Q n＋1P n＋1的面积为____．＋1，且点【答案】3×2n-n-316.已知A、B、C为ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c，若，．若，ABC的周长为a＋4，ABC的面积为，则a的值是____．【答案】2三、解答题（共70分。