湖南省长郡中学2019届高三月考试卷

长郡中学2019届高三月考试卷（一）数学（理科）（考试时间：120分钟，满分150分）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.1.设复数，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据复数除法运算，分子分母同时乘以分母的共轭复数，化简即可。

【详解】所以所以选D【点睛】本题考查了复数的除法运算，复数模的定义，属于基础题。

2.2.已知集合，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合，故，集合表示非负的偶数，故，故选C.3.3.若定义在上的偶函数满足且时，，则方程的零点个数是（）A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】C【解析】【分析】根据函数的周期性和奇偶性，画出函数图像，根据函数图像的交点个数确定零点个数即可。

【详解】因为数满足，所以周期当时，，且为偶函数，所以函数图像如下图所示学。

科。

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网...由图像可知，方程有四个零点所以选C【点睛】本题考查了函数的奇偶性和周期性，绝对值函数图像的画法和函数零点的概念，关键是根据函数解析式能够正确画出函数的图像，属于基础题。

4.4.计算的结果为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据诱导公式，化简三角函数值；再根据正弦的差角公式合并即可得到解。

长郡中学2019届高三月考试卷（二）数学（理科）时量120分钟。

满分150分。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|y=}，B={0，1，2，3，4}，则A∩B=（）A．φB．{0，1，2) C.{0,1,2,3) D.(-∞,3]∪{4}2．已知函数f(x)= ，那么f(8)的值为（）A．3 B．4 C．15 D．163．当n是正整数时，用数学归纳法证明1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2时，从n=k 到n=k+1，等号左边需要增加的代数式为（）A. k(3k+4) B．（k+1)(3k+l) C.(k+1)3k D．（k+1)(3k+4)4．直角△ABC(∠A=90°)的外接圆圆心O，半径为1，且，则向量在向量方向的投影为（）A．B．- C．D．-5．已知f(x)是定义在实数集R上的偶函数，且在(0，+∞)上递增，则（）A.f(20.7)<f(-log25)<f（一3)B.f(-3)<f(20.7)<f(-log25)C．f(一3)<f(-log25)<f(20.7) D.f(20.7)<f(-3)<f(-log25)6．某地区空气质量监测表明，一天的空气质量为优的概率是0. 75，连续两天为优的概率是0.6，已知某天的空气质量为优，则随后一天空气质量为优的概率是（）A.0.8B.0.75C.0.6D.0.457．要得到函数f(x) =2sinxcosx，x∈R，只需将函数g(x)=2cos2x-l，x∈R的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位8．等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}前6 项的和为（）A．8 B．-3 C．3 D．-249．△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若则tan(A-B)的最大值为（）A．B．C．1 D．10.函数在x∈(1，2)内存在极值点，则（）A．B．C．D．11.下表中的数表为“森德拉姆筛”（森德拉姆，东印度学者），其特点是每行每列都成等差数列．在表中，“361”出现的次数为（）A. 12B. 6C. 24D. 4812.若函数f(x)满足f(x)=x(f'(x)一ln(x)，且，则+1的解集为（）A．（一1，+∞）B．C．(0，) D．（一∞，一1）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量a=（3，-1），b=（1，m），a∥（a-2b），则m=____．14．我国成功申办2022年第24届冬季奥林匹克运动会，届时冬奥会的高山速降运动将给我们以速度与激情的完美展现，某选手的速度ξ服从正态分布（100，σ2）(σ>0)，若ξ在(80，120)内的概率为0.7，则他速度超过120的概率为．15．设a= ，则的展开式中常数项是．16．已知A,B是函数f(x)= （其中常数a>0）图象上的两个动点，点P(a，0)，若的最小值为0，则函数f(x)的最大值为．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csinB=bcosC，a2-c2=2b2．(1)求C的大小；(2)若△ABC的面积为21，求b的值．18.（本小题满分12分）已知数列{a n}满足：a n≥1，S n是其前n项的和，且2S n=a n2+n．数列{b n}满足b l= -a2，b n+1=b n+a n·．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{b n}的通项公式．为增强学生体质，长郡中学组织体育社团，某班级有4人积极报名参加篮球和足球社团，每人只能从两个社团中选择其中一个社团，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己参加哪个社团，掷出点数为5或6的人参加篮球社团，掷出点数小于5的人参加足球社团．(1)求这4人中恰有1人参加篮球社团的概率；(2)用ξ，η分别表示这4人中参加篮球社团和足球社团的人数，记随机变量X为ξ和η之差的绝对值，求随机变量X的分布列与数学期望E(X)．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：万元）对年销售量y（单位：吨）和年利润z(单位：万元)的影响．对近六年的年宣传费x i和年销售量y i（i=1，2，3，4，5，6）的数据作了初步统计，得到如下数据：经电脑模拟，发现年宣传费x（万元）与年销售量y（吨）之间近似满足关系式y=a·x b（a，b>0）．对上述数据作了初步处理，得到相关的值如下表：(1)根据所给数据，求y关于x的回归方程；(2)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为若想在2019年达到年利润最大，请预测2019年的宣传费用是多少万元？附：对于一组数据（u l，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线v=β·u+a中的斜率和截距的最小二乘估计分别为已知函数f(x)=(x+b)（e x-a），(b>0)，在（-1，f(-l)）处的切线方程为(e-l)x+ey+e-l=0．(1)求a，b；(2)若方程f'(x)=m有两个实数根x1，x2，且x1<x2，证明：x2-x1≤1（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为，直线l过点P（0，一）且倾斜角为(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．23.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲已知函数f(x)=|x-a|+2+a，g(x)=|x-l|+|2x+4|.(1)解不等式|g(x)|<6；(2)若存在x1、x2∈R，使得f(x1)=g(x2)成立，求实数a的取值范围．。

湖南省长郡中学2019届高三月考英语试卷英语试题注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

第一部分听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案标在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7. 5分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C 三个选项中选出最佳选项。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

例: How much is the shirt?A. £ 19.15.B. £ 9.18.C. £ 9.15.答案是C.1 What is almost ready to serve?A. The bread.B. The salad.C. The noodles.2. Which pair of shoes was comfortable?A. The third pair.B. The second pair.C. The first pair.3. When should the woman start recording?A. At four o’clock.B. At six o’clock.C. At seven o’clock.4. What are the speakers comparing?A. Two movies.B. A movie and a novel.C. Two types of music.5. What are the speakers mainly discussing?A. Doing Ben’s laundry.B. Folding clean clothes.CWashing the woman’s dirty clothes.第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。

湖南省长郡中学2019届高三上学期第一次月考英语试题(总14页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除长郡中学2019届高三月考试卷（一）英语第一部分听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案标在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节（共5小题；每小题分，满分分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

例： How much is the shirt?A.￡.B.￡.C.￡.答案是C。

1. How much did each dinner cost?A．$8． B．$16． C．$64．2. When will John arrive?A. On the weekend. two days. .3. Which of the following countries was NOT mentioned?A. Spain. . .4. What is Ray going to do after leaving the library?A. He will have a class.B. He will go to the laboratory.C，He will go home.5. According to the woman, what can the man do if he doesn't pass the test?A. He can go to college.B. He can work for his father.C. He can choose another school.第二节（共15小题；每小题分，满分分）听下面5段对话或独白。

长郡中学2019届高三月考试卷（一） 得分: __________ 本试题卷共10页。

时量120分钟。

满分150分。

注意事项： I •答卷前，考牛务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题K 上对应题H 的答案标号涂 黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

冋答非选择题时,将答案写在答 题卡上，写在本试卷上无效。

第一部分听力（共两节，满分30分） 做题时，先将答案标在试卷上。

录咅内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的 答案转涂到答题卡上。

第一节 （共5小题；每小题1.5分•满分7.5分） 听下面5段对话。

每段对话后有一个小题,从题小所给的A 、B 、C 三个选项屮选出 最佳选项。

听完每段对话后,你都有10秒钟的时间来凹答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

例： How much is the shirt? A. He will have a class.B. 1 Ic will go to the laboratory.C. He will go home.5. According to the woman, what can the man do if he docs n't pass the test?A. He can go to college.B. He can work for his father.C. He can choose another school.第二节 （共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下血5段对话或独白。

每段对话或独白后有儿个小题•从题中所给的A 、B 、C 三 个选项屮选出最佳选项。

听每段对话或独门前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒 钟;听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。

每段对话或独白读两遍。

听第6段材料，冋答第6、7题。

6. How many bottles of wine docs the man want at last?A. One.B. Two.C. Three.即 * II ■■愿i A. £ 19.15. B ・ £9.18. c. £9.15 ・ 答案是c 。

长郡中学2019届高三月考试卷（一）数学（文科）（考试时间：120分钟，满分150分）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =≥，则AB =（ ）A ．{|01}x x <<B ．{|1}x x ≥C ．{|12}x x ≤<D ．{|0}x x > 2.复数z 满足(2)36z i i +=-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ） A ．3 B ．3- C ．3i D ．3i -3.已知2sin 5α=，则cos2α=（ ） A ．725 B ．725- C ．1725D ．1725-4.某家具厂的原材料费支出x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为8.5y x b =+，则b 为（ ）A ．7.5B ．10C ．12.5D ．17.5 5.已知向量(2,1)a =-，(1,3)b =-，则（ ）A ．//a bB ．a b ⊥C ．//()a a b -D ．()a a b ⊥- 6.执行如图所示的程序框图输出的结果是（ ）A ．8B ．6C ．5D ．3 7.已知曲线1C ：sin y x =，2C ：2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（ ） A ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移23π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移23π个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2C8.曲线()2xf x x e =-在点(0,(0))f 处的切线方程是（ ） A ．210x y --= B ．10x y -+= C ．0x y -= D ．10x y --=9.平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α，则此球的体积为（ ）A ．B ．CD ．10.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(,0]-∞上单调递增.若实数a 满足()(f a f >，则a 的取值范围是（ ）A ．(,-∞B ．)+∞C．( D．(,(2,)-∞+∞11.已知四棱锥S ABCD -的三视图如图所示，则围成四棱锥SABCD -的五个面中的最大面积是（ ）A ．3B ．6C ．8D ．1012.已知F 是抛物线C ：28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则FN =（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知x ，y 满足020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为 ．14.若点(1,1)P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为 ．15.在ABC ∆中，面积2221()4S a b c =+-，则角C 的大小为 ． 16.已知函数3()lg 92f x x x =+-在区间(,1)()n n n Z +∈上存在零点，则n = ．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必需作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.等比数列{}n a 中，已知12a =，416a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若3a ，5a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项，试求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S . 18.已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA PD ==CD PD ⊥，E 为CD的中点.（1）求证：PD ⊥平面PAB ； （2）求三棱锥P ABE -的体积.19.某家电公司销售部门共有200名销售员，每年部门对每名销售员都有1400万元的年度销售任务.已知这200名销售员去年完成的销售额都在区间[2,22]（单位：百万元）内，现将其分成5组，第1组、第2组、第3组、第4组、第5组对应的区间分别为[2,6)，[6,10)，[10,14)，[14,18)，[18,22]，并绘制出如下的频率分布直方图.（1）求a 的值，并计算完成年度任务的人数；（2）用分层抽样的方法从这200名销售员中抽取容量为25的样本，求这5组分别应抽取的人数； （3）现从（2）中完成年度任务的销售员中随机选取2名，奖励海南三亚三日游，求获得此奖励的2名销售员在同一组的概率.20.过椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，1F 为其左焦点，已知1AF B ∆的周长为3. （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 为椭圆C 的下顶点，椭圆C 与直线y x m =+相交于不同的两点M 、N .当PM PN =时，求实数m 的值. 21.已知函数()xxa f x e e =-. （1）当1a =时，求函数()[()'()]F x x f x f x =-的最小值；（2）若()()g x f x =在[0,1]上单调递增，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12x ty a t=+⎧⎨=-⎩（其中t 为参数）.在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （1）分别写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值. 23.选修4-5：不等式选讲 设函数()f x x a x a =++-. （1）当1a =时，解不等式()4f x ≥；（2）若()6f x ≥在x R ∈上恒成立，求a 的取值范围.长郡中学2019届高三月考试卷（一）数学（文科）参考答案一、选择题1-5: DBCAD 6-10: ABDAC 11、12：CB二、填空题13. 4 14. 210x y --= 15. 45︒ 16. 5三、解答题17.【解析】（1）设{}n a 的公比为q 由已知得3162q =，解得2q =，所以2n n a =.（2）由（1）得38a =，532a =，则38b =，532b =， 设{}n b 的公差为d ，则有1128432b d b d +=⎧⎨+=⎩，解得11612b d =-⎧⎨=⎩，从而1612(1)1228n b n n =-+-=-. 所以数列{}n b 的前n 项和2(161228)6222n n n S n n -+-==-.18.【解析】（1）∵底面ABCD 是正方形，∴//AB CD ，又CD PD ⊥， ∴AB PD ⊥，∵PA PD ==2AD =，∴222PA PD AD +=，∴PD PA ⊥，又PA AB A =，∴PD ⊥平面PAB .（2）∵AB AD ⊥，AB PD ⊥且ADPD D =，∴AB ⊥平面PAD ，又AB ⊂平面ABCD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ， 过P 作PO AD ⊥于O ，则PO ⊥平面ABCD ， ∴PO 为三棱锥P ABE -的高，∴13P ABE ABE V S PO -∆=⋅112122323=⨯⨯⨯⨯=. 19.【解析】（1）∵(0.020.080.092)41a +++⨯=，∴0.03a =， 完成年度任务的人数为2420048a ⨯⨯=. （2）第1组应抽取的人数为0.024252⨯⨯=， 第2组应抽取的人数为0.084258⨯⨯=， 第3组应抽取的人数为0.094259⨯⨯=， 第4组应抽取的人数为0.034253⨯⨯=， 第5组应抽取的人数为0.034253⨯⨯=.（3）在（2）中完成年度任务的销售员中，第4组有3人，记这3人分别为1A ，2A ，3A ；第5组有3人，记这3人分别为1B ，2B ，3B ；从这6人中随机选取2名，所有的基本事件为12A A ，13A A ，11A B ，12A B ，13A B ，23A A ，21A B ，22A B ，23A B ，31A B ，32A B ，33A B ，12B B ，13B B ，23B B ，共有15个基本事件.获得此奖励的2名销售员在同一组的基本事件有6个， 故所求概率为62155=. 20.【解析】（1）由椭圆定义知，4a =，a =3c e a ===得c =1b =， 所以椭圆C 的方程为2213x y +=. （2）由方程组2213y m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2223(1)0x m ⇒++-=， 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，MN 的中点为00(,)E x y，则12x x +=.∴12022x x x m +==-，02m y =，∴,22m E m ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，由PM PN =得PE MN ⊥，又(0,1)P -，∴13PE k ⨯=-，∴1m =. 满足221224(1)0m m ∆=-->.综上1m =. 21.【解析】（1）2()x x F x e =-，2(1)'()0xx F x e -==，令'()0F x =，得1x =， 所以当1x <时，'()0F x <，()F x 单调递减，当1x >时，'()0F x >，()F x 单调递增， 所以当1x =时，()F x 取得最小值为2e-. （2）当0a ≤时，()0xxaf x e e =->，()()g x f x =， 若在[0,1]上单调递增，则'()0f x ≥恒成立，即：2max []xa e ≥-，1a ≥-，10a -≤≤；当0a >时，'()0xx a f x e e =+>，()xx a f x e e=-在[0,1]上是单调递增的， 又()()g x f x =在[0,1]上单调递增，所以()0f x ≥在[0,1]上恒成立.2min []x a e ≤，01a <≤.综上：11a -≤≤.22.【解析】（1）直线l 的直角坐标系方程是220x y a +--=， 圆C 的直角坐标方程是22(2)4x y -+=. （2）由（1）知圆心为(2,0)C ，半径2r =， 设圆心到直线的距离为d ，因为直线与圆相切，所以2d ===，解得2a =±23.【解析】（1）当1a =时，不等式()4114f x x x ≥⇔++-≥， 当1x >时，()24f x x =≥，解得2x ≥； 当11x -≤≤时，()24f x =≥，无解； 当1x <-时，()24f x x =-≥，解得2x ≤-， 综上所述，不等式的解集为(,2][2,)-∞-+∞. （2）()f x x a x a =++-()()2x a x a a ≥+--=， ∴26a ≥，解得3a ≥或3a ≤-， 即a 的取值范围是(,3][3,)-∞-+∞.21。

长郡中学2019届高三月考试卷（一）数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.1.设复数，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据复数除法运算，分子分母同时乘以分母的共轭复数，化简即可。

【详解】所以所以选D【点睛】本题考查了复数的除法运算，复数模的定义，属于基础题。

2.2.已知集合，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合，故，集合表示非负的偶数，故，故选C.3.3.若定义在上的偶函数满足且时，，则方程的零点个数是（）A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】C【解析】【分析】根据函数的周期性和奇偶性，画出函数图像，根据函数图像的交点个数确定零点个数即可。

【详解】因为数满足，所以周期当时，，且为偶函数，所以函数图像如下图所示由图像可知，方程有四个零点所以选C【点睛】本题考查了函数的奇偶性和周期性，绝对值函数图像的画法和函数零点的概念，关键是根据函数解析式能够正确画出函数的图像，属于基础题。

4.4.计算的结果为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据诱导公式，化简三角函数值；再根据正弦的差角公式合并即可得到解。

【详解】所以选B【点睛】本题考查了三角函数诱导公式、正弦差角公式的简单应用，属于基础题。

5.5.已知、、是双曲线上不同的三点，且、连线经过坐标原点，若直线、的斜率乘积，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，设出A、B、P点的坐标，代入方程做差，得到；利用两条直线的斜率乘积关系，得到。

联立可以得到的关系式，进而求得离心率。

【详解】由题意，设则将A、P坐标代入双曲线方程，得两式相减得所以，即所以所以选C【点睛】本题考查了点与双曲线的关系，设而不求法是解决圆锥曲线问题常用方法，属于基础题。

6.6.某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量（单位：千瓦·时）与气温（单位：℃）之间的关系，随机选取了天的用电量与当天气温，并制作了以下对照表：（单位：℃）（单位：千瓦·时）由表中数据得线性回归方程：，则由此估计：当某天气温为℃时，当天用电量约为（）A. 千瓦·时B. 千瓦·时C. 千瓦·时D. 千瓦·时【答案】A【解析】【分析】根据回归直线方程经过样本中心点，求得，代入回归直线可求得；代入回归方程后，可预报当气温为℃时，当天的用电量。

湖南省长沙市长郡中学2019届高三月考（二）数学(理)试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，1，2，3，，则 A ={x|y =3−x }B ={0,4}A ∩B =()A. ∅B. {0，1，2}C. {0，1，2，3}D. （-∞，3]∪{4}【答案】C【解析】解：因为y =，要使函数有意义，则需：3-x ≥0，即x ≤3，即A =（-∞，3]，3−x 又B =，所以A ∩B =，故选：C ．由集合A 的代表元可得，集合A 为函数的定义域，由3-x ≥0，解得x ≤3，即A =（-∞，3]，再求交集即可．本题考查了求函数的定义域及集合交集的运算，属简单题．2.已知函数，那么的值为 f(x)={2x−1,x <0log 2x,x >0f(8)()A. 3B. 4C. 15D. 16【答案】A【解析】解：函数，∵f(x)={2x−1,x <0log 2x,x >0．∴f(8)=log 28=3故选：A ．由，得，由此能求出结果．8>0f(8)=log 28本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.当n 是正整数时，用数学归纳法证明时，从到1×4+2×7+3×10+…+n(3n +1)=n(n +1)2n =k ，等号左边需要增加的代数式为 n =k +1()A. B. C. D. k(3k +4)(k +1)(3k +l)(k +1)3k (k +1)(3k +4)【答案】D【解析】解：当时，，n =k 1×4+2×7+3×10+…+k(3k +1)=k(k +1)2时，，n =k +11×4+2×7+3×10+…+k(3k +1)+(k +1)(3k +4)=(k +1)(k +2)2即有，(k +1)(k +2)2−k(k +1)2=(k +1)(3k +4)可得从到，等号左边需要增加的代数式为，n =k n =k +1(k +1)(3k +4)故选：D ．求得，时的等式，作差即可得到所求代数式．n =k n =k +1本题考查数学归纳法的步骤，考查化简运算能力和推理能力，属于基础题．4.直角的外接圆圆心O ，半径为1，且，则向量在向量方向的投影为 △ABC(∠A =90∘)|⃗OA|=|⃗AB|⃗AB ⃗BC ()A. B.C.D.32−1212−32【答案】B【解析】解：依题意得，，如图：|⃗OA|=|⃗AB|=|⃗OB|=1∠OBA =60∘向量在向量方向的投影为，∴⃗AB ⃗BC |⃗AB|cos∠(180∘−60∘)=1×(−12)=−12故选：B ．依题意得，，再根据向量在向量上的投影的概念可得．|⃗OA|=|⃗AB|=|⃗OB|=1∠OBA =60∘本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．5.已知是定义在实数集R 上的偶函数，且在上递增，则 f(x)(0,+∞)()A.B.f(20.7)<f(−log 25)<f(−3)f(−3)<f(20.7)<f(−log 25)C.D.f(−3)<f(−log 25)<f(20.7)f(20.7)<f(−3)<f(−log 25)【答案】A 【解析】解：，在上递增，∵20.7<2<log 25<3f(x)(0,+∞)，∴f(20.7)<f(log 25)<f(3)是定义在实数集R 上的偶函数，∵f(x)，∴f(20.7)<f(−log 25)<f(−3)故选：A ．利用，在上递增，可得，结合是定义在实数集R 上20.7<2<log 25<3f(x)(0,+∞)f(20.7)<f(log 25)<f(3)f(x)的偶函数，即可得出结论．本题考查函数的单调性与奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．6.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是，连续两天为优良的概率是，已知某0.750.6天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是 ()A. B. C. D. 0.80.750.60.45【答案】A【解析】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p ，则由题意可得，0.75×p =0.6解得，p =0.8故选：A ．设随后一天的空气质量为优良的概率为p ，则由题意可得，由此解得p 的值．0.75×p =0.6本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题．7.要得到函数，的图象，只需将函数，的图象 f(x)=2sinxcosx x ∈R g(x)=2cos 2x−1x ∈R ()A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位π2π2C.向左平移个单位D.向右平移个单位π4π4【答案】D【解析】解：将函数，的图象向右平移个单位，g(x)=2cos 2x−1=cos2x x ∈R π4可得函数，的图象，y =cos2(x−π4)=sin2x =2sinxcosxx ∈R 故选：D ．利用诱导公式、二倍角公式，以及的图象变换规律，得出结论．y =Asin(ωx +φ)本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，以及的图象变换规律，属于基础题．y =Asin(ωx +φ)8.等差数列的首项为1，公差不为若，，成等比数列，则前6项的和为 {a n }0.a 2a 3a 6{a n }()A. B. C. 3 D. 8−24−3【答案】A【解析】解：等差数列的首项为1，公差不为，，成等比数列，∵{a n }0.a 2a 3a 6，∴a 23=a 2⋅a 6，且，，∴(a 1+2d )2=(a 1+d)(a 1+5d)a 1=1d ≠0解得，d =−2前6项的和为．∴{a n }S 6=6a 1+6×52d =6×1+6×52×(−2)=−24故选：A ．利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程，求出公差，由此能求出前6项的和．{a n }本题考查等差数列前n 项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．9.设的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且，则的最大值为 △ABC acosB−bcosA =35ctan(A−B)()A. B.C.D. 3234323【答案】B 【解析】解：，∵acosB−bcosA =35c结合正弦定理，得，∴sinAcosB−sinBcosA =35sinC ，得，∵C =π−(A +B)sinC =sin(A +B)，∴sinAcosB−sinBcosA =35(sinAcosB +cosAsinB)整理可得：，同除以，得，sinAcosB =4sinBcosA cosAcosB tanA =4tanB 由此可得，tan(A−B)=tanA−tanB 1+tanAtanB =3tanB1+4tan 2B =31tanB +4tanB 、B 是三角形内角，且与同号，∵A tanA tanB 、B 都是锐角，即，，∴A tanA >0tanB >0，∵1tanB +4tanB ≥21tanB ⋅4tanB =4，当且仅当，即时，的最大值为．∴tan(A−B)=31tanB+4tanB≤341tanB=4tanBtanB =12tan(A−B)34故选：B ．利用正弦定理，将已知等式化简整理得，两边同除以，得到利用两sinAcosB =4sinBcosA cosAcosB tanA =4tanB.角差的正切公式，得，最后利用基本不等式求最值，可得当且仅当时，的tan(A−B)=31tanB+4tanBtanB =12tan(A−B)最大值为．34本题已知三角形边角的一个关系式，求的最大值，着重考查了正弦定理、两角差的正切公式和基本不等tan(A−B)式求最值等知识，属于中档题．10.函数在内存在极值点，则 f(x)=13x 3+ax 2−2x +1x ∈(1,2)()A.B.或C.D.或−12≤a ≤12a <12a >12−12<a <12a ≤−12a ≥12【答案】C【解析】解：由题意得：在内存在变号零点，f′(x)=x 2+2ax−2(1,2)分离参数，a =−x 2+1x在内连续且单调递减，y =−x2+1x (1,2)值域是，(−12,12)故和有变号交点的范围是，y =a y =−x 2+1x(−12,12)故选：C ．求出函数的导数，问题转化为，求出函数在的值域，从而求出a 的范围即可．a =−x2+1xy =−x 2+1x(1,2)本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．11.如表中的数表为“森德拉姆筛”森德拉姆，东印度学者，其特点是每行每列都成等差数列在表中，“361”().出现的次数为 ()234567...35791113...4710131619...5913172125...61116212631 (7)1319253137……………………A. 12B. 6C. 24D. 48【答案】C【解析】解：根据题意，解：第i 行第j 列的数记为那么每一组i 与j 的组合就是表中一个数．a ij .因为第一行数组成的数列2，是以2为首项，公差为1的等差数列，a 1j (j =1,…)所以，a 1j =2+(j−1)×1=j +1所以第j 列数组成的数列2，是以为首项，公差为j 的等差数列，a ij (i =1,…)j +1所以．a ij =(j +1)+(i−1)×j =ij +1令，a ij =ij +1=361则，则361出现的次数为次ij =360=32×23×5(2+1)(3+1)(1+1)=24所以，表中361共出现24次．故选：C ．第1行数组成的数列2，是以2为首项，公差为1的等差数列，第j 列数组成的数列2，是以a ij (j =1,…)a ij (i =1,…)为首项，公差为j 的等差数列，求出通项公式，就求出结果．j +1本题考查归纳推理的应用，涉及行列模型的等差数列应用，解题时利用首项和公差写出等差数列的通项公式，运用通项公式求值，12.若函数满足，且，则的解集是 f(x)f(x)=x(f′(x)−lnx)f(1e )=1eef(e x )<f′(1e )+1()A. B. C.D.(−∞,−1)(−1,+∞)(0,1e )(1e ,+∞)【答案】A【解析】解：由，整理得，即，f(x)=x(f′(x)−lnx)xf′(x)−f(x)=xlnx (f(x)x)′=lnxx 两边积分，∫(f(x)x)dx =∫ln x dx =∫lnxd(lnx)=12ln 2x +C整理得：，f(x)=x2ln 2x +Cx，代入求得，f(1e )=1ec =12，∴f(x)=x2ln 2x +12x，令，，f′(x)=12ln 2x +lnx +12lnx =t t ∈R ，∴f′(t)=12t 2+t +12=12(t +1)2≥0单调递增，∴f(x)由，，f(x)=x(f′(x)−lnx)f(1e )=1e，f′(1e )=0由，整理得：，ef(e x )<f′(1e )+1f(e x )<1e =f(1e )=f(e −1)由函数单调性递增，即，e x <e −1由，单调递增，则，y =e xx <−1不等式的解集，∴(−∞,−1)故选：A ．将函数整理得，两边积分，求得函数的解析式，求导，求得函数的单调性及，则不等式转化成(f(x)x)′=lnx x f′(1e )，利用函数的单调性即可求得不等式的解集．f(e x )<1e =f(1e )=f(e −1)本题考查求函数的解析式，不等式的解法，考查求函数的不定积分的应用，考查转换思想，属于难题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，，，则______．⃗a=(3,−1)⃗b=(1,m)⃗a//(⃗a−2⃗b)m =【答案】−13【解析】解：；⃗a −2⃗b=(1,−1−2m)；∵⃗a//(⃗a−2⃗b)；∴3(−1−2m)+1=0解得．m =−13故答案为：．−13可解出，根据即可得出，解出m 即可．⃗a−2⃗b=(1,−1−2m)⃗a//(⃗a−2⃗b)3⋅(−1−2m)−(−1)⋅1=0考查向量坐标的减法和数乘运算，以及平行向量的坐标关系．14.我国成功申办2022年第24届冬季奥林匹克运动会，届时冬奥会的高山速降运动将给我们以速度与激情的完美展现，某选手的速度服从正态分布，若在内的概率为，则他速度超过120的概ξ(100,σ2)(σ>0)ξ(80,120)0.7率为______．【答案】0.15【解析】解：由题意可得，，且，μ=100P(80<ξ<120)=0.7则或．P(ξ<80ξ>120)=1−P(80<ξ<120)=1−0.7=0.3或．∴P(ξ>120)=12P(ξ<80ξ>120)=0.15则他速度超过120的概率为．0.15故答案为：．0.15根据正态分布的定义，可以求出或的概率，除以2得答案．P(ξ<80ξ>120)本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属μσ于基础题．15.若，则二项式的展开式中常数项是______．a =∫π0sinxdx(a x−1x )6【答案】−160【解析】解：，a =∫π0sinxdx =−cosx |π0=−cosπ+cos 0=2二项式的展开式的通项公式为，(2x−1x )6T k +1=C k 6(2x )6−k (−1x )k =(−1)k 26−k ⋅C k 6x3−k令，得，3−k =0k =3此时展开式中常数项是=(−1)326−3⋅C 36=−160故答案为：．−160根据定积分的计算法则求出a 的值，再根据二项式定理求出即可．本题考查了定积分的计算好二项式定理，属于基础题．16.已知A ，B 是函数其中常数图象上的两个动点，点，若的最小值为f(x)={−e x−2a,(x ≥a)f(2a−x),(x <a)(a >0)P(a,0)⃗PA ⋅⃗PB 0，则函数的最大值为______．f(x)【答案】−1e【解析】解：A ，B 是函数其中图象上的两个f(x)={−e x−2a ,x ≥a f(2a−x),x <a (a >0)动点，当时，，x <a f(x)=f(2a−x)=−e (2a−x)−2a=−e −x 函数的图象关于直线对称．∴f(x)x =a 当点A ，B 分别位于分段函数的两支上，且直线PA ，PB 分别与函数图象相切时，的最小值为0，⃗PA⋅⃗PB 设PA 与相切于点，f(x)=−e −xA(x 0,y 0)，，解得，∴f′(x)=e −x ∴k AP =f′(x 0)=e−x 0=−e −xx 0−a x 0=a−1的最小值为0，，∵⃗PA ⋅⃗PB ∴⃗PA ⊥⃗PB ，，，∴k PA =tan 45∘=1∴e −x 0=1∴x 0=0，．∴a =1∴f(x )max =−1e 故答案为：−1e先推出的图象关于直线对称，然后得出直线PA ，PB 分别与函数图象相切时，的最小值为0，再通f(x)x =a ⃗PA ⋅⃗PB 过导数的几何意义得切线的斜率，解出，结合图象可得时，的最大值为．a =1x =1f(x)−1e 本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属难题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足，△ABC csinB =3bcosC a 2−c 2=2b2Ⅰ求C 的大小；()Ⅱ若的面积为，求b 的值．()△ABC 213【答案】本小题满分12分()解：Ⅰ由已知及正弦定理可得，，()∵sinCsinB =3sinBcosC ，∵sinB ≠0，∴tanC =3 分∴C =π3 (5)Ⅱ 由Ⅰ可得，，()()cosC =a 2+b 2−c 22ab=12，∴a 2+b 2−c 2=ab 又，∵a 2−c 2=2b 2，∴a =3b由题意可知，，∴S △ABC =12absinC =334b 2=213，可得： 分∴b 2=28b =27 (12)【解析】Ⅰ由已知及正弦定理可得，，进而利用同角三角函数基本关系式可求，()sinCsinB =3sinBcosC tanC =3即可得解C 的值．Ⅱ 由Ⅰ利用余弦定理可求，又，可得，利用三角形面积公式即可解得b 的()()a 2+b 2−c 2=ab a 2−c 2=2b 2a =3b 值．本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．18.已知数列满足：，是其前n 项的和，且数列满足，{a n }a n ≥1S n 2S n =a 2n +n.{b n }b l =−a 2．b n +1=b n +a n ⋅2an 求数列的通项公式；(1){a n }求数列的通项公式．(2){b n }【答案】解：根据题意，数列满足，(1){a n }2S n =a 2n +n ①当时，有，n ≥22S n−1=a 2n−1+n−1②可得：，①−②2a n =a 2n −a 2n−1变形可得：，a 2n−1=(a n −1)2又由，则，即，a n ≥1a n−1=a n −1a n −a n−1=1则数列是首项为，公差为1的等差数列，{a n }a 1=1则；a n =1+(n−1)=n 由可得：，，(2)(1)b l =−a 2=−2b n +1=b n +a n ⋅2a n=b n +n ⋅2n 变形可得：，b n +1−b n =n ⋅2n当时，n ≥2则b n =(b n −b n−1)+(b n−1−b n−2)+……+(b 2−b 1)+b 1=1⋅2+2⋅22+3⋅23+……+(n−1)⋅2n−1−2设，S n =1⋅2+2⋅22+3⋅23+……+(n−1)⋅2n−1则，2S n =1⋅22+2⋅23+3⋅24+……+(n−1)⋅2n 两式相减可得：，−S n =2+(22+23+……+2n−1)−(n−1)2n =(2−n)⋅2n−2则，S n =2+(n−2)⋅2n则，，b n =(n−2)⋅2n (n ≥2)当时，也符合；n =1b l =−2则．b n =(n−2)⋅2n【解析】根据题意，由可得，两式相减可得，变形可得：(1)2S n =a 2n +n 2S n−1=a 2n−1+n−12a n =a 2n −a 2n−1，进而可得，即，据此可得数列是首项为，公差为1的等差数a 2n−1=(a n −1)2a n−1=a n −1a n −a n−1=1{a n }a 1=1列，由等差数列的通项公式计算可得答案；根据题意，分析可得，当时，由累加法可得(2)b n +1−b n =n ⋅2nn ≥2，设b n =(b n −b n−1)+(b n−1−b n−2)+……+(b 2−b 1)+b 1=1⋅2+2⋅22+3⋅23+……+(n−1)⋅2n−1−2，由错位相减法分析可得，即可得S n =1⋅2+2⋅22+3⋅23+……+(n−1)⋅2n−1S n =2+(n−2)⋅2n ，，验证时，即可得答案．b n =(n−2)⋅2n (n ≥2)n =1本题考查数列的递推公式，涉及累加法的应用，属于综合题．19.为增强学生体质，长郡中学组织体育社团，某班级有4人积极报名参加篮球和足球社团，每人只能从两个社团中选择其中一个社团，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己参加哪个社团，掷出点数为5或6的人参加篮球社团，掷出点数小于5的人参加足球社团．求这4人中恰有1人参加篮球社团的概率；(1)用，分别表示这4人中参加篮球社团和足球社团的人数，记随机变量X 为和之差的绝对值，求随机变(2)ξηξη量X 的分布列与数学期望．E(X)【答案】解：依题意，这4个人中，每个人参加篮球社团的概率为，参加足球社团的概率为，(1)1323设“这4个人中恰有i 个人参加篮球社团”为事件，1，2，3，，A i (i =0,4)则，1，2，3，，P(A i )=C i4(13)i (23)4−i(i =0,4)这4人中恰有1人参加篮球社团的概率．∴P(A 1)=C 14(13)(23)3=3281由已知得X 的所有可能取值为0，2，4，(2)，P(X =0)=C 24(13)2(23)2=827，P(X =2)=C 14(13)(23)3+C 34(13)3(23)=4081，P(X =4)=C 04(23)4+C 44(13)4=1781的分布列为：∴X X24P 827 4081 1781．E(X)=0×827+2×4081+4×1781=14881【解析】依题意，这4个人中，每个人参加篮球社团的概率为，参加足球社团的概率为，设“这4个人中恰(1)1323有i 个人参加篮球社团”为事件，1，2，3，，则，1，2，3，，由此能求出A i (i =0,4)P(A i )=C i 4(13)i (23)4−i(i =0,4)这4人中恰有1人参加篮球社团的概率．由已知得X 的所有可能取值为0，2，4，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和．(2)E(X)本题考查概率的求法，考查离散型随机事件的分布列、数学期望的求法，考查n 次独立试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费单位：万元对年销售量单位：吨和年利x()y()润单位：万元的影响对近六年的年宣传费和年销售量2，3，4，5，的数据作了初步统计，得到z().x i y i (i =1,6)如下数据：年份201320142015201620172018年宣传费万元x()384858687888年销售量吨y()16.818.820.722.424.025.5经电脑模拟，发现年宣传费万元与年销售量吨之间近似满足关系式对上述数据作了初x()y()y =a ⋅x b (a,b >0).步处理，得到相关的值如表：6∑i =1(lnx i ⋅lny i )6∑i =1(lnx i )6∑i =1(lny i)6∑i =1(lnx i )275.324.618.3101.4根据所给数据，求y 关于x 的回归方程；(1)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为若想在2019年达到年利润最大，请预测2019年的(2)z =2y−e 14x 宣传费用是多少万元？附：对于一组数据，，，，其回归直线中的斜率和截距的最小二乘估计分别(u l ,v 1)(u 2,v 2)…(u n ,v n )v =β⋅u +a 为，β=∑n i =1(u i v i )−n(−uv )∑n i =1u 2i −n(−u )2α=−v−β⋅−u 【答案】解：对，，两边取对数得，(1)y =a ⋅x b (a >0,b >0)lny =lna +blnx 令，，得，u i =lnx i v i =lny i v =lna +b ⋅u由题目中的数据，计算，，−u =24.66=4.1−v =18.36=3.05且，∑6i =1(u i v i )=∑6i =1(lnx i lny i )=75.3；∑6i =1u 2i =∑6i =1(lnx i )2=101.4则，∧b =∑6i =1(u i v i )−6−u ⋅−v∑6i =1u 2i −6⋅−x 2=75.3−6×4.1×3.05101.4−6×4.12=0.270.54=12，lna =−v−ln −u =3.05−12×4.1=1得出，∧a =e 所以y 关于x 的回归方程是；∧y =e ⋅x 由题意知这种产品的年利润z 的预测值为(2)，∧z =2y−e 14x =e ⋅2x−e 14x =−e 14(x−142x )=−e 14(x−72)2+7e所以当，即时，取得最大值，x =72x =98∧z 即当2019年的年宣传费用是98万元时，年利润有最大值．【解析】对两边取对数得，令，，得，(1)y =a ⋅x b lny =lna +blnx u i =lnx i v i =lny i v =lna +b ⋅u 求出u 关于v 的线性回归方程，得出y 关于x 的回归方程；写出年利润z 的预测值函数，利用函数的性质求出x 为何值时取得最大值即可．(2)∧z ∧z 本题考查了函数模型的应用问题，也考查了线性回归方程的计算问题，是难题．21.已知函数，，在处的切线方程为．f(x)=(x +b)(e x −a)(b >0)(−1,f(−1))(e−1)x +ey +e−1=0Ⅰ求a ，b ；()Ⅱ若方程有两个实数根，，且，证明：．()f(x)=m x 1x 2x 1<x 2x 2−x 1≤1+m(1−2e)1−e 【答案】解：Ⅰ在处的切线方程为，可得()(−1,f(−1))(e−1)x +ey +e−1=0，即，f(−1)=0f(−1)=(−1+b)(e −1−a)=0又函数，，f(x)=(x +b)(e x −a)(b >0)可得导数为，所以，f′(x)=(x +b +1)e x −a f′(−1)=b e −a =−1+1e 若，则，与矛盾，a =1eb =2−e <0b >0故；a =b =1Ⅱ证明：由Ⅰ可知，，，()()f(x)=(x +1)(e x −1)f(0)=0f(−1)=0设在处的切线方程为，f(x)(−1,0)ℎ(x)=k(x +1)易得，则，k =f′(−1)=1e −1ℎ(x)=(1e −1)(x +1)令，F(x)=f(x)−ℎ(x)即，，F(x)=(x +1)(e x −1)−(1e −1)(x +1)F′(x)=(x +2)e x −1e当时，，x ≤−2F′(x)=(x +2)e x −1e <−1e <0当时，x >−2设，，G(x)=F′(x)=(x +2)e x −1e G′(x)=(x +3)e x >0故函数在上单调递增，又，F′(x)(−2,+∞)F′(−1)=0所以当时，，当时，，x ∈(−∞,−1)F′(x)<0x ∈(−1,+∞)F′(x)>0所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，F(x)(−∞,−1)(−1,+∞)故F ，(x)≥F(−1)=0，f(x 1)≥ℎ(x 1)设的根为，则，ℎ(x)=m x 1′x 1′=−1+me 1−e 又函数单调递减，故，故，ℎ(x)ℎ(x 1′)=f(x 1)≥ℎ(x 1)x 1′≤x 1设在处的切线方程为，易得，y =f(x)(0,0)y =t(x)t(x)=x 令，，T(x)=f(x)−t(x)=(x +1)(e x −1)−x T′(x)=(x +2)e x −2当时，，x ≤−2T′(x)=(x +2)e x −2<−2<0当时，x >−2设，，H(x)=T′(x)=(x +2)e x −2H′(x)=(x +3)e x >0故函数在上单调递增，又，T′(x)(−2,+∞)T′(0)=0所以当时，，当时，，x ∈(−∞,0)T′(x)<0x ∈(0,+∞)T′(x)>0所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，T(x)(−∞,0)(0,+∞)，T(x)≥T(0)=0，f(x 2)≥t(x 2)设的根为，则，t(x)=m x 2′x 2′=m 又函数单调递增，故，故，t(x)t(x 2′)=f(x 2)≥t(x 2)x 2′≥x 2又，x 1′≤x 1则．x 2−x 1≤x 2′−x 1′=m−(−1+me 1−e )=1+m(1−2e)1−e 【解析】Ⅰ求得切点坐标，求出的导数，可得切线的斜率，即可得到所求a ，b 的值；()f(x)Ⅱ求得，，设出在处的切线方程为，求得k ，令，()f(0)=0f(−1)=0f(x)(−1,0)ℎ(x)=k(x +1)F(x)=f(x)−ℎ(x)求得导数和单调性，求出的根，同理设在处的切线方程为，易得，求得ℎ(x)=m y =f(x)(0,0)y =t(x)t(x)=x 的根，即可得证．t(x)=m 本题考查函数的导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查不等式的证明，注意运用方程和函数的转化思想和构造函数法，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于难题．22.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为，直线过点且倾斜角为．ρ=4cos(θ−π3)P(0,−3)π3求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；(1)设直线l 与曲线C 交于两点A ，B ，求的值．(2)PA|+|PB|【答案】解：曲线，(1)C ：ρ=4cos(θ−π3),转换为ρ=4cosθcos π3+4sinθsin π3所以，ρ2=2ρcosθ+23ρsinθ即，x 2+y 2=2x +23y 得曲线C 的直线坐标方程为，(x−1)2+(y−3)2=4直线l 的参数方程为为参数．{x =12t y =32t−3(t)将为参数代入圆的方程，(2){x =12t y =32t−3(t )得，(12t−1)2+(32t−23)=4整理得，t 2−7t +9=0所以．|PA|+|PB|=t 1+t 2=7【解析】直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．(1)利用直线和曲线的位置关系，建立一元二次方程，进一步利用根和系数的关系求出结果．(2)本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用．23.已知函数，．f(x)=−|x−a|+a +2g(x)=|x−1|+|2x +4|解不等式；(1)g(x)<6若存在、，使得成立，求实数a 的取值范围．(2)x 1x 2∈R f(x 1)=g(x 2)【答案】解：因为(1)g(x)=|x−1|+|2x +4|={3x +3,x ≥1x +5,−2≤x <1−3x−3,x <−2故由得：或或g(x)<6{3x +3<6x ≥1{x +5<6−2≤x <1{−3x−3<6x <−2解得或或，⌀−2≤x <1−3<x <−2故原不等式解集为：．(−3,1)由可知的值域为，显然的值域为．(2)(1)g(x)[3,+∞)f(x)(−∞,a +2]依题意得：[3,+∞)∩(−∞,a +2]≠⌀所以实数a 的取值范围为．[1,+∞)【解析】由零点分段法去掉绝对值，分别解出不等式取交集即可；(1)分别求出函数和的值域，则所对应的两个集合交集非空，即可求出a 的取值范围．(2)f(x)g(x)本题考查绝对值不等式的解法，以及与绝对值有关的方程有解的问题，属于中档题目．。

·1·长郡中学2019届高三月考试卷(一)数学(理科)总分:150分时量:120分钟一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡中对应位置.1.如果复数212bi i(其中i 为虚数单位,b 为实数)的实部和虚部互为相反数,那么b = ( )A.2B.23 C. 23D. 2【解】选 C.直接法由222(4)125bi bb ii,依题有2240bb,即23b.2.用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本,则个体m 被抽到的概率为() A.1100B.120C.199D.150【解】选 B.直接法由抽样的公平性可知,每个个体入样的概率均为5110020P.3.设偶函数满足()24(0)xf x x ,则{|()0}x f x ( )A. {|24}x x x 或B. {|04}x x x 或C. {|22}x xx或 D. {|06}x xx 或【解】选 C.直接法当0x 时,由()240xf x ,得2x,由图象对称性可知选C.4.若21()nx x展开式中的所有二项式系数之和为512,则该开式中常数项为()A.84B. 84C.36 D. 36【解】选 B.直接法由二项式系数之和为2512n,即9n,又18319(1),rr rrT C x令1830r,则6r故常数项为784T .5.设条件:|2|3p x ,条件:0q xa ,其中a 为正常数.若p 是q 的必要不充分条件,则a 的取值范围是( )A. (0,5]B. (0,5)C.[5,D. 【解】选 A.直接法由条件p 对应的集合为(1,5)A ,条件q 对应(0,)(0)B a a.且依题意AB ,可知5a,又0a,故05a.输出y否是x 4?12()xy x=x+1开始输入x。

长郡中学2019届高三月考试卷(三）语文得分:本试卷共四道大题，22道小题。

时量150分钟，满分150分。

一、现代文阅读(36分）(一)论述类文本阅读(本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1-3题。

中国传统文化非常强调“礼”，“礼”曾是中华文化的精髓。

礼节中的许多内容是靠形式来表达的，比如贺卡。

在个人重大事情或公共节日前呈送贺卡，一来形式庄重，二来提早通报对方，于人于己均为方便。

故汉朝以来，贺卡作为传统形式一直延续保留，只是名称有所变化。

贺卡初期叫“名帖”，以介绍自己为主；西汉称为“谒”，今天贵宾相见还在说“拜谒”；东汉后叫“名刺”，名刺一词日本至今仍在使用，就是我们常用的名片。

凡事先通报自己是尊重对方的必需，今天的社会有时并不注意这些传统了。

唐宋以后，贺卡的名称及功能有所进步，称为“门状”或“飞帖”，到了明清，又叫“红单”“贺年帖”等等。

听这名字就知功能越来越世俗化，文人之间的文雅逐渐远去。

原因其实简单，古代教育不够普及，识文断字的人少。

贺卡最初都是在达官贵人之间传递，起点颇高，进入商业社会，贺卡就多了一份热情，少了一份酸腐。

据说唐太宗李世民过年时，用赤金箔做成贺卡，御书“普天同庆”，赐予大臣。

由于这一形式由帝王发明，迅速在民间普及。

不过民间没有皇家那么奢侈，不敢使用金箔，改用梅花笺纸，竖写，右上端为受贺者官讳，左下端为贺者姓名。

传说南宋人张世南在著作中记载他家曾藏有北宋名家黄庭坚、秦观等人的贺卡，这绝对是一份经典收藏，如保留到今天也应该是价值连城的国宝了。

说来非常有意思，名帖贺卡一类原是本人亲自呈送，以示郑重，但到了宋朝，商业气息浓厚，人们也日渐繁忙，故不能亲送者遂仆人呈送，逐渐形成风俗。

这样的好处是一人可以多送，如亲自前往，所送数量极为有限，朋友多的人恐有失礼；派人呈送好处多多，省去主人之间见面的繁文缛节，效率大大提高。

明清时期，呈送贺卡名帖等更有一套礼仪，按规定仆人不能亲自用手呈送贺卡，故发明了拜匣。

湖南省长郡中学2019届高三上学期第三次月考语文试题本试题卷分第Ⅰ卷（阅读题）和第Ⅱ卷（表达题）两部分，共8页。

考生作答时，将答案答在答题卡上（答题注意事项见答题卡），在本试卷上答题无效，试卷满分150分，考试时间150分钟。

注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真填涂准考证号。

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

答在试卷上的答案无效。

第Ⅰ卷（阅读题）一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1-3题。

中国传统文化非常强调“礼”，“礼”曾是中华文化的精髓。

礼节中的许多内容是靠形式来表达的，比如贺卡。

在个人重大事情或公共节日前呈送贺卡，一来形式庄重，二来提早通报对方，于人于己均为方便。

故汉朝以来，贺卡作为传统形式一直延续保留，只是名称有所变化。

贺卡初期叫“名帖”，以介绍自己为主；西汉称为“谒”，今天贵宾相见还在说“拜谒”；东汉后叫“名刺”，名刺一词日本至今仍在使用，就是我们常用的名片。

凡事先通报自己是尊重对方的必需，今天的社会有时并不注意这些传统了。

唐宋以后，贺卡的名称及功能有所进步，称为“门状”或“飞帖”，到了明清，又叫“红单”“贺年帖”等等。

听这名字就知功能越来越世俗化，文人之间的文雅逐渐远去。

原因其实简单，古代教育不够普及，识文断字的人少。

贺卡最初都是在达官贵人之间传递，起点颇高，进入商业社会，贺卡就多了一份热情，少了一份酸腐。

据说唐太宗李世民过年时，用赤金箔做成贺卡，御书“普天同庆”，赐予大臣。

由于这一形式由帝王发明，迅速在民间普及。

不过民间没有皇家那么奢侈，不敢使用金箔，改用梅花笺纸，竖写，右上端为受贺者官讳，左下端为贺者姓名。

传说南宋人张世南在著作中记载他家曾藏有北宋名家黄庭坚、秦观等人的贺卡，这绝对是一份经典收藏，如保留到今天也应该是价值连城的国宝了。