下载文档原格式
难题”之一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题难题”之二：霍奇（Hodge）猜想难题”之三: 庞加莱（Poincare)猜想难题”之四：黎曼(Riemann)假设难题”之五：杨－米尔斯(Yang-Mills）存在性和质量缺口难题"之六：纳维叶－斯托克斯（Navier—Stokes）方程的存在性与光滑性难题"之七：贝赫（Birch）和斯维讷通－戴尔(Swinnerton—Dyer）猜想难题”之八：几何尺规作图问题难题”之九：哥德巴赫猜想难题"之十：四色猜想美国麻州的克雷（Clay)数学研究所于2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事：对七个“千僖年数学难题”的每一个悬赏一百万美元.以下是这七个难题的简单介绍。
“千僖难题”之一:P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法)问题在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。
由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人.你的主人向你提议说,你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。
不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的.然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。
生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。
这是这种一般现象的一个例子。
与此类似的是，如果某人告诉你,数13，717，421可以写成两个较小的数的乘积,你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的.不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。
它是斯蒂文·考克（StephenCook）于1971年陈述的。
“千僖难题”之二：霍奇（Hodge）猜想二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。
新定义型问题2024年数学好题分类汇编1(新高考北京卷)生物丰富度指数d =S -1ln N是河流水质的一个评价指标，其中S ,N 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S 没有变化，生物个体总数由N 1变为N 2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则()A.3N 2=2N 1B.2N 2=3N 1C.N 22=N 31 D.N 32=N 212(新高考上海卷)定义一个集合Ω，集合中的元素是空间内的点集，任取P 1,P 2,P 3∈Ω，存在不全为0的实数λ1,λ2,λ3，使得λ1OP 1+λ2OP 2 +λ3OP 3 =0．已知(1,0,0)∈Ω，则(0,0,1)∉Ω的充分条件是()A.0,0,0 ∈ΩB.-1,0,0 ∈ΩC.0,1,0 ∈ΩD.0,0,-1 ∈Ω3(新高考上海卷)已知函数f (x )的定义域为R ，定义集合M =x 0x 0∈R ,x ∈-∞,x 0 ,f x <f x 0 ，在使得M =-1,1 的所有f x 中，下列成立的是()A.存在f x 是偶函数B.存在f x 在x =2处取最大值C.存在f x 是严格增函数D.存在f x 在x =-1处取到极小值4(新高考上海卷)无穷等比数列a n 满足首项a 1>0,q >1，记I n =x -y x ,y ∈a 1,a 2 ∪a n ,a n +1 ，若对任意正整数n 集合I n 是闭区间，则q 的取值范围是．5(新课标全国Ⅰ卷)设m 为正整数，数列a 1,a 2,...,a 4m +2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项a i 和a j i <j 后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a 1,a 2,...,a 4m +2是i ,j -可分数列．(1)写出所有的i ,j ，1≤i <j ≤6，使数列a 1,a 2,...,a 6是i ,j -可分数列；(2)当m ≥3时，证明：数列a 1,a 2,...,a 4m +2是2,13 -可分数列；(3)从1,2,...,4m +2中一次任取两个数i 和j i <j ，记数列a 1,a 2,...,a 4m +2是i ,j -可分数列的概率为P m ，证明：P m >18．6(新课标全国Ⅱ卷)已知双曲线C :x 2-y 2=m m >0 ，点P 15,4 在C 上，k 为常数，0<k <1．按照如下方式依次构造点P n n =2,3,... ，过P n -1作斜率为k 的直线与C 的左支交于点Q n -1，令P n 为Q n -1关于y 轴的对称点，记P n 的坐标为x n ,y n .(1)若k =12，求x 2,y 2；(2)证明：数列x n -y n 是公比为1+k1-k的等比数列；(3)设S n 为△P n P n +1P n +2的面积，证明：对任意的正整数n ，S n =S n +1.7(新高考北京卷)设集合M =i ,j ,s ,t i ∈1,2 ,j ∈3,4 ,s ∈5,6 ,t ∈7,8 ,2i +j +s +t ．对于给定有穷数列A :a n 1≤n ≤8 ，及序列Ω:ω1,ω2,...,ωs ，ωk =i k ,j k ,s k ,t k ∈M ，定义变换T ：将数列A 的第i 1,j 1,s 1,t 1项加1，得到数列T 1A ；将数列T 1A 的第i 2,j 2,s 2,t 2列加1，得到数列T 2T 1A ⋯；重复上述操作，得到数列T s ...T 2T 1A ，记为ΩA ．(1)给定数列A :1,3,2,4,6,3,1,9和序列Ω:1,3,5,7 ,2,4,6,8 ,1,3,5,7 ，写出ΩA ；(2)是否存在序列Ω，使得ΩA 为a 1+2,a 2+6,a 3+4,a 4+2,a 5+8,a 6+2,a 7+4,a 8+4，若存在，写出一个符合条件的Ω；若不存在，请说明理由；(3)若数列A 的各项均为正整数，且a 1+a 3+a 5+a 7为偶数，证明：“存在序列Ω，使得ΩA 为常数列”的充要条件为“a 1+a 2=a 3+a 4=a 5+a 6=a 7+a 8”．8(新高考上海卷)对于一个函数f x 和一个点M a,b，令s x =(x-a)2+f x -b2，若P x0,f x0是s x 取到最小值的点，则称P是M在f x 的“最近点”．(1)对于f(x)=1x (x>0)，求证：对于点M0,0，存在点P，使得点P是M在f x 的“最近点”；(2)对于f x =e x,M1,0，请判断是否存在一个点P，它是M在f x 的“最近点”，且直线MP与y=f(x)在点P处的切线垂直；(3)已知y=f(x)在定义域R上存在导函数f (x)，且函数g(x)在定义域R上恒正，设点M1t-1,f t -g t，M2t+1,f t +g t．若对任意的t∈R，存在点P同时是M1,M2在f x 的“最近点”，试判断f x 的单调性．一、单选题1(2024·湖南怀化·二模)给定整数n ≥3，有n 个实数元素的集合S ，定义其相伴数集T =a -b a ,b ∈S ,a ≠b ，如果min T =1，则称集合S 为一个n 元规范数集．(注：min X 表示数集X 中的最小数)．对于集合M =-0.1,-1.1,2,2.5 、N =-1.5,-0.5,0.5,1.5 ，则()A.M 是规范数集，N 不是规范数集B.M 是规范数集，N 是规范数集C.M 不是规范数集，N 是规范数集D.M 不是规范数集，N 不是规范数集2(2024·四川绵阳·模拟预测)一般地，任意给定一个角α∈R ，它的终边OP 与单位圆的交点P 的坐标，无论是横坐标x 还是纵坐标y ，都是唯一确定的，所以点P 的横坐标x 、纵坐标y 都是关于角α的函数.下面给出这些函数的定义：①把点P 的纵坐标y 叫作α的正弦函数，记作sin α，即sin α=y ；②把点P 的横坐标x 叫作α的余弦函数，记作cos α，即cos α=x ；③把点P 的纵坐标y 的倒数叫作α的余割函数，记作csc α，即csc α=1y ；④把点P 的横坐标x 的倒数叫作α的正割函数，记作sec α，即sec α=1x.下列结论错误的是()A.sin α⋅csc α=1B.sec2π3=-2C.函数f x =sec x 的定义域为x x ≠k π,k ∈Z D.sec 2α+sin 2α+csc 2α+cos 2α≥53(2024·河北邯郸·二模)对任意两个非零的平面向量a 和b ，定义：a ⊕b =a ⋅ba 2+b2，a ⊙b=a ⋅bb2．若平面向量a ,b 满足a >b >0，且a ⊕b 和a ⊙b 都在集合n 4|n ∈Z ,0<n ≤4 中，则a ⊕b +a ⊙b =()A.1B.32C.1或74D.1或544(2024·上海杨浦·二模)平面上的向量a 、b 满足：a =3，b =4，a ⊥b.定义该平面上的向量集合A ={x ||x +a |<|x +b |,x ⋅a >x ⋅b}.给出如下两个结论：①对任意c ∈A ，存在该平面的向量d ∈A ，满足c -d=0.5②对任意c ∈A ，存在该平面向量d ∉A ，满足c -d =0.5则下面判断正确的为()A.①正确，②错误B.①错误，②正确C.①正确，②正确D.①错误，②错误5(2024·甘肃兰州·一模)球面上两点间距离的定义为：经过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长度(大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆)．设地球的半径为R ，若甲地位于北纬45°东经120°，乙地位于北纬45°西经60°，则甲、乙两地的球面距离为()A.2π6R B.2π3R C.π2R D.2π2R 二、多选题6(2024·安徽芜湖·二模)在平面直角坐标系xOy 中，角θ以坐标原点O 为顶点，以x 轴的非负半轴为始边，其终边经过点M a ,b ，OM =m m ≠0 ，定义f θ =b +a m ，g θ =b -am，则()A.f π6+g π6 =1 B.f θ +f 2θ ≥0C.若f θg θ=2，则sin2θ=35 D.f θ g θ 是周期函数7(2024·全国·模拟预测)已知函数f x 和实数m ，n ，则下列说法正确的是()A.定义在R 上的函数f x 恒有f x =f m -nx ，则当n =1时，函数的图象有对称轴B.定义在R 上的函数f x 恒有f x =f m -nx ，则当n =-1时，函数具有周期性C.若m =1，n =2，f x =-3x 2+2x ,x ≤13f m -nx ,x >13，则∀t ∈-∞,13 ，f t >f 23-t 恒成立D.若m =4，n =1，f x =ln x -a ,x ∈0,2 f m -nx ,x ∈2,4，且f x 的4个不同的零点分别为x 1,x 2,x 3x 4，且x 1<x 2<x 3<x 4，则x 1x 2+x 3x 4-4x 3+x 4 =-148(2024·浙江绍兴·模拟预测)对于任意的两点A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，定义A ,B 间的折线距离d AB =x 1-x 2 +y 1-y 2 ，反折线距离l AB =x 1-y 2 +x 2-y 1 ，O 表示坐标原点. 下列说法正确的是()A.d AB +d BC ≥d AC .B.若d AB <l AB ，则y 1-x 1 y 2-x 2 ≥0.C.若AB 斜率为k ，d AB =1+k1+k 2AB .D.若存在四个点P x ,y 使得d OP =1，且x 2+y -r 2=r 2r >0 ，则r 的取值范围2-1,12.三、填空题9(2024·湖南长沙·三模)已知函数y =f x ，任取t ∈R ，定义集合A t ={y ∣y =f x ，点P t ,f t 、Q x ,f x 满足PQ ≤2 . 设M t ,m t 分别表示集合A t 中元素的最大值和最小值，记h t =M t -m t ，试解答以下问题:(1)若函数f x =x 2，则h 0 =;(2)若函数f x =sin π2x ，则h t 的最小正周期为.10(2024·四川成都·模拟预测)定义在封闭的平面区域D 内任意两点的距离的最大值称为平面区域D 的“直径”．如图，已知锐角三角形的三个顶点A ，B ，C 在半径为1的圆上，角的对边分别为a ，b ，c ，A =π3．分别以△ABC 各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和△ABC 构成平面区域D ，则平面区域D 的“直径”的取值范围是．11(2024·广东佛山·二模)近年，我国短板农机装备取得突破，科技和装备支撑稳步增强，现代农业建设扎实推进.农用机械中常见有控制设备周期性开闭的装置.如图所示，单位圆O 绕圆心做逆时针匀速圆周运动，角速度大小为2πrad /s ，圆上两点A ，B 始终满足∠AOB =2π3，随着圆O 的旋转，A ，B 两点的位置关系呈现周期性变化.现定义：A ，B 两点的竖直距离为A ，B 两点相对于水平面的高度差的绝对值.假设运动开始时刻，即t =0秒时，点A 位于圆心正下方：则t =秒时，A ，B 两点的竖直距离第一次为0；A ，B 两点的竖直距离关于时间t 的函数解析式为f t =.12(2024·山东枣庄·模拟预测)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 为平面上两点，定义d (A ,B )=x 1-x 2 +y 1-y 2 、已知点P 为抛物线C :x 2=2py (p >0)上一动点，点Q (3,0),d (P ,Q )的最小值为2，则p =；若斜率为32的直线l 过点Q ，点M 是直线l 上一动点，则d (P ,M )的最小值为．13(2024·福建厦门·模拟预测)在n 维空间中(n ≥2，n ∈N )，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n 维坐标a 1,a 2,⋯,a n ，其中a i ∈0,1 1≤i ≤n ,i ∈N .则5维“立方体”的顶点个数是；定义：在n 维空间中两点a 1,a 2,⋯,a n 与b 1,b 2,⋯,b n 的曼哈顿距离为a 1-b 1 +a 2-b 2 +⋯+a n -b n .在5维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量X 为所取两点间的曼哈顿距离，则E X =.四、解答题14(2024·福建泉州·二模)进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，如果约定满二进一，就是二进制：满十进一，就是十进制：满十六进一，就是十六进制．k 进制的基数就是k ．我们日常生活中最熟悉、最常用的就是十进制．例如，数3721也可以表示为：3721=3×103+7×102+2×101+1×100一般地，如果k 是大于1的整数，那么以k 为基数的k 进制数可以表示为a n k n +a n -1k n -1+⋯+a 1k 1+a 0k 0=nj =0a j k j．其中0<a n <k ,a n -1,a n -2,⋯,a 1,a 0∈{0,1,2,⋯,k -1}．为了简便，也会把它写成一串数字连写在一起的形式：a n a n -1⋯a 1a 0(k )，如果不加下标就默认是十进制．(1)令集合A =0，1，2，3，4 ，B =a 15+a 252+a 353+a 454a i ∈A ,i =1，2，3，4，将B 中的元素按从大到小的顺序排列，则第100个数为多少？(2)若n =a n a n -1⋯a 1a 0(2)，记T (n )为整数n 的二进制表达式中0的个数，如T (2)=1,T (3)=0，求63n =1T (n )的值．(用数字作答)(3)十进制中的数999在其他进制中是否也可以表示成一个各位数字之和为27的三位数？如果能，请求出所有的k 进制数；如果不能，请说明理由．15(2024·湖南长沙·二模)集合论在离散数学中有着非常重要的地位.对于非空集合A和B，定义和集A+B=a+b a∈A,b∈B，用符号d(A+B)表示和集A+B内的元素个数.(1)已知集合A=1,3,5，B=1,2,6，C=1,2,6,x，若A+B=A+C，求x的值；(2)记集合A n=1,2,⋯,n，B n=2,22,⋯,n2，C n=A n+B n，a n为C n中所有元素之和，n∈N*，求证：1 a1+2a2+⋯+na n<2(2-1)；(3)若A与B都是由m m≥3,m∈N*个整数构成的集合，且d(A+B)=2m-1，证明：若按一定顺序排列，集合A与B中的元素是两个公差相等的等差数列.16(2024·辽宁葫芦岛·二模)设数阵X0=x11x12x21x22，其中x11,x12,x21,x22∈1,2,3,4,5,6.设B=n1,n2,⋅⋅⋅,n k⊆1,2,3,4,5,6，其中n1<n2<⋅⋅⋅<n k，k∈N∗且k≤6.定义变换M t为“对于数阵的每一列，若其中有t或-t，则将这一列中所有数均保持不变；若其中没有t且没有-t，则这一列中每个数都乘以-1”(t=n1,n2,⋅⋅⋅,n k)，M B X0表示“将X0经过Mn1变换得到X1，再将X1经过Mn2变换得到X2，⋯，以此类推，最后将X k-1经过Mn k变换得到X k.记数阵X k中四个数的和为T B X0.(1)若X0=2134，B=2,5 ，写出X0经过M2变换后得到的数阵X1，并求T B X0 的值；(2)若X0=2134，B=n1,n2,n3，求T B X0的所有可能取值的和；(3)对任意确定的一个数阵X0，证明：T B X0的所有可能取值的和不大于-8.17(2024·浙江·三模)莫比乌斯函数，由德国数学家和天文学家莫比乌斯提出，数学家梅滕斯首先使用μn 作为莫比乌斯函数的记号，其在数论中有着广泛应用.所有大于1的正整数n 都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：n =p r 11p r 22⋅⋅⋅p r kk (k 为n 的质因数个数，p i 为质数，r i ≥1，i =1,2,⋅⋅⋅,k )，例如：60=22×3×5，对应k =3，p 1=2，p 2=3，p 3=5，r 1=2，r 2=1，r 3=1.现对任意n ∈N *，定义莫比乌斯函数μn =1,n =1-1 k,r 1=r 2=⋅⋅⋅=r k =10,存在 r i >1 .(1)求μ68 ，μ985 ；(2)已知n >1，记n =p r 11p r 22⋅⋅⋅p r k k (k 为n 的质因数个数，p i 为质数，r i ≥1，i =1,2,⋅⋅⋅,k )的所有因数从小到大依次为a 1，a 2，⋯，a m .(ⅰ)证明：μa 1 +μa 2 +⋅⋅⋅+μa m =2k ；(ⅱ)求μa 1 a 1+μa 2 a 2+⋅⋅⋅+μa ma m的值(用P i (i =1,2,⋅⋅⋅,k )表示).18(2024·山东济南·三模)高斯二项式定理广泛应用于数学物理交叉领域．设y ,q ∈R ，n ∈N *，记n =1+q +⋅⋅⋅+q n -1，n !=n ×n -1 ×⋅⋅⋅×1 ，并规定0 !=1．记F (x ,n )=(x +y )n q =(x +y )(x +qy )⋅⋅⋅(x +q n -1y )，并规定F x ,0 =(x +y )0q =1．定义D kq F (x ,n )=F (x ,n ),k =0n n -1 ⋯n -k +1 x +y n -k q ,k =1,2,⋯,n(1)若y =q =1，求F x ,2 和D 1q F (x ,2)；(2)求n -k !n !D kq F (0,n )；(3)证明：F x ,n =∑nk =0D kq F 0,nk !x k ．19(2024·湖北黄冈·二模)第二十五届中国国际高新技术成果交易会(简称“高交会”)在深圳闭幕.会展展出了国产全球首架电动垂直起降载人飞碟.观察它的外观造型，我们会被其优美的曲线折服.现代产品外观特别讲究线条感，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线C :y =f x 上的曲线段AB ，其弧长为Δs ，当动点从A 沿曲线段AB 运动到B 点时，A 点的切线l A 也随着转动到B 点的切线l B ，记这两条切线之间的夹角为Δθ(它等于l B 的倾斜角与l A 的倾斜角之差).显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义K =ΔθΔs 为曲线段AB 的平均曲率；显然当B 越接近A ，即Δs 越小，K 就越能精确刻画曲线C 在点A 处的弯曲程度，因此定义K =lim Δ→0ΔθΔs=y1+y 232(若极限存在)为曲线C 在点A 处的曲率.(其中y ，y 分别表示y =f x 在点A 处的一阶､二阶导数)(1)已知抛物线x 2=2py (p >0)的焦点到准线的距离为3，则在该抛物线上点3,y 处的曲率是多少？(2)若函数g x =12x +1-12，不等式g e x +e -x2 ≤g 2-cos ωx 对于x ∈R 恒成立，求ω的取值范围；(3)若动点A 的切线沿曲线f x =2x 2-8运动至点B x n ,f x n 处的切线，点B 的切线与x 轴的交点为x n +1,0 n ∈N *.若x 1=4，b n =x n -2，T n 是数列b n 的前n 项和，证明T n <3.20(2024·重庆·模拟预测)对于数列a n ，定义Δa n =a n +1-a n n ∈N * ，满足a 1=a 2=1,ΔΔa n =m (m ∈R )，记f (m ,n )=a 1m +a 2m 2+⋯+a n m n ，称f (m ,n )为由数列a n 生成的“m -函数”．(1)试写出“2-函数” f (2,n )，并求f (2,3)的值；(2)若“1-函数” f (1,n )≤15，求n 的最大值；(3)记函数S (x )=x +2x 2+⋯+nx n，其导函数为S(x )，证明：“m -函数” f (m ,n )=m 22S (m )-3m2S (m )+(m +1)ni =1m ．21(2024·福建厦门·三模)帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法，在计算机数学中有着广泛的应用.已知函数f (x )在x =0处的m ,n 阶帕德近似定义为：R (x )=a 0+a 1x +⋯+a m x m 1+b 1x +⋯+b n xn，且满足：f (0)=R (0)，f (0)=R (0)，f (2)(0)=R (2)(0)，⋯，f (m +n )(0)=R (m +n )(0).其中f (2)(x )=f (x ) ，f (3)(x )=f (2)(x )，⋯，f (m +n )(x )=f(m +n -1)(x ).已知f (x )=ln (x +1)在x =0处的2,2 阶帕德近似为R (x )=a +bx +12x 21+x +16x2.(1)求实数a ，b 的值；(2)设h x =f x -R x ，证明：xh (x )≥0；(3)已知x 1,x 2,x 3是方程ln x =λx -1x 的三个不等实根，求实数λ的取值范围，并证明：x 1+x 2+x 33>1λ-1.22(2024·河北·二模)已知x为实数，用x 表示不超过x的最大整数，例如e =2,-π=-4,1 =1，对于函数f x ，若存在m∈R,m∉Z，使得f m，则称函数f x 是“Ω函数”.=f m(1)判断函数f x =2x2-x,g x =sinπx是否是“Ω函数”；(2)设函数f x 是定义在R上的周期函数，其最小正周期是T，若f x 不是“Ω函数”，求T的最小值；(3)若函数f x =x+ax是“Ω函数”，求a的取值范围.23(2024·河北秦皇岛·二模)定义：如果函数y=f x 和y=g x 的图象上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数y=f x 和y=g x 具有C关系.(1)判断函数f x =4x-8和g x =2x+1是否具有C关系；(2)若函数f x =ln x-ax-1和g x =1-x2不具有C关系，求a的取值范围；(3)若函数f x =x e x-1上具有C关系，求m的取值范围.在区间0,π和g x =x+m sin x m<024(2024·山东泰安·模拟预测)定义：设y=f x 和y=g x 均为定义在R上的函数，它们的导函数分别为f x 和g x ，若不等式f x -g xf x -g x≤0对任意实数x恒成立，则称y=f x 和y=g x 为“相伴函数”.(1)给出两组函数，①f1x =12x和g1x =0；②f2x =e2x和g2x =2x，分别判断这两组函数是否为“相伴函数”；(2)若y=f x ,y=g x 是定义在R上的可导函数，y=f x 是偶函数，y=g x 是奇函数，f x +g x = ln a-x+1+x，问是否存在a(a>0,a≠1)使得y=f x 和y=g x 为“相伴函数”？若存在写出a的一个值，若不存在说明理由；(3)f x =sin x-θ,g x =cos x+θ，写出“y=f x 和y=g x 为相伴函数”的充要条件，证明你的结论.25(2024·山东泰安·模拟预测)已知数列a n是斐波那契数列，其数值为：1,1,2,3,5,8,13,21,34⋅⋅⋅⋅⋅⋅.这一数列以如下递推的方法定义：a1=1，a2=1，a n+2=a n+1+a n(n∈N*).数列b n对于确定的正整数k，若存在正整数n使得b k+n=b k+b n成立，则称数列b n为“k阶可分拆数列”.(1)已知数列c n满足c n=ma n(n∈N*，m∈R).判断是否对∀m∈R，总存在确定的正整数k，使得数列c n为“k阶可分拆数列”，并说明理由.(2)设数列{d n}的前n项和为S n=3n-a a≥0，(i)若数列{d n}为“1阶可分拆数列”，求出符合条件的实数a的值；(ii)在(i)问的前提下，若数列f n满足f n=a nS n，n∈N*，其前n项和为Tn.证明：当n∈N*且n≥3时，T n<a21+a22+a23+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+a2n-a n a n+1+1成立.26(2024·山东·模拟预测)设a ,b ∈Z ，a ≠0.如果存在q ∈Z 使得b =aq ，那么就说b 可被a 整除(或a 整除b )，记做a |b 且称b 是a 的倍数，a 是b 的约数(也可称为除数、因数)．b 不能被a 整除就记做a ∤b ．由整除的定义，不难得出整除的下面几条性质：①若a |b ，b |c ，则a |c ；②a ，b 互质，若a |c ，b |c ，则ab |c ；③若a |b i ，则a |ni =1c i b i ，其中c i ∈Z ,i =1,2,3,⋯,n .(1)若数列a n 满足，a n =2n -1，其前n 项和为S n ，证明：279|S 3000；(2)若n 为奇数，求证：a n +b n 能被a +b 整除；(3)对于整数n 与k ，F n ,k =∑nr =1r 2k -1，求证：F n ,1 可整除F n ,k .27(2024·浙江温州·三模)现有n 张形状相同的卡片，上而分别写有数字m +1,m +2,⋯,m +n m ∈N ,n ∈N * ，将这n 张卡片充分混合后，每次随机抽取一张卡片，记录卡片上的数字后放回，现在甲同学随机抽取4次.(1)若n =8，求抽到的4个数字互不相同的概率；(2)统计学中，我们常用样本的均值来估计总体的期望.定义E X k 为随机变量X 的k 阶矩，其中1阶矩就是X 的期望E X ，利用k 阶矩进行估计的方法称为矩估计.(ⅰ)记每次抽到的数字为随机变量X ，计算随机变量X 的1阶矩E X 和2阶矩E X 2 ；(参考公式：12+22+⋯+n 2=n n +1 2n +16)(ⅱ)知甲同学抽到的卡片上的4个数字分别为3，8，9，12，试利用这组样本并结合(ⅰ)中的结果来计算n的估计值n .(n的计算结果通过四舍五入取整数)28(2024·湖南长沙·三模)已知椭圆C :x 2a 21+y 2b 21=1a 1>b 1>0 的左、右焦点分别为F 1、F 2，B 为上顶点，离心率为12，直线BF 2与圆4x 2+4y 2-3=0相切.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)椭圆方程Γ:x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 ，平面上有一点P x 0，y 0 . 定义直线方程l :x 0x a 2+y 0y b 2=1是椭圆Γ在点P x 0，y 0 处的极线.① 若P x 0，y 0 在椭圆C 上，证明:椭圆C 在点P 处的极线就是过点P 的切线;② 若过点P -4，0 分别作椭圆C 的两条切线和一条割线，切点为X 、Y ，割线交椭圆C 于M 、N 两点，过点M 、N 分别作椭圆C 的两条切线，且相交于点Q . 证明:Q 、X 、Y 三点共线.29(2024·江西·二模)在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标a 1,a 2,a 3 表示，其中a i ∈{0,1},i =1,2,3，而在n 维空间中(n ≥2,n ∈N )，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n 维坐标a 1,a 2,a 3,⋯⋯,a n ，其中a i ∈{0,1}(1≤i ≤n ,i ∈N )．现有如下定义：在n 维空间中两点间的曼哈顿距离为两点a 1,a 2,a 3,⋯⋯,a n 与b 1,b 2,b 3,⋯⋯,b n 坐标差的绝对值之和，即为a 1-b 1 +a 2-b 2 +a 3-b 3 +⋯+a n -b n ．回答下列问题：(1)求出n 维“立方体”的顶点数；(2)在n 维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X 为所取两点间的曼哈顿距离．①求X 的分布列与期望；②求X 的方差．30(2024·湖北·模拟预测)龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况．日期t 12345678910销售量y (千张)1.91.982.22.362.432.592.682.762.70.4经计算可得：y =11010i =1y i =2.2,10i =1t i y i =118.73,10i =1t i 2 =385.(1)因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程(结果中的数值用分数表示)；(2)若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为P n ，求P n ；(3)记(2)中所得概率P n 的值构成数列P n n ∈N ∗ .①求P n 的最值；②数列收敛的定义：已知数列a n ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数N 0，使得当n >N 0时，a n -a <ε，(a 是一个确定的实数)，则称数列a n 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列P n 收敛．参考公式：ni =1x i -x y i -yni =1x i -x2=ni =1x i y i -nx yni =1x i 2-nx2,a =y -b x .。
哥德巴赫猜想陈氏定理证明过程
（原创实用版）
目录
1.哥德巴赫猜想的起源和背景
2.陈景润对哥德巴赫猜想的贡献
3.陈氏定理的证明过程
4.哥德巴赫猜想的意义和影响
正文
哥德巴赫猜想是数学领域中一个著名的未解难题，它源于 1742 年哥德巴赫与欧拉的书信往来。
哥德巴赫在信中提出了一个命题，即任何大于5 的奇数都可以表示成三个素数之和。
然而，尽管这个猜想已经在数学家中引起了广泛的关注，但直到现在仍然没有一个已知的证明方法。
陈景润是中国数学家，他在 20 世纪 50 年代对哥德巴赫猜想做出了重要的贡献。
他提出了陈氏定理，这个定理证明了当偶数足够大时，哥德巴赫猜想成立。
虽然这个证明并没有完全解决哥德巴赫猜想，但它为数学家提供了一个重要的思路和方法。
陈氏定理的证明过程是基于例外集合的思路。
他首先假设哥德巴赫猜想对于所有的偶数都成立，然后通过计算和推理，证明了存在一个有限的例外集合，这个集合中的偶数不能被表示成两个素数之和。
他进一步证明了，当偶数足够大时，这个例外集合的密度趋近于零，也就是说，几乎所有的偶数都可以表示成两个素数之和。
哥德巴赫猜想对数学领域产生了深远的影响。
它不仅激发了数学家对于素数分布和算术级数的研究，还促进了数论领域的发展。
第1页共1页。
七年级上学期生物试卷含答案（考试范围：1~30页满分：50分）注意事项：1.本试卷分试题卷和答题卡两部分。
考生应把答案直接涂写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效。
2.答题前，考生务必将答题卡上本人姓名、考场、考号等信息填写完整或把条形码粘贴在指定位置上。
一、选择题（每题1分，共20分）1.下列选项中没有描述到生命现象的是（）A.离离原上草，一岁一枯荣B.床前明月光，疑是地上霜C.春种一粒粟，秋收万颗子D.苔花如米小，也学牡丹开2.同一种生物有多样的品种，物种和品种如此多样的内在原因是（）A.生活环境不同B.形态结构不同C.遗传物质不同D.生命活动不同3.“含羞草的叶片受到碰触后会合拢”体现的生物特征是（）A.生物的生活需要营养B.生物能对外界刺激作出反应C.生物能生长和繁殖D.生物具有遗传和变异的特性4.云南的西双版纳雨林是植物和动物的故乡，还有各种名贵药材。
这体现了生物多样性中（）A.生物物种的多样性B.基因的多样性C.动植物的多样性D.生态系统的多样性5.下列关于探究实验的说法，错误的是（）A.进行对照实验时要保证变量唯一B.实验选取的样本个体数量不宜太少C.在探究实验中一般要设立实验组和对照组D.尽量保证实验的科学性，不提倡进行多次实验6.生物圈是人类和其他生物共同生活的唯一家园。
有关叙述不正确的是（）A.生物圈中有维持生命的空气、水、阳光等条件B.生物圈包括地球上所有生物及其生存的环境的总和C.生物圈的资源取之不尽，用之不竭D.生物圈的范围包括大气圈的下层、整个水圈和岩石圈的上层7.生物分类的基本单位和最高单位分别是（）A.属和界B.种和界C.界和种D.纲和界8.小明问妈妈：“为什么蚂蚁总是排成一队向前爬?”妈妈说：“可能是前面的蚂蚁留下了信号。
”妈妈的回答属于科学探究的A.观察B.实验C.提出问题D.作出假设9.五龙山野生动物王国鸟园内现有鸟类数百种三千余只。
科学研究人员为了更好地保护鸟类，在其栖息地安装摄像机，纪录鸟类的行为。
世界难题数学[世界数学难题--四色猜想]世界数学难题——四色猜想平面内至多可以有四个点构成每两个点两两连通且连线不相交。
可用符号表示：K （n) ，n=、四色原理简介这是一个拓扑学问题，即找出给球面（或平面）地图着色时所需用的不同颜色的最小数目。
着色着色时要使得不会两个相邻（即有公共边界线段）的区域有相同的颜色。
1852年英国的格思里推测：四种颜色是充分必要的。
1878年英国数学家凯利在一次数学家会议上呼吁大家注意解决这个问题。
直到1976年，美国数学家阿佩哈尔、哈肯和考西利用高速运算了1200个小时，才证明了格思里的推测。
20世纪80-90世纪曾邦哲的综合系统论（结构论）观将“四色猜想”命题转换等价为“互邻面最大的多面体是四面体”。
四色问题的解决在数学研究方法上的突破，开辟了确凿机器证明的美好前景。
四色定理的诞生过程当今世界世界近代三大数学难题之一(另外两个是费马定理和哥德巴赫猜想) 。
四色猜想的提出来自英国。
1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里(Francis Guthrie) 来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了第二种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同颜色。
”,用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重迭的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这九个数字之一来标记，而无法使相邻的数字两个区域得到相同的数字。
”这个结论能不能从数学上加以严格呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。
兄弟二人为证明这一但此问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。
1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他求教的老师、著名数学家德·摩尔根，摩尔根也没有有效途径能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的表哥、著名数学家哈密尔顿爵士查理斯请教。
哈密尔顿收到摩尔根的信后，对微积分进行论证。
但直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够加以解决。
第1章科学入门单元大概念素养目标基础过关全练1.(2023浙江金华兰溪实验中学月考)本学期同学们要学习《科学》课程，要进入科学的世界，这就需要留心观察，从发现周围的问题着手。
下列不属于科学问题的是()A.雨后的天空为什么经常会出现美丽的彩虹?B.校园内哪几种植物在冬季开花?C.公园内哪种花卉最漂亮?D.航天员王亚平在太空中为什么能做成一个很大的水球?2.(2022浙江杭州建兰中学期中)下列属于科学发现的是()A.奥斯特发现了电流的磁效应B.小明在池塘边发现池塘里有许多鱼C.小冬发现夏天雨后天空有时会出现彩虹D.李梅来到初中就读的新学校发现校园环境很优美3.(2023浙江乐清虹桥中学期末)修正带涂在纸上可以遮盖错字，但研究发现，修正带中的一些化学物质会影响人体健康。
对此，我们可获得的启示是(S7101001)()A.科学技术给人类生活带来的都是便利B.科学技术是一把双刃剑，人们要尽可能减少滥用科技带来的危害C.许多科技产品都像修正带一样会对人体健康产生一定影响，人们应绝对禁止使用D.科技发展的负面影响不可避免，因此发展科学技术不需要考虑负面影响4.(2023浙江杭州余杭月考)开学了，小金同学怀着激动的心情来到新的学校。
他在校园中发现了很多新奇现象，并提出了相应的问题。
你认为这些问题中，用科学知识不能解释或解决的是()A.我们班的科学老师上课是否生动有趣?B.我的新书包肩带为什么要做的宽一点?C.我的凳子下边的铁脚磨损处为什么会生锈?D.我的身高是1.67 m，我同桌比我矮，他的身高会是多少呢?5.如图是哥本哈根世界气候大会的一张宣传图片，这次会议被喻为“拯救人类的最后一次机会”。
你觉得以下观点中不正确的是()A.科学技术的发展总是会给人类带来幸福B.科学技术可以改变人们的生活C.科学技术的发展也会给人类带来负面影响D.科学技术可以推动人类文明的进步能力提升全练6.【学科素养·科学思维】(2023浙江义乌稠州中学期中，19，★☆☆)2010年诺贝尔物理学奖授予两位研究石墨烯材料的教授。
