哥德巴赫猜想ppt课件

“哥德巴赫猜想”讲义（3）第三讲“哥德巴赫猜想”历史上的研究方法及其进展（二）主讲王若仲第2讲中我们介绍了“哥德巴赫猜想”历史上的研究方法及其进展途径一，这一讲我们介绍“哥德巴赫猜想”历史上的研究方法及其进展的其他途径。

途径二：例外集合，即寻找使得哥德巴赫猜想不成立的那些偶数。

在数轴上取定大整数x，再从x往前看，寻找使得哥德巴赫猜想不成立的那些偶数，即例外偶数。

x之前所有例外偶数的个数记为E(x)。

我们希望，无论x多大，x之前只有一个例外偶数，那就是2，即只有2使得猜想是错的。

这样一来，哥德巴赫猜想就等价于E(x)永远等于1。

当然，直到现在还不能证明E(x)=1；但是能够证明E(x)远比x小。

在x前面的偶数个数大概是x/2；如果当x趋于无穷大时，E(x)与x的比值趋于零，那就说明这些例外偶数密度是零，即哥德巴赫猜想对于几乎所有的偶数成立。

这就是例外集合的思路。

从1920年开始，哈代和利特尔伍德合作陆续发表了七篇总标题为《“整数拆分”的几个问题》的论文，系统地发展出了堆垒素数论中一个新的分析方法。

这个新方法的思想在1918年哈代与印度数学家拉玛努贾合写的论文《组合分析的渐进公式》中就有表现。

应用到哥德巴赫猜想上的话，圆法的思想是：对于非零整数，沿着单位圆为路径的环路积分当且只当整数的时候，上面的积分才等于1。

因此，如果考虑积分式：其中，那么这个积分式实际上等于：上式中第二项等于0，所以方程“”的解的个数。

所以，关于偶数的哥德巴赫猜想其实等于是说对于所有大于等于6的偶数，单位圆上的环路积分式。

同理，关于奇数的哥德巴赫猜想等价于环路积分式：因此，研究哥德巴赫猜想可以归结为研究积分式和中以质数为变数的三角多项式。

哈代和利特尔伍德猜测，当变量接近于分母“比较小”的既约分数时，的值会“比较大”，而当接近于分母“比较大”的既约分数时，的值会“比较小”。

也就是说，积分的主要部分其实是单位圆上分母“比较小”的那些既约分数附近的积分，其它的部分上积分则没那么重要，可以忽略掉了。

“哥德巴赫猜想”简捷证明讲义第1讲主讲王若仲（王洪）德国数学家哥德巴赫于1742年提出“哥德巴赫猜想”，即任一不小于6的偶数均可表为两个奇素数之和。

至今没有彻底解决。

对于“哥德巴赫猜想”，确实有非常简明的证明方法，要证明任一不小于6的偶数均存在有“奇素数+奇素数”的情形，就是怎样把“奇素数+奇素数”的情形转换到利用奇合数的个数来加以理论分析，通过顺筛的办法就能够达到间接证明“哥德巴赫猜想”。

什么叫顺筛？针对一个非常大的偶数2m，顺筛就是筛除掉不大于偶数2m（m≥3）的全体奇合数。

而间接证明的程序，就是把一条带有箭头符号且方向向右的数轴，称为顺轴；把一条带有箭头符号且方向向左的数轴，称为逆轴。

因为2m=1+（2m-1）=3+（2m-3）=5+（2m-5）=…=（2m-5）+5=（2m-3）+3=（2m-1）+1，在这种情形下，偶数2m 就相当于是由一条顺轴与一条逆轴平行且呈轴对称的一个平面图形。

那么在顺轴上和逆轴上进行顺筛，就能得到一个筛法公式：Y=m（1-d1÷p1）（1-d2÷p2）（1-d3÷p3）…（1-dt-1÷pt-1）（1-dt÷pt），其中di=1或2（i=1，2，3，…，t），m为任意给定的一个比较大的正整数（m≥3）；p1，p2，p3，…，pt均为不大于m2的全体奇素数（pi ＜pj，i＜j，i、j=1，2，3，…，t），t∈N。

利用这个筛法公式，就能够明确的判定任意设定的偶数2m（m≥3），偶数2m必定满足“奇素数+奇素数=2m”的情形。

并由此判定“哥德巴赫猜想”成立。

下面就根据这个思路逐步进行分析。

先学习要证明“哥德巴赫猜想”而必须掌握的预备知识。

定义1：把既是奇数又是合数的正整数，称为奇合数。

例如：15，21，35，49等等这样的一些奇数称为奇合数。

引理1：对于任一比较大的正整数M，设奇素数p1，p2，p3，…，pt均为不大于M的全体奇素数（pi ＜pj，i＜j，i、j=1，2，3，…，t），那么在区间[M，M]中任何一个奇合数a，奇合数a均能被集合{p1，p2，p3，…，pt}中某一个奇素数pi（i=1，2，3，…，t）整除。

“哥德巴赫猜想”讲义（1）第一讲“哥德巴赫猜想”来历主讲王若仲我们谈论“哥德巴赫猜想”，一定绕不开哥德巴赫这个人，哥德巴赫（Christian Goldbach），1690年3月18日出生于普鲁士哥尼斯堡（俄罗斯现在的加里宁格勒）的一个官员家庭。

哥尼斯堡当时是德国的一座历史名城，秀丽的小城哥尼斯堡，普雷格尔河贯穿全城，给城市带来了灵气。

这条河有两条支流，它们环绕着一个小岛，在这两条支流上连接小岛有七座桥，城里的居民常到这里来散步，久而久之，人们就有了这样一个问题，能不能既不重复又不遗漏地一次性走遍这七座桥呢？这就是有名的“哥尼斯堡七桥问题”。

当时有人写信请教大数学家欧拉，莱昂哈德·欧拉（LeonhardEuler，1707年4月15日－1783年9月18日）瑞士数学家和物理学家，近代数学先驱之一，他一生大部分时间在俄国和普鲁士度过。

欧拉在数学的多个领域，包括微积分和图论都做出过重大发现。

欧拉是18世纪杰出的数学家，同时也是有史以来最伟大的数学家之一。

欧拉对“哥尼斯堡七桥问题”进行了认真研究，并于1736年用严格的数学方法证明了这个问题。

同时推动了一个重要的数学分支拓扑学的产生。

哥德巴赫年轻时在他的家乡哥尼斯堡大学学习数学和医学，20岁大学毕业，由于年轻，渴望出去看看外面的世界，加之家庭状况也不错，于是1710年之后，哥德巴赫云游欧洲，结识了不少当时欧洲的数学名家。

哥德巴赫首先去莱比锡，拜访了大数学家莱布尼茨。

戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646年7月1日－1716年11月14日），德国哲学家、数学家，历史上少见的通才。

他本人是一名律师，经常往返于各大城镇，他许多的公式都是在颠簸的马车上完成的，他也自称具有男爵的贵族身份。

莱布尼茨在数学史和哲学史上都占有重要地位。

在数学上，他和牛顿先后独立发现了微积分，而且他所使用的微积分的数学符号被更广泛的使用，莱布尼茨所发明的符号被普遍认为更综合，适用范围更加广泛。

“哥德巴赫猜想”讲义（第17讲）“哥德巴赫猜想”证明（12）主讲王若仲第16讲我们讲解了核心部分的推论1和推论2，这一讲我们讲核心部分的推论3和推论4。

推论3：对于任何一个比较大的偶数2m，设奇素数p1，p2，p3，…，p t均为不大于√2m的全体奇素数（p i＜ p j ，i＜j，i、j=1，2，3，…，t），t∈N，且偶数2m均不含有奇素数因子p1，p2，p3，…，p t；那么集合{p1，3p1,5p1，7p1，9p1，…，（2m1-1）p1}∩{p2，3p2,5p2，7p2，9p2，…，（2m2-1）p2}∩{p3，3p3,5p3，7p3，9p3，…，（2m3-1）p3}∩…∩{p t，3p t,5p t，7p t，9p t，…，（2m t-1）p t}中奇数的总个数与集合{p1，3p1,5p1，7p1，9p1，…，（2m1-1）p1}∩{p2，3p2,5p2，7p2，9p2，…，（2m2-1）p2}∩{p3，3p3,5p3，7p3，9p3，…，（2m3-1）p3}∩…∩{p r，3p r,5p r，7p r，9p r，…，（2m r-1）p r}∩{（2m-p r+1），（2m-3p r+1）,（2m-5p r+1），（2m-7p r+1），（2m-9p r+1），…，[2m-（2m r+1-1）p r+1]}∩{（2m-p r+2），（2m-3p r+2）, （2m-5p r+2），（2m-7p r+2），（2m-9p r+2），…，[2m-（2m r+2-1）p r+2]}∩{（2m-p r+3），（2m-3p r+3）,（2m-5p r+3），（2m-7p r+3），（2m-9p r+3），…，[2m-（2m r+3-1）p r+3]}∩…∩{（2m-p t），（2m-3p t）,（2m-5p t），（2m-7p t），（2m-9p t），…，[2m-（2m t-1）p t]}中奇数的总个数相等。

“哥德巴赫猜想”讲义（第2讲）“哥德巴赫猜想”历史上的研究方法及其进展（1）主讲王若仲第1讲我们讲了“哥德巴赫猜想”的来历，我们接着讲“哥德巴赫猜想”历史上的研究方法及其进展（1）。

“哥德巴赫猜想”历史上的研究方法，比较有名的大致有下面四种：（1）筛法，（2）圆法，（3）密率法，（4）三角求和法。

其中：筛法是求不超过自然数Ｎ（Ｎ＞1）的所有素数的一种方法，2m=a+b，a=p1p2p3…p i，b=q1q2q3…q j，筛法的基本出发点，即加权筛法；圆法是三角和（指数和）估计方法；密率法（概率法）是函数估值法。

哥德巴赫猜想相当困难。

直至今日，数学家对于强哥德巴赫猜想的完整证明没有任何头绪。

事实上，从1742年这个猜想正式出现，到二十世纪初期，在超过160年的时间里，尽管许多数学家对这个猜想进行了研究，但没有取得任何实质性的进展，也没有获得任何有效的研究方法。

二十世纪以前对哥德巴赫猜想的研究，仅限于做一些数值上的验证工作，提出一些等价的关系式，或对之做一些进一步的猜测。

1900年，希尔伯特在第二届国际数学家大会上提出的著名的二十三个希尔伯特问题之中的第八个问题，就包括了哥德巴赫猜想和与它类似的孪生素数猜想。

希尔伯特的问题引发了数学家的极大兴趣，但对于哥德巴赫猜想的研究仍旧毫无进展。

1912年第五届国际数学家大会上，德国数论专家爱德蒙·朗道曾经说过，即使要证明每个偶数能够表示成K个质数的和，不管K是多少，都是数学家力所不及的。

1921年，英国数学家戈弗雷·哈罗德·哈代曾经在哥本哈根数学会议的一次演讲中声称：“哥德巴赫猜想的困难程度可以与任何一个已知的数学难题相比”。

下面讲“哥德巴赫猜想”的研究进展，我们从四个途径来阐述。

途径一：1920年挪威数学家布朗提供了一种证明的思路，即殆素数，他使用推广的“筛法”证明了所有充分大的偶数都能表示成两个数之和，并且两个数的质因数个数都不超过9个。