徐州市、宿迁市2013高三三模数学试题及答案

1.不悔悔梦归处，只恨太匆匆。

2. 有些人错过了，永远无法在回到从前；有些人即使遇到了，永远都无法在一起，这些都是一种刻骨铭心的痛！3. 每一个人都有青春，每一个青春都有一个故事，每个故事都有一个遗憾，每个遗憾都有它的青春美。

4. 方茴说："可能人总有点什么事，是想忘也忘不了的。

”5. 方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。

我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。

”6方茴说："我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。

7. 在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。

8. 这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。

9. 石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。

宿迁市高三年级第三次模拟考试数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1 •本试卷共4页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题），满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将答题卡交回。

2. 答题前，请您务必将自己的姓名、考试号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上，并用2B铅笔正确涂写考试号。

3•作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。

参考公式：2 1 n - 2 - 1 n 样本数据x1,χ2,lll,Xn的方差S（Xi-χ）,其中X X ；n y n i二1 锥体的体积公式：V锥体- Sh ,其中S为锥体的底面面积，h是咼.3一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分•请把答案填写在答题卡相应位置上a + 3i1. 已知i是虚数单位，若一b + i（a,b∙ R）,则ab的值为▲.i2. 某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7 , 9.9,10.1 ,10.2 ,10.1 ,则这组数据的方差为▲.3. 右图是一个算法流程图，则输出的S的值是▲.开始i 一1 S _1SS 15. 方程2 2丄一丄k一1 k -5=1表示双曲线的充要条件是1.“噢，居然有土龙肉，给我一块！”H i ■ 1输岀S（第3题图）2. 有些人错过了，永远无法在回到从前；有些人即使遇到了，永远都无法在一起，这些都是一种刻骨铭心的痛！3. 每一个人都有青春，每一个青春都有一个故事，每个故事都有一个遗憾，每个遗憾都有它的青春美。

江苏省宿迁市2013届高三年级第三次模拟测试数学Ⅰ参考公式：样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑；锥体的体积公式：1=3V Sh 锥体，其中S 为锥体的底面面积，h 是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知i 是虚数单位，若3ii(,)ia b a b =∈++R ，则ab 的值为 ▲ ． 2. 某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7,9.9,10.1,10.2,10.1，则这组数据的方差为 ▲ ．3. 右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ ．4. 若集合{}1,0,1A =-，{}|cos(),B y y x x A ==π∈，则AB = ▲ ．5. 方程22115x y k k =-++表示双曲线的充要条件是k ∈ ▲ ． 6．在ABC △中，已知4cos 5A =，1tan()2A B -=-，则tan C 的值是 ▲ ．7. 已知实数,x y 满足1,3,10,x y x y -⎧⎪⎨⎪-⎩+≥≤≤则222x y x -+的最小值是 ▲ ．8. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若77S =，1575S =，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前20项和为 ▲ ．9. 已知三棱锥P ABC -的所有棱长都相等，现沿PA ，PB ，PC 三条侧棱剪开，将其表面展开成一（第3题图）个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为P ABC -的体积为 ▲ ． 10．已知O 为ABC △的外心，若51213OA OB OC +-=0，则C ∠等于 ▲ ．11. 已知数字发生器每次等可能地输出数字1或2中的一个数字，则连续输出的4个数字之和能被3整除的概率是 ▲ ． 12. 若0,0a b >>，且11121a b b =+++，则2a b +的最小值为 ▲ ． 13．已知函数2,01,()12, 1.2x x x f x x +<⎧⎪=⎨+⎪⎩≤≥若0a b >≥，且()()f a f b =，则()bf a 的取值范围是 ▲ ．14. 已知曲线C ：()(0)af x x a x=>+，直线l ：y x =，在曲线C 上有一个动点P ，过点P 分别作直线l 和y 轴的垂线，垂足分别为,A B .再过点P 作曲线C 的切线，分别与直线l 和y 轴相交于点,M N ，O 是坐标原点.若ABP △的面积为12，则OMN △的面积为 ▲ ． 二、解答题: 本大题共6小题， 15~17每小题14分，18~20每小题16分，共计90分．请在答题卡．．．指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． BF CE .求证：平面ACE16．已知ABC △的面积为S ，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，32AB AC S =． ⑴求cos A 的值；⑵若,,a b c 成等差数列，求sin C 的值．17．已知一块半径为r 的残缺的半圆形材料ABC ，O 为半圆的圆心，12OC r =，残缺部分位于过点C 的竖直线的右侧．现要在这块材料上截出一个直角三角形，有两种设计方案：如图甲，以BC为斜边；如图乙，直角顶点E 在线段OC 上，且另一个顶点D 在AB 上．要使截出的直角三角形的面积最大，应该选择哪一种方案？请说明理由，并求出截得直角三角形面积的最大值．（第15题图）18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =，12,A A 分别是椭圆E 的左、右两个顶点，圆2A 的半径为a ，过点1A 作圆2A 的切线，切点为P ，在x 轴的上方交椭圆E 于点Q ． ⑴求直线OP 的方程；⑵求1PQ QA 的值；⑶设a 为常数．过点O 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆E 于点,B C ，分别交圆2A 于点,M N ，记OBC △和OMN △的面积分别为1S ，2S ，求12S S ⋅的最大值．19．已知数列{}n a 满足：12(0)a a a =+≥，1n a +=*n ∈N ． ⑴若0a =，求数列{}n a 的通项公式；⑵设1n n n b a a +=-，数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明：1n S a <．（第18题图）20．已知函数2()ln f x x ax x =--，a ∈R ．⑴若函数()y f x =在其定义域内是单调增函数，求a 的取值范围；⑵设函数()y f x =的图象被点(2,(2))P f 分成的两部分为12,c c （点P 除外），该函数图象在点P 处的切线为l ，且12,c c 分别完全位于直线l 的两侧，试求所有满足条件的a 的值．宿迁市高三年级第三次模拟测试数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】本大题包括A 、B 、C 、D 共4小题，请从这4题中选做2小题．每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4-1：几何证明选讲如图，已知圆A ，圆B 都经过点C ，BC 是圆A 的切线，圆B 交AB 于点D ，连结CD 并延长交圆A 于点E ，连结AE .求证2DE DC AD DB ⋅=⋅.B ．选修4-2：矩阵与变换已知,a b ∈R ，若矩阵13a b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 所对应的变换把直线l ：23x y -=变换为自身，求1-M .C ．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知直线2cos sin 0(0)a a ρθρθ=>++被圆4sin ρθ=截得的弦长为2，求a 的值.D ．选修4-5：不等式选讲已知,,x y z ∈R ，且234x y z --=，求222x y z ++的最小值． 22．【必做题】本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知16AA =，2AB =，,M N 分别是棱1BB ，1CC 上的点，且4BM =，2CN =.⑴求异面直线AM 与11A C 所成角的余弦值；⑵求二面角1M AN A --的正弦值.（第22题图）ABCA 1B 1C 1MNEA B C D （第21—A 题图）23．【必做题】本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知函数021*********()C C C C (1)C (1)n n n r r n r n n n n n n n n f x x x x x x ------=-+-+-++-,n *∈N ． ⑴当2n ≥时，求函数()f x 的极大值和极小值；⑵是否存在等差数列{}n a ，使得01121C C C (2)nn n n n a a a nf ++++=对一切n *∈N 都成立？并说明理由．宿迁市高三年级第三次模拟测试数学参考答案与评分标准一、填空题1.3-；2. 0.032；3.58； 4. {1,1}-； 5.(1,5)-； 6.112； 7.1；8.55； 9.9； 10.3π4； 11. 38； 12. 13.5[,3)4； 14. 4二、解答题15.⑴因为CE ⊥圆O 所在的平面，BC ⊂圆O 所在的平面，所以CE BC ⊥，………………………………………………………………………………2分 因为AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上，所以AC BC ⊥， ……………………………3分 因为AC CE C =，,AC CE ⊂平面ACE ，所以BC ⊥平面ACE ，………………………………………………………………………5分 因为BC ⊂平面BCEF ，所以平面BCEF ⊥平面ACE ．…………………………………7分 ⑵由⑴AC BC ⊥，又因为CD 为圆O 的直径， 所以BD BC ⊥，因为,,AC BC BD 在同一平面内，所以AC BD ，…………………………………………9分 因为BD ⊄平面ACE ，AC ⊂平面ACE ，所以BD 平面ACE ．………………………11分 因为BF CE ，同理可证BF 平面ACE ， 因为BD BF B =，,BD BF ⊂平面BDF ， 所以平面BDF 平面ACE ，因为DF ⊂平面BDF ，所以DF 平面ACE ．……………………………………………14分16.⑴由32AB AC S =，得31cos sin 22bc A bc A =⨯，即4sin cos 3A A =．……………2分代入22sin cos 1A A =+，化简整理得，29cos 25A =．……………………………………4分由4sin cos 3A A =，知cos 0A >，所以3cos 5A =．………………………………………6分⑵由2b a c =+及正弦定理，得2sin sin sin B A C =+，即2sin()sin sin A C A C =++，………………………………………………………………8分 所以2sin cos 2cos sin sin sin A C A C A C =++．①由3cos 5A =及4sin cos 3A A =，得4sin 5A =，……………………………………………10分 代入①，整理得4sin cos 8CC -=．代入22sin cos 1C C =+，整理得265sin 8sin 480C C --=，……………………………12分解得12sin 13C =或4sin 5C =-．因为(0,)C ∈π，所以12sin 13C =．…………………………………………………………14分17．如图甲，设DBC α∠=，则3cos 2r BD α=，3sin 2rDC α=， ………………………………………………2分所以29sin 216BDC S r α=△………………………………………………………………………4分2916r ≤， 当且仅当π4α=时取等号， …………………………………………………6分此时点D 到BC 的距离为34r ，可以保证点D 在半圆形材料ABC 内部，因此按照图甲方案得到直角三角形的最大面积为2916r ． …………………………………………………7分如图乙，设EOD θ∠=，则cos OE r θ=，sin DE r θ=，所以21(1cos )sin 2BDE S r θθ=+△，ππ[,]32θ∈ ． …………………………………10分设21()(1cos )sin 2f r θθθ=+，则21()(1cos )(2cos 1)2f r θθθ'=+-，当ππ[,]32θ∈时，()0f θ'≤，所以π3θ=时，即点E 与点C 重合时，BDE △2． ………………………………………………………13分22916r >，（第17题甲图）（第17题乙图）2．…………14分 18．⑴连结2A P ，则21A P A P ⊥，且2A P a =， 又122A A a =，所以1260A A P ∠=.所以260POA ∠=，所以直线OP的方程为y =.……………………………………3分 ⑵由⑴知，直线2A P的方程为)y x a =-，1A P的方程为)y x a =+， 联立解得2P ax =. ………………………………………………………………………5分因为e =c a =2234c a =，2214b a =，故椭圆E 的方程为222241x y a a =+.由2222),41,y x a x y a a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩+解得7Q a x =-，…………………………………………………………7分 所以1()3274()7a aPQ a QA a --==---． ………………………………………………………………8分 ⑶不妨设OM 的方程为(0)y kx k =>，联立方程组2222,41,y kx x y aa =⎧⎪⎨=⎪⎩+解得B ，所以OB =10分用1k-代替上面的k，得OC =．同理可得，OM =，ON =．…………………………………………13分所以41214S S OB OC OM ON a ⋅=⋅⋅⋅⋅=．………………………14分15=，当且仅当1k=时等号成立，所以12S S⋅的最大值为45a．………………………………16分19．⑴若0a=时，12a=，1na+=212n na a+=，且0na>．两边取对数，得1lg22lg lgnna a+=+，……………………………………………………2分化为11lg lg2(lg lg2)2nna a+=++，因为1lg lg22lg2a=+，所以数列{lg lg2}na+是以2lg2为首项，12为公比的等比数列．……………………4分所以11lg lg22()lg22nna-=+，所以2212nna--=．………………………………………6分⑵由1na+=212n na a a+=+，①当2n≥时，212n na a a-=+，②①-②，得1112()()n n nn n na a a a a a++--=-+，…………………………………………8分由已知0na>，所以1nna a+-与1n na a--同号．…………………………………………10分因为2a=0a>，所以222212(2)(1)330a a a a a a-=-=>++++恒成立，所以21a a-<，所以1nna a+-<．………………………………………………………12分因为1n nnb a a+=-，所以1()n nnb a a+=--，所以21321[()()()]n nnS a a a a a a+=----+++11111()n na a a a a++=--=-<．…………………………………………………………16分20．⑴2121()21(0)ax xf x ax xx x-'=--=->+，………………………………………2分只需要2210ax x+-≤，即22111112()24ax x x-=--≤，所以18a -≤．…………………………………………………………………………………4分 ⑵因为1()21f x ax x'=--． 所以切线l 的方程为1(4)(2)ln 2422y a x a =---+--．令21()ln (4)(2)ln 2422g x x ax x a x a ⎡⎤=------+--⎢⎥⎣⎦，则(2)0g =．212(4)1112()242ax a x g x ax a x x---'=-+-=-．………………………………………6分 若0a =，则2()2xg x x-'=， 当(0,2)x ∈时，()0g x '>；当(2,)x ∈∞+时，()0g x '<，所以()(2)0g x g =≥，12,c c 在直线l 同侧，不合题意；…………………………………8分若0a ≠，12(2)()4()a x x a g x x-+'=-，若18a =-，2(1)2()0xg x x -'=≥，()g x 是单调增函数， 当(2,)x ∈∞+时，()(2)0g x g >=；当(0,2)x ∈时，()(2)0g x g <=，符合题意；…10分若18a <-，当1(,2)4x a∈-时，()0g x '<，()(2)0g x g >=， 当(2,)x ∈+∞时，()0g x '>，()(2)0g x g >=，不合题意； …………………………12分 若108a -<<，当1(2,)4x a∈-时，()0g x '<，()(2)0g x g <=， 当(0,2)x ∈时，()0g x '>，()(2)0g x g <=，不合题意； ……………………………14分 若0a >，当(0,2)x ∈时，()0g x '>，()(2)0g x g <=， 当(2.)x ∈+∞时，()0g x '<，()(2)0g x g <=，不合题意．故只有18a =-符合题意． ………………………………………………………………16分附加题21．A ．由已知，AC BC ⊥，因为90ACD BCD ∠∠=︒+，FA BC DAC AE =，BC BD =，所以ACD E ∠=∠，BCD BDC ∠=∠，因为ADE BDC ∠=∠，所以90E ADE ∠∠=︒+，所以AE AB ⊥.……………………………………………5分 延长DB 交B 于点F ，连结FC ，则2DF DB =，90DCF ∠=︒，所以ACD F ∠=∠，所以E F ∠=∠，所以Rt ADE △∽Rt CDF △， 所以AD DECD DF=，所以DE DC AD DF ⋅=⋅，因为2DF DB =， 所以2DE DC AD DB ⋅=⋅.…………………………………………………………………10分 B ．对于直线l 上任意一点(),x y ，在矩阵M 对应的变换作用下变换成点(),x y ''，则133a x x ay x b y bx y y '--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦++， 因为23x y ''-=，所以2()(3)3x ay bx y --=++， ………………………………………4分所以22,231,b a --=⎧⎨-=-⎩解得1,4.a b =⎧⎨=-⎩所以1143-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M ， …………………………………………………………………………7分 所以13141--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M . ………………………………………………………………10分 C ．直线的极坐标方程化为直角坐标方程为20x y a =++， …………………………3分 圆的极坐标方程化为直角坐标方程为224x y y =+，即22(2)4x y -=+ ，…………6分因为截得的弦长为2，所以圆心(0,2)==0a >，所以2a =. ………………………………………10分D ．由柯西不等式，得2222222[(2)(3)][1(2)(3)]()x y z x y z ----++++++≤，即2222(23)14()x y z x y z --++≤， ……………………………………………………5分 即2221614()x y z ++≤.所以22287x y z ++≥，即222x y z ++的最小值为87. …………………………………10分22．⑴以AC 的中点为原点O ，分别以,OA OB 所在直线为,x z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -（如图）. 则(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，(1,0,0)C -，B ，1(1,6,0)C -.所以(AM =-，11(2,0,0)A C =-. 所以111111cos ,2AM A C AM A C AM A C <>==所以异面直线AM 与11A C 所成角的余弦值为10⑵平面1ANA 的一个法向量为(0,0,1)=m .设平面AMN 的法向量为(,,)x y z =n ，因为(AM =-，(2,2,0)AN =-，由,,AM AN ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n 得40,220,x y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩++令1x =，则(1,1,=n .所以3cos ,-<>===m n m n m n ， 所以二面角1M AN A --. ……………………………………………10分 23．（1）101122()[C C C C (1)(1)C ]n n n n r r n r n n n n n n n f x x x x x x ----=-+-⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+- =1(1)n n xx --， 211()(1)(1)(1)n n n n f x n x x x n x ---'=--+⋅-=21(1)[(1)(1)]n n x x n x nx -----+，令()0f x '=得12310,,121n x x x n -===-， 因为2n ≥，所以123x x x <<．…………………………………………………2分 当n 为偶数时()f x 的增减性如下表：x(,0)-∞1(0,)21n n --121n n --1(,1)21n n --1(1,)+∞()f x '++-+()f x无极极极值 大值 小值所以当121n x n -=-时，121(1)()(21)n n n n n y n ---⋅--极大；当1x =时，0y =极小．………4分当n 为奇数时()f x 的增减性如下表： 所以时，0x =0y =极大；当121n x n -=-时，121(1)()(21)n n n n n y n ---⋅-=-极小．…………6分 （2）假设存在等差数列{}n a 使01211231C C C C 2n n n n n n n a a a a n -++++⋅⋅⋅+=⋅成立， 由组合数的性质C C m n mn n-=， 把等式变为0121111C C C C 2n n n n n n n n n a a a a n -+-+++⋅⋅⋅+=⋅， 两式相加，因为{}n a 是等差数列，所以1123111n n n n a a a a a a a a +-++=+=+==+，故0111()(C C C )2nn n n n n a a n +++++=⋅，所以11n a a n ++=． …………………………………………………………………8分 再分别令12n n ==，，得121a a +=且132a a +=，进一步可得满足题设的等差数列{}n a 的通项公式为1()n a n n *=-∈N ．………10分x(,0)-∞1(0,)21n n -- 121n n -- 1(,1)21n n -- 1(1,)+∞()f x '+-++()f x极大值极小值无极值。

江苏省宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学Ⅰ参考公式：样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑；锥体的体积公式：1=3V Sh 锥体，其中S 为锥体的底面面积，h 是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知i 是虚数单位，若3ii(,)ia b a b =∈++R ，则ab 的值为 ▲ ． 2. 某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7,9.9,10.1,10.2,10.1，则这组数据的方差为 ▲ ．3. 右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ ．4. 若集合{}1,0,1A =-，{}|cos(),B y y x x A ==π∈，则AB = ▲ ．5. 方程22115x y k k =-++表示双曲线的充要条件是k ∈ ▲ ． 6．在ABC △中，已知4cos 5A =，1tan()2A B -=-，则tan C 的值是 ▲ ．7. 已知实数,x y 满足1,3,10,x y x y -⎧⎪⎨⎪-⎩+≥≤≤则222x y x -+的最小值是 ▲ ．8. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若77S =，1575S =，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前20项和为 ▲ ．9. 已知三棱锥P ABC -的所有棱长都相等，现沿PA ，PB ，PC 三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为P ABC -的体积为 ▲ ． 10．已知O 为ABC △的外心，若51213OA OB OC +-=0，则C ∠等于 ▲ ．（第3题图）11. 已知数字发生器每次等可能地输出数字1或2中的一个数字，则连续输出的4个数字之和能被3整除的概率是 ▲ ． 12. 若0,0a b >>，且11121a b b =+++，则2a b +的最小值为 ▲ ． 13．已知函数2,01,()12, 1.2x x x f x x +<⎧⎪=⎨+⎪⎩≤≥若0a b >≥，且()()f a f b =，则()bf a 的取值范围是 ▲ ．14. 已知曲线C ：()(0)af x x a x=>+，直线l ：y x =，在曲线C 上有一个动点P ，过点P 分别作直线l 和y 轴的垂线，垂足分别为,A B .再过点P 作曲线C 的切线，分别与直线l 和y 轴相交于点,M N ，O 是坐标原点.若ABP △的面积为12，则OMN △的面积为 ▲ ． 二、解答题: 本大题共6小题， 15~17每小题14分，18~20每小题16分，共计90分．请在答题卡．．．指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． CE .求证：BCEF ⊥平面ACE 平面ACE16．已知ABC △的面积为S ，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，32AB AC S =． ⑴求cos A 的值；⑵若,,a b c 成等差数列，求sin C 的值．17．已知一块半径为r 的残缺的半圆形材料ABC ，O 为半圆的圆心，12OC r =，残缺部分位于过点C 的竖直线的右侧．现要在这块材料上截出一个直角三角形，有两种设计方案：如图甲，以BC为斜边；如图乙，直角顶点E 在线段OC 上，且另一个顶点D 在AB 上．要使截出的直角三角形的面积最大，应该选择哪一种方案？请说明理由，并求出截得直角三角形面积的最大值．（第17题甲图） （第17题乙图）（第15题图）18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率2e =，12,A A 分别是椭圆E 的左、右两个顶点，圆2A 的半径为a ，过点1A 作圆2A 的切线，切点为P ，在x 轴的上方交椭圆E 于点Q ． ⑴求直线OP 的方程；⑵求1PQ QA 的值；⑶设a 为常数．过点O 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆E 于点,B C ，分别交圆2A 于点,M N ，记OBC △和OMN △的面积分别为1S ，2S ，求12S S ⋅的最大值．19．已知数列{}n a 满足：12(0)a a a =+≥，1n a +=*n ∈N ． ⑴若0a =，求数列{}n a 的通项公式；⑵设1n n n b a a +=-，数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明：1n S a <．（第18题图）20．已知函数2()ln f x x ax x =--，a ∈R ．⑴若函数()y f x =在其定义域内是单调增函数，求a 的取值范围；⑵设函数()y f x =的图象被点(2,(2))P f 分成的两部分为12,c c （点P 除外），该函数图象在点P 处的切线为l ，且12,c c 分别完全位于直线l 的两侧，试求所有满足条件的a 的值．宿迁市高三年级第三次模拟考试数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】本大题包括A 、B 、C 、D 共4小题，请从这4题中选做2小题．每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4-1：几何证明选讲如图，已知圆A ，圆B 都经过点C ，BC 是圆A 的切线，圆B 交AB 于点D ，连结CD 并延长交圆A 于点E ，连结AE .求证2DE DC AD DB ⋅=⋅.A BC DB ．选修4-2：矩阵与变换已知,a b ∈R ，若矩阵13a b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 所对应的变换把直线l ：23x y -=变换为自身，求1-M .C ．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知直线2cos sin 0(0)a a ρθρθ=>++被圆4sin ρθ=截得的弦长为2，求a 的值.D ．选修4-5：不等式选讲已知,,x y z ∈R ，且234x y z --=，求222x y z ++的最小值． 22．【必做题】本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知16AA =，2AB =，,M N 分别是棱1BB ，1CC 上的点，且4BM =，2CN =.⑴求异面直线AM 与11A C 所成角的余弦值；⑵求二面角1M AN A --的正弦值.23．【必做题】本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知函数021122223211()C C C C (1)C (1)n n n rr n r n n n n n n n n f x x x xx x------=-+-+-++-,n *∈N ． （第22题图）A BC A 1B 1C 1 MN⑴当2n ≥时，求函数()f x 的极大值和极小值；⑵是否存在等差数列{}n a ，使得01121C C C (2)nn n n n a a a nf ++++=对一切n *∈N 都成立？并说明理由．宿迁市高三年级第三次模拟考试数学参考答案与评分标准一、填空题1.3-；2. 0.032；3.58； 4. {1,1}-； 5.(1,5)-； 6.112； 7.1；8.55； 9.9； 10.3π4； 11. 38； 12. 13.5[,3)4； 14. 4二、解答题15.⑴因为CE ⊥圆O 所在的平面，BC ⊂圆O 所在的平面，所以CE BC ⊥，………………………………………………………………………………2分 因为AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上，所以AC BC ⊥， ……………………………3分 因为AC CE C =，,AC CE ⊂平面ACE ，所以BC ⊥平面ACE ，………………………………………………………………………5分 因为BC ⊂平面BCEF ，所以平面BCEF ⊥平面ACE ．…………………………………7分 ⑵由⑴AC BC ⊥，又因为CD 为圆O 的直径， 所以BD BC ⊥，因为,,AC BC BD 在同一平面内，所以AC BD ，…………………………………………9分 因为BD ⊄平面ACE ，AC ⊂平面ACE ，所以BD 平面ACE ．………………………11分 因为BF CE ，同理可证BF 平面ACE ， 因为BD BF B =，,BD BF ⊂平面BDF ， 所以平面BDF 平面ACE ，因为DF ⊂平面BDF ，所以DF 平面ACE ．……………………………………………14分16.⑴由32AB AC S =，得31cos sin 22bc A bc A =⨯，即4sin cos 3A A =．……………2分代入22sin cos 1A A =+，化简整理得，29cos 25A =．……………………………………4分由4sin cos 3A A =，知cos 0A >，所以3cos 5A =．………………………………………6分⑵由2b a c =+及正弦定理，得2sin sin sin B A C =+，即2sin()sin sin A C A C =++，………………………………………………………………8分 所以2sin cos 2cos sin sin sin A C A C A C =++．①由3cos 5A =及4sin cos 3A A =，得4sin 5A =，……………………………………………10分代入①，整理得4sin cos 8CC -=．代入22sin cos 1C C =+，整理得265sin 8sin 480C C --=，……………………………12分解得12sin 13C =或4sin 5C =-． 因为(0,)C ∈π，所以12sin 13C =．…………………………………………………………14分17．如图甲，设DBC α∠=，则3cos 2r BD α=，3sin 2rDC α=， ………………………………………………2分所以29sin 216BDC S r α=△………………………………………………………………………4分2916r ≤， 当且仅当π4α=时取等号， …………………………………………………6分此时点D 到BC 的距离为34r ，可以保证点D 在半圆形材料ABC 内部，因此按照图甲方案得到直角三角形的最大面积为2916r ． …………………………………………………7分如图乙，设EOD θ∠=，则cos OE r θ=，sin DE r θ=，所以21(1cos )sin 2BDE S r θθ=+△，ππ[,]32θ∈ ． …………………………………10分设21()(1cos )sin 2f r θθθ=+，则21()(1cos )(2cos 1)2f r θθθ'=+-，当ππ[,]32θ∈时，()0f θ'≤，所以π3θ=时，即点E 与点C 重合时，BDE △2． ………………………………………………………13分22916r >，2．…………14分18．⑴连结2A P ，则21A P A P ⊥，且2A P a =， 又122A A a =，所以1260A A P ∠=.所以260POA ∠=，所以直线OP的方程为y =.……………………………………3分（第17题甲图）（第17题乙图）⑵由⑴知，直线2A P的方程为)y x a =-，1A P的方程为)y x a =+， 联立解得2P ax =. ………………………………………………………………………5分因为e =c a =2234c a =，2214b a =，故椭圆E 的方程为222241x y a a =+.由2222),41,y x a x y a a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩+解得7Q a x =-，…………………………………………………………7分 所以1()3274()7a aPQ a QA a --==---． ………………………………………………………………8分 ⑶不妨设OM 的方程为(0)y kx k =>，联立方程组2222,41,y kx x y aa =⎧⎪⎨=⎪⎩+解得B ，所以OB =10分用1k-代替上面的k，得OC =．同理可得，OM =，ON =．…………………………………………13分所以41214S S OB OC OM ON a ⋅=⋅⋅⋅⋅=14分15，当且仅当1k =时等号成立，所以12S S ⋅的最大值为45a ．………………………………16分19．⑴若0a =时，12a =，1n a +=212n n a a +=，且0n a >． 两边取对数，得1lg 22lg lg n n a a +=+，……………………………………………………2分化为11lg lg 2(lg lg 2)2n n a a +=++，因为1lg lg22lg2a =+，所以数列{lg lg2}n a +是以2lg2为首项，12为公比的等比数列．……………………4分 所以11lg lg22()lg22n n a -=+，所以2212n n a --=．………………………………………6分⑵由1n a +=212n n a a a +=+，① 当2n ≥时，212n n a a a -=+，②①-②，得1112()()n n n n n n a a a a a a ++--=-+，…………………………………………8分 由已知0n a >，所以1n n a a +-与1n n a a --同号．…………………………………………10分因为2a =0a >，所以222212(2)(1)330a a a a a a -=-=>++++恒成立， 所以210a a -<，所以10n n a a +-<．………………………………………………………12分 因为1n n n b a a +=-，所以1()n n n b a a +=--， 所以21321[()()()]n n n S a a a a a a +=----+++11111()n n a a a a a ++=--=-<．…………………………………………………………16分20．⑴2121()21(0)ax x f x ax x x x-'=--=->+，………………………………………2分只需要2210ax x +-≤，即22111112()24a x x x -=--≤，所以18a -≤．…………………………………………………………………………………4分⑵因为1()21f x ax x'=--．所以切线l 的方程为1(4)(2)ln 2422y a x a =---+--．令21()ln (4)(2)ln 2422g x x ax x a x a ⎡⎤=------+--⎢⎥⎣⎦，则(2)0g =．212(4)1112()242ax a x g x ax a x x---'=-+-=-．………………………………………6分 若0a =，则2()2xg x x-'=， 当(0,2)x ∈时，()0g x '>；当(2,)x ∈∞+时，()0g x '<，所以()(2)0g x g =≥，12,c c 在直线l 同侧，不合题意；…………………………………8分若0a ≠，12(2)()4()a x x a g x x-+'=-，若18a =-，2(1)2()0xg x x -'=≥，()g x 是单调增函数， 当(2,)x ∈∞+时，()(2)0g x g >=；当(0,2)x ∈时，()(2)0g x g <=，符合题意；…10分若18a <-，当1(,2)4x a∈-时，()0g x '<，()(2)0g x g >=， 当(2,)x ∈+∞时，()0g x '>，()(2)0g x g >=，不合题意； …………………………12分 若108a -<<，当1(2,)4x a∈-时，()0g x '<，()(2)0g x g <=， 当(0,2)x ∈时，()0g x '>，()(2)0g x g <=，不合题意； ……………………………14分 若0a >，当(0,2)x ∈时，()0g x '>，()(2)0g x g <=， 当(2.)x ∈+∞时，()0g x '<，()(2)0g x g <=，不合题意．故只有18a =-符合题意． ………………………………………………………………16分附加题21．A ．由已知，AC BC ⊥，因为90ACD BCD ∠∠=︒+，AC AE =，BC BD =，所以ACD E ∠=∠，BCD BDC ∠=∠，因为ADE BDC ∠=∠，所以90E ADE ∠∠=︒+，所以AE AB ⊥.……………………………………………5分 延长DB 交B 于点F ，连结FC ，则2DF DB =，90DCF ∠=︒， 所以ACD F ∠=∠，所以EF ∠=∠，所以Rt ADE △∽Rt CDF △，FEA BC D （第21—A 题图）所以AD DECD DF=，所以DE DC AD DF ⋅=⋅，因为2DF DB =， 所以2DE DC AD DB ⋅=⋅.…………………………………………………………………10分 B ．对于直线l 上任意一点(),x y ，在矩阵M 对应的变换作用下变换成点(),x y ''，则133a x x ay x b y bx y y '--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦++， 因为23x y ''-=，所以2()(3)3x ay bx y --=++， ………………………………………4分所以22,231,b a --=⎧⎨-=-⎩解得1,4.a b =⎧⎨=-⎩所以1143-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M ， …………………………………………………………………………7分 所以13141--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M . ………………………………………………………………10分 C ．直线的极坐标方程化为直角坐标方程为20x y a =++， …………………………3分 圆的极坐标方程化为直角坐标方程为224x y y =+，即22(2)4x y -=+ ，…………6分 因为截得的弦长为2，所以圆心(0,2)==0a >，所以2a =. ………………………………………10分D ．由柯西不等式，得2222222[(2)(3)][1(2)(3)]()x y z x y z ----++++++≤，即2222(23)14()x y z x y z --++≤， ……………………………………………………5分 即2221614()x y z ++≤.所以22287x y z ++≥，即222x y z ++的最小值为87. …………………………………10分22．⑴以AC 的中点为原点O ，分别以,OA OB 所在直线为,x z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -（如图）. 则(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，(1,0,0)C -，B ，1(1,6,0)C -.所以(AM =-，11(2,0,0)A C =-.所以111111cos ,2AM A C AMA C AM A C <>===， 所以异面直线AM 与11A C.…………………………………………5分 ⑵平面1ANA 的一个法向量为(0,0,1)=m .设平面AMN 的法向量为(,,)x y z =n ，因为(AM =-，(2,2,0)AN =-，由,,AM AN ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n 得40,220,x y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩++令1x =，则(1,1,=n .所以3cos ,5-<>===m n m n m n ， 所以二面角1M AN A --. ……………………………………………10分 23．（1）101122()[C C C C (1)(1)C ]n n n n r r n r n n n n n n n f x x x x x x ----=-+-⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+- =1(1)n n xx --， 211()(1)(1)(1)n n n n f x n x x x n x ---'=--+⋅-=21(1)[(1)(1)]n n x x n x nx -----+，令()0f x '=得12310,,121n x x x n -===-， 因为2n ≥，所以123x x x <<．…………………………………………………2分 当n 为偶数时()f x 的增减性如下表：x(,0)-∞1(0,)21n n --121n n --1(,1)21n n --1(1,)+∞()fx '++ 0-+()f x无极值极大值极小值所以当121n x n -=-时，121(1)()(21)n n n n n y n ---⋅--极大；当1x =时，0y =极小．………4分当n 为奇数时()f x 的增减性如下表：所以时，0x =0y =极大；当121n x n -=-时，121(1)()(21)n n n n n y n ---⋅-=-极小．…………6分（2）假设存在等差数列{}n a 使01211231C C C C 2n n n n n n n a a a a n -++++⋅⋅⋅+=⋅成立， 由组合数的性质C C m n mn n-=， 把等式变为0121111C C C C 2n n n n n n n n n a a a a n -+-+++⋅⋅⋅+=⋅， 两式相加，因为{}n a 是等差数列，所以1123111n n n n a a a a a a a a +-++=+=+==+，故0111()(C C C )2n nn n n n a a n +++++=⋅，所以11n a a n ++=． …………………………………………………………………8分 再分别令12n n ==，，得121a a +=且132a a +=，进一步可得满足题设的等差数列{}n a 的通项公式为1()n a n n *=-∈N ．………10分x(,0)-∞1(0,)21n n --121n n --1(,1)21n n --1(1,)+∞()f x '+ 0-+ 0+()f x极大值极小值无极值。

2013年江苏省徐州市、宿迁市高考数学三模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）（2013•徐州三模）已知i是虚数单位，若，则ab的值为﹣3．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把给出的等式的左边利用复数的除法运算化简，然后利用复数相等的条件求出a，b的值，则答案可求．解答：解：由，得．所以b=3，a=﹣1．则ab=（﹣1）×3=﹣3．故答案为﹣3．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题．2．（5分）（2013•徐州三模）某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为0.032．考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：先计算数据的平均数后，再根据方差的公式计算．解答：解：数据9.7，9.9，10.1，10.2，10.1的平均数==10，方差=（0.09+0.01+0.01+0.04+0.01）=0.032．故答案为：0.032．点评：本题考查方差的定义．一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．3．（5分）（2013•徐州三模）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是．考点：程序框图．专题：图表型．分析：按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，并判断每一次得到的结果是否满足判断框中的条件，直到满足条件，执行输出．解答：解：经过第一次循环得到结果为s=，i=1，此时不满足判断框的条件经过第二次循环得到结果为s==，i=2，此时不满足判断框的条件经过第三次循环得到结果为s=，i=3，此时不满足判断框的条件经过第四次循环得到结果为s=，i=4，此时满足判断框的条件，执行输出s，即输出．故答案为：．点评：本题考查解决程序框图中的循环结构时；常采用写出前几次循环的结果，找规律．4．（5分）（2013•徐州三模）若集合A={﹣1，0，1}，B={y|y=cos（πx），x∈A}，则A∩B={﹣1，1}．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：通过A={﹣1，0，1}，求解B={y|y=cos（πx），x∈A}，然后求解交集即可．解答：解：因为集合A={﹣1，0，1}，因为cos（﹣π）=﹣1，cosπ=﹣1，cos0=1，所以B={y|y=cos（πx），x∈A}={﹣1，1}，则A∩B={﹣1，0，1}∩{﹣1，1}={﹣1，1}故答案为：{﹣1，1}．点评：本题考查集合的求法，交集的运算，基本知识的应用．5．（5分）（2013•徐州三模）方程表示双曲线的充要条件是k∈（﹣1，5）．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的充要条件得到不等式，求解不等式即可得到k的范围．解答：解：方程表示双曲线的充要条件：（k+1）（k﹣5）＜0，解得﹣1＜k＜5．故答案为：（﹣1，5）．点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的充要条件的判断，考查计算能力．6．（5分）（2013•徐州三模）在△ABC中，已知，，则tanC的值是．考点：两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinA=，可得tanA=，再由求得tanB，再根据tanC=tan（π﹣A﹣B）=﹣tan（A+B），利用两角和差的正切公式求得结果．解答：解：在△ABC中，已知，∴sinA=，tanA=．∵==，tanB=2．则tanC=tan（π﹣A﹣B）=﹣tan（A+B）===，故答案为．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的正切公式、诱导公式的应用，属于中档题．7．（5分）（2013•徐州三模）已知实数x，y满足则x2+y2﹣2x的最小值是1．考点：简单线性规划．专题：计算题．。

苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学Ⅰ参考公式：球的表面积为24R S π=，其中R 表示球的半径。

一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．.． 1.已知全集},3,2,1,0{=U 集合},3,2,1{},1,0{==B A 则=B A C U )( ▲ . 2.已知i 是虚数单位，实数b a ,满足,10))(43(i bi a i =++则=-b a 43 ▲ .3.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在)3000,2500[（元）内应抽出 ▲ 人.4.如图是一个算法的流程图，若输入n 的值是10，则输出S 的值是 ▲ .5.若一个长方体的长、宽、高分别为3、2、1，则它的外接球的表面积是 ▲ .6.从0，1，2，3这四个数字中一次随机取两个数字，若用这两个数字组成无重复数字的两位数，则所得两位数为偶数的概率是 ▲ . 7.已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若62,256382-==S a a a a ，则1a 的值是 ▲ .（第3题图）1000 1500 2000 2500 3000 4000 3500 月收入（元）（第4题图8.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的右焦点为,F 若以F 为圆心的圆05622=+-+x y x 与此双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为 ▲ .9.由命题“02,2≤++∈∃m x x R x ”是假命题，求得实数m 的取值范围是),(+∞a ，则实数a的值是 ▲ .10.已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+++≥≥0,12,0k y x x y x （k 为常数），若目标函数y x z +=2的最大值是311，则实数k 的值是 ▲ . 11.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈=]3,1(,2329]1,0[,3)(x x x x f x ，当]1,0[∈t 时，]1,0[))((∈t f f ，则实数t 的取值范围是 ▲ .12.已知角ϕ的终边经过点)1,1(-P ，点),(),,(2211y x B y x A 是函数)0)(sin()(>+=ωϕωx x f 图象上的任意两点，若2)()(21=-x f x f 时，21x x -的最小值为3π，则)2(πf 的值是 ▲ .13.若对满足条件)0,0(3>>=++y x xy y x 的任意y x ,，01)()(2≥++-+y x a y x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ . 14.如图，在等腰三角形ABC 中，已知F E A AC AB ,,120,1︒===分别是边AC AB ,上的点，且,,AC n AF AB m AE ==其中),1,0(,∈n m 若BC EF ,的中点分别为,,N M 且,14=+n m 的最小值是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题．．纸指定的区域内作答．．．．．．．．．，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分14分）在△ABC ，已知.sin sin 3)sin sin )(sin sin sin (sin C B A C B C B A =-+++ （1） 求角A 值；（2） 求C B cos sin 3-的最大值.16.（本小题满分14分）AM NECF第14题图如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，已知平面⊥C C AA 11平面,ABCD 且3===CA BC AB ,1==CD AD .（1） 求证：;1AA BD ⊥（2） 若E 为棱BC 的中点，求证：//AE 平面11D DCC .17.（本小题满分14分）如图，两座建筑物CD AB ,的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9cm 和15cm ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的视角︒=∠45CAD . (1) 求BC 的长度；(2) 在线段BC 上取一点(P 点P 与点C B ,不重合），从点P 看这两座建筑物的视角分别为,,βα=∠=∠DPC APB 问点P 在何处时，βα+最小？18.（本小题满分16分）1A E CD A1D1B 1C 第16题AB DCPβα第17题图如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的焦距为2，且过点)26,2(. （1） 求椭圆E 的方程；（2） 若点A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交l 于点.M（ⅰ）设直线OM 的斜率为,1k 直线BP 的斜率为2k ，求证：21k k 为定值；（ⅱ）设过点M 垂直于PB 的直线为m . 求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标.19. （本小题满分16分）已知函数).1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x （1） 求函数)(x f 在点))0(,0(f 处的切线方程； （2） 求函数)(x f 单调区间；（3） 若存在]1,1[,21-∈x x ，使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数），求实数a的取值范围.20. （本小题满分16分）已知,0,0<>b a 且,0≠+b a 令,,11b b a a ==且对任意正整数k ，当0≥+k k b a 时，;43,412111k k k k k b b b a a =-=++当0<+k k b a 时，.43,214111k k k k k a a b a b =+-=++ （1） 求数列}{n n b a +的通项公式；（2） 若对任意的正整数n ，0<+n n b a 恒成立，问是否存在b a ,使得}{n b 为等比数列？若存在，求出b a ,满足的条件；若不存在，说明理由； （3） 若对任意的正整数,0,<+n n b a n 且,43122+=n n b b 求数列}{n b 的通项公式.徐州市2012–––2013学年度高三第一次质量检测数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A[选修4—1 ：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为,B 直线ADE ,CGE CFD ,都是⊙O 的割线，已知.AB AC =求证：AC FG //B. [选修4—2 ：矩阵与变换]（本小题满分10分）若圆1:22=+y x C 在矩阵)0,0(00>>⎥⎦⎤⎢⎣⎡=b a b a A 对应的变换下变成椭圆,134:22=+y x E 求矩阵A 的逆矩阵1-A .C. [选修4—4 ：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为θθθ(sin 22,cos 22⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=r y r x 为参数,)0>r ,以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为,1)4sin(=+πθρ若圆C上的点到直线l 的最大距离为3，求r 的值. D. [选修4—5 ：不等式选讲]（本小题满分10分）已知实数z y x ,,满足,2=++z y x 求22232z y x ++的最小值.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第21—A 题图22.(本小题满分10分)如图,已知抛物线x y C 4:2=的焦点为,F 过F 的直线l 与抛物线C 交于),(),0)(,(22111y x B y y x A >两点,T 为抛物线的准线与x 轴的交点.(1) 若,1=⋅TB TA 求直线l 的斜率； (2) 求ATF ∠的最大值.23.（本小题满分10分） 已知数列}{n a 满足),(12121*21N n na a a n n n ∈+-=+且.31=a （1） 计算432,,a a a 的值，由此猜想数列}{n a 的通项公式，并给出证明；（2） 求证：当2≥n 时，.4n nn n a ≥徐州市2012—2013学年度高三第一次质量检测数学Ⅰ试题参考答案与评分标准一、填空题1．{2,3} 2．0 3．25 4．54 5．6π 6．597．2- 89．1 10．3- 11．37[log ,1]3 12． 13．37(,]6-∞ 14二、解答题15．⑴因为(sin sin sin )(sin sin sin )3sin sin A B C B C A B C +++-=，由正弦定理，得()()3a b c b c a bc +++-=，…………………………………………2分所以222b c a bc +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，………………………………4分因为(0,)A ∈π，所以3A π=．…………………………………………………………6分⑵ 由3A π=，得23B C π+=cos B C-2cos()3B B π=--1(cos )2B B B =--sin()6B π=+，……………………………………10分因为203B π<<，所以666B ππ5π<<+，……………………………………………12分当62B ππ=+，即3B π=cos B C -的最大值为1． ……………………14分16．⑴在四边形ABCD 中，因为BA BC =，DA DC =，所以BD AC ⊥，……………2分又平面11AA C C ⊥平面ABCD ，且平面11AA C C 平面ABCD AC =，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面11AA C C ，………………………………………4分又因为1AA ⊂平面11AA C C ，所以1BD AA ⊥．………………………………………7分 ⑵在三角形ABC 中，因为AB AC =，且E 为BC 中点，所以BC AE ⊥，………9分 又因为在四边形ABCD中，AB BC CA ===，1DA DC ==，所以60ACB ∠=︒，30ACD ∠=︒，所以BC DC ⊥，所以AE DC ，…………12分 因为DC ⊂平面11D DCC ，AE ⊄平面11D DCC ，所以AE 平面11D DCC ．…14分 17．⑴作AE ⊥CD ，垂足为E ，则9CE =，6DE =，设BC x =，则tan tan tan tan()1tan tan CAE DAECAD CAE DAE CAE DAE∠∠∠=∠∠=-∠⨯∠++…………………2分961961x x x x==-⋅+，化简得215540x x --=，解之得，18x =或3x =-（舍） 答：BC 的长度为18m ．………………………………………………………………6分 ⑵设BP t =，则18(018)CP t t =-<<，2291516266(27)18tan()9151813518135118t t t t t t t t t tαβ-===-----⋅-++++++．………………………8分设227()18135t f t t t =--++，222542723()(18135)t t f t t t -⨯'=-++，令()0f t '=，因为018t <<，得27t =-，当27)t ∈-时，()0f t '<，()f t 是减函数；当27,18)t ∈-时，()0f t '>，()f t 是增函数，所以，当27t =-时，()f t 取得最小值，即tan()αβ+取得最小值，………12分 因为2181350t t --<+恒成立，所以()0f t <，所以tan()0αβ<+，(,)2αβπ∈π+， 因为tan y x =在(,)2ππ上是增函数，所以当27t =时，αβ+取得最小值． 答：当BP为27)m -时，αβ+取得最小值． ……………………………14分 18．⑴由题意得22c = ，所以1c =，又222312a b =+，…………………………………2分 消去a 可得，422530b b --=，解得23b =或212b =-（舍去），则24a =，所以椭圆E 的方程为22143x y +=．……………………………………………………4分⑵（ⅰ）设111(,)(0)P x y y ≠，0(2,)M y ，则012y k =，1212y k x =-，因为,,A P B 三点共线，所以10142y y x =+， 所以，20111221142(2)2(4)y y y k k x x ==--，8分 因为11(,)P x y 在椭圆上，所以22113(4)4y x =-，故211221432(4)2y k k x ==--为定值．10分 （ⅱ）直线BP 的斜率为1212y k x =-，直线m 的斜率为112m x k y -=, 则直线m 的方程为1012(2)x y y x y --=-，…………………………………………12分 111101111222(2)4(2)2x x x y y x y x y y y x ---=-+=-++2211111122(4)4(2)x x y x y x y --+=++2211111122(4)123(2)x x x x y x y --+-=++=111122x x x y y --+=112(1)x x y -+， 所以直线m 过定点(1,0)-． ………………………………………………………16分 19．⑴因为函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =->≠+，所以()ln 2ln x f x a a x a '=-+，(0)0f '=，…………………………………………2分 又因为(0)1f =，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =． …………4分 ⑵由⑴，()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++．因为当0,1a a >≠时，总有()f x '在R 上是增函数， ………………………………8分 又(0)0f '=，所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+，故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+．………………………………………………10分 ⑶因为存在12,[1,1]x x ∈-，使得12()()e 1f x f x --≥成立， 而当[1,1]x ∈-时，12max min ()()()()f x f x f x f x --≤，所以只要max min ()()e 1f x f x --≥即可．……………………………………………12分 又因为x ，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：所以()f x 在[1,0]-上是减函数，在[0,1]上是增函数，所以当[1,1]x ∈-时，()f x 的最小值()()min 01f x f ==，()f x 的最大值()max f x 为()1f -和()1f 中的最大值．因为11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a aa--=--=--+++， 令1()2ln (0)g a a a a a =-->，因为22121()1(1)0g a a a a '=-=->+，所以1()2ln g a a a a=--在()0,a ∈+∞上是增函数．而(1)0g =，故当1a >时，()0g a >，即(1)(1)f f >-；当01a <<时，()0g a <，即(1)(1)f f <-．………………………………………14分 所以，当1a >时，(1)(0)e 1f f --≥，即ln e 1a a --≥，函数ln y a a =-在(1,)a ∈+∞上是增函数，解得e a ≥；当01a <<时，(1)(0)e 1f f ---≥，即1ln e 1a a+-≥，函数1ln y a a =+在(0,1)a ∈上是减函数，解得10ea <≤． 综上可知，所求a 的取值范围为1(0,][e,)ea ∈∞+ ．………………………………16分20．⑴当0n n a b +≥时，11124n n n a a b +=- 且134n n b b +=，所以111131()2442n n n n n n n a b a b b a b +++=-+=+，……………………………………2分又当0n n a b +<时，11142n n n b a b +=-+且134n n a a +=，113111()4422n n n n n n n a b a a b a b +++=-+=+，…………………………………………4分因此，数列{}n n b a +是以b a +为首项，12为公比的等比数列，所以，n n b a +11()2n a b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．………………………………………………………5分⑵因为0n n a b +<，所以n n a a 431=+，所以134n n a a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，11()2n n n b a b a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1113()24n n a b a --⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，…………………………………8分假设存在a ，b ，使得{}n b 能构成等比数列，则1b b =，224b a b -=，34516b ab -=， 故2245()()416b a b ab --=，化简得0=+b a ，与题中0a b +≠矛盾， 故不存在a ，b 使得{}n b 为等比数列． ……………………………………………10分 ⑶因为0n n a b <+且12243+=n n b b ，所以121222141--+-=n n n b a b 所以1243+n b 21212121211113142444n n n n n a b a b b -----=-+=-+-所以2121212131()()44n n n n b b a b +----=-+，……………………………………………12分由⑴知，2221211()2n n n a b a b ---⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以222121132n n n a b b b -+-+⎛⎫-=- ⎪⎝⎭)()(321213112----+-+=n n n b b b b b b246241111132222n a b b -⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11114()141139414n n a b a b b b --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤++⎛⎫⎝⎭⎢⎥=-=--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦，…………………………………13分 22133()114434n n n a b b b b +⎡⎤+⎛⎫==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，………………………………………………14分 所以，1224()11,943()1-1,434n n n a b b n b a b b n -⎧⎡⎤+⎛⎫⎪⎢⎥-- ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪+⎛⎫⎢⎥⎪- ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦⎩．为奇数时,为偶数时…………………………………16分徐州市2012—2013学年度高三第一次质量检测数学Ⅱ试题参考答案与评分标准21．A ．因为AB 为切线，AE 为割线，所以2AB AD AE =⋅，又因为AC AB =，所以2AD AE AC ⋅=．……………………………………………4分 所以AD AC AC AE=，又因为EAC DAC ∠=∠，所以ADC △∽ACE △， 所以ADC ACE ∠=∠，又因为ADC EGF ∠=∠，所以EGF ACE ∠=∠，所以GF AC ．………………………………………………………………………10分 B ．设点(,)P x y 为圆C ：221x y +=上任意一点，经过矩阵A 变换后对应点为(,)P x y '''，则00a x ax x b y by y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以,x ax y by '=⎧⎨'=⎩．…………………………………………2分 因为点(,)P x y '''在椭圆E ：22143x y =+上，所以2222143a xb y =+，………………4分又圆方程为221x y +=，故221,41,3a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即224,3,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，又0a >，0b >，所以2a =，b =．所以200⎡⎤=⎢⎣A ，……………………………………………………………………6分所以11020-⎡⎤⎢⎥⎢=⎢⎢⎣A ．…………………………………………………………………10分 C ．因为圆C的参数方程为cos ,sin x r y r θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（θ为参数，0r >），消去参数得，()2220x y r r ⎛⎛++=> ⎝⎝，所以圆心C ⎛ ⎝，半径为r ，……3分 因为直线l 的极坐标方程为sin()14ρθπ+=，化为普通方程为x y +=，………6分 圆心C到直线x y +=的距离为2d ，……………………8分又因为圆C 上的点到直线l 的最大距离为3，即3d r +=，所以321r =-=．…10分D．由柯西不等式，2222222()))1x y z z ⎡⎤⎡⎤++++⋅++⎢⎥⎣⎦⎣⎦≤，……5分 因为2x y z =++，所以222242311x y z ++≥，1z ==，即6412,,111111x y z ===时，等号成立， 所以22223x y z ++的最小值为2411．…………………………………………………10分 22．⑴因为抛物线24y x =焦点为()1,0F ，(1,0)T -．当l x ⊥轴时，(1,2)A ，(1,2)B -，此时0TA TB = ，与1TA TB =矛盾，……………2分 所以设直线l 的方程为(1)y k x =-，代入24y x =，得2222(24)0k x k x k -=++，则212224k x x k=++，121x x =， ①所以2212121616y y x x ==，所以124y y =-，②…4分 因为1TA TB = ，所以1212(1)(1)1x x y y =+++，将①②代入并整理得，24k =，所以2k =±.………………………………………………………………………………6分⑵因为10y >，所以11211tan 114y y ATF y x ∠==++111114y y =+≤，当且仅当1114y y =，即12y =时，取等，所以4ATF π∠≤，所以ATF ∠的最大值为4π.……………………10分 23．⑴24a =，35a =，46a =，猜想：*2()n a n n =∈+N ．……………………………2分①当1n =时，13a =，结论成立；②假设当*(1,)n k k k =∈N ≥时，结论成立，即2k a k =+，则当1n k =+时，22111111=(2)(+2)+1=+3=(+1)+22222k k k a a ka k k k k k +=-+-+， 即当1n k =+时，结论也成立，由①②得，数列{}n a 的通项公式为*2()n a n n =∈+N ．5分 ⑵原不等式等价于2(1)4n n +≥．证明：显然，当2n =时，等号成立；当2n >时，01222222(1)C C C ()C ()n n n n n n n n n n n +=++++ 012233222C C C ()C ()n n n n n n n+++≥ 0122222>C C C ()54n n n n n n++=->， 综上所述，当2n ≥时，4n n na n ≥．…………………………………………………10分。

江苏省徐州、宿迁市 2013届高三第三次模拟数学试题注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1 •本试卷共4页，包含填空题（共 14题）、解答题（共6题），满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将答题卡交回。

2 .答题前，请您务必将自己的姓名、考试号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上，并用2B 铅笔正确涂写考试号。

3 •作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。

参考公式：样本数据X 1,X 2,|||,X n的方差1 n_（X -x ）2，其中锥体的体积公式：1 ，其中S 为锥体的底面面积， h 是高.V 锥体=_ Sh3、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共计70分•请把答案填写在答题卡相应位置上 1. 已知i 是虚数单位，若 a + 3i，则ab 的值为 _____ •------ =b + i （a,b 壬 R ） i2. 某射击选手连续射击 5枪命中的环数分别为：9.7，9 9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为 _____ .3.右图是一个算法流程图，则输岀的 S 的值是4.若集合 A -「一1,0,门，B -「y|y =cos （二x ）, x A?，则 A D B 二 ------5.方程x 2 y 2表示双曲线的充要条件是 k- +-y1k + 1 k -56•在△ ABC 中，已知4， 1，则tan C 的值是 cosA=tan （A — B ） =—— 5 27.已知实数x ,y 满足& > “，则x 2 + y 2 _2x 的最小值是 ______ •y < 3, x - y + 1 < 0,（第3题图）开始8.已知是等差数列Sn ；a:的前n项和,S7 =7'05 =75 ，则数列-S的前20项和为n9.已知三棱锥p_ABC 的所有棱长都相等，现沿PA ，PB ，PC 三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为 2 6，则三棱锥 P — ABC的体积为 ____ •10-已知0 ABC 的外心，若5OA 12OB-13OC =0，则.C 等于——•11.已知数字发生器每次等可能地输岀数字1或2中的一个数字，则连续输岀的 4个数字之和能被3整除的概率是_ •12.若a 0, b 0，且 11 ，则a + 2b 的取小值为 --------- •+ 12a + b b + 1x+2, 0 < xc1,若a>b > 0，且fa)做)，则bf (a)的取值范围是f (x)=2相交于点M N ， O 是坐标原点若厶ABP 的面积为1，则△ OMN 的面积为 ______________________________________________________________________________ •2、解答题：本大题共6小题，15~17每小题14分，18~20每小题16分，共计90分•请在答题卡指定的区域内作答 ，解答时应写岀文字说明、证明过程或演算步骤 15.如图，AB ， CD 均为圆O 的直径，CE I 圆O 所在的平面,⑴平面BCEF —平面ACE ； ⑵直线°F ］平面ACE •（第 15题图）D16 .已知 △ A B c 的面积为S ，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，需_ 3 $2⑴求cos A 的值;13.已知函数1, x > 1. 214.已知曲线 C :f (X a，直线| ： y = x ，在曲线 =x + (a 0)xC 上有一个动点 p ，过点p 分别作直线 l 和y 轴的垂线，垂足分别为 A B •再过点P 作曲线C 的切线，分别与直线|和y 轴BF 莹CE .求证:⑵若a b c 成等差数列，求sinC 的值•17 .已知一块半径为r 的残缺的半圆形材料 ABC ,。

2013年江苏省徐州市、宿迁市高考数学三模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1. 已知i 是虚数单位，若a+3i i=b +i(a,b ∈R)，则ab 的值为________．2. 某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为________．3. 如图是一个算法流程图，则输出的S 的值是________．4. 若集合A ＝{−1, 0, 1}，B ＝{y|y ＝cos(πx), x ∈A}，则A ∩B ＝________．5. 方程x 2k+1+y 2k−5=1表示双曲线的充要条件是k ∈________．6. 在△ABC 中，已知cosA =45，tan(A −B)=−12，则tanC 的值是________．7. 已知实数x ，y 满足{x ≥−1，y ≤3，x −y +1≤0，则x 2+y 2−2x 的最小值是________．8. 已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 7=7，S 15=75，则数列{Snn }的前20项和为________．9. 已知三棱锥P −ABC 的所有棱长都相等，现沿PA ，PB ，PC 三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为2√6，则三棱锥P −ABC 的体积为________．10. 已知O 为△ABC 的外心，若5OA →+12OB →−13OC →=0，则∠C 等于________．11. 已知数字发生器每次等可能地输出数字1或2中的一个数字，则连续输出的4个数字之和能被3整除的概率是________．12. 若a >0，b >0，且12a+b +1b+1=1，则a +2b 的最小值为________．13. 已知函数f(x)={x +2,0≤x <12x +12,x ≥1. ，若a >b ≥0，且f(a)＝f(b)，则bf(a)的取值范围是________．14. 已知曲线C:f(x)=x +a x (a >0)，直线l:y =x ，在曲线C 上有一个动点P ，过点P 分别作直线l 和y 轴的垂线，垂足分别为A ，B ．再过点P 作曲线C 的切线，分别与直线l 和y 轴相交于点M ，N ，O 是坐标原点．若△ABP 的面积为12，则△OMN 的面积为________．二、解答题：本大题共6小题，15～17每小题14分，18～20每小题14分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 如图，AB ，CD 均为圆O 的直径，CE ⊥圆O 所在的平面，BF // CE ．求证：（1）平面BCEF ⊥平面ACE ； （2）直线DF // 平面ACE ．16. 已知△ABC 的面积为S ，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AB →⋅AC →=32S ．（1）求cosA 的值；（2）若a ，b ，c 成等差数列，求sinC 的值．17. 已知一块半径为r 的残缺的半圆形材料ABC ，O 为半圆的圆心，OC =12r ，残缺部分位于过点C 的竖直线的右侧．现要在这块材料上截出一个直角三角形，有两种设计方案：如图甲，以BC 为斜边；如图乙，直角顶点E 在线段OC 上，且另一个顶点D 在AB̂上．要使截出的直角三角形的面积最大，应该选择哪一种方案？请说明理由，并求出截得直角三角形面积的最大值．18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =√32，A 1，A 2分别是椭圆E 的左、右两个顶点，圆A 2的半径为a ，过点A 1作圆A 2的切线，切点为P ，在x 轴的上方交椭圆E 于点Q ． （1）求直线OP 的方程； （2）求PQQA 1的值；（3）设a为常数，过点O作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点B、C，分别交圆A点M、N，记三角形OBC和三角形OMN的面积分别为S1，S2．求S1S2的最大值．19. 已知数列{a n}满足：a1=a+2(a≥0)，a n+1=√a n+a，n∈N∗．2（1）若a=0，求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=|a n+1−a n|，数列{b n}的前n项和为S n，证明：S n<a1．20. 已知函数f(x)=lnx−ax2−x，a∈R．（1）若函数y=f(x)在其定义域内是单调增函数，求a的取值范围；（2）设函数y=f(x)的图象被点P（2, f(2)）分成的两部分为c1，c2（点P除外），该函数图象在点P处的切线为l，且c1，c2分别完全位于直线l的两侧，试求所有满足条件的a的值．三、【选做题】本大题包括A、B、C、D共6小题，请从这4题中选做2小题．每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21. 几何证明选讲：如图，已知圆A，圆B都经过点C，BC是圆A的切线，圆B交AB于点D，连结CD并延长交圆A于点E，连结AE．求证DE⋅DC=2AD⋅DB．22. 矩阵与变换：已知a，b∈R，若矩阵M=[−1a]所对应的变换把直线l:2x−y=3变b3换为自身，求M−1．23. 在极坐标系中，已知直线2ρcosθ+ρsinθ+a=0(a>0)被圆ρ=4sinθ截得的弦长为2，求a的值．24. 不等式选讲：已知x，y，z∈R，且x−2y−3z=4，求x2+y2+z2的最小值．25. 如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，已知AA1=6，AB=2，M，N分别是棱BB1，CC1上的点，且BM=4，CN=2．（1）求异面直线AM与A1C1所成角的余弦值；（2）求二面角M−AN−A1的正弦值．26. 已知函数f(x)=C n0x2n−1−C n1x2n−2+C n2x2n−3−⋯+C n r(−1)r x2n−1−r+⋯+C n n(−1)n x n−1，n∈N∗．（1）当n≥2时，求函数f(x)的极大值和极小值；（2）是否存在等差数列{a n}，使得a1C n0+a2C n1+⋯+a n+1C n n=nf(2)对一切n∈N∗都成立？并说明理由．2013年江苏省徐州市、宿迁市高考数学三模试卷答案1. −32. 0.0323. 58 4. {−1, 1} 5. (−1, 5) 6. 112 7. 1 8. 55 9. 9 10. 3π411. 3812. 12+√3 13. [54,3)14. 415. 证明：（1）因为CE ⊥圆O 所在的平面，BC ⊂圆O 所在的平面， 所以CE ⊥BC ，…因为AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上，所以AC ⊥BC ，… 因为AC ∩CE =C ，AC ，CE ⊂平面ACE ， 所以BC ⊥平面ACE ，…因为BC ⊂平面BCEF ，所以平面BCEF ⊥平面ACE ．… （2）由（1）AC ⊥BC ，又因为CD 为圆O 的直径， 所以BD ⊥BC ，因为AC ，BC ，BD 在同一平面内，所以AC // BD ，…因为BD ⊄平面ACE ，AC ⊂平面ACE ，所以BD // 平面ACE ．… 因为BF // CE ，同理可证BF // 平面ACE ， 因为BD ∩BF =B ，BD ，BF ⊂平面BDF ， 所以平面BDF // 平面ACE ，因为DF ⊂平面BDF ，所以DF // 平面ACE ．… 16. 解：（1）∵ AB →⋅AC →=32S ，∴ bccosA =32×12bcsinA ，即sinA =43cosA ．… 代入sin 2A +cos 2A =1化简整理，得cos 2A =925．… ∵ sinA =43cosA ，可得cosA >0，∴ 角A 是锐角，可得cosA =35．…（2）∵ a ，b ，c 成等差数列∴ 2b =a +c ，结合正弦定理得2sinB =sinA +sinC ， 即2sin(A +C)=sinA +sinC ，…因此，可得2sinAcosC +2cosAsinC =sinA +sinC ．① 由（1）得cosA =35及sinA =43cosA ，所以sinA =45，…代入①，整理得cosC =4−sinC 8．结合sin 2C +cos 2C =1进行整理，得65sin 2C −8sinC −48=0，… 解之得sinC =1213或sinC =−45．∵ C ∈(0, π)，可得sinC >0 ∴ sinC =1213（负值舍去）．…17. 解：如图甲，设∠DBC =α(0<α<π2)， 则BD =3r 2cosα，DC =3r 2sinα，所以S △BDC =12BD ⋅DC =12⋅3r 2cosα⋅3r 2sinα=916r 2sin2α≤916r 2，当且仅当α=π4时取等号，此时点D 到BC 的距离为34r ，可以保证点D 在半圆形材料ABC 内部， 因此按照图甲方案得到直角三角形的最大面积为916r 2． 如图乙，设∠EOD =θ，则OE =rcosθ，DE =rsinθ， 所以S △BDE =12r 2(1+cosθ)sinθ，θ∈[π3，π2]．设f(θ)=12r 2(1+cosθ)sinθ，则f′(θ)=12r 2(1+cosθ)(2cosθ−1)，当θ∈[π3，π2]时，f ′(θ)≤0，所以θ=π3时，即点E 与点C 重合时，△BDE 的面积最大值为3√38r 2． 因为3√38r 2>916r 2，所以选择图乙的方案，截得的直角三角形面积最大，最大值为3√38r 2． 18. 解：（1）连结A 2P ，则A 2P ⊥A 1P ，且A 2P =a ，又A 1A 2=2a ，所以∠A 1A 2P =60∘．又A 2P =A 2O ，所以△OPA 2为正三角形， 所以∠POA 2=60∘，所以直线OP 的方程为y =√3x ．（2）由（1）知，直线A 2P 的方程为y =−√3(x −a)①，A 1P 的方程为y =√33(x +a)②，联立①②解得x P =a2． 因为e =√32，即c a=√32，所以c 2=34a 2，b 2=14a 2，故椭圆E 的方程为x 2a2+4y 2a 2=1．由{y =√33(x +a)x 2a2+4y 2a2=1解得x Q =−a 7，所以PQQA 1=a 2−(−a7)−a7−(−a)=34．（3）不妨设OM 的方程为y =kx(k >0)， 联立方程组{y =kx x 2a 2+4y 2a 2=1解得B(√1+4k 2√1+4k 2)， 所以OB =a √1+k 21+4k 2；用−1k 代替上面的k ，得OC =a √1+k 24+k 2． 同理可得，OM =√1+k2，ON =√1+k 2．所以S 1⋅S 2=14⋅OB ⋅OC ⋅OM ⋅ON =a 4√(1+4k 2)(4+k 2)．因为√(1+4k 2)(4+k 2)=√14(k 2+1k2)+17≤15，当且仅当k =1时等号成立， 所以S 1⋅S 2的最大值为a 45．19. 解：（1）若a =0时，a 1=2，a n+1=√an 2，所以a n+12=12a n 且a n >0．两边取对数，得lg2+2lga n+1=lga n ，… 化为lga n+1+lg2=12(lga n +lg2)，因为lga 1+lg2=2lg2，所以数列{lga n +lg2}是以2lg2为首项，12为公比的等比数列．… 所以lga n +lg2=2(12)n−1lg2，所以a n =222−n −1．…（2）由a n+1=√a n +a 2，得2a n+12=a n +a ，①当n ≥2时，2a n 2=a n−1+a ，②①-②，得2(a n+1+a n )(a n+1−a n )=a n −a n−1，… 由已知a n >0，所以a n+1−a n 与a n −a n−1同号．…因为a 2=√a +1，且a >0，所以a 12−a 22=(a +2)2−(a +1)=a 2+3a +3>0恒成立， 所以a 2−a 1<0，所以a n+1−a n <0．…因为b n =|a n+1−a n |，所以b n =−(a n+1−a n )，所以S n =−[(a 2−a 1)+(a 3−a 2)+...+(a n+1−a n )]=−(a n+1−a 1)=a 1−a n+1<a 1．…20. 解：（1）f′(x)=1x−2ax −1=−2ax 2+x−1x (x >0)，…只需要2ax 2+x −1≤0，即2a ≤1x 2−1x =(1x −12)2−14， 所以a ≤−18．…（2）因为f′(x)=1x−2ax −1．所以切线l 的方程为y =(−4a −12)(x −2)+ln2−4a −2．令g(x)=lnx −ax 2−x −[(−4a −12)(x −2)+ln2−4a −2]，则g(2)=0.g′(x)=1x −2ax +4a −12=−2ax 2−(4a−12)x−1x ．…若a =0，则g′(x)=2−x 2x，当x ∈(0, 2)时，g ′(x)>0；当x ∈(2, +∞)时，g ′(x)<0， 所以g(x)≤g(2)=0，c 1，c 2在直线l 同侧，不合题意；… 若a ≠0，g′(x)=−2a(x−2)(x+14a)x，若a =−18，g′(x)=(x 2−1)2x≥0，g(x)是单调增函数，当x ∈(2, +∞)时，g(x)>g(2)=0；当x ∈(0, 2)时，g(x)<g(2)=0，符合题意；…若a <−18，当x ∈(−14a，2)时，g ′(x)<0，g(x)>g(2)=0， 当x ∈(2, +∞)时，g ′(x)>0，g(x)>g(2)=0，不合题意； … 若−18<a <0，当x ∈(2,−14a )时，g ′(x)<0，g(x)<g(2)=0， 当x ∈(0, 2)时，g ′(x)>0，g(x)<g(2)=0，不合题意； … 若a >0，当x ∈(0, 2)时，g ′(x)>0，g(x)<g(2)=0，当x ∈(2．+∞)时，g ′(x)<0，g(x)<g(2)=0，不合题意． 故只有a =−18符合题意． …21. 证明：∵ BC 是⊙A 的切线，∴ AC ⊥BC ，∵ ∠ACD +∠BCD =90∘，AC =AE ，BC =BD ， ∴ ∠ACD =∠E ，∠BCD =∠BDC ，∵ ∠ADE =∠BDC ，∴ ∠E +∠ADE =90∘， ∴ AE ⊥AB ．延长DB 交⊙B 于点F ，连接FC ，则DF =2DB ，∠DCF =90∘， ∴ ∠ACD =∠F ，∴ ∠E =∠F ，∴ Rt △ADE ∽Rt △CDF ， ∴ ADCD =DEDF ，∴ DE ⋅DC =AD ⋅DF ，∵ DF =2DB ，∴ DE ⋅DC =2AD ⋅DB ．22. 解：对于直线l 上任意一点(x, y)，在矩阵M 对应的变换作用下变换成点(x ′, y ′)，则[−1a b 3][xy ]=[−x +ay bx +3y ]=[x′y′]，因为2x ′−y ′=3，所以2(−x +ay)−(bx +3y)=3，… 所以{−2−b =22a −3=−1解得{a =1b =−4.所以M =[−11−43]，…所以M −1=[3−14−1]．…23. 解：直线的极坐标方程化为直角坐标方程为2x +y +a =0，圆的极坐标方程化为直角坐标方程为x 2+y 2=4y ，即x 2+(y −2)2=4， 因为截得的弦长为2，所以圆心(0, 2)到直线的距离为√4−1=√3， 即√5=√3，因为a >0，解得a =√15−2． 所以a =√15−2．24. 解：由柯西不等式，得[x +(−2)y +(−3)z]2≤[12+(−2)2+(−3)2](x 2+y 2+z 2)，即(x −2y −3z)2≤14(x 2+y 2+z 2)，… 即16≤14(x 2+y 2+z 2)．所以x 2+y 2+z 2≥87，即x 2+y 2+z 2的最小值为87．…25. 解：（1）以AC 的中点为原点O ，分别以OA ，OB 所在直线为x ，z 轴，建立空间直角坐标系O −xyz （如图）． 则O(0, 0, 0)，A(1, 0, 0)，C(−1, 0, 0)，B(0,0,√3)， N(−1, 2, 0)，M(0,4,√3)，A 1(1, 6, 0)，C 1(−1, 6, 0)． ∴ AM →=(−1,4,√3)，A 1C 1→=(−2,0,0)． ∴ cos <AM →，A 1C 1→>=|AM →||A 1C 1→|˙=22√20=√510， 所以异面直线AM 与A 1C 1所成角的余弦值为√510． （2）平面ANA 1的一个法向量为m →=(0, 0, 1)．设平面AMN 的法向量为n →=(x, y, z)，因为AM →=(−1,4,√3)，AN →=(−2,2,0)， 由{n →⋅AN →=0˙得{−x +4y +√3z =0−2x +2y =0令x =1，则y =1，z =−√3．∴ n →=(1,1,−√3)． ∴ cos <m →，n →>=|m →||n →|˙=−√3√5=−√155， 所以二面角M −AN −A 1的正弦值=√1−(−√155)2=√105． 26. 解：（1）f(x)=x n−1[C n 0x n −C n 1x n−1+C n 2x n−2−⋯+C n r (−1)r x n−r +⋯+(−1)n C n n]=x n−1(x −1)n ，f ′(x)=(n −1)x n−2(x −1)n +x n−1⋅n(x −1)n−1=x n−2(x −1)n−1[(n −1)(x −1)+nx]，令f ′(x)=0得x 1=0，x 2=n−12n−1，x 3=1，因为n ≥2，所以x 1<x 2<x 3．… 当n 为偶数时f(x)的增减性如下表：所以当x =n−12n−1时，y 极大(2n −1)2n−1˙；当x =1时，y 极小=0．…当n 为奇数时f(x)的增减性如下表：所以x =0时，y 极大=0；当x =n−12n−1时，y 极小=(2n −1)2n−1˙．…（2）假设存在等差数列{a n }使a 1C n 0+a 2C n 1+a 3C n 2+⋯+a n+1C n n=n ⋅2n−1成立，由组合数的性质C n m =C n n−m，把等式变为a n+1C n 0+a n C n 1+a n−1C n 2+⋯+a 1C n n=n ⋅2n−1，两式相加，因为{a n }是等差数列，所以a 1+a n+1=a 2+a n =a 3+a n−1=...=a n+1+a 1，故(a 1+a n+1)(C n 0+C n 1+⋯+C n n)=n ⋅2n ， 所以a 1+a n+1=n ． …再分别令n =1，n =2，得a 1+a 2=1且a 1+a 3=2，进一步可得满足题设的等差数列{a n }的通项公式为a n =n −1(n ∈N ∗)．…。

2013年江苏省某校高考数学三模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1. 集合A ={3, 6}，B ={3, 9}，则A ∪B =________．2. 若复数z =a +1+(a −4)i ，(a ∈R)是实数，则a =________．3. 如果sinα=2√23，α为第一象限角，则sin(π2+α)=________．4. 已知正六棱锥P −ABCDEF 的底面边长为1cm ，高为1cm ，则棱锥的体积为________cm 3．5. 高三(1)班共有56人，学号依次为1，2，3，...，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6，34，48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为________．6. 已知某一组数据8，9，10，11，12，则其方差为________．7. 阅读下列程序框图，运行相应程序，则输出的S 值为________．8. 若y =f(x)是定义在R 上周期为2的偶函数，当x ∈[0, 1]时，f(x)=2x −1，则函数g(x)=f(x)−log 3x 的零点个数为________．9. 若命题“∃x ∈R ，使得x 2+(a −1)x +1≤0”为假命题，则实数a 的范围________． 10. 在△ABC 中，AH 为BC 边上的高，tanC =43，则过点C ，以A ，H 为焦点的双曲线的离心率为________．11. 设等比数列{a n }的公比q ≠1，S n 表示数列{a n }的前n 项的和，T n 表示数列{a n }的前n 项的乘积，T n (k)表示{a n }的前n 项中除去第k 项后剩余的n −1项的乘积，即T n (k)=Tn a k(n, k ∈N ∗, k ≤n)，则当a 1=1，q =2，数列{S n T nT n (1)+T n (2)+⋯+T n (n)}的前n 项的和是________．12.已知f(x)，g(x)都是定义在R 上的函数，g(x)≠0，f(x)g′(x)>f′(x)g(x)，f(x)=a x g(x)(a >0，且a ≠1)，f(1)g(1)+f(−1)g(−1)=52，在有穷数列{f(n)g(n)}(n =1,2,3,⋯10)中，任意取正整数k(1≤k ≤10)，则前k 项和大于1516的概率是________．13. 设A ，B ，C 为单位圆O 上不同的三点，则点集A ={(x, y)|OC →=xOA →+yOB →, (0<x <2, 0<y <2)}所对应的平面区域的面积为________．14. 函数f(x)=12x 2−2tx +3lnx ，g(x)=x+tx 2+3，函数f(x)在x =a ，x =b 处取得极值(0<a <b)，g(x)在[−b, −a]上的最大值比最小值大13，若方程f(x)=m 有3个不同的解，则函数y =e m+152的值域为________．二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a ，b ，c 满足b 2=a 2+c 2−ac （1）求角B 的大小；（2）在区间(0, B)上任取θ，求√22<cosθ<1的概率；（3）若AC =2√3，求△ABC 面积的最大值．16.直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AC =BC =BB 1=1，AB 1=√3（1）求证：平面AB 1C ⊥平面B 1CB ； （2）求三棱锥A 1−AB 1C 的体积．17. 工厂生产某种零件，每天需要固定成本100元，每生产1件，还需再投入资金2元，若每天生产的零件能全部售出，每件的销售收入P(x)（元）与当天生产的件数之间有以下关系：P(x)={83−13x 2，0<x ≤10520x −1331x 3，x >10设当天利润为y 元．（1）写出y 关于x 的函数关系式；（2）要使当天利润最大，当天应生产多少零件？（注：利润等于销售收入减去总成本） 18. 设等比数列{a n }的首项为a 1=2，公比为q （q 为正整数），且满足3a 3是8a 1与a 5的等差中项；等差数列{b n }满足2n 2−(t +b n )n +32b n =0(t ∈R, n ∈N ∗)．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2） 若对任意n ∈N ∗，有a n b n+1+λa n a n+1≥b n a n+1成立，求实数λ的取值范围；（3）对每个正整数k ，在a k 和a k+1之间插入b k 个2，得到一个新数列{c n }．设T n 是数列{c n }的前n 项和，试求满足T m =2c m+1的所有正整数m ． 19. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点(√3,√32)，椭圆C 左右焦点分别为F1，F2，上顶点为E ，△EF1F2为等边三角形．定义椭圆C 上的点M(x 0, y 0)的“伴随点”为N(x0a , y0b )． （1）求椭圆C 的方程；（2）若圆C 1的方程为(x +2a)2+y 2=a 2，圆C 1和x 轴相交于A ，B 两点，点P 为圆C 1上不同于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 交y 轴于S ，T 两点．当点P 变化时，以ST 为直径的圆C 2是否经过圆C 1内一定点？请证明你的结论；（3）直线l 交椭圆C 于H 、J 两点，若点H 、J 的“伴随点”分别是L 、Q ，且以LQ 为直径的圆经过坐标原点O ．椭圆C 的右顶点为D ，试探究△OHJ 的面积与△ODE 的面积的大小关系，并证明．20. 已知函数f(x)=ax 2+ln(x +1)，(a ∈R)． （I ）设函数Y =F(X −1)定义域为D①求定义域D ；②若函数ℎ(x)=x 4+[f(x)−ln(x +1)](x +1x )+cx 2+f′(0)在D 上有零点，求a 2+c 2的最小值；（II ） 当a =12时，g(x)=f′(x −1)+bf(x −1)−ab(x −1)2+2a ，若对任意的x ∈[1, e]，都有2e ≤g(x)≤2e 恒成立，求实数b 的取值范围；（注：e 为自然对数的底数）（III ）当x ∈[0, +∞)时，函数y =f(x)图象上的点都在{x ≥0y −x ≤0所表示的平面区域内，求实数a 的取值范围．三、[选做题]本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤21. 选修4−1：几何证明选讲如图，AD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的切线，直线MN 交AD 的延长线于点C ，BM =MN =NC =1，求AB 的长和⊙O 的半径． 22. [选修4−2：矩阵与变换]已知矩阵A =|−2132−12|；（1）求矩阵A 的逆矩阵B ；（2）若直线l 经过矩阵B 变换后的直线方程为7x −3y =0，求直线l 的方程． 23. [选修4−4：坐标系与参数方程]已知圆C 的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为{x =15y =a +√5t（t 为参数）．若直线l 与圆C 相交于P ，Q 两点，且PQ =4√55． （1）求圆C 的直角坐标方程，并求出圆心坐标和半径；（2）求实数a 的值．24. 已知函数f(x)＝|x −3|，g(x)＝−|x +4|+m ；(Ⅰ)已知常数a <2，解关于x 的不等式f(x)+a −2>0；(Ⅱ)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，求实数m 的取值范围． 四、【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25. 已知A 1，A 2，A 3，…，A 10等10所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为12．（I ）如果该同学10所高校的考试都参加，试求恰有2所通过的概率；（II ）假设该同学参加每所高校考试所需的费用均为a 元，该同学决定按A 1，A 2，A 3，…，A 10顺序参加考试，一旦通过某所高校的考试，就不再参加其它高校的考试，试求该同学参加考试所需费用ξ的分布列及数学期望． 26. 已知m ，n 为正整数．（1）用数学归纳法证明：当x >−1时，(1+x)m ≥1+mx ； （2）对于n ≥6，已知(1−1n+3)n <12，求证(1−mn+3)n <(12)m ，m =1，2…，n ；（3）求出满足等式3n +4n +5n +...+(n +2)n =(n +3)n 的所有正整数n ．2013年江苏省某校高考数学三模试卷答案1. {3, 6, 9}2. 43. 134. √325. 206. 27. −√388. 29. (−1, 3) 10. 211. 2n −1 12. 35 13. 5214. (27, e 4)． 15. 解：（1）∵ b 2=a 2+c 2−ac ，即a 2+c 2−b 2=ac ， ∴ cosB =a 2+c 2−b 22ac=12，∵ B 为三角形的内角， ∴ B =π3；（2）∵ √22<cosθ<1，∴ θ∈(0, π4)， ∴ 在区间(0, π3)上，√22<cosθ<1的概率为34； （3）∵ b =2√3，cosB =12，∴ 由余弦定理得：12=b 2=a 2+c 2−ac ≥ac ， ∴ S △ABC =12acsinB =√34ac ≤3√3，则△ABC 面积的最大值为3√3．16. 解：（1）直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC ， 则BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ，又由于AC =BC =BB 1=1，AB 1=√3，则AB =√2 则由AC 2+BC 2=AB 2可知，AC ⊥BC ，又由上BB 1⊥底面ABC 可知BB 1⊥AC ，则AC ⊥平面B 1CB ， 所以有平面AB 1C ⊥平面B 1CB ；（2）三棱锥A 1−AB 1C 的体积V A 1−AB 1C =V B 1−A 1AC =13×12×1=1617. 解：（1）当0<x ≤10时，y =x(83−13x 2)−100−2x =−13x 3+81x −100；当x >10时，y =x(520x−1331x )−2x −100=−2x −1331x +420．∴ y ={−13x 3+81x −100，0<x ≤10，x ∈N −2x −1331x 2+420，x >10，x ∈N． （2）设函数y =ℎ(x)={−13x 3+81x −100，0<x ≤10，x ∈N−2x −1331x 2+420，x >10，x ∈N． ①当0<x ≤10时，y ′=81−x 2，令y ′=0，得出x =9．当x ∈(0, 9)时，y ′>0；当x ∈(9, 10)时，y ′<0；故x =9时，y max =386． ②当x >10时，y ′=−2×1331x −2，令y ′=0，得出x =11，当x ∈(10, 11)时，y ′>0；当x ∈(11, +∝)时，y ′<0；故x =11时，y max =387． 结合①②知，当x =11时，y 取最大值．故要使当天利润最大，当天应生产11件零件． 18. 解：（1）由题意，∵ 3a 3是8a 1与a 5的等差中项∴ 6a 3=8a 1+a 5，则6q 2=8+q 4，解得q 2=4或q 2=2 ∵ q 为正整数，∴ q =2，又a 1=2，∴ a n =2n −−−−−− ∵ 2n 2−(t +b n )n +32b n =0∴ b n =2n 2−tn n−32∴ b 1=2t −4，b 2=16−4t ，b 3=12−2t ， 则由b 1+b 3=2b 2，得t =3 当t =3时，b n =2n ．----------（2）∵ a n b n+1+λa n a n+1≥b n a n+1，∴ λ≥n−12n．记k n =n−12n，当n ≥2时，k n+1k n≤1，得k n =n−12n单调减，----------又k1=0，所以λ≥k2=14−−−−−−−−−（3）∵ 对每个正整数k，在a k和a k+1之间插入b k个2，得到一个新数列{c n}，∴ 当k=1时，a1=2，b1=2，即数列{c n}的前项为c1=c2=c3=2，则m=1时，T1=2c2不合题意，当m=2时，T2=2c3适合题意，当m≥3时，若后添入的数2等于c m+1个，则一定不适合题意，从而c m+1必是数列{a n}中的某一项a k+1，则(2+22+23+...+2k)+2(b1+b2+b3+...+b k)=2×2k+1，即2×(2k−1)+(2+2k)k2×2=2×2k+1，即2k+1−2k2−2k+2=0．也就是2k=k2+k−1，k=1，2，3，4不是该方程的解，而当n≥5时，2n>n2+n−1成立，证明如下：1∘当n=5时，25=32，k2+k−1=29，左边>右边成立；2∘假设n=k时，2k>k2+k−1成立，当n=k+1时，2k+1>2k2+2k−2=(k+1)2+(k+1)−1+k2−k−3≥(k+1)2+(k+1)−1+5k−k−3=(k+1)2+(k+1)−1+k+3(k−1)>(k+1)2+(k+1)−1这就是说，当n=k+1时，结论成立．由1∘，2∘可知，2n>n2+n−1(n≥5)时恒成立，故2k=k2+k−1无正整数解．综上可知，满足题意的正整数仅有m=2．19. 解：（1）由已知{3a+34b=1a2=b2+c2ca=12，解得a2=4，b2=3，∴ 方程为x24+y23=1…（2）设P(x0, y0)(y0≠0)，则(x0+4)2+y02=4．又A(−6, 0)，B(−2, 0)，所以l PA:y=y0x0+6(x+6)，S(0, 6y0x0+6)，l PB:y=y0x0+2(x+1)，T(0, 2y0x0+2)．圆C2的方程为x2+(y−6y0x0+6+2y0x0+22)2=(6y0x0+6+2y0x0+22)2．化简得x2+y2−(6y0x0+6+2y0x0+2)y−12=0，令y=0，得x=±2√3．又点(−2√3, 0)，在圆C1内，所以当点P变化时，以ST为直径的圆C2经过圆C1内一定点(−2√3, 0)…（3）设H(x1, y1)，J(x2, y2)，则L(x121√3)，Q(x222√3)；1)当直线l的斜率存在时，设方程为y=kx+m，代入椭圆方程可得：(3+4k2)x2+ 8kmx+4(m2−3)=0；有△=48(3+4k2−m2)>0，x1+x2=−8km3+4k2，x1x2=4(m2−3)3+4k2①…由以LQ 为直径的圆经过坐标原点O 可得：3x 1x 2+4y 1y 2=0； 整理得：(3+4k 2)x 1x 2+4mk(x 1+x 2)+4m 2=0② 将①式代入②式得：3+4k 2=2m 2∴ △>0， 又点O 到直线y =kx +m 的距离d =√1+k 2∴ HJ =√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2⋅4√3|m|2m 2所以S △OHJ =12|HJ|d =√3…2)当直线l 的斜率不存在时，设方程为x =m(−2<m <2) 联立椭圆方程得：y 2=3(4−m 2)4代入3x 1x 2+4y 1y 2=0得3m 2−3(4−m 2)4=0∴ m =±2√55，y =±2√155∴ S △OHJ =12|HJ|d =√3综上：△OHJ 的面积是定值√3又△ODE 的面积也为√3，所以二者相等…20. 解：(I)①∵ 函数f(x)的定义域为(−1, +∞)，∴ 所求函数的定义域为(0, +∞)；… ②函数ℎ(x)=x 4+[f(x)−ln(x +1)](x +1x )+cx 2+f′(0)=0，即x 2+ax +c +a x +1x 2=0，令t =x +1x ，方程为t 2+at +c −2=0，t ≥2， 设g(t)=0，当−a2>2，即a <−4时，只需△=a 2−4c +8≥0，此时，a 2+c 2≥16；当−a 2≤2，即a ≥−4时，只需22+2a +c −2≤0，即2a +c +2≤0，此时a 2+c 2≥45．∴ a 2+c 2的最小值为45．… （II ）由题，g′(x)=x 2+bx−1x 2，x ∈[1, e]令ℎ(x)=x 2+bx −1，注意y =ℎ(x)的图象过点(0, −1)，且开口向上，从而有 （1）当ℎ(1)≥0，即b ≥0时，g′(x)≥0，g(x)单调递增， 所以有{g(1)=1+1≥2eg(e)=e +1e +b ≤2e，得0≤b ≤e −1e ； … （2）当g(e)=e 2+eb −1≤0，即b ≤1e −e 时，g′(x)≤0，g(x)单调递减，所以有{g(1)=1+1≤2eg(e)=e +1e+b ≥2e得b ≥1e −e ，故只有b =1e −e 符合；… （3）当{g(1)<0g(e)>0即1e −e <b <0时，记函数ℎ(x)=x 2+bx −1的零点为t ∈[1, e)，此时，函数g(x)在(1, t)上单调递减，在(t, e)上单调递增，所以，{g(1)≤2eg(e)≤2e g(t)=t +1t +blnt ≥2e，∴ t +1t+blnt ≥2e因为t ∈(1, e)是函数ℎ(x)=x 2+bx −1的零点，所以b =1t −t ， 故有t +1t+(1t−t)lnt ≥2e令m(t)=t +1t+(1t−t)lnt ，t ∈(1, e)，则m′(t)=(−1−1t)lnt ≤0所以函数y =ℎ(t)在(1, e)上单调递减，故m(t)>m(e)=2e恒成立，此时，1e −e <b <0；综上所述，实数b 的取值范围是[1e −e,e −1e ]． …（III ）因函数f(x)图象上的点都在{x ≥0y −x ≤0所表示的平面区域内，则当x ∈[0, +∞)时，不等式f(x)≤x 恒成立，即ax 2+ln(x +1)−x ≤0恒成立， 设g(x)=ax 2+ln(x +1)−x(x ≥0)，只需g(x)max ≤0即可． 由g′(x)=x[2ax+(2a−1)]x+1，(I)当a =0时，g′(x)=−xx+1，当x >0时，g′(x)<0，函数g(x)在(0, +∞)上单调递减， 故g(x)≤g(0)=0成立． (II)当a >0时，由g′(x)=x[2ax+(2a−1)]x+1=0，因x ∈[0, +∞)，所以x =12a−1，①若12a −1<0，即a >12时，在区间x ∈(0, +∞)上，g′(x)>0，则函数g(x)在x ∈[0, +∞)上单调递增，g(x)在x ∈[0, +∞)上无最大值，此时不满足条件； ②若12a−1≥0，即0<a ≤12时，函数g(x)在(0,12a−1)上单调递减，在区间(12a−1，+∞)上单调递增，同样g(x)在x ∈[0, +∞)上无最大值，不满足条件． (III)当a <0时，由g′(x)=x[2ax+(2a−1)]x+1，∵ x ∈[0, +∞)，∴ 2ax +(2a −1)<0，∴ g′(x)<0，故函数g(x)在x ∈[0, +∞)上单调递减，故g(x)≤g(0)=0成立． 综上所述，实数a 的取值范围是(−∞, 0]．21. 解：∵ AD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的切线，直线BMN 是⊙O 的割线， ∴ ∠BAC =90∘，AB 2=BM ⋅BN ．∵ BM =MN =NC =1， ∴ 2BM 2=AB 2， ∴ AB =√2．∵ AB 2+AC 2=BC 2， ∴ 2+AC 2=9，AC =√7． ∵ CN ⋅CM =CD ⋅CA ， ∴ 2=CD ⋅√7， ∴ CD =27√7．∴ ⊙O 的半径为12(CA −CD)=514√7．22. 解：（1）∵ |−2132−12|=(−2)(−12)−1×32=−12≠0，∴ B =[−12−12−1−12−32−12−2−12]=[1234]； （2）任取直线l 上一点P(x, y)，经矩阵B 变换后点为P′(x′, y′)，则有[1234] [xy]=[x′y′]，则{x′=x +2y y′=3x +4y ，又7x ′−3y ′=0，则7(x +2y)−3(3x +4y)=0，x −y =0． 即直线l 的方程为x −y =0． 23. 解：（1）圆C 的极坐标方程是ρ=2cosθ，即 ρ2=2ρcosθ，即 x 2+y 2=2x ， 即 (x −1)2+y 2=1，表示以C(1, 0)为圆心，半径等于1的圆． （2）由{x =1+5y =a √5t（t 为参数），可得 2x −y +a −2=0． 由弦长PQ =4√55，可得弦心距d =√r 2−(PQ 2)2=√5．再由点到直线的距离公式可得 d =√5，∴√5=√5，解得 a =1，或 a =−1．24. （I ）由f(x)+a −2>0得|x −3|>2−a ， ∵ 常数a <2，∴ x −3>2−a 或x −3<a −2，即x >5−a 或x <a +1， 故不等式的解集为(−∞, a +1)∪(5−a, +∞)； (II)∵ 函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方， ∴ f(x)>g(x)恒成立，即m <|x −3|+|x +4|， ∵ |x −3|+|x +4|≥|x −3−(x +4)|＝7， ∴ m <7，即实数m 的取值范围为m <7． 25. 解：(I)因为该同学通过各校考试的概率均为12， 所以该同学恰好通过2所高校自主招生考试的概率为P =C 102(12)2(1−12)8=451024．…（II ）设该同学共参加了i 次考试的概率为P i (1≤i ≤10, i ∈Z)．∵ P i ={12i，1≤i ≤9，i ∈Z 129，i =10，∴ 所以该同学参加考试所需费用ξ的分布列如下：所以Eξ=(12×1+122×2+⋯+129×9+129×10)a ，… 令S =12×1+122×2+⋯+129×9，…（1） 则12S =122×1+123×2+⋯+129×8+1210×9， (2)由（1）−(2)得12S =12+122+⋯+129−1210×9， 所以S =1+12+122+⋯+128−129×9，…所以Eξ=(1+12+122+⋯+128−129×9+129×10)a =(1+12+⋯+129)a =1−12101−12a =2(1−1210)a =1023512a （元）．…26. 解法1：（1）证：用数学归纳法证明：当x =0时，(1+x)m ≥1+mx ；即1≥1成立， x ≠0时，证：用数学归纳法证明： （1）当m =1时，原不等式成立；当m =2时，左边=1+2x +x 2，右边=1+2x ， 因为x 2≥0，所以左边≥右边，原不等式成立；（2）假设当m =k 时，不等式成立，即(1+x)k ≥1+kx ， 则当m =k +1时，∵ x >−1，∴ 1+x >0，于是在不等式(1+x)k ≥1+kx 两边同乘以1+x 得(1+x)k ⋅(1+x)≥(1+kx)(1+x)=1+(k +1)x +kx 2≥1+(k +1)x ， 所以(1+x)k+1≥1+(k +1)x ．即当m =k +1时，不等式也成立． 综合(1)(II)知，对一切正整数m ，不等式都成立． （2）证：当n ≥6，m ≤n 时，由（1）得(1−1n+3)m ≥1−m n+3>0，于是(1−mn+3)n ≤(1−1n+3)nm =[(1−1n+3)n ]m <(12)m ，m =1，2，n ．（3）解：由（2）知，当n ≥6时，(1−1n+3)n +(1−2n+3)n +⋯+(1−nn+3)n <12+(12)2+⋯+(12)n =1−12n <1，∴ (n+2n+3)n +(n+1n+3)n +⋯+(3n+3)n <1．即3n +4n +...+(n +2)n <(n +3)n ．即当n ≥6时，不存在满足该等式的正整数n ． 故只需要讨论n =1，2，3，4，5的情形：当n =1时，3≠4，等式不成立；当n =2时，32+42=52，等式成立；当n =3时，33+43+53=63，等式成立；当n =4时，34+44+54+64为偶数，而74为奇数，故34+44+54+64≠74，等式不成立；当n =5时，同n =4的情形可分析出，等式不成立．综上，所求的n 只有n =2，3．解法2：（1）证：当x =0或m =1时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明： 当x >−1，且x ≠0时，m ≥2，(1+x)m >1+mx ． ①（1）当m =2时，左边=1+2x +x 2，右边=1+2x ，因为x ≠0，所以x 2>0，即左边>右边，不等式①成立；（2）假设当m =k(k ≥2)时，不等式①成立，即(1+x)k >1+kx ，则当m =k +1时， 因为x >−1，所以1+x >0．又因为x ≠0，k ≥2，所以kx 2>0．于是在不等式(1+x)k >1+kx 两边同乘以1+x 得(1+x)k ⋅(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k +1)x +kx 2>1+(k +1)x ，所以(1+x)k+1>1+(k +1)x ．即当m =k +1时，不等式①也成立．综上所述，所证不等式成立．（2）证：当n ≥6，m ≤n 时，∵ (1−1n+3)n <12，∴ [(1−1n+3)m ]n <(12)m ，而由（1），(1−1n+3)m ≥1−m n+3>0， ∴ (1−m n+3)n ≤[(1−1n+3)m ]n <(12)m ．（3）解：假设存在正整数n 0≥6使等式3n 0+4n 0+⋯+(n 0+2)n 0=(n 0+3)n 0成立， 即有(3n 0+3)n 0+(4n 0+3)n 0+⋯+(n 0+2n 0+3)n 0=1． ② 又由（2）可得(3n0+3)n 0+(4n 0+3)n 0+⋯+(n 0+2n 0+3)n 0 =(1−n 0n 0+3)n 0+(1−n 0−1n 0+3)n 0+⋯+(1−1n 0+3)n 0<(12)n 0+(12)n 0−1+⋯+12=1−12n 0<1，与②式矛盾．故当n ≥6时，不存在满足该等式的正整数n ．下同解法1．。