2013郑州高三三模文科数学试题及答案word版

2013年高三模拟试题——文科数学参考答案 选择题 1----5 6-----10 11—12 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 14. 15. 16. 三、 解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 18（本题满分12分） 解：(Ⅰ)依题意良好学生的人数是，优秀学生人数是 4分 (Ⅱ)优秀与良好的人数之比是，所以采用分层抽样抽取的10人中优秀人数是3，良好人数是7 7分 (Ⅲ) 将(Ⅱ)中选取的优秀学生记作甲，乙，丙，则从这3人中选取2人的基本事件是甲乙，乙丙，甲丙共3个，其中含甲的基本事件是甲乙，甲丙共2个，所以甲被选中的概率是 12分 19（本题满分12分） (Ⅰ)由已知, 设，所以， ,,。

6分 (Ⅱ)由, 在平面内作, , , 且由三角形的等面积法的 . 12分 （Ⅱ）直线的斜率不存在时，的方程为，直线抛物线, 不满足题意 …….…………6分 当直线斜率存在时，假设存在直线过抛物线焦点，设其方程为，与的交点坐标为. 由消去并整理得 ，于是 ，.① ….…….………………8分 . 即.② .…………9分 由，即，得（*）. 将①、②代入（*）式，得，解得， 所以存在直线满足条件，且的方程为：或. ……12分 21.I）， ，又，所以切点坐标为 所求的切线方程为即..…………3分 （III）依题意，不等式恒成立，等价于 在上恒成立 可得在上恒成立………………………………8分 设，则 令得或（舍去），当时，当时， 当变化时，变化情况如下表： 1+0-单调递增2单调递减当时，取得最大值，， 的取值范围是………………………………………………………………12分 23. （本题满分10分） 24. （本题满分10分） （I）当时，要使函数有意义， 则 ①当时，原不等式可化为，即； ②当时，原不等式可化为，即，显然不成立； ③当时，原不等式可化为，即. 综上所求函数的定义域为…….….…….………….…5分 （II）函数的定义域为，则恒成立，即恒成立，构造函数=，求得函数的最小值为3，所以.…….……….…….………10分。

河南省中原名校2013届高三第三次联考数学（文）试题（考试时间：1 2 0分钟 试卷满分：1 5 0分）注意事项：1．本试卷分第1卷（选择题）和第1I 卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第1卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合，题目要求的．1．i 是虚数单位，复数z 满足z （1+i ）= 1-i ，则复数z= A ．i B ．一i C ．1 D ．一l2．已知集合A ，B ，C ，且A ⊆B ，A ⊆C ．若B={0，1，2，3，4},C={0，2，4，8},则集合A 中的元素最多有 A ．5个 B ．4个 C ．3个D ．2个3．下列说法正确的是A ．“a>b ”是“a 2>b 2”的充分条件 B ．命题“x ∀∈R ，20x x +>”的否定是“2000,0x R x x ∃∈+>" C ．“a=1”是“函数2()f x ax =—2x+1只有一个零点”的充要祭件D ．所有二次函数的图象都与少轴有交点4．抛物线24x y =的焦点坐标是A ．（2，0）B ．（0，2）C ．（l ，0）D ．（0，1）5．某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是A ．||()x f x x=B ．11()221x f x =-+C ．()x xx xe ef x e e--+=-D ．221()1x f x x-=+ 6．已知cos 33,(,),52πααπ=-∈则cos()4πα-=A ．210 B ．－210C ．210D ．－72107．如图正方体ABCD – A 1B 1C 1D 1中，异面直线A 1B 和B 1C 所成的角是 A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°8．已知实数x ，y 满足条件220,240,330.x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩则z=22x y +的最小值是A ．45B ．55C ．1D ．549．平行四边形ABCD 中，AB =（1，0），AC =（2，2），则AD BD ⋅等于A ．4B ．-4C ．2D ．-210．已知数列{}n a 满足：111,3,64,23, 3.n nn n n a a a a a a +⎧>⎪==⎨⎪-≤⎩其中，n ∈N +，那么a 1 l = A ．0 B ．lC ．2D ．311．若△ABC 的周长等于20，面积是3°，则BC 边的长是A ．5B ． 6C ．7D ．812．已知定义在R 上的函数(),f x 当x ∈[一1，1]时，22()231f x x x =++，且对任意的x 满足(2)()f x Mf x -=（常数M ≠0），则函数()f x 在区间[3，5]上的最小值与最大值之比是A ．16B ．14C ．13D ．12第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在指定的答题卷上．13．如图，矩形ABCD 的边长分别为2和1，阴影部分是直线y=1和抛物线y=x 2围成的部分，在矩形ABCD 中随机撒100粒豆子，落到阴影部分70粒，据此可以估计出阴影部分的面积是 .14．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线x+3y-2=0垂直，那么该双曲线的离心率为 .1 5．某正四面体的俯视图是如图所示的边长为2正方形ABCD ，个正四面体外接球的体积是 .16．设函数()sin cos ,f x a b x =+其中,,0a b R ab ∈≠．若()|()|3f x f π≤对一切x ∈R 恒成立，则 ①5()0;6f π= ②4|()||()|212f f ππ>；③存在a ，b 使f （x ）是奇函数； ④f （x ）的单调增区间是[2k 4,2],;33k k Z ππππ++∈ ⑤经过点（a ，b ）的所有直线与函数f （x ）的图象都相交， 以上结论正确的是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 1 7．（本小题满分1 2分） 在等差数列{}n a 中，a 1=1，a m =15，前m 项的和64m S =． （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n b 满足1()2n an b =，且数列{}n b 的前n 项和n T M <对一切n ∈N +恒成立，求实数M 的取值范围．18．（本小题满分1 2分）某市为了解采用阶梯水价后居民用水情况，采用抽样调查的方式获得了该市100位居民一年的月均用水量（单位：t），并以此为样本数据得到了如下的频率分布直方图．（I）根据频率分布直方图提供的信息，求这1 00位居民中月均用水量在区间[1，1．5）内的人数，并估计该样本数据的众数和中位数；（II）从月均用水量不低于3．5t的居民中随机选取2人调查他们的用水方式，求所选的两人月均用水量都低于4t的概率．19．（本小题满分1 2分）一块边长为10cm的正方形铁片按图（1）中所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个如图（2）所示的正四棱锥形容器．在图（1）中，x表示等腰三角形的底边长；在图（2）中，点E、F分别是四棱锥P- ABCD的棱BC，PA的中点，（I）证明：EF∥平面PDC；（II）把该容器的体积V表示为x的函数，并求x=8cm时，三棱锥A一BEF的体积，20．（本小题满分1 2分）如图，A，B两点的坐标分别为（-2，0），（2，0），直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积是一34．（I）求点M的轨迹C的方程；（ II）是否存在斜率为l直线l与曲线C交于P，Q两点，且使△OPQ的面积等于127？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数2()xkxf xe，其中k∈R且k≠0．（I）求函数f （x）的单调区间；（II）当k=l时，若存在x>0，使Inf （x）>ax成立，求实数a的取值范围．【选考题】请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。

郑州市2013年高三第三次调研考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～23题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题.每小题5分．在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}R ,,01|),(∈=-+=y x y x y x A ，{}R ,,1|),(2∈+==y x x y y x B ，则集合B A ⋂的元素个数是A.0B. 1 C 2 D.32.已知x ，y ∈R ，i 为虚数单位，若iiyi x +=+-121，则y x +的值为 A.2 B.3 C.4 D.53.下列命题中的假命题是 A.0,R 2≥∈∀x x B.02,R 1>∈∀-x x C.1lg ,R <∈∃x x D.2cos sin ,R =+∈∃x x x4.设a 为实数，函数x a ax x x f )3()(23-++=的导函数为)(x f '，且)(x f '是偶函数，则曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为A.0169=--y xB.0169=-+y xC.0126=--y xD.0126=-+y x 5.已知实数x ，y 取值如下表x 0 1 4 5 6 8 y 1.3 1.85.66.17.49.3从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且a x y +=∧95.0，则a 的值是A.1.30B.1.45C. 1.65D.1.806.已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题：①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ；③l ∥m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α∥β 其中正确的命题的序号是A.①②③B.②③④C.①③D.②④7.如图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值，若要使输入的x 的值与输出相应的y 值相等，则这样的x 值有A.1个B.2个C.3个D.4个8.函数)cos(2ϕω+=x y （0>ϕ且2πϕ<），在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,3ππ上单调递增，且函数值从-2增大到2，那么此函数图像与y 轴交点的纵坐标为 A.1 B.2 C.3 D.226+ 9.设⎰=πsin xdx a 则二项式8)1(xax -的展开式中2x 项的系数是 A.-1120 B.1120 C.-1793 D.179210.抛物线x y 122=的准线与双曲线112422=-y x 的两条渐近线围成的三角形的面积为 A.6 B.36 C.9 D.3911.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，6=a ，2=b ，且0)cos(21=++C B ，则△ABC 的BC 边上的高等于A.2B.26 C.226+ D.213+12.已知椭圆有这样的光学性质，从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的两个焦点，长轴长为a 2，焦距为c 2，当静止放置点A 的小球（半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后再回到点A ，则小球经过的路径为 A.a 4 B.)(2c a - C.)(2c a + D.以上答案都有可能第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第2l 题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题：本大题共4小题.每小题5分．13.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221=a a ，823=a a ，则10S = . 14.已知长方体的一个顶点上的三条棱长分别是4,8，h ，且它的8个顶点都在同一个球面上，这个球面的表面积为π100，则h = .15.已知函数)(x f y =的图像与函数12--=-xy 的图像关于直线x y =对称，则)3(f = .16.已知⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤+-101553034x y x y x ，则x y z =的范围是 .三、解答题：(12+12+12+12+12+10=70分)解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤．17.已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，21=a ，且2a ，3a ，14+a 成等比数列。

2013高三文科数学第三次联考试题（河南十所名校附答案）2013年河南省十所名校高三第三次联考试题数学（文科）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上（答题注意事项见答题卡），在本试题卷上答题无效．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷选择题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．设全集U是实数集R，集合M＝{x｜≥2x}，N＝{x｜≤0}，则M∩N＝A．{1，2}B．{2}C．{1}D．1，2]2．i为虚数单位，若复数＝，则｜z｜＝A．1B．2C．D．23．双曲线的离心率为A．B．C．D．4．某学生在一门功课的22次考试中，所得分数如下茎叶图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为A．117B．118C．118．5D．119．55．在△ABC中，M是AB边所在直线上任意一点，若＝－2＋λ，则λ＝A．1B．2C．3D．46．“m＝－1”是“函数f（x）＝ln（mx）在（－∞，0）上单调递减”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．公差不为0的等差数列{}的前21项的和等于前8项的和．若，则k ＝A．20B．21C．22D．238．在如图所示的程序框图中，若U＝•，V＝，则输出的S＝A．2B．C．1D．9．在几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．B．2C．D．10．e，π分别是自然对数的底数和圆周率，则下列不等式中不成立的是A．＞B．＋＞1C．＋＞2D．－e＞－π11．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若＝2014，则的值为A．0B．1C．2013D．201412．四面体ABCD中，AD与BC互相垂直，且AB＋BD＝AC＋CD．则下列结论中错误的是A．若分别作△BAD和△CAD的边AD上的高，则这两条高所在直线异面B．若分别作△BAD和△CAD的边AD上的高，则这两条高长度相等C．AB＝AC且DB＝DCD．∠DAB＝∠DAC第Ⅱ卷非选择题本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题。

2013年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（5分）（2013•新课标Ⅱ）已知集合M＝{x|﹣3＜x＜1，x∈R}，N＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，则M∩N＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1}B．{﹣3，﹣2，﹣1，0}C．{﹣2，﹣1，0}D．{﹣3，﹣2，﹣1}2．（5分）（2013•新课标Ⅱ）＝（）A．2B．2C．D．13．（5分）（2013•新课标Ⅱ）设x，y满足约束条件，则z＝2x﹣3y的最小值是（）A．﹣7B．﹣6C．﹣5D．﹣34．（5分）（2013•新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B ＝，C＝，则△ABC的面积为（）A．2+2B．C．2﹣2D．﹣15．（5分）（2013•新课标Ⅱ）设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）（2013•新课标Ⅱ）已知sin2α＝，则cos2（α+）＝（）A．B．C．D．7．（5分）（2013•新课标Ⅱ）执行如图的程序框图，如果输入的N＝4，那么输出的S＝（）A．1+++B．1+++C．1++++D．1++++8．（5分）（2013•新课标Ⅱ）设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则（）A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a 9．（5分）（2013•新课标Ⅱ）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（）A．B．C．D．10．（5分）（2013•新课标Ⅱ）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为（）A．y＝x﹣1或y＝﹣x+1B．y＝（x﹣1）或y＝﹣（x﹣1）C．y＝（x﹣1）或y＝﹣（x﹣1）D．y＝（x﹣1）或y＝﹣（x﹣1）11．（5分）（2013•新课标Ⅱ）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A．∃x0∈R，f（x0）＝0B．函数y＝f（x）的图象是中心对称图形C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，x0）上单调递减D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）＝012．（5分）（2013•新课标Ⅱ）若存在正数x使2x（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣2，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分．13．（4分）（2013•新课标Ⅱ）从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是．14．（4分）（2013•新课标Ⅱ）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则•＝．15．（4分）（2013•新课标Ⅱ）已知正四棱锥O﹣ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为．16．（4分）（2013•新课标Ⅱ）函数y＝cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后，与函数y＝sin（2x+）的图象重合，则φ＝．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2013•新课标Ⅱ）已知等差数列{a n}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求a1+a4+a7+…+a3n﹣2．18．（12分）（2013•新课标Ⅱ）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）AA1＝AC＝CB＝2，AB＝，求三棱锥C﹣A1DE的体积．19．（12分）（2013•新课标Ⅱ）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X（单位：t，100≤X≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．（Ⅰ）将T表示为X的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率．20．（12分）（2013•新课标Ⅱ）在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2．（Ⅰ）求圆心P的轨迹方程；（Ⅱ）若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．21．（12分）（2013•新课标Ⅱ）已知函数f（x）＝x2e﹣x（Ⅰ）求f（x）的极小值和极大值；（Ⅱ）当曲线y＝f（x）的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．选做题．请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，作答时请写清题号．22．（2013•新课标Ⅱ）【选修4﹣1几何证明选讲】如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB 与弦AC上的点，且BC•AE＝DC•AF，B、E、F、C四点共圆．（1）证明：CA是△ABC外接圆的直径；（2）若DB＝BE＝EA，求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．23．（2013•新课标Ⅱ）已知动点P、Q都在曲线（β为参数）上，对应参数分别为β＝α与β＝2α（0＜α＜2π），M为PQ的中点．（1）求M的轨迹的参数方程；（2）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．24．（14分）（2013•新课标Ⅱ）【选修4﹣﹣5；不等式选讲】设a，b，c均为正数，且a+b+c＝1，证明：（Ⅰ）（Ⅱ）．2013年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（5分）（2013•新课标Ⅱ）已知集合M＝{x|﹣3＜x＜1，x∈R}，N＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，则M∩N＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1}B．{﹣3，﹣2，﹣1，0}C．{﹣2，﹣1，0}D．{﹣3，﹣2，﹣1}【分析】找出集合M与N的公共元素，即可求出两集合的交集．【解答】解：∵集合M＝{x|﹣3＜x＜1，x∈R}，N＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，∴M∩N＝{﹣2，﹣1，0}．故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2013•新课标Ⅱ）＝（）A．2B．2C．D．1【分析】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果．【解答】解：＝＝＝．故选：C．【点评】本题考查复数的模的求法，考查计算能力．3．（5分）（2013•新课标Ⅱ）设x，y满足约束条件，则z＝2x﹣3y的最小值是（）A．﹣7B．﹣6C．﹣5D．﹣3【分析】先画出满足约束条件：，的平面区域，求出平面区域的各角点，然后将角点坐标代入目标函数，比较后，即可得到目标函数z＝2x﹣3y的最小值．【解答】解：根据题意，画出可行域与目标函数线如下图所示，由得，由图可知目标函数在点A（3，4）取最小值z＝2×3﹣3×4＝﹣6．故选：B．【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．4．（5分）（2013•新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B ＝，C＝，则△ABC的面积为（）A．2+2B．C．2﹣2D．﹣1【分析】由sin B，sin C及b的值，利用正弦定理求出c的值，再求出A的度数，由b，c 及sin A的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：∵b＝2，B＝，C＝，∴由正弦定理＝得：c＝＝＝2，A＝，∴sin A＝sin（+）＝cos＝，＝bc sin A＝×2×2×＝+1．则S△ABC故选：B．【点评】此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．5．（5分）（2013•新课标Ⅱ）设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】设|PF2|＝x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得|PF1|与|F1F2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案．【解答】解：|PF2|＝x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，∴|PF1|＝2x，|F1F2|＝x，又|PF1|+|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c∴2a＝3x，2c＝x，∴C的离心率为：e＝＝．故选：D．【点评】本题考查椭圆的简单性质，求得|PF1|与|PF2|及|F1F2|是关键，考查理解与应用能力，属于中档题．6．（5分）（2013•新课标Ⅱ）已知sin2α＝，则cos2（α+）＝（）A．B．C．D．【分析】所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用诱导公式变形，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵sin2α＝，∴cos2（α+）＝[1+cos（2α+）]＝（1﹣sin2α）＝×（1﹣）＝．故选：A．【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．7．（5分）（2013•新课标Ⅱ）执行如图的程序框图，如果输入的N＝4，那么输出的S＝（）A．1+++B．1+++C．1++++D．1++++【分析】由程序中的变量、各语句的作用，结合流程图所给的顺序可知当条件满足时，用S+的值代替S得到新的S，并用k+1代替k，直到条件不能满足时输出最后算出的S 值，由此即可得到本题答案．【解答】解：根据题意，可知该按以下步骤运行第一次：S＝1，第二次：S＝1+，第三次：S＝1++，第四次：S＝1+++．此时k＝5时，符合k＞N＝4，输出S的值．∴S＝1+++故选：B．【点评】本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，以及表格法的运用，属于基础题．8．（5分）（2013•新课标Ⅱ）设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则（）A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a【分析】判断对数值的范围，然后利用换底公式比较对数式的大小即可．【解答】解：由题意可知：a＝log32∈（0，1），b＝log52∈（0，1），c＝log23＞1，所以a＝log32，b＝log52＝，所以c＞a＞b，故选：C．【点评】本题考查对数值的大小比较，换底公式的应用，基本知识的考查．9．（5分）（2013•新课标Ⅱ）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（）A．B．C．D．【分析】由题意画出几何体的直观图，然后判断以zOx平面为投影面，则得到正视图即可．【解答】解：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），几何体的直观图如图，是正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以zOx平面为投影面，则得到正视图为：故选：A．【点评】本题考查几何体的三视图的判断，根据题意画出几何体的直观图是解题的关键，考查空间想象能力．10．（5分）（2013•新课标Ⅱ）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为（）A．y＝x﹣1或y＝﹣x+1B．y＝（x﹣1）或y＝﹣（x﹣1）C．y＝（x﹣1）或y＝﹣（x﹣1）D．y＝（x﹣1）或y＝﹣（x﹣1）【分析】根据题意，可得抛物线焦点为F（1，0），由此设直线l方程为y＝k（x﹣1），与抛物线方程联解消去x，得﹣y﹣k＝0．再设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系和|AF|＝3|BF|，建立关于y1、y2和k的方程组，解之可得k值，从而得到直线l的方程．【解答】解：法一：∵抛物线C方程为y2＝4x，可得它的焦点为F（1，0），∴设直线l方程为y＝k（x﹣1）由消去x，得﹣y﹣k＝0设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2＝，y1y2＝﹣4…（*）∵|AF|＝3|BF|，∴y1+3y2＝0，可得y1＝﹣3y2，代入（*）得﹣2y2＝且﹣3y22＝﹣4，消去y2得k2＝3，解之得k＝∴直线l方程为y＝（x﹣1）或y＝﹣（x﹣1）法二：做出抛物线的准线，以及A、B到准线的垂线段AA'、BB'，并设直线l交准线与M，设|BF|＝m，由抛物线的定义可知|BB'|＝m，|AA'|＝|AF|＝3m，由BB'∥AA'可知，，即，所以|MB|＝2m，则|MA|＝6m，故∠AMA'＝30°，根据斜率与角度的关系可得选C选项．故选：C．【点评】本题给出抛物线的焦点弦AB被焦点F分成1：3的两部分，求直线AB的方程，着重考查了抛物线的标准方程、简单几何性质和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．11．（5分）（2013•新课标Ⅱ）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A．∃x0∈R，f（x0）＝0B．函数y＝f（x）的图象是中心对称图形C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，x0）上单调递减D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）＝0【分析】对于A，对于三次函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，由于当x→﹣∞时，y→﹣∞，当x→+∞时，y→+∞，故在区间（﹣∞，+∞）肯定存在零点；对于B，根据对称变换法则，求出对应中心坐标，可以判断；对于C：采用取特殊函数的方法，若取a＝﹣1，b＝﹣1，c＝0，则f（x）＝x3﹣x2﹣x，利用导数研究其极值和单调性进行判断；D：若x0是f（x）的极值点，根据导数的意义，则f′（x0）＝0，正确．【解答】解：A、对于三次函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，A：由于当x→﹣∞时，y→﹣∞，当x→+∞时，y→+∞，故∃x0∈R，f（x0）＝0，故A正确；B、∵f（﹣﹣x）+f（x）＝（﹣﹣x）3+a（﹣﹣x）2+b（﹣﹣x）+c+x3+ax2+bx+c＝﹣+2c，f （﹣）＝（﹣）3+a （﹣）2+b （﹣）+c ＝﹣+c ，∵f （﹣﹣x ）+f （x ）＝2f （﹣），∴点P （﹣，f （﹣））为对称中心，故B 正确．C 、若取a ＝﹣1，b ＝﹣1，c ＝0，则f （x ）＝x 3﹣x 2﹣x ，对于f （x ）＝x 3﹣x 2﹣x ，∵f ′（x ）＝3x 2﹣2x ﹣1∴由f ′（x ）＝3x 2﹣2x ﹣1＞0得x ∈（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）由f ′（x ）＝3x 2﹣2x ﹣1＜0得x ∈（﹣，1）∴函数f （x ）的单调增区间为：（﹣∞，﹣），（1，+∞），减区间为：（﹣，1），故1是f （x ）的极小值点，但f （x ）在区间（﹣∞，1）不是单调递减，故C 错误；D ：若x 0是f （x ）的极值点，根据导数的意义，则f ′（x 0）＝0，故D 正确．由于该题选择错误的，故选：C ．【点评】本题考查了导数在求函数极值中的应用，利用导数求函数的单调区间，及导数的运算．12．（5分）（2013•新课标Ⅱ）若存在正数x 使2x （x ﹣a ）＜1成立，则a 的取值范围是（）A ．（﹣∞，+∞）B ．（﹣2，+∞）C ．（0，+∞）D ．（﹣1，+∞）【分析】转化不等式为，利用x 是正数，通过函数的单调性，求出a 的范围即可．【解答】解：因为2x （x ﹣a ）＜1，所以，函数y＝是增函数，x＞0，所以y＞﹣1，即a＞﹣1，所以a的取值范围是（﹣1，+∞）．故选：D．【点评】本题考查不等式的解法，函数单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分．13．（4分）（2013•新课标Ⅱ）从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是0.2．【分析】由题意结合组合数公式可得总的基本事件数，再找出和为5的情形，由古典概型的概率公式可得答案．【解答】解：从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数共有＝10种情况，和为5的有（1，4）（2，3）两种情况，故所求的概率为：＝0.2故答案为：0.2【点评】本题考查古典概型及其概率公式，属基础题．14．（4分）（2013•新课标Ⅱ）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则•＝2．【分析】根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为（）•（），再根据两个向量垂直的性质，运算求得结果．【解答】解：∵已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则＝0，故＝（）•（）＝（）•（）＝﹣+﹣＝4+0﹣0﹣＝2，故答案为2．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的性质，属于中档题．15．（4分）（2013•新课标Ⅱ）已知正四棱锥O﹣ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为24π．【分析】先直接利用锥体的体积公式即可求得正四棱锥O﹣ABCD的高，再利用直角三角形求出正四棱锥O﹣ABCD的侧棱长OA，最后根据球的表面积公式计算即得．【解答】解：如图，正四棱锥O﹣ABCD的体积V＝sh＝（×）×OH＝，∴OH＝，在直角三角形OAH中，OA＝＝＝所以表面积为4πr2＝24π；故答案为：24π．【点评】本题考查锥体的体积、球的表面积计算，考查学生的运算能力，属基础题．16．（4分）（2013•新课标Ⅱ）函数y＝cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后，与函数y＝sin（2x+）的图象重合，则φ＝．【分析】根据函数图象平移的公式，可得平移后的图象为y＝cos[2（x﹣）+φ]的图象，即y＝cos（2x+φ﹣π）的图象．结合题意得函数y＝sin（2x+）＝的图象与y＝cos（2x+φ﹣π）图象重合，由此结合三角函数的诱导公式即可算出φ的值．【解答】解：函数y＝cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后，得平移后的图象的函数解析式为y＝cos[2（x﹣）+φ]＝cos（2x+φ﹣π），而函数y＝sin（2x+）＝，由函数y＝cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后，与函数y＝sin （2x+）的图象重合，得2x+φ﹣π＝，解得：φ＝．符合﹣π≤φ＜π．故答案为．【点评】本题给出函数y＝cos（2x+φ）的图象平移，求参数φ的值．着重考查了函数图象平移的公式、三角函数的诱导公式和函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换等知识，属于基础题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2013•新课标Ⅱ）已知等差数列{a n}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求a1+a4+a7+…+a3n﹣2．【分析】（I）设等差数列{a n}的公差为d≠0，利用成等比数列的定义可得，，再利用等差数列的通项公式可得，化为d（2a1+25d）＝0，解出d即可得到通项公式a n；＝﹣2（3n﹣2）+27＝﹣6n+31，可知此数列是以25为首项，﹣6（II）由（I）可得a3n﹣2为公差的等差数列．利用等差数列的前n项和公式即可得出a1+a4+a7+…+a3n﹣2．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d≠0，由题意a1，a11，a13成等比数列，∴，∴，化为d（2a1+25d）＝0，∵d≠0，∴2×25+25d＝0，解得d＝﹣2．∴a n＝25+（n﹣1）×（﹣2）＝﹣2n+27．＝﹣2（3n﹣2）+27＝﹣6n+31，可知此数列是以25为首项，﹣6（II）由（I）可得a3n﹣2为公差的等差数列．∴S n＝a1+a4+a7+…+a3n﹣2＝＝＝﹣3n2+28n．【点评】熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式是解题的关键．18．（12分）（2013•新课标Ⅱ）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）AA1＝AC＝CB＝2，AB＝，求三棱锥C﹣A1DE的体积．【分析】（Ⅰ）连接AC1交A1C于点F，则DF为三角形ABC1的中位线，故DF∥BC1．再根据直线和平面平行的判定定理证得BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）由题意可得此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形，由D为AB的中点可得CD ⊥平面ABB1A1．求得CD的值，利用勾股定理求得A 1D、DE和A1E的值，可得A1D⊥DE．进而求得的值，再根据三棱锥C﹣A1DE的体积为••CD，运算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）证明：连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．∵直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，故DF为三角形ABC1的中位线，故DF∥BC1．由于DF⊂平面A1CD，而BC1不在平面A1CD中，故有BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）∵AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2，故此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形．由D为AB的中点可得CD⊥平面ABB1A1，∴CD＝＝．∵A1D＝＝，同理，利用勾股定理求得DE＝，A1E＝3．再由勾股定理可得+DE2＝，∴A1D⊥DE．∴＝＝，∴＝••CD＝1．【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，求三棱锥的体积，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．19．（12分）（2013•新课标Ⅱ）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X（单位：t，100≤X≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．（Ⅰ）将T表示为X的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率．【分析】（I）由题意先分段写出，当X∈[100，130）时，当X∈[130，150）时，和利润值，最后利用分段函数的形式进行综合即可．（II）由（I）知，利润T不少于57000元，当且仅当120≤X≤150．再由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，利用样本估计总体的方法得出下一个销售季度的利润T 不少于57000元的概率的估计值．【解答】解：（I）由题意得，当X∈[100，130）时，T＝500X﹣300（130﹣X）＝800X﹣39000，当X∈[130，150]时，T＝500×130＝65000，∴T＝．（II）由（I）知，利润T不少于57000元，当且仅当120≤X≤150．由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，所以下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7．【点评】本题考查用样本的频率分布估计总体分布及识图的能力，求解的重点是对题设条件及直方图的理解，了解直方图中每个小矩形的面积的意义．20．（12分）（2013•新课标Ⅱ）在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2．（Ⅰ）求圆心P的轨迹方程；（Ⅱ）若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．【分析】（Ⅰ）由题意，可直接在弦心距、弦的一半及半径三者组成的直角三角形中利用勾股定理建立关于点P的横纵坐标的方程，整理即可得到所求的轨迹方程；（Ⅱ）由题，可先由点到直线的距离公式建立关于点P的横纵坐标的方程，将此方程与（I）所求的轨迹方程联立，解出点P的坐标，进而解出圆的半径即可写出圆P的方程．【解答】解：（Ⅰ）设圆心P（x，y），由题意得圆心到x轴的距离与半径之间的关系为2＝﹣y2+r2，同理圆心到y轴的距离与半径之间的关系为3＝﹣x2+r2，由两式整理得x2+3＝y2+2，整理得y2﹣x2＝1即为圆心P的轨迹方程，此轨迹是等轴双曲线（Ⅱ）由P点到直线y＝x的距离为得，＝，即|x﹣y|＝1，即x＝y+1或y ＝x+1，分别代入y2﹣x2＝1解得P（0，﹣1）或P（0，1）若P（0，﹣1），此时点P在y轴上，故半径为，所以圆P的方程为（y+1）2+x2＝3；若P（0，1），此时点P在y轴上，故半径为，所以圆P的方程为（y﹣1）2+x2＝3；综上，圆P的方程为（y+1）2+x2＝3或（y﹣1）2+x2＝3【点评】本题考查求轨迹方程的方法解析法及点的直线的距离公式、圆的标准方程与圆的性质，解题的关键是理解圆的几何特征，将几何特征转化为方程21．（12分）（2013•新课标Ⅱ）已知函数f（x）＝x2e﹣x（Ⅰ）求f（x）的极小值和极大值；（Ⅱ）当曲线y＝f（x）的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用导数的运算法则即可得出f′（x），利用导数与函数单调性的关系及函数的极值点的定义，即可求出函数的极值；（Ⅱ）利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，得出切线的方程，利用方程求出与x 轴交点的横坐标，再利用导数研究函数的单调性、极值、最值即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝x2e﹣x，∴f′（x）＝2xe﹣x﹣x2e﹣x＝e﹣x（2x﹣x2），令f′（x）＝0，解得x＝0或x＝2，令f′（x）＞0，可解得0＜x＜2；令f′（x）＜0，可解得x＜0或x＞2，故函数在区间（﹣∞，0）与（2，+∞）上是减函数，在区间（0，2）上是增函数．∴x＝0是极小值点，x＝2极大值点，又f（0）＝0，f（2）＝．故f（x）的极小值和极大值分别为0，．（Ⅱ）设切点为（），则切线方程为y﹣＝（x﹣x0），令y＝0，解得x＝＝，∵曲线y＝f（x）的切线l的斜率为负数，∴（＜0，∴x0＜0或x0＞2，令，则＝．①当x0＜0时，0，即f′（x0）＞0，∴f（x0）在（﹣∞，0）上单调递增，∴f（x0）＜f（0）＝0；②当x 0＞2时，令f′（x0）＝0，解得．当时，f′（x0）＞0，函数f（x0）单调递增；当时，f′（x0）＜0，函数f（x0）单调递减．故当时，函数f（x 0）取得极小值，也即最小值，且＝．综上可知：切线l在x轴上截距的取值范围是（﹣∞，0）∪．【点评】本题考查利用导数求函数的极值与利用导数研究函数的单调性、切线、函数的值域，综合性强，考查了推理能力和计算能力．选做题．请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，作答时请写清题号．22．（2013•新课标Ⅱ）【选修4﹣1几何证明选讲】如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB 与弦AC上的点，且BC•AE＝DC•AF，B、E、F、C四点共圆．（1）证明：CA是△ABC外接圆的直径；（2）若DB＝BE＝EA，求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．【分析】（1）已知CD为△ABC外接圆的切线，利用弦切角定理可得∠DCB＝∠A，及BC•AE＝DC•AF，可知△CDB∽△AEF，于是∠CBD＝∠AFE．利用B、E、F、C四点共圆，可得∠CFE＝∠DBC，进而得到∠CFE＝∠AFE＝90°即可证明CA是△ABC外接圆的直径；（2）要求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．只需求出其外接圆的直径的平方之比即可．由过B、E、F、C四点的圆的直径为CE，及DB＝BE，可得CE＝DC，利用切割线定理可得DC2＝DB•DA，CA2＝CB2+BA2，都用DB表示即可．【解答】（1）证明：∵CD为△ABC外接圆的切线，∴∠DCB＝∠A，∵BC•AE＝DC•AF，∴．∴△CDB∽△AEF，∴∠CBD＝∠AFE．∵B、E、F、C四点共圆，∴∠CFE＝∠DBC，∴∠CFE＝∠AFE＝90°．∴∠CBA＝90°，∴CA是△ABC外接圆的直径；（2）连接CE，∵∠CBE＝90°，∴过B、E、F、C四点的圆的直径为CE，由DB＝BE，得CE＝DC，又BC2＝DB•BA＝2DB2，∴CA2＝4DB2+BC2＝6DB2．而DC2＝DB•DA＝3DB2，故过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC面积的外接圆的面积比值＝＝．【点评】熟练掌握弦切角定理、相似三角形的判定与性质、四点共圆的性质、直径的判定、切割线定理、勾股定理等腰三角形的性质是解题的关键．23．（2013•新课标Ⅱ）已知动点P、Q都在曲线（β为参数）上，对应参数分别为β＝α与β＝2α（0＜α＜2π），M为PQ的中点．（1）求M的轨迹的参数方程；（2）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．【分析】（1）利用参数方程与中点坐标公式即可得出；（2）利用两点之间的距离公式、三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）依题意有P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α），因此M（cosα+cos2α，sinα+sin2α）．M的轨迹的参数方程为为参数，0＜α＜2π）．（2）M点到坐标原点的距离d＝（0＜α＜2π）．当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．【点评】本题考查了参数方程与中点坐标公式、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24．（14分）（2013•新课标Ⅱ）【选修4﹣﹣5；不等式选讲】设a，b，c均为正数，且a+b+c＝1，证明：（Ⅰ）（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）依题意，由a+b+c＝1⇒（a+b+c）2＝1⇒a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca＝1，利用基本不等式可得3（ab+bc+ca）≤1，从而得证；（Ⅱ）利用基本不等式可证得：+b ≥2a ，+c ≥2b ，+a ≥2c ，三式累加即可证得结论．【解答】证明：（Ⅰ）由a 2+b 2≥2ab ，b 2+c 2≥2bc ，c 2+a 2≥2ca 得：a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ca ，由题设得（a +b +c ）2＝1，即a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca ＝1，所以3（ab +bc +ca ）≤1，即ab +bc +ca ≤．（Ⅱ）因为+b ≥2a ，+c ≥2b ，+a ≥2c ，故+++（a +b +c ）≥2（a +b +c ），即++≥a +b +c ．所以++≥1．【点评】本题考查不等式的证明，突出考查基本不等式与综合法的应用，考查推理论证能力，属于中档题．2013年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2013•大纲版）设集合U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，则∁U A＝（）A．{1，2}B．{3，4，5}C．{1，2，3，4，5}D．∅2．（5分）（2013•大纲版）若α为第二象限角，sinα＝，则cosα＝（）A．B．C．D．3．（5分）（2013•大纲版）已知向量＝（λ+1，1），＝（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ＝（）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣14．（5分）（2013•大纲版）不等式|x2﹣2|＜2的解集是（）A．（﹣1，1）B．（﹣2，2）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣2，0）∪（0，2）5．（5分）（2013•大纲版）（x+2）8的展开式中x6的系数是（）A．28B．56C．112D．2246．（5分）（2013•大纲版）函数f（x）＝log2（1+）（x＞0）的反函数f﹣1（x）＝（）A．B．C．2x﹣1（x∈R）D．2x﹣1（x＞0）7．（5分）（2013•大纲版）已知数列{a n}满足3a n+1+a n＝0，a2＝﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）8．（5分）（2013•大纲版）已知F1（﹣1，0），F2（1，0）是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点，且|AB|＝3，则C的方程为（）A．B．C．D．9．（5分）（2013•大纲版）若函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω＝（）A．5B．4C．3D．210．（5分）（2013•大纲版）已知曲线y＝x4+ax2+1在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为8，a ＝（）A．9B．6C．﹣9D．﹣611．（5分）（2013•大纲版）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．12．（5分）（2013•大纲版）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k＝（）A．B．C．D．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）（2013•大纲版）设f（x）是以2为周期的函数，且当x∈[1，3）时，f（x）＝x ﹣2，则f（﹣1）＝．14．（5分）（2013•大纲版）从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有种．（用数字作答）15．（5分）（2013•大纲版）若x、y满足约束条件，则z＝﹣x+y的最小值为．16．（5分）（2013•大纲版）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，，则球O的表面积等于．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）（2013•大纲版）等差数列{a n}中，a7＝4，a19＝2a9，（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）（2013•大纲版）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）＝ac．（Ⅰ）求B．（Ⅱ）若sin A sin C＝，求C．19．（12分）（2013•大纲版）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形．（Ⅰ）证明：PB⊥CD；（Ⅱ）求点A到平面PCD的距离．20．（12分）（2013•大纲版）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；（Ⅱ）求前4局中乙恰好当1次裁判概率．21．（12分）（2013•大纲版）已知函数f（x）＝x3+3ax2+3x+1．（Ⅰ）求a＝时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若x∈[2，+∞）时，f（x）≥0，求a的取值范围．22．（12分）（2013•大纲版）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y＝2与C的两个交点间的距离为．（I）求a，b；（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．2013年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2013•大纲版）设集合U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，则∁U A＝（）A．{1，2}B．{3，4，5}C．{1，2，3，4，5}D．∅【分析】由题意，直接根据补集的定义求出∁U A，即可选出正确选项【解答】解：因为U＝{1，2，3，4，5，}，集合A＝{1，2}所以∁U A＝{3，4，5}故选：B．【点评】本题考查补集的运算，理解补集的定义是解题的关键2．（5分）（2013•大纲版）若α为第二象限角，sinα＝，则cosα＝（）A．B．C．D．【分析】由α为第二象限角，得到cosα小于0，根据sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系即可求出cosα的值．【解答】解：∵α为第二象限角，且sinα＝，∴cosα＝﹣＝﹣．故选：A．【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．3．（5分）（2013•大纲版）已知向量＝（λ+1，1），＝（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ＝（）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣1【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：∵，．∴＝（2λ+3，3），．∵，∴＝0，∴﹣（2λ+3）﹣3＝0，解得λ＝﹣3．故选：B．【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键．4．（5分）（2013•大纲版）不等式|x2﹣2|＜2的解集是（）A．（﹣1，1）B．（﹣2，2）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣2，0）∪（0，2）【分析】直接利用绝对值不等式的解法，去掉绝对值后，解二次不等式即可．【解答】解：不等式|x2﹣2|＜2的解集等价于，不等式﹣2＜x2﹣2＜2的解集，即0＜x2＜4，解得x∈（﹣2，0）∪（0，2）．故选：D．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查转化思想与计算能力．5．（5分）（2013•大纲版）（x+2）8的展开式中x6的系数是（）A．28B．56C．112D．224【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为6求出x6的系数．【解答】解：（x+2）8展开式的通项为T r+1＝x8﹣r2r令8﹣r＝6得r＝2，∴展开式中x6的系数是22C82＝112．故选：C．【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．6．（5分）（2013•大纲版）函数f（x）＝log2（1+）（x＞0）的反函数f﹣1（x）＝（）A．B．C．2x﹣1（x∈R）D．2x﹣1（x＞0）【分析】把y看作常数，求出x：x＝，x，y互换，得到y＝log2（1+）的反函数．注意反函数的定义域．【解答】解：设y＝log2（1+），把y看作常数，求出x：。

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}{}1,2,3,4,5,1,2,U U A A ===集合则ð ( )A.{}1,2B.{}3,4,5C.{}1,2,3,4,5D.∅ 【测量目标】集合的补集.【考查方式】直接给出集合，用列举法求集合补集. 【参考答案】B【试题解析】依据补集的定义计算. {}1,2,3,4,5U =，{}1,2A =，∴ U A =ð{3,4,5}. 2．已知α是第二象限角，5sin ,cos 13αα==则 （ ） A.1213- B.513- C.513 D.1213【测量目标】同角三角函数基本关系.【考查方式】直接给出角的象限和正弦值，求余弦值. 【参考答案】A【试题解析】利用同角三角函数基本关系式中的平方关系计算.因为α为第二象限角，所以12cos .13α==-3．已知向量()()()()1,1,2,2,,=λλλ=+=++⊥-若则m n m n m n （ ）A.-4B.-3C.-2D.1- 【测量目标】平面向量的坐标运算与两向量垂直的坐标公式等.【考查方式】给出两向量的坐标表示，两向量坐标运算的垂直关系，求未知数.λ 【参考答案】B【试题解析】利用坐标运算得出+-与m n m n 的坐标，再由两向量垂直的坐标公式求λ， 因为()()23,3,1,1,λ+=+-=--m n m n 由()(),+⊥-m n m n 可得()()()()23,31,1260,λλ+-=+--=--= m n m n (步骤1)解得 3.λ=- (步骤2)4．不等式222x -<的解集是 （ ）A.()1,1-B.()2,2-C.()()1,00,1-D.()()2,00,2- 【测量目标】含绝对值的一元二次不等式的解.【考查方式】给出绝对值不等式，求出满足不等式的解集. 【参考答案】D【试题解析】将绝对值不等式转化为一元二次不等式求解.由222,x -<得2222,x -<-<即204,x <<(步骤1)所以20x -<<或02,x <<故解集为()()2,00,2.- (步骤2)5．()862x x +的展开式中的系数是 （ ）A.28B.56C.112D.224 【测量目标】二项式定理.【考查方式】由二项式展开式，求满足条件的项的系数. 【参考答案】C【试题解析】写出二项展开式的通项，从而确定6x 的系数.该二项展开式的通项为88188C 22C ,r r r r r r r T x x --+==(步骤1)令2,r =得2266382C 112,T x x ==所以6x 的系数是112. (步骤2)6．函数()()21log 10f x x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的反函数1()f x -= ( ) A.()1021x x >- B.()1021xx ≠- C.()21x x -∈R D.()210x x -> 【测量目标】反函数的求解方法，函数的值域求法. 【考查方式】给出函数的解析式，求它的反函数.. 【参考答案】A【试题解析】由已知函数解出,x 并由x 的范围确定原函数的值域，按照习惯把,x y 互换，得出反函数. 由21log 1y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭得112,yx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭故1.21yx =-(步骤1)把x 和y 互换，即得()11.21x f x -=-(步骤2) 由0,x >得111,x+>可得0.y > 故所求反函数为()11(0).21xf x x -=>-(步骤3) 7．已知数列{}n a 满足{}12430,,103n n n a a a a ++==-则的前项和等于 ( )A.()10613---B.()101139-- C.()10313-- D.()1031+3-【测量目标】等比数列的定义及等比数列前n 项和.【考查方式】给出一个数列{n a }、它的前后项的关系，判断是否为特殊数列，从而求出它的前n 项和. 【参考答案】C【试题解析】先根据等比数列的定义判断数列{}n a 是等比数列，得到首项与公比，再代入等比数列前n 项和公式计算. 由130,n n a a ++=得11,3n n a a +=-故数列{}n a 是公比13q =-的等比数列. (步骤1)又24,3a =-可得1 4.a =(步骤2)所以()1010101413313.113S -⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-⎛⎫-- ⎪⎝⎭(步骤3)8．()()1221,0,1,0,F F C F x -已知是椭圆的两个焦点过且垂直于轴的直线交于A B 、两点，且3AB =，则C 的方程为 ( )A.2212x y += B.22132x y += C.22143x y += D.22154x y += 【测量目标】椭圆的标准方程及简单几何性质.【考查方式】给出椭圆焦点，由椭圆与直线的位置关系，利用待定系数法求椭圆的标准方程. 【参考答案】C【试题解析】设出椭圆的方程，依据题目条件用待定系数法求参数.由题意知椭圆焦点在x 轴上，且1,c =可设C 的方程为()22221,1x y a a a +>-(步骤1)由过2F 且垂直于x 轴的直线被C 截得的弦长3,AB =知点21,3⎛⎫ ⎪⎝⎭必在椭圆上，(步骤2)代入椭圆方程化简得4241740,a a -+=所以24a =或214a =（舍去）. (步骤3) 故椭圆C 的方程为221.43x y +=(步骤4) 9．若函数()()sin 0=y x ωϕωω=+>的部分图像如图，则 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2第9题图【测量目标】根据函数的部分图象确定函数解析式.【考查方式】给出正弦函数的未知解析式及正弦函数的部分图象.根据图象求出T ，确定ω的值.【参考答案】B【试题解析】根据图象确定函数的最小正周期，再利用2πT ω=求.ω设函数的最小正周期为T ，由函数图象可知0ππ=,244T x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭所以π.2T =(步骤1)又因为2π,T ω=可解得 4.ω=(步骤2)10．已知曲线()421128=y x ax a a =++-+在点，处切线的斜率为， ( )A.9B.6C.9-D.6- 【测量目标】导数的几何意义及求导公式等知识.【考查方式】已知曲线在未知点处的切线斜率，利用导数的几何意义求未知数a . 【参考答案】D【试题解析】先对函数求导，利用导数的几何意义得出点()1,2a -+处的切线斜率，解方程所得.342,y x ax '=+由导数的几何意义知在点(1,2)a -+处的切线斜率1|428,x k y a =-'==--=解得 6.a =-11．已知正四棱柱1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于 ( )A.23 D.13 【测量目标】直线与平面所成角和线面垂直的判定.【考查方式】已知正四棱柱，利用其性质和几何体中的垂直关系求线面角的正弦值. 【参考答案】A【试题解析】利用正四棱柱的性质，通过几何体中的垂直关系，判断点C 在平面1BDC 上的射影位置，确定线平面角，并划归到直角三角形中求解.如图，连接AC ，交BD 于点O ，由正四棱柱的性质，有.AC BD ⊥ 因为1CC ⊥平面ABCD ，所以 BD ⊥（步骤1）又1,CC AC C = 所以BD ⊥平面 O （步骤2） 在平面1CC O 内作1,CH C O ⊥垂足为H ，则.BD CH ⊥又1,BD C O O = 所以CH ⊥平面1,BDC （步骤3） 第11题图 连接DH ，则DH 为CD 在平面1BDC 上的射影，所以CDH ∠为CD 与1BDC 所成的角.（步骤4）设12 2.AA AB ==在1Rt COC △中，由等面积变换易求得2,3CH =在Rt CDH △中，2sin .3CH CDH CD ∠==（步骤5） 12．已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点，若0MA MB =，则k = ( )A ．12 D.2 【测量目标】直线与抛物线的位置关系，平面向量的坐标运算等知识.【考查方式】已知抛物线标准方程,利用抛物线性质及直线与抛物线的位置关系求解过焦点的直线的斜率. 【参考答案】D【试题解析】联立直线与抛物线的方程，消元得一元二次方程并得两根之间的关系，由0MA MB =进行坐标运算解未知量k .抛物线C 的焦点为()2,0,F 则直线方程为()2,y k x =-与抛物线方程联立，消去y 化简得()22224840.k x k x k -++=(步骤1)设点()()1122,,,,A x y B x y 则1212284, 4.x x x x k +=+=所以()121284,y y k x x k k+=+-=()21212122416.y y k x x x x =-++=-⎡⎤⎣⎦(步骤2) ()()()()()()112212122,22,22222MA MB x y x y x x y y =+-+-=+++--()()121212122280,x x x x y y y y =+++-++=(步骤3)将上面各个量代入，化简得2440,k k -+=所以 2.k =(步骤4)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设()[)()21,3=f x x f x ∈是以为周期的函数，且当时， . 【测量目标】函数周期的应用及根据函数解析式求值.【考查方式】给出函数()f x 的周期及取值范围，代入解析式求函数值.【参考答案】1-【试题解析】利用周期将自变量转化到已知解析式中x 的范围内，代入解析式计算 . 由于()f x 的周期为2，且当[)1,3x ∈时，()2,f x x =-(步骤1)()2,f x x =-()()()112112 1.f f f -=-+==-=-(步骤2)14．从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有 种.（用数字作答）【测量目标】简单的排列组合知识的应用. 【考查方式】直接利用排列组合知识列式求解. 【参考答案】60【试题解析】利用排列组合知识列式求解. 由题意知，所有可能的决赛结果有12365354C C C 61602⨯=⨯⨯=（种）.15．若x y 、满足约束条件0,34,34,x x y x y ⎧⎪+⎨⎪+⎩………则z x y =-+的最小值为 .【测量目标】二元线性规划求目标函数最值.【考查方式】直接给出函数的约束条件，利用线性规划性质及借助数形结合思想求z 的最小值.【参考答案】0【试题解析】作出定义域，借助数形结合寻找最优解.由不等式组作出可行域，如图阴影部分所示()包括边界，且()()41,1040,.3A B C ⎛⎫⎪⎝⎭，，，，由数形结合知，直线y x z =+过点()1,1A 时，min 110.z =-+= 16．已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，3602OK O K = ，且圆与圆所在的平面所成角为，则球O 的表面积等于 .【测量目标】球的大圆、小圆及球的截面性质，二面角的平面角，球的表面积公式等知识. 【考查方式】已知二面角的平面角，根据球的截面性质，直角三角形的性质，求出球的半径，并由球的表面积公式求球的表面积. 【参考答案】16π 【试题解析】根据球的截面性质以及二面角的平面角的定义确定平面角，把球的半径转化到三角形中计算，进而求得球的表面积.如图所示，公共弦为AB ，设球的半径为R ，则,AB R =取AB 为中点M ，连接OM 、,KM由圆的性质知,,OM AB KM AB ⊥⊥ 所以KMO ∠为圆O 与圆K 所在平面所成的一个二面角的平面角，则60.KOM ∠=(步骤1)Rt KOM △中，3,2OK =所以sin 60OK OM == (步骤2) 在Rt OMA △中，因为222,OA OM AM =+所以2213,4R R =+解得24,R =(步骤3)所以球O 的表面积为24π16π.R =(步骤4)三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）等差数列{}n a 中，71994,2,a a a ==（I ）求{}n a 的通项公式； （II ）设{}1,.n n n nb b n S na =求数列的前项和 【测量目标】等差数列的通项公式、裂项相消法求数列的前n 项和.【考查方式】（1）根据等差数列的通项公式求出首项和公差，进而求出等差数列的通项公式.（2）已知通项公式，利用裂项相消法求和.【试题解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则()11.n a a n d =+-因为71994,2,a a a =⎧⎨=⎩所以()11164,1828.a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩(步骤1)解得11,1.2a d =⎧⎪⎨=⎪⎩所以{}n a 的通项公式为1.2n n a +=(步骤2) （2）因为()222,11n b n n n n ==-++所以2222222.122311n n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭(步骤3) 18．（本小题满分12分）设ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，()()a b c a b c ac ++-+=.（I ）求B（II）若1sin sin 4A C =，求C . 【测量目标】余弦定理解三角形，三角恒等变换公式及其应用.【考查方式】已知三角形的三边及三边关系.（1）由已知关系式展开，利用余弦定理求角. （2）三角形内角和得出A C +,由给出的sin sin A C 的形式，联想构造与已知条件相匹配的余弦公式,求出角C .【试题解析】（1）因为()(),a b c a b c ac ++-+=所以222.a c b ac +-=-(步骤1)由余弦定理得2221cos ,22a cb B ac +-==-因此120.B =(步骤2)（2）由（1）知60,A C +=所以()cos cos cos sin sin A C A C A C -=+cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C =-+()11cos 2sin sin 2242A C A C =++=+⨯=(步骤1) 故30A C -=或30,A C -=- 因此15C =或45.C =(步骤2) 19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，==90ABC BAD ∠∠，BC =2AD ,△P AB 与△PAD 都是边长为2的等边三角形. 图（1）（I ）证明：;PB CD ⊥（II ）求点.A PCD 到平面的距离【测量目标】空间垂直关系的证明和点到平面距离的求解.第19题图【考查方式】已知四棱锥，底面为特殊的直角梯形，侧面为特殊三角形（1）借助线线、线面垂直求解.（2）通过做辅助线将点面距离转化为图形中的线段，再求解.【试题解析】（1）证明：取BC 的中点E ，连接DE ,则四边形ABCD 为正方形. 过点P 作PO ABCD ⊥平面，垂足为O .连接OA ,OB,OD ,OE . 图（2） 由PAB △和PAD △都是等边三角形知,PA PB PD ==(步骤1)所以,O A O B O D ==即O 为正方形ABED 对角线的交点，故 ,OE BD ⊥从而.P B O E ⊥(步骤2)因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以OE //CD .因此.PB CD ⊥(步骤3)(2)解：取PD 的中点F ，连接OF ，则//.OF PB 由（1）知，,PB CD ⊥故.OF CD ⊥(步骤4)又12OD BD ==OP ==故POD △为等腰三角形，(步骤5) 因此.OF PD ⊥又,PD CD D = 所以.OF PCD ⊥平面(步骤6)因为//,AE CD CD PCD ⊂平面，,AE PCD ⊄平面所以//.AE PCD 平面(步骤7) 因此点O 到平面PCD 的距离OF 就是点A 到平面PCD 的距离，(步骤8) 而112OF PB ==，所以点A 到平面PCD 的距离为1. (步骤9) 20．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为1,2各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判.（I ）求第4局甲当裁判的概率；（II ）求前4局中乙恰好当1次裁判概率. 【测量目标】相互独立事件同时发生的概率，互斥事件概率加法公式的应用.【考查方式】（1）直接利用独立事件的概率公式求解.（2）由已知，直接利用互斥事件的加法公式求解.【试题解析】（1）记1A 表示事件“第2局结果为甲胜”，2A 表示“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A 表示事件“第4局甲当裁判”.则12.A A A = ()()()()12121.4P A P A A P A P A === (步骤1)(2)记1B 表示事件“第1局比赛结果为乙胜”，2B 表示事件“第2局乙参加比赛，结果为乙胜”，3B 表示事件“第3局中乙参加比赛时，结果为乙胜”，B 表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”， 则1312312.B B B B B B B B =++ （步骤2）()()1312312P B P B B B B B B B =++=()()()1312312P B B P B B B P B B ++=()()()()()()()1312312P B P B P B P B P B P B P B ++=111+484+ =5.8(步骤3) 21．（本小题满分12分）已知函数()32=33 1.f x x ax x +++（I ）求();a f x =的单调性； （II ）若[)()2,0,x f x ∈+∞时，…求a 的取值范围. 【测量目标】导数在研究函数中的应用.【考查方式】已知含未知数a 的函数()f x （1）对()f x 求导，得出()f x =0时的根，根据导数性质讨论函数单调性.(2)利用特殊值法和放缩法求a 的范围.【试题解析】（1）当a =()3231,f x x x =-++()23 3.f x x '=-+(步骤1)令()0,f x '=得121, 1.x x ==(步骤2)当()1x ∈-∞时，()0,f x '>()f x 在()1-∞上是增函数；当)1x ∈时，()0,f x '<()f x 在)1上是减函数；当)1,x ∈+∞时，()0,f x '>()f x 在)1,+∞上是增函数. (步骤3) （2）由()20f …得4.5a -…当45a -…，()2,x ∈+∞时， ()()225321312f x x ax x ⎛⎫'=++-+ ⎪⎝⎭… =()1320,2x x ⎛⎫--> ⎪⎝⎭所以()f x 在()2,+∞上是增函数，(步骤4)于是当[)2+x ∈∞，时，()()20f x f 厖.综上，a 的取值范围是4,.5⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭(步骤5) 22．（本小题满分12分） 已知双曲线()221222:10,0x y C a b F F a b-=>>的左、右焦点分别为，，离心率为3，直线2y C =与（I ）求,;a b（II ）2F l C A B 设过的直线与的左、右两支分别相交于、两点，且11,AF BF = 证明：22AF AB BF 、、成等比数列.【测量目标】双曲线的方程、性质，直线与双曲线的位置关系，等比中项等性质.【考查方式】(1)由双曲线与直线的位置关系、双曲线的几何性质求出a,b 值.(2)由直线方程和双曲线方程，利用双曲线与直线的位置关系及两点间距离公式证明线段的等比关系.【试题解析】（1）解：由题设知3,c a =即2229,a b a+=故228.b a = 所以C 的方程为22288.x y a -=(步骤1)将y=2代入上式，求得x =(步骤2)由题设知，=解得2 1.a =所以1,a b ==(步骤3)（2）证明：由（1）知，()()123,0,3,0,F F -C 的方程为2288.x y -=○1(步骤4)由题设可设l 的方程为()3,y k x k =-<将其代入○1并化简，得 ()222286980.k x k x k --++=(步骤5)设()1122,,(,),A x y B x y 则22121212226981,1,,.88k k x x x x x x k k +-+==--剠(步骤6)于是()1131,AF x ==-+123 1.BF x ==+(步骤7)由11,AF BF =得()123131,x x -+=+(步骤8) 即2122262,,383k x x k +=-=--故 解得212419,.59k x x ==-从而(步骤9)由于2113,AF x ===-2231,BF x ===- 故()2212234,AB AF BF x x =-=-+=(步骤10)()221212=39116,AF BF x x x x +--= 因而222,AF BF AB = 所以22AF AB BF 、、成等比数列(步骤11).。

2013高三文科数学第三次联考试题（河南十所名校附答案）2013?绉戯級嫨棰橈級涓ら儴鍒嗭紟鑰冪敓浣滅瓟鏃讹紝灏嗙瓟妗堢瓟鍦ㄧ瓟棰樺崱涓婏紙?閫夋嫨棰?125鍒嗭紟?棰樼洰瑕佹眰鐨勶紟1U R锛岄泦鍚圡锛漿x锝?鈮?x}锛孨锛漿x锝?鈮?}锛屽垯M鈭㎞锛?A锛巤1锛?} B锛巤2 } C锛巤1} D锛嶽1锛?] 2锛巌?锛?锛屽垯锝渮锝滐紳A锛? B锛? C锛?D锛? 3锛庡弻鏇茬嚎?A锛?B锛?C锛?D锛?4锛庢煇瀛︾敓鍦ㄤ竴闂ㄥ姛璇剧殑22A锛?17 B锛?18 C锛?18锛? D锛?19锛? 5锛庡湪鈻矨BC M鏄疉B杈规墍鍦ㄧ洿绾夸笂浠绘剰涓€鐐癸紝鑻?锛濓紞2 锛嬑?锛屽垯位锛?A锛? B锛? C锛? D锛? 6锛庘€渕锛濓紞1鈥濇槸鈥滃嚱鏁癴锛坸锛夛紳ln锛坢x锛夊湪锛堬紞鈭烇紝0锛変笂鍗曡皟閫掑噺鈥濈殑A B锛庡繀瑕佷笉鍏呭垎鏉′欢C锛庡厖瑕佹潯浠?D锛庢棦涓嶅厖鍒嗕篃涓嶅繀瑕佹潯浠?7?梴}鐨勫墠21椤圭殑鍜岀瓑浜庡墠8椤圭殑鍜岋紟鑻?锛屽垯k锛?A锛?0 B锛?1 C锛?2 D锛?3 8?鈥?锛孷锛?锛屽垯杈撳嚭鐨凷锛?A锛? B锛?C锛? D锛?9Н涓?A锛?B锛? C锛?D锛?10锛巈锛屜€嶆垚绔嬬殑鏄?A锛?锛?B锛?锛?锛? C锛?锛?锛? D锛?锛峞锛?锛嵪€11锛庡湪鈻矨BC a A?锛?014 锛屽垯鐨勫€间负A锛? B锛? C锛?013 D锛?01412ABCD AD涓嶣C浜掔浉鍨傜洿锛屼笖AB锛婤D锛滱C 锛婥D?A锛庤嫢鍒嗗埆浣溾柍BAD鍜屸柍CAD鐨勮竟AD涓婄殑楂橈紝鍒欒繖涓ゆ潯楂樻墍鍦ㄧ洿绾垮紓闈?B锛庤嫢鍒嗗埆浣溾柍BAD鍜屸柍CAD鐨勮竟AD涓婄殑楂橈紝鍒欒繖涓ゆ潯楂橀暱搴︾浉绛?C锛嶢B锛滱C涓擠B锛滵C D锛庘垹DAB锛濃垹DAC ?闈為€夋嫨棰??3棰橈綖绗?1?2棰橈綖绗?4?氭湰澶ч?5鍒嗭紟13锛庡渾锛?x锛媘y锛?锛?鍏充簬鎶涚墿绾?锛?y______________ 14锛庝笉绛夊紡缁?瀵瑰簲鐨勫钩闈㈠尯鍩熶负D锛岀洿绾縴锛漦锛坸锛?锛変笌鍖哄煙D鏈夊叕鍏辩偣锛?鍒檏鐨勫彇鍊艰寖鍥存槸______________. 15锛庡凡鐭ュ嚱鏁癴锛坸锛夛紳锛岃嫢瀛樺湪鈭堬紙锛?锛夛紝浣縡锛坰in 锛夛紜f锛坈os 锛夛紳0锛屽垯瀹炴暟a鐨勫彇鍊艰寖鍥存槸________________. 16{ }{ }}锛寋}鐨勫墠n椤瑰拰鍒嗗埆涓?锛?锛庤嫢a3锛漛3锛宎4锛漛4锛屼笖锛?锛屽垯锛漘_____________. 涓夈€佽ВВ绛斿簲鍐欏嚭鏂囧瓧璇存槑,紟17?2鍒嗭級宸茬煡鍑芥暟f锛坸锛夛紳sin2蠅x 锛?sin蠅xcos蠅x锛埾夛紴0锛堚厾锛夋眰蠅鐨勫€煎強鍑芥暟f锛坸锛夌殑鍗曡皟澧炲尯闂达紱锛堚叀锛夋眰鍑芥暟f锛坸锛夊湪[0锛?]涓婄殑鍊煎煙锛?18?2鍒嗭級涓€娌冲崡鏃呮父鍥㈠埌瀹夊窘鏃呮父锛湁锛氭€€杩滅煶姒淬€佺爛灞辨ⅷ銆佸窘宸為潚鏋ｇ瓑19绉嶏紝鐐瑰績绫昏ф晳椹剧瓑3857绉嶏紟璇ユ梾娓稿洟鐨勬父瀹㈠喅瀹氭寜鍒嗗眰6绉嶅甫缁欎翰鏈嬪搧灏濓紟锛堚厾暟锛??绉嶇壒浜т腑闅忔満鎶藉彇2绉嶉鈶犲垪鍑烘墍鏈夊彲鑳界殑鎶藉彇缁撴灉锛?鈶℃眰鎶藉彇鐨?绉嶇壒浜у潎涓哄皬鍚冪殑姒傜巼锛?19?2鍒嗭級濡傚浘鎵€绀虹殑鍑犱綍浣揂BCDFE紝鈻矨BC锛屸柍DFE閮芥槸绛?杈逛笁瑙掑舰锛屼笖鎵€鍦ㄥ钩闈㈠钩琛岋紝鍥CED 2 鏂瑰舰锛屼笖鎵€鍦ㄥ钩闈㈠瀭鐩翠簬骞抽潰ABC锛?锛堚厾锛夋眰鍑犱綍浣揂BCDFE锛堚叀锛夎瘉鏄庯細骞抽潰ADE CF锛?20?2鍒嗭級宸茬煡鍦咰锛?鐨勫崐寰勭瓑浜庢き鍦咵锛?锛坅锛瀊锛?鐨勫彸鐒︾偣F鍦ㄥ渾C鍐咃紝涓斿埌鐩寸嚎l锛歽锛漻锛?鐨勮窛绂讳负锛?锛岀偣M?鍦咰鐨勫叕l浜ゆき鍦咵浜庝笉鍚岀殑涓ょ偣A锛坸1锛寉1锛夛紝B 锛坸2锛寉2锛夛紟E鐨勬柟绋嬶紱锛堚叀锛夋眰璇侊細锝淎F锝滐紞锝淏F锝滐紳锝淏M锝滐紞锝淎M锝滐紟21?2鍒嗭級璁緈涓哄疄鏁帮紝鍑芥暟f锛坸锛夛紳锛?锛?x锛媘锛寈鈭圧锛堚厾锛夋眰f锛坸锛夌殑鍗曡皟鍖洪棿涓庢瀬鍊硷紱锛堚叀锛夋眰璇侊細褰搈鈮?涓攛锛?鏃讹紝锛? 锛?mx锛?.22銆?3銆?4?濡傛灉澶氬仛锛?22锛庯紙?0鍒嗭級閫変慨4鈥?濡傚浘锛屽凡鐭モ姍O鐨勫崐寰勪负1锛孧N O鐨勭洿寰勶紝杩嘙鐐?浣溾姍O鐨勫垏绾緼M锛孋鏄疉M鐨勪腑鐐癸紝AN浜も姍O浜嶣鐐癸紝鑻ュ洓杈瑰舰BCON?锛堚厾锛夋眰AM鐨勯暱锛?锛堚叀锛夋眰sin鈭燗NC 锛?23?0鍒嗭級閫変慨4鈥?锛氬潗鏍囩郴涓庡弬鏁版柟绋?宸茬煡鏇茬嚎C1鐨勬瀬鍧愭爣鏂圭▼涓合乧os锛埼革紞锛夛紳锛?锛屾洸绾緾2鐨勬瀬鍧愭爣鏂圭▼涓合侊紳2 cos锛埼革紞锛夛紟浠ユ瀬鐐逛负鍧愭爣鍘熺偣锛屾瀬杞翠负x锛堚厾锛夋眰鏇茬嚎C2鐨勭洿瑙掑潗鏍囨柟绋嬶紱锛堚叀锛夋眰鏇茬嚎C2涓婄殑鍔ㄧ偣M鍒版洸绾緾1鐨勮窛绂荤殑鏈€澶у€硷紟24?0鍒嗭級閫変慨4鈥?宸茬煡涓嶇瓑寮?锝渪锛?锝滐紜锝渪锛?锝滐紲2a锛?锛堚厾锛夎嫢a锛?锛屾眰涓嶇瓑寮忕殑瑙ｉ泦锛?锛堚叀锛夎嫢宸茬煡涓嶇瓑寮忕殑瑙ｉ泦涓嶆槸绌洪泦锛屾眰a 鐨勫彇鍊艰寖鍥达紟2013ф祴璇?涓?()鈥㈢瓟妗?锛?锛塀锛?锛堿锛?锛塂锛?锛塀锛?锛塁锛?锛堿锛?锛塁锛?锛塀锛?锛塂锛?0锛塂锛?1锛塁锛?2锛堿锛?3锛? 锛?4锛?锛?5锛?锛?6锛?锛?7锛夎В锛氾紙鈪狅級锛屸€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︼紙2鍒嗭級寰?.鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︼紙3鍒嗭級. 鐢?锛?锛屽緱锛?锛??.鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︼紙5鍒嗭級锛堚叀锛夌敱寰?锛?锛屸€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︼紙8鍒嗭級锛?鍦?涓婄殑鍊煎煙涓?.鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︼紙12鍒嗭級锛?8锛夎В锛氾紙鈪狅級鍥犱负鎵€浠ヤ粠姘?锛?锛?. 鎵涓?.鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︼紙4鍒嗭級锛堚叀锛夆憼鍦ㄤ拱鍥炵殑6绉嶇壒浜т腑锛??锛?绉嶇偣蹇冨垎?涓虹敳锛屽垯鎶藉彇鐨?绉嶇壒浜х殑鎵€鏈夊彲鑳芥儏鍐典负锛?锛?锛屽叡15绉?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︼紙8鍒嗭級6绉嶇壒浜т腑鎶藉彇2绉嶅潎涓哄皬鍚冧负浜嬩欢锛屽垯浜嬩欢鐨勬墍鏈夊彲鑳界粨鏋滀负锛屽叡3绉嶏紝鎵€浠?.鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︼紙12鍒嗭級锛?9锛夎В锛氾紙鈪狅級鍙?鐨勪腑鐐?锛?鐨勪腑鐐?锛岃繛鎺?. 鍥犱负锛屼笖骞抽潰骞抽潰锛?鎵€浠?骞抽潰锛屽悓鐞?骞抽潰锛?鍥犱负锛?鎵€浠?.鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︼紙6鍒嗭級锛堚叀锛夌敱锛堚厾锛夌煡锛?鎵€浠ュ洓杈瑰舰涓哄钩琛屽洓杈瑰舰锛屾晠锛?鍙?锛屾墍浠ュ钩闈?骞抽潰.鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︼紙12鍒嗭級锛?0锛夎В锛氾紙鈪狅級璁剧偣锛屽垯鍒扮洿绾?鐨勮窛绂讳负锛屽嵆锛屸€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︼紙2鍒嗭級鍥犱负鍦ㄥ渾鍐咃紝鎵€浠?锛屾晠锛涒€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︼紙4鍒嗭級鍥犱负鍦?鐨勫崐寰勭瓑浜庢き鍦?鐨勭煭鍗婅酱闀匡紝鎵€浠?锛??.鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︼紙6鍒嗭級锛堚叀锛夊洜涓哄渾蹇?鍒扮洿绾?鐨勮窛绂讳负锛屾墍浠ョ洿绾?涓庡渾鐩稿垏锛??涓虹洿瑙掍笁瑙掑舰锛屾墍浠?锛?鍙?锛屽彲寰?锛屸€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︼紙7鍒嗭級锛屽張锛屽彲寰?锛屸€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︼紙9鍒嗭級鎵€浠?锛屽悓鐞嗗彲寰?锛屸€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︼紙11鍒嗭級鎵€浠?锛屽嵆.鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︼紙12鍒嗭級锛?1锛夎В锛氾紙鈪狅級锛屼护锛?鏄撶煡鏃?锛?芥暟锛?鏃?锛?涓哄噺鍑芥暟锛?鎵€浠ュ嚱鏁?鏈夋瀬澶у€硷紝鏃犳瀬灏忓€硷紝鏋佸ぇ鍊间负.鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︼紙6鍒嗭級锛堚叀锛変护锛?锛屽垯锛?鐢憋紙鈪狅級鐭ワ紝褰?鏃讹紝锛屾墍浠?锛?鏁?鍦?涓婁负澧炲嚱鏁帮紝鎵€浠?锛屾晠.鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︼紙12鍒嗭級锛?2锛夎В锛氾紙鈪狅級杩炴帴锛屽垯锛?鍥犱负鍥涜竟褰??鈭?锛?鍥犱负鏄?鐨勫垏绾匡紝鎵€浠?锛屽彲寰?锛?鍙堝洜涓?鏄?鐨勪腑鐐癸紝鎵€浠?锛?寰?锛屾晠.鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︼紙5鍒嗭級锛堚叀锛変綔浜?鐐癸紝鍒?锛岀敱锛堚厾锛夊彲寰?锛?鏁?.鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︼紙10鍒嗭級锛?3锛夎В锛氾紙鈪狅級锛?鍗?锛屽彲寰?锛?鏁?鐨勭洿瑙掑潗鏍囨柟绋嬩负.鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︼紙5鍒嗭級锛堚叀锛?鐨勭洿瑙掑潗鏍囨柟绋嬩负锛?鐢憋紙鈪狅級鐭ユ洸绾?涓哄渾蹇冪殑鍦嗭紝涓斿渾蹇冨埌鐩寸嚎鐨勮窛绂?锛?鎵€浠ュ姩鐐?鍒版洸绾?鐨勮窛绂荤殑鏈€澶у€间负.鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︼紙10鍒嗭級锛?4锛夎В锛氾紙鈪狅級褰?鏃讹紝涓嶇瓑寮忓嵆涓?锛?鑻?锛屽垯锛?锛?鑸嶅幓锛?鑻?锛屽垯锛?锛?鑻?锛屽垯锛?锛?缁间笂锛屼笉绛夊紡鐨勮В闆嗕负锛庘€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︼紙5鍒嗭級锛屽垯锛?锛?锛?锛屽嵆鐨勫彇鍊艰寖鍥翠负锛庘€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︼紙10鍒嗭級。

本试卷分第I卷(选择题）和第II卷（非选择题）两部分.考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答,在试题卷上作答无效. 第I卷 一、选择(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合韪目要求的.） 1. 设（i=A. i B.i C. 0 D. 1 2. 已知全集，集合，则A. {1,2}B. {5}C. {1,2,3}D. {3,4,6} 3. 直线与直线 _平行，则a的值为A. 2B.C.D. 4.在一个边长为500米的正方形区域的每个顶点处设有一个监测站，若向此区域内随机投放一个爆炸物,则爆炸点距离监测站200米内都可以被检测到.那么随机投放一个爆炸物被监测到的概率为._____ A. B.C. D. 5.如图给出的是计箅的值的一个程序框图,其中判断框内应填入的条件是 A. B. C. D. 6. 在等比数列中，若是方程的两根,则的值是 A. B. C. D. 7．在正方体中，MN分别为棱和的中点，那么异面直线AM和CN所成角的余弦值是 A．B．C．D．- 8．函数在[0，1]上的最大值和最小值的和为a，则a的值是 A．B．C．D． 9．已知椭圆，过点（1，0）做直线l，使l被C所截得的弦长为，则满足条件的直线l共有 A．1条B．2条C．3条D．4条 10．把一个函数的图像按向量平移后得到函数的图像，则原图像的函数解析式是 A． B． C． D． 11．设是函数的反函数，若，则的值为 A．1B．2C．3D． 12．对于函数，在使所成立的所有常数M中，我们把M的最大值M=-1叫做的下确界．对于，且a，b不全为0，则的下确界为 A． B．4C． D．2 的展开式中，常数项等于 . 15．过球一半径的中点作垂直于这条半径的球的截面，则此截面面积与球表面积之比为 . 16．对于函数，给出下列命题： ①当a=1时，在定义域上为单调增函数； ②的图象关于点（1，a）对称； ③对任意都不是奇函数； ④当a=－1时，为偶函数； ⑤当a=2时，对于满足条件的所有总有 其中正确命题的序号为 . 三、解答题（共70分） 17．（本小题满分12分） 已知数列{}满足a1＝1，a3＋a7＝18，且＋＝2（n≥2）． （Ⅰ）求数列{}的通项公式； （Ⅱ）若＝·，求数列{}的前n项和． 18．（本小题满分12分） 某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率作用”的试验，其中甲班为试验班（加强语文阅读理解训练），乙班为对比班（常规教学，无额外训练），在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩（均取整数）如下表所示： 60分以下61－70分71－80分81－90分91－100分甲班（人数）36111812乙班（人数）48131510现规定平均成绩在80分以上（不含80分）的为优秀． （Ⅰ）试分别估计两个班级的优秀率； （Ⅱ）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并问是否有75％的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助． 优秀人数非优秀人数合计甲班乙班合计 20.(本小题满分12分) 已知圆C的圆心为C(m, 0)，m<3，，圆C与离心率的椭圆的其中一个公共点为A(3，l) (II)若点P的坐标为（4，4），试探究直线PF1与圆C能否相切，若能，求出椭圆E和直线PF1的方程；若不能，请说明理由. 21. (本小题满分12分〉 在平面直角坐标系xOy中，点P(x,y)为动点，已知点I,直线PA与PB的斜率之积为定值. (I) 求动点P的轨迹E的方程； (II)若F(1,0),过点F的直线l交轨迹E于M、N两点，以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上，求直线l的方程. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图所示，已知PA是⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD//AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且 （1）求证：A、P、D、F四点共圆； （2）若AE·ED=24，DE=EB=4，求PA的长。

河北省石家庄市2013届高中毕业班第一次模拟考试数学文科（A 卷）(时间120分钟，满分150分)第I 卷(选择题,共60分）2. 若集合}822|{2≤<∈=+x Z x A ，}02|{2>-∈=x x R x B ，则)(B C A R 所含的元素个数为 A. O B. 1 C. 2 D. 33. 某学校高三年级一班共有60名学生，现采用系统抽样的方法从中抽取6名学生做“早餐 与健康”的调查，为此将学生编号为1、2、…、60，选取的这6名学生的编号可能是A. 1,2,3,4,5,6B. 6，16，26，36，46，56C. 1,2，4，8，16，32 D. 3,9,13 ,27,36,544 已知双曲线的一个焦点与抛物线x 2=20y 的焦点重合，且其渐近线的方程为3x ±4y=0,则 该双曲线的标准方程为5.设l 、m 是两条不同的直线，a,β是两个不同的平面,有下列命题： ①l//m,m ⊂a,则l//a ② l//a,m//a 则 l//m ③a 丄β，l ⊂a ，则l 丄β ④l 丄a ，m 丄a,则l//m 其中正确的命题的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 46. 执行右面的程序框图，输出的S 值为 A. 1 B. 9 C. 17 D. 207. 已知等比数列{a n }，且a 4+a 8=-2,则a 6(a 2+2a 6+a 10）的值为 A. 4 B. 6 C. 8 D. -98. 现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的 概率:先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1表 示没有击中目标，2、3、4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数 为一组，代表射击4,次的结果，经随机模拟产生了 20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 469812. [x]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]=2，[-4.1]=-5，已知f(x)=x-[x](x ∈R),g(x)=log 4(x-1),则函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4第II 卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题〜第21题为必考题,每个试题考生都必须作 答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分a 13.已知向量 a =(1,2),b=(x,1)，u=a+2b,v=2a-b,且u//v，则实数x 的值是______三、解答题:本大题共6小通，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步職‘ 17. (本小题满分12分）(I)求角A 的大小；18. (本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA 丄平面ABCD ，ABC ∠=ADC ∠=90°BAD ∠=1200,AD=AB=1,AC 交 BD 于 O 点. (I)求证:平面PBD 丄平面PAC;(II )求三棱锥D-ABP 和三棱锥P-PCD 的体积之比.19. (本小题满分12分）为了调查某大学学生在周日上网的时间，随机对1OO 名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查.得到了如下的统计结果： 表1:男生上网时间与频数分布表表2:女生上网时间与频数分布表(I)若该大学共有女生750人,试估计其中上网时间不少于60分钟的人数；(II)完成下面的2x2列联表，并回答能否有90%的把握认为“学生周日上网时间与性 别有关”？ 表3 ：20. (本小題满分12分）重合的直线l 交椭圆于A,B 两点.(I)若ΔABF 2为正三角形，求椭圆的离心率；21(本小题满分12分）已知函数f(x)=e x+ax-1(e 为自然对数的底数).(I)当a=1时,求过点（1,f(1))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；(II)若f(x)≥x 2在(0,1 )上恒成立,求实数a 的取值范围.请考生在22〜24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分10分)选修4-l:几何证明选讲如图,过圆O 外一点P 作该圆的两条割线PAB 和PCD,分别交圆 O 于点A,B,C,D 弦AD 和BC 交于Q 点，割线PEF 经过Q 点交圆 O 于点E 、F ，点M 在EF上，且BMF BAD ∠=∠:(I)求证:PA·PB=PM·PQ(II)求证：BOD BMD ∠=∠23. (本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系.x0y 中，以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为: θθρcos sin 2=(I)求曲线l的直角坐标方程；点求|AB|的值24. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 巳知函数f(x)=|x-2|+2|x-a|(a∈R). (I)当a=1时，解不等式f(x)>3;(II)不等式1)(≥x f 在区间（-∞，+∞)上恒成立，求实数a 的取值范围2013年高中毕业班第一次模拟考试（数学文科答案）一、选择题 A 卷答案1-5 DCBCA 6-10 CACAB 11-12 DB B 卷答案1-5 DBCBA 6-10 BABAC 11-12 DC 二、填空题13．12 14．363515. 2 16 .3724二 解答题17.解：(Ⅰ)法一：由B a A b c cos cos )2(=-及正弦定理得： B A A B C cos sin cos )sin sin 2(=-……………2分 则B A A B A C cos sin cos sin cos sin 2+=sin()B A =+,sin()sin A B C A B C π++=∴+=C A C sin cos sin 2=由于sin 0C ≠，所以，22cos =A ……………… 4分 又0A π<<，故4π=A . …………………… 6分或解：(Ⅰ)由B a A b c cos cos )2(=-及余弦定理得：ac b c a abc a c b b c 22)2(222222-+=-+- ……………………… 2分整理得：bc a c b 2222=-+222cos 222=-+=bc a c b A …………………… 4分又0A π<<，故4π=A . ……………………… 6分(Ⅱ) ABC ∆的面积S =1sin 2bc A=1,故bc =22 ① ………………… 8分根据余弦定理 2222cos a b c bc A =+- 和a， 可得22c b +=6…… ② ………………… 10分 解①②得2b c =⎧⎪⎨=⎪⎩2b c ⎧=⎪⎨=⎪⎩. …………………… 12分 18．解：证明：(Ⅰ)90ABC ADC ∠=∠=,,AD AB =AC 为公共边，Rt ABC Rt ADC ∴∆≅∆ ，………………… 2分则BO=DO,又在ABD ∆中，AB AD =,所以ABD ∆为等腰三角形.AC BD ∴⊥ ,…………………… 4分而⊥PA 面ABCD ，BD PA ⊥， 又⊥∴=BD A AC PA , 面PAC ，又⊂BD 面PBD ，∴平面⊥PAC 平面PBD .…………………… 6分(Ⅱ) 在R t ABC ∆中，1AB =，60BAC ∠=，则BC =,01sin1202ABD S AB AD ∆=⋅111=224=⨯⨯⨯，……………………8分01sin 602BCD S BC CD ∆=⋅1=224=,…………………10分PA BDCO113=133ABD D ABP P ABDABD B PCD P BCDBCD BCD S PAV V S V V S S PA ∆--∆--∆∆⋅===⋅ . …………………12分19.解：（Ⅰ）设估计上网时间不少于60分钟的人数x ,依据题意有30750100x =，…………………4分解得：225x = ，所以估计其中上网时间不少于60分钟的人数是225人.………………… 6分 （Ⅱ）根据题目所给数据得到如下列联表：其中22200(60304070)200 2.198 2.7061001001307091K⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯………………10分因此，没有90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”.…………………12分20. 解：（Ⅰ）由椭圆的定义知12122AF AF BF BF a +=+=，ABC ∴∆周长为4a ， 因为2ABF ∆为正三角形，所以22AF BF =，11AF BF =，12F F 为边AB 上的高线，…………………………2分02cos3043ca ∴=，∴椭圆的离心率c e a ==.………………… 4分（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y 因为0e <<，1c =，所以a >…………6分①当直线AB x 与轴垂直时，22211y a b +=，422b y a =，4121221b OA OB x x y y a ⋅=+=- , 42231a a a -+-=22235()24a a --+， 因为2532+>a ，所以0OA OB ⋅< ， AOB ∴∠为钝角.………………………8分②当直线AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程为：(1)y k x =+，代入22221x y a b +=，整理得：2222222222()20b a k x k a x a k a b +++-=， 22122222a k x x b a k -+=+，222212222a k a b x x b a k -=+1212OA OB x x y y ⋅=+212121212(1)(1)x x y y x x k x x +=+++2221212(1)()x x k k x x k =++++22222242222222()(1)2()a k ab k a k k b a k b a k -+-++=+2222222222()k a b a b a b b a k +--=+ 24222222(31)k a a a b b a k -+--=+………………10分令42()31m a a a =-+-， 由 ①可知 ()0m a <， AOB ∴∠恒为钝角.………………12分21．解：（Ⅰ）当1a =时，e ()1x f x x =+-，(1)e f =，e ()1x f x '=+，e (1)1f '=+，函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为e (e 1)(1)y x -=+- 即(e 1)1yx =+- ……………… 2分设切线与x 、y 轴的交点分别为A ，B ．令0x =得1y =-，令0y =得1e 1x =+，∴1(,0)e 1A +，(0,1)B -11112e 12(e 1)S =⨯⨯=++△OAB ．在点(1,(1))f 处的切线与坐标轴围成的图形的面积为12(e 1)+ …………………4分（Ⅱ）由2()f x x ≥得2e 1x x a x +-≥， 令2e e 11()x xx h x x x x x +-==+-， 222e e (1)(1)(1)1()1x x x x x h x x x x --+-'=--= 令e ()1xk x x =+-，…………………… 6分 e ()1x k x '=-，∵(0,1)x ∈，∴e ()10xk x '=-<，()k x 在(0,1)x ∈为减函数∴()(0)0k x k <= ，……………………8分又∵10x -<，20x >∴2e (1)(1)()0x x x h x x -+-'=>∴()h x 在(0,1)x ∈为增函数，…………………………10分 e ()(1)2h x h <=-，因此只需2e a -≥． …………………………………12分 22.证明:（Ⅰ）∵∠BAD ＝∠BMF ，所以A,Q,M,B 四点共圆，……………3分 所以PA PB PM PQ ⋅=⋅.………………5分 (Ⅱ)∵PA PB PC PD ⋅=⋅ , ∴PC PD PM PQ ⋅=⋅ ，又 CPQ MPD ∠=∠ , 所以~CPQ MPD ∆∆，……………7分 ∴PMD PCQ ∠=∠ ,则DCB FMD ∠=∠,………………8分∵BAD BCD ∠=∠，∴2BMD BMF DMF BAD ∠=∠+∠=∠,2BOD BAD ∠=∠,所以BMD BOD ∠=∠.…………………10分23.解：(Ⅰ)依题意22sin cos ρθρθ=………………3分 得：x y =2∴曲线1C 直角坐标方程为：x y =2.…………………5分(Ⅱ)把⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=ty t x 22222代入x y =2整理得： 0422=-+t t ………………7分0>∆总成立，221-=+t t ，421-=t t23)4(4)2(221=-⨯--=-=t t AB ………………10分另解：(Ⅱ)直线l 的直角坐标方程为x y -=2，把x y -=2代入x y =2得： 0452=+-x x ………………7分0>∆总成立，521=+x x ，421=x x23)445(212212=⨯-=-+=x x k AB …………………10分24. 解：(Ⅰ)⎩⎨⎧>-+-≥32222x x x 解得37>x⎩⎨⎧>-+-<<322221x x x 解得φ∈x⎩⎨⎧>-+-≤32221x x x 解得13x <…………………3分 不等式的解集为17(,)(,)33-∞+∞ ………………5分 (Ⅱ)时，2>a ⎪⎩⎪⎨⎧≥--<<-+-≤++-=a x a x ax a x x a x x f ,2232,222,223)(；时，2=a 36,2()36,2x x f x x x -+≤⎧=⎨->⎩； 时，2<a ⎪⎩⎪⎨⎧≥--<<+-≤++-=2,2232,22,223)(x a x x a a x ax a x x f ；∴)(x f 的最小值为)()2(a f f 或；………………8分则⎩⎨⎧≥≥1)2(1)(f a f ，解得1≤a 或3≥a .………………10分。

2021年高中毕业年级第三次质量预测文科数学试题卷本试卷分第I 卷(选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两局部.考试时间120分钟，总分值150 分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效. 第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小齒5分，共60分,在每小題给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1. 集合A={(x ，y) |x+y -1=0,x,y ∈R},B={(x ,y) | x 2+y 2=1，x,y ∈R }，那么 集合A B 的元素个数是A. 0B. 1C. 2D. 32.x ，y ∈R ，i 为虚数单位，假设x-1+yi=ii+12，那么x +y 的值为 A. 2 B. 3C. 4D. 53. 以下命题中的假命题是A 0,2≥∈∀x R xB 02,1>∈∀-x R xC 1lg ,<∈∃x R xD 2cos sin ,=+∈∃x x R x4. 设a 为实数，函数f(x)=x 3+ax 2+(a-3)x 的导函数为)(x f '，且)(x f '是偶函数， 那么曲线：y=f(x)在原点处的切线方程为A. Y =3XB. Y =－3X C . y=－3x+1 D. Y =3X —15. 实数:x ,y 取值如下表：从所得的散点图分析可知: y 与x 线性相关，且yˆ==0. 95x+a ，那么a 的值是 A. 1.30B. 1. 45C. 1. 65D. 1. 806. 直线l 丄平面a ，直线m ⊂平面β给出以下命题： ①a//β=>l 丄m ;②a 丄β=>l//m ③l //m =>a 丄β；④l 丄m =>a// β其中正确命题的序号是A .①②③B .②③④C .①③D .②④7. 如图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出 相应的y 值,假设要使输入的x 值与输出的y 值相等，那么这样的 x 值有A. 1个 B .2个C 3个 D. 4个8. z=3x+y ，x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥m x y x x y 32,，且z 的最大值是最小值的3倍，那么m 的值是A.61 B. 51 C . 41 D. 31 9. 抛物线y 2= 8x 的准线与双曲线141222=-y x 的两条渐近线围成的三角形的面积为A.334 B. 332 C. 33D. 32 10函数)0)(cos(2>+=ωϕωx y 且2||πϕ<，在区间]6,3[ππ-上单调递增，且函数值从－2增大到2，那么此函数图象与y 轴交点的纵坐标为A. 1B. 2C. 3D.226+ 11.椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光 线经过椭圆的另一个焦点.今有一水平放置的楠圆形台球盘，点A 、B 是它的两个焦点，长轴 长为2a ，焦距为2c ，当静止放在点A 的小球(半径不计〕，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹 后再回到点A,那么小球经过的路径是A. 4aB.2(a-c)C. 2(a+c)D.以上答案都有可能12. 在ΔABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ,B,C 的对边，A =6，b =2，且 1 + 2cos(B + C) =0， 那么ΔABC 的BC 边上的高等于A. 2B.26 C. 226+ D. 213+第II 卷本卷包括必考題和选考題两局部.第13題〜第21題为必考題，第22題〜24題为选考 題.考生根据要求作答.二、填空題:本大題共4小題,每小題5分，共20分.13.如图，在正方形内有一扇形(见阴影局部〕，扇形对应的圆心是正 方形的一顶点，半径为正方形的边长.在这个图形上随机撒一粒黄豆，它 落在扇形外正方形内的概率为______.(用分数表示〕14.数列{a n }的通项公式a n =2021·sin 2πn ，那么a 1+a 2 +…+a 2021=_____.15.已长方体的一个顶点上的三条棱长分别是4,8,h ，且它的8个顶点都在同一个 球面上，这个球面的外表积为100π，那么h = ____..16. 函数：Y =F (X )的图象与函数y=2-x-1的图象关于直线Y =X 对称，那么F (3)=____ 三.解答題:本大題共6个小題，共70分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.>17. (本小题总分值12分〕数列{a n }是公差不为0的等差数列，a 1=2，且a2,，a 3, a 4+1成等比数列. (I)求数列{a n }的通项公式；(II)设b n =a n +n a 2，求数列{b n }的前n 项和S n高考资源网〔 ks5u 〕，您身边的高考专家18. (本小题总分值12分〕2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的?环境空气质量标准?，其中规定:居民区 的PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米.某城市环保部门在2013年1月1日到 2013年4月30日这120天对某居民区的PM2. 5平均浓度的监测数据统计如下：(I)在这120天中抽取30天的数据做进一步分析，每一组应抽取多少天？(II)在(I)中所抽取的样本PM2. 5的平均浓度超过75(微克/立方米〕的假设干天中，随 机抽取2天，求恰好有一天平均浓度超过115(微克/立方米〕的概率.19. (本小题总分值12分〕如下图的几何体中，四边形PDCE 为矩形,ABCD 为直 角梯形，且BAD ∠ = ADC ∠ 90°，平面PDCE 丄平面ABCD ，AB=AD=21CD=1,PD=2 (I)假设M 为PA 的中点，求证:AC//平面MDE;(II)求原几何体被平面PBD 所分成的左右两局部的体积比20. (本小题总分值12分〕椭圆C: )0(12222>>=+b a b y a x 的离心率36=e ，短轴右端点为A ，P(1，0)为线段QA 的中点.(I)求椭圆C 的方程；(II)过点p 任作一条直线与椭圆c 相交于两点M ，N ，试问在x 轴上是否存在定点Q ，使得MQP ∠ =NQP ∠,假设存在,求出点Q 的坐标;假设不存在，说明理由.21.(本小题总分值12分〕函数f(x)=(2-a)lnx-1,g(x) =lnx+ax 2+x(a ∈R),令)()()(x g x f x '+=ϕ (I)当a=0时，求)(x ϕ的极值； (II)当a<－2时，求)(x ϕ的单调区间；(III )当－3<a< －2 时，假设对]3,1[,21∈∀λλ，使得3ln 2)2ln (|)()(|21-+<-a m λϕλϕ恒成立，求实数m 的取值范围.高考资源网〔 ks5u 〕，您身边的高考专家选做題(本小題总分值10分，请从22、23、24三个小题中任选一題作答，并用铅笔在对应 方框中涂黑〕22.(本小题总分值10分)选修4-1 :几何证明选讲 如图，AB 是0的一条切线，切点为B ，直线ADE ，CFD ，CGE 都是O 的割线，AC=AB.(1)求证：FG//AC; (II)假设CG=1，CD=4，求GFDE的值.23. (本小题总分值10分)选修4-4:坐标系与参数方程曲线C 的极坐标方程是ρ=2，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角 坐标系，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=,231,212t y t x (t 为参数).(I)写出直线l 与曲线C 的直角坐标系下的方程； (II)设曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧='=',2,y y x x 得到曲线C '设曲线C '上任一点为M(x,y)，求y x 213+的取值范围.24.(本小题总分值10分)选修4-5:不等式选讲函数f(x) = log2(|2x-1|+|x+2|-a).(I)当a = 4时,求函数f(x)的定义域；(II)假设对任意的x∈R，都有f(x) ≥2成立，求实数a的取值范围.高考资源网〔 ks5u 〕，您身边的高考专家2021年高中毕业年级第三次质量预测数学〔文科〕 参考答案一、选择题CBDBB CCDAA DC 二、填空题 13．44π- 14. 2021 15. 52 16. -2 三、解答题17．解：〔Ⅰ〕设数列{}n a 的公差为d ，由21=a 和1,,432+a a a 成等比数列，得()()d d d 332)22(2++=+， ………………………………2分解得2=d ，或1-=d ，当1-=d 时，03=a ，与1,,432+a a a 成等比数列矛盾，舍去．2=∴d . ………………………………4分()(),212211n n d n a a n =-+=-+=∴即数列{}n a 的通项公式为.2n a n = ………………6分〔Ⅱ〕,42222n n n n n b +=+= ……………………………… 8分()()()n n n S 42444221++⋅⋅⋅++++=∴()()n n 44424221+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++= ()()()241422441.2143nnn n nn -+=+=++-- ………………………………12分 18. 解：〔Ⅰ〕这120天中抽取30天，应采取分层抽样，第一组抽取81203032=⨯天；第二组抽取161203064=⨯天； 第三组抽取41203016=⨯天；第四组抽取2120308=⨯天. ……………………4分〔Ⅱ〕设PM2.5的平均浓度在(75,115]内的4天记为4321,,,A A A A ，PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为21,B B ．所以6天任取2天的情况有：,21A A ,31A A ,41A A ,11B A ,21B A ,32A A ,42A A ,12B A ,22B A,43A A ,13B A ,23B A ,14B A ,24B A 21B B 共15种． ……………………8分记“恰好有一天平均浓度超过115〔微克/立方米〕〞为事件A ，其中符合条件的有：,11B A ,21B A ,12B A ,22B A,13B A ,23B A ,14B A 24B A 共8种． ……………………10分所求事件A 的概率().158=A P ……………………12分 19.〔Ⅰ〕证明：连结PC ,交DE 于N ,连结MN ， 在PAC ∆中，N M ,分别为两腰PC PA ,的中点,∴.//AC MN ………………3分因为，面MDE MN ⊂，面MDE AC ⊄ 所以//AC 平面MDE . ………………6分 〔Ⅱ〕由四边形PDCE 为矩形，知,DC PD ⊥ 又平面⊥PDCE 平面ABCD ，,ABD PD 平面⊥∴三棱锥ABD P -的体积为6221161213131=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯=∆-PD AD AB PD S V ABD D AB P . …………8分由,DC AD ⊥又平面⊥PDCE 平面ABCD ，,PDCE AD 平面⊥∴,//CD AB 四棱锥的体积为322122313131=⨯⨯⨯=⨯⨯=⨯==--AD PD CD AD S V V PDCE PDCE A PDCE B 矩形 (1)0分，4132262==--PDCEB DAB P V V高考资源网〔 ks5u 〕，您身边的高考专家所以原几何体被平面PBD 所分成的两局部的体积比41. ……… ………………12分20.解：(Ⅰ)由，2b =，又36=e ， 即3642=-a a ，解得32=a ， 所以椭圆方程为112422=+y x . …………………4分 (Ⅱ)存在.证明如下:假设存在点)0,(0x Q 满足题设条件.当x MN ⊥轴时，由椭圆的对称性可知恒有NQP MQP ∠=∠，即0x ∈R ； …………6分当MN 与x 轴不垂直时，设MN 所在直线的方程为(1)y k x =-，代入椭圆方程化简得：0122)3(2222=-+-+k x k x k ， 设),(),,(2211y x N y x M ，那么343)3(2)12)(3(442222222422,1++±=+-+-±=k k k k k k k k x312,3222212221+-=+=+k k x x k k x x . 022011x x y x x y k k NQ MQ -+-=+121020(1)(1)k x k x x x x x --=+--1202101020(1)()(1)()()()k x x x k x x x x x x x --+--=--， ………………………9分∵ 120210120120(1)()(1)()2(1)()2x x x x x x x x x x x x --+--=-+++02202223)1(23)12(2x k k x k k +++-+-= ， 假设NQP MQP ∠=∠， 那么0=+NQ MQ k k ， ……………………………………11分即[]023)1(23)12(2022022=+++-+-x k k x k k k ， 整理得0(4)0k x -=，∵k ∈R ，∴04x =.∴)0,4(Q .综上,在x 轴上存在定点)0,4(Q ，使得NQP MQP ∠=∠. ………………………12分 21.解: (Ⅰ)/1()21,g x ax x =++(),21ln 2)(ax xx a x ++-=ϕ其定义域为()+∞,0.…………1分当0=a 时，x x x 1ln 2)(+=ϕ,/222121()x x x x xφ-=-=. ……………………2分 令解得,0)('=x ϕ.21=x当210<<x 时, ;0)('<x ϕ当21>x 时, .0)('>x ϕ所以)(x ϕ的单调递减区间为,21,0⎪⎭⎫ ⎝⎛单调递增区间为;,21⎪⎭⎫⎝⎛+∞ 所以当21=x 时, )(x ϕ有极小值,2ln 2221-=⎪⎭⎫⎝⎛ϕ无极大值. ……………………4分 (Ⅱ) (),21ln 2)(ax xx a x ++-=ϕ ()().0)1)(12(122212)(2222'>+-=--+=+--=∴x x a x x a x x a ax a x x a x ϕ …………5分高考资源网〔 ks5u 〕，您身边的高考专家第22题图当2-<a 时，211<-a .令0)('<x ϕ,得a x 10-<<,或21>x . 令0)('>x ϕ,得211<<-x a .当2-<a 时，)(x ϕ的单调递减区间为,1,0⎪⎭⎫ ⎝⎛-a ;,21⎪⎭⎫⎝⎛+∞单调递增区间为.21,1⎪⎭⎫⎝⎛-a …………8分 (Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当23-<<-a 时，)(x ϕ在[]3,1上单调递减, 所以(),121)(max +==a x ϕϕ()().6313ln 23)(min a a x ++-==ϕϕ 所以()()()()().3ln 24326313ln 21231)()(max 21-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--+=-=-a a a a a ϕϕλϕλϕ 因为对[]3,1,21∈∀λλ，12()()(ln2)2ln3m a φλφλ-<+-恒成立， 所以()()242ln 3ln 22ln 33a a m a -+-<+-, ……………………………………10分整理得234ln ,32ma a a >-+ 又0<a ,所以32ln 4,23m a <+- 又23-<<-a ，得,923231-<<-a ,928432313-<-<-a 所以133ln .32m ≤-+ 故实数m 的取值范围是133,ln .32⎛⎤-∞-+ ⎥⎝⎦ ……………………………………12分 22．解：(Ⅰ)因为AB 为切线，AE 为割线，所以2AB AD AE =⋅，又因为AC AB =，所以2AD AE AC ⋅=．所以AD ACAC AE=，又因为EAC DAC ∠=∠， 所以ADC △∽ACE △，所以ADC ACE ∠=∠，又因为ADC EGF ∠=∠， 所以EGF ACE ∠=∠，所以AC FG //． ……………………5分 (Ⅱ)由题意可得：F D E G ,,,四点共圆，CED CFG CDE CGF ∠=∠∠=∠∴,. CGF ∆∴∽CDE ∆.CGCDGF DE =∴. 又 4,1==CD CG ，∴GFDE=4. ………………………………10分 23．解：〔Ⅰ〕直线l 的直角坐标方程,01323=--+y x ………………………………2分曲线C 的直角坐标方程422=+y x . ………………………………4分〔Ⅱ〕曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy x x 2,得到曲线C '的方程为4422=+y x ， 那么点M 参数方程为)(sin 4,cos 2参数θθθ⎩⎨⎧==y x ，代入y x 213+得，y x 213+==⋅+⋅θθsin 421cos 23)3sin(4cos 32sin 2πθθθ+=+, ∴y x 213+的取值范围为[]4,4-. ………………………………10分24.解：〔Ⅰ〕由题意得)4212(log )(2-++-=x x x f ，04212>-++-x x .04)2()12(2>-+----<x x x 时，当， 35-<∴x ,即2-<x .高考资源网〔 ks5u 〕，您身边的高考专家1,04)2()12(212-<∴>-++--≤≤-x x x x 时，当,即12-<≤-x ，1,04)2()12(21>∴>-++->x x x x 时，当.即1>x .综上所述,函数()f x 的定义域为{}1,1>-<x x x 或. ………………………………5分〔Ⅱ〕由题意得4log 2)212(log 22=≥-++-a x x 恒成立， 即4212>-++-a x x ，∴a x x >-++-4212恒成立，令=)(x g ,,21,33212,1,2,534212⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤≤----<--=-++-x x x x x x x x显然21=x 时，)(x g 取得最小值23-，23-<∴a . ………………………………10分。

2013年高中毕业年级第二次质量预测 数学（文科） 参考答案 一、选择题（每小题5分，共60分） ADCA DBBC BBAC 二、填空题（每小题5分，共20分） 13．6；14．3；15．；16．． 三、解答题 17．解:作垂直公路所在直线于点,则, 2分 设骑摩托车的人的速度为公里/小时,追上汽车的时间为小时 由余弦定理: 6分 8分 当时,的最小值为,其行驶距离为公里11分故骑摩托车的人至少以公里/时的速度行驶才能实现他的愿望, 他驾驶摩托车行驶了公里. 12分 18．解茎叶图. 2分 统计结论：①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度; ②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐; ③甲种树苗的中位数为，乙种树苗的中位数为; ④甲种树苗的高度基本上是对称的，而且大多数集中在均值附近，乙种树苗的高度分布较为分散. （Ⅱ）9分 表示株甲树苗高度的方差，是描述树苗高度离散程度的量. 值越小，表示长得越整齐，值越大，表示长得越参差不齐．中点为，连结， 在正三棱柱中面面， 为正三角形，所以， 故平面，又平面， 所以． 又正方形中，， 所以，又， 所以平面，故， 又正方形中，，， 所以⊥面． 6分 （Ⅱ）取的中点为，连结． 因为分别为的中点，所以平面， 又平面，，所以平面平面， 所以平面，又平面，平面平面， 所以，注意到，所以，又为的中点， 所以为的中点，即为所求． 12分 20．解：（Ⅰ）设，由题知，所以以为直径的圆的圆心， 则， 整理得为所求． 4分 （Ⅱ）不存在，理由如下： 5分 若这样的三角形存在，由题可设，由条件①知， 由条件②得，又因为点， 所以即，故，9分 解之得或（舍）， 当时，解得不合题意， 所以同时满足两个条件的三角形不存在． 12分 21．解：（Ⅰ）， 则， 1分 当时，，此时函数为增函数； 当时，，此时函数为减函数． 所以函数的增区间为,减区间为． 4分 （Ⅱ）设过点的直线与函数切于点，则其斜率， 故切线， 将点代入直线方程得： ，即，7分 设，则， 当时，，函数为增函数； 当时， ，函数为减函数． 故方程至多有两个实根， 10分 又，所以方程的两个实根为和， 故，所以为所求．12分 22．证明：（Ⅰ）连接⊙M的直径， ⊙O的直径， 2分 为弧的中点， 4分 ∽, 6分 （Ⅱ）由（1）知 ∽, 8分 由（1）知 ∴ 10分 23．解：（Ⅰ）当时，C1的普通方程为，C 2的普通方程为， 联立方程组，解得C 1与C 2的交点坐标为（1，0），．5分 （Ⅱ）C 1的普通方程为，A点坐标为， 故当变化时，P点轨迹的参数方程为（为参数） P点轨迹的普通方程为． 故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．10 24．解：（Ⅰ）由得，解得． 又已知不等式的解集为，所以，解得.4分 （Ⅱ）当时，，设， 于是 6分 所以当时，；当时，；当时，． 综上可得，的最小值为5．9分 从而若，即对一切实数恒成立， 则的取值范围为（-∞，5]．10分。

2013年高中毕业年级第三次质量预测数学（文科） 参考答案一、选择题CBDBB CCDAA DC 二、填空题 13．44π- 14. 2013 15. 52 16. -2 三、解答题17．解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，由21=a 和1,,432+a a a 成等比数列，得()()d d d 332)22(2++=+， ………………………………2分解得2=d ，或1-=d ，当1-=d时，03=a ，与1,,432+a a a 成等比数列矛盾，舍去．2=∴d . ………………………………4分()(),212211n n d n a a n =-+=-+=∴即数列{}n a 的通项公式为.2n a n = ………………6分（Ⅱ）,42222n n nn n b +=+= ……………………………… 8分()()()n n n S 42444221++⋅⋅⋅++++=∴()()n n 44424221+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++=()()()241422441.2143nn n n n n -+=+=++-- ………………………………12分18. 解：（Ⅰ）这120天中抽取30天，应采取分层抽样，第一组抽取81203032=⨯天；第二组抽取161203064=⨯天； 第三组抽取41203016=⨯天；第四组抽取2120308=⨯天. ……………………4分 （Ⅱ）设PM2.5的平均浓度在(75,115]内的4天记为4321,,,A A A A ，PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为21,B B ．所以6天任取2天的情况有：,21A A ,31A A ,41A A ,11B A ,21B A ,32A A ,42A A ,12B A ,22B A,43A A ,13B A ,23B A ,14B A ,24B A 21B B 共15种． ……………………8分记“恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）”为事件A ，其中符合条件的有：,11B A ,21B A ,12B A ,22B A,13B A ,23B A ,14B A 24B A 共8种． ……………………10分所求事件A 的概率().158=A P……………………12分 19.（Ⅰ）证明：连结PC ,交DE 于N ,连结MN ， 在PAC ∆中，N M ,分别为两腰PC PA ,的中点,∴.//AC MN ………………3分 因为，面MDE MN ⊂，面MDE AC ⊄ 所以//AC 平面MDE . ………………6分 （Ⅱ）由四边形PDCE 为矩形，知,DC PD ⊥ 又平面⊥PDCE 平面ABCD ，,ABD PD 平面⊥∴三棱锥ABD P -的体积为6221161213131=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯=∆-PD AD AB PD S V ABD D AB P . …………8分 由已知,DC AD ⊥又平面⊥PDCE 平面ABCD ， ,PDCE AD 平面⊥∴,//CD AB 四棱锥的体积为322122313131=⨯⨯⨯=⨯⨯=⨯==--AD PD CD AD S V V PDCE PDCE A PDCE B 矩形.………10分 ，4132262==--PDCEB DAB P V V所以原几何体被平面PBD 所分成的两部分的体积比41. ……… ………………12分 20.解：(Ⅰ)由已知，2b =，又36=e ， 即3642=-a a ，解得32=a ， 所以椭圆方程为112422=+y x . …………………4分 (Ⅱ)存在.证明如下:假设存在点)0,(0x Q 满足题设条件.当x MN ⊥轴时，由椭圆的对称性可知恒有NQP MQP ∠=∠，即0x ∈R ； …………6分 当MN 与x 轴不垂直时，设MN 所在直线的方程为(1)y k x =-，代入椭圆方程化简得：0122)3(2222=-+-+k x k x k，设),(),,(2211y x N y x M ，则343)3(2)12)(3(442222222422,1++±=+-+-±=k k k k k k k k x 312,3222212221+-=+=+k k x x k k x x . 022011x x y x x y k k NQ MQ -+-=+121020(1)(1)k x k x x x x x --=+--1202101020(1)()(1)()()()k x x x k x x x x x x x --+--=--， ………………………9分∵ 120210120120(1)()(1)()2(1)()2x x x x x x x x x x x x --+--=-+++02202223)1(23)12(2x k k x k k +++-+-=， 若NQP MQP ∠=∠， 则0=+NQ MQk k ， ……………………………………11分即[]023)1(23)12(2022022=+++-+-x k k x k k k ， 整理得0(4)0k x -=， ∵k ∈R ，∴04x =.∴)0,4(Q .综上,在x 轴上存在定点)0,4(Q ，使得NQP MQP ∠=∠. ………………………12分21.解: (Ⅰ) /1()21,gx ax x =++ (),21ln 2)(ax xx a x ++-=ϕ其定义域为()+∞,0.…………1分当0=a 时，x x x 1ln 2)(+=ϕ,/222121()x x x x xφ-=-=. ……………………2分 令解得,0)('=x ϕ.21=x当210<<x 时, ;0)('<x ϕ当21>x 时, .0)('>x ϕ所以)(x ϕ的单调递减区间为,21,0⎪⎭⎫ ⎝⎛单调递增区间为;,21⎪⎭⎫⎝⎛+∞ 所以当21=x 时, )(x ϕ有极小值,2ln 2221-=⎪⎭⎫⎝⎛ϕ无极大值. ……………………4分 (Ⅱ) (),21ln 2)(ax xx a x ++-=ϕ()().0)1)(12(122212)(2222'>+-=--+=+--=∴x x a x x a x x a ax a x x a x ϕ …………5分 当2-<a 时，211<-a .令0)('<x ϕ,得a x 10-<<,或21>x .第22题图令0)('>x ϕ,得211<<-x a . 当2-<a 时，)(x ϕ的单调递减区间为,1,0⎪⎭⎫ ⎝⎛-a ;,21⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞单调递增区间为.21,1⎪⎭⎫ ⎝⎛-a …………8分 (Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当23-<<-a 时，)(x ϕ在[]3,1上单调递减,所以(),121)(max+==a x ϕϕ()().6313ln 23)(min a a x ++-==ϕϕ所以()()()()().3ln 24326313ln 21231)()(max 21-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--+=-=-a a a a a ϕϕλϕλϕ因为对[]3,1,21∈∀λλ，12()()(ln2)2ln3m a φλφλ-<+-恒成立，所以()()242ln3ln 22ln33a a m a -+-<+-, ……………………………………10分 整理得234ln ,32ma a a >-+又0<a ,所以32ln 4,23m a <+- 又23-<<-a ，得,923231-<<-a ,928432313-<-<-a 所以133ln .32m ≤-+ 故实数m 的取值范围是133,ln .32⎛⎤-∞-+ ⎥⎝⎦……………………………………12分 22．解：(Ⅰ)因为AB 为切线，AE 为割线，所以2AB AD AE =⋅，又因为AC AB =，所以2AD AE AC ⋅=．所以AD AC AC AE=，又因为EAC D AC ∠=∠， 所以ADC △∽ACE △，所以AD C ACE ∠=∠，又因为AD C EG F ∠=∠， 所以EG F ACE ∠=∠，所以AC FG //． ……………………5分(Ⅱ)由题意可得：F D E G ,,,四点共圆，CED CFG CDE CGF ∠=∠∠=∠∴,. CGF ∆∴∽CDE ∆. CGCDGF DE =∴. 又 4,1==CD CG ，∴GFDE=4. ………………………………10分 23．解：（Ⅰ）直线l 的直角坐标方程,01323=--+y ………………………………2分曲线C 的直角坐标方程422=+y x. ………………………………4分（Ⅱ）曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy x x 2,得到曲线C '的方程为4422=+y x ， 则点M 参数方程为)(sin 4,cos 2参数θθθ⎩⎨⎧==y x ，代入y x 213+得，y x 213+==⋅+⋅θθsin 421cos 23)3sin(4cos 32sin 2πθθθ+=+, ∴y x 213+的取值范围为[]4,4-. ………………………………10分24.解：（Ⅰ）由题意得)4212(log )(2-++-=x x x f ，04212>-++-x x .04)2()12(2>-+----<x x x 时，当， 35-<∴x ,即2-<x .1,04)2()12(212-<∴>-++--≤≤-x x x x 时，当,即12-<≤-x ，1,04)2()12(21>∴>-++->x x x x 时，当.即1>x .综上所述,函数()f x 的定义域为{}1,1>-<x x x 或. ………………………………5分（Ⅱ）由题意得4log 2)212(log 22=≥-++-a x x 恒成立，即4212>-++-a x x ，∴a x x >-++-4212恒成立，令=)(x g ,,21,33212,1,2,534212⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤≤----<--=-++-x x x x x x x x显然21=x 时，)(x g 取得最小值23-，23-<∴a . ………………………………10分。

河南省郑州市2013年高中毕业年级第一次质量预测文科数学第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、若集合},2,1,0{x A =，A B A x B =⋃=},,1{2，则满足条件的实数x 的个数有 A ．个 B 2个 C ．3个 D 4个2、若复数i z -=2，则zz 10+等于 A. i -2 B. i +2 C. i 24+ D. i 36+3、设数列{n a }的前n 项和2n n S =－1，则43S a 的值为 A 、154 B 、152 C 、74 D 、724、执行如图所示的程序框图，若输入2=x ，则输出y 的值为 A ．5 B. 9 C.14 D.415、直线1+=kx y 与曲线b ax x y ++=3相切于点)3,1(A ，则b a +2的值等于A. 2 B ．1- C ．D ． 2-6、图中阴影部分的面积S 是h 的函数(H h ≤≤0)，则该函数的大致图象是7、一数学兴趣小组利用几何概型的相关知识做实验计算圆周率，他们向一个边长为1米的正方形区域均匀撒豆，测得正方形区域有豆5120颗，正方形内节圆区域有豆4009颗，则他们所没得圆周率为（保留两位有效数字）A 、3.13B 、3.14C 、3.15 D 、3.168. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b x a y 的离心率为3，则双曲线的渐近线方程为 A.x y 22±= B.x y 2±= C.x y 2±= D.x y 21±=9、《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus ）是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分5份给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，问最小的1份为10、过抛物线y 2＝8x 的焦点F 作倾斜角为135°的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦AB 的长为A 、4B 、8C 、12D 、1611.在三棱锥BCD A -中，侧棱AD AC AB ,,两两垂直，ADB ACD ABC ∆∆∆,,的面积分别为26,23,22，则该三棱锥外接球的表面积为 A.π2 B.π6 C. π64 D.π2412. 设函数x x x f cos sin )(+=，把)(x f 的图象按向量)0)(0,(>=m m a 平移后的图象 恰好为函数)('x f y =的图象，则m 的最小值为A.4πB .3πC.2πD.32π 第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

郑州市2012——2013第一学期高三上学期期末考试数学试题注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分．本试卷满分160分，考试时间120分钟．2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指定位置．3．答题时，必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在试卷的指定位置，在其它位置作答一律无效．4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合M ＝{1 ,2,3, 4,5}，N ＝{2,4,6,8,10}，则M ∩N ＝ ▲ ． 2．已知向量(12,2)a x =-，()2,1b -=，若a b ⊥，则实数x = ▲ ． 3.直线1:240l x y +-=与 2:(2)10l mx m y +--=平行,则实数m = ▲ ． 4.方程lg(2)1x x +=有 ▲ 个不同的实数根．5. 已知0ω>,函数3sin()4y x πωπ=+的周期比振幅小1,则ω= ▲ ．6. 在△ABC 中，sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则cos C = ▲ ．7. 在等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，已知5423a S =+，6523a S =+，则此数列的公比q 为 ▲ ．8. 观察下列等式： 31×2×12＝1－122， 31×2×12＋42×3×122＝1－13×22， 31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，…，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *， 31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2n (n ＋1)×12n ＝ ▲ ． 9. 圆心在抛物线22x y =上,并且和抛物线的准线及y 轴都相切的圆的标准方程 为 ▲ ．10. 在菱形ABCD 中，AB =,23B π∠=,3BC BE =,3DA DF =, 则EF AC ⋅= ▲ ．11.设双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的右支上，且124PF PF =,则此双曲线离心率的最大值为 ▲ ． 12. 从直线3480x y ++=上一点P向圆22:2210C x y x y +--+=引切线,PA PB ,,A B 为切点,则四边形PACB 的周长最小值为▲ ．13. 每年的1月1日是元旦节，7月1日是建党节，而2013年的春节是2月10日，因为2sin11sin71sin[(▲)30]sin 2013sin 210+=，新年将注定不平凡，请在括号内填写一个由月份和日期构成的正整数，使得等式成立，也正好组成我国另外一个重要节日.14. 已知x ，y 为正数，则22x yx y x y+++的最大值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）已知:p 128x <<；:q 不等式240x mx -+≥恒成立， 若p ⌝是q ⌝的必要条件，求实数m 的取值范围.16.（本小题满分14分）已知△ABC 的面积为S ，且AB AC S ⋅=.（1）求tan 2A 的值；（2）若4B π=，3CB CA -=，求△ABC 的面积S ．17.（本小题满分14分）已知0a >,函数3()(f x ax bx x =-∈R)图象上相异两点,A B 处的切线分别为12,l l ， 且1l ∥2l .（1）判断函数()f x 的奇偶性；并判断,A B 是否关于原点对称；（2）若直线12,l l 都与AB 垂直，求实数b 的取值范围.18.（本小题满分16分）一位幼儿园老师给班上(3)k k ≥个小朋友分糖果.她发现糖果盒中原有糖果数为0a ,就先从别处抓2块糖加入盒中，然后把盒内糖果的12分给第一个小朋友;再从别处抓2块糖加入盒中，然后把盒内糖果的13分给第二个小朋友;…,以后她总是在分给一个小朋友后,就从别处抓2块糖放入盒中，然后把盒内糖果的11n +分给第(1,2,3,)n n k =个小朋友．如果设分给第n 个小朋友后（未加入2块糖果前）盒内剩下的糖果数为n a . （1） 当3k =,012a =时,分别求123,,a a a ;（2） 请用1n a -表示n a ;令(1)n n b n a =+,求数列{}n b 的通项公式; （3）是否存在正整数(3)k k ≥和非负整数0a ,使得数列{}n a ()n k ≤成等差数列,如果存在,请求出所有的k 和0a ,如果不存在,请说明理由.19.（本小题满分16分）已知椭圆O 的中心在原点，长轴在x 轴上，右顶点(2,0)A 到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为23. 不过A 点的动直线12y x m =+交椭圆O 于P ,Q 两点． （1） 求椭圆的标准方程；（2）证明P ,Q 两点的横坐标的平方和为定值；（3）过点 A,P ,Q 的动圆记为圆C ，动圆C 过不同于A 的定点，请求出该定点坐标.20.（本小题满分16分）已知函数22()1x f x x x =-+，对一切正整数n ，数列{}n a 定义如下：112a =， 且1()n n a f a +=，前n 项和为n S .（1）求函数()f x 的单调区间，并求值域； （2）证明{}{}()(())x f x x x f f x x ===；（3）对一切正整数n ，证明：○1 1n n a a +<；○21n S <.数学Ⅱ（附加题）注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试卷第21题有4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题，3题或4题均答的按选做题中的前2题计分．第22、23题为必答题．每小题10分，共40分．考试用时30分钟．2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．本卷考试结束后，上交答题卡．4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的．．．．．答题区域．．．．内作答．．．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．（选修4－1 几何证明选讲）如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE =AC ， DE 交AB 于点F ．求证：△PDF ∽△POC ．（第21-A 题）A BPF OE DC·B．（选修4—2：矩阵与变换）求曲线C:1xy=在矩阵A⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到的曲线C'的方程.C．（选修4—4：坐标系与参数方程）求圆3cosρθ=被直线22,14x ty t=+⎧⎨=+⎩（是参数截得的弦长.D.（选修4—5：不等式选讲）设函数()f x．（1）当5a=-时，求函数()f x的定义域；（2）若函数()f x的定义域为R，试求a的取值范围．[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.22．（本小题满分10分）斜率为1的直线与抛物线22y x =交于不同两点,A B ，求线段AB 中点M 的轨迹方程． ．23．（本小题满分10分）已知函数()ln(2)f x x ax =-+在区间(0,1)上是增函数.（1）求实数a 的取值范围；（2）若数列{}n a 满足1(0,1)a ∈，1ln(2)n n n a a a +=-+，n ∈Ｎ* ，证明101n n a a +<<<．高三数学期末检测答案及评分标准2013.01一、填空题（每题5分）1.{}4,2;2. 0;3. 32; 4.2;5. 1 ;6.41-; 7. 3; 8.()nn 2111⋅+-9.()121122=⎪⎭⎫⎝⎛-+±y x ; 10.12-; 11.35;12.224+;13. 101; 14. 32. 【说明】 13. (10月1日国庆节)本题的一般结论是()()xx x x 3sin 60sin 60sin sin 400=+⋅-⋅，可以应用课本习题中结论22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-证得.14. 本题可以进一步推广为:是否存在实数k ,使得2222x y x yk x y x y x y x y+≤≤+++++当 0xy >时恒成立?二、解答题：15.解：:p 128x <<,即30<<x ,……3分 p ⌝是q ⌝的必要条件,∴p 是q 的充分条件,……5分∴不等式240x mx -+≥对()3,0∈∀x 恒成立,……7分xx x x m 442+=+≤∴对()3,0∈∀x 恒成立, (10)分44x x +≥=,当且仅当2x =时,等号成立.……13分4≤∴m .……14分【说明】本题考查简易逻辑、命题真假判断、简单指数不等式的解法、函数的最值、基本不等式应用；考查不等式恒成立问题；考查转化思想.16.解：（1）设△ABC 的角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,.AB AC S ⋅=,A bc A bc sin 21cos =∴,……2分 AA sin 21cos =∴, 2tan =∴A .……4分34tan 1tan 22tan 2-=-=∴AA A .……5分（2）3CB CA -=,3=,……6分 20,2tan π<<=A A ,……7分,552sin =∴A . ……9分()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B∴=+=+=+=……11分 由正弦定理知：5sin sin sin sin =⋅=⇒=B Cc b B b C c , (13)分35523521sin 21=⋅⋅==A bc S .……14分【说明】本题主要考查和差三角函数、倍角公式、正弦定理的应用、平面向量的运算；考查运算变形和求解能力.17.解：（1）()()()()()x f bx ax x b x a x f -=--=---=-33 ，……2分()x f ∴为奇函数 (3)分设()()2211,,,y x B y x A 且21x x ≠,又()b ax x f -='23，……5分()x f 在两个相异点,A B 处的切线分别为12,l l ,且1l ∥2l ，∴()()()22111222330k f x ax b k f x ax b a ''==-===->，∴2221x x =又21x x ≠，∴21x x -=，……6分 又()f x 为奇函数，∴点B A ,关于原点对称． (7)分（2）由（1）知()()1111,,,y x B y x A --，∴b ax x y k AB -==2111，……8分又()x f 在A 处的切线的斜率()b ax x f k -='=2113， 直线12,l l 都与AB 垂直,∴()()22111,31AB k k axb ax b ⋅=--⋅-=-， (9)分令021≥=ax t ，即方程014322=++-b bt t 有非负实根，……10分∴302≥⇒≥∆b ，又212103b t t +=> ， ∴0034>⇒>b b．综上3≥b ．……14分【说明】本题考查函数性质和导数的运算与应用、一元二次方程根的分布；考查换元法考查推理论证能力.21. 解：（1）当3k =,012a =时, ()()72212001=+-+=a a a ,()()62312112=+-+=a a a ,()()62412223=+-+=a a a .……3分（2）由题意知：()()()212112111++=++-+=---n n n n a n n a n a a ,……6分即()()n na a n a n n n n 22111+=+=+--, (1)n n b n a =+,12,n n b b n -∴-=……7分112102,22,2.n n n n b b n b b n b b ---∴-=-=--=累加得()()12220+=+=-n n n n b b n ,……9分 又00a b =,∴()01a n n b n ++= (10)分（3）由()01a n n b n ++=，得1++=n a n a n ,……12分若存在正整数(3)k k ≥和非负整数0a ,使得数列{}n a ()n k ≤成等差数列,则1322a a a +=,……14分 即00001(1)3220243a a a a ⎛⎫+++=+⇒= ⎪⎝⎭,……15分当00=a 时， n a n =，对任意正整数(3)k k ≥,有{}n a ()n k ≤成等差数列. ……16分[注:如果验证012,,a a a 不能成等差数列,不扣分]【说明】本题主要考查数列的定义、通项求法；考查反证法；考查递推思想；考查推理论证能力；考查阅读理解能力、建模能力、应用数学解决问题能力．本题还可以设计：如果班上有5名小朋友，每个小朋友都分到糖果，求0a 的最小值. 19.解：（1）设椭圆的标准方程为()012222>>=+b a by a x .由题意得23,2==e a .……2分3=∴c , 1b =, ……2分 ∴椭圆的标准方程为1422=+y x .……4分（2）证明：设点),(),,(2211y x Q y x P将m x y +=21带入椭圆，化简得：0)1(2222=-++m mx x ○1∴212122,2(1)x x m x x m +=-=-,……6分∴222121212()24x x x x x x +=+-=,∴P ,Q 两点的横坐标的平方和为定值4.……7分（3）(法一)设圆的一般方程为:220x y Dx Ey F ++++=,则圆心为（,22D E --）,PQ 中点M (2,mm -), PQ 的垂直平分线的方程为:m x y 232--=, ……8分圆心（2,2E D --）满足m x y 232--=，所以322ED m-=-○2,……9分圆过定点(2,0)，所以420D F ++=○3,……10分圆过1122(,),(,)P x y Q x y , 则2211112222220,0,x y Dx Ey F x y Dx Ey F ++++=++++=⎧⎨⎩ 两式相加得： 22221212121220,x x y y Dx Dx Ey Ey F ++++++++= 222212121212(1)(1)()()2044x x x x D x x E y y F ++-+-+++++=, (11)分12y y m +=,5220mD mE F -++=∴○4.……12分因为动直线12y x m =+与椭圆C 交与P,Q （均不与A 点重合）所以1-≠m ，由○2○3○4解得:3(1)3335,,,42222m D E m F m -==+=--……13分代入圆的方程为：223(1)3335()042222m x y x m y m -++++--=,整理得：22335333()()0422422x y x y m x y +-+-++-=, (14)分所以：223350,4223330,422x y x y x y ⎧+-+-=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩……15分 解得：0,1,x y =⎧⎨=⎩或2,x y =⎧⎨=⎩(舍).所以圆过定点(0,1).……16分(法二) 设圆的一般方程为:220x y Dx Ey F ++++=,将m x y +=21代入的圆的方程:024522=+++⎪⎭⎫⎝⎛+++F mE m x E D m x ○5.……8分 方程○1与方程○5为同解方程.22122(1)542E m mE Fm D m m ++-+=+=, ……11分圆过定点(2,0)，所以024=++F D , ……12分 因为动直线m x y +=21与椭圆C 交与P,Q （均不与A 点重合）所以1-≠m .解得:3(1)3335,,42222m D E m F m -==+=--,……13分 (以下相同)【说明】本题考查圆锥曲线的基本量间关系、直线与圆锥曲线的位置关系；考查定点定值问题；考查运算求解能力和推理论证能力.20.解：（1）定义域∈x R ，()()()()()22222221211212+-+-=+---+-='x xxx x xx x x x x x f ，……1分()200<<⇒>'x x f ，()200><⇒<'x x x f 或． (2)分函数()f x 的单调增区间为()2,0，单调减区间为()()∞+∞-，和20, ．……3分（法一）()00=f ，4(2)3f =，当x →∞时， ()211111f x x x =→⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，……4分(,0]x ∈-∞时，()f x 为减函数，()[0,1)f x ∈；当[0,)x ∈+∞时，4()[0,]3f x ∈；函数()f x 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡34,0．……5分（法二）当=x 时，()00=f ,当≠x 时，()22114113311()124f x x x x ==≤⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭,且()0f x >,4(2)3f =,∴函数()f x 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡34,0.……5分（法三）判别式法（略） （2）设{}{}(),(())A xf x x B x f f x x ====,设0x A ∈，则000(())()f f x f x x ==，则0x B ∈，A B ∴⊆.……6分 当0x ≥时， 2222(1)011()1x x x x x x x x f x x-≥⇔≤⇔≤⇔-+-+≤恒成立．当且仅当0,1x =时，().f x x =……7分 令()t f x =，当且仅当1x =时，() 1.t f x ==当0x <时，由（１）(())()0f f x f t =>, ∴当0x <时，(())f f x x =无解……8分当01x <≠时，(())()()f f x f t t f x x =<=<，∴当01x <≠时，(())f f x x =在无解．……9分综上，除0,1x =外，方程(())f f x x =无解， .A B ∴=∴{}{}()(())x f x x x f f x x===．……10分（3） ○1显然22122131()24n n n n n na a a a a a +==-+-+,又112a =,0n a ∴>，1211111211n n n n n nna a a a a a a +∴==≤=-+-+-，……11分所以，1.n n a a +≤ 若n n a a =+1，则1=n a 矛盾.所以 n n a a <+1.……12分○2(法一)21222111111111111,1,1,1n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a -------=∴=-+∴-=-+-+ 211111111111,11111111(1)1nn n n n n n a a a a a a a ------∴===---+-- 1111(2),1111n n na n a a --∴=-≥--……14分11121111121111()1,111111111n n n n i ii i i n S a a a a a a a +=++-=+-+=-=-=-∴-----=∑∑……15分1102n n a a +<<<111 1.1n n a S a ++=-<-∴……16分(法二)2121122111111111111n n n n n n n n a a a a a a a a -------==<-+-+-+……13分11111(1)n n a a --=-1111111n n a a --=--1222111n n n a a a ---=-+-+……14分12233111n n n n a a a a ----=--+-+1211111n n a a a a --==----+-……15分1211n n a a a --=----，n S ∴=121n a a a +++<.……16分【说明】本题以高等数学中不动点、函数迭代等理论为背景，考查函数的图象与性质、导数的运算与应用；考查函数思想；考查推理论证能力、运算能力. 其中第2问证法较多. 本题可以进一步设计证明11112n nn a a ++≤-. 如令1n nb a =,可证明对任意正整数,m n 有,m n b b 互素. 理 科 附 加 题 答 案21．【选做题】A ．证明：∵AE =AC ，∠CDE ＝∠AOC ，……2分又∠CDE ＝∠P +∠PFD ，∠AOC ＝∠P +∠OCP ，……6分从而∠PFD ＝∠OCP ．……7分 在△PDF 与△POC 中， ∠P ＝∠P ，∠PFD ＝∠OCP ，故△PDF ∽△POC ．……10分B ．解：设00(,)P x y 为曲线1xy =上的任意一点，在矩阵A 变换下得到另一点00(,)P x y '''，则有00x x y y '⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦0０ ，……4分 即000000),),x x y y y x ⎧'=+⎪⎪⎨⎪'=-⎪⎩ (6)分所以000000),),x x y y x y ⎧''=-⎪⎪⎨⎪''=+⎪⎩……8分 又因为点P 在曲线1xy =上，所以001x y =，故有22002x y ''-= 即所得曲线方程222x y -=.…… 10分C ． 解:将极坐标方程转化成直角坐标方程：3cos ρθ=即：223x y x +=，即2239()24x y -+=；……4分22,14,x t y t =+⎧⎨=+⎩ 即：23x y -= ,…… 6分 0d ，…… 8分即直线经过圆心,所以直线截得的弦长为3.…… 10分D. 解：（1）由题设知：1x x ++-和5y =的图象（如图所示）, 知定义域为(][),23,-∞-+∞.……5分（2）由题设知，当x R ∈时，恒有120x x a ++-+≥，即12x x a ++-≥- 由（1）123x x ++-≥，∴ 3,3a a -≤∴≥-.……10分 [必做题]22．解：设直线方程：m x y +=，()()()y x M y x B y x A ,,,,,2211将m x y +=代入22y x =,得()02222=+-+m x m x ,……2分所以()22122122240,22,,m m x x m x x m ⎧∆=-->⎪⎪+=-⎨⎪=⎪⎩……6分∴21<m ，1,211221=+=>-=+=m x y m x x x ,……9分线段AB 中点M 的轨迹方程为：⎪⎭⎫ ⎝⎛>=211x y .……10分23．解：（1） 函数()ln(2)f x x ax =-+在区间(0,1)上是增函数.∴()021≥+--='a xx f 在区间(0,1)上恒成立,……2分x a -≥∴21,又()xx g -=21在区间(0,1)上是增函数()11=≥∴g a 即实数a 的取值范围为1≥a (3)分（2）先用数学归纳法证明10<<n a . 当1=n 时，1(0,1)a ∈成立, ……4分假设k n =时，10<<k a 成立,……5分当1+=k n 时，由（1）知1=a 时，函数()()x x x f +-=2ln 在区间(0,1)上是增函数∴()()kk k k a a a f a +-==+2ln 1 ∴()()()1102ln 0=<<=<f a f f k , (7)分即101<<+k a 成立, ∴当*∈N n 时,10<<n a 成立.……8分 下证1+<n n a a .()101,ln 2ln10.n n n n a a a a +<<∴-=->= (9)分1+<∴n n a a .综上101<<<+n n a a .……10分。

某某省某某大学附中2013届高三第三次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每题5分，满分60分，每小题给出的4个选项中，只有一选项是符合题目要求的）1．（5分）设集合M={0，1，3}，N={0，1，7}，则M∩N=（）A．{0，1} B．（0，1）C．ϕD．{0，1，3，7}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：根据集合M={0，1，3}，N={0，1，7}，找出它们的公共元素，再求交集．解答：解：∵集合M={0，1，3}，N={0，1，7}，∴M∩N={0，1}，故选A．点评：本题考查交集及其运算问题，注意交集的定义，较简单．2．（5分）已知复数a+3i=4﹣bi，a，b∈R则a+b=（）A．B．C．1D．2考点：复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：利用复数代数形式的相等，求出a，b，由此能求出a+b的值．解答：解：复数a+3i=4﹣bi，∴a=4，b=﹣3，故a+b=1．故选C．点评：本题考查复数相等条件的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．3．（5分）已知向量=（1，k），=（k﹣1，6），若∥，则正实数k的值为（）A．3B．2C．3或﹣2 D．﹣3或2考点：平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：由向量的共线定理得充要条件即可计算出k的值．解答：解：∵∥，∴1×6﹣k（k﹣1）=0，化为k2﹣k﹣6=0，解得k=3，k=﹣2．又∵k＞0，∴k=3．故选A．点评：正确理解向量的共线定理是解题的关键．4．（5分）f（x）=lnx+2x﹣5的零点所在区间为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：由函数的解析式求得f（2）f（3）＜0，再根据函数零点的判定定理可得f（x）=lnx+2x ﹣5的零点所在区间．解答：解：∵f（x）=lnx+2x﹣5，∴f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3+1＞0，∴f（2）f（3）＜0．根据函数零点的判定定理可得f（x）=lnx+2x﹣5的零点所在区间为（2，3），故选B．点评：本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．5．（5分）（2012•某某县模拟）如图示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为（）A．B．C．D．无法计算考点：几何概型．专题：计算题．分析：本题考查的知识点是根据几何概型的意义进行模拟试验，计算不规则图形的面积，关键是要根据几何概型的计算公式，列出豆子落在阴影区域内的概率与阴影部分面积及正方形面积之间的关系．解答：解：正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率，P==，又∵S正方形=4，∴S阴影=，故选B．点评：利用几何概型的意义进行模拟试验，估算不规则图形面积的大小，关键是要根据几何概型的计算公式，探究不规则图形面积与已知的规则图形的面积之间的关系，及它们与模拟试验产生的概率（或频数）之间的关系，并由此列出方程，解方程即可得到答案．6．（5分）若，α是第三象限的角，则=（）A．B．C．D．考点：两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析：根据α的所在的象限以及同角三角函数的基本关系求得sinα的值，进而利用两角和与差的正弦函数求得答案．解答：解：∵α是第三象限的角∴sinα=﹣=﹣，所以sin（α+）=sinαcos+cosαsin=﹣=﹣．故选A点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数，以及同角三角函数的基本关系的应用．根据角所在的象限判断三角函数值的正负是做题过程中需要注意的．7．（5分）（2012•某某模拟）设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2考点：球的体积和表面积．专题：计算题．分析：本题考查的知识点是球的体积和表面积公式，由长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则长方体的对角线即为球的直径，即球的半径R满足（2R）2=6a2，代入球的表面积公式，S球=4πR2，即可得到答案．解答：解：根据题意球的半径R满足（2R）2=6a2，所以S球=4πR2=6πa2．故选B点评：长方体的外接球直径等于长方体的对角线长．8．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若m∥n，m∥α，则n∥αB．若α⊥β，m∥α，则m⊥βC．若α⊥β，m⊥β，则m∥αD．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：常规题型．分析：A选项m∥n，m∥α，则n∥α，可由线面平行的判定定理进行判断；B选项α⊥β，m∥α，则m⊥β，可由面面垂直的性质定理进行判断；C选项α⊥β，m⊥β，则m∥α可由线面的位置关系进行判断；D选项a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β，可由面面垂直的判定定理进行判断；解答：解：A选项不正确，因为n⊂α是可能的；B选项不正确，因为α⊥β，m∥α时，m∥β，m⊂β都是可能的；C选项不正确，因为α⊥β，m⊥β时，可能有m⊂α；D选项正确，可由面面垂直的判定定理证明其是正确的．故选D点评：本题考查线面平行、线面垂直以及面面垂直的判断，主要考查空间立体的感知能力以及组织相关知识进行判断证明的能力，属基础题．9．（5分）已知点F、A分别为双曲的左焦点、右顶点，点B（0，b）满足，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分根据题意判断出FB⊥AB，利用勾股定理求得a和c关系，整理成关于e的方程求得双析：曲线的离心率．解答：解：∵∴FB⊥AB∴|FB|2+|AB|2=|FA|2，即c2+b2+a2+b2=（a+c）2，整理得c2﹣a2﹣ac=0，等式除以a2得e2﹣e﹣1=0求得e=（舍负）∴e=故选D点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．解题过程中关键是利用了勾股定理找到了a和c 的关系．10．（5分）（2007•某某）设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x ）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）A ．B．C．D．考点：利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义．专题：压轴题．分析：本题可以考虑排除法，容易看出选项D不正确，因为D的图象，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数．解答：解析：检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选D．点评：考查函数的单调性问题．11．（5分）设曲线y=x n+1（n∈N*），在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，则log2011x1+log2011x2+…+log2011x2010的值为（）A．﹣log20112010 B．﹣1 C．l og20112010﹣1 D．1考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；对数的运算性质．专计算题．题：分析：先求曲线在点（1，1）处的切线方程，从而得出切线与x轴的交点的横坐标为x n，再求相应的函数值．解答：解：y=x n+1在（1，1）处的切线方程为y﹣1=（n+1）（x﹣1），该切线与x轴的交点的横坐标为x n=，所以log2011x1+log2011x2+…+log2011x2010=，故选B．点评：本题利用了导数的几何意义，同时利用了对数运算的性质求出函数12．（5分）若框图所给程序运行的结果，那么判断框中可以填入的关于k的判断条件是（）A．k＜2010 B．k＜2009 C．k＞2010 D．k＞2009考点：程序框图．专题：图表型．分析：框图在给累加变量和循环变量赋值后，先执行了一次运算，然后再判断执行，从执行框看出，程序执行的是数列求和运算，根据程序运行的结果，得到S的值，从而得到k的值，则判断框中的条件可求．解答：解：由框图可知，程序执行的是求数列{}的前n项和的运算，由==，所以框图最后输出的S为的形式，由程序运行的结果，所以，S=，所以k=2010，所以判断框中的条件为k＜2010时，程序继续执行一次k=2009+1=2010，再次判断时不满足条件，算法结束．故选A．点评：本题考查了程序框图，考查了数列的求和，程序虽然先执行了一次运算，实则是循环结构中的当型循环，此题是中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）计算：= ﹣45 ．考点：有理数指数幂的运算性质．专题：计算题．分析：把幂指数小于0的写到分母上去，变代分数为假分数加以开方，最后一项用非0的0次幂等于1．解答：解：==．故答案为﹣45．点评：本题考查了有理指数幂的运算性质，解答的关键是熟记有关性质，同时需熟练掌握分数指数幂与根式的互化，属基础题．14．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中主视图中△ABC是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，则该几何体的体积为．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分该几何体是正六棱锥，依据数据求解即可．析：解答：解：由三视图可知几何体是正六棱锥，底面边长为1，侧棱长为2，该几何体的体积：，故答案为：．点评：本小题考查三视图求体积，考查简单几何体的三视图的运用．培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力．基础题．15．（5分）（2012•某某模拟）已知实数x，y满足不等式组，则目标函数z=x+3y的最大值为 4 ．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数Z=x+3y的最大值．解答：解：约束条件的可行域如下图示：由图易得目标函数z=x+3y在（1，1）处取得最大值4，故答案为：4．点评：点评：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．16．（5分）定义：=ad﹣bc．已知a、b、c为△ABC的三个内角A、B、C的对边，若=0，且a+b=10，则c的最小值为．考点：二阶矩阵．专题：计算题；压轴题．分析：由定义：=ad﹣bc得到关于cosC的式子，解出cosC的值，再结合a+b=10由余弦定理和基本不等式求最值即可．解答：解：由题意=（2cosC﹣1）cosC﹣2（cosC+1）=2cos2C﹣3cosC﹣2﹣0，所以cosC=﹣或cosC=2（舍去）由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣2ab+ab=（a+b）2﹣ab因为a+b=10，且，所以c2≥50，所以c的最小值为故答案为：点评：本题考查二阶矩阵、解三角形、基本不等式求最值等知识，考查利用所学知识解决问题的能力．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（12分）（卷文15）已知函数f（x）=2cos2x+sin2x （Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求f（x）的最大值和最小值．考点：三角函数的最值；二倍角的余弦．专题：计算题．分析：（I）直接代入函数解析式求解即可．（II）先用降幂公式，辅助角公式，再用换元法将函数转化为二次函数求最值．解答：解：（I）f（）=2（II）f（x）=2（2（cosx）2﹣1）+（1﹣（cosx）2）=3（cosx）2﹣1 ∵cosx∈[﹣1，1]∴cosx=±1时f（x）取最大值2 cosx=0时f（x）取最小值﹣1点评：本题主要考查了三角函数的求值，恒等变换和最值问题，也考查了二倍角公式及辅助角公式．18．（12分）（2007•丰台区一模）已知数列{a n}满足a n+1﹣2a n=0，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）若b n=﹣a n log2a n，S n=b1+b2+…+b n，求使S n+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值．考点：数列的应用．专题：计算题．分析：（Ⅰ）由题意知数列{a n}是以2为公比的等比数列．再由a3+2是a2，a4的等差中项，可知a1=2，所以数列{a n}的通项公式a n=2n；（Ⅱ）由题设条件知，b n=﹣n•2n，由此可知S n=﹣2﹣2•22﹣3•23﹣4•24﹣﹣n•2n，2S n=﹣22﹣2•23﹣3•24﹣4•25﹣﹣（n﹣1）•2n﹣n•2n+1，再由错位相减法可知使S n+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值为5．解答：解：（Ⅰ）∵a n+1﹣2a n=0，即a n+1=2a n，∴数列{a n}是以2为公比的等比数列．∵a3+2是a2，a4的等差中项，∴a2+a4=2a3+4，∴2a1+8a1=8a1+4，∴a1=2，∴数列{a n}的通项公式a n=2n；（Ⅱ）由（Ⅰ）及b n=﹣a n log2a n得，b n=﹣n•2n，∵S n=b1+b2++b n，∴S n=﹣2﹣2•22﹣3•23﹣4•24﹣﹣n•2n①∴2S n=﹣22﹣2•23﹣3•24﹣4•25﹣﹣（n﹣1）•2n﹣n•2n+1②②﹣①得，S n=2+22+23+24+25++2n﹣n•2n+1=要使S n+n•2n+1＞50成立，只需2n+1﹣2＞50成立，即2n+1＞52，n35 ∴使S n+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值为5．点评：本题考查数列性质的综合运用，解题时要注意计算能力的培养．19．（12分）已知集合A={x|x2﹣3（a+1）x+2（3a+1）＜0}，B=，（1）当a=2时，求A∩B；（2）求使B⊆A的实数a的取值X围．考交集及其运算；集合的包含关系判断及应用．专题：计算题．分析：（1）把a的值分别代入二次不等式和分式不等式，然后通过求解不等式化简集合A，B，再运用交集运算求解A∩B；（2）把集合B化简后，根据集合A中二次不等式对应二次方程判别式的情况对a进行分类讨论，然后借助于区间端点值之间的关系列不等式组求解a的X围．解答：解：（1）当a=2时，A={x|x2﹣3（a+1）x+2（3a+1）＜0}={x|x2﹣9x+14=0}=（2，7），B=={x|}=（4，5），∴A∩B=（4，5）（2）∵B=（2a，a2+1），①当a＜时，A=（3a+1，2）要使B⊆A必须，此时a=﹣1，②当时，A=∅，使B⊆A的a不存在．③a＞时，A=（2，3a+1）要使B⊆A，必须，此时1≤a≤3．综上可知，使B⊆A的实数a的X围为[1，3]∪{﹣1}．点评：本题考查了交集及其运算，考查了集合的包含关系及其应用，考查了分类讨论的数学思想，解答此题的关键是对集合A的讨论，此题是中档题．20．（12分）（2009•某某）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）平面A1FD⊥平面BB1C1C．考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专证明题．分析：（1）要证明EF∥平面ABC，证明EF∥BC即可；（2）证明平面A1FD⊥平面BB1C1C，证明A1D⊥面BB1C1C即可．解答：证明：（1）因为E，F分别是A1B，A1C的中点，所以EF∥BC，又EF⊄面ABC，BC⊂面ABC，所以EF∥平面ABC；（2）因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1，所以BB1⊥面A1B1C1，BB1⊥A1D，又A1D⊥B1C，所以A1D⊥面BB1C1C，又A1D⊂面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C．点评：本题考查直线与平面平行和垂直的判断，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．21．（12分）（2012•某某一模）已知函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）若对所有x≥1都有f（x）≥ax﹣1，某某数a的取值X围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题．专题：综合题．分析：（1）先求出函数的定义域，然后求导数，根据导函数的正负判断函数的单调性进而可求出最小值．（2）将f（x）≥ax﹣1在[1，+∞）上恒成立转化为不等式对于x∈[1，+∞）恒成立，然后令，对函数g（x）进行求导，根据导函数的正负可判断其单调性进而求出最小值，使得a小于等于这个最小值即可．解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）的导数f'（x）=1+lnx．令f'（x）＞0，解得；令f'（x）＜0，解得．从而f（x）在单调递减，在单调递增．所以，当时，f（x）取得最小值．（Ⅱ）依题意，得f（x）≥ax﹣1在[1，+∞）上恒成立，即不等式对于x∈[1，+∞）恒成立．令，则．当x＞1时，因为，故g（x）是（1，+∞）上的增函数，所以g（x）的最小值是g（1）=1，从而a的取值X围是（﹣∞，1]．点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系、根据导数求函数的最值．导数是高等数学下放到高中的内容，是每年必考的热点问题，要给予重视．22．（10分）选修4﹣1：如图，点A是以线段BC为直径的圆O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作圆O的切线，与CA 的延长线相交于点E，点G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB 的延长线相交于点P．（1）求证：BF=EF；（2）求证：PA是圆O的切线．考点：与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．专题：计算题；直线与圆．分析：（1）利用平行线截三角形得相似三角形，得△BFC∽△DGC且△FEC∽△GAC，得到对应线段成比例，再结合已知条件可得BF=EF；（2）利用直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角，得到∠FAO=∠EBO，结合BE 是圆的切线，得到PA⊥OA，从而得到PA是圆O的切线．解答：证明：（1）∵BC是圆O的直径，BE是圆O的切线，∴EB⊥BC．又∵AD⊥BC，∴AD∥BE．可得△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC．∴，得．∵G是AD的中点，即DG=AG．∴BF=EF．（2）连接AO，AB．∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°．由（1）得：在Rt△BAE中，F是斜边BE的中点，∴AF=FB=EF，可得∠FBA=∠FAB．又∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO．∵BE是圆O的切线，∴∠EBO=90°，得∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°，∴PA⊥OA，由圆的切线判定定理，得PA是圆O的切线．点评：本题求证直线是圆的切线，着重考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质和圆的切线判定定理等知识，属于中档题．。