用平面的法向量表示空间两平面平行

*用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的大小.设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面,αβ的法向量分别为,u v，则线线垂直：l ⊥m ⇔a ⊥b 0a b ⇔⋅=；线面垂直： l ⊥α⇔a ∥u a ku ⇔=； 面面垂直：α⊥β⇔u ⊥v .0=⋅⇔v u 一、问题:如何求平面的法向量?⑴设平面的法向量为(,,)n x y z =⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标111222(,,),(,,)a a b c b a b c ==⑶根据法向量的定义建立关于,,x y z 的方程组0n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量。

例 ：在空间直角坐标系中,已知(3,0,0),(0,4,0)A B ,(0,0,2)C ,试求平面ABC 的一个法向量。

解:设平面ABC 的一个法向量为(,,)n x y z =则n AB n AC ⊥⊥ ，.∵(3,4,0)AB =- ,(3,0,2)AC =-∴(,,)(3,4,0)0(,,)(3,0,2)0x y z x y z ⋅-=⎧⎨⋅-=⎩即340320x y x z -+=⎧⎨-+=⎩∴3432y xz x⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 取4x =,则(4,3,6)n =∴(4,3,6)n =是平面ABC 的一个法向量。

二、如何用向量法求点到平面的距离?如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离. 解：如图，建立空间直角坐标系C －xyz ． 由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)， D(4,0,0)，E(2,4,0)， F(4,2,0)，G(0,0,2)，即 (2,2,0),(2,4,2),B (2,0,0)EF EG E =-=--=设平面EFG 的一个法向量为(,,)n x y z =，则 220242011(,,1)33，n EF n EGx y x y n ⊥⊥-=⎧∴⎨--+=⎩∴= :,||AO O e A d AO e ααα=⋅ 评注若平面的斜线交于点是单位法向量,则到平面的距离为 |BE|21111n d n ⋅∴==三、思考题.如图,PA ⊥平面ABC ,AC ⊥BC ,PA =AC =1,BC =2,求二面角A -PB -C 的余弦值。

解:建立坐标系如图,则A(0,0,0),B(2,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1)， AP =(0,0,1),(2,1,0),AB = (2,0,0),CB = (0,1,1)CP =-,设平面PAB 的法向量为m =(x ,y ,z ),则0m AP m AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴(,,)(0,0,1)0(,,)(2,1,0)0x y z x y z ⋅=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩∴20y xz ⎧=-⎪⎨=⎪⎩,令x =1,则m =(1,2,0)-,设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z '''= , 则0n CB n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以(,,)(2,0,0)0(,,)(0,1,1)0x y z x y z ⎧'''⋅=⎪⎨'''⋅-=⎪⎩∴0x y z '=⎧⎨''=⎩令1,y '=-得(0,1,1)n =--∴cos 3,||||3m n m n m n ⋅〈〉==,∵二面角为锐角∴二面角A-PB-C 的余弦值为33课时跟踪检测 空间向量与空间角1.如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，求直线EF 和BC 1的夹角．解：建立如图所示的空间直角坐标系． 设AB ＝BC ＝AA 1＝2，则C 1(2,0,2)，E (0,1,0)，F (0,0,1)，则EF＝(0，－1,1)， 1BC＝(2,0,2)，∴EF ·1BC＝2， ∴cos 〈EF ，1BC〉＝22×22＝12，∴EF 和BC 1的夹角为60°.2．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，2AC ＝AA 1＝BC ＝2.若平面B 1DC 与平面DCC 1的夹角为60°，求AD 的长．解：如图，以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (1,0,0)，B 1(0,2,2)，C 1(0,0,2)．设AD ＝a ，则D 点坐标为(1,0，a )，CD＝(1,0，a )，1CB ＝(0,2,2)， 设平面B 1CD 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )．则⎩⎪⎨⎪⎧m ·1CB ＝0m ·CD＝0⇒⎩⎨⎧2y ＋2z ＝0x ＋az ＝0， 令z ＝－1，得m ＝(a,1，－1)，又平面C 1DC 的一个法向量为n ＝(0,1,0)， 则由cos 60°＝|m·n ||m ||n |，得1a 2＋2＝12，即a ＝2，故AD ＝2.3.如图，在正四棱锥S －ABCD 中，O 为顶点在底面上的投影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，求直线BC 与平面P AC 的夹角的大小．解：如图所示，以O 为原点建立空间直角坐标系O －xyz .设OD ＝SO ＝OA ＝OB ＝OC ＝a ，则A (a,0,0)，B (0，a,0)，C (－a,0,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2，a 2.则CA ＝(2a,0,0)，AP ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，－a 2，a 2，CB＝(a ，a,0)．设平面P AC 的法向量为n ，可求得n ＝(0,1,1)， 则cos 〈CB ，n 〉＝CB·n | CB ||n |＝a 2a 2·2＝12.∴〈CB，n 〉＝60°， ∴直线BC 与平面P AC 的夹角为90°－60°＝30°.4．(2012·山西模拟)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝3，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6.(1)求证：BD ⊥平面P AC ；(2)求平面PBD 与平面BDA 的夹角．解：(1)证明：由题可知，AP 、AD 、AB 两两垂直，则分别以AB 、AD 、AP 所在直线为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (23，0,0)，C (23，6,0)，D (0,2,0)，P (0,0,3)，∴AP ＝(0,0,3)，AC ＝(23，6,0)，BD＝(－23，2,0)， ∴BD ·AP ＝0，BD ·AC ＝0.∴BD ⊥AP ，BD ⊥AC . 又P A ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面P AC .(2)显然平面ABD 的一个法向量为m ＝(0,0,1)，设平面PBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·BD ＝0，n ·BP＝0.由(1)知，BP＝(－23，0,3)，∴⎩⎨⎧－23x ＋2y ＝0，－23x ＋3z ＝0，整理得⎩⎨⎧y ＝3x ，z ＝233x .令x ＝3，则n ＝(3，3,2)， ∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝12.∴平面PBD 与平面BDA 的夹角为60°.5.(2011·福建高考改编)如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD .四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ＋AD ＝4，CD ＝2，∠CDA ＝45°.(1)求证：平面P AB ⊥平面P AD ；(2)设AB ＝AP .若直线PB 与平面PCD 的夹角为30°，求线段AB 的长． 解：(1)证明：因为P A ⊥平面ABCD ，AB 在平面ABCD 内，所以P A ⊥AB .又AB ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ，所以AB ⊥平面P AD . 又AB 在平面P AB 内，所以平面P AB ⊥平面P AD . (2)以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系(如图)． 在平面ABCD 内，作CE ∥AB 交AD 于点E ，则CE ⊥AD . 在Rt △CDE 中，DE ＝CD ·cos 45°＝1，CE ＝CD ·sin 45°＝1.设AB ＝AP ＝t ，则B (t,0,0)，P (0,0，t )． 由AB ＋AD ＝4得AD ＝4－t ，所以E (0,3－t,0)，C (1,3－t,0)，D (0,4－t,0)，CD ＝(－1,1,0)，PD＝(0,4－t ，－t )． 设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由n ⊥CD ，n ⊥PD ，得⎩⎨⎧－x ＋y ＝0，(4－t )y －tz ＝0.取x ＝t ，得平面PCD 的一个法向量n ＝(t ，t,4－t )． 又PB＝(t,0，－t )，故由直线PB 与平面PCD 的夹角为30°得cos 60°＝|n ·PB||n |·|PB |，即|2t 2－4t |t 2＋t 2＋(4－t )2·2t 2＝12， 解得t ＝45或t ＝4(舍去，因为AD ＝4－t >0)，所以AB ＝45.1．(2012·咸阳模拟)如图所示，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AB ＝2，E 、F 、G 分别为PC 、PD 、BC 的中点．(1)求证：P A ⊥EF ；(2)求平面DFG 与平面FGE 夹角的余弦值．解：以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (0,2,0)，C (－2,0,0)，P (0,0,2)，E (－1,0,1)，F (0,0,1)，G (－2,1,0)．(1)证明：由于PA ＝(0,2，－2)，EF ＝(1,0,0)，则PA ·EF＝1×0＋0×2＋(－2)×0＝0，∴P A ⊥EF .(2)易知DF ＝(0,0,1)，EF＝(1,0,0)，FG ＝(－2,1，－1)，设平面DFG 的法向量m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·DF ＝0，m ·FG ＝0，解得⎩⎨⎧z 1＝0，－2x 1＋y 1－z 1＝0.令x 1＝1，得m ＝(1,2,0)是平面DFG 的一个法向量． 设平面EFG 的法向量n ＝(x 2，y 2，z 2)， 同理可得n ＝(0,1,1)是平面EFG 的一个法向量． ∵cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m |·|n |＝25·2＝210＝105， ∴平面DFG 与平面FGE 夹角的余弦值为105.2．(2012·北京高考改编)如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE ＝2.将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图2.(1)求证：A 1C ⊥平面BCDE ；(2)若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 夹角的大小；(3)线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由． 解：(1)证明：因为AC ⊥BC ，DE ∥BC ， 所以DE ⊥AC .所以ED ⊥A 1D ，DE ⊥CD ，所以DE ⊥平面A 1DC . 所以DE ⊥A 1C . 又因为A 1C ⊥CD . 所以A 1C ⊥平面BCDE .(2)如图，以C 为坐标原点，建立空间直角坐标系，则A 1(0,0，23)，D (0，2,0)，M (0,1, 3)，B (3,0,0)，E (2，2,0)．设平面A 1BE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·1A B ＝0，n ·BE ＝0.又1A B ()3023=-，，，BE ＝(－1,2，0)，所以⎩⎨⎧3x －23z ＝0，－x ＋2y ＝0.令y ＝1，则x ＝2，z ＝ 3. 所以n ＝(2,1，3)．设CM 与平面A 1BE 的夹角为θ.因为CM(0,1，3),所以sin θ=cos n CM n CM n CM = ，，＝48×4＝22. 所以CM 与平面A 1BE 的夹角为π4.(3)线段BC 上不存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直，理由如下：假设这样的点P 存在，设其坐标为(p,0,0)，其中p ∈[0,3]．设平面A 1DP 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则 m ·1A D ＝0，m ·DP ＝0.又1A D ＝(0，2，－23)DP ＝(p ，－2,0)， 所以⎩⎨⎧2y －2 3z ＝0，px －2y ＝0.令x ＝2，则y ＝p ，z ＝p 3.所以m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，p ，p 3.平面A 1DP ⊥平面A 1BE ，当且仅当m ·n ＝0， 即4＋p ＋p ＝0.解得p ＝－2，与p ∈[0,3]矛盾．所以线段BC 上不存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直． 3．(2012·辽宁高考改编)如图，直三棱柱ABC －A ′B ′C ′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝λAA ′，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．(1)证明：MN ∥平面A ′ACC ′；(2)若平面A ′MN ⊥平面MNC ，求λ的值． 解：(1)法一：证明：如图，连接AB ′，AC ′，由已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，三棱柱ABC －A ′B ′C ′为直三棱柱，所以M 为AB ′中点．又因为N 为B ′C ′的中点， 所以MN ∥AC′. 又MN ⃘平面A ′ACC ′，A ′C 平面A ′ACC ′， 所以MN ∥平面A ′ACC ′.法二：证明：取A ′B ′ 中点P ，连接MP ，NP ，而M ，N 分别为AB ′与B ′C ′的中点，所以MP ∥AA ′，PN ∥A ′C ′， 所以MP ∥平面A ′ACC ′，PN ∥平面A ′ACC ′. 又MP ∩NP ＝P ，因此平面MPN ∥平面A ′ACC ′. 而MN 平面MPN ， 因此MN ∥平面A ′ACC ′.(2)以A 为坐标原点，分别以直线AB ，AC ，AA ′为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．设AA ′＝1，则AB ＝AC ＝λ，于是A (0,0,0)，B (λ，0,0)，C (0，λ，0)，A ′(0,0,1)， B ′(λ，0,1)，C ′(0，λ，1)， 所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2，0，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2，λ2，1.设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A ′MN 的法向量， 由⎩⎨⎧m ·A M ' ＝0，m ·MN ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧λ2x 1－12z 1＝0，λ2y 1＋12z 1＝0，可取m ＝(1，－1，λ)．设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面MNC 的法向量， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·NC ＝0，n ·MN ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－λ2x 2＋λ2y 2－z 2＝0，λ2y 2＋12z 2＝0，可取n ＝(－3，－1，λ)．因为平面A ′MN ⊥平面MNC ，所以m·n ＝0，即－3＋(－1)×(－1)＋λ2＝0，解得λ＝2(负值舍去)．。