复变函数 复数项级数和序列

第四章复变函数级数第四章复变函数级数（42）⼀、内容摘要1．复数列的极限:设有复数列{}n z ,若存在复数z ,对于任意的0>ε,总有数N >0,使数列序数N n >时总有ε<-z z n ,则称复数z 为数列{}n z 的极限,或者说数列{}n z 收敛于z ,记作：lim n n z z →∞= 由于n n n iv u z +=, iv u z +=, 当lim n n z z →∞=式成⽴时, 等价于lim ,n n u u →∞=lim n n v v→∞=1nn z ∞=∑收敛的充要条件是1nn u ∞=∑和1nn v ∞=∑都收敛。

2．复数级数（定义）：设有复数项级数 +++=∑∞=k k n z z z z 211若其前n 项和n n z z z S ++=21构成的数列{}n S 收敛,则称级数1n k z ∞=∑收敛,⽽数列{}n S 的极限S 叫做级数1n k z ∞=∑的和.否则称级数1n k z ∞=∑发散。

由于∑∑==+=n k kn v i uS 11，所以11lim lim limnk n k n n n k n k u u S S u iv v v →∞=→∞→∞=?=??==+=??∑∑；绝对收敛：若⼀个级数的模级数∑∞=1k k z 收敛,则称级数∑∞=1k k z 是绝对收敛；若收敛级数的模级数不收敛，则称条件收敛。

3．设复变函数)(z f k ( ,2,1,0=k )区域G 内都有定义, 则定义复变函数项级数：∑∞=++++=010)()()()(k k k z f z f z f z f ，其中前n 项和：∑==nk k n z f S 0)(。

若对于G 内某点0z ,极限lim n n s S →∞=存在,则称复变函数项级数在点0z 收敛,s 叫做级数的和.若级数在区域G 内处处收敛,其和必是⼀个复函数:∑∞==)()(k k z f z s .则()s z )称为级数0()k k f z ∞当n N >时，1|()|n pk k n f z ε+=+<∑(p 为任意正整数)则称级数0()n n f z ∞=∑在B 内(或曲线L 上)⼀致收敛。

复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数)有大小.2.复数的表示1）模：z =2)幅角：在0z ≠时,矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。

3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩; 4）三角表示:()cos sin z z i θθ=+,其中arg z θ=；注：中间一定是“+” 5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=. (二） 复数的运算1。

加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+± 2。

乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++;()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。

2）若121122,i i z z e z z e θθ==， 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-=3。

乘幂与方根1）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=,则(cos sin )n nn in z z n i n z e θθθ=+=. 2）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则122cos sin (0,1,21)nk k z i k n n n θπθπ++⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭(有n 个相异的值)（三)复变函数1．复变函数：()w f z =，在几何上可以看作把z 平面上的一个点集D 变到w 平面上的一个点集G 的映射.2．复初等函数指数函数:()cos sin z x e e y i y =+，在z 平面处处可导，处处解析;且()z z e e '=.注：z e 是以2i π为周期的周期函数.（注意与实函数不同）对数函数: ln (arg 2)Lnz z i z k π=++(0,1,2)k =±±（多值函数)；主值：ln ln arg z z i z =+。

第四章 级 数 第一节 级数和序列的基本性质2、复变函数项级数和复变函数序列：设,...)2,1)}(({=n z f n 在复平面点集E 上有定义，那么：...)(...)()(21++++z f z f z f n是定义在点集E 上的复变函数项级数，记为∑+∞=1)(n n z f ，或∑)(z f n 。

设函数f (z )在E 上有定义，如果在E 上每一点z ，级数∑)(z f n 都收敛于f (z )，那么我们说此级数在E 上收敛（于f (z )），或者此级数在E 上有和函数f (z )，记作),()(1z f z fn n =∑+∞=设),...(),...,(),(21z f z f z f n是E 上的复变函数列，记作+∞=1)}({n n z f 或)}({z f n 。

设函数)(z ϕ在E 上有定义，如果在E 上每一点z ，序列)}({z f n 都收敛（于)(z ϕ），那么我们说此序列在E 上收敛（于)(z ϕ），或者此序列在E 上有极限函数)(z ϕ，记作),()(lim z z f n n ϕ=+∞→注解1、复变函数项级数∑)(z f n 收敛于f (z )的N -ε定义可以叙述为：有时使得当,,0,0N n N >>∃>∀ε.|)()(|1ε<-∑=z f z f nk k注解2、复变函数序列)}({z f n 收敛于)(z ϕ的N -ε定义可以叙述为：有时使得当,,0,0N n N >>∃>∀ε.|)()(|εϕ<-z z f n如果任给0>ε，可以找到一个只与ε有关，而与z 无关的正整数)(εN N =，使得当E z N n ∈>,时，有 .|)()(|1ε<-∑=z f z f nk k或 .|)()(|εϕ<-z z f n那么我们说级数∑)(z f n 或序列)}({z f n 在E 上一致收敛（于f (z )或)(z ϕ）。

复数列级数敛散性小结0000000lim 1lim lim lim 2lim 0lim 0lim 0lim 0)n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x z z y y z z z z z z z z z →∞→∞→∞→∞→∞→∞∞∞→∞→∞==∞∞==⎧=⎧⎪⎪=⇔⎨=⎪⎪⎪⎩⎨=⇔=⎪⎪⎪⎩≠⇒=⇔∑∑∑∑）1、复数列极限：），（适合于实部和虚部不容易求得的复数列极限）复数列1）若，则必发散,(若收敛2、复数列级数：2）复数列级数收敛实数列级数0000n n n n n n n n x y z z ∞∞==∞∞==⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩∑∑∑∑收敛和收敛3）若级数（正项级数）收敛绝对收敛（适合于实部和虚部不容易求得的复数列级数）0100001,11111lim ,2134n n n n n n n n n n n n n n n n n n z z z z C R C C z R C z R C z C z λλλλ∞=+∞→∞=∞=∞=∞=⎧<⎪-⎨⎪≥⎩⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∑∑∑∑∑、发散，1）比值法：=则、收敛半径2）根值法：=则、收敛区域：在半径为在圆域内绝对收敛，在圆外发散，在圆周上可能收敛、可能发散、可能有些点收敛有些点发散、的和函数：求收敛域（收敛半径）、幂级数000()000(21)0()2()()!1(1),11(2),!52)(3)sin (1),(21)!(nn n n n n n n n nz n n n n z f z z z R f z C z f z C n z z z z e z n z z z n ∞=∞=∞=∞=+∞=−−−−−−−→⎧⎪-<⎪⎪⎨⎪⎪=⎪⎩=<-=<+∞=-<+∞+∑∑∑∑∑逐项微分、逐项积分在收敛域内求和函数（1）在圆域内解析1）泰勒级数定理（）可展开为幂，且唯一（3）、泰勒级数直接展开法201024)cos (1),(2)!3)()2()1()2(6n n n n n n n z z z n f z R z z R f z C z f C i ζπζ∞=∞=-∞⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪=-<+∞⎪⎪⎩⎪−−−−−−−−−−−−→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩<-<=∑∑逐项微分、逐项积分、求导、求积分等方法间接展开法上面展开式（1）在圆环域内解析1）泰勒级数定理（）可展开为幂，且唯一（3）、洛朗级数011020210,1,10110000202)2)113),11n C n n z z R R z z R z z R n n d z z z R z z R z z R ζ+-∞∞<-<<<-==⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪-⎩⎪⎪⎨⎪⎛⎫⎛⎫-⎪−−−−−−−−−→== ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭--⎪-⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎰∑∑直接展开法间接展开法或⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪。

复变函数知识点一、复数的基本概念。

1. 复数的定义。

- 设x,y∈ R，称z = x+iy为复数，其中i为虚数单位，满足i^2=- 1。

x称为复数z的实部，记作x = Re(z)；y称为复数z的虚部，记作y = Im(z)。

2. 复数的相等。

- 两个复数z_1=x_1+iy_1和z_2=x_2+iy_2相等，当且仅当x_1=x_2且y_1=y_2。

3. 复数的共轭。

- 对于复数z = x + iy，其共轭复数¯z=x-iy。

共轭复数具有性质：z¯z=x^2+y^2，Re(z)=frac{z + ¯z}{2}，Im(z)=frac{z-¯z}{2i}等。

二、复数的四则运算。

1. 加法与减法。

- 设z_1=x_1+iy_1，z_2=x_2+iy_2，则z_1± z_2=(x_1± x_2)+i(y_1± y_2)。

2. 乘法。

- z_1z_2=(x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=x_1x_2-y_1y_2+i(x_1y_2+x_2y_1)。

3. 除法。

- frac{z_1}{z_2}=frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}=frac{(x_1+iy_1)(x_2-iy_2)}{(x_2+iy_2)(x_2-iy_2)}=frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}+ifrac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}（z_2≠0）。

三、复数的几何表示。

1. 复平面。

- 复数z = x+iy可以用复平面上的点(x,y)来表示，其中x轴称为实轴，y轴称为虚轴。

2. 复数的模与辐角。

- 复数z = x + iy的模| z|=√(x^2)+y^{2}，它表示复数z在复平面上对应的点到原点的距离。

- 复数z≠0的辐角θ满足z=| z|(cosθ + isinθ)，辐角不唯一，Arg(z)=θ + 2kπ，k∈ Z，其中θ∈(-π,π]称为z的主辐角，记作θ = arg(z)。