七年级数学角的运算

《6.3.2 角的比较与运算》教学设计教学内容分析本节课主要学习角的比较，角的和差计算．角的比较，角的和差计算是重要的基础知识，也是后续学习图形与几何必备的知识基础。

学习者分析学生在学习本节课之前，已经了解了线段的比较、线段的和差等知识，为本节课的进行，在学习方法上做好了类比铺垫，同时，这些已有的知识经验也是学生学好这节课的基础和关键。

教学目标 1.通过类比线段的比较与运算的研究过程，构建角的比较与运算的研究思路，体会不同学习内容之间数学研究方法的一致性和可迁移性，体会类比思想。

2.能比较角的大小，会计算角的和与差，并会用文字、图形和符号语言进行描述，体会数形结合思想，发展几何直观、推理能力。

教学重点角的大小比较方法。

教学难点角的和差关系。

学习活动设计教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1：师出示学习目标：1.通过类比线段的比较与运算的研究过程，构建角的比较与运算的研究思路，体会不同学习内容之间数学研究方法的一致性和可迁移性，体会类比思想。

2.能比较角的大小，会计算角的和与差，并会用文字、图形和符号语言进行描述，体会数形结合思想，发展几何直观、推理能力。

学生活动1：学生齐声读本课的学习目标活动意图说明：明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。

环节二：新知导入教师活动2：1．角的定义：静态定义：有___________的___________组成的图形叫做角，这个公共端点是角的_______，这两条射线是角的_________．动态定义：角也可以看作由___________绕着它的___________而形成的图形．答案：公共端点，两条射线，顶点，两条边，一条射线，端点旋转2．角度制：以________为单位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝______°，1平角＝______°，1直角＝______°，1°＝______′，1′＝______″．答案：度、分、秒，360，180，90，60，60 3.如何比较两条线段的大小？预设：度量法，叠合法学生活动2：学生快速回答老师提出的问题活动意图说明：通过复习角的概念、角的单位及换算，为角的比较与和、差运算做好准备。

人教版数学七年级上册《角的运算》教学设计2一. 教材分析《角的运算》是人教版数学七年级上册的教学内容，这部分内容主要介绍了角的分类、角的度量、以及角的大小比较等基本概念。

这部分内容是学生学习几何的基础，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。

在教材中，角的概念和运算是通过具体的实例和图示来引入和讲解的，使学生能够在实际情境中理解和掌握角的概念和运算方法。

二. 学情分析学生在学习《角的运算》之前，已经学习了实数运算、平面几何的基本概念等知识，对于运算规则和几何概念有一定的了解。

但是，学生对于角的概念和运算可能还存在一些模糊的认识，需要通过具体的实例和练习来进一步巩固和提高。

此外，学生的空间想象能力和逻辑思维能力还需要进一步培养和提高。

三. 教学目标通过本节课的学习，学生能够理解角的概念，掌握角的度量方法，能够进行角的大小比较，能够运用角的概念和运算解决实际问题。

同时，通过本节课的学习，学生能够培养和提高空间想象能力和逻辑思维能力。

四. 教学重难点教学重点：角的概念、角的度量方法、角的大小比较。

教学难点：角的大小比较、角的运算。

五. 教学方法采用讲授法、示范法、练习法、讨论法等教学方法，通过具体的实例和图示，引导学生理解和掌握角的概念和运算方法。

同时，通过学生自主探究和合作交流，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

六. 教学准备教师准备PPT、黑板、粉笔等教学工具，准备相关的实例和练习题，制作课件和教学素材。

学生准备笔记本、尺子、圆规等学习工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习实数运算和平面几何的基本概念，引导学生回顾和巩固相关知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示角的概念和角的度量方法，引导学生观察和思考，通过具体的实例和图示，让学生在实际情境中理解和掌握角的概念和运算方法。

3.操练（10分钟）学生分组进行练习，教师巡回指导，及时纠正学生的错误，帮助学生巩固和提高角的概念和运算能力。

6.3 角6.3.2 角的比较与运算主要师生活动一、复习导入师生活动：教师引导学生回忆与梳理线段的知识点，然后告诉学生这节课我们学习角可以类比线段学习，比如上节课学习的定义，到表示方法，这节课也会学习大小比较和运算，同学们可以思考能否也通过叠合法和度量法比较大小，运算是否也是计算角的和差倍分的关系.二、探究新知知识点一：角的比较类比线段长短的比较，你认为该如何比较两个角的大小？师生活动：学生先自主思考并小组交流，再由小组代表发言，预测会有两种方法，度量法和叠合法.教师引导和规范学生操作步骤，得出结果如下：度量法：因为55°＞40°，所以∠1＞∠2.叠合法：想一想：你能用图形和几何语言说明两个角的大小关系吗(两个角分别记作∠AOB，∠A'O'B' )？师生活动：学生画出图形，并用符号表示，指出两个角的大小关系有且仅有三种情况.知识点二：角的运算探究1：如图，图中共有几个角？它们之间有什么关系？师生活动：预测学生能确定角的个数，明确角之间的和差关系如下：3个：∠AOB、∠AOC、∠BOC∠AOC =∠AOB +∠BOC∠AOB =∠AOC-∠BOC∠BOC =∠AOC -∠AOB教师关注学生是否能发现角的和差关系，教师可引导学生类比线段的和与差，发现角的和差关系.然后教师引导学生总结：共顶点的几个角，可进行加减.探究2 ：如图，借助三角尺画出15°，75°的角.用一副三角尺，你还能画出哪些度数的角？试一试.师生活动：学生动手操作，小组合作探究，师生归纳，如下：用三角尺画特殊角，关键在于把它写成30°，45°，60°，90°角的和或差.凡是15的整数倍的角，都能用三角尺画出，而能用三角尺画出的，也只限于这样的角.例题精析：例1 如图，O是直线AB上一点，∠AOC = 53°17′，求∠BOC的度数.师生活动：学生独立思考，请学生代表发言，教师予以适当的评价并整理板书.解：由题意可知，∠AOB是平角，∠AOB =∠AOC +∠BOC所以∠BOC =∠AOB-∠AOC= 180° - 53°17′= 126°43′总结：∠同单位加减（度与度、分与分、秒与秒分别相加、减）；∠度分秒是60进制（相加时逢60要进位，相减时要借1作60）.师生活动：教师引导学生思考与总结解题思路与过程.知识点3：角平分线探究3：你能在∠AOC内找一条射线OB，使∠AOB =∠BOC吗？师生活动：教师提问，学生自主思考，教师巡堂指导，预测会有不同方法，教师可让这些学生代表分别展示，预测两种方法（如下）：对折法：生巩固角的和与差概念外，也使学生对这些特殊角的大小有直观的认识，培养对角的大小的估计能力和动手操作能力，加深学生对角的认识.设计意图：通过题目锻炼学生运算能力，初步学习几何语言在解题中的运用，体会几何与代数之间的联系与不同，加深学生的数形结合思想.设计意图：从角的和差问题中，将射线OB的位置特殊化，并类比线段的中点，引出角的平分线的概念，不仅知识的产生、发展自然连续，也体现了由一般到特殊，由特殊到一般的研究方法，同时，也能建立知识间的联系，完善认知结构.度量法：教师追问：同学们知道图中三个角的数量关系吗？学生思考，学生代表回答，师生共同总结与填空.教师再以此引出角平分线的定义.定义总结：师生活动：教师讲解，再让学生朗读定义，加深印象.类比：仿照角平分线的结论，你能写出角的三等分线的结论吗？师生活动：学生独立思考，由学生代表发言，教师予以适当评价，帮助学生正确规范完成几何书写.例2 把一个周角7等分，每一份是多少度的角（精确到分）？师生活动：学生独立思考，由学生代表发言，教师与学生共同完成板书：解：360°÷7 = 51°+ 3°÷7= 51°+ 180′÷7≈51°26′答：每份是51°26′的角.教师引导学生总结：注意度、分、秒是60进制的，要把剩余的度数化成分.设计意图：进一步明晰角平分线的概念，为后续学习轴对称和研究有关图形的翻折问题打下基础.设计意图：通过类比让学生学会举一反三，体会几何知识的关联性，巩固几何语言的书写.设计意图：通过题目帮助学生巩固角平分线的知识与角的运算，提高学生的识图能力和运算能力.又通过思考题启发学生思考其他可能性，建立分类讨论思想，养成严谨思考的习惯.三、当堂练习例3 如图OC是∠AOB的平分线，OB是∠COD的三等平分线，∠BOD = 15°.则∠AOB等于( )A. 75B. 70C. 65D. 60师生活动：学生独立思考，学生代表发言，教师适时评价与引导.思考：除此题所给图片的情况，你还能想出其他情况与答案吗？师生活动：学生独立思考，学生代表上台展示，教师予以评价与指导，得出另一种结果，∠AOB = 15°.三、当堂练习1. 比较大小：60°25′60.25°（填“>”，“<”或“=”）.2. 计算：(1) 180° - 98°24′30″(2) 62°24′17″×43. 如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，若∠AOB = 50°，∠DOE = 30°，那么∠BOD是多少度？设计意图：通过练习巩固角的大小比较.设计意图：通过练习巩固角度的运算.设计意图：通过练习强化试图能力和运算能力.板书设计角的比较与运算一、角的概念二、角的表示三、角的度量和单位教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.数形结合，培养识图能力。

新人教版七年级数学上册专题训练：角的计算(含答案)专题训练角的计算类型1 利用角度的和、差关系要求求解的角与已知角之间有和、差关系，可以利用角度和、差来计算。

1.如图，已知 $\angle AOC=\angle BOD=75°$，$\angle BOC=30°$，求 $\angle AOD$ 的度数。

解：因为 $\angle AOC=75°$，$\angle BOC=30°$，所以$\angle AOB=\angle AOC-\angle BOC=75°-30°=45°$。

又因为$\angle BOD=75°$，所以 $\angle AOD=\angle AOB+\angle BOD=45°+75°=120°$。

2.将一副三角板的两个顶点重叠放在一起（两个三角板中的锐角分别为45°、45°和30°、60°）。

1) 如图1所示，在此种情形下，当 $\angle DAC=4\angle BAD$ 时，求 $\angle CAE$ 的度数。

2) 如图2所示，在此种情形下，当 $\angle ACE=3\angle BCD$ 时，求 $\angle ACD$ 的度数。

解：(1) 因为 $\angle BAD+\angle DAC=90°$，$\angle DAC=4\angle BAD$，所以 $5\angle BAD=90°$，即 $\angle BAD=18°$。

所以 $\angle DAC=4\times18°=72°$。

因为 $\angle DAE=90°$，所以 $\angle CAE=\angle DAE-\angle DAC=18°$。

2) 因为 $\angle BCE=\angle DCE-\angle BCD=60°-\angle BCD$，$\angle ACE=3\angle BCD$，所以 $\angle ACB=\angle ACE+\angle BCE=3\angle BCD+60°-\angle BCD=90°$。

七年级数学角知识点总结在七年级的数学学习中，角是一个非常重要的知识点。

它既是其他几何概念的基础，也是后续学习的重要内容。

本文将对七年级数学角知识点作一总结。

一、角的概念角是由两条射线（即零点）共同确定的图形部分，其中一个射线是起始边（即始边），另一个射线是结束边（即终边）。

角的度数表示的是始边逆时针旋转到终边的度数大小。

二、角的分类1.锐角：度数小于90度的角。

2.直角：度数等于90度的角。

3.钝角：度数大于90度小于180度的角。

4.平角：度数等于180度的角。

三、角的要素1.零点：角的起始点。

2.始边：角的开始边。

3.终边：角的结束边。

4.内部点：位于角内部的点。

5.外部点：位于角外部的点。

四、角的度数计算1.弧度制：以单位圆的半径为一，圆心角所对的弧长为该角的弧度数。

即1弧度等于180度/π。

2.角度制：以90度为直角，180度为平角，360度为一周。

五、角的运算1.同角：具有相同终边的角。

2.补角：两个角的和为90度。

3.余角：两个角的和为180度。

4.对顶角：共享相同的零点，相互之间无直接关系的两个角，其度数相等。

5.相邻角：共享相同的零点和始边，终边指向各自角的两个角。

六、角的常用概念1.角平分线：将一个角平分成两个相等的角的射线，称为该角的平分线。

2.垂线：从一个点向一条直线竖直（垂直）地延伸出去的线段，称为该点到直线的垂线。

3.角平分线定理：在一个角内部，过角的顶点引一条角平分线，则该条角平分线所分割角的两个邻角为相等角。

4.垂线定理：在平面直角坐标系中，过一点作与坐标轴垂直的直线所截坐标轴成的两条线段的乘积相等，即一个点到直线的垂线上的两个线段长度乘积相等。

以上为七年级数学角知识点的主要内容，通过本文的阅读，相信同学们能够对角的概念、分类、要素、度数计算、运算等方面有了更深入的理解，为后续的几何学习打好基础。

七年级数学上册专题训练：角的计算(含答案)类型1利用角度的和、差关系找出待求的角与已知角的和、差关系，根据角度和、差来计算．1．如图所示，已知∠AOC＝∠BOD＝75°，∠BOC＝30°，求∠AOD的度数．解：因为∠AOC＝75°，∠BOC＝30°，所以∠AO B＝∠AOC－∠BOC＝75°－30°＝45°.又因为∠BOD＝75°，所以∠AOD＝∠AOB＋∠BOD＝45°＋75°＝120°.2．将一副三角板的两个顶点重叠放在一起．(两个三角板中的锐角分别为45°、45°和30°、60°)(1)如图1所示，在此种情形下，当∠DAC＝4∠BAD时，求∠CAE的度数；(2)如图2所示，在此种情形下，当∠ACE＝3∠BCD时，求∠ACD的度数．解：(1)因为∠BAD＋∠DA C＝90°，∠DAC＝4∠B AD，所以5∠BAD＝90°，即∠BAD＝18°.所以∠DAC＝4×18°＝72°.因为∠DAE＝90°，所以∠CAE＝∠DAE－∠DAC＝18°.(2)因为∠BCE＝∠DCE－∠BCD＝60°－∠BCD，∠ACE＝3∠BCD，所以∠ACB＝∠ACE＋∠BCE＝3∠BCD＋60°－∠BCD＝90°.解得∠BCD＝15°.所以∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝90°＋15°＝105°.类型2利用角平分线的性质角的平分线将角分成两个相等的角，利用角平分线的这个性质，再结合角的和、差关系进行计算．3．如图所示，点A，O，E在同一直线上，∠AOB＝40°，∠EOD＝28°46′，OD平分∠COE，求∠COB 的度数．解：因为∠EOD＝28°46′，OD 平分∠COE，所以∠COE＝2∠EOD＝2×28°46′＝57°32′. 又因为∠AOB＝40°，所以∠COB＝180°－∠AOB－∠COE＝180°－40°－57°32′＝82°28′.4．已知∠AOB＝40°，OD 是∠BOC 的平分线．(1)如图1所示，当∠AOB 与∠BOC 互补时，求∠COD 的度数；(2)如图2所示，当∠AOB 与∠BOC 互余时，求∠COD 的度数．解：(1)因为∠AOB 与∠BOC 互补，所以∠AOB＋∠BOC ＝180°.又因为∠AOB＝40°，所以∠BOC＝180°－40°＝140°.因为OD 是∠BOC 的平分线，所以∠COD＝12∠BOC＝70°. (2)因为∠AOB 与∠BOC 互余，所以∠AOB＋∠BOC＝90°.又因为∠AOB＝40°，所以∠BOC＝90°－40°＝50°.因为OD 是∠BOC 的平分线，所以∠COD＝12∠BOC＝25°.类型3 利用方程思想求解在解决有关余角、补角，角的比例关系或倍分关系问题时，常利用方程思想来求解，即通过设未知数，建立方程，通过解方程使问题得以解决．5．一个角的余角比它的补角的23还少40°，求这个角的度数． 解：设这个角的度数为x °，根据题意，得90－x ＝23(180－x)－40. 解得x ＝30.所以这个角的度数是30°.6．如图所示，已知∠AOE 是平角，∠DOE ＝20°，OB 平分∠AOC，且∠COD∶∠BOC＝2∶3，求∠BOC 的度数．解：设∠COD＝2x °，则∠BOC＝3x °.因为OB 平分∠AOC，所以∠AOB＝3x °.所以2x ＋3x ＋3x ＋20＝180.解得x ＝20.所以∠BOC＝3×20°＝60°.7．如图所示，已知∠AOB＝12∠BOC，∠COD ＝∠AOD＝3∠AOB ，求∠AOB 和∠COD 的度数．解：设∠AOB＝x °，则∠COD＝∠AOD＝3∠AOB＝3x °.因为∠AOB＝12∠BOC， 所以∠BOC＝2x °.所以3x ＋3x ＋2x ＋x ＝360.解得x ＝40.所以∠AOB＝40°，∠COD ＝120°.类型4 利用分类讨论思想求解在角度计算中，如题目中无图，或补全图形时，常需分类讨论，确保答案的完整性．8．已知∠AOB＝75°，∠AOC ＝23∠AOB，OD 平分∠AOC，求∠BOD 的大小． 解：因为∠AOB＝75°，∠AOC ＝23∠AOB， 所以∠AOC＝23×75°＝50°.因为O D 平分∠AOC，所以∠AOD＝∠COD＝25°.如图1，∠BOD ＝75°＋25°＝100°；如图2，∠BOD ＝75°－25°＝50°.9．已知：如图所示，OC 是∠AOB 的平分线．(1)当∠AOB＝60°时，求∠AOC 的度数；(2)在(1)的条件下，∠EOC ＝90°，请在图中补全图形，并求∠AOE 的度数；(3)当∠AOB＝α时，∠EOC ＝90°，直接写出∠AOE 的度数．(用含α的代数式表示)解：(1)因为OC 是∠AOB 的平分线，所以∠AOC＝12∠AOB. 因为∠AOB＝60°，所以∠AOC＝30°.(2)如图1，∠AOE ＝∠EOC＋∠AOC＝90°＋30°＝120°；如图2，∠AOE ＝∠EOC－∠AOC＝90°－30°＝60°.(3)90°＋α2 或90°－α2.专题训练 整式的加减运算计算：(1)(钦南期末)a 2b ＋3ab 2－a 2b ；解：原式＝3ab 2.(2)2(a －1)－(2a －3)＋3；解：原式＝4.(3)2(2a 2＋9b)＋3(－5a 2－4b)；解：原式＝－11a 2＋6b.(4)3(x 3＋2x 2－1)－(3x 3＋4x 2－2)；解：原式＝2x 2－1.(5)(钦南期末)(2x 2－12＋3x)－4(x －x 2＋12)； 解：原式＝2x 2－12＋3x －4x ＋4x 2－2 ＝6x 2－x －52.(6)3(x2－x2y－2x2y2)－2(－x2＋2x2y－3)；解：原式＝3x2－3x2y－6x2y2＋2x2－4x2y＋6＝5x2－7x2y－6x2y2＋6.(7)－(2x2＋3xy－1)＋(3x2－3xy＋x－3)；解：原式＝－2x2－3xy＋1＋3x2－3xy＋x－3＝x2－6xy＋x－2.(8)(4ab－b2)－2(a2＋2ab－b2)；解：原式＝4ab－b2－2a2－4ab＋2b2＝－2a2＋b2.(9)－3(2x2－xy)＋4(x2＋xy－6)；解：原式＝－6x2＋3xy＋4x2＋4xy－24＝－2x2＋7xy－24.(10)(钦州期中)2a2－[－5ab＋(ab－a2)]－2ab. 解：原式＝2a2＋5ab－ab＋a2－2ab＝3a2＋2ab.。

一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列各对角中，互为补角的是（）A. 30°和60°B. 45°和135°C. 90°和180°D. 120°和60°2. 在一个直角三角形中，若一个锐角的度数是45°，则另一个锐角的度数是（）A. 45°B. 90°C. 135°D. 180°3. 若∠A和∠B是补角，∠A的度数是x，则∠B的度数是（）A. 90°-xB. 180°-xC. 360°-xD. 270°-x4. 一个圆的圆心角是360°，则这个圆心角所对的弧的度数是（）A. 360°B. 180°C. 90°D. 30°5. 在一个等腰三角形中，底角的度数是40°，则顶角的度数是（）A. 40°B. 80°C. 100°D. 120°6. 下列各对角中，互为对顶角的是（）A. 30°和150°B. 45°和135°C. 90°和180°D. 120°和60°7. 若∠A和∠B是相邻补角，∠A的度数是x，则∠B的度数是（）A. 90°-xB. 180°-xC. 360°-xD. 270°-x8. 一个圆的周角是（）A. 360°B. 180°C. 90°D. 45°9. 在一个等边三角形中，每个内角的度数是（）A. 60°B. 90°C. 120°D. 180°10. 下列各对角中，互为补角的是（）A. 30°和60°B. 45°和135°C. 90°和180°D. 120°和60°二、填空题（每题2分，共20分）11. 两个锐角相加，和为90°，则这两个锐角互为（）；两个锐角相加，和为180°，则这两个锐角互为（）。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！专题13 角综合运算（知识大串讲）【知识点梳理】考点1 角的概念1．角的定义：（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O ，边是射线OA 、OB ．（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA 绕它的端点O 旋转到OB 的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA 是角的始边，终止位置OB 是角的终边．注意：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．（2）平角与周角：如图1所示射线OA 绕点O 旋转，当终止位置OB 和起始位置OA 成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB 和OA 重合时，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：注意：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．3.角的画法（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．图1图2（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．考点2 角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的160为1分，记作“1′”，1′的160为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．注意：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位．考点3 钟表上有关夹角问题钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．考点4 方位角在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．注意：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示．（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ．（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向．（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．考点5 角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =12∠AOB．注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．考点6 角的运算如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．注意：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．考点7 角的比较角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．考点8 余角（1）定义：一般地，如果两个角的和等于90°（直角），我们就说这两个角互为余角，称其中的一个角是另一个角的余角．（2）余角的性质：同角(等角)的余角相等．（3）数学语言表示：若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互余，若∠1与∠2互余，则∠1+∠2=90°.考点9 补角（1）定义：一般地，如果两个角的和等于180°（平角），我们就说这两个角互为补角，称其中一个角是另一个角的补角．（2）补角的性质：同角（等角）的补角相等．（3）数学语言表示：若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互补，若∠1与∠2互补，则∠1+∠2=180°.【典例分析】【考点1 度分秒换算】1．用度、分、秒表示20.21°为（ ）A．20°12'B．20°21'C．20°12'36″D．20°21″【答案】C【解答】解：∵1°＝60′，1′＝60″，∴0.21°＝0.21×60'＝12.6'，0.6'＝0.6×60''＝36''，∴20.21°＝20°12'36''，故选：C．2．若∠A＝20°18′，∠B＝20°15′30″，∠C＝20.25°，则（ ）A．∠A＞∠B＞∠C B．∠B＞∠A＞∠C C．∠A＞∠C＞∠B D．∠C＞∠A＞∠B 【答案】A【解答】解：∵∠A＝20°18′，∠B＝20°15′30″，∠C＝20.25°＝20°15′，∴∠A＞∠B＞∠C．故选：A．3．把15°30′化成度的形式，则15°30′＝ 度．【答案】15.5【解答】解：∵30′＝0.5度，∴15°30′＝15.5度；故答案为：15.5．4．计算：15°37′+42°51′＝ ．【答案】58°28′【解答】解：∵37+51＝88，∴15°37′+42°51′＝58°28′．故答案为：58°28′．5．计算：50°﹣15°30′＝ ．【答案】34°30′【解答】解：原式＝49°60′﹣15°30′＝34°30′．故答案为：34°30′．【考点2角的概念】6．下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：A、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；B、图中的∠1和∠AOB不是表示同一个角，故本选项错误；C、图中的∠1和∠AOB不是表示同一个角，故本选项错误；D、图中∠1、∠AOB、∠O表示同一个角，故本选项正确；故选：D．7．下列结论正确的是（ ）A．直线比射线长B．过两点有且只有一条直线C．过三点一定能作三条直线D．一条直线就是一个平角【答案】B【解答】解：A、直线和射线长都没有长度，错误；B、过两点有且只有一条直线，是公理，正确；C、过三点不一定能作三条直线，如果三点共线就只能做一条，错误；D、直线不是角，是两个不同的概念，错误．故选：B．8．用量角器测得∠MON的度数，下列操作正确的是（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：量角器的圆心一定要与O重合，故选：C．【考点3 钟面角】9．在时刻8：30，时钟上的时针和分针之间的夹角为（ ）A．85°B．75°C．70°D．60°【答案】B【解答】解：8：30，时针指向8与9之间，分针指向6，钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，∴此时刻分针与时针的夹角正好是2×30°+15°＝75°．故选：B．10．9时45分时，时钟的时针与分针的夹角是 ．【答案】22.5°【解答】解：∵9点45分时，分针指向9，时针在指向9与10之间，∴时针45分钟转过的角度即为9时45分时，时钟的时针与分针的夹角度数，即0.5°×45＝22.5°．故答案为22.5°．11．由2点15分到2点30分，时钟的分针转过的角度是 度．【答案】90【解答】解：∵钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，∴从2点15分到2点30分分针转过了三份，转过的角度为90度．【考点4 方位角】12．在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54°的方向，同时轮船B在南偏东15°的方向，那么∠AOB的大小为（ ）A．69°B．111°C．141°D．159°【答案】C【解答】解：由题意得：∠1＝54°，∠2＝15°，∠3＝90°﹣54°＝36°，∠AOB＝36°+90°+15°＝141°，故选：C．13．一个人从A点出发向北偏东60°的方向走到B点，再从B出发向南偏西15°方向走到C点，那么∠ABC等于（ ）A．75°B．105°C．45°D．135°【答案】C【解答】解：从图中发现∠ABC等于60°﹣15°＝45°．故选C．14．已知：岛P位于岛Q的正西方，由岛P，Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，符合条件的示意图是（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：根据岛P，Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，故D符合．故选：D．15．学校，电影院，公园在平面图上的标点分别是A，B，C，电影院在学校的正东方向，公园在学校的南偏西25°方向，那么平面图上的∠CAB等于（ ）A．115°B．155°C．25°D．65°【答案】A【解答】解：从图中发现平面图上的∠CAB＝∠1+∠2＝115°．故选A．16．如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为（ ）A．北偏东30°B．北偏东80°C．北偏西30°D．北偏西50°【答案】A【解答】解：如图，AP∥BC，∴∠2＝∠1＝50°．∠3＝∠4﹣∠2＝80°﹣50°＝30°，此时的航行方向为北偏东30°，故选：A．【考点5 角平分线及有关运算】17．一副三角板不能画出角的度数为（ ）A．15°B．75°C．165°D．175°【答案】D【解答】解：∵三角板包含的角度有30°，45°，60°，90°，A．60°﹣45°＝15°，能画出．B．30°+45°＝75°，能画出．C．90°+30°+45°＝165°，能画出．D．175°无法用三角板中的角度拼出．故选：D．18．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于O，则∠AOC+∠DOB＝（ ）A．90°B．120°C．160°D．180°【答案】D【解答】解：设∠AOD＝a，∠AOC＝90°+a，∠BOD＝90°﹣a，所以∠AOC+∠BOD＝90°+a+90°﹣a＝180°．故选：D．19．把两块三角板按如图所示那样拼在一起，则∠ABC等于（ ）A．70°B．90°C．105°D．120°【答案】D【解答】解：∠ABC＝30°+90°＝120°．故选：D．20．如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如果∠AOB＝40°，∠COE ＝60°，则∠BOD的度数为（ ）A．50°B．60°C．65°D．70°【答案】D【解答】解：∵OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，∠AOB＝40°，∠COE＝60°，∴∠BOC＝∠AOB＝40°，∠COD＝∠COE＝×60°＝30°，∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝40°+30°＝70°．故选：D．21．已知∠AOB＝20°，∠AOC＝4∠AOB，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD 的度数是（ ）A．20°或50°B．20°或60°C．30°或50°D．30°或60°【答案】C【解答】解：分为两种情况：如图1，当∠AOB在∠AOC内部时，∵∠AOB＝20°，∠AOC＝4∠AOB，∴∠AOC＝80°，∵OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，∴∠AOD＝∠BOD＝∠AOB＝10°，∠AOM＝∠COM＝∠AOC＝40°，∴∠DOM＝∠AOM﹣∠AOD＝40°﹣10°＝30°；如图2，当∠AOB在∠AOC外部时，∠DOM＝∠AOM+∠AOD＝40°+10°＝50°；故选：C．22．如图所示，将一张长方形纸的一角斜折过去，使顶点A落在A′处，BC为折痕，如果BD为∠A′BE的平分线，则∠CBD＝（ ）A．80°B．90°C．100°D．70°【答案】B【解答】解：因为将顶点A折叠落在A′处，所以∠ABC＝∠A′BC，又因为BD为∠A′BE的平分线，所以∠A′BD＝∠DBE，因为∠ABC+∠A′BC+∠A′BD+∠DBE＝180°，∴2∠A′BC+2∠A′BD＝180°，所以∠CBD＝∠A′BC+∠A′BD＝90°．故选：B．23．如图所示，两块三角板的直角顶点O重叠在一起，且OB恰好平分∠COD，则∠AOD的度数是 度．【答案】135【解答】解：∵OB平分∠COD，∴∠COB＝∠BOD＝45°，∵∠AOB＝90°，∴∠AOC＝45°，∴∠AOD＝135°．故答案为：135．24．如图所示，点O是直线AB上的点，OC平分∠AOD，∠BOD＝30°，则∠AOC＝ 度．【答案】75【解答】解：∵∠BOD＝30°，∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝180°﹣30°＝150°，∵OC平分∠AOD，∴∠AOC＝∠AOD＝75°．故答案为75°．25．将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图的位置，若∠AOD＝110°，则∠COB＝　度．【答案】70　【解答】解：由题意可得∠AOB+∠COD＝180°，又∠AOB+∠COD＝∠AOC+2∠COB+∠BOD＝∠AOD+∠COB，∵∠AOD＝110°，∴∠COB＝70°．故答案为：70．26．如图，∠AOB＝∠COD＝90°，OC平分∠AOB，∠BOD＝3∠DOE．试求∠COE的度数．【解答】解：∵∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，∴∠BOC＝∠AOB＝45°，∵∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣45°＝45°，∠BOD＝3∠DOE，∴∠DOE＝15°，∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝90°﹣15°＝75°，故答案为75°．27．如图所示，OE，OD分别平分∠AOB和∠BOC，且∠AOB＝90°；（1）如果∠BOC＝40°，求∠EOD的度数；（2）如果∠EOD＝70°，求∠BOC的度数．【解答】解：（1）根据题意：∵OE，OD分别平分∠AOB和∠BOC，且∠AOB＝90°，∴∠EOB＝∠AOB＝×90°＝45°∠BOD＝∠BOC＝×40°＝20°所以：∠EOD＝∠EOB+∠BOD＝65°；（2）根据题意：∠EOB＝∠AOB＝×90°＝45°∠BOD＝∠EOD﹣∠EOB＝70°﹣45°＝25°所以：∠BOC＝2∠BOD＝50°．故答案为65°、50°．【考点6 角的大小比较】28．若∠1＝50°5'，∠2＝50.5°，则∠1与∠2的大小关系是（ ）A．∠1＝∠2B．∠2＞∠1C．∠1＞∠2D．无法确定【答案】B【解答】解：50.5°＝50°30′，则∠1＜∠2．故选：B．29．如图．∠AOB＝∠COD，则（ ）A．∠1＞∠2B．∠1＝∠2C．∠1＜∠2D．∠1与∠2的大小无法比较【答案】B【解答】解：∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB﹣∠BOD＝∠COD﹣∠BOD，∴∠1＝∠2；故选：B．30．已知∠α＝39°18′，∠β＝39.18°，∠γ＝39.3°，下面结论正确的是（ ）A．∠α＜∠γ＜∠βB．∠γ＞∠α＝∠βC．∠α＝∠γ＞∠βD．∠γ＜∠α＜∠β【答案】C【解答】解：∵∠α＝39°18′＝39.3°，39.18°＜39.3°，∴∠α＝∠γ＞∠β．故选：C．31．如图，用三角板比较∠A与∠B的大小，其中正确的是（ ）A．∠A＞∠B B．∠A＜∠BC．∠A＝∠B D．没有量角器，无法确定【答案】B【解答】解：由图可得，∠A＜45°，∠B＞45°，∴∠A＜∠B，故选：B．32．如图所示的网格是正方形网格，∠ABC ∠DEF（填“＞”，“＝”或“＜”）【答案】＞【解答】解：由图可得，∠ABC＝45°，∠DEF＜45°，∴∠ABC＞∠DEF，故答案为：＞．【考点7 余角的性质】33．一个角的度数是20°，则这个角的余角是（ ）A．20°B．30°C．60°D．70°【答案】D【解答】解：一个角的度数是20°，则这个角的余角是90°﹣20°＝70°，故选：D．34．如图，点O在直线AB上，∠COB＝∠EOD＝90°，下列说法错误的是（ ）A．∠1＝∠2相等B．∠AOE与∠2互余C．∠AOD与∠1互补D．∠AOD与∠COD互补【答案】D【解答】解：∵∠COB＝∠EOD＝90°，∴∠1+∠COD＝∠2+∠COD＝90°，∴∠1＝∠2，故A选项正确；∵∠AOE+∠1＝90°，∴∠AOE+∠2＝90°，即∠AOE与∠2互余，故B选项正确；∵∠COB＝90°，∵∠AOD+∠2＝180°，∵∠1＝∠2，∴∠AOD+∠1＝180°，即∠AOD与∠1互补，故C选项正确；无法判断∠AOD与∠COD是否互余，D选项错误；故选：D．35．如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角的度数是（ ）A．30°B．60°C．90°D．120°【答案】B【解答】解：180°﹣150°＝30°，那么这个角的余角的度数是90°﹣30°＝60°．故选B．36．将一副三角板按如图所示位置摆放，其中∠α与∠β一定互余的是（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：A、∠α与∠β不互余，故本选项错误；B、∠α与∠β不互余，故本选项错误；C、∠α与∠β互余，故本选项正确；D、∠α与∠β不互余，∠α和∠β互补，故本选项错误；故选：C．37．如果∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的余角的式子中：①90°﹣∠β；②∠α﹣90°；③（∠α+∠β）；④（∠α﹣∠β）．正确的有（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【解答】解：∵∠α和∠β互补，∴∠α+∠β＝180°．因为90°﹣∠β+∠β＝90°，所以①正确；又∠α﹣90°+∠β＝∠α+∠β﹣90°＝180°﹣90°＝90°，②也正确；（∠α+∠β）+∠β＝×180°+∠β＝90°+∠β≠90°，所以③错误；（∠α﹣∠β）+∠β＝（∠α+∠β）＝×180°＝90°，所以④正确．综上可知，①②④均正确．故选：B．38．已知∠α与∠β互余，且∠α＝35°18′，则∠β＝ ° ′．【答案】54,42【解答】解“∠β＝90°﹣∠α＝90°﹣35°18′＝54°42′．【考点8 补角的性质】39．若∠α＝30°，则∠α的补角是（ ）A．30°B．60°C．120°D．150°【答案】D【解答】解：180°﹣30°＝150°．故选：D．40．若∠α+∠β＝90°，∠β+∠γ＝90°，则∠α与∠γ的关系是（ ）A．互余B．互补C．相等D．∠α＝90°+∠γ【答案】C【解答】解：已知∠α+∠β＝90°（1），∠β+∠γ＝90°（2），（1）﹣（2）得，∠α＝∠γ．故选：C．41．若两个角互补，且度数之比为3：2，求较大角度数为 ．【答案】108°【解答】解：因为两个角的度数之比为3：2，所以设这两个角的度数分别为（3x）°和（2x）°．根据题意，列方程，得3x+2x＝180，解这个方程，得x＝36，所以3x＝108．即较大角度数为108°．故答案为108°．【考点9 利用补角和余角计算求值】42．一个角的余角比它的补角的还少40°，则这个角的度数为 度．【答案】30【解答】解：设这个角是α，根据题意可得：90°﹣α＝（180°﹣α）﹣40°，解可得α＝30°．43．一个角的补角加上10°后，等于这个角的余角的3倍，则这个角＝ °．【答案】40【解答】解：设这个角为∠α，依题意，得180°﹣∠α+10°＝3（90°﹣∠α）解得∠α＝40°．故答案为40．44．一个角的余角比它的补角的还少20°，求这个角．【解答】解：设这个角为x，则它的余角为（90°﹣x），补角为（180°﹣x），根据题意可，得90°﹣x＝（180°﹣x）﹣20°，解得x＝75°．故答案为75°．【考点10 补角、余角和角平分线综合运算】45．如图，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．若∠BOC＝70°，∠AOC＝50°．（1）求出∠AOB及其补角的度数；（2）请求出∠DOC和∠AOE的度数，并判断∠DOE与∠AOB是否互补，并说明理由．【解答】解：（1）∠AOB＝∠BOC+∠AOC＝70°+50°＝120°，其补角为180°﹣∠AOB＝180°﹣120°＝60°；（2）∠DOC＝×∠BOC＝×70°＝35°∠AOE＝×∠AOC＝×50°＝25°．∠DOE与∠AOB互补，理由：∵∠DOE＝∠DOC+∠COE＝35°+25°＝60°，∴∠DOE+∠AOB＝60°+120°＝180°，故∠DOE与∠AOB互补．46．如图，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．（1）判断∠ACE与∠BCD的大小关系，并说明理由；（2）若∠DCE＝30°，求∠ACB的度数；（3）猜想：∠ACB与∠DCE有怎样的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）∠ACE＝∠BCD，理由如下：∵∠ACE+∠DCE＝90°，∠BCD+∠DCE＝90°，∴∠ACE＝∠BCD；（2）由余角的定义，得∠ACE＝90°﹣∠DCE＝90°﹣30°＝60°，由角的和差，得∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝60°+90°＝150°；（3）∠ACB+∠DCE＝180°，理由如下：由角的和差，得∠ACB＝∠BCE+∠ACE，∠ACB+∠DCE＝∠BCE+（∠ACE+DCE）＝∠BCE+∠ACE＝180°．47．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝110°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处（∠OMN＝30°），一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．求∠BON的度数．（2）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为　11或47　（直接写出结果）．（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM 与∠NOC的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）如图2，∵OM平分∠BOC，∴∠MOC＝∠MOB，又∵∠BOC＝110°，∴∠MOB＝55°，∵∠MON＝90°，∴∠BON＝∠MON﹣∠MOB＝35°；（2）分两种情况：①如图2，∵∠BOC＝110°∴∠AOC＝70°，当直线ON恰好平分锐角∠AOC时，∠AOD＝∠COD＝35°，∴∠BON＝35°，∠BOM＝55°，即逆时针旋转的角度为55°，由题意得，5t＝55°解得t＝11；②如图3，当NO平分∠AOC时，∠NOA＝35°，∴∠AOM＝55°，即逆时针旋转的角度为：180°+55°＝235°，由题意得，5t＝235°，解得t＝47，综上所述，t＝11s或47s时，直线ON恰好平分锐角∠AOC；故答案为：11或47；（3）∠AOM﹣∠NOC＝20°．理由：∵∠MON＝90°，∠AOC＝70°，∴∠AOM＝90°﹣∠AON，∠NOC＝70°﹣∠AON，∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（70°﹣∠AON）＝20°，∴∠AOM与∠NOC的数量关系为：∠AOM﹣∠NOC＝20°．。

七年级数学上册几角的比较与运算练习题（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．用度、分、秒表示91.34︒为（ ）A ．9120'24''︒B ．9134'︒C ．9120'4''︒D ．913'4''︒2．如图，下列各式中错误的是（ ）A ．∠AOC ＝∠1＋∠2B ．∠AOC ＝∠AOD －∠3 C ．∠1＋∠2＝∠3 D ．∠AOD －∠1－∠3＝∠23．如图所示，//CD AB ，OE 平分∠AOD ，80EOF ∠=︒，60D ∠=︒，则∠BOF 为（ ）A ．35︒B ．40︒C ．25︒D ．20︒4．若110AOC ∠=︒，OB 在AOC ∠内部，OM 、ON 分别平分AOC ∠和AOB ∠，若23MON ∠=︒，则AOB ∠度数为（ ）．A ．43.5︒B ．46︒C ．64︒D ．87︒5．如图，D 、E 分别为ABC 的边AB 、AC 的中点，连接DE ，过点B 作BF 平分ABC ∠，交DE 于点F ，若4EF =，7AD =，则BC 的长为（ ）A ．22B ．20C ．18D ．166．如图，O 是直线AD 上一点，射线,OC OE 分别平分,AOB BOD ∠∠，则COE ∠的大小为（ ）A ．120°B ．60°C ．90°D ．150°7．如图，在22⨯的正方格中，连接AB 、AC 、AD ，则图中1∠、2∠、3∠的和（ ）．A ．必为锐角B ．必为直角C ．必为钝角D ．可能是锐角、直角或钝角 8．已知∠A =20°18′，∠B =20°15′30″，∠C =20.25°，则度数最大的是( )A ．∠AB ．∠BC ．∠CD ．无法确定9．下列说法正确的个数是（ ）（1）连接两点之间的线段叫两点间的距离；（2）木匠师傅锯木料时，一般先在模板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，这样做的原理是：两点之间，线段最短；（3）若AB=2CB ，则点C 是AB 的中点；（4）若∠A=20°18′．∠B=20°28″，∠C=20.25°，则有∠A ＞∠C ＞∠B ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．已知2,AOB BOC ∠=∠若30,BOC ∠=则AOC ∠等于（ ）A ．90B ．120或60C ．30D ．30或9011．把一副三角板ABC 与BDE 按如图所示的方式拼接在一起，其中A 、D 、B 三点在同一条直线上，BM 为∠ABC 的角平分线，BN 为∠CBE 的角平分线．下列结论∠∠MBN =45o ，∠∠BNE =∠BMC ，∠∠EBN =65o ，∠2∠NBD =∠CBM ，其中结论正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．如图，已知BM 平分∠ABC ，且BM //AD ，若∠ABC ＝70°，则∠A 的度数是（）A ．30°B ．35°C ．40°D ．70°二、填空题13．3242'︒=______°．14．下图所示的网格是正方形网格，BAC ∠________DAE ∠．（填“>”，“=”或“<”）15．如图，OC 是AOB ∠的平分线，13BOD COD ∠=∠，15BOD ∠=︒，则COD ∠=_____，BOC ∠=______，AOB ∠=______．16．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，正三角形OEF 绕点O 旋转．在旋转过程中，当AE =BF 时，∠AOE 的大小是__________．三、解答题17．如图，O 是直线AB 上一点，OC 是AOB ∠的平分线，3128COD '∠=︒，求AOD ∠的度数．18．如图，直线,EF CD 相交于点,,O OA OB OC ⊥平分AOF ∠．（1）若40AOE ∠=︒，求∠BOD 的度数；（2）若30BOE ∠=︒，求∠DOE 的度数．19．如图1，四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，∠BCE 与∠BEC 互余，过点E 作EF CD ，交AD 于点F ．(1)若EF ∠CE ，求证：∠AEF ＝∠BCE ；(2)如图2，EG 平分∠BEC 交DC 延长线于点G ，∠BCD +∠ECD ＝180°．点H 在FD 上，连接EH ，CH ，∠AHE +∠BCH ＝90°．当∠D +∠AEF ＝2∠G 时，判断线段CH 与CE 的大小关系，并说明理由．20．已知OC 是AOB ∠内部的一条射线，M ，N 分别为OA ，OC 上的点，线段OM ，ON 同时分别以30/s ︒，10/s ︒的速度绕点O 逆时针转动，设转动时间为s t ．（1）如图（1），若120AOB ∠=︒，OM ，ON 逆时针转动到OM '，ON '处．∠若OM ，ON 的转动时间t 为2，则BON COM ''∠+∠=________；∠若OM '平分AOC ∠，ON '平分BOC ∠，求M ON ''∠的值．（2）如图（2），若4AOB BOC ∠=∠，当OM ，ON 分别在AOC ∠，BOC ∠内部转动时，请猜想COM ∠与BON ∠的数量关系，并说明理由．参考答案：1．A【分析】根据度分秒的进率''"160,160︒==把度可化为分和秒的形式即得．【详解】由度分秒的进率可得''"'"91.34910.346091200.460912024︒=︒+⨯=︒+⨯=︒故选：A.【点睛】考查了度分秒的进率关系式，注意相邻两个单位的进率是60，熟记进率关系式是解题的关键． 2．C【分析】结合图形根据角的和差关系逐项作出判断即可求解．【详解】解：A. ∠AOC ＝∠1＋∠2，判断正确，不合题意；B. ∠AOC ＝∠AOD －∠3，判断正确，不合题意；C. ∠1＋∠2＝∠AOC ，∠AOC 与∠3不一定相等，判断错误，符合题意；D. ∠AOD －∠1－∠3＝∠2判断正确，不合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了根据图形确定角的和差关系，理解题意并结合图形作出判断是解题关键．3．B【分析】由平行线的性质和角平分线的定义，求出60BOD D ∠=∠=︒，20DOF ∠=︒，然后即可求出∠BOF 的度数．【详解】解：∠//CD AB ，60D ∠=︒∠60BOD D ∠=∠=︒，18060120AOD ∠=︒-︒=︒，∠OE 平分∠AOD ， ∠1120602DOE ∠=⨯︒=︒， ∠806020DOF EOF DOE ∠=∠-∠=︒-︒=︒；∠602040BOF BOD DOF ∠=∠-∠=︒-︒=︒；故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，以及角的和差关系，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的求出角的度数．4．C【分析】首先根据AOC ∠的度数和OM 平分AOC ∠求出AOM ∠的度数，然后可求出AON ∠的度数，最后根据ON 平分AOB ∠即可求出AOB ∠的度数．【详解】如图所示，∠110AOC ∠=︒，OM 平分AOC ∠， ∠1552AOM AOC ∠=∠=︒，∠=552332AON AOM MON ∠∠-∠=︒-︒=︒，∠ON 平分AOB ∠，∠264AOB AON ∠=∠=︒．故选：C ．【点睛】此题考查了角平分线的概念和求角度问题，解题的关键是根据角平分线的概念求出AOM ∠的度数．5．A【分析】根据角平分线，平行线和等腰三角形的性质可求出线段DE 的长度，进一步根据中位线的性质即可求出BC 的长．【详解】解：D ，E 为AB ，AC 中点，AD =7， //DE BC ∴，且12DE BC =，AD =BD=7 DFB FBC ∴∠=∠， 又BF 平分ABC ∠，DBF FBC ∴∠=∠，即DFB DBF ∠=∠，7DF BD ∴==，则7411DE DF FE =+=+=，222BC DE ∴==．故选：A ．【点睛】此题考查了角平分线，平行线，等腰三角形，三角形中位线的性质，熟练运用角平分线，平行线，等腰三角形，三角形中位线的性质是解题的关键．6．C【分析】根据平角的概念结合角平分线的定义列式求解．【详解】解：∠O 是直线AD 上一点∠180AOD ∠=︒∠射线,OC OE 分别平分,AOB BOD ∠∠ ∠12COB AOB ∠=∠，12EOB BOD ∠=∠ ∠1111=()902222COE COB EOB AOB BOD AOB BOD AOD ∠∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒ 故选：C ．【点睛】本题考查平角及角平分线的概念，正确理解相关概念列出角的和差关系是解题关键．7．C【分析】标注字母如图所示，正方格，将正方格沿AC 对折，可得∠1=∠HDA ,可求∠3+∠1=90°，可得1∠+2∠+3∠＞90°即可．【详解】解：标注字母如图所示，∠正方格，将正方格沿AC 对折，∠∠1=∠HDA ,∠∠3+∠1=∠3+∠HDA =90°，∠1∠+2∠+3∠＞90°∠图中1∠、2∠、3∠的和是钝角．故选择C ．【点睛】本题考查网格中的角度问题，掌握正方形网格的边有平行，将角转化∠1=∠HDA ，求出∠3+∠1=90°是解题关键．8．A【分析】将∠A 、∠B 、∠C 统一单位后比较即可．【详解】∠∠A =20°18′，∠B =20°15′30″，∠∠A >∠B ，∠∠C =20.25°=20°15′，∠∠A >∠C ，则度数最大的是∠A ．故选A ．【点睛】本题考查了度、分、秒的转化计算，解决这类题目的基本思路是把各个角的度数统一单位后再比较大小．9．A【分析】根据两点之间的距离的定义，线段的中点的定义以及角的比较即可作出判断．【详解】（1）连接两点之间的线段的长度叫两点间的距离，错误；（2）木匠师傅锯木料时，一般先在模板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，这样做的原理是：两点确定一条直线，错误；（3）当C 在线段AB 上，且AB=2CB 时，点C 是AB 的中点，当C 不在线段AB 上时，则不是中点，故命题错误；（4）若∠A=20°18′．∠B=20°28″，∠C=20.25°，则有∠A ＞∠C ＞∠B ，正确；所以有1个正确.故选A ．【点睛】考查了两点之间的距离、线段中点的定义、以及角的大小的比较，正确理解定义是关键． 10．D【分析】可分两种情况讨论：当射线OB 在AOC ∠中时，当射线OC 在AOB ∠中时，分别求出结果即可．【详解】解：如图1，当射线OB 在AOC ∠中时，2AOB BOC ，30BOC ∠=︒，60AOB ∴∠=︒，90AOC AOB BOC ∴∠=∠+∠=︒，如图2，当射线OC 在AOB ∠中时，2AOB BOC ，30BOC ∠=︒，60AOB ∴∠=︒，30AOC AOB BOC ．故选：D ．【点睛】本题是角的加减运算，能分两种情况讨论是解题的关键．11．C【分析】根据三角板中角的度数及角平分线的概念逐个进行分析判断．【详解】解：由题意可得：90EBD ∠=︒，60ABC ∠=︒，∠150EBC EBD ABC ∠=∠+∠=︒，∠BM 为∠ABC 的角平分线，BN 为∠CBE 的角平分线， ∠1302CBM ABC ∠=∠=︒，1752NBC EBN EBC ∠=∠=∠=︒，故∠错误； ∠∠MBN =NBC CBM ∠-∠=45o ，故∠正确；∠BNE =180°-E EBN ∠-∠=60°，∠BMC =90°-CBM ∠=60°，∠∠BNE =∠BMC ，故∠正确；9015NBD EBN ∠=︒-∠=︒，∠2∠NBD =∠CBM ，故∠正确；正确的是∠∠∠，共3个，故选：C ．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，利用角平分线的定义计算角的度数是解答此题的关键． 12．B【分析】先根据角平分线的性质，求出∠ABC 的度数，再由平行线的性质得到∠A 的度数．【详解】解：∠BM 平分∠ABC ，∠∠MBA ＝12∠ABC ＝35°．∠BM ∠AD ，∠∠A ＝∠MBA ＝35°．故选：B ．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键．13．32.7 【分析】根据42324232+()60'︒=︒︒解答． 【详解】解：42324232+()32+0.732.760'︒=︒︒=︒︒=︒ 故答案为：32.7．【点睛】本题考查角、度的换算，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．14．>【分析】构造等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可进行比较大小.【详解】解：如下图所示，AFG 是等腰直角三角形，∠45FAG BAC ∠=∠=︒，∠BAC DAE ∠>∠．故答案为.>另：此题也可直接测量得到结果．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，构造等腰直角三角形是解题的关键.15． 45︒ 30 60︒【分析】根据13BOD COD ∠=∠，15BOD ∠=︒可求出COD ∠的度数，COD BOD ∠-∠即可求BOC ∠的度数，然后根据OC 是AOB ∠的平分线即可求出AOB ∠的度数．【详解】∠13BOD COD ∠=∠，15BOD ∠=︒， ∠345COD BOD ∠=∠=︒；∠451530BOC COD BOD ∠=∠-∠=︒-︒=︒；∠OC 是AOB ∠的平分线，∠260AOB BOC ∠=∠=︒．故答案为：45︒；30；60︒．【点睛】此题考查了角平分线的概念，角度之间的数量关系，解题的关键是熟练掌握角平分线的概念，角度之间的数量关系．16．15°或165°【详解】分情况讨论：（1）如图（1），连接AE 、BF ．∠四边形ABCD 为正方形，∠OA ＝OB ，∠AOB ＝90°． ∠∠OEF 为等边三角形，∠OE ＝OF ，∠EOF ＝60°．∠在∠OAE 和∠OBF 中，,{,,OA OB OE OF AE BF ===∠∠OAE∠∠OBF （SSS ）， ∠1(9060)152AOE BOF ∠=∠=⨯︒-︒=︒． （2）如图（2），连接AE 、BF ．∠在∠AOE 和∠BOF 中，,{,,OA OB OE OF AE BF ===∠∠AOE∠∠BOF （SSS ），∠∠AOE ＝∠BOF ，∠∠DOF ＝∠COE ， ∠1(9060)152COE ∠=⨯︒-︒=︒，∠∠AOE ＝180°－15°＝165°． 综上，∠AOE 的大小为15°或165°．17．5832'︒．【分析】首先根据O 是直线AB 上一点，OC 是AOB ∠的平分线，求出AOC ∠的度数是90°；然后根据AOD AOC COD ∠=∠-∠即可求出AOD ∠的度数．【详解】解：∠O 是直线AB 上一点，OC 是AOB ∠的平分线，∠180290AOC ∠=÷=，∠3128COD '∠=，∠9031285832AOD AOC COD ''∠=∠-∠=-=．【点睛】此题主要考查了角平分线的定义和角度的计算，要熟练掌握，解答此题的关键是清楚角平分线的定义．18．（1）20°；（2）60°【分析】（1）先求出∠AOF=140°，然后根据角平分线的定义求出∠AOC=70°，再由垂线的定义得到∠AOB=90°，则∠BOD=180°-∠AOB-∠AOC=20°；（2）先求出∠AOE=60°，从而得到∠AOF=120°，根据角平分线的性质得到∠AOC =60°，则∠COE=∠AOE+∠AOC=120°，∠DOE=180°-∠COE=60°．【详解】解：（1）∠∠AOE=40°，∠∠AOF=180°-∠AOE=140°，∠OC平分∠AOF，∠∠AOC=1∠AOF=70°，2∠OA∠OB，∠∠AOB=90°，∠∠BOD=180°-∠AOB-∠AOC=20°；（2）∠∠BOE=30°，OA∠OB，∠∠AOE=60°，∠∠AOF=180°-∠AOE=120°，∠OC 平分∠AOF ，∠∠AOC =12∠AOF =60°，∠∠COE =∠AOE +∠AOC =60°+60°=120°，∠∠DOE =180°-∠COE =60°．【点睛】本题主要考查了几何中角度的计算，角平分线的定义，垂线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握角平分线的定义．19．(1)见解析(2)∠D ＝∠BCG ，理由见解析【分析】（1）根据EF CE ⊥得出90FEC ∠=︒，进而根据已知得出90BCE BEC ∠+∠=︒，从而求解；（2）先证明ECD BCG ∠=∠，然后设ECD BCG x ∠=∠=，表示出1802BCE x ∠=︒-，290BEC x ∠=-︒，进而表示出180180FEC ECD x ∠=︒-∠=︒-，18090AEF FEC BEC x ∠=︒-∠-∠=︒-，求出135FEG ∠=︒，45G ∠=︒，进而求出D x ∠=，得出D BCG ∠=∠． （1）证明：∠EF ∠CE ，∠∠FEC ＝90°，∠∠AEF +∠BEC ＝90°．∠∠BCE 与∠BEC 互余，∠∠BCE +∠BEC ＝90°，∠∠AEF ＝∠BCE ；（2）解：∠∠BCD +∠ECD ＝180°，∠BCD +∠BEG ＝180°，∠∠ECD ＝∠BCG ．设∠ECD ＝∠BCG ＝x ，∠∠BCE ＝180°﹣2x ，∠BEC ＝2x ﹣90°．∠EG 平分∠BEC ，∠∠BEG ＝∠GEC ＝x ﹣45°．∠EF CD ，∠∠FEC ＝180°﹣∠ECD ＝180°﹣x ，∠∠AEF ＝180°﹣∠FEC ﹣∠BEC ＝90°﹣x ，∠FEG ＝∠FEC +∠GEC ＝180°﹣x +x ﹣45°＝135°，∠∠G ＝180°﹣CFEG ＝45°．∠∠D +∠AEF ＝2∠G ，∠∠D ＝2∠G ﹣∠AEF ＝90°﹣（90°﹣x ）＝x ，∠∠D ＝∠BCG ．【点睛】本题考查了多边形的内角和外角以及平行线的性质，解题的关键是熟练运用平行线的性质． 20．（1）∠40゜；∠60゜；（2）3COM BON ∠=∠，理由见解析．【分析】（1）∠先求出∠AOM′、CON′，再表示出∠BON′、∠COM′，然后相加并根据∠AOB=120°计算即可得解；∠先由角平分线求出∠AOM′=∠COM′=12∠AOC ，∠BON′=∠CON′=12∠BOC ，再求出∠COM′+∠CON′=12∠AOB=12×120°=60°，即∠M′ON′=60°； （2）设旋转时间为t ，表示出∠CON 、∠AOM ，然后列方程求解得到∠BON 、∠COM 的关系，再整理即可得解．【详解】（1）∠线段OM 、ON 分别以30°/s 、10°/s 的速度绕点O 逆时针旋转2s ，∠∠AOM′=2×30°=60°，∠CON′=2×10°=20°，∠∠BON′=∠BOC -20°，∠COM′=∠AOC -60°，∠∠BON′+∠COM′=∠BOC -20°+∠AOC -60°=∠AOB -80°，∠∠AOB=120°，∠∠BON′+∠COM′=120°-80°=40°；故答案为：40°；∠∠OM′平分∠AOC ，ON′平分∠BOC ， ∠∠AOM′=∠COM′=12∠AOC ，∠BON′=∠CON′=12∠BOC ， ∠∠COM′+∠CON′=12∠AOC+12∠BOC=12∠AOB=12×120°=60°， 即∠MON=60°；（2）∠COM=3∠BON ，理由如下：设∠BOC=x ，则∠AOB=4x ，∠AOC=3x ，∠旋转t 秒后，∠AOM=30t ，∠CON=10t ，∠∠COM=3x-30t=3（x-10t），∠NOB=x-10t，∠∠COM=3∠BON．【点睛】本题考查了角的计算，读懂题目信息，准确识图并表示出相关的角度，然后列出方程是解题的关键．。