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第一章 数学基础知识§1.1 场论一.物理量场: 充满物理量的空间。
充满流体的空间称为流场。
流体的物理量ρ、v 、p …构成密度、速度、压力场…, 如ρ、p 、浓度c 等构成标量场, 速度V 等构成矢量场，因此流场是复合参数场。
由时间t 、空间点及其对应的物理量确定的函数为场函数。
标量场、矢量场函数: φ＝φ(r ,t)＝φ(x,y,z,t)a ＝a (r ,t)＝a (x,y,z,t) 定常场: 场函数与时间t 无关, 反之为非定常场φ＝φ(r )＝φ(x,y,z) a ＝a (r )＝a (x,y,z) 0=∂∂t φ 0=∂∂ta均匀场: 场函数为常数, 反之为非均匀场。
流体的连续性模型认为，流场中各空间点充满流体，且各点、各物理参数存在连续的各阶导数。
二.Green-Gauss 公式（对于连续场）⎰⎰⎰⎰⎰⋅=∂∂+∂∂+∂∂A zy x dA d za y a x a a n ττ)(二维时 dL dA ya x a L yA x ⎰⎰⎰∙=∂∂+∂∂a n )(推广的Green-Gauss 公式有⎰⎰⎰⎰⎰=∂∂+∂∂+∂∂A dA d zy x φτφφφτn k j i )(⎰⎰⎰⎰⎰⨯=∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂A x y z x y z dA d ya x a x az a z a y a a n k j i ττ)()()(三 梯度、散度与旋度1) 方向导数: 物理量φ场在M 点上沿L 方向的方向导数为L ∂∂φ=')()'(lim 0'MM M M MM φφ-→=)^cos(x L x ∂∂φ+)^cos(y L y ∂∂φ+)^cos(z L z ∂∂φ=(x ∂∂φI +y∂∂φj +z ∂∂φk )·l式中l 为沿L 方向的单位矢量。
2) 标量场的梯度grad φ: 标量场φ的梯度为上式括号中的矢量微分算式，为确定的矢量。
第一讲绪论一、参考教材1.流体力学，周光炯等编写，高等教育出版社2.流体力学，吴望一编写，北京大学出版社3.流体力学的先期课程：数学（微积分、线性代数、复变函数、数理方程、场论、张量分析、数值分析、偏微分方程数值解法乃至泛函分析等等）、力学（分析力学）基础。
二、流体力学的研究方法实验方法:同物理学等其它的自然科学学科的研究方法一样，非牛顿流体力学的研究方法包括理论方法和实验方法。
理论方法就是根据流动的物理模型和物理定律建立描写流体运动规律的封闭方程组以及相应初始条件和边界条件，运用数学方法准确或近似地求解流场，揭示流动规律；实验方法就是运用模型实验理论设计试验装置和流程，直接观察流动现象，测量流体的流动参数并加以分析和处理，然后从中得到流动规律。
在非牛顿流体力学的发展过程中，实验方法是最先采用的方法，也是最基本的方法。
即使到现在，不使用实验方法，航空航天、大型水利枢纽、聚合物驱油等复杂系统的研究几乎是不可能的。
实验方法主要包括以下几个步骤：○1运用相似理论，针对具体的研究对象确定相似准数和相似准则；○2依据模型律来设计和制造模型，确定测量参数，选择相应的仪器仪表，建立实验装置；○3制定实验方案并进行实验，观察流动现象，测量流动参数；○4运用量纲分析等方法整理和分析实验数据，与其它方法或著作所得的结果进行比较，从中总结出流动规律。
实验研究方法的优点：能够直接解决工程实际中较为复杂的流动问题，能够根据观察到的流动现象，发现新问题和新的原理，所得的结果可以作为检验其他方法的正确性和准确性。
实验研究方法的缺点主要是对于不同的流动需要进行不同的实验，实验结果的普遍性稍差。
解析方法:解析方法是非牛顿流体力学各种研究方法中最为准确的和最为理想的方法。
解析方法主要包括：○1详细分析问题的物理学本质，通过适当的简化建立物理模型；○2运用物理定律建立数学模型，通常是建立起微分方程或微分方程组，确定流动方程边界条件和初始条件；○3运用数学方法求解出流动方程的解析解；○4列举计算实例，然后再与其他方法所得的结果进行比较，以检验物理模型和数学模型的合理性。
第一章 场论和张量初步1.1 场的定义及分类设在空间中的某个区域内定义标量函数或矢量函数，则称定义在此空间区域内的函数为场。
均匀场：同一时刻内各点函数的值都相等。
反之为不均匀场。
定常场：场内函数值不依赖于时间。
反之为不定常场。
1.2场的几何表示标量场：等位线。
矢量场：矢量线的微分方程：(,,,)(,,,)(,,,)x y z dx dy dza x y z t a x y z t a x y z t ==积分，将t 看成参数，即得矢量线的分析表达式。
1.3梯度——标量场不均匀性的量度梯度：大小为n ϕ∂∂，方向为n ，的矢量称为标量函数ϕ的梯度，以grad n n ϕϕ∂=∂表之。
在s 方向上的方向导数等于梯度矢量在s 方向上的投影。
梯度grad ϕ在直角坐标系中的表达式为grad i j k x y z ϕϕϕϕ∂∂∂=++∂∂∂总结起来，梯度的主要性质是：1）梯度grad ϕ描写了场内任一点M 领域内函数ϕ的变化状况，它是标量场不均匀性的量度。
2）梯度grad ϕ的方向与等位面的法线重合，且指向ϕ增长的方向，大小是n 方向上的方向导数n ϕ∂∂；3）梯度矢量grad ϕ在任一方向s 上的投影等于该方向的方向导数；4）梯度grad ϕ的方向，即等位线的法线方向是函数ϕ变化最快的方向。
定理1 梯度grad ϕ满足关系式d dr grad ϕϕ=∙定理2 若a grad ϕ=，且ϕ是矢径r 的单值函数，则沿任一封闭曲线L 的线积分La dr⋅⎰等于零，反之，若矢量a 沿任一封闭曲线L 的线积分La 0dr ⋅=⎰则矢量a 必为某一标量函数ϕ的梯度。
例：计算仅与矢径大小r 有关的标量函数ϕ（r ）的梯度ϕgrad 。
I ）利用性质（2），标量函数=ϕϕ（r ）的等位面是以坐标原点为心的球面，而球面的法线方向，即矢径r 的方向，故ϕgrad 的方向就是矢径r 的方向其次的大小是=r r ϕϕ∂∂’（）于是rii ）利用性质（5），显然x d r dr x ϕϕ∂∂=∂∂，d r y dr y ϕϕ∂∂=∂∂，z d rdr z ϕϕ∂∂=∂∂因222r x y z =++故r x x r ∂=∂，r y y r ∂=∂，r z z r ∂=∂于是x d x r dr ϕϕ∂=∂，y d y r dr ϕϕ∂=∂，z z d r dr ϕϕ∂=∂而=r r xi yj zk d grad ij k x y z r dr ϕϕϕϕϕϕϕ∂∂∂++∂=++==∂∂∂∂’（）iii ）利用定理1，r r dr rdrrϕϕϕ=’’（）d (r)=（）因2r r r ⋅=微分得r dr rdr ⋅=于是r d r drrϕϕ=⋅’（）根据定理1r最后我们指出，写成a grad ϕ=的矢量场亦称位势场，ϕ称为位势函数。
第一章 场论和张量初步1.1 场的定义及分类设在空间中的某个区域内定义标量函数或矢量函数，则称定义在此空间区域内的函数为场。
均匀场：同一时刻内各点函数的值都相等。
反之为不均匀场。
定常场：场内函数值不依赖于时间。
反之为不定常场。
1.2场的几何表示标量场：等位线。
矢量场：矢量线的微分方程：(,,,)(,,,)(,,,)x y z dx dy dza x y z t a x y z t a x y z t ==积分，将t 看成参数，即得矢量线的分析表达式。
1.3梯度——标量场不均匀性的量度梯度：大小为n ϕ∂∂，方向为n ，的矢量称为标量函数ϕ的梯度，以grad n n ϕϕ∂=∂表之。
在s 方向上的方向导数等于梯度矢量在s 方向上的投影。
梯度grad ϕ在直角坐标系中的表达式为grad i j k x y z ϕϕϕϕ∂∂∂=++∂∂∂总结起来，梯度的主要性质是：1）梯度grad ϕ描写了场内任一点M 领域内函数ϕ的变化状况，它是标量场不均匀性的量度。
2）梯度grad ϕ的方向与等位面的法线重合，且指向ϕ增长的方向，大小是n 方向上的方向导数n ϕ∂∂；3）梯度矢量grad ϕ在任一方向s 上的投影等于该方向的方向导数；4）梯度grad ϕ的方向，即等位线的法线方向是函数ϕ变化最快的方向。
定理1 梯度grad ϕ满足关系式d dr grad ϕϕ=∙定理2 若a grad ϕ=，且ϕ是矢径r 的单值函数，则沿任一封闭曲线L 的线积分La dr⋅⎰等于零，反之，若矢量a 沿任一封闭曲线L 的线积分La 0dr ⋅=⎰则矢量a 必为某一标量函数ϕ的梯度。
例：计算仅与矢径大小r 有关的标量函数ϕ（r ）的梯度ϕgrad 。
I ）利用性质（2），标量函数=ϕϕ（r ）的等位面是以坐标原点为心的球面，而球面的法线方向，即矢径r 的方向，故ϕgrad 的方向就是矢径r 的方向其次的大小是=r r ϕϕ∂∂’（）于是rii ）利用性质（5），显然x d r dr x ϕϕ∂∂=∂∂，d r y dr y ϕϕ∂∂=∂∂，z d rdr z ϕϕ∂∂=∂∂因222r x y z =++故r x x r ∂=∂，r y y r ∂=∂，r z z r ∂=∂于是x d x r dr ϕϕ∂=∂，y d y r dr ϕϕ∂=∂，z z d r dr ϕϕ∂=∂而=r r xi yj zk d grad ij k x y z r dr ϕϕϕϕϕϕϕ∂∂∂++∂=++==∂∂∂∂’（）iii ）利用定理1，r r dr rdrrϕϕϕ=’’（）d (r)=（）因2r r r ⋅=微分得r dr rdr ⋅=于是r d r drrϕϕ=⋅’（）根据定理1r最后我们指出，写成a grad ϕ=的矢量场亦称位势场，ϕ称为位势函数。
高等流体力1高等流体力学重庆交通大学陶礴温馨提示：⑴该课程是学位课，学习态度很重要。
⑵该课程所涉及到的相关知识较多，例如：张量分析，场论，数学分析，线性代数，微分方程（包括常微分方程与偏微分方程）。
③该课程理论性较强，学时为50学时。
第一章：预备知识本章内容简介：这是学好流体力学的一些相关的数学知识，包括张量与场论的基础知识，对学习流体力学来说，是相当有必要的。
1.1 笛卡尔直角坐标系中的张量1.1.1 张量的定义凡是坐标旋转时能保持自身不变的量，叫做张量。
例如：标量（关于标量，我们或许在一些情况下可以把它理解成一个常数。
既然是常数，那么无论坐标怎么样旋转，它还是一个常数，其数值保持不变）。
矢量（在现实生活中，我们接触过很多矢量，例如：力，速度，等等，当坐标旋转时，矢量在各个坐标轴上的分量会发生变化，但是，就矢量本身来说，它的大小不变，方向永远也只有一个，因此它不依赖于坐标的旋转而发生变化）。
我们注意到，标量有一个分量，矢量有三个分量。
定义：如果一个张量是n 阶张量，那么，其分量个数为：3n 个。
那么，我们不难得出以下结论： ① 标量是零阶张量 ② 矢量是1阶张量③ 二阶张量具有9个分量，三阶张量有27个分量，n 阶张量具有3n 个分量。
1.1.2 张量的表示方法ij σ为二阶张量，有9个分量。
通常用如下的式子来表示：ij σ=()ij σ=111213212223313233σσσσσσσσσ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭在流体力学中，二阶张量用得相当广泛。
此外，一阶张量可表示为:i V 三阶张量可表示为:ijk A1.1.3 约定求和法则为书写方便，我们约定在同一项中，如果有两个脚标相同时，就要对这个脚标从1到3求和。
例如： ① 112233i i a b a b a b a b =++② 312123i i u u u u x x x x =++∂∂∂∂∂∂∂∂ ③ 2222123.i i i x x x x x x ==++ 1.1.4 单位张量(1) 二阶单位张量二阶单位张量又称为克罗内克符号：ij δ，ij δ={10i j i j=≠ ,1,2,3i j =于是，二阶单位张量有9个分量，可以表示成如下形式：ij δ=100010001⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭故称之为二阶张量。
