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第一章 数学基础知识§1.1 场论一.物理量场: 充满物理量的空间。
充满流体的空间称为流场。
流体的物理量ρ、v 、p …构成密度、速度、压力场…, 如ρ、p 、浓度c 等构成标量场, 速度V 等构成矢量场，因此流场是复合参数场。
由时间t 、空间点及其对应的物理量确定的函数为场函数。
标量场、矢量场函数: φ＝φ(r ,t)＝φ(x,y,z,t)a ＝a (r ,t)＝a (x,y,z,t) 定常场: 场函数与时间t 无关, 反之为非定常场φ＝φ(r )＝φ(x,y,z) a ＝a (r )＝a (x,y,z) 0=∂∂t φ 0=∂∂ta均匀场: 场函数为常数, 反之为非均匀场。
流体的连续性模型认为，流场中各空间点充满流体，且各点、各物理参数存在连续的各阶导数。
二.Green-Gauss 公式（对于连续场）⎰⎰⎰⎰⎰⋅=∂∂+∂∂+∂∂A zy x dA d za y a x a a n ττ)(二维时 dL dA ya x a L yA x ⎰⎰⎰∙=∂∂+∂∂a n )(推广的Green-Gauss 公式有⎰⎰⎰⎰⎰=∂∂+∂∂+∂∂A dA d zy x φτφφφτn k j i )(⎰⎰⎰⎰⎰⨯=∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂A x y z x y z dA d ya x a x az a z a y a a n k j i ττ)()()(三 梯度、散度与旋度1) 方向导数: 物理量φ场在M 点上沿L 方向的方向导数为L ∂∂φ=')()'(lim 0'MM M M MM φφ-→=)^cos(x L x ∂∂φ+)^cos(y L y ∂∂φ+)^cos(z L z ∂∂φ=(x ∂∂φI +y∂∂φj +z ∂∂φk )·l式中l 为沿L 方向的单位矢量。
2) 标量场的梯度grad φ: 标量场φ的梯度为上式括号中的矢量微分算式，为确定的矢量。
流体⼒学讲义第⼀章绪论第⼀章绪论本章主要阐述了流体⼒学的概念与发展简史；流体⼒学的概述与应⽤；流体⼒学课程的性质、⽬的、基本要求；流体⼒学的研究⽅法及流体的主要物理性质。
流体的连续介质模型是流体⼒学的基础，在此假设的基础上引出了理想流体与实际流体、可压缩流体与不可压缩流体、⽜顿流体与⾮⽜顿流体概念。
第⼀节流体⼒学的概念与发展简史⼀、流体⼒学概念流体⼒学是⼒学的⼀个独⽴分⽀，是⼀门研究流体的平衡和流体机械运动规律及其实际应⽤的技术科学。
流体⼒学所研究的基本规律，有两⼤组成部分。
⼀是关于流体平衡的规律，它研究流体处于静⽌（或相对平衡）状态时，作⽤于流体上的各种⼒之间的关系，这⼀部分称为流体静⼒学；⼆是关于流体运动的规律，它研究流体在运动状态时，作⽤于流体上的⼒与运动要素之间的关系，以及流体的运动特征与能量转换等，这⼀部分称为流体动⼒学。
流体⼒学在研究流体平衡和机械运动规律时，要应⽤物理学及理论⼒学中有关物理平衡及运动规律的原理，如⼒系平衡定理、动量定理、动能定理，等等。
因为流体在平衡或运动状态下，也同样遵循这些普遍的原理。
所以物理学和理论⼒学的知识是学习流体⼒学课程必要的基础。
⽬前，根据流体⼒学在各个⼯程领域的应⽤，流体⼒学可分为以下⼏类：能源动⼒类：⽔利类流体⼒学：⾯向⽔⼯、⽔动、海洋等；机械类流体⼒学：⾯向机械、冶⾦、化⼯、⽔机等；⼟⽊类流体⼒学：⾯向市政、⼯民建、道桥、城市防洪等。
⼆、流体⼒学的发展历史流体⼒学的萌芽，是⾃距今约2200年以前，西西⾥岛的希腊学者阿基⽶德写的“论浮体”⼀⽂开始的。
他对静⽌时的液体⼒学性质作了第⼀次科学总结。
流体⼒学的主要发展是从⽜顿时代开始的，1687年⽜顿在名著《⾃然哲学的数学原理》中讨论了流体的阻⼒、波浪运动，等内容，使流体⼒学开始成为⼒学中的⼀个独⽴分⽀。
此后，流体⼒学的发展主要经历了三个阶段：1.伯努利所提出的液体运动的能量估计及欧拉所提出的液体运动的解析⽅法，为研究液体运动的规律奠定了理论基础，从⽽在此基础上形成了⼀门属于数学的古典“⽔动⼒学”（或古典“流体⼒学”）。
第一章 场论和张量初步1.1 场的定义及分类设在空间中的某个区域内定义标量函数或矢量函数，则称定义在此空间区域内的函数为场。
均匀场：同一时刻内各点函数的值都相等。
反之为不均匀场。
定常场：场内函数值不依赖于时间。
反之为不定常场。
1.2场的几何表示标量场：等位线。
矢量场：矢量线的微分方程：(,,,)(,,,)(,,,)x y z dx dy dza x y z t a x y z t a x y z t ==积分，将t 看成参数，即得矢量线的分析表达式。
1.3梯度——标量场不均匀性的量度梯度：大小为n ϕ∂∂，方向为n ，的矢量称为标量函数ϕ的梯度，以grad n n ϕϕ∂=∂表之。
在s 方向上的方向导数等于梯度矢量在s 方向上的投影。
梯度grad ϕ在直角坐标系中的表达式为grad i j k x y z ϕϕϕϕ∂∂∂=++∂∂∂总结起来，梯度的主要性质是：1）梯度grad ϕ描写了场内任一点M 领域内函数ϕ的变化状况，它是标量场不均匀性的量度。
2）梯度grad ϕ的方向与等位面的法线重合，且指向ϕ增长的方向，大小是n 方向上的方向导数n ϕ∂∂；3）梯度矢量grad ϕ在任一方向s 上的投影等于该方向的方向导数；4）梯度grad ϕ的方向，即等位线的法线方向是函数ϕ变化最快的方向。
定理1 梯度grad ϕ满足关系式d dr grad ϕϕ=∙定理2 若a grad ϕ=，且ϕ是矢径r 的单值函数，则沿任一封闭曲线L 的线积分La dr⋅⎰等于零，反之，若矢量a 沿任一封闭曲线L 的线积分La 0dr ⋅=⎰则矢量a 必为某一标量函数ϕ的梯度。
例：计算仅与矢径大小r 有关的标量函数ϕ（r ）的梯度ϕgrad 。
I ）利用性质（2），标量函数=ϕϕ（r ）的等位面是以坐标原点为心的球面，而球面的法线方向，即矢径r 的方向，故ϕgrad 的方向就是矢径r 的方向其次的大小是=r r ϕϕ∂∂’（）于是rii ）利用性质（5），显然x d r dr x ϕϕ∂∂=∂∂，d r y dr y ϕϕ∂∂=∂∂，z d rdr z ϕϕ∂∂=∂∂因222r x y z =++故r x x r ∂=∂，r y y r ∂=∂，r z z r ∂=∂于是x d x r dr ϕϕ∂=∂，y d y r dr ϕϕ∂=∂，z z d r dr ϕϕ∂=∂而=r r xi yj zk d grad ij k x y z r dr ϕϕϕϕϕϕϕ∂∂∂++∂=++==∂∂∂∂’（）iii ）利用定理1，r r dr rdrrϕϕϕ=’’（）d (r)=（）因2r r r ⋅=微分得r dr rdr ⋅=于是r d r drrϕϕ=⋅’（）根据定理1r最后我们指出，写成a grad ϕ=的矢量场亦称位势场，ϕ称为位势函数。
第一章 场论和张量初步1.1 场的定义及分类设在空间中的某个区域内定义标量函数或矢量函数，则称定义在此空间区域内的函数为场。
均匀场：同一时刻内各点函数的值都相等。
反之为不均匀场。
定常场：场内函数值不依赖于时间。
反之为不定常场。
1.2场的几何表示标量场：等位线。
矢量场：矢量线的微分方程：(,,,)(,,,)(,,,)x y z dx dy dza x y z t a x y z t a x y z t ==积分，将t 看成参数，即得矢量线的分析表达式。
1.3梯度——标量场不均匀性的量度梯度：大小为n ϕ∂∂，方向为n ，的矢量称为标量函数ϕ的梯度，以grad n n ϕϕ∂=∂表之。
在s 方向上的方向导数等于梯度矢量在s 方向上的投影。
梯度grad ϕ在直角坐标系中的表达式为grad i j k x y z ϕϕϕϕ∂∂∂=++∂∂∂总结起来，梯度的主要性质是：1）梯度grad ϕ描写了场内任一点M 领域内函数ϕ的变化状况，它是标量场不均匀性的量度。
2）梯度grad ϕ的方向与等位面的法线重合，且指向ϕ增长的方向，大小是n 方向上的方向导数n ϕ∂∂；3）梯度矢量grad ϕ在任一方向s 上的投影等于该方向的方向导数；4）梯度grad ϕ的方向，即等位线的法线方向是函数ϕ变化最快的方向。
定理1 梯度grad ϕ满足关系式d dr grad ϕϕ=∙定理2 若a grad ϕ=，且ϕ是矢径r 的单值函数，则沿任一封闭曲线L 的线积分La dr⋅⎰等于零，反之，若矢量a 沿任一封闭曲线L 的线积分La 0dr ⋅=⎰则矢量a 必为某一标量函数ϕ的梯度。
例：计算仅与矢径大小r 有关的标量函数ϕ（r ）的梯度ϕgrad 。
I ）利用性质（2），标量函数=ϕϕ（r ）的等位面是以坐标原点为心的球面，而球面的法线方向，即矢径r 的方向，故ϕgrad 的方向就是矢径r 的方向其次的大小是=r r ϕϕ∂∂’（）于是rii ）利用性质（5），显然x d r dr x ϕϕ∂∂=∂∂，d r y dr y ϕϕ∂∂=∂∂，z d rdr z ϕϕ∂∂=∂∂因222r x y z =++故r x x r ∂=∂，r y y r ∂=∂，r z z r ∂=∂于是x d x r dr ϕϕ∂=∂，y d y r dr ϕϕ∂=∂，z z d r dr ϕϕ∂=∂而=r r xi yj zk d grad ij k x y z r dr ϕϕϕϕϕϕϕ∂∂∂++∂=++==∂∂∂∂’（）iii ）利用定理1，r r dr rdrrϕϕϕ=’’（）d (r)=（）因2r r r ⋅=微分得r dr rdr ⋅=于是r d r drrϕϕ=⋅’（）根据定理1r最后我们指出，写成a grad ϕ=的矢量场亦称位势场，ϕ称为位势函数。
