高考数学一轮复习课件——第9节 函数模型及其应用

f1 x , x D 1,
(6)分段函数模型:
y
f
2
x
,
x
D 2,
图象特点是每一段自变量
f
n
x
，
x
D
n
,
变化所遵循的规律不同.可以先将其当作几个问题,将各段的变
化规律分别找出来,再将其合到一起,要注意各段自变量的取值
范围,特别是端点.
3.建立函数模型解决实际应用问题的步骤(四步八字) (1)审题:阅读理解、弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系, 弄清数据的单位等. (2)建模:正确选择自变量,将自然语言转化为数学语言,将文字 语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型. (3)求模:求解数学模型,得出数学结论. (4)还原:将数学问题还原为实际问题.
5.某种储蓄按复利计算利息,若本金为a元,每期利率为r,存期
是x,本利和(本金加利息)为y元,则本利和y随存期x变化的函数
关系式是
.
【解析】已知本金为a元,利率为r,则 1期后本利和为y=a+ar=a(1+r), 2期后本利和为y=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2, 3期后本利和为y=a(1+r)3, … x期后本利和为y=a(1+r)x,x∈N. 答案:y=a(1+r)x,x∈N
③图(3)的建议是:提高票价,并保持成本不变;
④图(3)的建议是:提高票价,并降低成本.
其中所有正确说法的序号是( )A.①③Fra bibliotekB.①④
C.②③
D.②④
【解析】选C.对于图(2),当x=0时,函数值比图(1)中的大,表示 成本降低,两直线平行,表明票价不变,故②正确;对于图(3),当 x=0时,函数值不变表示成本不变,当x>0时,函数值增大表明票 价提高,故③正确.

121n0≥1232，1n0≤32，解得 n≤15.
故今后最多还能砍伐 15 年．
点 拨： 此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数型函数模型 y＝N(1＋p)x(其 中 N 是基础数，p 为增长率，x 为时间)和幂型函数模型 y＝a(1＋x)n(其中 a 为基
础数，x 为增长率，n 为时间)的形式表示．解题时，往往用到对数运算．
直到达到规定人数 75 人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机 费 15 000 元．
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
解：(1)设旅游团人数为 x 人，由题得 0＜x≤75，飞机票价格为 y 元， 则 y＝990000，－010＜（x≤x－303，0），30＜x≤75，
某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水 中杂质 20%，要使水中杂质减少到原来的 10%以下，则至少需过滤的次数
为________．(参考数据：lg2≈0.301 0)
解：设过滤次数为 x(x∈N*)，原有杂质为 a，则 a(1－20%)x<a·10%，
所以 x>1－13lg2≈10.3，即至少需要过滤 11 次．故填 11.
当且仅当 x＝40 x000，即 x＝200 时取等号．故选 A.
(教材改编题)某家具的标价为 132 元，若降价以九折出售(即优惠 10%)，
仍可获利 10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )
A．105 元
B．106 元
C．108 元
D．118 元
解：设进货价为 a 元，由题意知 132×(1－10%)－a＝10%·a， 解得 a＝108.故选 C.
单调____ 函数
相对平稳

的函数，且日销售量近似地满足 g(t)＝－13t＋1132(1≤t≤100，t∈
N)．前 40 天价格为 f(t)＝14t＋22(1≤t≤40，t∈N)，后 60 天价格为 f(t)
＝－12t＋52(41≤t≤100，t∈N)，试求该商品的日销售额 S(t)的最大
值和最小值．
解析
练一练：函数建模在高考的考点应用。
函数模型 一次函数模型
反比例函 数模型
函数解析式 f(x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0) f(x)＝kx＋b(k，b 为常数且 k≠0)
函数模型 二次函数模型 指数函数模型 对数函数模型 幂函数模型
函数解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c (a，b，c 为常数，a≠0)
f(x)＝bax＋c (a，b，c 为常数，b≠0，a>0 且 a≠1)
第九节
函数模型及其应用
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以 用函数刻画。
1.了解数学建模，掌握根据已知条件建立函数 关系式的方法.(重点)
2. 增强应用数学的意识以及分析问题、解决 问题的能力.(难点)
•具体的数学核心素养，是三个方面 (六个关键词): •(1)用数学的眼光观察世界： •发展数学抽象、直观想象素养。 •(2)用数学的思维分析世界： •发展逻辑推理、数学运算素养。 •(3)用数学的语言表达世界： •发展数学建模、数据分析素养。
3.一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践, 旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关 系：
每间每天房价 住房率
20元 18元 16元 65％ 75％ 85％
14元 95％
要使每天收入达到最高，每间定价应为（ C） A.20元 B.18元 C.16元 D.14元

即当x= 时,y取得最大值 ;
2.(必修1P107T4 改编)有一批材料可以建成200m 长的围墙,如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块 矩形场地,中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩 形(如图所示),则围成的矩形最大面积为________.(围 墙厚度不计)
【解析】设矩形的长为xm, 宽为 m,
则S=x·
= (-x2 +200x).
f(x)=ba x+c(a,b,c为常数 ,b≠0,a>0 指数函数模型
且a≠1)
对数函数模型 f(x)=blog ax+c(a,b,c为常数 ,b≠0, a>0 且a≠1)
幂函数模型 f(x)=ax n +b(a,b 为常数 ,a≠0)
2.三种函数模型的性质
函数 性质
y=a x(a>1)
y=log ax(a>1)
随 x 的增大逐 渐表现为与 _x_轴__平行
随n 值变化 而各有不 同
值的比较 存在一个 x0 ,当x>x 0 时,有log ax<x n <a x
3.解函数应用问题的步骤 (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初 步选择数学模型. (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转 化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型.
(2)当x>0 时,x= 时取最小值2 , 当x<0 时,x=- 时取最大值-2 .
【小题快练】 链接教材 练一练 1.(必修1P107T1 改编)在某种新型材料的研制中,实 验人员获得了下列一组实验数据.现准备用下列四个 函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接 近的一个是 ( )
x 1.95 y 0.97