2016年中国科学院大学数学分析考研试题

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2016年中国科学院⼤学数学分析考研试题中国科学院⼤学2016 年招收攻读硕⼠学位研究⽣⼊学统⼀考试试题数学分析1. 计算极限2. 求定积分3. 求⼆重极限4. 设 是 上连续正函数, 求证存在 , 使得 5. 求以下曲⾯所围⽴体的体积:6. 设 是 上的连续函数, 且 单调递增. 求证: 7. 若数列 , 满⾜如下条件: (a) 且 ; (b) 存在正数 , 对任意的正整数 , 均有 . 证明级数 收敛.8. 设 , 在 上连续, 在 上可导且 , . (a) 求证存在 , 使得 ; (b) 若 , 求证存在 , , 使得 .9. 求椭圆 上到直线 距离最短的点, 并求其最短距离.10. 半径为 的球⾯ 的球⼼在单位球⾯ 上, 求球⾯ 在单位球内⾯积的最⼤值, 并求出此时的 . limx→0().ex+e2x+⋯+enxn1xI=∫10log(1+√x)dx.[Math Processing Error]f(x)[a,b]ξ∈(a,b)∫ξaf(x)dx=∫bξf(x)dx=∫baf(x)dx.12[Math Processing Error]f(x)[a,b]f(x)∫batf(t)dt⩾∫baf(t)dt.a+b2{an}{bn}a1⩾a2⩾…limn→∞an=0Mn∣∣∣n∑k=1bk∣∣∣⩽M∞∑n=1anbn0⩽a