2020版高考数学一轮复习教案- 第2章 第9节 函数模型及其应用

第九节 函数模型及其应用1．几类函数模型函数模型 函数解析式一次函数模型 f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0) 反比例函数模型 f (x )＝kx ＋b (k ，b 为常数且k ≠0)二次函数模型 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)指数函数模型f (x )＝ba x ＋c(a ，b ，c 为常数，b ≠0，a ＞0且a ≠1)对数函数模型 f (x )＝b log a x ＋c(a ，b ，c 为常数，b ≠0，a ＞0且a ≠1)幂函数模型f (x )＝ax n ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)2(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型；(3)解模：求解函数模型，得出数学结论； (4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题． 以上过程用框图表示如下：[小题体验]1．(2019·徐州诊断)某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月的水费为55元，则该职工这个月实际用水为________立方米．解析：设该职工某月的实际用水为x 立方米时，水费为y 元，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，0≤x ≤10，30＋5x －10，x ＞10，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，0≤x ≤10，5x －20，x ＞10.易知该职工这个月的实际用水量超过10立方米，所以5x －20＝55，解得x ＝15. 答案：152．用18 m 的材料围成一块矩形场地，中间有两道隔墙．若使矩形面积最大，则能围成的最大面积是________m 2.解析：设隔墙长为x m ，则面积S ＝x ·18－4x 2＝－2x 2＋9x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋818.所以当x ＝94时，能围成的面积最大，为818 m 2.答案：8181．函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以要正确理解题意，选择适当的函数 模型．2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性． [小题纠偏]1．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元．若普通车存车量为x 辆次，存车费总收入为y 元，则y 关于x 的函数关系式是__________．答案：y ＝－0.1x ＋1 200(0≤x ≤4 000)2．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f (n )＝12n (n ＋1)(2n ＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________年．解析：各年产量为a n ＝f (n )－f (n －1)＝12n (n ＋1)(2n ＋1)－12n (n －1)(2n －1)＝3n 2(n ∈N *)，令3n 2≤150，得1≤n ≤5 2.又n ∈N *，所以1≤n ≤7，故生产期限最长为7年．答案：7考点一 二次函数模型重点保分型考点——师生共研[典例引领]某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示抛物线的一段．已知跳水板AB 长为2 m ，跳水板距水面CD 的高BC 为3 m ．为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A 处水平距h m(h ≥1)时达到距水面最大高度4 m ，规定：以CD 为横轴，BC 为纵轴建立直角坐标系．(1)当h ＝1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；(2)若跳水运动员在区域EF 内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h 的取值范围． 解：由题意，最高点为(2＋h,4)，h ≥1. 设抛物线方程为y ＝a [x －(2＋h )]2＋4. (1)当h ＝1时，最高点为(3,4)， 方程为y ＝a (x －3)2＋4.(*) 将点A (2,3)代入(*)式得a ＝－1. 即所求抛物线的方程为y ＝－x 2＋6x －5.(2)将点A (2,3)代入y ＝a [x －(2＋h )]2＋4，得ah 2＝－1. 由题意，方程a [x －(2＋h )]2＋4＝0在区间[5,6]内有一解． 令f (x )＝a [x －(2＋h )]2＋4＝－1h2[x －(2＋h )]2＋4，则⎩⎪⎨⎪⎧f 5＝－1h 23－h 2＋4≥0，f6＝－1h24－h2＋4≤0.解得1≤h ≤43.故达到比较好的训练效果时的h 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，43. [由题悟法]二次函数模型问题的3个注意点(1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域；(2)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；(3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．[即时应用](2019·启东中学高三检测)某企业实行裁员增效，已知现有员工a 人，每人每年可创利润1万元，据评估，在生产条件不变的情况下，每裁员1人，则留岗员工每人每年可多创收0.01万元，但每年需付给每个下岗工人0.4万元生活费，并且企业正常运行所需人数不得少于现有员工的34，设该企业裁员x 人后纯收益为y 万元．(1)写出y 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值范围；(2)当140＜a ≤280时，问该企业裁员多少人，才能获得最大的经济效益？(在保证能获得较大经济效益的情况下，应尽量少裁员)解：(1) 由题意，y ＝(a －x )(1＋0.01x )－0.4x ＝－1100x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 100－75x ＋a ，因为a －x ≥3a 4，所以x ≤a4.故x 的取值范围为0≤x ≤a4且x ∈N *.(2)由(1)知y ＝－1100⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－702＋1100⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－702＋a ，当140＜a ≤280时，0＜a 2－70≤a4，当a 为偶数时，x ＝a2－70，y 取最大值； 当a 为奇数时，x ＝a ＋12－70或x ＝a －12－70，y 取最大值，因尽可能少裁员，所以x ＝a －12－70，所以当a 为偶数时，应裁员⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－70 人；当a 为奇数时，应裁员⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12－70人．考点二 函数y ＝x ＋a x模型的应用重点保分型考点——师生共研 [典例引领]为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值． 解：(1)由已知条件得C (0)＝8，则k ＝40， 因此f (x )＝6x ＋20C (x )＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10)．(2)f (x )＝6x ＋10＋8003x ＋5－10≥26x ＋10·8003x ＋5－10＝70(万元)，当且仅当6x ＋10＝8003x ＋5，即x ＝5时等号成立．所以当隔热层厚度为5 cm 时，总费用f (x )达到最小值，最小值为70万元．[由题悟法]应用函数y ＝x ＋a x模型的关键点(1)明确对勾函数是正比例函数f (x )＝ax 与反比例函数f (x )＝b x叠加而成的． (2)解决实际问题时一般可以直接建立f (x )＝ax ＋b x的模型，有时可以将所列函数关系式转化为f (x )＝ax ＋b x的形式．(3)利用模型f (x )＝ax ＋b x求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件．[即时应用]某隧道长2 150 m ，通过隧道的车速不能超过20 m/s.一列有55辆车身长都为10 m 的同一车型的车队(这种型号的车能行驶的最高速为40 m/s)，匀速通过该隧道，设车队的速度为x m/s ，根据安全和车流的需要，当0＜x ≤10时，相邻两车之间保持20 m 的距离；当10＜x ≤20时，相邻两车之间保持⎝ ⎛⎭⎪⎫16x 2＋13x m 的距离．自第1辆车车头进入隧道至第55辆车车尾离开隧道所用的时间为y (s)．(1)将y 表示为x 的函数；(2)求车队通过隧道的时间y 的最小值及此时车队的速度．(3≈1.73) 解：(1)当0＜x ≤10时，y ＝2 150＋10×55＋20×55－1x＝3 780x，当10＜x ≤20时，y ＝2 150＋10×55＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16x 2＋13x ×55－1x＝2 700x＋9x ＋18，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3 780x ，0＜x ≤10，2 700x ＋9x ＋18，10＜x ≤20.(2)当x ∈(0,10]时，在x ＝10时，y min ＝3 78010＝378(s)．当x ∈(10,20]时，y ＝2 700x＋9x ＋18≥18＋2×9x ×2 700x＝18＋1803≈329.4(s)，当且仅当9x ＝2 700x，即x ≈17.3(m/s)时取等号．因为17.3∈(10,20]，所以当x ＝17.3(m/s)时，y min ＝329.4(s)， 因为378＞329.4，所以当车队的速度为17.3 m/s 时，车队通过隧道的时间y 有最小值329.4 s. 考点三 指数函数与对数函数模型重点保分型考点——师生共研 [典例引领]已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t (单位：分钟)的变化规律是：θ＝m ·2t＋ 21－t(t ≥0，并且m ＞0)．(1)如果m ＝2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度； (2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围．解：(1)若m ＝2，则θ＝2·2t ＋21－t＝2⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋12t ，当θ＝5时，2t＋12t ＝52，令2t ＝x (x ≥1)，则x ＋1x ＝52，即2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12(舍去)，此时t ＝1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度． (2)物体的温度总不低于2摄氏度，即θ＝m ·2t＋22t ≥2恒成立，亦即m ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －122t 恒成立．令12t ＝x ，则0＜x ≤1，所以m ≥－2x 2＋2x ， 因为－2x 2＋2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋12 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，所以m ≥12，因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. [由题悟法]指数函数与对数函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．[即时应用]候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？ 解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位， 故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0.当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ， 故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2， 所以－1＋log 3Q10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．某种商品进价为4元/件，当日均零售价为6元/件，日均销售100件，当单价每增加1元，日均销量减少10件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为20元，则预计单价为________元/件时，利润最大．解析：设单价为6＋x ，日均销售量为100－10x ， 则日利润y ＝(6＋x －4)(100－10x )－20 ＝－10x 2＋80x ＋180＝－10(x －4)2＋340(0＜x ＜10)．所以当x ＝4时，y max ＝340. 即单价为10元/件，利润最大． 答案：102．(2018·盐城中学检测)“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A (a 为常数)，广告效应为D ＝R －A .那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入广告费应为________．(用常数a 表示)解析：D ＝R －A ＝a A －A ，令t ＝A (t ＞0)，则A ＝t 2，所以D ＝at －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12a 2＋14a 2.所以当t ＝12a ，即A ＝14a 2时，D 取得最大值．答案：14a 23．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.解析：设出租车行驶x km 时，付费y 元， 则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0＜x ≤3，8＋2.15x －3＋1，3＜x ≤8，8＋2.15×5＋2.85x －8＋1，x ＞8，由y ＝22.6，解得x ＝9. 答案：94．(2019·盐城调研)一批货物随17列货车从A 市以v km/h 匀速直达B 市，已知两地铁路线长400 km ，为了安全，两列货车间距离不得小于⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202km ，那么这批物资全部运到B市，最快需要________ h(不计货车的身长)．解析：设这批物资全部运到B 市用的时间为y ， 因为不计货车的身长，所以设列车为一个点，可知最前的点与最后的点之间距离最小值为16×⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202时，时间最快．则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202×16＋400v＝v 25＋400v ≥2 v25×400v＝8， 当且仅当v 25＝400v，即v ＝100时等号成立，y min ＝8.答案：85．(2019·南通模拟)用长度为24的材料围成一个矩形场地，中间有两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________．解析：设矩形场地的宽(即隔墙的长度)为x ，则长为24－4x 2，其面积S ＝24－4x2·x ＝12x－2x 2＝－2(x －3)2＋18，当x ＝3时，S 有最大值18，所以隔墙的长度为3.答案：36．有一位商人，从北京向上海的家中打电话，通话m 分钟的电话费由函数f (m )＝1.06×(0.5[m ]＋1)(元)决定，其中m ＞0，[m ]是大于或等于m 的最小整数．则从北京到上海通话时间为5.5分钟的电话费为________元．解析：因为m ＝5.5，所以[5.5]＝6.代入函数解析式，得f (5.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.答案：4.24二保高考，全练题型做到高考达标1．某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t (分钟)与电话费s (元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差________元．解析：依题意可设s A (t )＝20＋kt ，s B (t )＝mt ， 又s A (100)＝s B (100)， 所以100k ＋20＝100m ，得k －m ＝－0.2，于是s A (150)－s B (150)＝20＋150k －150m ＝20＋150×(－0.2)＝－10， 即两种方式电话费相差10元． 答案：102．某商店已按每件80元的成本购进某商品1 000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件________元．解析：设售价提高x 元，利润为y 元，则依题意得y ＝(1 000－5x )×(100＋x )－80×1 000＝－5x 2＋500x ＋20 000＝－5(x －50)2＋32 500，故当x ＝50时，y max ＝32 500，此时售价为每件150元．答案：1503．(2019·海安中学检测)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是________．(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)解析：设2017年后的第n 年，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由130(1＋12%)n ＞200，得1.12n＞2013，两边取常用对数，得n ＞lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，所以n ≥4，所以从2021年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．答案：2021年4．(2019·启东中学检测)某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1，y 2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．解析：由题意设仓库在离车站x 千米处，则y 1＝k 1x，y 2＝k 2x ，其中x ＞0，由⎩⎪⎨⎪⎧ k 110＝2，10k 2＝8得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝20k 2＝45，即y 1＋y 2＝20x ＋45x ≥220x ·45x ＝8， 当且仅当20x ＝45x ，即x ＝5时等号成立．答案：55．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y ＝a e nt.假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟甲桶中的水只有a8，则m ＝________.解析：根据题意知12＝e 5n，令18a ＝a e nt ，即18＝e nt， 因为12＝e 5n ，故18＝e 15n，比较知t ＝15，m ＝15－5＝10. 答案：106．一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v 的平方成正比，且比例系数为k ，除燃料费外其他费用为每小时96元．当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元．若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为________海里/小时时，总费用最小．解析：设每小时的总费用为y 元，则y ＝kv 2＋96， 又当v ＝10时，k ×102＝6，解得k ＝0.06，所以每小时的总费用y ＝0.06v 2＋96，匀速行驶10海里所用的时间为10v小时，故总费用为W ＝10v y ＝10v (0.06v 2＋96)＝0.6v ＋960v≥20.6v ×960v ＝48，当且仅当0.6v ＝960v，即v ＝40时等号成立．故总费用最小时轮船的速度为40海里/小时． 答案：407．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图)，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用，则截取的矩形面积的最大值为________．解析：依题意知：20－x 20＝y －824－8，即x ＝54(24－y )，所以阴影部分的面积S ＝xy ＝54(24－y )·y ＝54(－y 2＋24y )＝－54(y －12)2＋180.所以当y ＝12时，S 有最大值为180. 答案：1808．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x 为8万元时，奖励1万元．销售额x 为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y ＝a log 4x ＋b .某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为______(万元)．解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a log 48＋b ＝1，a log 464＋b ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋b ＝1，3a ＋b ＝4.解得a ＝2，b ＝－2.所以y ＝2log 4x －2，当y ＝8时，即2log 4x －2＝8.x ＝1 024(万元)．答案：1 0249．某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w (单位：百千克)与肥料费用x (单位：百元)满足如下关系：w ＝4－3x ＋1，且投入的肥料费用不超过5百元，此外，还需要投入其他成本(如施肥的人工费等)2x 百元．已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克(即16百元/百千克)，且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为L (x )(单位：百元)．(1)求L (x )的函数关系式，并写出定义域；(2)当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？ 解：(1)L (x )＝16⎝⎛⎭⎪⎫4－3x ＋1－x －2x ＝64－48x ＋1－3x ，x ∈(0,5]． (2)法一：L (x )＝64－48x ＋1－3x ＝67－⎣⎢⎡⎦⎥⎤48x ＋1＋3x ＋1≤67－248x ＋1·3x ＋1＝43，当且仅当48x ＋1＝3(x ＋1)，即x ＝3时取等号． 故L (x )max ＝43.答：当投入的肥料费用为300元时，该水密桃树获得的利润最大，为4 300元． 法二：L ′(x )＝48x ＋12－3，令L ′(x )＝0，得x ＝3.故当x ∈(0,3)时，L ′(x )＞0，L (x )在(0,3)上单调递增； 当x ∈(3,5]时，L ′(x )＜0，L (x )在(3,5]上单调递减． 故L (x )max ＝L (3)＝43.答：当投入的肥料费用为300元时，该水蜜桃树获得的利润最大，为4 300元． 10．(2019·镇江调研)如图，政府有一个边长为400 m 的正方形公园ABCD ，在以四个角的顶点为圆心，以150 m 为半径的四分之一圆内都种植了花卉．现在中间修建一块长方形的活动广场P Q MN ，其中P ，Q ，M ，N 四点都在相应的圆弧上，并且活动广场边界与公园边界对应平行，记∠Q BC ＝α，长方形活动广场的面积为S .(1)请把S 表示成关于α的函数关系式； (2)求S 的最小值．解：(1)过Q 作Q E ⊥BC 于E ，连结B Q(图略)．在Rt △B Q E 中，BE ＝150cos α，Q E ＝150sin α，0≤α≤π2，可得矩形P Q MN 的P Q ＝400－300sin α，Q M ＝400－300cos α， 则S ＝P Q ·Q M ＝(400－300sin α)(400－300cos α)＝10 000(4－3sin α)(4－3cos α)，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(2)由(1)知，S ＝10 000[16－12(sin α＋cos α)＋9sin αcos α]， 设t ＝sin α＋cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，则π4≤α＋π4≤3π4，可得1≤t ≤2，sin αcos α＝t 2－12，∴S ＝10 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤16－12t ＋92t 2－1＝5 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤9⎝ ⎛⎭⎪⎫t －432＋7. ∴当t ＝43时，S 取得最小值5 000×7＝35 000 m 2.三上台阶，自主选做志在冲刺名校某辆汽车以x 千米/时的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全要求60≤x ≤120)时，每小时的耗油量(所需要的汽油量)为15⎝ ⎛⎭⎪⎫x －k ＋4 500x 升，其中k 为常数，且60≤k ≤100.(1)若汽车以120千米/时的速度行驶时，每小时的耗油量为11.5升，欲使每小时的耗油量不超过9升，求x 的取值范围；(2)求该汽车行驶100千米的耗油量的最小值． 解：(1)由题意知，当x ＝120时， 15⎝ ⎛⎭⎪⎫x －k ＋4 500x ＝11.5，∴k ＝100， 由15⎝ ⎛⎭⎪⎫x －100＋4 500x ≤9，得x 2－145x ＋4 500≤0，∴45≤x ≤100. 又60≤x ≤120，∴60≤x ≤100. 故x 的取值范围为[60,100]．(2)设该汽车行驶100千米的耗油量为y 升，则y ＝100x ·15⎝ ⎛⎭⎪⎫x －k ＋4 500x ＝20－20k x ＋90 000x 2(60≤x ≤120)． 令t ＝1x ，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1120，160， ∴y ＝90 000t 2－20kt ＋20＝90 000⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 9 0002＋20－k 2900， ∴该函数图象的对称轴为直线t ＝k9 000.∵60≤k ≤100，∴k 9 000∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1150，190.①若k 9 000≥1120，即75≤k ≤100，则当t ＝k9 000，即x ＝9 000k 时，y min ＝20－k2900.②若k 9 000＜1120，即60≤k ＜75，则当t ＝1120，即x ＝120时，y min ＝1054－k6.答：当75≤k ≤100时，该汽车行驶100千米的耗油量的最小值为⎝⎛⎭⎪⎫20－k 2900升；当60≤k＜75时，该汽车行驶100千米的耗油量的最小值为⎝⎛⎭⎪⎫1054－k 6升．命题点一 基本初等函数(Ⅰ)1．(2017·全国卷Ⅰ改编)设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z，则2x,3y,5z 的大小关系为________．解析：设2x ＝3y ＝5z＝k ＞1， 所以x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 5k . 因为2x －3y ＝2log 2k －3log 3k ＝2log k 2－3log k 3＝2log k 3－3log k 2log k 2·log k 3＝log k 32－log k 23log k 2·log k 3＝log k98log k 2·log k 3＞0， 所以2x ＞3y ；因为3y －5z ＝3log 3k －5log 5k ＝3log k 3－5log k 5＝3log k 5－5log k 3log k 3·log k 5＝log k 53－log k 35log k 3·log k 5＝log k125243log k 3·log k 5＜0， 所以3y ＜5z ；因为2x －5z ＝2log 2k －5log 5k ＝2log k 2－5log k 5＝2log k 5－5log k 2log k 2·log k 5＝log k 52－log k 25log k 2·log k 5＝log k 2532log k 2·log k 5＜0， 所以5z ＞2x .所以5z ＞2x ＞3y . 答案：5z ＞2x ＞3y2．(2018·天津高考改编)已知a ＝log 372，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1413，c ＝log 1315，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析：∵c ＝log 1315＝log 35，a ＝log 372，又y ＝log 3x 在(0，＋∞)上是增函数， ∴log 35＞log 372＞log 33＝1，∴c ＞a ＞1.∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x在(－∞，＋∞)上是减函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1413＜⎝ ⎛⎭⎪⎫140＝1，即b ＜1. ∴c ＞a ＞b . 答案：c ＞a ＞b3．(2015·江苏高考)不等式22x x －＜4的解集为________． 解析：因为2x 2－x ＜4，所以22x x－＜22，所以x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0，所以－1＜x ＜2. 答案：(－1,2)4．(2015·全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 解析：因为f (x )为偶函数，所以f (－x )－f (x )＝0恒成立，所以－x ln(－x ＋a ＋x 2)－x ln(x ＋a ＋x 2)＝0恒成立，所以x ln a ＝0恒成立，所以ln a ＝0，即a ＝1.答案：15．(2018·上海高考)已知常数a ＞0，函数f (x )＝2x2x ＋ax 的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，65，Q ⎝⎛⎭⎪⎫q ，－15，若2p ＋q＝36pq ，则a ＝________.解析：因为函数f (x )的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，65，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫q ，－15，所以f (p )＋f (q )＝2p2p ＋ap ＋2q2q ＋aq ＝2p ＋q＋aq 2p＋2p ＋q＋ap 2q2p ＋q ＋aq 2p ＋ap 2q ＋a 2pq ＝65－15＝1，化简得2p ＋q ＝a 2pq .因为2p ＋q ＝36pq ，所以a 2＝36且a ＞0，所以a ＝6.答案：66．(2016·江苏高考)已知函数f (x )＝a x＋b x(a ＞0，b ＞0，a ≠1，b ≠1)． (1)设a ＝2，b ＝12.①求方程f (x )＝2的根；②若对于任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，求实数m 的最大值． (2)若0＜a ＜1，b ＞1，函数g (x )＝f (x )－2有且只有1个零点，求ab 的值． 解：(1)因为a ＝2，b ＝12，所以f (x )＝2x ＋2－x.①方程f (x )＝2，即2x ＋2－x＝2， 亦即(2x )2－2×2x＋1＝0，所以(2x －1)2＝0，即2x＝1，解得x ＝0. ②由条件知f (2x )＝22x＋2－2x＝(2x ＋2－x )2－2＝(f (x ))2－2.因为f (2x )≥mf (x )－6对于x ∈R 恒成立，且f (x )＞0，所以m ≤f x2＋4f x 对于x ∈R 恒成立．而f x 2＋4f x＝f (x )＋4f x≥2f x ·4f x ＝4，且f 02＋4f 0＝4，所以m ≤4，故实数m 的最大值为4.(2)因为函数g (x )＝f (x )－2＝a x＋b x－2有且只有1个零点，而g (0)＝f (0)－2＝a 0＋b 0－2＝0，所以0是函数g (x )的唯一零点．因为g ′(x )＝a xln a ＋b xln b ，又由0＜a ＜1，b ＞1知ln a ＜0，ln b ＞0，所以g ′(x )＝0有唯一解x 0＝log b a⎝ ⎛⎭⎪⎫－ln a ln b .令h (x )＝g ′(x )，则h ′(x )＝(a x ln a ＋b x ln b )′＝a x (ln a )2＋b x (ln b )2， 从而对任意x ∈R ，h ′(x )＞0，所以g ′(x )＝h (x )是(－∞，＋∞)上的单调增函数． 于是当x ∈(－∞，x 0)时，g ′(x )＜g ′(x 0)＝0； 当x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x )＞g ′(x 0)＝0.因而函数g (x )在(－∞，x 0)上是单调减函数，在(x 0，＋∞)上是单调增函数． 下证x 0＝0.若x 0＜0，则x 0＜x 02＜0，于是g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02＜g (0)＝0.又g (log a 2)＝a log a 2＋b log a 2－2＞a log a 2－2＝0，且函数g (x )在以x 02和log a 2为端点的闭区间上的图象不间断，所以在x 02和log a 2之间存在g (x )的零点，记为x 1.因为0＜a ＜1，所以log a 2＜0.又x 02＜0，所以x 1＜0，与“0是函数g (x )的唯一零点”矛盾． 若x 0＞0，同理可得，在x 02和log b 2之间存在g (x )的非0的零点，与“0是函数g (x )的唯一零点”矛盾．因此，x 0＝0.于是－ln a ln b＝1，故ln a ＋ln b ＝0，所以ab ＝1.7．(2016·上海高考)已知a ∈R ，函数f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋a .(1)当a ＝5时，解不等式f (x )＞0；(2)若关于x 的方程f (x )－log 2[(a －4)x ＋2a －5]＝0的解集中恰有一个元素，求a 的取值范围；(3)设a ＞0，若对任意t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．解：(1)由log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋5＞0，得1x＋5＞1，解得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－14∪(0，＋∞)． (2)由原方程可得1x＋a ＝(a －4)x ＋2a －5，即(a －4)x 2＋(a －5)x －1＝0.①当a ＝4时，x ＝－1，经检验，满足题意． ②当a ＝3时，x 1＝x 2＝－1，经检验，满足题意． ③当a ≠3且a ≠4时，x 1＝1a －4，x 2＝－1，x 1≠x 2. 若x 1是原方程的解，则1x 1＋a ＞0，即a ＞2；若x 2是原方程的解，则1x 2＋a ＞0，即a ＞1. 由题意知x 1，x 2只有一个为方程的解，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＞2，a ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a ＞1，于是满足题意的a ∈(1,2]．综上，a 的取值范围为(1,2]∪{3,4}． (3)易知f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值与最小值分别为f (t )，f (t ＋1)．f (t )－f (t ＋1)＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋a －log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋1＋a ≤1， 即at 2＋(a ＋1)t －1≥0对任意t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1恒成立．因为a ＞0，所以函数y ＝at 2＋(a ＋1)t －1在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递增，当t ＝12时，y 有最小值34a －12.由34a －12≥0，得a ≥23.故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.命题点二 函数与方程1.(2017·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈D ，x ，x ∉D ，其中集合D ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝n －1n ，n ∈N *，则方程f (x )－lg x ＝0的解的个数是________．解析：由于f (x )∈[0,1)，因此只需考虑1≤x ＜10的情况，在此范围内，当x ∈Q 且x ∉Z 时，设x ＝qp，q ，p ∈N *，p ≥2且p ，q 互质． 若lg x ∈Q ，则由lg x ∈(0,1)，可设lg x ＝n m，m ，n ∈N *，m ≥2且m ，n 互质， 因此10n m ＝q p，则10n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫q p m ，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ， 故lg x 不可能与每个周期内x ∈D 对应的部分相等， 只需考虑lg x 与每个周期内x ∉D 部分的交点．画出函数草图(如图)，图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x ∉D 的部分，且x ＝1处(lg x )′＝1x ln 10＝1ln 10＜1，则在x ＝1附近仅有一个交点， 因此方程f (x )－lg x ＝0的解的个数为8.答案：82．(2015·江苏高考)已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0＜x ≤1，|x 2－4|－2，x ＞1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为________．解析：①当0＜x ≤1时，方程为－ln x ＝1，解得x ＝1e.②当1＜x ＜2时，f (x )＋g (x )＝ln x ＋2－x 2单调递减，值域为(ln 2－2,1)，方程f (x )＋g (x )＝1无解，方程f (x )＋g (x )＝－1恰有一解．③当x ≥2时，f (x )＋g (x )＝ln x ＋x 2－6单调递增，值域为[ln 2－2，＋∞)，方程f (x )＋g (x )＝1恰有一解，方程f (x )＋g (x )＝－1恰有一解．综上所述，原方程有4个实根． 答案：43．(2018·全国卷Ⅰ改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x ＞0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是________．解析：令h (x )＝－x －a ，则g (x )＝f (x )－h (x )．在同一坐标系中画出y ＝f (x )，y ＝h (x )的示意图，如图所示．若g (x )存在2个零点，则y ＝f (x )的图象与y ＝h (x )的图象有2个交点，平移y ＝h (x )的图象，可知当直线y ＝－x －a 过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a ，a ＝－1.当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1上方，即a ＜－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1下方，即a ＞－1时，有2个交点，符合题意．综上，a 的取值范围是[－1，＋∞)．答案：[－1，＋∞)4．(2018·天津高考)已知a ＞0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ＋a ，x ≤0，－x 2＋2ax －2a ，x ＞0.若关于x 的方程f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是________．解析：法一：作出函数f (x )的大致图象如图所示．l 1是过原点且与抛物线y ＝－x 2＋2ax －2a 相切的直线，l 2是过原点且与抛物线y ＝x 2＋2ax ＋a 相切的直线．由图可知，当直线y ＝ax 在l 1，l 2之间(不含直线l 1，l 2)变动时，符合题意．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ，y ＝－x 2＋2ax －2a ，消去y ，整理得x 2－ax ＋2a ＝0.由Δ＝a 2－8a ＝0，得a ＝8(a ＝0舍去)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ，y ＝x 2＋2ax ＋a ，消去y ，整理得x 2＋ax ＋a ＝0.由Δ＝a 2－4a ＝0，得a ＝4(a ＝0舍去)． 综上可得a 的取值范围是(4,8)．法二：当x ≤0时，由x 2＋2ax ＋a ＝ax ，得a ＝－x 2－ax ；当x ＞0时，由－x 2＋2ax －2a ＝ax ，得2a ＝－x 2＋ax .令g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax ，x ≤0，－x 2＋ax ，x ＞0.作出直线y ＝a ，y ＝2a ，函数g (x )的图象如图所示，g (x )的最大值为－a 24＋a 22＝a 24，由图象可知，若f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解，则a ＜a 24＜2a ，解得4＜a ＜8. 答案：(4,8)命题点三 函数模型及其应用1．(2018·浙江高考)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x ，y ，z ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝100，5x ＋3y ＋13z ＝100，当z ＝81时，x ＝______，y ＝_______.解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋81＝100，5x ＋3y ＋13×81＝100，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝19，5x ＋3y ＝73，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝11.答案：8 112．(2015·江苏高考)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l .如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M到l 1，l 2的距离分别为5千米和40千米，点N 到l 1，l 2的距离分别为 20千米和2.5千米．以l 2，l 1所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy .假设曲线C 符合函数y ＝ax 2＋b(其中a ，b 为常数)模型．(1)求a ，b 的值．(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t . ①请写出公路l 长度的函数解析式f (t )，并写出其定义域． ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度． 解：(1)由题意知，点M ，N 的坐标分别为(5,40)，(20，2.5)．将其分别代入y ＝a x 2＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 25＋b ＝40，a 400＋b ＝2.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1 000，b ＝0.(2)①由(1)知，y ＝1 000x2(5≤x ≤20)， 则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，1 000t 2. 设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 两点，y ′＝－2 000x3， 则l 的方程为y －1 000t 2＝－2 000t3(x －t )， 由此得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 2，0，B ⎝⎛⎭⎪⎫0，3 000t 2. 故f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3 000t 22＝32 t 2＋4×106t 4，t ∈[5,20]． ②设g (t )＝t 2＋4×106t 4，则g ′(t )＝2t －16×106t5. 令g ′(t )＝0，解得t ＝10 2.当t ∈(5,102)时，g ′(t )＜0，g (t )是减函数；当t ∈(102，20)时，g ′(t )＞0，g (t )是增函数．从而，当t ＝102时，函数g (t )有极小值，也是最小值，所以g (t )min ＝300，此时f (t )min ＝15 3.故当t ＝102时，公路l 的长度最短，最短长度为153千米．3．(2012·江苏高考)如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k ＞0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．解：(1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0，故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．(2)因为a ＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k ＞0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0⇔a ≤6.所以当a 不超过6(千米)时，可击中目标．。

第九节 函数模型及其应用[考纲传真] 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．1．常见的几种函数模型(1)一次函数模型：y ＝kx ＋b (k ≠0)．(2)反比例函数模型：y ＝k x ＋b (k ，b 为常数且k ≠0)．(3)二次函数模型：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)．(4)指数函数模型：y ＝a ·b x ＋c (a ，b ，c 为常数，b ＞0，b ≠1，a ≠0)．(5)对数函数模型：y ＝m log a x ＋n (m ，n ，a 为常数，a ＞0，a ≠1，m ≠0)．(6)幂函数模型：y ＝a ·x n ＋b (a ≠0)．2．三种函数模型之间增长速度的比较(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝2x 的函数值比y ＝x 2的函数值大．( ) (2)幂函数增长比直线增长更快．( ) (3)不存在x 0，使ax 0＜x n 0＜log a x 0.( ) (4)f (x )＝x 2，g (x )＝2x，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，恒有h (x )＜f (x )＜g (x )．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．已知某种动物繁殖量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 3(x ＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到( )A ．100只B ．200只C ．300只D ．400只 B [由题意知100＝a log 3(2＋1)，∴a ＝100，∴y ＝100log 3(x ＋1)，当x ＝8时，y ＝100log 3 9＝200.]3．(教材改编)在某种新型材料的研制中，试验人员获得了下列一组试验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )A.y ＝2x2C ．y ＝12(x 2－1) D ．y ＝2.61cos xB [由表格知当x ＝3时，y ＝1.59，而A 中y ＝23＝8，不合要求；B 中y ＝log 23∈(1,2)，符合要求；C 中y ＝12(32－1)＝4，不合要求；D 中y ＝2.61cos 3＜0，不合要求，故选B.]4．一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，燃烧时剩下的高度h (cm)与燃烧时间t (h)的函数关系用图象表示为( )B [由题意h ＝20－5t,0≤t ≤4.结合图象知应选B.]5．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________．＋p＋q－1 [设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，∴x＝＋p＋q－1.]1．某工厂63年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是( )A B C DA[前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A、C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，产品的总产量应呈直线上升，故选A.]2．物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )B[由运输效率逐步提高，可得曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故选B.]3．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油D[根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对．]构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选.验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的.【例1】某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②.(注：利润和投资单位：万元)① ②(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产．①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？[解] (1)f (x )＝0.25x (x ≥0)，g (x )＝2x (x ≥0)．(2)①由(1)得f (9)＝2.25，g (9)＝29＝6，所以总利润y ＝8.25万元．②设B 产品投入x 万元，A 产品投入(18－x )万元，该企业可获总利润为y 万元．则y ＝14(18－x )＋2x ，0≤x ≤18. 令x ＝t ，t ∈[0,32]，则y ＝14(－t 2＋8t ＋18)＝－14(t －4)2＋172. 所以当t ＝4时，y m ax ＝172＝8.5， 此时x ＝16,18－x ＝2.所以当A ，B 两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润为8.5万元． 认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数利用该模型求解实际问题易错警示：解决实际问题时要注意自变量的取值范围真菌数目繁殖为原来的2倍．经测量知该真菌的繁殖规律为y ＝10e λt ，其中λ为常数，t 表示时间(单位：小时)，y 表示真菌个数．经过8小时培养，真菌能达到的个数为( )A ．640B ．1 280C ．2 560D ．5 120 C [原来的细菌数为10，由题意可得，在函数y ＝10e λt 中，当t ＝1时，y ＝20，∴20＝10e λ，即e λ＝2，y ＝10e λt ＝10·2t.若t ＝8，则可得此时的细菌数为y ＝10×28＝2 560，故选C.]►考法【例2】 某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R %(即每销售100元征税R 元)，若年销售量为⎝⎛⎭⎪⎫30－52R 万件，要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是( )A ．[4,8]B ．[6,10]C ．[4%,8%]D ．[6%,10%]A [根据题意，要使附加税不少于128万元，需⎝⎛⎭⎪⎫30－52R ×160×R %≥128， 整理得R 2－12R ＋32≤0，解得4≤R ≤8，即R ∈[4,8]．]►考法2 构建指数函数、对数函数模型【例3】 (2019·长春模拟)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( )A ．2018年B ．2019年C ．2020年D ．2021年 B [根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从2015年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{a n }，其中，首项a 1＝130，公比q ＝1＋12%＝1.12，所以a n ＝130×1.12n －1.由130×1.12n －1＞200，两边同时取对数，得n －1＞lg 2－lg 1.3lg 1.12，又lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，则n ＞4.8，即a 5开始超过200，所以2019年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.]►考法3 构建分段函数模型【例4】 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)[解] (1)由题意，当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60，0≤x ≤20，13－x ，20＜x ≤200.(2)依题意并由(1)可得 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60x ，0≤x ≤20，13x －x ，20＜x ≤200.当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20＜x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13x ＋－x 22＝10 0003， 当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．所以当x ＝100时，f (x )在区间(20,200]上取得最大值10 0003. 综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时．(1)(2017而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080，则下列各数中与M N 最接近的是( )(参考数据：lg 3≈0.48)A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093 (2)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价收费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另外每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.(1)D (2)9 [(1)由题意知，lg M N ＝lg 33611080＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80lg 10≈361×0.48－80×1＝93.28.又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93，所以与M N 最接近的是1093.故选D.(2)设出租车行驶了x km ，付费y 元，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0＜x ≤3，8＋x －＋1，3＜x ≤8，8＋2.15×5＋x －＋1，x ＞8.当x ＝8时，y ＝19.75＜22.6，因此由8＋2.15×5＋2.85×(x －8)＋1＝22.6，得x ＝9.]自我感悟：______________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________。

函数及其表示1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域；了解映射的概念．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．知识梳理1．函数的概念(1)给定两个非空的数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于A中任何一个数x，在B中都有唯一确定的数y与之对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A，此时的x叫做自变量，集合A叫做函数的定义域，集合C ＝{f(x)|x∈A}叫做函数的值域且C B.(2)函数有三个要素：定义域、值域和对应关系.2．函数的表示列表法：用表格的形式表示两个变量之间函数关系的方法，称为列表法．图象法：用图象把两个变量间的函数关系表示出来的方法，称为图象法．解析法：一个函数的对应关系可以用自变量的解析式表示出来，这种方法称为解析法．3．分段函数分段函数的定义：在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数称为分段函数．4．映射的概念如果两个非空集合A与B之间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素，B 中总有唯一确定的元素y与之对应，就称这种对应是从集合A到集合B的映射．1．函数是一种特殊的映射，映射不一定是函数．从A到B的映射，A，B若不是数集，则这个映射便不是函数．2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.热身练习 1．考察下列图象：其中能够作为函数图象的是 A ，B ，C .抓住函数的定义进行判断．对每一个x ，都有唯一确定的y 与之对应才构成函数关系，表现在图象上为在定义域范围内与x 轴垂直的直线与图象有且只有1个交点，由此可知，A ，B ，C 都能作为函数图象，D 不能作为函数图象．2．(经典真题)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则a ＝ －2 .由f (x )＝ax 3－2x 可得f (－1)＝－a ＋2＝4，所以a ＝－2.3．下列函数中，f (x )与g (x )表示同一函数是(D) A ．f (x )＝(x －1)0，g (x )＝1 B ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2C ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2D ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2A 的定义域不同，B 的值域不同，C 的对应法则不同，只有D 的定义域、值域、对应法则都相同．4．设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x，x <0，则f [f (－2)]＝(C)A ．－1 B.14C.12D.32因为－2＜0，所以f (－2)＝2－2＝14＞0，所以f (14)＝1－14＝1－12＝12. 5．已知函数满足f (x －1)＝x 2－3，则f (2)的值为(B) A ．－2 B ．6 C ．1 D ．0(方法一)令x －1＝t ，则x ＝t ＋1，所以f (t )＝(t ＋1)2－3， 所以f (2)＝(2＋1)2－3＝6.(方法二)f (x －1)＝(x －1)2＋2(x －1)－2，所以f (x )＝x 2＋2x －2，所以f (2)＝22＋2×2－2＝6. (方法三)令x －1＝2，则x ＝3，所以f (2)＝32－3＝6.求函数的定义域(1)函数f (x )＝11－x ＋lg(1＋x )的定义域是A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)(2)设函数f (x )＝ln 1＋x 1－x ，则函数g (x )＝f (x 2)＋f (1x)的定义域为____________．(1)要使f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≠0，x ＋1>0，解得x >－1且x ≠1.故函数f (x )的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)． (2)要使f (x )＝ln 1＋x 1－x 有意义，则1＋x1－x >0，所以－1<x <1.则函数g (x )＝f (x 2)＋f (1x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧－1<x2<1，－1<1x <1，所以x ∈(－2，－1)∪(1,2)．(1)C (2)(－2，－1)∪(1,2)求定义域的基本方法：①若函数是由一些基本初等函数通过四则运算而得到的，则它的定义域是各基本函数定义域的交集；②已知函数f (x )的定义域为D ，则f [g (x )]的定义域为满足g (x )∈D 的x 的取值范围．1．(1)函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是(D) A ．[－3,1] B ．(－3,1)C ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)(2)(2018·重庆模拟)已知函数f (x )的定义域为[－1,2]，则函数y ＝f (x )＋f (－x )的定义域是(A)A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－1,2]D ．(－2,1](1)要使函数有意义，只需x 2＋2x －3>0， 即(x ＋3)(x －1)>0，解得x <－3或x >1. 故函数的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)． (2)因为f (x )的定义域为[－1,2]，要使函数y ＝f (x )＋f (－x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2，－1≤－x ≤2，解得－1≤x ≤1.所以y ＝f (x )＋f (－x )的定义域为[－1,1]．求函数的解析式(1)(2016·浙江卷)设函数f (x )＝x 3＋3x 2＋1，已知a ≠0，且f (x )－f (a )＝(x －b )(x－a )2，x ∈R ，则实数a ＝________，b ＝________.(2)已知f (1x ＋1)＝x 2＋1x 2＋3x，则f (x )＝___________________________.(1)先利用函数解析式将f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2的左边表示出来，再化简右边，然后利用多项式相等的条件求解即可．因为f (x )＝x 3＋3x 2＋1，则f (a )＝a 3＋3a 2＋1， 所以f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2＝(x －b )(x 2－2ax ＋a 2) ＝x 3－(2a ＋b )x 2＋(a 2＋2ab )x －a 2b ＝x 3＋3x 2－a 3－3a 2. 由此可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝－3，a 2＋2ab ＝0，a 3＋3a 2＝a 2b .①②③因为a ≠0，所以由②得a ＝－2b ， 代入①式得b ＝1，a ＝－2.(2)令t ＝1x ＋1，则x ＝1t －1(t ≠1)，于是f (t )＝1t －12＋11t －12＋31t －1＝1＋(t －1)2＋3(t －1)＝t 2＋t －1(t ≠1)．所以f (x )＝x 2＋x －1(x ≠1)．(1)－2 1 (2)x 2＋x －1(x ≠1) 求函数解析式的常用方法：(1)待定系数法：若已知函数类型(如一次函数、二次函数、反比例函数及其他所有形式已知的函数)，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f [g (x )]的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．2．(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x ＋1)＝ x 2＋2x (x ≥0) .(2)已知函数f (x )是一次函数，且f (8)＝15，f (14)，f (5)，f (2)成等比数列，则f (x )＝ 2x －1 .(1)设u ＝x ＋1≥1，则x ＝(u －1)2，所以f (u )＝(u －1)2＋2(u －1)＝u 2－1， 所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)，所以f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1＝x 2＋2x (x ≥0)． (2)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 由f (8)＝15，得8a ＋b ＝15，① 又f (14)，f (5)，f (2)成等比数列， 所以[f (5)]2＝f (2)·f (14)， 得(5a ＋b )2＝(14a ＋b )(2a ＋b a 2＋6ab ＝0.因为a ≠0，所以a ＝－2b ，②由①②得a ＝2，b ＝－1，所以f (x )＝2x －1.分段函数(2017·山东卷)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，x －，x ≥1.若f (a )＝f (a ＋1)，则f (1a)＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8先由f (a )＝f (a ＋1)求出a ，再求f (1a)．求f (a )和f (a ＋1)时，将a ，a ＋1代入分段函数的哪一个表达式中？这就必须依据分段函数的定义域对a 进行分类讨论．若0<a <1，a ＋1>1，由f (a )＝f (a ＋1)得a ＝2(a ＋1－1)，所以a ＝14，所以f (1a)＝f (4)＝2×(4－1)＝6.若a ≥1，a ＋1>1，由f (a )＝f (a ＋1)得 2(a －1)＝2(a ＋1－1)，此方程无解． 综上，f (1a)＝6.C(1)分段函数是一个函数，“分段求解”是解决分段函数的基本原则． (2)在求分段函数的值时，一定要注意自变量的值所在的区间，再代入相应的解析式，自变量的值不确定时，要分类讨论．3．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1， x ＞0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是(D)A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)(方法一：利用分段函数分段求解)①当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)＜f (2x )，即为2－(x ＋1)＜2－2x，即－(x ＋1)＜－2x ，解得x ＜1.因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≤0，2x ＞0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，2x ≤0，即－1＜x ≤0时，f (x ＋1)＜f (2x )，即1＜2－2x，解得x ＜0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，2x ＞0，即x ＞0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，0)． (方法二：借助函数图象求解)因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1， x ＞0，所以函数f (x )的图象如图所示．由图可知，当x ＋1≤0且2x ≤0时，函数f (x )为减函数， 故f (x ＋1)＜f (2x )转化为x ＋1＞2x .此时x ≤－1. 当2x ＜0且x ＋1＞0时，f (2x )＞1，f (x ＋1)＝1， 满足f (x ＋1)＜f (2x )．此时－1＜x ＜0.综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，－1]∪(－1，0)＝(－∞，0)．1．函数的定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，都必须在定义域上进行，求函数的定义域，主要掌握以下两种类型：(1)由解析式给出的函数，根据其定义域求出使函数有意义的自变量的取值范围．其主要依据是：①分式的分母不为0；②偶次方根的被开方数不小于0； ③对数的真数大于0；④指数函数和对数函数的底数大于0且不等于1.(2)复合函数f [g (x )]的定义域：若f (x )的定义域为D ，则满足g (x )∈D 的x 的集合是f [g (x )]的定义域．2．求函数的解析式主要掌握如下两种方法：(1)给出函数的特征，求函数的解析式，可用待定系数法，如函数是二次函数，可设函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a，b，c是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出a，b，c即可．(2)换元法求解析式，已知f[h(x)]＝g(x)，求f(x)的问题，往往可设h(x)＝t，从中解出x，代入g(x)进行换元求解．但用换元法时，要注意新元的范围．3．分段函数问题要分段求解．如求分段函数f(x0)时，首先要判断x0属于定义域的哪个子集，然后代入相应的关系，当不能确定时，要注意分类讨论．函数的值域与最值1．掌握求值域或最值的基本方法，会求一些简单函数的值域或最值．2．建立函数思想，能应用函数观点(如应用函数的值域、最值)解决数学问题．知识梳理1．函数的值域值域是函数值的取值范围，它是由定义域和对应法则所确定的，所以求值域时要注意定义域.2．函数的最值1．基本函数的值域(1)一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域为 R ； (2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域： 当a ＞0时，值域为 [4ac －b24a ，＋∞) ；当a ＜0时，值域为 (－∞，4ac －b24a] ；(3)反比例函数y ＝k x(x ≠0)的值域为y ∈R ，且 y ≠0 ； (4)指数函数y ＝a x(a ＞0且a ≠1)的值域为 (0，＋∞) ； (5)对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1，x ＞0)的值域为 R ； (6)正、余弦函数的值域为 [－1,1] ，正切函数的值域为 R .2．若f (x )>A 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上，f (x )min >A ；若不等式f (x )<B 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上，f (x )max <B .热身练习1．函数y ＝3x (－1≤x ≤3，且x ∈Z )的值域为(D) A ．[－1,3] B ．[－3,9]C ．{－1,0,1,2,3}D ．{－3,0,3,6,9}由－1≤x ≤3，且x ∈Z ，得x ∈{－1,0,1,2,3}，代入y ＝3x ，得值域为{－3,0,3,6,9}．2．已知函数f (x )的定义域为R ，M 为常数．若p ：对∀x ∈R ，都有f (x )≥M ；q ：M 是函数f (x )的最小值．则p 是q 的(B)A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件对∀x ∈R ，都有f (x )≥M M 是函数f (x )的最小值；M 是函数f (x )的最小值⇒对∀x ∈R ，都有f (x )≥M .所以p 是q 的必要不充分条件．3．(2016·全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是(D)A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x函数y ＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．函数y ＝x 的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)． 函数y ＝2x的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)． 函数y ＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D.4．函数y ＝2x －1x ＋1的值域是(C)A ．RB ．{y |y ≠－1，y ∈R }C ．{y |y ≠2，y ∈R }D ．{2}因为y ＝2x －1x ＋1＝x ＋－3x ＋1＝2－3x ＋1，又因为－3x ＋1≠0，所以2－3x ＋1≠2，即y ≠2. 5．(2018·南阳月考)已知f (x )＝x －1－x ，则(C) A ．f (x )max ＝2，f (x )无最小值 B ．f (x )min ＝1，f (x )无最大值 C ．f (x )max ＝1，f (x )min ＝－1 D ．f (x )max ＝1，f (x )min ＝0f (x )＝x －1－x 的定义域为[0,1]，易知y ＝x 与y ＝－1－x 在[0,1]上是增函数， 所以函数f (x )＝x －1－x 在[0,1]上是增函数， 所以f (x )max ＝f (1)＝1，f (x )min ＝f (0)＝－1，故选C.求函数的值域或最值求下列函数的值域： (1)y ＝－x 2＋2x ，x ∈[0,3]； (2)y ＝2x ＋1x －3；(3)f (x )＝2x＋log 3x ，x ∈[1,3]．(1)因为y ＝－(x －1)2＋1，x ∈[0,3]， 结合函数图象可知，所求函数的值域为[－3,1]． (2)因为y ＝x －＋7x －3＝2＋7x －3，而7x －3≠0，所以所求函数的值域为{y ∈R |y ≠2}．(3)由于f (x )为增函数，所以f (1)≤f (x )≤f (3)， 所以函数的值域为[2,9]．求函数值域的常用方法：(1)配方法——转化为二次函数在闭区间上的最值，与二次型函数有关的函数常用此法． (2)分离常数法——分式型函数注意用此法． (3)利用函数的单调性； (4)利用基本不等式等．1．求下列函数的值域： (1)y ＝1－x21＋x 2；(2)y ＝x －1－2x .(1)y ＝1－x 21＋x 2＝2－＋x21＋x2＝21＋x2－1， 因为1＋x 2≥1，所以0<21＋x 2≤2，所以－1<21＋x 2－1≤1，即y ∈(－1,1]．(2)设1－2x ＝t (t ≥0)，得x ＝1－t22，所以y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1≤12(t ≥0)，所以y ∈(－∞，12]．分段函数的值域或最值(经典真题)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是____________．因为当x ≤2时，y ＝－x ＋6≥4. f (x )的值域为[4，＋∞)，所以当x >2，a >1时，3＋log a x >3＋log a 2≥4， 所以log a 2≥1，所以1<a ≤2；当0<a <1时，3＋log a x <3＋log a 2，不合题意． 故a ∈(1,2]．(1,2](1)本题主要考查单调性的应用，分段函数的值域等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力及分类讨论能力．(2)分段函数的值域为函数f (x )在各个段上函数值域的并集．本题f (x )在x ≤2这段的值域为[4，＋∞)，要f (x )的值域为[4，＋∞)，只要f (x )在x >2这段的值域是[4，＋∞)的子集就行了．2．(经典真题)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≤1，x ＋6x－6， x >1，则f [f (－2)]＝ －12，f (x )的最小值是 26－6 .f [f (－2)]＝f (4)＝4＋64－6＝－12.当x ≤1时，f (x )min ＝0；当x ＞1时，f (x )＝x ＋6x－6≥26－6，当且仅当x ＝6x，即x ＝6时，等号成立．所以f (x )min ＝26－6<0.综上，f (x )的最小值是26－6.恒成立问题(2018·泉州期末)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈(0，12]成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52D ．－3从题目条件的切入点不同可以有多种方法求解，主要有：配方法、分离变量法，下面用分离变量法进行求解．因为x ∈(0，12]，所以a ≥－x 2－1x ＝－x －1x，因为y ＝x ＋1x 在(0，12]上单调递减，在x ＝12处取得最小值52，所以－(x ＋1x )≤－52.故a 的最小值为－52.C(1)恒成立问题常转化为最值问题．一般地，若f (x )>A 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上，f (x )min >A ；若不等式f (x )<B 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上，f (x )max <B .(2)含参数问题的处理常采用分离变量法，分离变量后，转化为函数的最值问题．3．已知ax 2＋x ≤1对任意x ∈(0,1]恒成立，则实数a 的取值范围为 (－∞，0] .因为x >0，所以ax 2＋x ≤1可化为a ≤1x 2－1x.要使a ≤1x 2－1x对任意x ∈(0,1]恒成立，令f (x )＝1x 2－1x，x ∈(0,1]，则只需要a ≤[f (x )]min .设t ＝1x，因为x ∈(0,1]，所以t ≥1，则1x 2－1x ＝t 2－t ＝(t －12)2－14， 所以当t ＝1时，(t 2－t )min ＝0， 即x ＝1时，f (x )min ＝0.所以a ≤0，即实数a 的取值范围为(－∞，0]．1．函数值的集合叫做函数的值域，值域是由定义域和对应法则所确定的，因此，在研究函数的值域时，既要重视对应法则的作用，又要特别注意定义域对值域的制约作用．2．求值域的具体方法很多，如配方法、利用函数的单调性、不等式法等，但没有通用的方法和固定模式，要靠在学习过程中不断积累，抓住特点，掌握规律．要记住各种基本函数的值域，总结什么结构特点的函数用什么样的方法求值域，以及使用各种方法的注意事项，并在解决求值域问题时注意选择最优的解法．3．函数的值域常常化归为函数的最值问题，要重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用．4．恒成立问题常转化为最值问题．一般地，若f(x)>A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上，f(x)min>A；若不等式f(x)<B在区间D上恒成立，则等价于在区间D上，f(x)max<B.函数的单调性1．理解函数的单调性及其几何意义．2．会运用函数图象理解和研究函数的性质．3．能够熟练地应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性．知识梳理1．函数的单调性的定义给定区间D上的函数f(x)，若对于任意的x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f(x1) ＜f(x2)，则f(x)为区间D上的增函数．对于任意的x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f(x1) ＞f(x2)，则f(x)为区间D上的减函数．2．函数的单调区间的定义如果函数y＝f(x)在某个区间D上是增函数或是减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.如果函数是增函数，则称区间D 为 增区间 ，如果函数是减函数，则称区间D 为 减区间 .3．单调函数的图象特征增函数的图象是 上升 的(如图1)，减函数的图象是 下降 的(如图2)．图1图21．单调性定义的等价形式：设x 1，x 2∈[a ，b ]，且x 1≠x 2，那么 (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2f x 1－f x 2x 1－x 2f (x )在[a ，b ]上是 增函数 ； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2f x 1－f x 2x 1－x 2f (x )在[a ，b ]上是 减函数 .2．判断单调性的常用结论(1)若f (x )，g (x )均为增(减)函数，则f (x )＋g (x )为 增(减) 函数． (2)若f (x )为增(减)函数，则－f (x )为 减(增) 函数．(3)y ＝f [g (x )]是定义在M 上的函数，若f (x )与g (x )的单调性相同，则其复合函数f [g (x )]为 增函数 ；若f (x )，g (x )的单调性相反，则其复合函数f [g (x )]为 减函数 .(4)已知函数y ＝f (x )，给定区间D ，若对D 内任意的x ，f ′(x )>0，则函数在区间D 上单调 递增 ；若对D 内任意的x ，f ′(x )<0，则函数在区间D 上单调 递减 .热身练习1．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)”的是(D)A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝－e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)根据单调性的定义，满足条件的函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，分别作出选项A ，B ，C ，D 的图象(如下图)，根据图象特征进行判断．由图象可知，应选D.2．(2016·北京卷)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是(D) A ．y ＝11－xB ．y ＝cos xC ．y ＝ln(x ＋1)D ．y ＝2－x选项A 中，y ＝11－x 在(－∞，1)和(1，＋∞)上为增函数，故y ＝11－x在(－1,1)上为增函数；选项B 中，y ＝cos x 在(－1,1)上先增后减；选项C 中，y ＝ln(x ＋1)在(－1，＋∞)上为增函数，故y ＝ln(x ＋1)在(－1,1)上为增函数；选项D 中，y ＝2－x＝(12)x 在R 上为减函数，故y ＝2－x在(－1，1)上为减函数．3．已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值范围为(D) A ．[1,2] B ．(1,2)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，1]∪[2，＋∞)因为二次函数的单调性以对称轴为分界线，故顶点的横坐标不能落在区间(1,2)内，所以a ≥2或a ≤1.4．函数f (x )＝a x＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为(B) A.14 B.12 C ．2 D ．4因为y ＝a x 与y ＝log a (x ＋1)的单调性相同，所以f (x )＝a x＋log a (x ＋1)是单调函数，其最大值和最小值分别在端点处取得， 所以最值之和为f (0)＋f (1)＝a 0＋log a 1＋a ＋log a 2＝a .所以log a 2＋1＝0，所以a ＝12.5．(2018·杭州期中)函数f (x )＝log 12(4－x 2)的单调递增区间为 [0,2) .函数的定义域是(－2,2)．u ＝4－x 2的递减区间为[0,2)，又因为12<1，根据复合函数的单调性可知，函数f (x )的递增区间为[0,2)．单调性的判定与证明证明函数f (x )＝x ＋a x(a >0)在(0，a )上是减函数．因为没有要求一定要用定义进行证明，因此，除定义证明外，还可考虑用导数进行证明．(方法一)设0<x 1<x 2<a ，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1＋a x 1)－(x 2＋ax 2)＝(x 1－x 2)＋(a x 1－a x 2) ＝(x 1－x 2)(x 1x 2－ax 1x 2)． 因为0<x 1<x 2<a ，所以x 1－x 2<0,0<x 1x 2<a ， 所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以函数f (x )＝x ＋a x在(0，a )上是减函数．(方法二)因为0<x <a ，所以f ′(x )＝1－a x 2＝x 2－ax2<0，所以f (x )在(0，a )上是减函数．(1)单调性的判定与证明的常用方法：①定义法：基本步骤为：一设，二作差，三比较，四下结论．②导数法：若f (x )在某个区间内可导，当f ′(x )＞0时，f (x )为增函数；当f ′(x )＜0时，f (x )为减函数．(2)函数y ＝x ＋ax(a >0)是一种常用函数，俗称“双勾函数”，其图象如下图所示．由图象，你能写出它的单调区间吗？能得出它的哪些性质？1． 证明函数f (x )＝x ＋a x(a >0)在(a ，＋∞)上是增函数．(方法一)设a <x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1＋a x 1)－(x 2＋ax 2)＝(x 1－x 2)＋(a x 1－a x 2) ＝(x 1－x 2)(x 1x 2－ax 1x 2)． 因为a <x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，x 1x 2>a ， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )＝x ＋a x在(a ，＋∞)上是增函数．(方法二)因为x >a ，所以f ′(x )＝1－a x 2＝x 2－ax2>0，所以f (x )在(a ，＋∞)上是增函数．复合函数的单调性(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8) 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞) D．(4，＋∞)由x 2－2x －8>0，得x >4或x <－2. 设t ＝x 2－2x －8，则y ＝ln t 为增函数．要求函数f (x )的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－2x －8在定义域内的单调递增区间． 因为函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间为(4，＋∞)， 所以函数f (x )的单调递增区间为(4，＋∞)．D复合函数y ＝f [g (x )]的单调性可按下列步骤判断： ①将复合函数分解成两个简单的函数，y ＝f (u )与u ＝g (x )； ②确定函数的定义域；③分别确定分解成的两个函数的单调性； ④其单调性规律：复合函数的单调性可概括为一句话：“同增异减”．2．(2018·马山县期中)函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的单调递增区间为 (－∞，1) ，单调递减区间为 (2，＋∞) .令u ＝x 2－3x ＋2＝(x －32)2－14在[32，＋∞)上递增，在(－∞，32)上递减，又因为x 2－3x ＋2>0，所以x >2或x <1.故u ＝x 2－3x ＋2在(2，＋∞)上递增，在(－∞，1)上递减． 又因为y ＝log 12u 为减函数，所以函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)在(2，＋∞)上递减，在(－∞，1)上递增．函数单调性的应用(1)已知f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f (－12)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c(2)(2018·昭通月考)已知函数f (x )是定义域(－3,3)上的增函数，如果f (3－m )<f (m 2－3)，则实数m 的取值范围是( )A ．(2，6)B ．(－6，6)C ．(－6，－2)D ．(－6，－2)∪(2，6)(1)由条件知f (x )的图象关于x ＝1对称，且f (x )在(1，＋∞)上是减函数， 因为a ＝f (－12)＝f (52)，且2<52<3，所以b >a >c .(2)依题意⎩⎪⎨⎪⎧－3<3－m <3，－3<m 2－3<3，3－m <m 2－3，解得2<m < 6.(1)D (2)A(1)单调性是函数的重要性质，它的应用非常广泛，主要表现在两个方面： ①根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系，如比较大小、求函数的最值等； ②根据函数值的大小关系得到自变量的大小关系，如解有关函数不等式等． (2)解函数不等式的一般步骤：第一步，(定性)确定函数f (x )在给定区间上的单调性； 第二步，(转化)将函数不等式转化为f (M )<f (N )的形式；第三步，(去f )运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号，转化为一般的不等式或不等式组；第四步，(求解)解不等式或不等式组确定解集．3．(1)已知f (x )＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则(B)A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，x ＋，x >0.若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是(D)A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1,2)D ．(－2,1)(1)因为函数f (x )＝log 2x ＋11－x在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，所以当x 1∈(1,2)时，f (x 1)<f (2)＝0，当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0， 即f (x 1)<0，f (x 2)>0.(2)因为当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为0， 所以函数图象是一条连续不断的曲线．因为当x ≤0时，f (x )＝x 3为增函数，当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数， 且当x 1<0，x 2>0时，f (x 1)<f (x 2)， 所以f (x )是定义在R 上的增函数．因此不等式f (2－x 2)>f (x )等价于2－x 2>x ， 即x 2＋x －2<0，解得－2<x <1，故选D.1．对于单调性的定义的理解，要注意以下四点：(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念．一个函数在不同的区间上可以有不同的单调区间．(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质．因此，定义中的x 1，x 2具有任意性，不能用特殊值代替．(3)由于定义都是充要性命题，因此由f (x )是增(减)函数，且f (x 1)＜f (x 2x 1＜x 2(或x 1＞x 2)，这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“互逆互推”，即有x 1＜x 2f (x 1)＜f (x 2)(或f (x 1)＞f (x 2))．(4)若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，而不能写成并集．如f (x )＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)都是减函数，单调区间不能写成(－∞，0)∪(0，＋∞)，事实上，f (x )＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不是减函数．2．证明函数的单调性，一般从定义入手，也可以从导数入手；判断函数的单调性或者求函数的单调区间一般可以：①从定义入手；②从导数入手；③从图象入手；④从熟悉的函数入手；⑤从复合函数的单调性规律入手．函数的奇偶性与周期性1．了解奇偶性及周期性的定义．2．掌握判定一些简单函数的奇偶性的方法．3．会解决涉及奇偶性、周期性、单调性的简单综合问题．知识梳理 1．函数的奇偶性函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质，在函数的定义域的真子集内讨论函数的奇偶性是没有意义的．(1)函数的奇偶性的定义①如果对定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x) 成立，那么函数f(x)为奇函数．②如果对定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝f(x) 成立，则函数f(x)为偶函数．显然，函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．(2)奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．2．周期函数(1)周期函数：对于函数f(x)的定义域内的每一个x，都存在一个非零常数T，使得f(x ＋T)＝f(x) 恒成立，则称函数f(x)具有周期性，T叫做f(x)的一个周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．1．函数奇偶性的常用结论(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(4)在公共定义域内有：奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇×奇＝偶；偶×偶＝偶；奇×偶＝奇．2．函数周期性的常用结论对f(x)定义域内的任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝f(x＋b)，则T＝|a－b|.(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝1f x，则T＝2a(a>0)．(4)若f(x＋a)＝－1f x，则T＝2a(a>0)．热身练习1．下列函数为奇函数的是(D) A ．y ＝x B ．y ＝|sin x | C ．y ＝cos x D ．y ＝e x－e －xy ＝x 的定义域为{x |x ≥0}，不具有对称性，故y ＝x 为非奇非偶函数，y ＝|sinx |和y ＝cos x 为偶函数．对于D ，f (x )＝e x－e －x的定义域为R ，f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，故y ＝e x －e －x 为奇函数．2．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是(B) A ．－13 B.13C.12 D ．－12因为f (x )＝ax 2＋bx 为偶函数，所以b ＝0，又偶函数的定义域关于原点对称，所以a －1＋2a ＝0， 所以a ＝13，故a ＋b ＝13.3．下列命题中：①若f (x )是奇函数，且在x ＝0处有定义，则f (0)＝0； ②偶函数必不是单调函数；③奇函数f (x )与偶函数g (x )的定义域的交集为非空集合，则函数f (x )·g (x )一定是奇函数；④若函数f (x )的图象关于y 轴对称，则f (x )一定是偶函数． 正确命题的个数有(D) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个①正确，由f (x )是奇函数，有f (0)＝－f (0)，所以f (0)＝0；②正确；③正确；④正确．4．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝ 12 .(方法一)令x >0，则－x <0.所以f (－x )＝－2x 3＋x 2.因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )＝2x 3－x 2(x >0)． 所以f (2)＝2×23－22＝12.(方法二)f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.5．(2018·红河州二模改编)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝log 2x ，则f (－94)＋f (2)＝ 2 .因为f (x )是周期为2的奇函数，所以f (－94)＝f (－94＋2)＝f (－14)＝－f (14)＝－log 214＝2，f (2)＝f (2＋0)＝f (0)＝0，所以f (－94)＋f (2)＝2＋0＝2.授课提示：见听课手册P 16判断函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝(x －1)1＋x1－x； (2)f (x )＝lg 1－x1＋x.(1)由1＋x 1－x ≥0，可知定义域为[－1,1)．定义域不关于原点对称，故f (x )是非奇非偶函数． (2)由1－x 1＋x>0，得－1<x <1.定义域(－1,1)关于原点对称，且f (－x )＋f (x )＝lg 1＝0， 所以f (－x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数．(1)利用定义判断奇偶性的步骤：(2)在运用定义判断奇偶性时，①若表达式较复杂可适当进行化简后判断(不得改变定义域)；②判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数)是否成立．(3)判断函数的奇偶性除定义法外，还要注意如下方法：①图象法：f (x )的图象若关于原点对称，则f (x )为奇函数；若关于y 轴对称，则f (x )为偶函数．②性质法：如“奇±奇”是奇；“偶±偶”是偶；“奇·奇”是偶，“偶·偶”是偶，“奇·偶”是奇等．1．(1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ， x <0，－x 2＋x ， x >0的奇偶性是(A)A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数也是偶函数(2)(经典真题)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝ 1 .(1)(方法一：利用奇偶性的定义判断) 当x <0时，－x >0，f (－x )＝－(－x )2＋(－x )＝－(x 2＋x )＝－f (x )；当x >0时，－x <0，f (－x )＝(－x )2＋(－x )＝x 2－x ＝－f (x )．所以对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f (－x )＝－f (x )，故f (x )是奇函数． (方法二：用奇偶函数的图象特征判断) 画出y ＝f (x )的图象，如图：其图象关于原点对称，所以f (x )为奇函数． (2)利用奇偶函数的运算性质转化． 因为y ＝x 是奇函数，又f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数， 所以y ＝ln(x ＋a ＋x 2)是奇函数，所以ln(x ＋a ＋x 2)＋ln(－x ＋a ＋x 2)＝0， 即ln(a ＋x 2－x 2)＝ln a ＝0，解得a ＝1.奇偶性与单调性的综合应用(经典真题)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是( )A ．(13，1)B ．(－∞，13)∪(1，＋∞)C ．(－13，13)D ．(－∞，－13)∪(13，＋∞)本题主要是考查函数奇偶性、单调性的综合应用，求解的关键是发现函数的奇偶性和单调性．由f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2可知f (x )为偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，所以f (x )>f (2x －1) ⇔f (|x |)>f (|2x －1|) ⇔|x |>|2x －1|⇔13<x <1.A(1)本题的求解过程中，既要利用函数的奇偶性，又要利用函数的单调性．求解此类问题要注意利用偶函数的性质f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．(2)掌握如下结论，会给解题带来方便： ①f (x )为偶函数f (x )＝f (|x |)．②若奇函数f (x )在x ＝0处有定义，则f (0)＝0.③奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．2．(2017·江苏卷)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x－1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f (a－1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是 [－1，12] .因为f (－x )＝(－x )3－2(－x )＋e －x－1e －x＝－x 3＋2x －e x＋1e x＝－f (x )，所以f (x )＝x 3－2x ＋e x－1e x 是奇函数．因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0，所以f (2a 2)≤－f (a －1)，即f (2a 2)≤f (1－a )．因为f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋e －x ≥3x 2－2＋2e x ·e －x ＝3x 2≥0，所以f (x )在R 上单调递增，所以2a 2≤1－a ，即2a 2＋a －1≤0，所以－1≤a ≤12.奇偶性与周期性的综合应用已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－1f x，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝__________.因为f(x＋2)＝－1f x，所以f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－1f x ＋＝f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数，所以f(105.5)＝f(4×26＋1.5)＝f(1.5)＝f(1.5－4)＝f(－2.5)＝f(2.5)，因为2≤2.5≤3，由题意，得f(2.5)＝2.5.所以f(105.5)＝2.5.2.5(1)本题考查了奇偶性与周期性的综合应用，考查了化归与转化的思想．求解的关键是利用周期性和奇偶性将所求函数值转化为已知区间上的函数值．(2)若对于函数f(x)的定义域内的任一自变量的值x都有f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝1f x或f(x＋a)＝－1f x(a是常数且a≠0)，则f(x)是一个周期为2|a|的周期函数．3．(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(C) A．－50 B．0C．2 D．50因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(1－x)＝－f(x－1)．由f(1－x)＝f(1＋x)，所以－f(x－1)＝f(x＋1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数．由f(x)为奇函数及其定义域得f(0)＝0.又因为f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(2)＝f(0)＝0，所以f(－2)＝0.又f(1)＝2，所以f(－1)＝－2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.1．函数的奇偶性是在整个定义域内讨论的整体性质，要正确理解奇函数与偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)具备奇偶性的必要不充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．2．f(x)为奇函数f(x)的图象关于原点对称；f(x)为偶函数f(x)的图象关于y轴对称．因此可以利用函数的图象的对称性去判断函数的奇偶性．3．判断函数的奇偶性的最基本的方法是利用定义法：首先判断定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，立即可以判定这个函数既不是奇函数也不是偶函数．若定义域关于原点对称，再判断f(－x)是否等于f(x)或－f(x)．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数式进行化简，或应用定义的等价形式f(－x)＝±f(x f(x)±f(－x)＝f－xf x＝±1 (f(x)≠0)．4．奇偶性常常和单调性、周期性结合进行考查，具体求解时，要紧扣奇偶性、周期性的概念，充分利用化归与转化的思想方法．二次函数1．熟练掌握二次函数的定义、图象与性质．2．会求二次函数在闭区间上的最值．知识梳理1．二次函数的三种表达式(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).(2)顶点式：若二次函数f(x)的顶点坐标为(k，h)，则其解析式为f(x)＝a(x－k)2。

第9讲函数模型及其应用1．几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0) 在(0，＋∞)上的单调性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x值增大，图象与y轴接近平行随x值增大，图象与x轴接近平行随n值变化而不同判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)幂函数增长比一次函数增长更快．( )(2)在(0，＋∞)内，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α>0)的增长速度．( )(3)指数型函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．( )(4)不存在x0，使ax0<x n0<log a x0.( )答案：(1)×(2)√(3)√(4)×(教材习题改编)一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的( )答案：B生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( ) A ．36万件 B ．18万件 C ．22万件D ．9万件解析：选B.设利润为L (x )，则利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18 时，L (x )有最大值．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km ，票价是0.5元/km ，如果超过100 km ，超过100 km 的部分按0.4元/km 定价，则客运票价y (元)与行驶千米数x (km)之间的函数关系式是________． 解析：由题意可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0<x ≤100，0.4x ＋10，x >100.答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0<x ≤100，0.4x ＋10，x >100(教材习题改编)某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x 为8万元时，奖励1万元．销售额x 为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y ＝a log 4x ＋b .某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元．解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a log 48＋b ＝1a log 464＋b ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋b ＝1，3a ＋b ＝4.解得a ＝2，b ＝－2. 所以y ＝2log 4x －2，当y ＝8时，即2log 4x －2＝8.x ＝1 024(万元)．答案：1 024一次函数与二次函数模型(高频考点)高考对函数应用的考查，常与二次函数、基本不等式及导数等知识交汇，以解答题为主要形式出现．高考对一次函数、二次函数模型的考查主要有以下两个命题角度：(1)单一考查一次函数或二次函数模型的建立及最值问题；(2)以分段函数的形式考查一次函数和二次函数．[典例引领]角度一单一考查一次函数或二次函数模型的建立及最值问题某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( ) A．10.5万元B．11万元C．43万元D．43.025万元【解析】该公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1(x－212)2＋0.1×2124＋32.因为x∈[0，16]且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元，故选C.【答案】 C角度二以分段函数的形式考查一次函数和二次函数(2018·山西孝义二轮模考)为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．(1)求函数y＝f(x)的解析式及其定义域；(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？【解】(1)当x≤6时，y＝50x－115，令50x－115>0，解得x≥2.3，因为x为整数，所以3≤x≤6.当x>6时，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.令－3x2＋68x－115>0，有3x2－68x＋115<0，结合x为整数得6<x≤20.故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －115（3≤x ≤6，x ∈Z ）－3x 2＋68x －115（6<x ≤20，x ∈Z ）. (2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z )， 显然当x ＝6时，y max ＝185，对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝⎛⎭⎪⎫x －3432＋8113(6<x ≤20，x ∈Z )，当x ＝11时，y max ＝270.因为270>185，所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．一次函数、二次函数及分段函数模型的选取与应用策略(1)在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图象为直线(或其一部分)，一般构建一次函数模型，利用一次函数的图象与性质求解．(2)实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图象为抛物线(或抛物线的一部分)等一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数解析式．结合二次函数的图象、最值求法、单调性、零点等知识将实际问题解决．(3)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．但应关注以下两点： ①构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏； ②分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值． [提醒] (1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域．(2)对构建的较复杂的函数模型，要适时地用换元法转化为熟悉的函数问题求解．[通关练习]1．某种新药服用x 小时后血液中的残留量为y 毫克，如图所示为函数y ＝f (x )的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为( )A ．上午10：00B ．中午12：00C ．下午4：00D ．下午6：00解析：选C.当x ∈[0，4]时，设y ＝k 1x ， 把(4，320)代入，得k 1＝80，所以y ＝80x .当x ∈[4，20]时，设y ＝k 2x ＋b .把(4，320)，(20，0)分别代入可得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－20，b ＝400.所以y ＝400－20x .所以y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧80x ，0≤x ≤4，400－20x ，4<x ≤20.由y ≥240，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，80x ≥240或⎩⎪⎨⎪⎧4<x ≤20，400－20x ≥240. 解得3≤x ≤4或4<x ≤8，所以3≤x ≤8. 故第二次服药最迟应在当日下午4：00.2．某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线的一段．已知跳水板AB 的长为2 m ，跳水板距水面CD 的高BC 为3 m ．为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A 处水平距离h m(h ≥1)时达到距水面最大高度4 m ．规定：以CD 为横轴，BC 为纵轴建立直角坐标系．(1)当h ＝1时，求跳水曲线所在抛物线的方程；(2)若跳水运动员在区域EF 内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h 的取值范围． 解：由题意知抛物线的最高点为(2＋h ，4)，h ≥1，故设抛物线的方程为y ＝a [x －(2＋h )]2＋4.(1)当h ＝1时，最高点为(3，4)，方程为y ＝a (x －3)2＋4.将A (2，3)代入，得3＝a (2－3)2＋4，解得a ＝－1.所以当h ＝1时，跳水曲线所在抛物线的方程为y ＝－(x －3)2＋4.(2)将A (2，3)代入y ＝a [x －(2＋h )]2＋4，整理得ah 2＝－1.① 由题意，方程a [x －(2＋h )]2＋4＝0在区间[5，6]内有一解． 由①得，y ＝f (x )＝a [x －(2＋h )]2＋4＝－1h2[x －(2＋h )]2＋4，则⎩⎪⎨⎪⎧f （5）＝－1h 2（3－h ）2＋4≥0，f （6）＝－1h2（4－h ）2＋4≤0，解得1≤h ≤43.故达到较好的训练效果时h 的取值范围是[1，43]．函数y ＝x ＋a x(a >0)模型[典例引领]小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W (x )万元，在年产量不足8万件时，W (x )＝13x 2＋x (万元)．在年产量不小于8万件时，W (x )＝6x ＋100x －38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【解】 (1)因为每件商品售价为5元，则x 万件商品销售收入为5x 万元， 依题意得，当0<x <8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3；当x ≥8时，L (x )＝5x －⎝⎛⎭⎪⎫6x ＋100x－38－3＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x .所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋4x －3，0<x <8，35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ，x ≥8.(2)当0<x <8时，L (x )＝－13(x －6)2＋9.此时，当x ＝6时，L (x )取得最大值L (6)＝9万元，当x ≥8时，L (x )＝35－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x＝35－20＝15，此时，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时，L (x )取得最大值15万元．因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．应用函数y ＝x ＋a x(a >0)模型的关键点(1)明确对勾函数是正比例函数f (x )＝ax 与反比例函数f (x )＝b x叠加而成的．(2)解决实际问题时一般可以直接建立f (x )＝ax ＋b x的模型，有时可以将所列函数解析式转化为f (x )＝ax ＋b x的形式．[提醒] (1)解决此类问题时一定要关注函数的定义域．(2)利用模型f (x )＝ax ＋b x求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．某村计划建造一个室内面积为800 m 2的矩形蔬菜温室，在矩形温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是多少？ 解：设矩形温室的左侧边长为x m ，则后侧边长为800xm ，所以蔬菜种植面积y ＝(x －4)⎝ ⎛⎭⎪⎫800x －2＝808－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1 600x (4<x <400)．因为x ＋1 600x≥2x ·1 600x＝80，所以y ≤808－2×80＝648.当且仅当x ＝1 600x ，即x ＝40时取等号，此时800x＝20，y max ＝648 m 2.即当矩形温室的边长各为40 m ，20 m 时，蔬菜的种植面积最大，最大面积是648 m 2.指数、对数函数模型[典例引领](1)(2016·高考四川卷)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元．在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( ) (参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年D ．2021年(2)里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．【解析】 (1)设经过x 年后该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，则130(1＋12%)x >200，即1.12x>21.3⇒x >lg21.3lg 1.12＝lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，所以该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年． (2)M ＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6.设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A 1，A 2，则9＝lg A 1－lg A 0＝lg A 1A 0，则A 1A 0＝109， 5＝lg A 2－lg A 0＝lg A 2A 0，则A 2A 0＝105，所以A 1A 2＝104. 即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍． 【答案】 (1)B (2)6 10 000指数型、对数型函数模型(1)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．通常可以表示为y ＝N (1＋p )x(其中N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解．(2)有关对数型函数的应用题，一般都会给出函数解析式，要求根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据值回答其实际意义．(2018·湛江模拟)一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝ae－bt(cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一． 解析：当t ＝0时，y ＝a ； 当t ＝8时，y ＝ae－8b＝12a ，故e －8b＝12. 当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝ae－bt＝18a ，e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e －24b，则t ＝24，所以再经过16 min 容器中的沙子只有开始时的八分之一． 答案：16解决实际应用问题的四大步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下：“对勾”函数的性质 函数f (x )＝x ＋a x(a >0)．(1)该函数在(－∞，－a ]和[a ，＋∞)上单调递增，在[－a ，0)和(0，a ]上单调递减．(2)当x >0时，x ＝a 时取最小值2a ； 当x <0时，x ＝－a 时取最大值－2a . 易错防范(1)易忽视实际问题的自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域．(2)注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．1.如图，在不规则图形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把图形ABCD 分成两部分，设AE ＝x ，左侧部分面积为y ，则y 关于x 的大致图象为( )解析：选D.因为左侧部分面积为y ，随x 的变化而变化，最初面积增加得快，后来均匀增加，最后缓慢增加，只有D 选项适合．2．在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如表：x 0.50 0.99 2.01 3.98 y－0.99－0.010.982.00A ．y ＝2xB ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝log 2x解析：选D.根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B ，C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意．3．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的关系可近似地表示为y ＝x 210－30x ＋4 000，则每吨的成本最低时的年产量为( )A ．240吨B ．200吨C ．180吨D ．160吨解析：选B.依题意，得每吨的成本为y x ＝x 10＋4 000x －30，则yx ≥2x10·4 000x－30＝10， 当且仅当x 10＝4 000x， 即x ＝200时取等号，因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨．4．(2018·福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( ) A ．8 B ．9 C ．10D ．11解析：选C.设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n (n ∈N *)个“半衰期”后的含量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12n<11 000得n ≥10.所以，若探测不到碳14含量，则至少经过了10个“半衰期”．故选C.5．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同的路程，三辆汽车中，甲车消耗汽油量最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该城市用丙车比用乙车更省油 解析：选D.根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A 错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B 错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C 错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D 对． 6.有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成矩形的最大面积为________．(围墙厚度不计) 解析：设矩形的长为x m ，宽为200－x4m ，则S ＝x ·200－x 4＝14(－x 2＋200x )．当x ＝100时，S max ＝2 500 m 2. 答案：2 500 m 27．(2018·上海宝山区模拟)王先生购买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费标准见下表：(注：本地话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位)网络 月租费 本地话费 长途话费 甲：联通130 12元 0.36元/分 0.06元/秒 乙：移动“神州行”无0.60元/分0.07元/秒________秒长途电话才合算．解析：设王先生每月拨打长途电话的时间为x 分钟，所需话费为y 元，若使用联通130，则所需话费y 元与通话时间x 分钟的函数关系式为y ＝12＋0.36×5x ＋3.6x ＝5.4x ＋12；若使用移动“神州行”，则所需话费y 元与通话时间x 分钟的函数关系式为y ＝0.6×5x ＋4.2x ＝7.2x .若用联通130合算，则5.4x ＋12≤7.2x ，解得x ≥203(分钟)＝400(秒)．答案：4008．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x (x ∈N *)件．当x ≤20时，年销售总收入为(33x －x 2)万元；当x ＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y (万元)与x (件)的函数关系式为________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大(年利润＝年销售总收入－年总投资)．解析：当0＜x ≤20时，y ＝(33x －x 2)－x －100＝－x 2＋32x －100；当x ＞20时，y ＝260－100－x ＝160－x .故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0＜x ≤20，160－x ，x ＞20(x ∈N *)．当0＜x ≤20时，y ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156，x ＝16时，y max ＝156.而当x ＞20时，160－x ＜140，故x ＝16时取得最大年利润．答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0＜x ≤20，160－x ，x ＞20(x ∈N *) 169．A ，B 两城相距100 km ，在两城之间距A 城x (km)处建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A 城供电量为每月20亿度，B 城供电量为每月10亿度． (1)求x 的取值范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距A 城多远，才能使供电总费用y 最少？ 解：(1)x 的取值范围为10≤x ≤90. (2)y ＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)．(3)因为y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25 000＝152⎝ ⎛⎭⎪⎫x －10032＋50 0003，所以当x ＝1003时，y min ＝50 0003.故核电站建在距A 城1003km 处，能使供电总费用y 最少．10．某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到(15－0.1x )万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格．问：(1)每套丛书售价定为100元时，书商所获得的总利润是多少万元？(2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？解：(1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，所以每套丛书的供货价格为30＋105＝32(元)，故书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)．(2)每套丛书售价定为x 元时，由⎩⎪⎨⎪⎧15－0.1x >0，x >0，得0<x <150.设单套丛书的利润为P 元，则P ＝x －(30＋1015－0.1x )＝x －100150－x－30，因为0<x <150，所以150－x >0，所以P ＝－[(150－x )＋100150－x]＋120，又(150－x )＋100150－x≥2（150－x ）·100150－x＝2×10＝20，当且仅当150－x ＝100150－x ，即x ＝140时等号成立，所以P max ＝－20＋120＝100.故每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，为100元．1．已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某商人持有资金120万元，他可以在t 1至t 4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t 4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是( )A ．40万元B ．60万元C ．120万元D ．140万元解析：选C.甲6元时该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t 2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40(万元)，乙4元时该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t 4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80(万元)，共获利40＋80＝120(万元)，故选C. 2．我们定义函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)为“下整函数”；定义y ＝{x }({x }表示不小于x 的最小整数)为“上整函数”；例如[4.3]＝4，[5]＝5；{4.3}＝5，{5}＝5.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时(包括1小时)收费2元，超过一小时，不超过2小时(包括2小时)收费4元，以此类推．若李刚停车时间为x 小时，则李刚应付费为(单位：元)( )A ．2[x ＋1]B ．2([x ]＋1)C ．2{x }D ．{2x }解析：选C.如x ＝1时，应付费2元，此时2[x ＋1]＝4，2([x ]＋1)＝4，排除A ，B ；当x ＝0.5时，付费为2元，此时{2x }＝1排除D ，故选C.3．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝ekx ＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在 0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时． 解析：由已知条件，得192＝e b， 所以b ＝ln 192.又因为 48＝e22k ＋b＝e22k ＋ln 192＝192e 22k ＝192(e 11k )2，所以e 11k＝(48192)12＝(14)12＝12.设该食品在33 ℃的保鲜时间是t 小时，则t ＝e 33k ＋ln 192＝192e 33k ＝192(e 11k )3＝192×(12)3＝24.答案：244．某超市2017年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型．①f (x )＝p ·q x(q >0，q ≠1)； ②f (x )＝log p x ＋q (p >0，p ≠1)； ③f (x )＝x 2＋px ＋q .(1)能较准确反映超市月销售额f (x )与月份x 关系的函数模型为________． (2)若所选函数满足f (1)＝10，f (3)＝2，则f (x )min ＝________．解析：(1)因为f (x )＝pq x ，f (x )＝log p x ＋q 是单调函数，f (x )＝x 2＋px ＋q 中，f ′(x )＝2x ＋p ，令f ′(x )＝0，得x ＝－12p ，f (x )有一个零点，可以出现一个递增区间和一个递减区间，所以应选③f (x )＝x 2＋px ＋q 模拟函数． (2)因为f (1)＝10，f (3)＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋p ＋q ＝10，9＋3p ＋q ＝2，解得，p ＝－8，q ＝17，所以f (x )＝x 2－8x ＋17＝(x －4)2＋1，所以f (x )min ＝f (4)＝1. 答案：(1)③ (2)15．声强级Y (单位：分贝)由公式Y ＝10lg ⎝⎛⎭⎪⎫I 10－12给出，其中I 为声强(单位：W/m 2)． (1)平常人交谈时的声强约为10－6W/m 2，求其声强级；(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y ≤50分贝，已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为5×10－7W/m 2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？解：(1)当声强为10－6W/m 2时，由公式Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫I 10－12得Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫10－610－12＝10lg 106＝60(分贝)．(2)当Y ＝0时，由公式Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫I 10－12得10lg ⎝⎛⎭⎪⎫I 10－12＝0.所以I10－12＝1，即I ＝10－12W/m 2，则最低声强为10－12W/m 2.(3)当声强为5×10－7W/m 2时，声强级Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫5×10－710－12＝10lg (5×105)＝50＋10lg 5，因为50＋10lg 5>50，所以这两位同学会影响其他同学休息．6．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是[10，100](单位：万元)．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y (单位：万元)随投资收益x (单位：万元)的增加而增加且资金不超过5万元，同时资金不超过投资收益的20%. (1)若建立函数模型y ＝f (x )制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励函数模型应满足的条件；(2)现有两个奖励函数模型：(ⅰ)y ＝120x ＋1；(ⅱ)y ＝log 2x －2.试分析这两个函数模型是否符合公司要求． 解：(1)设奖励函数模型为y ＝f (x )， 则该函数模型满足的条件是：①当x ∈[10，100]时，f (x )是增函数； ②当x ∈[10，100]时，f (x )≤5恒成立． ③当x ∈[10，100]时，f (x )≤x5恒成立．(2)(a)对于函数模型(ⅰ)y ＝120x ＋1， 它在[10，100]上是增函数，满足条件①；但当x ＝80时，y ＝5，因此，当x >80时，y >5，不满足条件②； 故该函数模型不符合公司要求．(b)对于函数模型(ⅱ)y ＝log 2x －2，它在[10，100]上是增函数，满足条件①，x ＝100时，y max ＝log 2100－2＝2log 25<5，即f (x )≤5恒成立．满足条件②，设h (x )＝log 2x －2－15x ，则h ′(x )＝log 2e x －15，又x ∈[10，100]， 所以1100≤1x ≤110，所以h ′(x )<log 2e 10－15<210－15＝0，所以h (x )在[10，100]上是递减的，因此h (x )<h (10)＝log 210－4<0，即f (x )≤x5恒成立，满足条件③，故该函数模型符合公司要求．综上所述，函数模型(ⅱ)y ＝log 2x －2符合公司要求．关于函数y ＝ax ＋b x(a ≠0，b ≠0)性质的推广 关于函数y ＝ax ＋b x(a ≠0且b ≠0)性质的讨论．当a >0，b >0时[特例] 当a ＝b ＝1时，函数化为f (x )＝x ＋1x.①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇偶性：f (－x )＝－x ＋1－x＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝－f (x )，函数为奇函数．之后只需讨论x >0时的情况.当x >0时，③单调性：Δy ＝x 2－x 1x 1x 2(x 1x 2－1)，令x 1＝x 2＝x ，x 1x 2－1＝0，解得x ＝1，当0<x 1<x 2<1时，f (x )为减函数；当1<x 1<x 2时，f (x )为增函数．④渐近线：当x →0＋时，y →1x；当x →＋∞时，y →x ＋.⑤作出函数图象，如图1.⑥值域：当x ＝1时，f (x )有最小值2，值域为(2，＋∞)．[推广] y ＝ax ＋bx.①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇偶性：f (－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋b x ＝－f (x )，函数为奇函数.当x >0时，③单调性：Δy ＝ax 2＋b x 2－ax 1－b x 1＝x 2－x 1x 1x 2·(ax 1x 2－b )，令x 1＝x 2＝x ，ax 1x 2－b ＝0解得x ＝ab a ，当0<x 1<x 2<ab a 时，f (x )为减函数；当aba<x 1<x 2时，f (x )为增函数．④渐近线：当x →0＋时，y →bx；当x →＋∞时，y →ax ＋.⑤图象略．⑥值域：当x ＝ab a 时，f (x )＝a ab a ＋ab ab＝2ab ，即为最小值2ab ，值域为()2ab ，＋∞.当a <0，b <0时此情况与情况1基本相同，作出函数图象，如图2.设函数为f (x )＝－ax －bx(此时a >0，b >0)①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇偶性：f (－x )＝－f (x )，函数为奇函数.当x >0时，③单调性：Δy ＝x 1－x 2x 1x 2(ax 1x 2－b )，同情况1，x ＝ab a ，得f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，ab a 上为增函数，在⎝⎛⎭⎪⎫ab a ，＋∞上为减函数．④渐近线：当x →0＋时，y →－b x ；当x →＋∞时，y →－ax ＋.⑤图象略．⑥值域：当x ＝ab a 时，f (x )＝－a ab a －abab＝－2ab ，即为最大值－2ab ，值域为()－∞，－2ab . 当a >0，b <0时[特例] 当a ＝1，b ＝－1时，函数化为f (x )＝x －1x.①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇偶性：f (－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝－f (x )，函数为奇函数.当x >0时，③单调性：Δy ＝x 2－x 1x 1x 2(x 1x 2＋1)，得Δy >0，f (x )为增函数．④渐近线：当x →0＋时，y →－1x；当x →＋∞时y →x ＋.⑤作出函数图象，如图3.⑥值域为(－∞，＋∞)．[推广] 改函数为f (x )＝ax －b x(此时b >0)．①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇偶性：f (－x )＝－⎝⎛⎭⎪⎫ax －b x＝－f (x )，函数为奇函数.当x >0时，③单调性：Δy ＝x 2－x 1x 1x 2(ax 1x 2＋b )，得Δy >0，f (x )为增函数．④渐近线：当x →0＋时，y →－b x；当x →＋∞时，y →ax ＋.⑤图象略．⑥值域为(－∞，＋∞)．当a <0，b >0时此情况与情况3基本相同，作出函数图象，如图4.设函数为f (x )＝－ax ＋bx(此时a >0)．①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇偶性：f (－x )＝－f (x )，函数为奇函数．③单调性：Δy ＝x 1－x 2x 1x 2·(ax 1x 2＋b )(x >0)，得Δy <0，f (x )为减函数．④渐近线：当x →0＋时，y →bx；当x →＋∞时，y →－ax ＋.⑤图象略．⑥值域为()－∞，＋∞.1.如图，在不规则图形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把图形ABCD 分成两部分，设AE ＝x ，左侧部分面积为y ，则y 关于x 的大致图象为( )解析：选D.因为左侧部分面积为y ，随x 的变化而变化，最初面积增加得快，后来均匀增加，最后缓慢增加，只有D 选项适合．2．在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如表：x 0.50 0.99 2.01 3.98 y－0.99－0.010.982.00A ．y ＝2xB ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝log 2x解析：选D .根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B ，C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意．3．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的关系可近似地表示为y ＝x 210－30x ＋4 000，则每吨的成本最低时的年产量为( )A ．240吨B ．200吨C ．180吨D ．160吨解析：选B.依题意，得每吨的成本为y x ＝x 10＋4 000x －30，则yx ≥2x10·4 000x－30＝10， 当且仅当x 10＝4 000x， 即x ＝200时取等号，因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨．4．(2018·福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( ) A ．8 B ．9 C ．10D ．11解析：选C.设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n (n ∈N *)个“半衰期”后的含量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12n<11 000得n ≥10.所以，若探测不到碳14含量，则至少经过了10个“半衰期”．故选C.5．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同的路程，三辆汽车中，甲车消耗汽油量最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该城市用丙车比用乙车更省油 解析：选D .根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A 错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B 错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C 错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D 对． 6.有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成矩形的最大面积为________．(围墙厚度不计) 解析：设矩形的长为x m ，宽为200－x 4m ，则S ＝x ·200－x 4＝14(－x 2＋200x )．当x ＝100时，S max ＝2 500 m 2. 答案：2 500 m 27．(2018·上海宝山区模拟)王先生购买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费标准见下表：(注：本地话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位)。

第9讲函数模型及其应用1．几种常见的函数模型判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)幂函数增长比直线增长更快．( )(2)不存在x0，使ax0<x n0<log a x0.( )(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝x a(a>1)的增长速度．( )(4)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·b x＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)×[教材衍化]1．(必修1P107A组T1改编)在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如表：A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2x解析：选D.根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．2．(必修1P102例3改编)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是( ) A．收入最高值与收入最低值的比是3∶1B．结余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D．前6个月的平均收入为40万元解析：选D.由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故A正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，故B正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确；由题图可知，前6个月的平均收入为16×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(万元)，故D 错误．3．(必修1P107A 组T4改编)用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为______．解析：设隔墙的长度为x (0<x <6)，矩形面积为y ，则y ＝x ×24－4x 2＝2x (6－x )＝－2(x －3)2＋18，所以当x ＝3时，y 最大．答案：3 [易错纠偏](1)对三种函数增长速度的理解不深致错； (2)建立函数模型出错；(3)分段函数模型的分并把握不准．1．已知f (x )＝x 2，g (x )＝2x，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( )A ．f (x )>g (x )>h (x )B ．g (x )>f (x )>h (x )C ．g (x )>h (x )>f (x )D ．f (x )>h (x )>g (x )解析：选B.由函数性质知，当x ∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为g (x )>f (x )>h (x )．故选B.2．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为______万件．解析：利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值．答案：183．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km ，票价是0.5元/km ，如果超过100 km ，超过100 km 的部分按0.4元/km 定价，则客运票价y (元)与行程千米数x (km)之间的函数关系式是________．解析：由题意可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0<x ≤100，0.4x ＋10，x >100.答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0<x ≤100，0.4x ＋10，x >100应用所给函数模型解决实际问题某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p 元，销售量为Q 件，则销售量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170 p －p 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )A ．30元B ．60元C ．28 000元D ．23 000元【解析】 设毛利润为L (p )元，则由题意知L (p )＝pQ －20Q ＝Q (p －20)＝(8 300－170p －p 2)(p －20)＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000， 所以L ′(p )＝－3p 2－300p ＋11 700.令L ′(p )＝0，解得p ＝30或p ＝－130(舍去)．当p ∈(0，30)时，L ′(p )>0，当p ∈(30，＋∞)时，L ′(p )<0，故L (p )在p ＝30时取得极大值，即最大值，且最大值为L (30)＝23 000.【答案】 D应用所给函数模型解决实际问题的关键点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该模型求解实际问题．1．某市家庭煤气的使用量x (m 3)和煤气费f (x )(元)满足关系式f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧C ，0＜x ≤A ，C ＋B （x －A ），x ＞A .已知某家庭2019年前三个月的煤气费如表：月份 用气量 煤气费 一月份 4 m 34元 二月份 25 m 3 14元 三月份35 m 319元A ．11.5元B ．11元C ．10.5元D ．10元解析：选A.根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，0＜x ≤5，4＋12（x －5），x ＞5，所以f (20)＝4＋12(20－5)＝11.5.2．一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e－bt(cm 3)，经过8min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．解析：当t ＝0时，y ＝a ； 当t ＝8时，y ＝a e－8b＝12a ，故e －8b＝12. 当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝a e－bt＝18a ，e－bt＝18＝(e －8b )3＝e －24b，则t ＝24，所以再经过16 min 容器中的沙子只有开始时的八分之一．答案：16构建函数模型解决实际问题(高频考点)构建函数模型是每年高考的重点，难度中等．主要命题角度有： (1)构建二次函数模型；(2)构建指数函数、对数函数模型； (3)构建分段函数模型；(4)构建y ＝x ＋ax(a >0)模型．角度一 构建二次函数模型某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R %(即每销售100元征税R 元)，若年销售量为(30－52R )万件，要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是( )A ．[4，8]B ．[6，10]C ．[4%，8%]D ．[6%，10%]【解析】 根据题意，要使附加税不少于128万元，需⎝⎛⎭⎪⎫30－52R ×160×R %≥128，整理得R 2－12R ＋32≤0，解得4≤R ≤8， 即R ∈[4，8]． 【答案】 A角度二 构建指数函数、对数函数模型某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年D ．2021年【解析】 根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从2015年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{a n }，其中，首项a 1＝130，公比q ＝1＋12%＝1.12，所以a n ＝130×1.12n －1.由130×1.12n －1>200，两边同时取对数，得n －1>lg 2－lg 1.3lg 1.12，又lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，则n >4.8，即a 5开始超过200，所以2019年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.【答案】 B角度三 构建分段函数模型提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)【解】 (1)由题意，当0≤x ≤20时，v (x )＝60； 当20<x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x ≤20，13（200－x ），20<x ≤200.(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x ≤20，13x （200－x ），20<x ≤200.当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20<x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋（200－x ）22＝10 0003，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．所以当x ＝100时，f (x )在区间(20，200]上取得最大值10 0003.综上，当x ＝100时，f (x )在区间[]0，200上取得最大值10 0003≈3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时．角度四 构建y ＝x ＋ax(a >0)模型要建造一个容积为2 400 m 3，深为6 m 的长方体无盖水池．池底造价为100元/m 2，池壁造价为80元/m 2，则最低造价为________(元)．【解析】 设水池长为x ，则宽为2 4006x ＝400x .则总造价y ＝(12x ＋4 800x)×80＋400×100＝960(x ＋400x)＋40 000≥960×2x ×400x＋40 000＝78 400(元)． 当且仅当x ＝400x，即x ＝20时，最低造价为78 400元． 【答案】 78 400构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制．为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为：y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为100元，则该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？解：设该单位每月获利为S ，则S ＝100x －y＝100x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80 000 ＝－12x 2＋300x －80 000 ＝－12(x －300)2－35 000， 因为400≤x ≤600，所以当x ＝400时，S 有最大值－40 000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损．核心素养系列4 数学建模——函数建模在实际问题中的妙用 某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来年利润y (百万元)与年投资成本x (百万元)变化的一组数据： 年份2008 2009 2010 2011 … 投资成本x3 5 9 17 … 年利润y 1 2 34 …给出以下3个函数模型：①y ＝kx ＋b (k ≠0)；②y ＝ab x(a ≠0，b ＞0，且b ≠1)；③y ＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1)．(1)选择一个恰当的函数模型来描述x ，y 之间的关系；(2)试判断该企业年利润超过6百万元时，该企业是否要考虑转型．【解】 (1)将(3，1)，(5，2)代入y ＝kx ＋b (k ≠0)，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝3k ＋b ，2＝5k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，b ＝－12，所以y ＝12x －12. 当x ＝9时，y ＝4，不符合题意； 将(3，1)，(5，2)代入y ＝ab x (a ≠0，b ＞0，且b ≠1)，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝ab 3，2＝ab 5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝24，b ＝2，所以y ＝24·(2)x ＝2x －32. 当x ＝9时，y ＝29－32＝8，不符合题意；将(3，1)，(5，2)代入y ＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1)， 得⎩⎪⎨⎪⎧1＝log a （3＋b ），2＝log a （5＋b ），解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1，所以y ＝log 2(x －1)． 当x ＝9时，y ＝log 28＝3；当x ＝17时，y ＝log 216＝4.故可用③来描述x ，y 之间的关系．(2)令log 2(x －1)>6，则x >65. 因为年利润665＜10%，所以该企业要考虑转型．解函数模型的实际应用题，首先应考虑该题考查的是何种函数，然后根据题意列出函数关系式(注意定义域)，并进行相关求解，最后结合实际意义作答．――――→读题（文字语言） ――――→建模（数学语言） ――――→求解（数学应用） 反馈（检验作答）某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：①f (x )＝p ·q x ；②f (x )＝px 2＋qx ＋1；③f (x )＝x (x －q )2＋p (以上三式中p ，q 均为常数，且q ＞1)．(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?(2)若f (0)＝4，f (2)＝6.①求出所选函数f (x )的解析式(注：函数定义域是[0，5]，其中x ＝0表示8月1日，x ＝1表示9月1日，以此类推)；②为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌．解：(1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势，而中期又将出现价格连续下跌，所以在所给出的函数中应选模拟函数f (x )＝x (x －q )2＋p .(2)①对于f (x )＝x (x －q )2＋p ，由f (0)＝4，f (2)＝6，可得p＝4，(2－q)2＝1，又q＞1，所以q＝3，所以f(x)＝x3－6x2＋9x＋4(0≤x≤5)．②因为f(x)＝x3－6x2＋9x＋4(0≤x≤5)，所以f′(x)＝3x2－12x＋9，令f′(x)＜0，得1＜x＜3.所以函数f(x)在(1，3)内单调递减，所以可以预测这种海鲜将在9月、10月两个月内价格下跌．[基础题组练]1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )A.y＝2x－2 B．y＝(x2－1)2xC．y＝log2x D．y＝log12解析：选B.由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y 的变化随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合，故选B.2．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图象正确的是( )解析：选A.前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A 、C 图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.3．一种放射性元素的质量按每年10%衰减，这种放射性元素的半衰期(剩余质量为最初质量的一半所需的时间叫作半衰期)是(精确到0.1，已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)( )A ．5.2B ．6.6C ．7.1D ．8.3解析：选B.设这种放射性元素的半衰期是x 年，则(1－10%)x ＝12，化简得0.9x ＝12，即x ＝log 0.912＝lg 12lg 0.9＝－lg 22lg 3－1＝－0.301 02×0.477 1－1≈6.6(年)．故选B. 4．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m 3的，按每立方米m 元收费；用水超过10 m 3的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为( )A ．13 m 3B ．14 m 3C ．18 m 3D ．26 m 3解析：选A.设该职工用水x m 3时，缴纳的水费为y 元，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx （0<x ≤10），10m ＋（x －10）·2m （x >10），则10m＋(x－10)·2m＝16m，解得x＝13.5.已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是( )A．40万元B．60万元C．120万元D．140万元解析：选C.甲6元时该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40万元，乙4元时该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80万元，共获利40＋80＝120万元，故选C.6.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为93平方米，且高度不低于3米．记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米．要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x的范围为( )A．[2，4] B．[3，4]C．[2，5] D．[3，5]解析：选B.根据题意知，93＝12(AD ＋BC )h ，其中AD ＝BC ＋2·x 2＝BC ＋x ，h ＝32x ， 所以93＝12(2BC ＋x )32x ，得BC ＝18x －x 2， 由⎩⎪⎨⎪⎧h ＝32x ≥3，BC ＝18x －x 2>0，得2≤x <6. 所以y ＝BC ＋2x ＝18x ＋3x 2(2≤x <6)，由y ＝18x ＋3x 2≤10.5，解得3≤x ≤4.因为[3，4]⊆[2，6)，所以腰长x 的范围是[3，4]．7．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为________升． 解析：因为每次都把油箱加满，第二次加了48升油，说明这段时间总耗油量为48升，而行驶的路程为35 600－35 000＝600(千米)，故每100千米平均耗油量为48÷6＝8(升)．答案：88．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.解析：设出租车行驶x km 时，付费y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0＜x ≤3，8＋2.15（x －3）＋1，3＜x ≤8，8＋2.15×5＋2.85（x －8）＋1，x ＞8，由y ＝22.6，解得x ＝9.答案：99．里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．解析：M ＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6.设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A 1，A 2，则9＝lg A 1－lg A 0＝lg A 1A 0，则A 1A 0＝109， 5＝lg A 2－lg A 0＝lg A 2A 0，则A 2A 0＝105，所以A 1A 2＝104. 即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍．答案：6 10 00010．(2020·杭州八校联考)一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v 的平方成正比，且比例系数为k ，除燃料费外其他费用为每小时96元．当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元．若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为________海里/小时时，总费用最小．解析：设每小时的总费用为y 元，则y ＝kv 2＋96，又当v ＝10时，k ×102＝6，解得k ＝0.06，所以每小时的总费用y ＝0.06v 2＋96，匀速行驶10海里所用的时间为10v 小时，故总费用为W ＝10v y ＝10v (0.06v 2＋96)＝0.6v ＋960v ≥20.6v ×960v ＝48，当且仅当0.6v ＝960v， 即v ＝40时等号成立．故总费用最小时轮船的速度为40海里/小时．答案：4011．A ，B 两城相距100 km ，在两城之间距A 城x (km)处建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A 城供电量为每月20亿度，B 城供电量为每月10亿度．(1)求x 的取值范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距A 城多远，才能使供电总费用y 最少？ 解：(1)x 的取值范围为10≤x ≤90.(2)y ＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)． (3)因为y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25 000＝152⎝ ⎛⎭⎪⎫x －10032＋50 0003，所以当x ＝1003时，y min ＝50 0003.故核电站建在距A 城1003km 处，能使供电总费用y 最少． 12.如图，GH 是一条东西方向的公路，现准备在点B 的正北方向的点A 处建一仓库，设AB ＝y 千米，并在公路旁边建造边长为x 千米的正方形无顶中转站CDEF (其中边EF 在公路GH 上)．若从点A 向公路和中转站分别修两条道路AB ，AC ，已知AB ＝AC ＋1，且∠ABC ＝60°.(1)求y 关于x 的函数解析式；(2)如果中转站四周围墙的造价为10万元/千米，道路的造价为30万元/千米，问x 取何值时，修建中转站和道路的总造价M 最低？解：(1)由题意易知x >1，BC ＝2x ，又AB ＝y ，AC ＝y －1，在△ABC 中，由余弦定理得，(y －1)2＝y 2＋4x 2－2y ·2x ·cos 60°，所以y ＝4x 2－12（x －1）(x >1)．(2)M ＝30(2y －1)＋40x ＝120x 2－30x －1－30＋40x ，其中x >1，设t ＝x －1，则t >0， 所以M ＝120（t ＋1）2－30t －30＋40(t ＋1)＝160t ＋90t＋250≥2160t ·90t＋250＝490，当且仅当t ＝34时等号成立，此时x ＝74.所以当x ＝74时，修建中转站和道路的总造价M 最低．[综合题组练]1．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝ekx ＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )A ．16小时B ．20小时C ．24小时D ．28小时解析：选C.由已知得192＝e b，① 48＝e22k ＋b＝e 22k ·e b，②将①代入②得e 22k＝14，则e 11k＝12，当x ＝33时，y ＝e33k ＋b＝e 33k ·eb＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123×192＝24，所以该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时．故选C.2．某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选C.由题意，当生产第k 档次的产品时，每天可获利润为y ＝[8＋2(k －1)][60－3(k －1)]＝－6k 2＋108k ＋378(1≤k ≤10，k ∈N *)，配方可得y ＝－6(k －9)2＋864，所以当k ＝9时，获得利润最大．选C.3．拟定甲、乙两地通话m 分钟的电话费(单位：元)由f (m )＝1.06(0.5[m ]＋1)给出，其中m ＞0，[m ]是不超过m 的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元．解析：因为m ＝6.5，所以[m ]＝6，则f (m )＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.答案：4.244．某汽车销售公司在A 、B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是________万元．解析：设公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x )辆，所以可得利润y ＝4.1x －0.1x 2＋2(16－x )＝－0.1x 2＋2.1x ＋32＝－0.1⎝⎛⎭⎪⎫x －2122＋0.1×2124＋32.因为x ∈[0，16]且x ∈N ，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元．答案：435．某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．解：(1)由题图，设y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kt ，0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －a ，t ＞1，当t ＝1时，由y ＝4得k ＝4，由⎝ ⎛⎭⎪⎫121－a＝4得a ＝3.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4t ，0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3，t ＞1.(2)由y ≥0.25得⎩⎪⎨⎪⎧0≤t ≤1，4t ≥0.25或⎩⎪⎨⎪⎧t ＞1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3≥0.25， 解得116≤t ≤5.因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝7916(小时)．6．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q 与投入a (单位：万元)满足P ＝80＋42a ，Q ＝14a＋120，设甲大棚的投入为x (单元：万元)，每年两个大棚的总收益为f (x )(单位：万元)．(1)求f (50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f (x )最大？解：(1)由题意知甲大棚投入50万元， 则乙大棚投入150万元，所以f (50)＝80＋42×50＋14×150＋120＝277.5(万元)．(2)f (x )＝80＋42x ＋14(200－x )＋120＝－14x ＋42x ＋250，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥20，200－x ≥20⇒20≤x ≤180，故f (x )＝－14x ＋42x ＋250(20≤x ≤180)．令t ＝x ，则t ∈[25，65]，y ＝－14t 2＋42t ＋250＝－14(t－82)2＋282，当t ＝82，即x ＝128时，f (x )取得最大值，f (x )max ＝282. 所以甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大总收益为282万元．。

2．9 函数模型及其应用[知识梳理]1．七类常见函数模型2．指数、对数、幂函数模型的性质3．解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)解模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：特别提醒：(1)“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢．(2)充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键．(3)易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性．[诊断自测]1．概念思辨(1)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α>0)的增长速度．( )(2)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．( )(3)当a>1时，不存在实数x0，使.( )(4)对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律．( )答案(1)√(2)√(3)√(4)√2．教材衍化(1)(必修A1P59T6)如果在今后若干年内，我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长9%的水平，那么要达到国民经济生产总值比1995年翻两番的年份大约是(lg 2＝0.3010，lg 3＝0.4771，lg 109＝2.0374，lg 0.09＝－2.9543)( )A．2015年 B．2011年 C．2010年 D．2008年答案 B解析设1995年总值为a，经过x年翻两番，则a·(1＋9%)x＝4a.∴x＝2lg 2lg 1.09≈16.故选B.(2)(必修A1P107T1)在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )x1.992345.156.126y1.5174.04187.51218.01A ．y ＝2x －2B ．y ＝12(x 2－1)C ．y ＝log 2xD ．y ＝log 12x答案 B解析 由题意得，表中数据y 随x 的变化趋势，函数在(0，＋∞)上是增函数，且y 的变化随x 的增大越来越快．∵A 中函数是线性增加的函数，C 中函数是比线性增加还缓慢的函数，D 中函数是减函数，∴排除A ，C ，D ，∴B 中函数y ＝12(x 2－1)符合题意．故选B.3．小题热身(1) (2018·湖北八校联考)某人根据经验绘制了2018年春节前后，从1月25日至2月11日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象，如图所示，则此人在1月30日大约卖出了西红柿 ________千克．答案1909解析 前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1，10)和点(10,30)代入函数解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧10＝k ＋b ，30＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝1909.(2)(2017·朝阳区模拟)某商场2017年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：①f (x )＝p ·q x(q >0，q ≠1)； ②f (x )＝log p x ＋q (p >0，p ≠1)； ③f (x )＝x 2＋px ＋q .能较准确反映商场月销售额f (x )与月份x 关系的函数模型为________(填写相应函数的序号)，若所选函数满足f (1)＝10，f (3)＝2，则f (x )＝________.答案 ③ x 2－8x ＋17解析 (ⅰ)因为f (x )＝p ·q x，f (x )＝log q x ＋q 是单调函数，f (x )＝x 2＋px ＋q 中，f ′(x )＝2x ＋p ，令f ′(x )＝0，得x ＝－p2，f (x )出现一个递增区间和一个递减区间，所以模拟函数应选f (x )＝x 2＋px ＋q .(ⅱ)∵f (1)＝10，f (3)＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋p ＋q ＝10，9＋3p ＋q ＝2，解得p ＝－8，q ＝17，∴f (x )＝x 2－8x ＋17，故答案为③；x 2－8x ＋17.题型1 二次函数及分段函数模型典例为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧13x 3－80x 2＋5040x ，x ∈[120，144)，12x 2－200x ＋80000，x ∈[144，500]，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，亏损数额国家将给予补偿．(1)当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果亏损，则国家每月补偿数额的范围是多少？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？本题用函数法，再由均值定理解之．解 (1)当x ∈[200,300]时，设该项目获利为S ，则S ＝200x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80000＝－12x 2＋400x －80000＝－12(x －400)2，所以当x ∈[200,300]时，S <0，因此该单位不会获利． 当x ＝300时，S 取得最大值－5000，当x ＝200时，S 取最小值－20000，所以国家每月补偿数额的范围是[5000,20000]． (2)由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为 y x ＝⎩⎪⎨⎪⎧13x 2－80x ＋5040，x ∈[120，144)，12x ＋80000x －200，x ∈[144，500].①当x ∈[120,144)时，y x ＝13x 2－80x ＋5040＝13(x －120)2＋240，所以当x ＝120时，y x取得最小值240. ②当x ∈[144,500]时，y x ＝12x ＋80000x －200≥2 12x ×80000x－200＝200， 当且仅当12x ＝80000x ，即x ＝400时，yx取得最小值200.因为200<240，所以当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低． 方法技巧一次函数、二次函数及分段函数模型的选取与应用策略1．在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图象为直线(或其一部分)，一般构建一次函数模型，利用一次函数的图象与性质求解．2．实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图象为抛物线(或抛物线的一部分)等一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数解析式．结合二次函数的图象、最值求法、单调性、零点等知识将实际问题解决．见典例．3．实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解，但应关注以下两点：(1)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏； (2)分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值． 提醒：(1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域．(2)对构建的较复杂的函数模型，要适时地用换元法转化为熟悉的函数问题求解．冲关针对训练(2017·广州模拟)某企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图1；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资单位：万元)．(1)分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A ，B 两种产品的生产． ①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？②如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？解 (1)设A ，B 两种产品分别投资x 万元(x ≥0)，所得利润分别为f (x )，g (x )万元． 由题意可设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x (x ≥0)，所以根据图象可解得f (x )＝0.25x (x ≥0)，g (x )＝2x (x ≥0)．(2)①由(1)得f (9)＝2.25，g (9)＝29＝6，所以总利润y ＝8.25万元． ②设B 产品投入x 万元，A 产品投入(18－x )万元，该企业可获总利润为y 万元． 则y ＝14(18－x )＋2x ，0≤x ≤18.令x ＝t ，t ∈[0,3 2 ]，则y ＝14(－t 2＋8t ＋18)＝－14(t －4)2＋172.所以当t ＝4时，y max ＝172＝8.5，此时x ＝16,18－x ＝2，所以当A ，B 两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元．题型2 指数函数模型典例(2017·西安模拟)我国加入WTO 后，根据达成的协议，若干年内某产品的关税与市场供应量P 的关系近似满足：y ＝P (x )＝2(1－kt )(x －b )2(其中t 为关税的税率，且t ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12，x 为市场价格，b ，k 为正常数)，当t ＝18时的市场供应量曲线如图：(1)根据图象求b ，k 的值；(2)若市场需求量为Q ，它近似满足Q (x )＝211－x2.当P ＝Q 时的市场价格称为市场平衡价格．为使市场平衡价格控制在不低于9元的范围内，求税率t 的最小值．本题用函数思想，采用换元法．解方法技巧构建指数函数模型的关注点1．指数函数模型常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决．2．应用指数函数模型时关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型．3．y＝a(1＋x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解．冲关针对训练某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下问题：(1)写出该城市人口总数y(单位：万人)与年份x(单位：年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年)．(1.01210≈1.127,1.01215≈1.196,1.01216≈1.210，解(1)1年后该城市人口总数为y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)，2年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2，3年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)3，……x年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)x.所以该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式是y＝100×(1＋1.2%)x.(2)10年后该城市人口总数为100×(1＋1.2%)10≈112.7(万人)．所以10年后该城市人口总数约为112.7万人．(3)设x 年后该城市人口将达到120万人，即100(1＋1.2%)x ≥120，于是1.012x≥120100，所以x ≥log 1.012120100＝，即大约15年后该城市人口总数将达到120万人． 题型3 对数函数模型典例某企业根据分析和预测，能获得10万～1000万元的投资收益，企业拟制定方案对科研进行奖励，方案：奖金y (万元)随投资收益x (万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金也不超过投资收益的20%，并用函数y ＝f (x )模拟此方案．(1)写出模拟函数y ＝f (x )所满足的条件；(2)试分析函数模型y ＝4lg x －3是否符合此方案要求，并说明理由．用函数思想，采用导数法．解 (1)由题意，y ＝f (x )所满足的条件是： ①f (x )在[10,1000]上为增函数， ②f (x )≤9， ③f (x )≤15x .(2)对于y ＝4lg x －3，显然在[10,1000]上是增函数，满足条件①.当10≤x ≤1000时，4lg 10－3≤y ≤4lg 1000－3，即1≤y ≤9，满足条件②. 证明如下：f (x )≤15x ，即4lg x －3≤15x ，对于x ∈[10,1000]恒成立．令g (x )＝4lg x －3－15x ，x ∈[10,1000]，g ′(x )＝20 lg e －x 5x ，∵e<10，∴lg e<lg 10＝12，∴20lg e<10，又∵x ≥10，∴20lg e －x <0，∴g ′(x )<0对于x ∈[10,1000]恒成立，∴g (x )在[10,1000]上是减函数． ∴g (x )≤g (10)＝4lg 10－3－15×10＝－1<0，即4lg x －3－15x ≤0，即4lg x －3≤15x ，对x ∈[10,1000]恒成立，从而满足条件③.方法技巧本例属奖金分配问题，奖金的收益属对数增长，随着投资收益的增加，奖金的增加会趋向于“饱和”状态，实际中很多经济现象都是这种规律，并注意掌握直接法、列式比较法、描点观察法．冲关针对训练候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？ 解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位， 故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ， 故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2， 所以－1＋log 3Q10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．1．(2015·北京高考)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．加油时间 加油量(升)加油时的累计里程(千米)2015年5月1日 12 35000 2015年5月15日 4835600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程． 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( ) A ．6升 B ．8升 C ．10升 D ．12升答案 B解析 因为第一次(即5月1日)把油加满，而第二次把油加满加了48升，即汽车行驶35600－35000＝600千米耗油48升，所以每100千米的耗油量为8升，故选B.2．(2014·湖南高考)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p ＋q2B.(p ＋1)(q ＋1)－12C.pqD.(p ＋1)(q ＋1)－1答案 D解析 设两年前的年底该市的生产总值为a ，则第二年年底的生产总值为a (1＋p )(1＋q )．设这两年生产总值的年平均增长率为x ，则a (1＋x )2＝a (1＋p )(1＋q )，由于连续两年持续增加，所以x >0，因此x ＝(1＋p )(1＋q )－1，故选D.3．(2015·四川高考)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃ 的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．答案 24解析 依题意有192＝e b,48＝e22k ＋b＝e 22k ·e b ，所以e 22k ＝48e b ＝48192＝14，所以e 11k＝12或－12(舍去)，于是该食品在33 ℃的保鲜时间是e33k ＋b＝(e 11k )3·e b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123×192＝24(小时)．4．(2017·江西九江七校联考)某店销售进价为2元/件的产品A ，该店产品A 每日的销售量y (单位：千件)与销售价格x (单位：元/件)满足关系式y ＝10x －2＋4(x －6)2，其中2<x <6. (1)若产品A 销售价格为4元/件，求该店每日销售产品A 所获得的利润；(2)试确定产品A 的销售价格x 的值，其使该店每日销售产品A 所获得的利润最大．(保留1位小数)解 (1)当x ＝4时，y ＝102＋4×(4－6)2＝21千件，此时该店每日销售产品A 所获得的利润为(4－2)×21＝42千元．(2)该店每日销售产品A 所获得的利润f (x )＝(x －2)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤10x －2＋4(x －6)2＝10＋4(x －6)2(x －2)＝4x 3－56x 2＋240x －278(2<x <6)，从而f ′(x )＝12x 2－112x ＋240＝4(3x －10)(x －6)(2<x <6)．令f ′(x )＝0，得x ＝103，易知在⎝ ⎛⎭⎪⎫2，103上，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；在⎝ ⎛⎭⎪⎫103，6上，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．所以x ＝103是函数f (x )在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，所以当x ＝103≈3.3时，函数f (x )取得最大值．故当销售价格为3.3元/件时，利润最大．[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2018·福州模拟)在一次数学实验中，运用计算器采集到如下一组数据：x －2.0 －1.0 0 1.0 2.03.0y0.240.5112.023.988.02则y 关于x 的函数关系与下列函数最接近的(其中a ，b 为待定系数)是( ) A ．y ＝a ＋bx B ．y ＝a ＋b xC ．y ＝ax 2＋b D ．y ＝a ＋b x答案 B解析 由x ＝0时，y ＝1，排除D ；由f (－1.0)≠f (1.0)，排除C ；由函数值增长速度不同，排除A.故选B.2．(2017·云南联考)某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系可用图象表示的是( )答案 A解析 由于开始的三年产量的增长速度越来越快，故总产量迅速增长，图中符合这个规律的只有选项A ；后三年产量保持不变，总产量直线上升，故选A.3．某杂志每本原定价2元，可发行5万本，若每本提价0.20元，则发行量减少4000本，为使销售总收入不低于9万元，需要确定杂志的最高定价是( )A ．2.4元B ．3元C ．2.8元D ．3.2元 答案 B解析 设每本定价x 元(x ≥2)，销售总收入是y 元，则y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5×104－x －20.2×4×103·x＝104·x (9－2x )≥9×104.∴2x 2－9x ＋9≤0⇒32≤x ≤3，故选B.4．(2017·南昌期末)某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5 km 处B ．4 km 处C ．3 km 处D ．2 km 处 答案 A解析 设仓库与车站距离为x ，土地费用为y 1，运输费用为y 2，于是y 1＝k 1x，y 2＝k 2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝k 110，8＝10k 2，解得k 1＝20，k 2＝45.设总费用为y ，则y ＝20x ＋4x5≥220x ·4x5＝8. 当且仅当20x ＝4x5，即x ＝5时取等号．故选A.5．(2015·北京高考)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下， 在该市用丙车比用乙车更省油 答案 D解析 对于A 选项，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h 时的燃油效率大于5 km/L ，故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米，所以A 错误；对于B 选项，由图可知甲车消耗汽油最少；对于C 选项，甲车以80 km/h 的速度行驶时的燃油效率为10 km/L ，故行驶1小时的路程为80千米，消耗8 L 汽油，所以C 错误；对于D 选项，当最高限速为80 km/h 且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以D 正确．故选D.6．(2017·北京朝阳测试)将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y ＝a en t ．假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟甲桶中的水只有a8，则m 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10 答案 D解析 根据题意知12＝e 5n ，令18a ＝a e n t ，即18＝e n t，因为12＝e 5n ，故18＝e 15n，比较知t ＝15，m ＝15－5＝10.故选D.7．(2016·天津模拟)国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p %，超过280万元的部分按(p ＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p ＋0.25)%，则该公司的年收入是( )A ．560万元B ．420万元C ．350万元D ．320万元 答案 D解析 设该公司的年收入为x 万元，纳税额为y 万元，则由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ×p %，x ≤280，280×p %＋(x －280)×(p ＋2)%，x >280，依题有280×p %＋(x －280)×(p ＋2)%x＝(p ＋0.25)%，解得x ＝320.故选D.8．(2017·北京朝阳区模拟)假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示．横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，下列说法错误的是( )A ．投资3天以内(含3天)，采用方案一B ．投资4天，不采用方案三C ．投资6天，采用方案一D ．投资12天，采用方案二答案 D解析 由图可知，投资3天以内(含3天)，方案一的回报最高，A 正确；投资4天，方案一的回报约为40×4＝160(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＝100(元)，都高于方案三的回报，B 正确；投资6天，方案一的回报约为40×6＝240(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＋50＋60＝210(元)，都高于方案三的回报，C 正确；投资12天，明显方案三的回报最高，所以此时采用方案三，D 错误．故选D.9．(2017·福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( )A ．8B ．9C ．10D ．11 答案 C解析 设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n (n ∈N *)个“半衰期”后的含量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12n <11000得n ≥10.所以，若探测不到碳14含量，则至少经过了10个“半衰期”．故选C.10．(2017·北京朝阳区模拟)某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用)．要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为( )A ．3000元B ．3300元C ．3500元D ．4000元 答案 B解析 由题意，设利润为y 元，租金定为3000＋50x 元(0≤x ≤70，x ∈N )．则y ＝(3000＋50x )(70－x )－100(70－x )＝(2900＋50x )·(70－x )＝50(58＋x )(70－x )≤50⎝⎛⎭⎪⎫58＋x ＋70－x 22，当且仅当58＋x ＝70－x ，即x ＝6时，等号成立，故每月租金定为3000＋300＝3300(元)时，公司获得最大利润，故选B.二、填空题11．(2017·金版创新)“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A (a 为常数)，广告效应为D ＝a A －A .那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a 表示)答案 14a 2解析 令t ＝A (t ≥0)，则A ＝t 2，∴D ＝at －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12a 2＋14a 2.∴当t ＝12a ，即A ＝14a 2时，D 取得最大值．12．一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e－bt(cm 3)，若经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．答案 16解析 当t ＝0时，y ＝a ；当t ＝8时，y ＝a e －8b＝12a ， ∴e －8b＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝a e －bt＝18a . e－bt＝18＝(e －8b )3＝e －24b，则t ＝24，所以再经过16 min. 13．(2014·北京高考改编)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，右图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________．答案 3.75分钟解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＋c ＝0.7，16a ＋4b ＋c ＝0.8，25a ＋5b ＋c ＝0.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2，∴p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－15⎝⎛⎭⎪⎫t －1542＋1316，∴当t ＝154＝3.75时p 最大，即最佳加工时间为3.75分钟．14．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a(a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为________；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量不大于0.25毫克时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．答案 (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t ，0≤t ≤0.1，⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1，t >0.1 (2)0.6解析 (1)设y ＝kt ，由图象知y ＝kt 过点(0.1,1)， 则1＝k ×0.1，k ＝10，∴y ＝10t (0≤t ≤0.1)．由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a 过点(0.1,1)，得1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1160.1－a ，解得a ＝0.1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1(t >0.1)．(2)由⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1≤0.25＝14，得t ≥0.6. 故至少需经过0.6小时学生才能回到教室． 三、解答题15．(2017·济宁期末)已知某商品的进货单价为1元/件，商户甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，今年拟下调销售单价以提高销量增加收益．据估算，若今年的实际销售单价为x 元/件(1≤x ≤2)，则新增的年销量P ＝4(2－x )2(万件)．(1)写出今年商户甲的收益f (x )(单位：万元)与x 的函数关系式；(2)商户甲今年采取降低单价提高销量的营销策略，是否能获得比往年更大的收益(即比往年收益更多)？请说明理由．解 (1)由题意可得：f (x )＝[1＋4(2－x )2](x －1)，1≤x ≤2.(2)甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，可得收益为1万元．f ′(x )＝8(x －2)(x －1)＋1＋4(2－x )2＝12x 2－40x ＋33＝(2x －3)(6x －11)，可得当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32时，函数f (x )单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，116时，函数f (x )单调递减； 当x ∈⎝⎛⎦⎥⎤116，2时，函数f (x )单调递增．∴x ＝32时，函数f (x )取得极大值，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝1；又f (2)＝1.∴当x ＝32或x ＝2时，函数f (x )取得最大值1(万元)．因此商户甲今年采取降低单价提高销量的营销策略，不能获得比往年更大的收益． 16．(2017·北京模拟)已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元，且乙厂在2月份的利润是8万元．若甲、乙两个工厂的利润(万元)与月份x 之间的函数关系式分别符合下列函数模型：f (x )＝a 1x 2－4x ＋6，g (x )＝a 2·3x＋b 2(a 1，a 2，b 2∈R )．(1)求函数f (x )与g (x )的解析式； (2)求甲、乙两个工厂今年5月份的利润；(3)在同一直角坐标系下画出函数f (x )与g (x )的草图，并根据草图比较今年1～10月份甲、乙两个工厂的利润的大小情况．解 (1)依题意：由f (1)＝6，解得a 1＝4， 所以f (x )＝4x 2－4x ＋6. 由⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝6，g (2)＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋b 2＝6，9a 2＋b 2＝8，解得a 2＝13，b 2＝5，所以g (x )＝13×3x ＋5＝3x －1＋5.(2)由(1)知甲厂在今年5月份的利润为f (5)＝86万元，乙厂在今年5月份的利润为g (5)＝86万元，故有f (5)＝g (5)，即甲、乙两个工厂今年5月份的利润相等．(3)作函数图象如下：从图中可以看出今年1～10月份甲、乙两个工厂的利润： 当x ＝1或x ＝5时，有f (x )＝g (x )； 当x ＝2,3,4时，有f (x )>g (x )； 当x ＝6,7,8,9,10时，有f (x )<g (x )．。