高新一中高一上期末数学试卷

2020-2021西安市高新第一中学高中必修一数学上期末试卷(及答案)一、选择题1．已知定义在R 上的增函数f (x )，满足f (－x )＋f (x )＝0，x 1，x 2，x 3∈R ，且x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值 ( ) A ．一定大于0 B ．一定小于0 C ．等于0D ．正负都有可能2．已知函数3()3(,)f x ax bx a b =++∈R .若(2)5f =，则(2)f -=（ ） A ．4B ．3C ．2D ．13．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则 A ．()f x 在（0，2）单调递增 B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．()y =f x 的图像关于直线x=1对称D ．()y =f x 的图像关于点（1，0）对称4．已知131log 4a =，154b=，136c =，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>5．已知函数ln ()xf x x=，若(2)a f =，(3)b f =，(5)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．b c a << B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c a b <<6．已知函数()2log 14x f x x ⎧+=⎨+⎩0x x >≤，则()()3y f f x =-的零点个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67．函数y =的定义域是( ) A ．（-1，2]B ．[-1,2]C ．（-1 ，2）D ．[-1,2)8．已知函数f (x )＝12log ,1,24,1,x x x x >⎧⎪⎨⎪+≤⎩则1(())2f f )等于( )A ．4B ．－2C ．2D ．19．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（ ） A ．1ln||y x = B ．3y x = C ．||2x y =D ．cos y x =10．已知函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）（x ∈R ），若函数f （x ）是偶函数，记a=m ，若函数f （x ）为奇函数，记a=n ，则m+2n 的值为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．﹣111．函数y ＝11x -在[2，3]上的最小值为( )A ．2B ．12 C ．13D ．－1212．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则()U P Q ⋃ð= A ．{1}B ．{3，5}C ．{1，2，4，6}D ．{1，2，3，4，5}二、填空题13．已知函数()f x 满足1121-+⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x f f x x x ，其中x ∈R 且0x ≠，则函数()f x 的解析式为__________14．()f x 是R 上的奇函数且满足(3)(3)f x f x -=+，若(0,3)x ∈时，()lg f x x x =+，则()f x 在(6,3)--上的解析式是______________．15．已知f （x ）是定义域在R 上的偶函数，且f （x ）在[0，+∞）上是减函数，如果f （m ﹣2）>f （2m ﹣3），那么实数m 的取值范围是_____. 16．已知()|1||1|f x x x =+--，()ag x x x=+，对于任意的m R ∈，总存在0x R ∈，使得()0f x m =或()0g x m =，则实数a 的取值范围是____________.17．已知偶函数()f x 的图象过点()2,0P ，且在区间[)0,+∞上单调递减，则不等式()0xf x >的解集为______．18．若当0ln2x ≤≤时，不等式()()2220x xxx a e e ee ---+++≥恒成立，则实数a 的取值范围是_____. 19．已知函数1()41x f x a =+-是奇函数，则的值为________. 20．高斯是德国的著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[3,4]4-=-，[2,7]2=.已知函数21()15x xe f x e =-+，则函数[()]y f x =的值域是_________. 三、解答题21．已知函数()f x 对任意实数x ，y 都满足()()()f xy f x f y =，且()11f -=-，()1279f =，当1x >时，()()0,1f x ∈. (1)判断函数()f x 的奇偶性；(2)判断函数()f x 在(),0-∞上的单调性，并给出证明；(3)若()1f a +≤，求实数a 的取值范围. 22．已知定义域为R 的函数211()22x x f x a +=-+是奇函数.（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）判断函数()f x 的单调性，并用定义加以证明.23．已知全集U =R ，集合{|25},{|121}M x x N x a x a =-=++剟剟. （Ⅰ）若1a =，求()R M N I ð；（Ⅱ）M N M ⋃=，求实数a 的取值范围.24．已知函数2()log (421)x xf x a a =+⋅++，x ∈R ．（Ⅰ）若1a =，求方程()3f x =的解集；（Ⅱ）若方程()f x x =有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围．25．泉州是全国休闲食品重要的生产基地,食品产业是其特色产业之一,其糖果产量占全国的20%.现拥有中国驰名商标17件及“全国食品工业强县”2个(晋江､惠安)等荣誉称号,涌现出达利､盼盼､友臣､金冠､雅客､安记､回头客等一大批龙头企业.已知泉州某食品厂需要定期购买食品配料,该厂每天需要食品配料200千克,配料的价格为1元/千克,每次购买配料需支付运费90元.设该厂每隔()*x x ∈N天购买一次配料.公司每次购买配料均需支付保管费用,其标准如下:6天以内(含6天),均按10元/天支付;超出6天,除支付前6天保管费用外,还需支付剩余配料保管费用,剩余配料按3(5)200x -元/千克一次性支付. (1)当8x =时,求该厂用于配料的保管费用P 元;(2)求该厂配料的总费用y (元)关于x 的函数关系式,根据平均每天支付的费用,请你给出合理建议,每隔多少天购买一次配料较好.附:80()f x x x=+在单调递减,在)+∞单调递增. 26．某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52,54,58.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型2y ax bx c =++，乙选择了模型•xy p q r =+，其中y 为患病人数，x 为月份数，a b c p q r ，，，，，都是常数.结果4月，5月，6月份的患病人数分别为66,82,115，你认为谁选择的模型较好？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A【解析】因为f (x ) 在R 上的单调增,所以由x 2＋x 1>0，得x 2>-x 1,所以21121()()()()()0f x f x f x f x f x >-=-⇒+>同理得2313()()0,()()0,f x f x f x f x +>+> 即f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>0,选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行2．D解析：D 【解析】 【分析】令()3g x ax bx =+，则()g x 是R 上的奇函数，利用函数的奇偶性可以推得(2)f -的值．【详解】令3()g x ax bx =+ ，则()g x 是R 上的奇函数，又(2)3f =，所以(2)35g +=， 所以(2)2g =，()22g -=-，所以(2)(2)3231f g -=-+=-+=，故选D. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于中档题．3．C解析：C 【解析】由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，故C 正确，D 错误；又()ln[(2)]f x x x =-（02x <<），由复合函数的单调性可知()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以A ，B 错误，故选C ．【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图象有对称中心(,0)2a b+． 4．C解析：C 【解析】 【分析】首先将b 表示为对数的形式，判断出0b <，然后利用中间值以及对数、指数函数的单调性比较32与,a c 的大小，即可得到,,a b c 的大小关系. 【详解】因为154b=，所以551log log 104b =<=，又因为(133331log log 4log 3,log 4a ==∈，所以31,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 又因为131133336,82c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，所以3,22c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以c a b >>. 故选：C. 【点睛】本题考查利用指、对数函数的单调性比较大小，难度一般.利用指、对数函数的单调性比较大小时，注意数值的正负，对于同为正或者负的情况可利用中间值进行比较.5．D解析：D 【解析】 【分析】 可以得出11ln 32,ln 251010a c ==，从而得出c ＜a ，同样的方法得出a ＜b ，从而得出a ，b ，c 的大小关系． 【详解】()ln 2ln 322210a f ===, ()1ln 255ln 5510c f ===,根据对数函数的单调性得到a>c, ()ln 333b f ==,又因为()ln 2ln8226a f ===，()ln 3ln 9336b f ===，再由对数函数的单调性得到a<b,∴c ＜a ，且a ＜b ；∴c ＜a ＜b ． 故选D ． 【点睛】考查对数的运算性质，对数函数的单调性．比较两数的大小常见方法有：做差和0比较，做商和1比较，或者构造函数利用函数的单调性得到结果.6．C解析：C 【解析】 【分析】 由题意，函数()()3y ff x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，设()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根，进而可得答案. 【详解】 由题意，函数()()3y ff x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，设()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象，如图所示，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根11t =-，214t =，34t =， 则()1f x =- 有一个解，()14f x =有一个解，()4f x =有三个解， 故方程()()3ff x =有5个解.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中合理利用换元法，结合图象，求得方程()3f t =的根，进而求得方程的零点个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想的应用.7．A解析：A 【解析】 【分析】根据二次根式的性质求出函数的定义域即可． 【详解】由题意得：2010x x -≥⎧⎨+>⎩ 解得：﹣1＜x≤2，故函数的定义域是（﹣1，2]， 故选A ． 【点睛】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．常见的求定义域的类型有：对数，要求真数大于0即可；偶次根式，要求被开方数大于等于0；分式，要求分母不等于0，零次幂，要求底数不为0;多项式要求每一部分的定义域取交集.8．B解析：B 【解析】121242242f ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，则()1214log 422f f f ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B. 9．A解析：A 【解析】本题考察函数的单调性与奇偶性 由函数的奇偶性定义易得1ln||y x =，||2x y =，cos y x =是偶函数，3y x =是奇函数 cos y x =是周期为2π的周期函数，单调区间为[2,(21)]()k k k z ππ+∈0x >时，||2x y =变形为2x y =，由于2>1,所以在区间(0,)+∞上单调递增 0x >时，1ln||y x =变形为1ln y x =，可看成1ln ,y t t x==的复合，易知ln (0)y t t =>为增函数，1(0)t x x=>为减函数，所以1ln ||y x =在区间(0,)+∞上单调递减的函数故选择A10．B解析：B 【解析】试题分析：利用函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是偶函数，得到g （x ）=e x +ae ﹣x 为奇函数，然后利用g （0）=0，可以解得m ．函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是奇函数，所以g （x ）=e x +ae ﹣x 为偶函数，可得n ，即可得出结论．解：设g （x ）=e x +ae ﹣x ，因为函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是偶函数，所以g （x ）=e x +ae ﹣x 为奇函数．又因为函数f （x ）的定义域为R ，所以g （0）=0， 即g （0）=1+a=0，解得a=﹣1，所以m=﹣1．因为函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是奇函数，所以g （x ）=e x +ae ﹣x 为偶函数 所以（e ﹣x +ae x ）=e x +ae ﹣x 即（1﹣a ）（e ﹣x ﹣e x ）=0对任意的x 都成立 所以a=1，所以n=1， 所以m+2n=1 故选B ．考点：函数奇偶性的性质．11．B解析：B 【解析】 y ＝11x -在[2，3]上单调递减，所以x=3时取最小值为12，选B.12．C解析：C 【解析】试题分析：根据补集的运算得{}{}{}{}2,4,6,()2,4,61,2,41,2,4,6UP UP Q =∴⋃=⋃=痧．故选C.【考点】补集的运算.【易错点睛】解本题时要看清楚是求“⋂”还是求“⋃”，否则很容易出现错误；一定要注意集合中元素的互异性，防止出现错误．二、填空题13．【解析】【分析】用代换可得联立方程组求得再结合换元法即可求解【详解】由题意用代换解析式中的可得……（1）与已知方程……（2）联立（1）（2）的方程组可得令则所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了函 解析：()11(1)31f x x x =-≠-- 【解析】 【分析】用x -代换x ，可得1121x x f f x x x +-⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立方程组，求得113x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再结合换元法，即可求解. 【详解】由题意，用x -代换解析式中的x ，可得1121x x f f x x x +-⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，…….（1） 与已知方程1121-+⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x f f x x x ，……（2） 联立（1）（2）的方程组，可得113x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 令1,1x t t x +=≠，则11x t =-，所以()1131f t t =--，所以()11(1)31f x x x =-≠--. 故答案为：()11(1)31f x x x =-≠--. 【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解，解答中用x -代换x ，联立方程组，求得113x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭是解答的关键，着重考查了函数与方程思想，以及换元思想的应用，属于中档试题.14．【解析】【分析】首先根据题意得到再设代入解析式即可【详解】因为是上的奇函数且满足所以即设所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和对称性的综合题同时考查了学生的转化能力属于中档题 解析：()6lg(6)f x x x =---+【解析】 【分析】首先根据题意得到(6)()f x f x +=-，再设(6,3)x ∈--，代入解析式即可. 【详解】因为()f x 是R 上的奇函数且满足(3)(3)f x f x -=+，所以[3(3)][3(3)]f x f x ++=-+，即(6)()()f x f x f x +=-=-. 设(6,3)x ∈--，所以6(0,3)x +∈.(6)6lg(6)()f x x x f x +=+++=-，所以()6lg(6)f x x x =---+. 故答案为：()6lg(6)f x x x =---+ 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和对称性的综合题，同时考查了学生的转化能力，属于中档题.15．（﹣∞1）（+∞）【解析】【分析】因为先根据f （x ）是定义域在R 上的偶函数将f （m ﹣2）>f （2m ﹣3）转化为再利用f （x ）在区间0+∞）上是减函数求解【详解】因为f （x ）是定义域在R 上的偶函数且f解析：（﹣∞，1）U （53，+∞） 【解析】 【分析】因为先根据f （x ）是定义域在R 上的偶函数，将 f （m ﹣2）>f （2m ﹣3），转化为()()223f m f m ->-，再利用f （x ）在区间[0，+∞）上是减函数求解.【详解】因为f （x ）是定义域在R 上的偶函数，且 f （m ﹣2）>f （2m ﹣3）, 所以()()223fm f m ->- ,又因为f （x ）在区间[0，+∞）上是减函数， 所以|m ﹣2|<|2m ﹣3|， 所以3m 2﹣8m +5>0， 所以（m ﹣1）（3m ﹣5）>0， 解得m <1或m 53>，故答案为：（﹣∞，1）U （53，+∞）. 【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.16．【解析】【分析】通过去掉绝对值符号得到分段函数的解析式求出值域然后求解的值域结合已知条件推出的范围即可【详解】由题意对于任意的总存在使得或则与的值域的并集为又结合分段函数的性质可得的值域为当时可知的 解析：(,1]-∞【解析】 【分析】通过去掉绝对值符号，得到分段函数的解析式，求出值域，然后求解()ag x x x=+的值域，结合已知条件推出a 的范围即可. 【详解】由题意，对于任意的m R ∈，总存在0x R ∈，使得()0f x m =或()0g x m =，则()f x 与()g x 的值域的并集为R ，又()2,1112,112,1x f x x x x x x ≥⎧⎪=+--=-<<⎨⎪-≤-⎩，结合分段函数的性质可得，()f x 的值域为[]22-,， 当0a ≥时，可知()ag x x x=+的值域为(),⎡-∞-+∞⎣U ，所以，此时有2≤，解得01a ≤≤， 当0a <时，()ag x x x=+的值域为R ，满足题意， 综上所述，实数a 的范围为(],1-∞. 故答案为：(],1-∞. 【点睛】本题考查函数恒成立条件的转化，考查转化思想的应用，注意题意的理解是解题的关键，属于基础题.17．【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质作出的图象利用数形结合进行求解即可【详解】偶函数的图象过点且在区间上单调递减函数的图象过点且在区间上单调递增作出函数的图象大致如图：则不等式等价为或即或即 解析：()(),20,2-∞-⋃【解析】 【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质作出()f x 的图象，利用数形结合进行求解即可．【详解】Q 偶函数()f x 的图象过点()2,0P ，且在区间[)0,+∞上单调递减，∴函数()f x 的图象过点()2,0-，且在区间(),0-∞上单调递增，作出函数()f x 的图象大致如图：则不等式()0xf x >等价为()00x f x >⎧>⎨⎩或()00x f x <⎧<⎨⎩， 即02x <<或2x <-，即不等式的解集为()(),20,2-∞-⋃，故答案为()(),20,2-∞-⋃【点睛】本题主要考查不等式的解集的计算，根据函数奇偶性和单调性的性质作出()f x 的图象是解决本题的关键．18．【解析】【分析】用换元法把不等式转化为二次不等式然后用分离参数法转化为求函数最值【详解】设是增函数当时不等式化为即不等式在上恒成立时显然成立对上恒成立由对勾函数性质知在是减函数时∴即综上故答案为：【 解析：25[,)6-+∞ 【解析】【分析】用换元法把不等式转化为二次不等式．然后用分离参数法转化为求函数最值．【详解】设x x t e e -=-，1x x x x t e ee e -=-=-是增函数，当0ln2x ≤≤时，302t ≤≤， 不等式()()2220x x x x a e e e e ---+++≥化为2220at t +++≥，即240t at ++≥，不等式240t at ++≥在3[0,]2t ∈上恒成立，0t =时，显然成立，3(0,]2t ∈，4a t t-≤+对3[0,]2t ∈上恒成立， 由对勾函数性质知4y t t=+在3(0,]2是减函数，32t =时，min 256y =， ∴256a -≤，即256a ≥-． 综上，256a ≥-． 故答案为：25[,)6-+∞． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，解题方法是转化与化归，首先用换元法化指数型不等式为一元二次不等式，再用分离参数法转化为求函数最值．19．【解析】函数是奇函数可得即即解得故答案为 解析：12【解析】 函数()141x f x a =+-是奇函数，可得()()f x f x -=-，即114141x x a a -+=----，即41214141x x x a =-=--，解得12a =，故答案为12 20．【解析】【分析】求出函数的值域由高斯函数的定义即可得解【详解】所以故答案为：【点睛】本题主要考查了函数值域的求法属于中档题 解析：{}1,0,1-【解析】【分析】求出函数()f x 的值域，由高斯函数的定义即可得解.【详解】2(1)212192()2151551x x x x e f x e e e+-=-=--=-+++Q ， 11x e +>Q ，1011xe ∴<<+， 2201x e ∴-<-<+， 19195515x e ∴-<-<+，所以19(),55f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， {}[()]1,0,1f x ∴∈-，故答案为：{}1,0,1-【点睛】本题主要考查了函数值域的求法，属于中档题.三、解答题21．(1)()f x 为奇函数；(2)()f x 在(),0-∞上单调递减，证明见解析；(3)[)4,1--.【解析】【分析】（1）令1y =-，代入抽象函数表达式即可证明函数的奇偶性；（2）先证明当0x >时，()0f x >，再利用已知和单调函数的定义，证明函数()f x 在()0,∞+上的单调性，根据函数的奇偶性，即可得到函数()f x 在(),0-∞上的单调性； （3）先利用赋值法求得()3f -=再利用函数的单调性解不等式即可 【详解】解：（1）令1y =-，则()()()1f x f x f -=-.∵()11f -=-，∴()()f x f x -=-∴函数()f x 为奇函数；(2)函数()f x 在(),0-∞上单调递减.证明如下：由函数()f x 为奇函数得()()111f f =--= 当()0,1x ∈时，11x >，()10,1f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()111f x f x =>⎛⎫ ⎪⎝⎭ 所以当0x >时，()0f x >，设120x x <<，则211x x >，∴2101x f x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭， 于是()()()22211111x x f x f x f f x f x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以函数()f x 在()0,∞+上单调递减.∵函数()f x 为奇函数，∴函数()f x 在(),0-∞上单调递减.(3)∵()1279f =，且()()()()327393f f f f ==⎡⎤⎣⎦，∴()3f = 又∵函数()f x 为奇函数，∴()3f -= ∵()1f a +≤()()13f a f +≤-，函数()f x 在(),0-∞上单调递减. 又当0x ≥时，()0f x ≥.∴310a -≤+<，即41a -≤<-，故a 的取值范围为[)4,1--.【点睛】本题考查了抽象函数表达式的意义和运用，函数奇偶性的定义和判断方法，函数单调性定义及其证明，利用函数的单调性解不等式的方法22．（Ⅰ）1α= （Ⅱ）在R 上单调递增，证明见解析【解析】【分析】（1）函数的定义域为R ，利用奇函数的必要条件，(0)0f =，求出a ，再用奇函数的定义证明；（2）判断()f x 在R 上单调递增，用单调性的定义证明，任取12x x <，求出函数值，用作差法，证明()()12f x f x <即可.【详解】 解：（Ⅰ）∵函数21()22x x f x a =-+是奇函数，定义域为R ， ∴(0)0f =，即11012a -=+， 解之得1α=，此时2121()2122(21)x x x x f x -=-=++ ()()2112()()221212x xx x f x f x -----===-++， ()f x ∴为奇函数，1a \=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()2121()212221x x x x f x -=-=++， 设12,x x R ∈，且12x x <，()()212121212122121x x x x f x f x ⎛⎫---=- ⎪++⎝⎭()()2211222121x x x x =++-∵12x x <，∴1222x x <，∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <故()f x 在R 上单调递增.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，注意奇偶性必要条件的运用，减少计算量但要加以证明，考查函数单调性的证明，属于中档题.23．（Ⅰ）(){|22R M C N x x =-≤<I 或35}x <≤（Ⅱ）2a ≤【解析】【分析】（Ⅰ）1a =时，化简集合B ,根据集合交集补集运算即可（Ⅱ）由M N M ⋃=可知N M ⊆，分类讨论N =∅，N ≠∅即可求解.【详解】（Ⅰ）当1a =时，{}|23N x x =≤≤ ，{|2R C N x x =<或}3x > .故 (){|22R M C N x x =-≤<I 或35}x <≤.（Ⅱ）,M N M ⋃=QN M ∴⊆当N =∅时，121a a +>+，即0a <；当N ≠∅时，即0a ≥.N M ⊆Q ，12215a a +≥-⎧∴⎨+≤⎩ 解得02a ≤≤.综上：2a ≤.【点睛】本题主要考查了集合的交集，补集运算，子集的概念，分类讨论，属于中档题.24．（Ⅰ）{}1（Ⅱ）13a -<<-【解析】【分析】（Ⅰ）将1a =代入直接求解即可；（Ⅱ）设2x t =，得到()()2110t a t a +-++=在()0,+∞有两个不同的解，利用二次函数的性质列不等式组求解即可.【详解】（Ⅰ）当1a =时，()()2log 4223x x f x =++=， 所以34222x x ++=，所以4260x x +-=，因此()()23220x x +-=，得22x =解得1x =，所以解集为{}1．（Ⅱ）因为方程()2log 421x x a a x +⋅++=有两个不同的实数根，即4212x x x a a +⋅++=，设2x t =，()()2110t a t a +-++=在()0,+∞有两个不同的解， 令()()()211f t t a t a =+-++，由已知可得()()()2001021410f a a a ⎧>⎪-⎪->⎨⎪⎪=--+>⎩n解得13a -<<-【点睛】本题主要考查了对数函数与指数函数的复合函数的处理方式，考查了函数与方程的思想，属于中档题.25．(1)78;(2)221090,063167240,6x x y x x x +≤≤⎧=⎨++>⎩,N x ∈,9天. 【解析】【分析】（1）由题意得第6天后剩余配料为(86)200400-⨯=(千克),从而求得P ；（2）由题意得221090,063167240,6x x y x x x +≤≤⎧=⎨++>⎩其中N x ∈. 求出分段函数取得最小值时，对应的x 值，即可得答案.【详解】(1)第6天后剩余配料为(86)200400-⨯=(千克), 所以3(85)6040078200P ⨯-=+⨯=; (2)当6x ≤时,200109021090y x x x =++=+, 当6x >时,23(5)2009060200(6)3167240200x y x x x x -=+++⋅⋅-=++, 所以221090,063167240,6x x y x x x +≤≤⎧=⎨++>⎩其中N x ∈. 设平均每天支付的费用为()f x 元,当06x ≤≤时,2109090()210x f x x x+==+, ()f x 在[0,6]单调递减,所以min ()(6)225f x f ==;当6x >时,2316724080()3167x x f x x x x ++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭, 可知()f x在单调递减,在)+∞单调递增,又89<<,(8)221f =,2(9)2203f =,所以min 2()(9)2203f x f == 综上所述,该厂9天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少.【点睛】本题考查构建函数模型解决实际问题、函数的单调性和最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对勾函数图象的应用.26．乙选择的模型较好.【解析】【分析】由二次函数为2y ax bx c =++，利用待定系数法求出解析式,计算456x =、、时的函数值;再求出函数•x y p q r =+的解析式,计算456x =、、时的函数值,最后与真实值进行比较，可决定选择哪一个函数式好.【详解】依题意，得222•1?152•2?254•3?358a b c a b c a b c ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩， 即5242549358a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得1152a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴甲：2152y x x =-+，又123•52•54•58p q r p q r p q r ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩①②③， 2132••2••4p q p q p q p q --=--=①②，④②③，⑤， 2q ÷=⑤④，,将2q =代入④式，得1p =将21q p ==，代入①式，得50r =， ∴乙：2250x y =+计算当4x =时，126466y y ==，；当5x =时，127282y y ==，；当6x =时，1282114y y ==，.可见，乙选择的模型与实际数据接近，乙选择的模型较好.【点睛】本题考查了根据实际问题选择函数类型的应用问题,也考查了用待定系数法求函数解析式的应用问题,意在考查灵活运用所学知识解决实际问题的能力，是中档题。

2020-2021西安高新一中初中校区高中必修一数学上期末模拟试卷(附答案)一、选择题1．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是增函数，若对任意[)x 1,∞∈+，都有()()f x a f 2x 1+≤-恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[]2,0-B ．(],8∞--C ．[)2,∞+D ．(],0∞- 2．若函数2()2f x mx mx =-+的定义域为R ，则实数m 取值范围是（ ）A ．[0,8)B ．(8,)+∞C ．(0,8)D ．(,0)(8,)-∞⋃+∞3．已知0.2633,log 4,log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为 （ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<4．已知0.11.1x =， 1.10.9y =，234log 3z =，则x ，y ，z 的大小关系是( ) A ．x y z >> B ．y x z >>C ．y z x >>D ．x z y >>5．设4log 3a =，8log 6b =，0.12c =，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．c b a >>6．已知131log 4a =，154b=，136c =，则（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>7．若函数()2log ,? 0,? 0x x x f x e x >⎧=⎨≤⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．1eB ．eC ．21e D ．2e8．函数ln x y x=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9．设()f x 是R 上的周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒有()()0f x f x --=，当[]1,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()()log 10a f x x -+=(0a >且1a ≠)恰有五个不相同的实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．[]3,5B ．()3,5C ．[]4,6D ．()4,610．偶函数()f x 满足()()2f x f x =-，且当[]1,0x ∈-时，()cos 12xf x π=-，若函数()()()log ,0,1a g x f x x a a =->≠有且仅有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()3,5B ．()2,4C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,53⎛⎫ ⎪⎝⎭11．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A ．B ．C ．D ．12．已知函数()()f x g x x =+，对任意的x ∈R 总有()()f x f x -=-，且(1)1g -=，则(1)g =（ ）A ．1-B ．3-C ．3D ．1二、填空题13．已知()f x 是定义域为R 的单调函数，且对任意实数x 都有21()213xf f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦，则52(log )f =__________.14．对于函数f （x ），若存在x 0∈R ，使f （x 0）=x 0，则称x 0是f （x ）的一个不动点，已知f （x ）=x 2+ax +4在[1，3]恒有两个不同的不动点，则实数a 的取值范围______.15．已知函数2,1,(){1,1,x ax x f x ax x -+≤=->若1212,,x x R x x ∃∈≠，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是 ．16．对于复数a bc d ，，，，若集合{}S a b c d =，，，具有性质“对任意x y S ∈，，必有xy S ∈”，则当221{1a b c b===，，时，b c d ++等于___________17．已知函数2()2f x x ax a =-+++，1()2x g x +=，若关于x 的不等式()()f x g x >恰有两个非负整数．．．．解，则实数a 的取值范围是__________． 18．高斯是德国的著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[3,4]4-=-，[2,7]2=.已知函数21()15x xe f x e =-+，则函数[()]y f x =的值域是_________. 19．已知函数()5,222,2x x x f x a a x -+≤⎧=++>⎨⎩，其中0a >且1a ≠，若()f x 的值域为[)3,+∞，则实数a 的取值范围是______．20．设是两个非空集合，定义运算．已知，，则________.三、解答题21．已知函数1()21x f x a =-+，()x R ∈. （1）用定义证明：不论a 为何实数()f x 在(,)-∞+∞上为增函数；（2）若()f x 为奇函数，求a 的值；（3）在（2）的条件下，求()f x 在区间[1，5]上的最小值.22．已知全集U =R ，函数()lg(10)f x x =-的定义域为集合A ，集合{}|57B x x =≤<（1）求集合A ； （2）求()U C B A ⋂.23．已知函数2()log (421)x xf x a a =+⋅++，x ∈R ．（Ⅰ）若1a =，求方程()3f x =的解集；（Ⅱ）若方程()f x x =有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围． 24．已知函数()f x 是二次函数,(1)0f -=,(3)(1)4f f -==. (1)求()f x 的解析式;(2)函数()()ln(||1)h x f x x =-+在R 上连续不断,试探究,是否存在()n n ∈Z ,函数()h x 在区间(,1)n n +内存在零点,若存在,求出一个符合题意的n ,若不存在,请说明由. 25．已知全集U=R ，集合{}12A x x x =-或 ，{}213U B x x p x p 或=-+ð． （1）若12p =，求A B ⋂； （2）若A B B ⋂=，求实数p 的取值范围．26．已知集合{}121A x a x a =-<<+，{}01B x x =<<. （1）若B A ⊆，求实数a 的取值范围； （2）若A B =∅I ，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，可知函数在(],0-∞上是减函数，根据不等式在[)1,x ∈+∞上恒成立，可得：21x a x +≤-在[)1,+∞上恒成立，可得a 的范围. 【详解】()f x Q 为偶函数且在[)0,+∞上是增函数()f x ∴在(],0-∞上是减函数对任意[)1,x ∈+∞都有()()21f x a f x +≤-恒成立等价于21x a x +≤-2121x x a x ∴-+≤+≤- 311x a x ⇒-+≤≤-()()max min 311x a x ∴-+≤≤-当1x =时，取得两个最值3111a ∴-+≤≤- 20a ⇒-≤≤ 本题正确选项：A 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性解抽象函数不等式的问题，关键在于能够通过单调性确定自变量之间的关系，得到关于自变量的不等式.2．A解析：A 【解析】 【分析】根据题意可得出，不等式mx 2-mx +2>0的解集为R ，从而可看出m ＝0时，满足题意，m ≠0时，可得出280m m m ⎧⎨=-<⎩V ＞，解出m 的范围即可． 【详解】∵函数f （x ）的定义域为R ； ∴不等式mx 2-mx +2>0的解集为R ； ①m ＝0时，2>0恒成立，满足题意； ②m ≠0时，则280m m m ⎧⎨=-<⎩V ＞； 解得0＜m <8；综上得，实数m 的取值范围是[0,8) 故选：A ． 【点睛】考查函数定义域的概念及求法，以及一元二次不等式的解集为R 时，判别式△需满足的条件．3．B解析：B 【解析】 【分析】先比较三个数与零的大小关系，确定三个数的正负，然后将它们与1进行大小比较，得知1a >，0,1b c <<，再利用换底公式得出b 、c 的大小，从而得出三个数的大小关系．【详解】函数3xy =在R 上是增函数，则0.20331a =>=，函数6log y x =在()0,∞+上是增函数，则666log 1log 4log 6<<，即60log 41<<， 即01b <<，同理可得01c <<，由换底公式得22393log 2log 2log 4c ===， 且96ln 4ln 4log 4log 4ln 9ln 6c b ==<==，即01c b <<<，因此，c b a <<，故选A ． 【点睛】本题考查比较数的大小，这三个数的结构不一致，这些数的大小比较一般是利用中间值法来比较，一般中间值是0与1，步骤如下：①首先比较各数与零的大小，确定正负，其中正数比负数大；②其次利用指数函数或对数函数的单调性，将各数与1进行大小比较，或者找其他中间值来比较，从而最终确定三个数的大小关系．4．A解析：A 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接比较. 【详解】解：0.10x 1.1 1.11=>=Q ， 1.100y 0.90.91<=<=，22334z log log 103=<<，x ∴，y ，z 的大小关系为x y z >>． 故选A ． 【点睛】本题考查三个数的大小的比较，利用指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．D解析：D 【解析】 【分析】由对数的运算化简可得2log a =log b =，结合对数函数的性质，求得1a b <<，又由指数函数的性质，求得0.121c =>，即可求解，得到答案.【详解】由题意，对数的运算公式，可得24222log 31log 3log 3log log 42a ====28222log 61log 6log 6log log 83b ====，2<<，所以222log log log 21<<=，即1a b <<，由指数函数的性质，可得0.10221c =>=， 所以c b a >>. 故选D. 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及指数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用指数函数与对数函数的图象与性质，求得,,a b c 的范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6．C解析：C 【解析】 【分析】首先将b 表示为对数的形式，判断出0b <，然后利用中间值以及对数、指数函数的单调性比较32与,a c 的大小，即可得到,,a b c 的大小关系. 【详解】因为154b=，所以551log log 104b =<=，又因为(133331log log 4log 3,log 4a ==∈，所以31,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 又因为131133336,82c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，所以3,22c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以c a b >>. 故选：C. 【点睛】本题考查利用指、对数函数的单调性比较大小，难度一般.利用指、对数函数的单调性比较大小时，注意数值的正负，对于同为正或者负的情况可利用中间值进行比较.7．A解析：A 【解析】 【分析】直接利用分段函数解析式，认清自变量的范围，多重函数值的意义，从内往外求，根据自变量的范围，选择合适的式子求解即可. 【详解】因为函数2log ,0(),0xx x f x e x >⎧=⎨≤⎩， 因为102>，所以211()log 122f ==-，又因为10-<，所以11(1)f ee--==， 即11(())2f f e=，故选A. 【点睛】该题考查的是有关利用分段函数解析式求函数值的问题，在解题的过程中，注意自变量的取值范围，选择合适的式子，求解即可，注意内层函数的函数值充当外层函数的自变量.8．C解析：C 【解析】 分析：讨论函数ln x y x=性质，即可得到正确答案.详解：函数ln x y x=的定义域为{|0}x x ≠ ，ln ln x x f x f x xxx--==-=-Q （）（）， ∴排除B ， 当0x >时，2ln ln 1-ln ,,x x xy y xx x===' 函数在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减， 故排除A,D ， 故选C ．点睛：本题考查了数形结合的思想应用及排除法的应用．9．D解析：D 【解析】由()()0f x f x --=，知()f x 是偶函数，当[]1,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且()f x 是R 上的周期为2的函数，作出函数()y f x =和()y log 1a x =+的函数图象，关于x 的方程()()log 10a f x x -+=(0a >且1a ≠)恰有五个不相同的实数根，即为函数()y f x =和()y log 1a x =+的图象有5个交点，所以()()1log 311log 511a aa >⎧⎪+<⎨⎪+>⎩，解得46a <<.故选D.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．10．D解析：D 【解析】试题分析：由()()2f x f x =-，可知函数()f x 图像关于1x =对称，又因为()f x 为偶函数，所以函数()f x 图像关于y 轴对称.所以函数()f x 的周期为2，要使函数()()log a g x f x x =-有且仅有三个零点，即函数()y f x =和函数log a y x =图形有且只有3个交点.由数形结合分析可知，0111{log 31,53log 51a a a a <<>-⇒<<<-，故D 正确. 考点：函数零点【思路点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．11．A解析：A 【解析】 由选项可知，项均不是偶函数，故排除，项是偶函数，但项与轴没有交点，即项的函数不存在零点，故选A. 考点：1.函数的奇偶性；2.函数零点的概念.12．B解析：B 【解析】由题意，f （﹣x ）+f （x ）=0可知f （x ）是奇函数， ∵()()f x g x x =+，g （﹣1）=1， 即f （﹣1）=1+1=2 那么f （1）=﹣2． 故得f （1）=g （1）+1=﹣2， ∴g （1）=﹣3， 故选：B二、填空题13．【解析】【分析】由已知可得＝a 恒成立且f （a ）＝求出a ＝1后将x ＝log25代入可得答案【详解】∵函数f （x ）是R 上的单调函数且对任意实数x 都有f ＝∴＝a 恒成立且f （a ）＝即f （x ）＝﹣+af （a ）解析：23 【解析】 【分析】由已知可得()221x f x ++＝a 恒成立，且f （a ）＝13，求出a ＝1后，将x ＝log 25代入可得答案． 【详解】∵函数f （x ）是R 上的单调函数，且对任意实数x ，都有f[()221xf x ++]＝13， ∴()221xf x ++＝a 恒成立，且f （a ）＝13， 即f （x ）＝﹣x 221++a ，f （a ）＝﹣x 221++a ＝13， 解得：a ＝1，∴f （x ）＝﹣x 221++1，∴f（log25）＝23，故答案为：23．【点睛】本题考查的知识点是函数解析式的求法和函数求值的问题，正确理解对任意实数x，都有()21213xf f x⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦成立是解答的关键，属于中档题．14．【解析】【分析】不动点实际上就是方程f（x0）=x0的实数根二次函数f （x）=x2+ax+4有不动点是指方程x=x2+ax+4有实根即方程x=x2+ax+4有两个不同实根然后根据根列出不等式解答即可解析：10,33⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】不动点实际上就是方程f（x0）=x0的实数根，二次函数f（x）=x2+ax+4有不动点，是指方程x=x2+ax+4有实根，即方程x=x2+ax+4有两个不同实根，然后根据根列出不等式解答即可．【详解】解：根据题意，f（x）=x2+ax+4在[1，3]恒有两个不同的不动点，得x=x2+ax+4在[1，3]有两个实数根，即x2+（a﹣1）x+4=0在[1，3]有两个不同实数根，令g（x）=x2+（a﹣1）x+4在[1，3]有两个不同交点，∴2(1)0(3)01132(1)160ggaa≥⎧⎪≥⎪⎪⎨-<<⎪⎪-->⎪⎩，即24031001132(1)160aaaa+≥⎧⎪+≥⎪⎪⎨-<<⎪⎪-->⎪⎩，解得：a∈10,33⎡⎫--⎪⎢⎣⎭；故答案为：10,33⎡⎫--⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、函数与方程的综合运用，属于中档题．15．【解析】【分析】【详解】故答案为 解析：【解析】【分析】【详解】故答案为.16．-1【解析】由题意可得：结合集合元素的互异性则：由可得：或当时故当时故综上可得：解析：-1【解析】由题意可得：21,1b a == ，结合集合元素的互异性，则：1b =- ，由21c b ==- 可得：c i = 或c i =- ，当c i = 时，bc i S =-∈ ，故d i =- ，当c i =- 时，bc i S =∈ ，故d i = ，综上可得：1b c d ++=- . 17．【解析】【分析】由题意可得f （x ）g （x ）的图象均过（﹣11）分别讨论a ＞0a ＜0时f （x ）＞g （x ）的整数解情况解不等式即可得到所求范围【详解】由函数可得的图象均过且的对称轴为当时对称轴大于0由题解析：310,23⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】由题意可得f （x ），g （x ）的图象均过（﹣1，1），分别讨论a ＞0，a ＜0时，f （x ）＞g （x ）的整数解情况，解不等式即可得到所求范围．【详解】由函数2()2f x x ax a =-+++，1()2x g x +=可得()f x ，()g x 的图象均过(1,1)-，且()f x 的对称轴为2a x =，当0a >时，对称轴大于0.由题意可得()()f x g x >恰有0，1两个整数解，可得(1)(1)310(2)(2)23f g a f g >⎧⇒<≤⎨≤⎩；当0a <时，对称轴小于0.因为()()11f g -=-,由题意不等式恰有-3，-2两个整数解，不合题意，综上可得a 的范围是310,23⎛⎤ ⎥⎝⎦. 故答案为：310,23⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查了二次函数的性质与图象，指数函数的图像的应用，属于中档题．18．【解析】【分析】求出函数的值域由高斯函数的定义即可得解【详解】所以故答案为：【点睛】本题主要考查了函数值域的求法属于中档题 解析：{}1,0,1-【解析】【分析】求出函数()f x 的值域，由高斯函数的定义即可得解.【详解】2(1)212192()2151551x x x xe f x e e e +-=-=--=-+++Q ， 11x e +>Q ，1011x e∴<<+， 2201x e ∴-<-<+， 19195515x e ∴-<-<+， 所以19(),55f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，{}[()]1,0,1f x ∴∈-，故答案为：{}1,0,1-【点睛】本题主要考查了函数值域的求法，属于中档题.19．【解析】【分析】运用一次函数和指数函数的图象和性质可得值域讨论两种情况即可得到所求a 的范围【详解】函数函数当时时时递减可得的值域为可得解得；当时时时递增可得则的值域为成立恒成立综上可得故答案为：【点 解析：()1,11,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】运用一次函数和指数函数的图象和性质，可得值域，讨论1a >，01a <<两种情况，即可得到所求a 的范围．【详解】函数函数()5,222,2x x x f x a a x -+≤⎧=++>⎨⎩， 当01a <<时，2x ≤时，()53f x x =-≥，2x >时，()22x f x a a =++递减，可得()22222a f x a a +<<++， ()f x 的值域为[)3,+∞，可得223a +≥， 解得112a ≤<； 当1a >时，2x ≤时，()53f x x =-≥，2x >时，()22x f x a a =++递增，可得()2225f x a a >++>， 则()f x 的值域为[)3,+∞成立，1a >恒成立． 综上可得()1,11,2a ⎡⎫∈⋃+∞⎪⎢⎣⎭． 故答案为：()1,11,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题考查函数方程的转化思想和函数的值域的问题解法，注意运用数形结合和分类讨论的思想方法，考查推理和运算能力，属于中档题．20．01∪2+∞【解析】【分析】分别确定集合AB 然后求解A×B 即可【详解】求解函数y=2x-x2的定义域可得：A=x|0≤x≤2求解函数y=2xx>0的值域可得B=x|x>1则A∪B=x|x≥0A∩B= 解析：【解析】【分析】分别确定集合A ,B ，然后求解即可. 【详解】 求解函数的定义域可得：, 求解函数的值域可得， 则， 结合新定义的运算可知： ， 表示为区间形式即. 【点睛】本题主要考查集合的表示及其应用，新定义知识的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 三、解答题21．(1)见解析；(2)12a =；(3) 16. 【解析】【分析】【详解】(1)()f x Q 的定义域为R, 任取12x x <, 则121211()()2121x x f x f x a a -=--+++=121222(12)(12)x x x x -++. 12x x <Q ,∴1212220,(12)(12)0x x x x -++.∴12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <.所以不论a 为何实数()f x 总为增函数.(2)()f x Q 在x ∈R 上为奇函数,∴(0)0f =,即01021a -=+. 解得12a =. (3)由(2)知，11()221x f x =-+, 由(1) 知，()f x 为增函数,∴()f x 在区间[1,5)上的最小值为(1)f .∵111(1)236f =-=， ∴()f x 在区间[1,5)上的最小值为16. 22．(1) {}|310A x x =≤< (2) {}()|35710U C B A x x x ⋂=≤<≤<或【解析】试题分析：（1）根据真数大于零以及偶次根式被开方数非负列不等式，解得集合A （2）先根据数轴求U C B ，再根据数轴求交集试题解析：（1）由题意可得：30100x x -≥⎧⎨->⎩，则{|310}A x x =≤< （2）{|57}U C B x x x =<≥或(){|35710}U C B A x x x ⋂=≤<≤<或23．（Ⅰ）{}1（Ⅱ）13a -<<-【解析】【分析】（Ⅰ）将1a =代入直接求解即可；（Ⅱ）设2x t =，得到()()2110t a t a +-++=在()0,+∞有两个不同的解，利用二次函数的性质列不等式组求解即可.【详解】（Ⅰ）当1a =时，()()2log 4223x x f x =++=， 所以34222x x ++=，所以4260x x +-=，因此()()23220x x +-=，得22x =解得1x =，所以解集为{}1．（Ⅱ）因为方程()2log 421x x a a x +⋅++=有两个不同的实数根，即4212x x x a a +⋅++=，设2x t =，()()2110t a t a +-++=在()0,+∞有两个不同的解， 令()()()211f t t a t a =+-++，由已知可得()()()2001021410f a a a ⎧>⎪-⎪->⎨⎪⎪=--+>⎩n解得13a -<<-【点睛】本题主要考查了对数函数与指数函数的复合函数的处理方式，考查了函数与方程的思想，属于中档题.24．(1)2()(1)f x x =+;(2)存在,1-.【解析】【分析】（1）由(3)(1)f f -=,知此二次函数图象的对称轴为1x =-, 由(1)0f -=可设出抛物线的解析式为2()(1)f x a x =+，再利用(1)4f =求得a 的值； （2）利用零点存在定理，证明(0)(1)0h h ⋅<即可得到n 的值.【详解】(1)由(3)(1)f f -=,知此二次函数图象的对称轴为1x =-,又因为(1)0f -=,所以(1,0)-是()f x 的顶点,所以设2()(1)f x a x =+，因为(1)4f =,即2(11)4a +=， 所以设1a =所以2()(1)f x x =+(2)由(1)知2()(1)ln(||1)h x x x =+-+因为2(1)(11)ln(|1|1)ln(2)0h -=-+--+=-< 2(0)(01)ln(|0|1)10h =+-+=>即(0)(1)0h h ⋅<因为函数()()ln(||1)h x f x x =-+在R 上连续不断,由零点存在性定理,所以函数()h x 在(1,0)-上存在零点.所以存在1n =-使得函数()h x 在区间(,1)n n +内存在零点.【点睛】本题考查一元二次函数的解析式、零点存在定理，考查函数与方程思想考查逻辑推理能力和运算求解能力.25．（1）722⎛⎤ ⎥⎝⎦，； （2）342p p -或． 【解析】【分析】 由题意可得{}213B x p x p =-≤≤+, （1）当12p =时，结合交集的定义计算交集即可； （2）由题意可知B A ⊆.分类讨论B =∅和B ≠∅两种情况即可求得实数p 的取值范围. 【详解】 因为{}213U B x x p x p =-+，或ð，所以(){}213U U B B x p x p ==-≤≤+痧,（1）当12p =时，702B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，，所以7=22A B ⎛⎤⋂ ⎥⎝⎦，, （2）当A B B ⋂=时，可得B A ⊆.当B =∅时，2p -1＞p +3，解得p ＞4，满足题意；当B ≠∅时，应满足21331p p p -≤+⎧⎨+<-⎩或213212p p p -≤+⎧⎨->⎩ 解得44p p ≤⎧⎨<-⎩或432p p ≤⎧⎪⎨>⎪⎩； 即4p <-或342p <≤. 综上，实数p 的取值范围342p p-或． 【点睛】本题主要考查交集的定义，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.26．（1）[]0,1；（2）[)1,2,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦U . 【解析】【分析】（1）由题得10,211,121,a a a a -⎧⎪+⎨⎪-<+⎩„…解不等式即得解；（2）对集合A 分两种情况讨论即得实数a的取值范围.【详解】（1）若B A ⊆，则10,211,121,a a a a -⎧⎪+⎨⎪-<+⎩„…解得01a ≤≤.故实数a 的取值范围是[]0,1.（2）①当A =∅时，有121a a -≥+，解得2a ≤-，满足A B =∅I .②当A ≠∅时，有121a a -<+，解得 2.a >-又A B =∅Q I ，则有210a +≤或11a -≥，解得12a ≤-或2a ≥， 122a ∴-<≤-或2a ≥. 综上可知，实数a 的取值范围是[)1,2,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦U . 【点睛】本题主要考查根据集合的关系和运算求参数的范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。

考试时间：120分钟满分：100分一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列各数中，有理数是（）A. $\sqrt{3}$B. $\pi$C. $\frac{1}{2}$D. $\sqrt{2}$2. 已知函数$f(x) = 2x - 3$，若$f(x) > 0$，则$x$的取值范围是（）A. $x > \frac{3}{2}$B. $x < \frac{3}{2}$C. $x \geq\frac{3}{2}$ D. $x \leq \frac{3}{2}$3. 若等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$a_1 + a_5 = 10$，$a_2 + a_4 = 12$，则$S_6$的值为（）A. 42B. 48C. 54D. 604. 在平面直角坐标系中，点A（2，3），点B（4，1）关于直线$y = kx + b$对称，则k的值为（）A. 1B. -1C. 2D. -25. 若复数$z = a + bi$（其中$a$，$b$为实数）满足$|z - 1| = |z + 1|$，则实数$a$，$b$满足的关系式是（）A. $a = 0$B. $b = 0$C. $a^2 + b^2 = 2$D. $a^2 + b^2 = 1$二、填空题（每题5分，共25分）6. 已知函数$f(x) = x^2 - 4x + 4$，若$f(x) = 0$，则$x$的值为______。

7. 在$\triangle ABC$中，若$A = 60^\circ$，$a = 2\sqrt{3}$，$b = 4$，则$c$的值为______。

8. 已知等差数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公差为$d$，若$a_3 = 6$，$a_6 =18$，则$a_1 + a_6$的值为______。

9. 在平面直角坐标系中，点P（3，4）关于直线$x + y = 5$的对称点为Q，则点Q的坐标为______。

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥,则等边圆锥的侧面积是底面积的 A.4倍 B.3倍 C.2 倍D.2倍2．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4π米，肩宽约为8π米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，则掷铁饼者双手之间的距离约为（）A.1.012米B.1.768米C.2.043米D.2.945米3．已知直线2mx y 60++=与直线()m 3x y 70--+=平行，则m 的值为 A.1 B.3 C.－1或3D.－1或14． “1a <”是“关于x 的方程2210ax x -+=有实数根”的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5．在[0,2π]上，满足1sin 2x的x 的取值范围是（ ） A.π[0,]6B.π5π[,]66C.π2π[,]63D.5π[,π]66．各侧棱长都相等，底面是正多边形的棱锥称为正棱锥，正三棱锥P ABC -的侧棱长为a ，侧面都是直角三角形，且四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A.22a π B.22a π C.23a πD.23a π7．设a R ∈，则“1a >”是“12a >”的（ ）条件 A.必要不充分 B.充分不必要 C.既不充分也不必要D.充要8．函数()25xf x x =+-的零点所在的一个区间是（ ） A.()2,3 B.()1,2 C.()1,0-D.()0,19．已知21.7a -=，ln0.3b =，0.31.7c =，则（ ） A.a b c >> B.c a b >> C.b c a >>D.c b a >>10．下列函数既是奇函数又是周期为π的函数是() A.tan 2y x =B.sin 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C.sin y x =D.3cos 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭11．将函数()3cos 2sin 2f x x x =-的图像向右平移θ个单位后得到的图像关于直线6x π=对称，则θ的最小正值为A.12πB.6π C.4π D.3π 12．已知函数()22log log 28x xf x =⋅，若()()12f x f x =（其中12x x ≠．），则1219x x +的最小值为（）A.34B.32C.2D.4二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）13．函数()f x 满足(4)()()f x f x x R +=∈，且在区间(2,2]-上，cos ,02,2()1,20,2x x f x x x π⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩则((15))f f 的值为____14．函数()21ln f x x x =+⋅的定义域是________.15．命题“m ∃∈R ，使关于x 的方程210mx x -+=有实数解”的否定是_________.16．已知函数()sin()(0)3f x x πωω=+>在区间[0,]π上恰有8个最大值，则ω的取值范围是_____三、解答题（本大题共6个小题，共70分。

2021-2022学年陕西省西安市高新第一中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．下列能正确表示集合{}1,0,1M =-和{}220N x x x =+=关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】求出集合N ，再求出M N ⋂即可得答案.【详解】解：{}{}2202,0N x x x =+==-，故{}0MN =，故选：A 2．若4sin 5α，α是第二象限的角，则tan α的值等于（ ） A ．43B ．34C ．43-D ．34-【答案】C【分析】先求得cos α，然后求得tan α. 【详解】由于4sin 5α，α是第二象限的角， 所以23cos 1sin 5αα=---，所以sin tan s 43co ααα==-. 故选：C3．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(2，λ)(λ∈R )，若a ⊥b ，则+=a b ( ) A ．5 B ．52C ．53D ．10【答案】B【分析】向量垂直，它们数量积为零，求出λ即可计算.【详解】依题意0a b ⋅=，即60λ+=，解得6λ=-，则b ＝(2，－6)，(5,5)a b +=-，故25a b +=+=故选：B.4．三个数a ＝0.42，b ＝log 20.3，c ＝20.6之间的大小关系是（ ） A ．a ＜c ＜b B ．a ＜b ＜c C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a【答案】C【分析】根据指数函数、对数函数的单调性得0＜a ＜1，b ＜0，c ＞1，由此可判断得选项. 【详解】解：∵0＜0.42＜0.40＝1，∴0＜a ＜1， ∵log 20.3＜log 21＝0，∴b ＜0， ∵20.6＞20＝1，∴c ＞1， ∴b ＜a ＜c ， 故选：C ．5．已知点M 是直线13y x =与单位圆在第一象限内的交点，设xOM α∠=，则cos2=α（ ） A ．45B ．45-C ．35 D ．35【答案】A【分析】根据同角三角函数基本关系可得sin 1tan cos 3ααα==，22sin cos 1αα+=，解方程可得cos α的值，再由余弦的二倍角公式即可求解. 【详解】由题意可得1tan 3α=且π02α<<，则22sin 1tan cos 3sin cos 1ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩，解得：sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以224cos 22cos 1215αα=-=⨯-=⎝⎭， 故选：A.6．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144+AB ACD ．1344+AB AC【答案】A【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BD =+，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-，从而求得结果. 【详解】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+，所以3144EB AB AC =-，故选A. 【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.7．已知函数()()()32cos 22f x x x πϕϕϕ⎛⎫=---< ⎪⎝⎭是偶函数，则()f x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是（ ） A ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．(]2,1-C ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．[]2,1-【答案】D【分析】化简可得()2sin 26f x x πϕ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，根据函数为偶函数可得3πϕ=，再利用余弦函数的性质可求出值域.【详解】因为函数()()()32cos 22sin 26f x x x x πϕϕϕ⎛⎫=---=-- ⎪⎝⎭为偶函数，所以()62k k ππϕπ--=+∈Z .又∵2πϕ<，∴3πϕ=，即()2sin 22cos 22f x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.因为63x ππ-≤≤，∴2233x ππ-≤≤，∴当223x π=时，()f x 的最大值为1，当0x =时，()f x 的最小值是2-. 所以()f x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是[]2,1-.故选：D.8．已知函数()333x xf x x -=+-，若2(2)(54)0f a a f a -+-<，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(4)(4)-∞-+∞，， B ．(41)-， C ．(1)(4)-∞-+∞，， D ．(14)-，【答案】B【分析】首先判断()f x 的奇偶性和单调性，由此化简不等式2(2)(54)0f a a f a -+-<，从而求得a 的取值范围.【详解】()f x 的定义域为R ，()()333x xf x x f x --=-+-=-，所以()f x 为奇函数，()3133x xf x x =+-在R 上递增， 由2(2)(54)0f a a f a -+-<得()2(2)(54)45f a a f a f a -<--=-，∴2245a a a -<-，2340a a +-<，()()410a a +-< 解得41a -<<. 故选：B9．已知函数2π()4cos ()2(0,0)2f x x ωϕωϕ=+-><<的图象的相邻两条对称轴间的距离为π,()2f x 的图象与y 轴的交点为(0,1)，则()f x 的图象的一条对称轴方程可以为（ ） A ．π12x =-B ．π6x =-C ．π4x =- D ．4x π=【答案】B【分析】先化简函数为()2cos(22)f x x ωϕ=+，再根据函数的图象的相邻两条对称轴间的距离为π2，求得ω，再根据()f x 的图象与y 轴的交点为(0,1)，由(0)1f =求得函数解析式，然后令π2π,3x k k +=∈Z求解.【详解】由题意知2()4cos ()22cos(22)f x x x ωϕωϕ=+-=+，因为函数的图象的相邻两条对称轴间的距离为π2，所以其最小正周期为π， 故1ω=，因为()f x 的图象与y 轴的交点为(0,1)， 所以(0)2cos21f ϕ==，又π0,02π2ϕϕ<<<<， 所以π23ϕ=， 所以π()2cos(2)3f x x =+， 令π2π,3x k k +=∈Z ，得ππ,62k x k =-+∈Z ， 令0k =，得π6x =-，则()f x 的图象的一条对称轴方程可以为π6x =-.故选：B.【点睛】方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式． 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2T ωπ=，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T πω=. 3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．10．在ABC 中，BC CA CA AB ⋅=⋅，||2BA BC +=，且32B ππ≤≤，则BA BC ⋅的取值范围是（ ）A ．(1]-∞，B ．[01]，C ．203⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．223⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，【答案】C【分析】由已知数量积相等求得BA BC =，取AC 中点D ，从而求得中线AD 的长，BA BC ⋅可表示为B 的函数，由三角函数知识得取值范围．【详解】在ABC 中，BC CA CA AB ⋅=⋅，即()0CA BC BA ⋅+=，取AC 中点D ，即20CA BD ⋅=，则CA BD ⊥ 又BD 是中线，所以ABC 是等腰三角形，BA =BC .由22BA BC BD +==，即1BD =， 1cos2BA BC B ==，则112cos 2cos cos 21cos 1cos coscos 22B BA BC BA BC B B B B B B ⋅=⋅⋅=⋅⋅==-++， 由32B ππ≤≤，则10cos 2B ≤≤，所以222[0,]1cos 3BA BC B ⋅=-∈+.故选：C ．二、填空题11．已知向量()()1,3,,4a b x =-=，且a b ，则x =___________.【答案】43-【分析】由向量平行的坐标表示可直接构造方程求得结果. 【详解】解：向量()()1,3,,4a b x =-=，且a b ，所以1430x -⨯-=， 解得43x =-.故答案为：43-.12．函数()2ln 1xf x x =⋅-的零点个数为_______.【答案】2【分析】由题意结合函数零点的概念可转化条件得1ln 2xx =，在同一直角坐标系中作出函数ln y x =与12xy =的图象，由函数图象的交点个数即可得函数的零点个数. 【详解】令()2ln 10xf x x =⋅-=，则1ln 2xx =， 在同一直角坐标系中作出函数ln y x =与12xy =的图象，如图：由图象可知，函数ln y x =与12xy =的图象有两个交点， 所以方程1ln 2x x =有两个不同实根，所以函数()2ln 1x f x x =⋅-的零点个数为2. 故答案为：2.【点睛】本题考查了函数零点个数的求解及函数与方程的综合应用，考查了数形结合思想与转化化归思想，属于中档题.13．已知1,2a b →→==，a →与b →的夹角为3π，那么a b a b →→→→+⋅-=___________.【分析】根据向量加法运算公式计算求解即可 【详解】解：根据向量模的计算公式得a b →→+===a b →→-==所以a b a b →→→→+⋅-==14．已知函数()cos sin f x x x =⋅，下列说法正确的序号是___________. ①函数()f x 的周期为π；②20213f π⎛⎫=⎪⎝⎭③()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；④()f x 的图像关于点,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称.【答案】②③【分析】应用特殊值法，结合周期性、对称的性质判断①、④，利用2π是函数()f x 的周期直接求20213π⎛⎫⎪⎝⎭f 判断②；由已知区间有()1sin 22f x x =，即可判断③.【详解】解：对于①，函数()cos sin f x x x =，π4π4πππππcos sin cos sin 333333f f ⎛⎫⎛⎫+==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，πππ33f f ⎛⎫⎛⎫+≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()f x 的周期不是π，故①不正确. 对于②，因为()()()()2πcos 2πsin 2πcos sin f x x x x x f x +=++==， 所以2π是函数()f x 的周期，所以2021π2π2π2π2π2π2π672ππ+π+cos πsin πcossin 3333333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==++=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，②正确；对于③，当ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()1cos sin cos sin sin22f x x x x x x =⋅=⋅=，因为ππ2,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，③正确；对于④，ππππ1cos sin cos sin 444442f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，33π3π3π3π1cos sin cos sin 444442f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则π3π44f f⎛⎫⎛⎫-≠-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 的图像不关于点π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称，故④不正确.故答案为：②③.三、解答题 15．已知tan α＝2.(1)求tan()4πα+的值；(2)求2223sin cos 2sin 2cos αααα++的值【答案】(1)-3 (2)32【分析】（1）由正切的和角公式求解即可；（2）由余弦的二倍角公式与弦的齐次式弦化切求解即可【详解】（1）tan 4πα⎛⎫+=⎪⎝⎭tan tan41tan tan 4παπα+=-tan 11tan αα+=-21312+=--； （2）222222223sin cos 23sin cos sin sin 2cos sin 2cos ααααααααα++-=++ 2222222sin cos 2tan 12413sin 2cos tan 2422αααααα++⨯+====+++ 16．试用向量的方法证明：在ABC 中，cos cos a b C c B =+.【答案】证明见解析【分析】设,,AB c BC a CA b ===，从而得出0a b c ++=，化简整理可得a b c =--，两边同时与a 作内积，利用向量的数量积公式即可求解. 【详解】设,,AB c BC a CA b ===，从而得出0a b c ++=，a b c ∴=--，()22cos cos a a b c a b a c ab C ac B a ∴=⋅--=-⋅-⋅=+=，cos cos a b C c B ∴=+，得证.17．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的）.已知10OA =，()010OB x x =<<，线段BA ，CD 与BC ，AD 的长度之和为30，圆心角为θ弧度.(1)求θ关于x 的函数表达式；(2)记铭牌的截面面积为y ，试问x 取何值时，y 的值最大？并求出最大值. 【答案】(1)210(010)10x x x θ+=<<+； (2)52x =，2254.【分析】（1）根据扇形的弧长公式结合已知条件可得出关于θ、x 的等式，即可得出θ关于x 的函数解析式；（2）利用扇形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得y 的最大值，即可得出结论. 【详解】（1）解：根据题意，可算得()m BC x θ=，()10m AD θ=． 因为30AB CD BC AD +++=，所以()2101030x x θθ-++=，所以，()21001010x x x θ+=<<+. （2）解：根据题意，可知()()()2222251011102210AOD BOCx x y S S x x θ+-=-=-=⨯+扇形扇形 ()()22522551055024x x x x x ⎛⎫=+-=-++=--+⎪⎝⎭， 当()5m 2x =时，()2max 225m 4=y . 综上所述，当5m 2x =时铭牌的面积最大，且最大面积为2225m 4.18．已知函数()()212cos 1sin2cos42f x x x x =-+.(1)求函数()f x 的对称中心；(2)若()0,πα∈，且π482f α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求πtan 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】(1)ππ,0,416k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z(2)2【分析】(1)利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简为π()424f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据正弦函数的对称中心，令π4π,4x k k +=∈Z ，解之即可求解；(2)结合（1）的结论，将π482f α⎛⎫-= ⎪⎝⎭化简整理可得：πsin 14α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，进而求出3π4α=，代入πtan 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭即可求解.【详解】（1）因为()()2112cos 1sin2cos4cos2sin2cos422f x x x x x x x =-+=+11πsin4cos44224x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 令π4π,4x k k +=∈Z ，则ππ,416k x k =-∈Z ， 所以函数的对称中心为ππ,0,416k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z ；（2）ππππ4484844f ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以πsin 14α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又()0,πα∈，所以3π4α=，则3ππtantanπ3ππ43tan tan 23ππ3431tan tan 43α+⎛⎫⎛⎫+=+=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-19．已知向量a ＝(cos 2ωx －sin 2ωx ，sin ωx )，b ＝2cos ωx )，设函数f (x )＝a ·b (x ∈R )的图象关于直线x ＝π2对称，其中ω为常数，且ω∈(0，1)．(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若将y ＝f (x )图象上各点的横坐标变为原来的16，再将所得图象向右平移π3个单位，纵坐标不变，得到y ＝h (x )的图象，若关于x 的方程h (x )＋k ＝0在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．【答案】（1）T ＝6π；单调递增区间为5ππ6π,6π22k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .（2）{k|k <≤k ＝－2}．【分析】（1）先利用平面向量的数量积定义和二倍角公式、辅助角公式得到π()2sin(2)3f x x ω=+，再利用对称性求出ω值，再利用三角函数的性质进行求解；（2）先利用三角函数图象变换得到π()2sin(2)3h x x =-，再令π23x t -=，利用三角函数的图象和数形结合思想进行求解.【详解】(1)f (x )＝a ·b2ωx －sin 2ωx )＋2sin ωx cos ωxωx ＋sin2ωx ＝2sin 23x πω⎛⎫+ ⎪⎝⎭.∵直线x ＝π2是y ＝f (x )的图象的一条对称轴，∴ππππ32k ω+=+(k ∈Z )，即ω＝k ＋16(k ∈Z )． 又ω∈(0，1)，∴ω＝16，f (x )＝2sin 1π33x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴T ＝6π.令π1ππ2π2π2332k x k -+++，k ∈Z ，得5ππ6π6π22k x k -++，k ∈Z ， 即函数f (x )的单调递增区间为5ππ6π,6π22k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .(2)由（1）得f (x )＝2sin 1π33x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，将y ＝f (x )图象上各点的横坐标变为原来的16，再将所得图象向右平移π3个单位，纵坐标不变，得到y ＝2sin π23x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象，∴h (x )＝2sin π23x ⎛⎫- ⎪⎝⎭.令π23x -＝t ，∵0≤x ≤π2，∴－π3≤t ≤2π3，方程h (x )＋k ＝0在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个实数解，即方程2sin t ＋k ＝0在π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个实数解，亦即y ＝2sin t ，t ∈π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦的图象与直线y ＝－k 有且只有一个交点，－kk ＝2，即k <≤k ＝－2. 故实数k 的取值范围是{k|k ≤k ＝－2}．【点睛】本题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象和性质、三角函数的图象变换，意在考查学生的逻辑思维能力和综合分析解决问题的能力，属于中档题．解决本题的易错点在于三角函数的图象变换，学生往往得到错误的结果“()2sin 2h x x =”，在处理图象平移时，要注意平移的单位仅对于“自变量x ”而言，如本题中ππ()2sin[2()]33h x x =-+.20．设函数()sin 1f x x x =+，若实数,,a b c 使得()()1af x bf x c +-=对任意x ∈R 恒成立，求cos b ca的值. 【答案】1-【分析】整理得，()1sin 12sin 12sin 123f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则()()1af x bf x c +-=可整理得，()22cos sin 2sin cos 133a b c x b c x a b ππ⎛⎫⎛⎫++-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，据此，列出方程组， 22cos 02sinc 010a b c b a b +=⎧⎪=⎨⎪--=⎩，解方程组，可得答案. 【详解】解：()1sin 12sin 12sin 123f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()2sin 12sin 1133af x bf x c a x b x c ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴+-=++++-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，即2sin 2sin 133a x b x c a b ππ⎛⎫⎛⎫+++-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2sin 2sin cos 2cos sin 1333a x b x c b x c a b πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化为：()22cos sin 2sin cos 133a b c x b c x a b ππ⎛⎫⎛⎫++-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，依题意，()22cos sin 2sin cos 133a b c x b c x a b ππ⎛⎫⎛⎫++-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意x ∈R 恒成立，22cos 02sinc 010a b c b a b +=⎧⎪∴=⎨⎪--=⎩， 由22cos 0a b c +=得：cos 1b ca=-， 故答案为：1-21．若函数()y f x =对定义域内的每一个值1x ，在其定义域内都存在唯一的2x ，使()()121f x f x =成立，则称该函数为“依赖函数”.（1）判断函数()sin g x x =是否为“依赖函数”，并说明理由；（2）若函数()12x f x -=在定义域[](),0m n m >上为“依赖函数”，求mn 的取值范围；（3）已知函数()()243h x x a a ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭在定义域4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为“依赖函数”，若存在实数：4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得对任意的t R ∈，不等式()()24h x t s t x ≥-+-+都成立，求实数s 的最大值.【答案】（1）不是“依赖函数”，理由见解析；（2）()0,1；（3）最大值为4112. 【解析】（1）由“依赖函数”的定义进行判断即可；（2）先根据题意得到()()1f m f n =，解得：2m n +=，再由0n m >>，解出01m <<，根据m 的范围即可求出mn 的取值范围；（3）根据题意分443a ≤≤，4a >，考虑()f x 在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调性，再根据“依赖函数”的定义即可求得a 的值，代入得2226133039t xt x s x ⎛⎫++-++≥ ⎪⎝⎭恒成立，由判别式0∆≤，即可得到265324339s x x ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，再令函数53239y x x =+在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的单调性，求得其最值，可求得实数s 的最大值.【详解】（1）对于函数()sin g x x =的定义域R 内存在16x π=，则()22g x =无解，故()sin g x x =不是“依赖函数”.（2）因为()12x f x -=在[],m n 上递增，故()() 1f m f n =，即11221m n --=，2m n +=，由0n m >>，故20n m m =->>，得01m <<， 从而()2mn m m =-在()0,1m ∈上单调递增，故()0,1mn ∈. （3）①若443a ≤≤，故()()2h x x a =-在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最小值为0，此时不存在2x ，舍去；②若4a >，故()()2h x x a =-在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，从而()4413h h ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，解得1a =(舍)或133a =，从而存在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.使得对任意的t R ∈，有不等式()221343x t s t x ⎛⎫-≥-+-+ ⎪⎝⎭都成立，即2226133039t xt x s x ⎛⎫++-++≥ ⎪⎝⎭恒成立， 由22261334039x x s x ⎡⎤⎛⎫∆=--++≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，得2532926433s x x ⎛⎫+≤ ⎪+⎝⎭. 由4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得265324339s x x ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，又53239y x x =+在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，故当43x =时，max 532145393x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭， 从而26145433s ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，解得4112s ≤，综上，故实数s 的最大值为4112. 【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）； ② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)； ③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立.。

西安市雁塔区高新一中21-22学年高一上学期期末数学试卷班级：_________ 姓名：_________ 分数：_________一、单选题（本大题共10小题，共40分）1、下列能正确表示集合M ={−1,0,1}和N ={x|x 2+2x =0}关系的是（ ）A.B.C. D.2、若sinα=45，α是第二象限的角，则tanα的值等于（ ）A. 43B. 34C. −43D. −343、已知向量a ⃗ =(3,1)，b ⃗ =(2,λ)(λ∈R)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则|a ⃗ +b ⃗ |=（ ）A. 5B. 5√2C. 5√3D. 104、三个数a =0.42，b =log 20.3，c =20.6之间的大小关系是（ ）A. a <c <bB. a <b <cC. b <a <cD. b <c <a5、已知点M 是直线y =13x 与单位圆在第一象限内的交点，设∠xOM =α，则cos2α=（ ）A. 45B. −45C. −35D. 356、 在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A. 34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 7、已知函数f(x)=√3sin(2x −φ)−cos(2x −φ)(|φ|<π2)是偶函数，则f(x)在[−π6,π3]上的值域是（ ）A. (−12,12)B. (−2,1]C. (12,1]D. [−2,1]8、已知函数f(x)=x 3+3x −3−x ，若f(a 2−2a)+f(5a −4)<0，则实数a 的取值范围为（ ）A. (−∞,−4)∪(4,+∞)B. (−4,1)C. (−∞,−1)∪(4,+∞)D. (−1,4)9、已知函数f(x)=4cos 2(ωx +φ)−2(ω>0,0<φ<π2)的图像的相邻两条对称轴间的距离为π2，f(x)的图像与y 轴的交点为(0,1)，则f(x)的图像的一条对称轴方程可以为（ ）A. x =−π12B. x =−π6C. x =−π4D. x =π410、在△ABC 中，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，且π3≤B ≤π2，则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是（ ）A. (−∞,1]B. [0,1]C. [0,23]D. [−2,23]二、填空题（本大题共4小题，共16分）11、已知向量a ⃗ =(−1,3)，b ⃗ =(x,4)，且a ⃗ //b ⃗ ，则x =______． 12、函数f(x)=2x ⋅|lnx|−1的零点个数为______．13、已知|a|⃗⃗⃗⃗⃗ =1,|b|⃗⃗⃗⃗⃗ =2，a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为π3，那么|a ⃗ +b ⃗ ||a ⃗ −b ⃗ |= ______ ． 14、已知函数f(x)=|cosx|⋅sinx ，下列说法正确的序号是______． ①函数f(x)的周期为π； ②f(2021π3)=−√34；③f(x)在区间[−π4,π4]上单调递增； ④f(x)的图象关于点(−π2,0)中心对称． 三、解答题（本大题共7小题，共64分）15、(本小题8.0分) 已知tanα=2． (1)求tan(α+π4)的值； (2)求3sin 2α+cos2αsin 2α+2cos 2α的值．16、(本小题8.0分)试用向量的方法证明：在△ABC 中，a =bcosC +ccosB ．17、(本小题8.0分)某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的).已知OA =10米，OB =x 米(0<x <10)，线段BA 、线段CD 与弧BC ⏜、弧AD ⏜的长度之和为30米，圆心角为θ弧度．(1)求θ关于x 的函数解析式；(2)记铭牌的截面面积为y ，试问x 取何值时，y 的值最大？并求出最大值． 18、(本小题10.0分)已知函数f(x)=(2cos 2x −1)sin2x +12cos4x ． (1)求函数f(x)的对称中心；(2)若α∈(0,π)，且f(α4−π8)=√22，求tan(α+π3)的值．19、(本小题10.0分)已知向量a ⃗ =(cos 2ωx −sin 2ωx,sinωx)，b ⃗ =(√3,2cosωx)，设函数f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ (x ∈R)的图象关于直线x =π2对称，其中ω为常数，且ω∈(0,1)． (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)若将y =f(x)图象上各点的横坐标变为原来的16，再将所得图象向右平移π3个单位，纵坐标不变，得到y =ℎ(x)的图象，若关于x 的方程ℎ(x)+k =0在[0,π2]上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围． 20、(本小题8.0分)设函数f(x)=sinx +√3cosx +1，若实数a ，b ，c 使得af(x)+bf(x −c)=1对任意x ∈R 恒成立，求bcosca的值． 21、(本小题12.0分)若函数y =f(x)对定义域内的每一个值x 1，在其定义域内都存在唯一的x 2，使得f(x 1)f(x 2)=1成立，则称该函数为“依赖函数”．(1)判断函数g(x)=sinx 是否为“依赖函数”，并说明理由；(2)若函数f(x)=2x−1在定义域[m,n](m >0)上为“依赖函数”，求mn 的取值范围； (3)已知函数ℎ(x)=(x −a)2(a ≥43)在定义域[43,4]上为“依赖函数”，若存在实数x ∈[43,4]，使得对任意的t ∈R ，不等式ℎ(x)≥−t 2+(s −t)x +4都成立，求实数s 的最大值．参考答案及解析1.答案：A解析：集合M={−1,0,1}，N={x|x2+2x=0}={0,−2}，∴A∩B={0}，∴正确表示集合M={−1,0,1}和N={x|x2+2x=0}关系的是A．所以选：A．求出集合N={x|x2+2x=0}={0,−2}，再由A∩B={0}，能求出结果．本题考查集合的运算，考查交集定义、韦恩图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：C解析：∵sinα=45，且α为第二象限角，∴cosα=−√1−sin2α=−35，则tanα=sinαcosα=−43．所以选：C．由sinα的值及α为第二象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，即可确定出tanα的值．此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基础题．3.答案：B解析：向量a⃗=(3,1)，b⃗ =(2,λ)(λ∈R)，a⃗⊥b⃗ ，∴a⃗⋅b⃗ =3×2+1×λ=0，解得λ=−6，∴a⃗+b⃗ =(5,−5)，则|a⃗+b⃗ |=√25+25=5√2．所以选：B．利用向量垂直的性质列方程，求出λ=−6，利用向量坐标运算法则求出a⃗+b⃗ =(5,−5)，由此能求出|a⃗+b⃗ |．本题考查向量的模的求法，考查向量垂直的性质、向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.答案：C解析：∵0<0.42<0.40=1，∴0<a <1， ∵log 20.3<log 21=0，∴b <0， ∵20.6>20=1，∴c >1， ∴b <a <c ， 所以选：C ．利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．5.答案：A解析：因为点M 为直线y =13x 与单位圆的交点，且α为第一象限角， 所以x =3√1010，y =√1010，所以cosα=x =3√1010，所以cos2α=2cos 2α−1=2×(3√1010)2−1=45．所以选：A ．由三角函数的定义可得cosα=x =3√1010，再由cos2α=2cos 2α−1，得解．本题考查二倍角公式，三角函数的定义，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．6.答案：A解析：本题考查向量的加减和数乘运算，考查运算能力，属于基础题． 运用向量的加减和数乘运算，计算可得结果． 如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12×12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 所以选：A ．7.答案：D解析：f(x)=√3sin(2x −φ)−cos(2x −φ)=2sin(2x −φ−π6)， ∵f(x)是偶函数，所以其图象关于y 轴对称， ∴φ+π6=π2， ∴φ=π3，∴f(x)=2sin(2x −π2)=−2cos2x ， ∵x ∈[−π6,π3]，∴函数f(x)在[−π6,0]上递减，在[0,π3]上单调递增， ∴f(0)=−2cos(0)=−2，f(π3)=−2cos2π3=1，∴f(x)在区间[−π6,π3]上的值域为[−2,1]； 所以选：D ．先化简f(x)，再根据函数的图象关于y 轴对称，求出φ的值，再根据余弦函数的图象求出值域． 本题考查了三角函数的化简，以及余弦函数的性质，属于中档题．8.答案：B解析：因为f(x)=x 3+3x −3−x ，所以f(−x)=−x 3−3x +3−x =−f(x)，即f(x)为奇函数， 根据复合函数单调性可知，f(x)在R 上单调递增，不等式f(a 2−2a)+f(5a −4)<0可转化为f(a 2−2a)<−f(5a −4)=f(4−5a)， 所以a 2−2a <4−5a ，即a 2+3a −4<0， 解得，−4<a <1． 所以选：B ．先判断函数的单调性及奇偶性，然后结合奇偶性及单调性即可求解．本题主要考查了不等式的求解，函数单调性及奇偶性的应用是求解问题的关键，属于中档题．9.答案：B解析：由题意知f(x)=4cos 2(ωx +φ)−2=2cos(2ωx +2φ)，由相邻两条对称轴间的距离为π2，可得周期为π=2π2ω，知ω=1，又因为f(0)=2cos2φ=1，由于0<2φ<π，则2φ=π3，即φ=π6， 所以f(x)=2cos(2x +π3)，令2x +π3=kπ，k ∈Z ，解得x =12kπ−π6，k ∈Z ，当k =0时，x =−π6． 所以选：B ．由已知条件先求出函数周期，利用周期公式可求ω，由f(0)=2cos2φ=1，结合范围0<2φ<π，可求φ，求得函数解析式，利用余弦函数的对称性即可求解．本题考查待定系数法求函数解析式，及三角函数的性质，属于基础题．10.答案：C解析：在△ABC 中，因为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0， 由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，知CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，故−(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=0，即有|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，所以△ABC 是等腰三角形，设|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=a ， 由|BA⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，即a²+a²+2a²cosB =4，则a²=21+cosB ， 则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB =a²cosB =2cosB 1+cosB=2−21+cosB， 由π3≤B ≤π2，则0≤cosB ≤12，所以BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2−21+cosB∈[0,23]．所以选：C ．由BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 知CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，知CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=0，由此能够证明△ABC 为等腰三角形，由π3≤B ≤π2，知cosB 范围，设|AB ⃗⃗⃗⃗⃗|=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=a ，由|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，知a 2+a 2+2a 2cosB =4，所以a²=21+cosB，由此能够求出BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．本题考查平面向量的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，属于中档题．11.答案：−43解析：向量a ⃗ =(−1,3)，b ⃗ =(x,4)，且a ⃗ //b ⃗ ， 所以−1×4−3x =0， 解得x =−43． 所以答案为：−43．根据平面向量共线定理的坐标表示，列方程求出x 的值． 本题考查了平面向量的共线定理应用问题，是基础题．12.答案：2解析：由题意，函数f(x)=2x |lnx|−1的零点个数⇔两个函数y =2−x 与y =|lnx|的交点个数，两个函数的图象如图．由图知，两个函数有2个交点，故函数f(x)=2x |lnx|−1的零点个数是2， 所以答案为：2．函数f(x)=2x |lnx|−1的零点个数问题转化为两个函数y =2−x 与y =|lnx|的交点问题，作出两个函数的图象，由图象选出正确选项．本题考查了函数的零点与方程的根的关系以及方程的根与函数图象交点的关系，解答此类题，关键是做出高质量的图象，由图象辅助得出答案，数形结合是非常重要的数学思想，属于中档题．13.答案：√21解析：因为|a|⃗⃗⃗⃗⃗ =1,|b|⃗⃗⃗⃗⃗ =2，a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为π3，所以|a ⃗ +b ⃗ |=√(a ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ +b ⃗ )=√a ⃗ 2+b ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ =√12+22+2×1×2×12=√7．|a ⃗ −b ⃗ |=√(a ⃗ −b ⃗ )⋅(a ⃗ −b ⃗ )=√a ⃗ 2+b ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ =√12+22−2×1×2×12=√3．所以|a ⃗ +b ⃗ ||a ⃗ −b ⃗ |=√7×√3=√21． 所以答案为：√21．直接利用向量的模的求法，求出|a ⃗ +b ⃗ |⋅|a ⃗ −b ⃗ |的值即可． 本题考查向量的数量积的运算，向量的模的求法，考查计算能力．。

陕西省西安市高新一中19-20学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合M={a,0}，N={1,2}且M∩N={2}，那么M∪N=()A. {a,0，1，2}B. {1,0，1，2}C. {2,0，1，2}D. {0,1，2}2.已知函数y=x2−2x+3在闭区间[0,m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是()A. [1,+∞)B. [0,2]C. [1,2]D. (−∞,2]3.已知α为第二象限角，sinα+cosα=√33，则cos2α=()A. −√53B. −√59C. √59D. √534.若函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,−π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω和φ的值分别是()A. ω=2，φ=π4B. ω=2，φ=−π4C. ω=12，φ=π8D. ω=12，φ=−π85.已知函数f(x)在[3,+∞)上单调递减，且f(x+3)是偶函数，则a=f(log32)，b=f(30.5)，c=f(log264)的大小关系是()A. a>b>cB. b>c>aC. c>b>aD. b>a>c6.将函数y=cos(x−π3)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移π3个单位，所得函数的一条对称轴为()A. x=π4B. x=π3C. x=π2D. x=π7.函数y=2sin(π3−2x)的单调递增区间是()A. [kπ−π12,kπ+5π12](k∈Z) B. [kπ+5π12,kπ+11π12](k∈Z)C. [kπ−π3,kπ+π6](k∈Z) D. [kπ+π6,kπ+2π3](k∈Z)8.幂函数y=x a，当a取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图).设点A(l,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=x a，y=x b的图象三等分，即有BM =MN =NA.那么a −1b =( )A. 0B. 1C. 12D. 29. 已知函数f (x )=sin (ωx +π3)(ω>0)，若f (x )在[0,2π3]上恰有两个零点，则ω的取值范围是( )A. (1,52)B. [1,52)C. (52,4)D. [52,4)10. 若函数f(x)=sin(2x +φ)(0<φ<π)的图象关于直线x =π6对称，则φ的值为( )A. π6B. π4C. π3D. 2π3二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）11. 已知集合A =[3,9),B =[a,+∞).若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是__________． 12. 在△ABC 中，已知asinA =2bcosAcosC +2ccosAcosB ，则__________．13. 设α为锐角，若cos (α+π6)=45，则sin (2α+π12)的值为_______．14. 若关于x 的方程mx 2+(2m +1)x +m =0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共84.0分） 15. 化简求值：(1)0.064−13−(−18)0+1634+0.2512(2)12lg25+lg2+(13)log 32−log 29×log 32.16. 已知函数f(x)=(sinx −cosx) 2+m ，x ∈R ．(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；(Ⅱ)若f(x)的最大值为3，求m 的值．17.已知f(x)=2cos x2(√3sin x2+cos x2)−1，x∈R．(1)求f(x)的最小正周期；(2)设α、β∈(0,π2)，f(α)=2，f(β)=85，求f(α+β)的值．18.已知sin x2−2cos x2=0．(1)求tanx的值；(2)求22√2(√22cosx−√22sinx)sinx的值．19.已知函数f(x)在(−1,1)上有定义，f(12)=−1，当且仅当0<x<1时，f(x)<0，且对于任意x,y∈(−1,1)都有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy)，试证明：①f(x)是奇函数；②f(x)在(−1,1)上单调递减。