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统计中常用分布
(1) 正态分布
i.i.d .
若
( X1, X 2,, X n )
~
N
(
,
2 1
)
则
n i1
ai X i
~
N
n i1
ai i ,
n i1
ai2
2 i
特别地，若
i.i.d .
( X1, X 2,, X n )
~
Xi
~
N
(
,
2 1
)
则
X
1 n
n i1
Xi
~
N , 2
n
X
2 i
2n
(3) t分布(Student分布) 定义 设 X ~ N (0,1),Y ~ 2 (n)，X，Y 相互独立，
T X Y n
则T 所服从的分布称为自由度为n的T分布其密 度函数为：
f (t)
n
2
1
1
t
2
n1 2
t
n
n 2
n
n=1
n=20
t分布的图形(红色的是标准正态分布)
2 2
)
的一个简单随机样本．
它们相互独立．
令
X
1 n
n i1
Xi
S12
1 n 1
n i1
(Xi
X
)2
Y
1 m
m
Yi
j1
S22
1 m 1
m
(Y j
j1
Y
)2
则
(n 1)S12
2 1
~
2
(n
1)
(m
2 2
1)
~
2
(m
1)
S12
2 1
S22
~
F (n 1, m 1)
(3)
2 2
若1 2 则
X
i
~
N (0,1)
i1
i 1,2,, n X1, X 2 ,, X n 相互独立，
则
E
(
X
i
)
0,
D(
X
i
)
1,
E
(
X
2 i
)
1
E( 2 (n)) E
n
X
2 i
n
i1
E
(
X
4 i
)
1
x
4
e
x2 2
dx
3
2
D(
X
2 i
)
E(X
4 i
)
E
2
(
X
2 i
)
2
D(
2 (n))
D
n i1
t分布的性质
1．fn(t)是偶函数,
n , fn (t) (t)
1
e
； t 2 2
2
2．T分布的上分位数t与双测分位数t/2有表
可查．
P(T t )
t t1
n = 10
•
-t
t•
P(T 1.8125) 0.05 t0.05 (10) 1.8125
P(T 1.8125) 0.05
令F X n Ym
则F 所服从的分布称为第一自由度为n，第二自 由度为m的F分布，其密度函数为：
f
(t,
n,
m)
n
2
m
n 2
m 2
n m
2
t
2
1
1
n m
t
nm 2
，t
0， t
0 0
m = 10, n = 4 m = 10, n = 10 m = 10, n = 15
P(T 1.8125) 0.95 t0.95 (10) 1.8125
P(T
t
2)
2
P(| T | t 2 )
/2 -t•/2
/2 t•/2
P(T 2.2281) 0.025 P(| T | 2.2281) 0.05 t0.025 (10) 2.2281
(4) F分布
定义 设 X ~ 2 (n),Y ~ 2 (m), X，Y 相互独立，
Xi
X
2
~
2 (n 1)
(n 1)S 2 与 X
2 相互独立．
(1)
X S X ~ T (n 1) n S n
(2)
(2) 两个正态总体
设 ( X1, X 2 ,, X n ) 是来自正态总体
X
~
N
(1
,
2 1
)
的一个简单随机样本；
Y1,Y2 ,,Ym
是来自正态总体
Y
~
N
(
2
,
§5.2 抽样分布
确定统计量的分布——抽样分布，是数理统计 的基本问题之一．采用求随机向量的函数的分布的 方法可得到抽样分布．由于样本容量一般不止2或 3(甚至还可能是随机的)，故计算往往很复杂，有时 还需要特殊技巧或特殊工具．
由于正态总体是最常见的总体，故本节介绍的 几个抽样分布均对正态总体而言．
~
F (m, n)
因而
F1
1 (n,
m)
F
(m,
n)
抽样分布的某些结论
(1) 一个正态总体
设 X ~ N (, 2 ) E( X ) ，D( X ) 2
总体的样本为 ( X1, X 2 ,, X n ) ，则 X ~ N (, 2 ) X ~ N (0,1)
n n
(n 1)S 2
2
n i1
S12 S22
~ F (n 1, m 1)．
设 X1, X 2 ,, X n 是来自正态总体 X ~ N (1, 2 )
X
相互独立，
2
则X1 X 2 ~ 2 (n1 n2 )；
3．n 时， 2 (n) 正态分布；
4． 2 (n)分布的上分位数有表可查．
例如
2 0.05
(10)
18.307
P( 2 (10) 18.307) 0.05
n = 10
• 20.05(10)
n
证明 1．设 2 (n)
X
2 i
事实上，
F1 (n, m)
1 F (m, n)
故
F0.95
(5,4)
1 F0.05 (4,5)
1 5.19
• F(n,m)
例1
证明
F1 (n, m)
1 F (m, n)
证明
P(F
F1
(n, m))
P
1 F
F1
1 (n,
m)
1
P
1 F
F1
1 (n,
m)
1
故P
1 F
F1
1 (n,
m)
பைடு நூலகம்
，由于
1 F
2
1
,
x
0
2
0, x 0
2 (n) 分布密度函数图
0.4
n=2
0.3
n=3
0.2
n=5
n = 10 0.1
n = 15
5 10 15 20 25
2 (n) 分布的性质
1．E( 2 (n)) n, D( 2 (n)) 2n；
2．若X1
2 (n1),
X2
2 (n2 ),
X1,
n
X
2 i
~
2 (n)．
i1
n = 1时，其密度函数为
f
(
x)
1
1 1
x 2e 2, x 0
2
0, x 0
n=2时，其密度函数为
f
(
x)
1 2
1
e2
,
x
0．
0, x 0
为参数为1/2的指数分布．
一般地，自由度为n的 2 (n) 的密度函数为
f
(
x)
22
1
(
)
e
2
x
m = 4, n =10 m = 10, n = 10 m = 15, n = 10
F分布的性质 1．若 ~ F (n, m),则１ ~ F (m, n)
F
2．F (n.m)的上分位数F (n, m)有表可查：
P(F F (n, m))
例如 F0.05 (4,5) 5.19
但 F0.95 (5,4) ?
标准正态分布的上分位数z．
z•
z0.05 1.645 z0.025 1.96 z0.005 2.575
常用 数字
/2
•
-z/2
-z/2＝z1-/2
/2
•
z/2
(2) 2 (n) 分布(n为自由度)相互独立．
定义 设 ( X1, X 2 ,, X n ) 且都服从标准正态
分布N(0,1)，则
