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14 欧氏空间中的点集

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维欧氏空间中的点集

维欧氏空间中的点集
3
在 n 维向量空间 Rn 中，按照以下定义内积：
设 x ( x1, x2 , , xn ) Rn , y ( y1, y2,
n
x, y xi yi i 1
构成一个 n 维 Euclid 空间.
, yn ) Rn
对于 x ( x1, x2 , , xn ) Rn , y ( y1, y2, , yn ) Rn
(5) 界点要么是聚点，要么是孤立点。
15
聚点
关于聚点，下面三条是等价的：
(1) a是A的聚点；
(2) a的任意邻域内，至少含有一个属于A而 异于a点；
(3) 存在A中互异的点所成的点列 xn,
lim
n
xn
a
See P.4定义1.2
16
内部、边界、外部、导集、闭包 定义：(1) A的全体内点所成的集合，称为A的内部， 记作 A ,或 int A
Rn 中的向量的长度（或范数）定义为： x ( x, x) x12 x22 xn2
定义距离
( x, y) x - y ( x1 - y1)2 ( x2 - y2 )2 ( xn - yn )2
4
2. Rn中点列的极限
定义1.3(邻域)：设a Rn ,d 0,称点集
U(a,d )= x Rn | ( x,a) d 为点a的d邻域,简记为
U (a);
显然，在R1, R2, R3 中, U(a,d分别是以a为中心以d为
半径的开区间、开圆和开球.
o
U (a,d )=：x Rn | 0 ( x,a) d ---点a的去心d邻域。
d
d
M0
d
d
M0
ad
a
ad x
5
点列的极限

欧氏空间

欧氏空间
6．为了便于学生记忆,可将欧氏空间的基础性质作如下整理：设v是一个欧氏空间,α、β、γ∈V,k∈R,有：把"内积"的性质及向量的长度、夹角、距离得到的有关性质总结一起.
二． 内容及要求
1、 内容：内积、欧氏空间、向量的长度、向量间的夹角、距离的概念、性质.
2、 重点：内积、欧氏空间的定义.
2．正交基（或标准正交基）的求法的基础是建立在"任一线性无关组可得一正交组（从而得一标准正交组）"之上的,上述证明思想的分析过程可从含两个向量的向量组出发,一般地用归纳法,这样易于接受,从而自然得正交基（标准正交基）的求法.这是本节的难点及重点.施密特正交化公式麻烦.
3．子空间的正交补是子空间的一类特殊的余子空间,其结论上不同于一般向量空间的有限维子空间的余子空间存在不唯一；而正交补存在且唯一.而求正交补的思想同求余子空间类似,不同的在于选标准正交基.
一 教学思考
1．在欧氏空间中讨论线性变换,最主要的是讨论那些与内积有关的线性变换,以后两节即讨论这样两类线性变换.
2．从内容上看本节给出了正交变换的定义及等价叙述（分一般欧空上及有限欧空）,以及中正交变换的类型.从中建立了n 维欧氏空间中正交变换与n 阶正交矩阵的一一对应,此二者是同一事物的两种形式,可以相互借助一方讨论另一方,中的正交变换的形式及相应的矩阵的形式.另外n 维欧氏空间的正交变换是v的自同构映射,等结论.本节易理解不麻烦.
3．为更好的认识正交变换,可总结正交矩阵的若干性质.
Ⅱ）反过来：有了"内积"后,可用此表示行来年感的长度与夹角：.
③ 上述关系启发我们可以先定义"内积",然后利用"内积"定义向量的有关度量问题.

n维欧氏空间中的点集——【多元函数微分学】

n维欧氏空间中的点集——【多元函数微分学】

y
y
闭区域
y
o
x
y
o 1 2x
o
x
o 1 2x
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系
9
整个平面 是最大的开域 , 也是最大的闭域
；点集 (x, y) x 1是开集，
但非区域 .
y
1o 1 x
• 有界集: 对于平面点集E, 如果存在某一正数r, 使得
E U(O,r), 其中O为坐标原点.
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系
3
三、 平面点集R2的基本知识
平面点集:
xoy平面上满足某一条件的一切点的集合
1. 邻域 点集
例如,在平面上,
U ( P0 ,δ ) (x, y)
在空间中,
U ( P0 , ) (x, y, z )
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系
则称 D 是连通的 ; • 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ; • 开区域连同它的边界一起称为闭区域.
D
。 。
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系
8
例如，在平面上
(x, y) x y 0
开区域
(x, y) 1 x2 y2 4
(x, y) x y 0
(x, y) 1 x2 y2 4
O.
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系
2
R n 中的点 x (x1, x2 ,, xn ) 与点 y ( y1, y2 ,, yn )
的距离记作
规定为
R n 中的点 x (x1, x2 ,, xn )与零元 O 的距离为 x x12 x22 xn2
二、Rn中点列的极限

欧氏空间（Eulerspace）

欧氏空间（Eulerspace）

欧氏空间(Euler space )一、 内积与欧氏空间1.设V 是实数域R 上的线性空间,在V 上定义一个二元实函数,称为内积,记为),(βα,它具有以下性质: )3(,)2(),,(),)(1( αββα= 这样的线性空间V 称为欧几里的空间,简称欧氏空间.2.设V 是数域P 上的线性空间,如果V 中的任意两个向量βα,都按某一法则对应P 内唯一确定的数,记为),(βαf ,且),(),(),(,,,,)1(221122112121βαβαβααβααk f k k k f V P k k +=+∈∈∀有;),(),(),(,,,,)2(221122112121βαβαββαββαl f l l l f V P l l +=+∈∈∀有 则称),(βαf 是V 上的一个双线性函数.3.内积是双线性函数.4.设V 是n 维欧氏空间,n e e e ,,,21 为V 的一组基,V ∈βα,,若n n e x e x e x +++= 2211α; n n e y e y e y +++= 2211β则j i n j ni j i j i n j n i j i y x a y x e e ∑∑∑∑====∆=1111),(),(βα,5.称 )),(()(j i ij e e a A ==为基n e e e ,,,21 的度量矩阵.6. 设n e e e ,,,21 是n 维欧氏空间V 的一组基,,A 是基n e e e ,,,21 下的度量矩阵,则任意V ∈βα,,有AY X '=),(βα.7.度量矩阵必为正定矩阵,且不同基下的度量矩阵是合同的.二、 长度与夹角1。

欧氏空间V 中向量长度 ),(||ααα=；单位化：当||0||0αααα=≠时， 2．欧氏空间中的重要不等式：① Cauchy-Буняковский不等式：对任意向量V ∈βα,有线性相关时等式成立。

，当且仅当βαβαβα|,||||),(|≤。

第二节-聚点-内点-界点

第二节-聚点-内点-界点

内点，外点、边界点与聚点的关系
结论：内点一定是聚点，外点一定不是聚点，边界 点有可能是聚点，也有可能是孤立点.
开核与闭包的关系
(E)c (Ec ) (Ec ) (E)c
例 设p0是E的聚点, 证明p0的任意邻域内至少含有无 穷多属于E而异于p0的点.
证明：由条件知 0,U ( p0, ) (E {p0}) （*）

min{
1 n
,d(
pn1,
p0 )}时, 取pn
U ( p0 ,n ) (E
列互异
则上述取出的点列Pn是互异点列,且
lim
n
pn

p 0
3.开核，导集，闭包的性质
➢ 定理2
若
A B Rn，则
A B,

A B,
A B.
➢ 定理3 若 A Rn , B Rn，则
Pn P0 δ
所以U ( p0 , ) (E { p0})为无限集
2.聚点的等价描述
定义：称点列{pn}
收敛于p0
,
记为：lnim
pn

p 0
若
lim
n
d
(
pn
,
p0
)

0,
即 0, N 0,n N,有pn U ( p0, )
Pn P0 δ
定理1：下列条件等价：
假如U ( p0 , ) (E {p0})为有限集，
不妨令U ( p0 , ) (E { p0}) { p1, p2 , , pn}
取 min{ d ( pi , p0 ) | i 1,2, , n}
则U ( p0 , ) (E {p0})

n维Euclid空间中的点集的初步知识

n维Euclid空间中的点集的初步知识

则
即 为 的聚点
当且仅当 ar 的任意去心邻域包含 中的点.
证：
存在 中的点列
且
即 于是由
使得
取 于是
且
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定理1.5 设 是 中的一个点集，
则
即 为 的聚点
当且仅当 ar 的任意去心邻域包含 中的点.
注： 若 则 为闭集。
单点集和有限集都是闭集。
定义1.4 设
(1) 若存在 使
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定理1.7 在n维Euclid空间 中,开集有下列性质： (1) 空集φ与空间 是开集；
(2) 任意多个开集的并是开集； (3) 有限多个开集的交是开集.
利用对偶原理：
(1) 空集φ与空间 是闭集；
(2) 任意多个闭集的交是闭集； (3) 有限多个闭集的并是闭集.
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则称 是集
的内点. 由 的所有内点构成的集合称为 的内部， 记作
(2) 若存在 使
则称 是集
的外点.由 的所有外点构成的集合称为 的外部，
记作
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(3) 若对任何
中既含有 中的点，
也含有不是 中的点， 则称 是集 的边界点. 由 的 所有边界点构成的集合称为 的边界， 记作
设 是 中的点列，若 使得
则称 是 中的基本点列或Cauchy点列.
定理
中点列 收敛于 中的点
是1.4中的Cauchy点列.
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1.3 Rn中的开集与闭集
定义1.2 设 是 中的一个点集，
中的点列
使得
若存在 则称 为
的聚点. 的所有聚点构成的集合称为 的导集. 记作

第2章 欧式空间中的点集

第2章 欧式空间中的点集
n
N ( x0 , r ) 是 R n 中的开集，因此，我们也称 N ( x0 , r ) 为以 x0 为中心，以 r 为半径的开球。
定理 2.5（开集的基本性质）开集具有如下性质： （1） （2） （3） 空集 及全空间 R n 是开集； 任意多个开集的并是开集； 有限个开集的交是开集。
证明 （1） 显然。 （2） 设 A
2.2
开集、闭集与完备集
开集与闭集是本章的重点，特别是开集与闭集的构造，必须熟炼地掌握，实际上，在下 一章我们将看到开集、闭集与测度理论密切相关，是构成测度理论的一个重要环节。 定义 2.3 设 E R n ，若 E 中每个点都是 E 的内点，则称 E 为开集。 由开集的定义易知 E 是开集当且仅当 E E 0 ，任何非空有限集都不是开集，每个开区 间 ( a, b), ( a, ), ( , b) 都是 R1 上的开集（在 R 2 中就不是） 。若 x0 R ， r 0 ，则邻域

A ， I 是 R n 中的一族开集， 任取 x 则存在 I I
- 41 -
使 x A ，因 A 是开集，存在 x 的邻域 N ( x, ) 使得 N ( x, ) A ，于是更有
N ( x, ) A ， I A 的内点，这表明 A 是开集。 因此 x 是 I I
■ 利用距离可考虑有界集 设 M R n ，若有正数 K 0 ，使对任意 x ( x1 , x2 , xn ) M ，都有
xi K (i 1, 2, , n) ，
则称 M 为有界集。
- 38 -
显然 M 有界的充要条件是：存在正数 K ' 0 ，使对一切 x M 都有 d( x, o) K ' 。

(完整版)《实变函数》第二章点集

(完整版)《实变函数》第二章点集

第二章点集（总授课时数 8学时)教学目的：欧氏空间n R上的测度与积分是本课程的主要研究对象。

本节讨论欧氏空间上的若干拓扑概念。

通过本节的学习,可以熟悉欧氏空间上的开集，闭集和Borel集，Cantor 集等常见的集,为后面的学习打下基础。

本章要点由n R上的距离给出邻域，内点，聚点的定义,从而给出开集，闭集的定义.由开集生成一个σ-代数引入Borel 集.Cantor 集是一个重要的集, 它有一些很特别的性质。

应使学生深刻理解本节介绍的各种集的概念并熟练应用.充分利用几何图形的直观，可以帮助理解本节的内容。

本章难点Borel集、Cantor 集的性质。

授课时数8学时————-—---———————-——-——-—-—————本章先介绍n R中的距离、极限、邻域、区间及其体积等基本概念，然后定义了内点、聚点、外点、边界点、开集、闭集等特殊点和集,并讨论了开集与闭集的性质及其构造。

最后介绍了聚点原理、有限覆盖定理.§1 度量空间，n维欧氏空间教学目的1、深刻理解n R中的距离、邻域、点列收敛等概念，弄清它们在刻划不同类型的点及点集中的作用。

2、理解距离的性质、点到集合的距离、两集合之间的距离、集合的直径等概念,理解有界集、无界集、区间及区间的体积等概念.3、了解邻域的四条性质.本节要点度量空间的概念。

本节难点度量空间的概念。

授课时数2学时——-———————————————-—————-——--—一、度量空间⨯→为一映射，且满足定义1：设X为一非空集合,d:X X R（1）(,)0d x y ≥,(,)0d x y x y =⇔= (正定性） （2）(,)(,)d x y d y x = （对称性)（3)(,)(,)(,)d x y d x z d z y ≤+ （三角不等式) 则称(,)X d 为度量空间。

例1：（1） 欧氏空间(,)nR d ,其中(,)d x y =（2） 离散空间(,)X d ，其中1(,)0x yd x y x y ≠⎧=⎨=⎩（3） [],a b C 空间（[],a b C 表示闭区间[],a b 上实值连续函数全体）， 其中(,)max |()()|a t bd x y x t y t ≤≤=-二、 邻域定义2： 称集合0{|(,)}P d P P δ<为0P 的δ邻域，并记为0(,)U P δ.0P 称为邻域的中心,δ称为邻域的半径。

欧氏空间——精选推荐

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第九章 欧氏空间9.1 基本内容与基本结论9.1.1 基本内容 1．欧几里得空间设V 是实数域R 上一线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，称为内积，记作),(βα，它具有以下性质：(1) ),(),(αββα=； (2) ),(),(βαβαk k =； (3) ),(),(),(γβγαγβα+=+；(4) 0),(≥αα，当且仅当0=α时，0),(=αα。

这里α，β，γ是V 中任意的向量，k 是任意实数，这样的线性空间称为欧几里得空间。

2．酉空间设V 是复数域C 上一线性空间，在V 上定义了一个二元复函数，称为内积，记作),(βα，它具有以下性质：(5) ),(),(αββα=，这里),(),(αβαβ是的共轭复数； (6) ),(),(βαβαk k =； (7) ),(),(),(γβγαγβα+=+；(8) 0),(≥αα，当且仅当0=α时，0),(=αα。

这里α，β，γ是V 中任意的向量，k 是任意复数，这样的线性空间称为酉空间。

3．向量的长度非负实数),(αα称为向量α的长度，记为α。

4．向量的夹角非零向量α，β的夹角〉〈βα,规定为 βαβαβα),(arccos ,=〉〈，πβα≤〉〈≤,0。

5．向量的正交如果向量α，β的内积为零，即0),(=βα，那么称α，β正交，记为βα⊥。

6．基的度量矩阵n εεε,,,21 是n 维欧氏空间V 的一组基，令n j i j i ij ,,2,1,),,( ==εεα，称nn ij a A )(=为基n εεε,,,21 的度量矩阵。

7．正交向量组欧氏空间V 中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组。

8．正交基，标准正交基在n 维欧氏空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基。

9．正交矩阵、酉矩阵n 级实矩阵称A 为正交矩阵，如果E A A T =。

n 级复矩阵称A 为酉矩阵，如果E A A T =。

§1.4 Rn中的点集

§1.4 Rn中的点集
n
心, 以 r 为半径的开球.
定理 2 (开集的基本性质)开集具有如下的性质:
(i). 空集 ∅ 和全空间 R n 是开集.
(ii). 任意个开集的并集是开集. (iii). 有限个开集的交集是开集.
证明
(i) 是 显 然 的 . 往 证 (ii). 设 { At , t ∈ T } 是 X 中 的 任 意 一 族 开 集 . 任 取
n n n
n
R n = {x = ( x1 ,
对任意 x = ( x1 ,
, x n ) : x1 ,
, x n ∈ R1 }.
, xn ) ∈ R n , 令 x = x12 +
(
2 2 xn .
)
1
称 x 为 x 的范数. 注意若 x∈ R ,
1
则 x 就 是 x 的 绝 对 值 . 设 x = ( x1 ,
, k . 令 ε = min{d ( x 0 , xi ), i = 1,
c c
k}, 则 ε > 0. 由 ε 的取法
c
知道 U ( x0 , ε ) ∩ A = ∅ , 即 U ( x 0 , ε ) ⊂ A . 因此 x0 是 A 的内点. 所以 A 是开集. 充 分 性 . 设 A 为 开 集 . 则 对 任 意 x0 ∈ A , 存 在 x0 的 一 个 邻 域 U ( x0 , ε ), 使 得
∞
n
= {0} 不是开集.
聚点与闭集 定义 3 设 A 是 R 的子集. (1). 设 x0 ∈ R . 若对任意 ε > 0 , U ( x 0 , ε ) 中包含有 A 中的无限多个点, 则称 x0 为 A
n n
的一个聚点(图 4—1 中的 x1 ). (2). 由 A 的聚点的的全体所成的集称为 A 的导集, 记为 A′. (3). 若 A′ ⊂ A, 则称 A 为闭集. (4). 集 A ∪ A′ 称为 A 的闭包, 记为 A. 例 如 , 每 个 有 界 或 无 穷 闭 区 间 [a, b], (−∞, a ], [a, + ∞) 都 是 直 线 R 上 的 闭 集 . 若

高等代数考研复习[欧氏空间]

高等代数考研复习[欧氏空间]
d) n维欧空间中任意一个正交向量组都能扩充 成一组标准正交基.
3) 标准正交基的求法：施密特(Schmidt)正交 化方法
题型分析：
例1 设 1,2, ,n 是欧氏空间V的基，证明：
1) 若 V 使得 ( ,i ) 0, 则 0.
2) 若 1, 2 V , 对任意的 V 有 (1, ) ( 2, )
个子空间，如果对任意 V1, V2 恒有 (, ) 0, 则称 V1 与 V2 是正交的，记为 V1 V2.
如果 V , 且对任意 V1, 有 (, ) 0, 则称 与子空间 V1 正交，记为 V1. 2) 正交子空间的有关结论：
a) L(1,2, ,m ) i ( ,i ) 0.
b) 设 , V , 1,2, ,n 是V的标准正交基，如 果 ( 1,2, ,n ) X , ( 1,2, ,n )Y , 则( , ) X Y.
c) 设 1,2, ,n 是V的一组标准正交基，1,2, ,n
且 (1,2, ,n ) ( 1,2, ,n )T , 则 1,2, ,n 也是 V的标准正交基 T是正交矩阵.
| 1 2 n || 1 | | 2 | | n | .
c) 如果 , 则 | |2 | |2 | |2 .
1.2 度量矩阵
1)定义：设V是n维 欧氏空间，1,2, ,n 是V
的一组基，称矩阵
(1,1)
A


V , | A || |;
(3) 如果 1,2, ,n 是标准正交基，则 A 1,A 2, ,A n 也是标准正交基； (4) A 在任何一组标准正交基下的矩阵是正
交矩阵.

清华大学数学专业所学课程

清华大学数学专业所学课程

数学科学系00420033 数学模型3学分48学时Mathematical Modelling建立数学模型是用数学方法解决实际问题的关键步骤。

本课程从日常生活的有趣问题入手，介绍数学模型的一般概念、方法和步骤，通过实例研究介绍一些用机理分析方法建立的非物理领域的模型及常用的建模数学方法，培养同学用建模方法分析和解决实际问题的意识和能力。

00420152 数学建模引论2学分32学时Introduction of Mathematical Modelling本课程以案例分析的方式组织教学，主要面向低年级的学生，各个学期根据对学生数学基础的不同要求，选择案例。

我们这里所选择的都是实际应用价值非常突出的案例。

00420163 数理科学与人文3学分48学时Mathematical and Physical Sciences and Humanities本课程旨在加强学生以通识教育为目标的思维和训练，提高学生的科学素质。

该课程虽然以知识为载体，却并不以传授理论知识为主要目的，而是以启迪思想，养成思考的习惯，以提升学生的创新意识。

00420172 数学与人类文明2学分32学时Mathematics and Civilization本课程不以讲述数学专门知识为目标，着重讲述数学发展对人类文明发展的地位、作用和影响，人类认识客观世界的能力，非数学专业学者如何理解和看待和欣赏数学。

10420095 微积分(1) 5学分80学时Calculus(1)内容包括：实数，函数，极限论，连续函数，导数与微分，微分中值定理，L'Hospital法则，极值与凸性，Taylor公式，不定积分与定积分，广义积分，积分应用，数项级数，函数级数，幂级数，Fourier级数。

10420115 微积分(2) 5学分80学时Calculus(2)n维空间中的距离、邻域、开集与闭集，多元函数的极限与连续，多元函数微分学，空间曲线与曲面，重积分、曲线与曲面积分、向量分析，常微分方程、初等积分法、高阶线性方程、线性常微分方程组。

[数学]欧氏空间

[数学]欧氏空间

[数学]欧⽒空间
欧⽒空间，即欧⼏⾥得空间（Euclidean Space)。

这⾥，欧⼏⾥得这个定语起源于古希腊时期的欧⼏⾥得⼏何[1]，⽽欧⼏⾥得⼏何是指满⾜欧⼏⾥得的5条⼏何公理的⼀维⼆维⼏何。

欧⼏⾥得平⾯⼏何的五条公理（公设）是：
1.从⼀点向另⼀点可以引⼀条直线。

2.任意线段能⽆限延伸成⼀条直线。

3.给定任意线段，可以以其⼀个端点作为圆⼼，该线段作为半径作⼀个圆。

4.所有直⾓都相等。

5.若两条直线都与第三条直线相交，并且在同⼀边的内⾓之和⼩于两个直⾓，则这两条直线在这⼀边必定相交。

直到19世纪，瑞⼠数学家路德维希·施莱夫利（Ludwig Schläfli）把欧⼏⾥得平⾯⼏何发展到了三维和更⾼维的⼏何。

今天，他的⼯作已经被⼴泛接受，以⾄于他的名字都不被⼈们熟知了[2]。

最早在数学上使⽤空间的概念是在古希腊时期，那时的空间就是现实物理世界的⼀个抽象，其性质由欧⼏⾥得平⾯⼏何的⼏条公理引出。

近现代数学⾥，空间是满⾜某些特定条件的集合，数学家⽤这些条件构造了他们想要的结构。

例如，线性空间的⼋条公理就是构造了⼀种可
以“‘直’地放缩，旋转”的集合。

严格的欧⽒空间，是仿射空间的扩展，也就是在上加上内积的概念。

仿射空间可以理解为不指定原点，且有平移变换的线性空间，⽽有了内积，就定义了距离，长度和⾓度，也就有了度量，因此，欧⽒空间可以理解为增加了度量和平移变换的线性空间。

但在⼀般的使⽤场景，我们⼀般说的欧⽒空间是指标准欧⽒空间，也就是指定原点并且坐标轴正交的具有向量内积性质的R n线性空间。

Processing math: 100%。

欧氏空间的知识点总结

欧氏空间的知识点总结

欧氏空间的知识点总结一、欧氏空间的基本概念1. 欧氏空间的定义欧氏空间是指具有度量的线性空间，它可以是具有内积的实数线性空间或者复数线性空间。

在欧氏空间中有一种特殊的度量，即欧氏距离。

欧氏距离是指在n维空间中，两点之间的距离d(x, y)定义为：d(x, y) = √((x1-y1)^2 + (x2-y2)^2 + ... + (xn-yn)^2)其中x=(x1, x2, ..., xn)和y=(y1, y2, ..., yn)分别是空间中的两个点。

2. 欧氏空间的维度欧氏空间的维度是指空间中的向量所属的维度数，通常用n表示。

在n维欧氏空间中，一个向量可以用n个实数或复数表示。

例如，在二维欧氏空间中，一个向量可以表示为(x, y)。

在三维空间中，一个向量可以表示为(x, y, z)。

3. 欧氏空间的内积在n维欧氏空间中，可以定义内积的概念。

内积是指两个向量之间的数量积，通常用"a·b"表示。

在欧氏空间中，两个向量a和b的内积定义为：a·b = a1b1 + a2b2 + ... + anbn内积满足交换律、线性性和正定性等性质。

内积可以用来定义向量的长度、夹角和投影等概念，是欧氏空间中重要的工具。

二、欧氏空间的性质和定理1. 欧氏空间的性质欧氏空间具有许多重要的性质，例如：- 距离的非负性：两点之间的距离永远是非负的。

- 距离的对称性：两点之间的距离与它们的顺序无关。

- 三角不等式：两点之间的最短距离加起来不大于第三个点所在的线段的长度。

- 同伦性：欧氏空间是同伦的，即两个点之间总可以找到一条连续的路径相连接。

2. 欧氏空间的定理在欧氏空间中，有许多重要的定理，例如：- 柯西-施瓦茨不等式：对于欧氏空间中的任意两个向量a和b，它们的内积满足|a·b| ≤ ||a|| * ||b||，其中||a||和||b||分别是向量a和b的长度。

- 皮亚诺定理：在欧氏空间中，任意有界闭集都是紧的。

线性代数-欧氏空间

线性代数-欧氏空间

, 2
,
0
,
即
, 2 , ,
两边开方后便得到
, 当α,β线性相关时，必有β=kα，从而
, k ,
k
故 , k , k
即(7.4.2)中等式成立. 反之，若(7.4.2)中等 式成立，则或者β=0 ，或者(7.4.3)式对
,
t
,
等式成立，这意味着此时
t , t 0 由内积性质(4)，即知
性质2 设α , β是欧氏空间中的元素， 且α⊥β，则
2 2 2
证 由正交的定义，
2 , , 2 , ,
, ,
2 2
所得到的等式是普通几何空间中勾股 定理的推广. 它对于多个元素也成立，即 若α1,α2,…,αm两两正交，则
1 2 m 2 1 2 2 2 m 2
为基底ε1,ε2,…,εn的度量矩阵.
式(7.4.4)或(7.4.5)说明，在取定了一组 基后，任二元素的内积可由基的内积αij决 定，或由度量矩阵A决定. 换言之，只要给 出了度量矩阵A，就给出了V上的内积. 度 量矩阵完全确定了内积.
由内积的对称性，有 aij i , j j ,i a ji , i, j 1,2,, n
i1 j 1
引入矩阵记号，令
a11
A
a 21
a12
a 22
a1n a2n
an1 an2 ann
(7.4.4)
x1
X
x2
xn
y1
Y
y2
yn
则(7.4.4)式可写为
, X T AY
(7.4.5)
其中X、Y分别是α , β在基底 ε1,ε2,…,εn下的 坐标，A是由基底的内积组成的矩阵，称

欧氏空间知识点总结ppt

欧氏空间知识点总结ppt

欧氏空间知识点总结ppt一、基本概念欧氏空间是指在数学中对于平面几何和空间几何研究的一种数学模型，其基本特征是空间中存在一个规范内积。

欧氏空间可以用来描述物理空间和空间中的向量、距离等性质，在数学和物理学中有着广泛的应用。

1.1 点和向量在欧氏空间中，点是一个没有大小和方向的几何对象，通常用坐标表示。

向量是由起始点和终点确定的有方向的几何对象，通常也用坐标表示。

1.2 距离和长度在欧氏空间中，点之间的距离可以用欧氏距离来表示。

而对于向量来说，可以用向量的长度来表示。

1.3 直线和平面在欧氏空间中，直线和平面是两种重要的几何对象，可以用方程和向量来描述。

1.4 角度和投影在欧氏空间中，角度是一个重要的概念，可以用来描述向量之间的夹角。

另外，投影也是一个重要的概念，可以用来描述一个向量在另一个向量上的投影长度。

二、基本性质欧氏空间具有一些基本性质，这些性质在研究和应用中具有重要的作用。

2.1 内积和正交在欧氏空间中，内积是一个重要的概念，可以用来定义向量的长度和夹角。

同时，正交也是一个重要的性质，用来描述两个向量相互垂直的关系。

2.2 右手定则和叉乘在欧氏空间中，右手定则是一个重要的规则，用来确定向量的方向。

另外，叉乘也是一个重要的运算，可以用来求得两个向量相乘的结果。

2.3 正交基和标准正交基在欧氏空间中，正交基和标准正交基是两种重要的基的组合方式，可以用来描述向量空间的性质。

三、向量空间在欧氏空间中，向量空间是一个重要的概念，用来描述向量的性质和运算规则。

3.1 线性相关和线性无关在向量空间中，线性相关和线性无关是描述向量组合性质的两个重要概念。

3.2 基和维数在向量空间中，基和维数是两个重要的概念，可以用来描述向量空间的结构和性质。

3.3 子空间在向量空间中，子空间是一个重要的概念，用来描述向量空间的子集和性质。

四、应用领域欧氏空间在数学和物理学中有着广泛的应用，在各个领域都有着重要的作用。

4.1 几何变换在欧氏空间中，几何变换是一个重要的问题，可以用欧氏空间的性质来描述各种几何变换。

欧氏几何全部知识点总结

欧氏几何全部知识点总结

欧氏几何全部知识点总结一、欧氏几何的基本概念1. 点、线、面在欧氏几何中，点是最基本的概念，它是不具有长度、宽度、高度的。

线是由一条无限多点组成的，它在数学上可以用数学方程式表示。

面是由一些线组成的，它也可以用数学方程式来描述。

2. 直线和射线直线是由两个方向相反的无限的线段组成的，它的长度是无穷大的。

射线是由一个起点和一个方向组成的，它也是无穷长的线段，但只延伸到一个方向。

3. 角度角度是由两条射线组成的，它通常用度数来表示。

一个圆的360度，所以一个直角是90度，一个直角的补角是相对的另一个90度。

4. 距离在欧氏空间中，点和点之间的距离由两点之间的直线段长度来定义。

5. 同位角同位角是指两条直线和一条过这两条直线且位于同一方位的直线所成的相对角。

6. 平行线平行线是指在同一平面内，两条直线在任何方向上延伸，永远不会相交。

7. 圆圆是由一个固定点到平面上的任一点的距离恒为定值的点的集合。

二、欧氏几何的基本定理和性质1. 同一直线上的同位角相等如果两条直线被一条直线所交，那么同一个边缘的同位角是相等的。

2. 同一平面内的直线与直线的交角相等的性质在同一个平面内，两条相交的直线的非共边的两个交角的度数之和等于180度。

3. 笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系是以直角坐标系为基础的几何学系统，由数轴和坐标平面组成。

4. 三角形内角和定理任意三角形的三个内角的和等于180度。

5. 三角形外角和定理三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。

6. 等腰三角形等腰三角形是指有两条边相等的三角形。

7. 直角三角形直角三角形是指其中有一个角是90度的三角形。

8. 全等三角形两个三角形如果对应的边相等，那么这两个三角形是全等的。

9. 直线上的垂线直线上的垂线与直线的交角是90度。

10. 同切圆同切圆是指两个圆有共同的切点和切线的圆。

11. 等周长的多边形的面积最大在同一个圆内，等周长的多边形中，正多边形的面积最大。

12. 圆锥的表面积和体积一个圆锥的表面积等于底面的面积加上中心到底面上所有点到顶点的距离。

欧氏空间的定义与基本性质-PPT

欧氏空间的定义与基本性质-PPT

a
a
a
证：在 C(a,b) 中， f ( x)与 g( x) 的内积定义为
b
( f ( x), g( x)) a f ( x)g( x)dx
由柯西－布涅柯夫斯基不等式有 ( f ( x), g( x)) f ( x) g( x)
从而得证.
3）
三角 不等式
对欧氏空间中的任意两个向量 、 , 有
设
C
cij
nn
C1,C2 ,
,Cn ,
n
则 i cki k , i 1, 2, , n
k 1
于是
n
n
nn
(i , j ) ( cki k , clj l )
( k , l )ckiclj
k 1
l 1
k1 l 1
nn
aklckiclj CiAC j
k1 l 1
B (i , j ) CiAC j
i 1
j1
m
m
(i ,i ) (i , j )
m
i 1
i j
(i ,i ) 1 2 2 2 m 2
i 1
例3、已知 2,1,3,2, 1,2,2,1
在通常的内积定义下，求 ,( , ), , , .
解： , 22 12 32 22 18 3 2 ( , ) 2 1 1 2 3 2 2 1 0 ,
0 ,
定义2：设 、 为欧氏空间中两个向量，若内积
, 0
则称 与 正交或互相垂直，记作 .
注：
① 零向量与任意向量正交.
②
, ,
2
即
cos , 0
.
5. 勾股定理
设V为欧氏空间， , V
2 2 2
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由开集的定义知道 A 是开集当且仅当 A = A. 容易证明 A 是包含在 A 中的 最大的开集. 其证明留作习题. 例 如 , 每 个 开 区 间 (a, b), (-¥, a ), (a, ¥) 都 是 直 线 R1 上 的 开 集 . 若
x0 R n , r > 0 , 则 x0 的 r -邻域 U ( x0 , r ) 是 R n 中的开集. 因此 U ( x0 , r ) 又称为以 x0
(1) 空集 和全空间 R n 是开集.
(2) 任意个开集的并集是开集.
(3) 有限个开集的交集是开集.
证明
(1). 显然. (2). 设 { A , Î I } 是 R n 中的一族开集Î I 使得 x Î A . 因为 A 是开集, 存在 x 的一个邻域 U ( x, ) 使得 U ( x, ) Ì A .
为中心, 以 r 为半径的开球. 例 1 设 f ( x ) 是 定 义 在 R n 上 的 连 续 函 数 . 则 对 任 意 实 数 a, 记 E = {x Î R n : f ( x) > a}. 设 x0 Î E , 则 f ( x0 ) > a. 由于 f ( x) 在 x0 连
{x Î R n : f ( x) > a} 和 {x Î R n : f ( x) < a} 都是开集.
( x1 ,, xn ) + ( y1 ,, yn ) = ( x1 + y1 ,, xn + yn ),
λ( x1 ,, xn ) = ( λx1 ,, λxn ). x = ( x1 , , xn ) 称为是 R n 中的点或向量 , 称 xi (i = 1, , n) 为 x 的第 i 个坐标 . 对
证明 续 , 存在 > 0, 使得当 x Î U ( x0 , ) 时 f ( x) > a. 换言之 U ( x0 , ) Ì E. 故 x0 是 E 的内点. 这就证明了 E 是开集. 类似地可以证明 {x Î R n : f ( x) < a} 是开集. ■ 例 1 中结论的逆也是成立的. 其证明留作习题. 定理 1.18 (开集的基本性质) 开集具有如下的性质:
x 的一个邻域 U ( x, 0 ) , 使得 U ( x, 0 ) 中至多只包含 A 中有限个点 . 设这些点为
x1 , , xk . 因为 x Ï A, 故 xi ¹ x ( i = 1,, k ). 令
= min{d ( xi , x), i = 1, , k}.
则 0 并且 U ( x, ) Ç A = Æ, 这就是说 U ( x, ) A C . 因此 x 是 A C 的内点. 所以
则 lim x ( k ) = x 的充要条件是对每个 i = 1, , n 有 lim xi( k ) = xi . 这是因为由距离的
k ¥ k ¥
定义容易知道,对 R n 中任意两点 x = ( x1 , , xn ) 和 y = ( y1 , , yn ) 有
max xi - yi £ d ( x, y ) £ x1 - y1 + + xn - yn .
由闭集的定义知道 A 是闭集当且仅当 A = A. 容易证明 A 是包含 A 的最小的 闭集. 其证明留作习题. 例 如 , 每 个 闭 区 间 [a, b], (-¥, a ], [a, ¥) 都 是 直 线 R1 上 的 闭 集 . 若 x0 Î R n , r > 0, 记 S ( x0 , r ) = {x : d ( x, x0 ) £ r}. 则 S ( x0 , r ) 是 R n 中的闭集. 称 S ( x0 , r ) 为以 x0 为中心, 以 r 为半径的闭球. 又显然 有理数集 Q 的导集 Q ¢ = R1 , Q 的闭包 Q = R1 . 例 2 R n 中的有限集都是闭集. 这是因为若 A 是有限集, 则 A 没有聚点, 因 而 A¢ = Æ Ì A. 定理 1.19 (开集与闭集的对偶性) 设 A Ì R n . 则 A 是闭集的充要条件是 A C 是开集. 证明 必要性. 设 A 是闭集, 则对任意 x Î AC , x 不是 A 的聚点. 因此存在
A C 是开集.
充 分 性 . 设 A C 是 开 集 . 则 对 任 意 x Î AC , 存 在 x 的 一 个 邻 域 U ( x, ), 使得
U ( x, ) Ì AC . 即 U ( x, ) 中没有 A 中的点 , 因此 x 不是 A 的聚点 . 这表明 A 的聚
点全部在 A 中, 即 A A. 因此 A 是闭集. ■ 由于 A 与 AC 互为余集, 将定理 1.19 的结论用到 AC 上即知, A 是开集的充要 条件是 A C 是闭集. 例 3 设 f ( x) 是定义在 R n 上的连续函数 . 由例 1 知道 , 对任意实数 a,
(1) 空集 和全空间 R n 是闭集.
(2) 有限个闭集的并集是闭集.
(3) 任意个闭集的交集是闭集.
注意 , 任意个闭集的并不一定是闭集 . 例如 , 对每个自然数 n, 闭区间
1 ] 是直线上的闭集. 但是 [0, 1- 1 ] = [0, 1) 不是闭集. [0, 1- n n
n=1 ¥
定理 1.21 设 A Ì R . 则以下三项是等价的: (1) x Î A¢.
n
(2) 对任意 > 0, U ( x, ) -{x} 中包含 A 中的点. (3) 存在 A 中的点列 {x k }, 使得 xk ¹ x (k ³ 1) 并且 x k x.
证明
(1) (2). 显然.
n
设 A 是 R n 的非空子集. 若存在 M > 0 , 使得对任意 x Î A 有 d ( x, 0) £ M , 则 称 A 是有界集.
1.4.2 开集与闭集
定义 1.12 设 x0 R n , 0. 称集
U ( x0 , ) { x Î R n : d ( x, x0 ) < ε }
于是更加有 U ( x, ) Ì A . 因此 x 是 A 的内点. 这表明 A 是开集.
ÎI ÎI ÎI
(3). 设 A1 ,, Ak 是开集. 设 x Ai , 则 x Î Ai ( i = 1, , k ). 因为每个 Ai 是开
i =1
k
集 , 存 在 i 0,
1 1 1 (- 1 n , n ) 是直线上的开集. 但是 (- n , n ) = {0} 不是开集.
n=1
¥
定义 1.14 设 A 是 R n 的子集.
(1) 设 x0 R n . 若对任意 0 , U ( x 0 , ) 中包含有 A 中的无限多个点, 则称 x0 为 A 的聚点(或极限点). (2) 由 A 的聚点的全体所成的集称为 A 的导集, 记为 A. (3) 若 A A, 则称 A 为闭集. (4) 集 A È A¢ 称为 A 的闭包, 记为 A.
k i =1
使 得 U ( x, i ) Ì Ai .
k i =1
令 = min{1 , , k }.
k i=1
则 0 并且
U ( x, ) Ì Ai . 因此 x 是 Ai 的内点. 这就证明了 Ai 是开集. ■
注意 , 任意个开集的交集不一定是开集 . 例如对每个自然数 n, 开区间
lim d ( x k , x) 0,
k
则称 {x k } 收敛于 x, 称 x 为 {x k } 的极限, 记为 lim x k x, 或 xk x (k ¥).
k
在 R n 中点列的收敛等价于按坐标收敛. 即如果
(k ) x ( k ) = ( x1( k ) , , xn ), x = ( x1 , , xn ),
为点 x0 的 -邻域 利用点的邻域可以定义 R n 中的各种点集. 先介绍开集. 定义 1.13 设 A Ì R n .
(1) 若 x0 A , 并且存在 x0 的一个邻域 U ( x0 , ) A, 则称 x0 为 A 的内点. (2) 若 A 中的每个点都是 A 的内点, 则称 A 为开集. (3) 由 A 的内点的全体所成的集称为 A 的内部, 记为 A .
设 n 是正整数. 由有序 n 元实数组的全体所成的集合 R n 称为 n 维欧氏空间, 即 R n = {x = ( x1 , , xn ) : x1 , , xn Î R1}. 其中 R1 , R 2 和 R 3 分别就是直线, 平面和三维空间. 熟知 R n 按照如下的加法和数 乘运算成为一个 n 维线性空间:
(3) (1). 设 ( iii) 成立. 若 x Ï A¢, 则存在 0 > 0, 使得 U ( x, 0 ) 中只包含 A 中
的有限个点. 与定理 1.19 的证明类似, 此时必存在 0 < < 0 , 使得 U ( x, ) -{x} 中不包含 A 中的点. 这与 xk ¹ x (k ³ 1), xk x 矛盾. 故必有 x A. ■ 定理 1.22 设 A Ì R n . 则以下三项是等价的:
§ 1.4
R n 中的点集
本节要点
由于欧氏空间 R n 上有距离结构, R n 中具有丰富多
样的点集.本节介绍 R n 上的一些具有特殊性质的集,例如开集,闭 集,Borel 集等.本节介绍了一个重要的集—Cantor 集. Cantor 集有一 些很特别的性质,在举例时常常用到. 通过本节的学习,熟悉 R n 上的各种各样的集,为本课程后面的 学习打下基础.利用几何图形的直观,可以帮助理解本节的内容. 由于欧氏空间 R n 具有丰富的结构, 因此在 R n 中具有丰富多样的点集. 本节 将介绍 R n 中的一些常见的点集. 本节在一般的 n 维空间上讨论, 但读者不妨以 直线上或平面上的情形为特例, 将有助于对这些内容的理解. 1.4.1 R n 上的距离