2014苍南县姜立夫杯数学竞赛

2015年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高一试卷考生注意事项：1本卷共有17道题目,全卷满分100分,考试时间120分钟.2答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号. 3本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效. 4本卷解答一律不准使用计算器.一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题有且仅有一个正确的答案）1．已知a 为给定的实数，那么集合{}22320=-+-=M x x x a 的子集的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．不确定 2．函数()212()log 23f x x x =--的单调递增区间是（ ）A ．)1,(--∞B ．)1,(-∞C ．),1(+∞D ．),3(+∞ 3．函数221)(xx x f x --=（ ）A 是偶函数但不是奇函数B 是奇函数但不是偶函数C 既是偶函数又是奇函数D 既不是偶函数也不是奇函数 4．设3log 2=a ，ln 2=b ，125-=c ，则（ ）A ．c b a <<B ．a c b <<C ．<<c a bD ．<<c b a5．设函数()()2log 2xf x m =+,则满足函数()f x 的定义域和值域都是实数集R 的实数m构成的集合为（ ）A ．{}0m m =B ．{}0m m ≤C ．{}0m m ≥D ．{}1m m = 6．已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数[]()1=-y f f x 的零点个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 47．如果不等式21x x a <-+的解集是区间()3,3-的子集，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,7)-∞B ．(],7-∞C ．(,5)-∞D ．(],5-∞ 8．已知(),(),()f x g x h x 为一次函数，若对实数x 满足1,1()()()32,1022,0x f x g x h x x x x x -<-⎧⎪-+=+-≤<⎨⎪-+≥⎩，则()h x 的表达式为（ ）A.1()2h x x =-B.1()2h x x =--C.1()2h x x =-+D.1()2h x x =+ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分.）9．已知点(在幂函数()y f x =的图象上，则()4f = ▲ ．10．设,a b 为不相等的两个实数，若二次函数()2f x x ax b =++满足()()f a f b =，则()2f 的值为 ▲ ．11．已知函数()315(1)()(1)x a x x f x ax ì--<ï=í³ïî是实数集R 上的增函数，则实数a 的取值范围为 ▲ ．12．已知奇函数)(x f 在定义域[]3,3-上是减函数，且()2(2)20-+-<f x x f x ，则实数x 的取值范围是 ▲13.已知()f x 为R 上增函数，且对任意∈x R ，都有()34⎡⎤-=⎣⎦xf f x ，则(2)f 的值等于▲14．已知自然数a b c d e 、、、、满足1100a b c d e ≤<<<<≤，则当b da c e++取最小值时，a b c d e ++++=____▲ ___2015年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高一答题卷一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题有且仅有一个正确的答案）二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分. 请将正确的答案填在横线上）9.________________________ 10._____________________________ 11._______________________ 12._____________________________ 13._______________________ 14._____________________________三、解答题（本大题共3小题，第15、16题各10分,第17题12分,满分32分.要求写出必要的解答过程）15．设集合}023|{2≤++=x x x A ，}0|{2≤++=b ax x x B ， (1) 若R B A C x x B A C R R =≤<-= )(},21|{)(，求b a ,的值； (2) 若1=b ，且A B A = ，求实数a 的取值范围．16．已知函数()(1)(01)xxf x a k a a a -=-->≠且是定义域为R 上的奇函数.（1）求k 的值； （2）若23)1(=f ，且)(2)(22x f m a a x g x x ⋅-+=-在),1[∞+上的最小值为2-， 求m 的值．17．设二次函数c bx ax x f ++=2)(（0,,,≠∈a R c b a ）满足条件： ①当R x ∈时，(1)(3)-=-f x f x ；②不等式241()21--≤≤+x f x x 对一切实数x 都成立。

2012年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试卷考生注意事项：1本卷共有17道题目,全卷满分100分,考试时间120分钟.2答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号. 3本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效. 4本卷解答一律不准使用计算器.一、 选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题有且仅有一个正确的答案）1、已知+∈∈R y R x ,，集合}1,2,{},1,,1{2+--=---++=y yy B x x x x A ，若A=B ，则22y x +的值是（ ）A. 5B. 4C. 25D. 10 2、命题P ：6πα≠， 命题q ：1sin 2α≠，则p 是q 的（ ） A. 充分且必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件3、如图，四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，BD =BD CD ⊥.将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，则下列结论正确的是（ ）A. A C BD '⊥B. 90BA C'∠=C. CA '与平面A BD '所成的角为30D. 四面体A BCD '-的体积为134、多面体ABCD A BC D -的直观图，正视图，俯视图，侧视图如下所示． ） A ．31112a B ．312a C ．334a D ．356aABCD正视图侧视图5、设()11xf x x +=-，又记()()()()()11,,1,2,,k k f x f x f x f f x k +=== 则()2012f x =（ ） A ．11x x +- B ．11x x -+ C ．x D ．1x-6、设点(1,0)A ，(2,1)B ，如果直线1ax by +=与线段AB 有一个公共点，那么22a b +有（ ）A. 最小值为15 B.最大值为15 D.7、已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数1)]([+=x f f y 的零点个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 48、,,a b c 为互不相等的正数，222a c bc +=，则下列关系中可能成立的是（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a c b >>二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分.）９、已知点(2,)P t 在不等式组40,30x y x y --≤⎧⎨+-≤⎩表示的平面区域内，则点(2,)P t 到直线34100x y ++=距离的最大值为____________．10、如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，若F 为正方形内（含边界）任意一点，则AE AF ⋅的最大值为 .11、已知长方体的三条面对角线的长分别为5，4，x ，则x 的取值范围为 .12、在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间的“折线距离”. 则圆221x y +=上一点与直线20x y +-上一点的“折线距离”的最小值是____________________. 13、对任意x ∈R ，函数()f x 满足1(1)2f x +=，设)()]([2n f n f a n -=， 数列}{n a 的前15项的和为3116-，则(15)f = ． 14、设()f x 是定义在Ｒ上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=-；又当01x ≤≤时，1()2f x x =，则1()2x f x ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭＝ 。

一道2014年浙江高中数学竞赛附加题的探源与解答
冯涛
【期刊名称】《中学数学研究》
【年(卷),期】2015(000)007
【摘要】这道解方程组的题目是2014年浙江省高中数学竞赛试题的附加题22题，对竞赛数学有一定经验的研究者都知道这道题目是所谓的“陈题”，主要考查了构造法的应用，从参考解答中管窥命题者的意图是希望解题者透过代数的表象，看到问题的几何结构．事实上，这道题既可以构造几何意义处理，也可以用纯粹的代数方法求解，正所谓：戏法人人会变，各有巧妙不同；追踪溯源，与上述试题结构极其类似的一道竞赛试题来自前苏联第18届全苏数学奥林匹克10年级题，有兴趣
读者可以自行尝试．
【总页数】4页(P46-49)
【作者】冯涛
【作者单位】浙江省北仑中学,315800
【正文语种】中文
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试场_______________准考证号________________ 试场_______________准考证号________________竞赛时间：2020年12月13日（星期日）上午9：00~11：00 竞赛时间：2020年12月13日（星期日）上午9：00~11：00 竞赛地点：苍南中学竞赛地点：苍南中学苍南县教师发展中心制苍南县教师发展中心制苍南县“姜立夫杯”高中数学竞赛（高一）苍南县“姜立夫杯”高中数学竞赛（高一）准考证准考证学校_______________姓名________________ 学校_______________姓名________________试场_______________准考证号________________ 试场_______________准考证号________________竞赛时间：2020年12月13日（星期日）上午9：00~11：00 竞赛时间：2020年12月13日（星期日）上午9：00~11：00 竞赛地点：苍南中学竞赛地点：苍南中学苍南县教师发展中心制苍南县教师发展中心制苍南县“姜立夫杯”高中数学竞赛（高一）苍南县“姜立夫杯”高中数学竞赛（高一）准考证准考证学校_______________姓名________________ 学校_______________姓名________________试场_______________准考证号________________ 试场_______________准考证号________________竞赛时间：2020年12月13日（星期日）上午9：00~11：00 竞赛时间：2020年12月13日（星期日）上午9：00~11：00 竞赛地点：苍南中学竞赛地点：苍南中学苍南县教师发展中心制苍南县教师发展中心制苍南县“姜立夫杯”高中数学竞赛（高一）苍南县“姜立夫杯”高中数学竞赛（高一）准考证准考证学校_______________姓名________________ 学校_______________姓名________________试场_______________准考证号________________ 试场_______________准考证号________________竞赛时间：2020年12月13日（星期日）上午9：00~11：00 竞赛时间：2020年12月13日（星期日）上午9：00~11：00 竞赛地点：苍南中学竞赛地点：苍南中学苍南县教师发展中心制苍南县教师发展中心制苍南县“姜立夫杯”高中数学竞赛（高一）苍南县“姜立夫杯”高中数学竞赛（高一）准考证准考证学校_______________姓名________________ 学校_______________姓名________________试场_______________准考证号________________ 试场_______________准考证号________________竞赛时间：2020年12月13日（星期日）上午9：00~11：00 竞赛时间：2020年12月13日（星期日）上午9：00~11：00 竞赛地点：苍南中学竞赛地点：苍南中学苍南县教师发展中心制苍南县教师发展中心制试场_______________准考证号________________ 试场_______________准考证号________________竞赛时间：2020年12月13日（星期日）上午9：00~11：00 竞赛时间：2020年12月13日（星期日）上午9：00~11：00 竞赛地点：苍南中学竞赛地点：苍南中学苍南县教师发展中心制苍南县教师发展中心制苍南县“姜立夫杯”高中数学竞赛（高二）苍南县“姜立夫杯”高中数学竞赛（高二）准考证准考证学校_______________姓名________________ 学校_______________姓名________________试场_______________准考证号________________ 试场_______________准考证号________________竞赛时间：2020年12月13日（星期日）上午9：00~11：00 竞赛时间：2020年12月13日（星期日）上午9：00~11：00 竞赛地点：苍南中学竞赛地点：苍南中学苍南县教师发展中心制苍南县教师发展中心制苍南县“姜立夫杯”高中数学竞赛（高二）苍南县“姜立夫杯”高中数学竞赛（高二）准考证准考证学校_______________姓名________________ 学校_______________姓名________________试场_______________准考证号________________ 试场_______________准考证号________________竞赛时间：2020年12月13日（星期日）上午9：00~11：00 竞赛时间：2020年12月13日（星期日）上午9：00~11：00 竞赛地点：苍南中学竞赛地点：苍南中学苍南县教师发展中心制苍南县教师发展中心制苍南县“姜立夫杯”高中数学竞赛（高二）苍南县“姜立夫杯”高中数学竞赛（高二）准考证准考证学校_______________姓名________________ 学校_______________姓名________________试场_______________准考证号________________ 试场_______________准考证号________________竞赛时间：2020年12月13日（星期日）上午9：00~11：00 竞赛时间：2020年12月13日（星期日）上午9：00~11：00 竞赛地点：苍南中学竞赛地点：苍南中学苍南县教师发展中心制苍南县教师发展中心制苍南县“姜立夫杯”高中数学竞赛（高二）苍南县“姜立夫杯”高中数学竞赛（高二）准考证准考证学校_______________姓名________________ 学校_______________姓名________________试场_______________准考证号________________ 试场_______________准考证号________________竞赛时间：2020年12月13日（星期日）上午9：00~11：00 竞赛时间：2020年12月13日（星期日）上午9：00~11：00 竞赛地点：苍南中学竞赛地点：苍南中学苍南县教师发展中心制苍南县教师发展中心制。

2018年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试题参考答案二、填空题9、(1,1)- 10、2004 11 12 13、0x =14、10a -<< 三、解答题15、解：设l 方程为1(1)y m x -=--，则1(1,0)P m +，(0,1)Q m +-----------------1分 从而可得直线PR 和QS 的方程分别为120m x y m+--=和22(1)0x y m -++=--------2分 又||PRQS，11|221|32||m m RS +++++∴== 又22|||PR QS +==-----------------------------------------------------------------------5分 所以四边形PRSQ 的面积为：2123212PRSQ m S +++==21191()5480m m ++--------------------------------8分 219118(2)54805≥+-=。

所以四边形PRSQ 面积的最小值为185--------------------------------------------------------------10分16、解：设椭圆的离心率为e ，则1||MF e d=，即1||MF de =，--------------------------1分 又12||||2MF MF a +=，所以2||2MF a de =-，---------------------------------------3分由题意可得212||||MF d MF =，所以22(2)d e d a de =-，故22a d e e=+，------5分 由d 不小于左顶点到左准线的距离且不大于右顶点到左准线的距离，即2222222112a a a a a e e ca d a e c c a a ae e c⎧≥-⎪⎪+-≤≤+⇒⇒≤<⎨⎪≤+⎪+⎩-----------------------------9分 11e ≤<时，符合条件的点M 存在， 当01e <<时，点M 不存在。

年苍南县“姜立夫杯”高中数学竞赛高一试卷一、选择题（每题5分，共40分）1、三元实数集A=},,{y x xy x +，B=},||,0{y x ，且A=B ，则20062006xy +=（ ）A 、0B 、1C 、2D 、－12、若某等差数列{a n }中，1662a a a ++是一个确定的常数，则其前n 项和S n 中也为确定的常数的是( ）A 、 15SB 、 14SC 、 8SD 、7S 3、设函数121(1)()lg (1)x x f x x x -⎧-<=⎨≥⎩，若1)(0>x f ，则x 0的取值范围是（ ） A 、（0，10） B 、（－1，+∞） C 、（－∞，－2） D 、（－∞，0）∪（10，+∞）4、等差数列}{n a 的前n 项和为S n ，且3184=S S ，则=168S S （ ） A 、81 B 、31 C 、91 D 、103 5、已知集合{|1284,,,}P u u m n l m n l Z ==++∈，集合{|201612,,,}Q u u p q r p q r Z ==++∈，则P 与Q 的关系为（ ）A 、P =QB 、P ∩Q =φC 、 P ∪Q =RD 、P ∪Q =Z6、数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4……，则这个数列的第个数是（ ）A 、62B 、63C 、64D 、657、已知函数f(x)是R 上的减函数，A （0，－2），B （－3，2）是其图象上的两点，则不等式|f(x+2)|>2的解集是（ ）A 、（－1，2）B 、（－∞，－1）∪（2，+∞）C 、（－∞，－5）∪（－2，+∞）D 、（－∞，－3）∪（0，+∞）8、某火车站在节日期间的某个时刻候车旅客达到高峰，此时旅客还在按一定的流量到达。

如果只打开3个检票口，需要30分钟才能使所有滞留旅客通过检票口。

如果打开6个检票口，只需要10分钟就能让所有滞留旅客通过。

2018年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高 二 试 题命题人：薛祖坚一、选择题（每小题5分，共40分）1、动点P 在抛物线26y x =-上运动,定点(0,1)A ，线段PA 中点的轨迹方程是( )．A 、2(21)12y x +=-B 、2(21)12y x +=C 、2(21)12y x -=-D 、2(21)12y x -=2、实数x 、y 满足不等式组010,1220y y x y x x y ω≥⎧-⎪-≥=⎨+⎪--≥⎩，则有( )A 、113ω-≤≤B 、1123ω-≤≤C 、12ω≥-D 、112ω-≤<3、直线y x m =+与抛物线22x y =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且0OA OB ⋅= ，则m 的值等于( )A 、1B 、－1C 、2D 、－24、在圆22(3)(5)2x y -+-=的切线中，在两坐标轴上截距绝对值相等的直线共有（ ）A 、4条B 、5条C 、6条D 、8条 5、方程(1)(1)1(0)x y x +-=≠表示的曲线关于（ ）对称.A 、y x =B 、2y x =+C 、y x =-D 、(1,1)-6、平面直角坐标系中,横、纵坐标都是整数的点称为整点。

那么满足不等式22(||1)(||1)2x y -+-<的整点(,)x y 的个数为( )个.A 、16B 、17C 、18D 、257、已知()(2005)(2006)f x x x =-+的图象与x 轴、y 轴有3个不同的交点，有一个圆恰好经过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是（ ） A 、(0,1) B 、(0,2) C、 D、 8、设,,x y z 都是正数，则2222xy yzx y z +++的最大值为（ ）A 、1B 、2 C、2 D、59、不论,a b 为何值，直线0ax by a b +-+=过定点______________________. 10、若函数()f x 满足()()(),f a b f a f b +=且(1)1f =,则(2)(3)(2005)(1)(2)(2004)f f f f f f +++的值等于__________________.11、若P 是双曲线2213x y -=的右支上的动点，F 是双曲线的右焦点，已知(3,1)A ，则||||PA PF +的最小值是_____________________________. 12、正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11()2n n nS a a =+，则该数列的通项公式n a =__________ 13、方程221(1)cos2202x x x x--++--=的解为____________________. 14、如果关于x 的不等式|||||1|x a x x -<++的解集为一切实数，那么实数a 的取值范围是_____________________答题卷一、选择题（每小题5分，共40分）二、填空题（每小题5分，共30分）9、_________________ 10、__________________ 11、____________________12、________________ 13、__________________ 14、____________________15、已知过点(1,1)A 且斜率为(0)m m ->的直线l 与,x y 轴分别交于点,P Q ，过,P Q 作直线20x y +=的垂线，垂足为,R S . 求四边形PRSQ 面积的最小值。