浙江省苍南县姜立夫杯2015年高一上学期数学竞赛试卷

2015年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高一试卷考生注意事项：1本卷共有17道题目,全卷满分100分,考试时间120分钟.2答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号. 3本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效. 4本卷解答一律不准使用计算器.一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题有且仅有一个正确的答案）1．已知a 为给定的实数，那么集合{}22320=-+-=M x x x a 的子集的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．不确定 2．函数()212()log 23f x x x =--的单调递增区间是（ ）A ．)1,(--∞B ．)1,(-∞C ．),1(+∞D ．),3(+∞ 3．函数221)(xx x f x --=（ ）A 是偶函数但不是奇函数B 是奇函数但不是偶函数C 既是偶函数又是奇函数D 既不是偶函数也不是奇函数 4．设3log 2=a ，ln 2=b ，125-=c ，则（ ）A ．c b a <<B ．a c b <<C ．<<c a bD ．<<c b a5．设函数()()2log 2xf x m =+,则满足函数()f x 的定义域和值域都是实数集R 的实数m构成的集合为（ ）A ．{}0m m =B ．{}0m m ≤C ．{}0m m ≥D ．{}1m m = 6．已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数[]()1=-y f f x 的零点个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 47．如果不等式21x x a <-+的解集是区间()3,3-的子集，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,7)-∞B ．(],7-∞C ．(,5)-∞D ．(],5-∞ 8．已知(),(),()f x g x h x 为一次函数，若对实数x 满足1,1()()()32,1022,0x f x g x h x x x x x -<-⎧⎪-+=+-≤<⎨⎪-+≥⎩，则()h x 的表达式为（ ）A.1()2h x x =-B.1()2h x x =--C.1()2h x x =-+D.1()2h x x =+ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分.）9．已知点(在幂函数()y f x =的图象上，则()4f = ▲ ．10．设,a b 为不相等的两个实数，若二次函数()2f x x ax b =++满足()()f a f b =，则()2f 的值为 ▲ ．11．已知函数()315(1)()(1)x a x x f x ax ì--<ï=í³ïî是实数集R 上的增函数，则实数a 的取值范围为 ▲ ．12．已知奇函数)(x f 在定义域[]3,3-上是减函数，且()2(2)20-+-<f x x f x ，则实数x 的取值范围是 ▲13.已知()f x 为R 上增函数，且对任意∈x R ，都有()34⎡⎤-=⎣⎦xf f x ，则(2)f 的值等于▲14．已知自然数a b c d e 、、、、满足1100a b c d e ≤<<<<≤，则当b da c e++取最小值时，a b c d e ++++=____▲ ___2015年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高一答题卷一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题有且仅有一个正确的答案）二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分. 请将正确的答案填在横线上）9.________________________ 10._____________________________ 11._______________________ 12._____________________________ 13._______________________ 14._____________________________三、解答题（本大题共3小题，第15、16题各10分,第17题12分,满分32分.要求写出必要的解答过程）15．设集合}023|{2≤++=x x x A ，}0|{2≤++=b ax x x B ， (1) 若R B A C x x B A C R R =≤<-= )(},21|{)(，求b a ,的值； (2) 若1=b ，且A B A = ，求实数a 的取值范围．16．已知函数()(1)(01)xxf x a k a a a -=-->≠且是定义域为R 上的奇函数.（1）求k 的值； （2）若23)1(=f ，且)(2)(22x f m a a x g x x ⋅-+=-在),1[∞+上的最小值为2-， 求m 的值．17．设二次函数c bx ax x f ++=2)(（0,,,≠∈a R c b a ）满足条件： ①当R x ∈时，(1)(3)-=-f x f x ；②不等式241()21--≤≤+x f x x 对一切实数x 都成立。

2014—2015学年度高一数学竞赛试题(含答案)2014-2015学年度高一数学竞赛试题一．选择题：本大题共5小题，每小题6分，共30分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一个正确的答案。

1.已知集合$M=\{x|x+3<0\}$，$N=\{x|x\leq -3\}$，则集合$M\cap N$=（）A。

$\{x|x0\}$ D。

$\{x|x\leq -3\}$2.已知$\alpha+\beta=\frac{\pi}{4}$，则$(1-\tan\alpha)(1-\tan\beta)$等于（）A。

2 B。

$-\frac{2}{3}$ C。

1 D。

$-\frac{1}{3}$3.设奇函数$f(x)$在$(0,+\infty)$上为增函数，且$f(1)=0$，则不等式$f(x)-f(-x)<0$的解集为（）A。

$(-\infty,-1)\cup (0,1)$ B。

$(-1,0)\cup (1,+\infty)$ C。

$(-\infty,-1)\cup (1,+\infty)$ D。

$(0,1)$4.函数$f(x)=\ln|x-1|-x+3$的零点个数为（）A。

3 B。

2 C。

1 D。

05.已知函数$f(x)=\begin{cases}1/x。

& x\geq 4 \\ 2.&x<4\end{cases}$，则$f(\log_2 5)$=（）A。

$-\frac{11}{23}$ B。

$\frac{1}{23}$ C。

$\frac{11}{23}$ D。

$\frac{19}{23}$二．填空题：本大题共5小题，每小题6分，共30分。

将正确的答案写在题中横线上。

6.已知$0\leq x\leq \frac{\pi}{2}$，则函数$f(x)=4\sqrt{2}\sin x\cos x+\cos^2 x$的值域是\line(5,0){80}。

7.已知：$a,b,c$都不等于0，且$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$，则$\max\{m,n\}=$\line(5,0){80}，$\min\{m,n\}=$\line(5,0){80}。

2015浙江省高等数学竞赛试题答案一、计算题：（每小题14分，满分70分）1．求极限201cos cos 2lim x x xx→-。

解： 0sin cos 22cos sin 2lim 2x x x x xx→+=20sin cos 24cos sin lim 2x x x x xx→+=20sin (cos 24cos )lim 2x x x x x →+=52=2．求不定积分221(4)x dx x x ++⎰ 解：22111()44x dx x x +=-+⎰222111)444(4)4(4)x dx x x x x =+--++⎰ 22ln 11)444(4)4(4)x x dx x x x =-+--++⎰2arctan ln 1ln(4)24488x x x C x +=---+3．设1()ln()xf x t x dt =+⎰，求(1)f '的值。

解：令u t x =+211()ln()ln()x xxf x t x dt u du +=+=⎰⎰()2ln 2ln(1)f x x x '=-+ (1)2ln 2ln 2ln 2f '=-=4．已知()y y x =由方程31xye y +=确定，求0x dy dx= 。

解：2()30xye y xy y y ''++=23xyxy ye y xe y '=-+2033xy xyx ye e y y y='=-=- 因为当0x =时0y = 所以0x y ='=-∞5．求极限 221limnn k kn k→+∞=+∑。

解：222111lim lim 1()nnn n k k kk n k n k n n→+∞→+∞===++∑∑ 由定积分定义知，极限可以变为11220011ln(1)ln 2122x dx x x =+=+⎰二、（满分20分）设数列{}n a 为单调递增的正数列，试讨论极限1/lim n a nn a →∞解：当{}n a 有界时，lim n n a →∞一定存在，设lim n n a a →∞=,则11/lim na ann a a→∞=当{}n a 无界时，lim n n a →∞=+∞，1ln 1/0lim lim lim 1n n n nn na a a a a a n n n n a eee ''→∞→∞→∞====三、（满分20分）已知面积为S 的直角三角形绕其斜边旋转一周所得的旋转体体积为V ，求V解： 213V ah π=因为211sin cos 22ah S a θθ== h ⇒== 2)32V ππθ⇒=<<所以当4πθ=时 322max 3V S π=四、求定积分220sin 1cos x xdx x π+⎰ 解： 220sin 1cos x xdx xπ+⎰ 2220sin sin 1cos 1cos x x x x dx dx x x πππ-=+++⎰⎰ 22sin 1cos x x dx x ππ-+⎰20()sin()1cos ()u x u u du u πππππ=--++−−−→++⎰ 20()sin 1cos u u du u ππ+=+⎰ 因此220sin 1cos x x dx xπ+⎰=2200sin sin 21cos 1cos x x xdx dx x x πππ+++⎰⎰ 20sin 1cos x x dx x π+⎰02()sin()1cos ()t xt t dt t πππππ=---−−−→-+-⎰20()sin 1cos t tdt tππ-=+⎰2200sin sin 1cos 21cos x x xdx dx x x πππ⇒=++⎰⎰20arctan cos 24x πππ=-=所以2220sin 1cos x x dx xππ=+⎰五、（满分20分）证明：23ln(1)(1)23x x x x x +≤-+>- 。

2015年全国高中数学联合竞赛一试试题(a卷)解答集锦全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）高中数学联赛篇一：2015年全国高中数学联赛试题一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分1.设a,b为不相等的实数，若二次函数f(x) x2 ax b满足f(a) f(b)，则f(2)的值为2.若实数满足cos tan ，则1 cos4 的值为sin3.已知复数数列{zn}满足z1 1,zn 1 zn 1 ni(n 1,2,3, )，其中i为虚数单位，zn 表示zn的共轭复数，则z2015的值为4.在矩形ABCD中，AB 2,AD 1,边DC（包含点D,C）上的动点P与CB延长线上（包含点B）的动点Q满足DP BQ,则向量PA与向量PQ的数量积PA PQ的最小值为5.在正方体中随机取3条棱，它们两两异面的概率为6.在平面直角坐标系xOy中，点集K (x,y)(x 3y 6)(3x y 6) 0所对应的平面区域的面积为7.设为正实数，若存在a,b( a b 2 )，使得sin a sin b 2，则的取值范围是8.对四位数abcd(1 a 9,0 b,c,d 9)，若a b,b c,c d，则称abcd为P类数，若a b,b c,c d，则称abcd为Q类数，用N(P),N(Q)分别表示P类数与Q类数的个数，则N(P) N(Q)的值为二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤9.（本题满分16分）若实数a,b,c满足2a 4b 2c,4a 2b 4c，求c的最小值.10.（本题满分20分）设a1,a2,a3,a4是4个有理数，使得31 aa1 i j 4 24, 2, , ,1,3 ，求a1 a2 a3 a4的值. ij 28x211.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy中，F1,F2分别是椭圆y2 1的左、右焦点，2设不经过焦点F1的直线l与椭圆交于两个不同的点A,B，焦点F2到直线l的距离为d，如果直线AF1,l,BF1的斜率依次成等差数列，求d的取值范围.2015年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）一、（本题满分40分）设a1,a2, ,an(n 2)是实数，证明：可以选取1, 2, , n 1, 1 ，使n2 得ai iai (n 1) ai . i 1 i 1 i 1二、（本题满分40分）设S A1,A2, ,An ，其中A1,A2, ,An是n个互不相同的有限集合（n 2），满足对任意的Ai,Aj S，均有Ai Aj S，若k minAi 2.证明：存在x Ai，1 i ni 1nn2n2使得x属于A1,A2, ,An中的至少n个集合（这里X表示有限集合X 的元素个数）.k 上一点，点K在线段AP上，使得三、（本题满分50分）如图，ABC内接于圆O，P为BCBK平分ABC，过K,P,C三点的圆与边AC交于D，连接BD交圆于点E，连接PE并延长与边AB交于点F.证明：ABC 2 FCB.（解题时请将图画在答卷纸上）四、（本题满分50分）求具有下述性质的所有正整数k：(kn)!对任意正整数n，2(k 1)n 1不整除.n!高中数学联赛篇二：高中数学联赛基本知识集锦高中数学联赛基本知识集锦一、三角函数常用公式由于是讲竞赛，这里就不再重复过于基础的东西，例如六种三角函数之间的转换，两角和与差的三角函数，二倍角公式等等。

一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1.设,a b 为不相等的实数,若二次函数2()f x x ax b =++满足()()f a f b =,则(2)f 的值是 .【答案】4【解析】由已知条件及二次函数图象的轴对称性，可得22a b a+=-，即20a b +=，所以 (2)424f a b =++=2.若实数θ满足cos tan θθ=,则41cos sin θθ+的值为 . 【答案】2【解析】由条件知，2cos sin αα=，反复利用此结论，并注意到22cos sin 1αα+=，得2242221cos sin cos sin (1sin )(1cos )2sin cos 2sin sin αααααααααα++=+=++-=+-= 3.已知复数数列{}n z 满足111,1(1,2,)n n z z z ni n +==++=,其中i 为虚数单位, n z 表示n z 的共轭复数,则2015z 的值是 .【答案】2015+1007i【解析】由已知得，对一切正整数n,有211(1)1(1)2n n n n z z n i z ni n i z i ++=+++=++++=++ 于是201511007(2)20151007z z i i =++=+ z 学科xx 网k4.在矩形ABCD 中,2,1AB AD ==,边DC 上(包括点,)D C 的动点P 与CB 延长线上(包括点)B 的动点Q 满足||||DP BQ =,则向量PA 与向量PQ 的数量积PA PQ ⋅的最小值为 .【答案】3422133(2)(1)(1)1()244PA PQ t t t t t t ⋅=-⋅-+-⋅--=-+=-+≥当t=12时，min 3()4PA PQ ⋅= 5.在正方体中随机取三条棱,它们两两异面的概率为 . 【答案】255【解析】设正方体为ABCD-EF GH ，它共有12条棱，从中任意选出3条棱的方法共有312C =220种.下面考虑使3条棱两两异面的取法数，由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即AB 、AD 、AE 的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向.可先取定AB 方向的棱，这有4种取法.不妨设取的棱就是AB ，则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ，共2种可能，当AD 方向取棱是EH 或FG 时，AE 方向取棱分别只能是CG 或DH.由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求的概率为8222055=. z 学科xx 网k 6.在平面直角坐标系xOy 中,点集{(,)|(|||3|6)(|3|||6)0}K x y x y x y =+-+-≤所对应的平面区域的面 积为 . 【答案】247.设ω为正实数,若存在,(2)a b a b ππ≤<≤,使得sin sin 2a b ωω+=,则实数ω的取值范围是 【答案】9513[,][,)424w ∈+∞ 【解析】由sin sin 2wa wb +=知sin sin 1wa wb ==，而[,][,2],wa wb w w ππ⊆故题目条件等价于：存在整数()k l k l <，，使得222.22w k l w ππππππ≤+<+≤ ⑴当4w ≥时,区间[,2]w w ππ的长度不小于4π,故必存在k,l 满足(1)式. 当04w <<时，注意到[,2]0,8w w πππ⊆（），故仅需考虑如下几种情况: 5)2,22i w w ππππ≤<≤（此时15,24w w ≤≥且无解；59)2,22ii w w ππππ≤<≤（此时有95;42w ≤≤913()222iii w w ππππ≤<≤，此时有13913,4424w w ≤≤≤<得.综合)()(),i ii iii （、、并注意到4w ≥亦满足条件，可知9513[,][,)424w ∈+∞. z 学科xx 网k8.对四位数(19,0,,9)abcd a b c d ≤≤≤≤,若,,a b b c c d ><>,则称abcd 为P 类数,若,,a b b c c d <><,则称abcd 为Q 类数,用()N P 与()N Q 分别表示P 类数与Q 类数的个数,则()()N P N Q -的值为【答案】285下面计算0||:A 对任一四位数00,abc A b ∈可取0,19⋅⋅⋅，，，对其中每个b ， 由9b a <≤及9b c <≤知，a 和c 分别有9-b 种取法，从而992200191019||=(9)285.6b k b k ==⨯⨯-===∑∑A 因此()()285.N P N Q -=二、解答题（本大题共3个小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 9. （本题满分16分）若实数,,a b c 满足242,424a b c a b c +=+=,求c 的最小值. 【解析】将2,2,2a b c 分别记为,,x y z ，则,,0x y z >由条件知，222,,x y z x y z +=+=故 2222224()2z y x z y z y z y -==-=-+ 因此，结合均值不等式可得，4223321111113(2)3222444y y y y y y y y y +=++≥⋅⋅⋅=z= 当212=y y ，即312y =时，z 的最小值为3324.此时相应的x 值为3124，符合要求. 由于2,z c=log 故c 的最小值为32235log (2)log 3.43=- 10.(本题满分20分)设1234,,,a a a a 是四个有理数,使得{|14}i j a a i j ≤<≤,31{24,2,,,1,3}28=---- 求1234a a a a +++的值.2231412113{,}{,24}{2,},82a a a a a a =--=-- z 学科xx 网k 结合1,a Q ∈只可能11.4a =±由此易知，123411,4,642a a a ==-==-，a 或者123411,4,642a a a =-==-=，a . 经检验知这两组解均满足问题的条件，故12349.4a a a ++=±+a11.(本题满分20分)在平面直角坐标系xOy 中,12,F F 分别是椭圆2212x y +=的左,右焦点,设不经过焦点1F 的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点,A B ,焦点2F 到直线l 的距离为d .如果直线11,,AF l BF 的斜率成等差数列,求d 的取值范围.22222=4)4(21)(22)8(21)0km k m k m ∆-+-=+->（， 即2221.(2)k m +>由直线11AF l BF 、、的斜率121211y yk x x ++、、依次成等差数列知, 12112212+2,,11y yk y kx m y kx m x x ==+=+++又，所以122112)(1))(1)2(1)(1).kx m x kx m x k x x +++++=++（（ 化简并整理得，12)(2)0m k x x -++=（假如m=k ，则直线L 的方程为y=kx+k,即l 经过点11,0F （-），不符合条件.因此必有122=0x x ++，故由方程（1）及韦达定理知，z 学科xx 网k12241()2,.(3)212km x x m k k k=-+==++即 由22212321=2k m k k +>+（）、（）知，（），化简得221,4k k >这等价于2||2k > 反之当m,k 满足（3）及2||2k >l 必不经过点1F （否则将导致,m k =与（3）矛盾），21313()().(4)222t t t t⋅+=⋅+d= z 学科xx 网k考虑到函数13()()2f t t t=⋅+在[1,3]上单调递减，故由（4）得，(3)(1),f d f <<即(3,2)d ∈.一．（本题满分40分）设12,,,(2)n a a a n ≥是实数,证明:可以连取12,,,{1,1}n εεε∈-使得222111()()(1)()nnni i i i i i i a a n a ε===+≤+∑∑∑【证明】我们证明：[]2222111[]12()()(1)()(1)nnnni i j i n i i i j a a a n a ====++-≤+∑∑∑∑1,,[],1;[]1,,,122i i n ni i n εε=⋅⋅⋅==+⋅⋅⋅=-即对取对取符合要求，[].)x x （这里，表示实数的整数部分1事实上，（）的左边为[][]222211[]1[]122(+)+()nn nni j i j nn i i j j a a a a ===+=+-∑∑∑∑[]2221[]12=2(+2)nni j n i j a a ==+∑∑）（[]2221[]122[]([]))(22n ni j n i j n n a a ==+≤∑∑）+2(n-（柯西不等式）[]2221[]12++=2[](+]))([]])2222n ni j ni j n n a a n ==+-=∑∑n 1n 1）2([（利用[ z 学科xx 网k[]2221[]12()([]n ni j n i j n a a x x ==+≤≤∑∑）+(n+1)（利用）[]221n+1(1.ni i a =≤∑（）），所以（）得证，从而本题得证 二、(本题满分40分)设12{,,,}n S A A A =,其中12,,,n A A A 是n 个互不相同的有限集合(2)n ≥,满足对任意,i j A A S ∈,均有ij A A S ∈,若1min ||2i i nk A ≤≤=≥,证明:存在1n i i x A =∈,使得x 属于12,,,n A A A 中的至少nk个集合(这里||X 表示有限集合X 的元素个数)1121212={,}.,,k n s A A A A A A A B B B ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅设，，在，，中除去，，，12,t C C C n s t ⋅⋅⋅--，，后，在剩下的个集合中，设包含 i k),n-s-t i a x ≤≤的集合有个（1由于剩下的个集合中1i A a 每个集合与的交非空，即包含某个，从而12+.k x x x n s t +⋅⋅⋅+≥--111max ,,i i kn s tx x x n s t k≤≤--=≥--不妨设则由上式知即在剩下的个集合中，1112(1,,),,i t n s tA C i t C C C k--⊆=⋅⋅⋅⋅⋅⋅包含a 的集合至少有个，又由于故，，都 11,a a 包含因此包含的集合个数至少为(1)+(2)n s t n s k t n s t t k k k k ---+--+=≥≥利用()nt s k≥≥利用 三、(本题满分50分)如图,ABC ∆内接于圆,O P 为BC 上一点,点K 在线段AP 上,使得BK 平分ABC ∠,过,,K P C 三点的圆Ω与边AC 交于点D ,连结BD 交圆Ω于点E ,连结PE 并延长与边AB 交于点F ,证明:2ABC FCB ∠=∠四、(本题满分50分)求具有下述性质的所有正整数k :对任意正整数(1)1,2k n n -+不整除()!!kn n . 【解析】对正整数m,设2()v m 表示正整数m 的标准分解中素因子2的方幂，则熟知2(!)(),(1)v m m s m =- z 学科xx 网k().s m m 这里表示正整数在二进制表示下的数码之和1)12)!)!2()(1),!!k n kn kn v k n n n -+≤-（（（由于不整除等价于即22(()!)(!),1kn v kn n v n -≥-进而由（）知，本题等价于 ≥求所有正整数k,使得s(kn)s(n)对任意正整数n 成立.(0,1,2,).a a =⋅⋅⋅我们证明，所有符号条件的k 为2(2)()a S n S n n =一方面，由于对任意正整数成立，故2.a k =符合条件 22,0,1.a k k q a q =⋅≥另一方面，若不是的方幂，设是大于的奇数 )().)=2)(),a n S kn S n S kn S qn S qn <=下面构造一个正整数，使得（因为（（ ,)().mq m S m S q<因此问题等价于我们选取的一个倍数使得（ z 学科xx 网k212102,u u u u q q --<<由于故正整数的二进制表示中的最高次幂小于，由此2121(01),22t tu u lu ju i j i j t q qαα++--≤<≤-⋅⋅易知，对任意整数，数与的二进制表示中没有相同的项.210,20,1,,1)1tu lu t l t qαα+->⋅=⋅⋅⋅-又因为故（的二进制表示中均不包含，故(0,1,2,).a a =⋅⋅⋅综合上述的两个方面可知，所求的k 为2 z 学科xx 网k。

2015年浙江省高中数学竞赛试卷说明：（1）本试卷分为A 卷和B 卷：A 卷由本试卷的20题组成，即8道选择题、7道填空题、3道解答题和2道附加题；B 卷由本试卷的前18题组成，即8道选择题、7道填空题、3道解答题。

（2）考试不允许携带计算机或计算器。

一、选择题（本大题共有8小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题6人，共48分）1、“a=2，是“曲线C: 22221(,,0)y x a b R ab a b+=∈≠经过点1)”的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2、已知一个角大于120°的三角形的三边长分别为m ，m+1，m+2，则实数m 的取值范围为（ ）A.m>1B.1<m<32C. 32<m<3D.m>33、如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是BB 1的中点，则二面角M －CD 1－A 的余弦值为 （ ）B.124、若实数a ，b 满足20101a b b a a +-≥⎧⎪--≤⎨≤⎪⎩，则22a b a b ++的最大值为 （ ）A.1B.54C.75D.25、已知等腰直角△PQR 的三个顶点分别在等腰直角△ABC 的三条边上，记△PQR ，△ABC 的面积分别为S △PQR ，S △ABC ，则PQRABCS S ∆∆的最小值为（ ）A.12B.13C.14D.156、已知数列{a n }的通项a n =(1)(21)(1)nxx x nx +++，n ∈N *，若a 1+a 2+…+a 2015<1，则实数x 等于（ ）A.32-B.5-C.9-D.11-7、若过点P(1，0)，Q(2，0)，R(4，0)，S(8，0)作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积不可能．．．等于 （ ） A.1617B.365C.265D.196538、若集合A={(m ，n)|(m+1)+(m+2)+…+(m+n)=102015，m ∈Z ， n ∈N *}，则集合A 的元素个数为（ ） A.4030 B.4032 C.20152 D.20162二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，9～14题每题7分，15题8分，共50分）9、已知函数f(x)满足 f(x+1)+f(1－x)=0，f(x+2)－f(2－x)=0，且f(23)=1，则f(10003)=10、若数列{a n }的前n 项和S n =n 3－n 2，n ∈N *，则20151182ii a i =+-∑＝ 11、已知F 为抛物线y 2=5x 的焦点，点A(3，1)，M 是抛物线上的动点。

“姜立夫杯”2015年高二数学上学期竞赛试题考生注意事项：1本卷共有17道题目,全卷满分100分,考试时间120分钟.2答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号.3本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效.4本卷解答一律不准使用计算器.选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题有且仅有一个正确的答案）1．设常数，集合，若，则的取值范围为（▲）A． B．C．D．2．已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（▲）A．相交B．相切C．相离D．与的取值有关[3．已知等比数列的前项和为,则下列一定成立的是（▲）A. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若.则4．函数在上为单调递减函数，则实数的取值范围是（▲）A．B．C．D．5．在棱长为1的正四面体中，记，则不同取值的个数为（▲）A．6 B．5 C．3 D．2 6．在中，，，分别为的重心和外心，且，则的形状是（▲）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．上述三种情况都有可能7．设,，关于的不等式和无公共解，则最大值是（▲）A．3 B．5 C． 7 D．98．如图，某商业中心有通往正东方向和北偏东方向的两条街道，某公园位于商业中心北偏东角，且与商业中心的距离为公里处，现要经过公园修一条笔直小路分别与两条街道交汇于两处,当商业中心到两处的距离之和最小值为（▲）A．7公里B．8公里C．9公里 D．10公里填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分.）9．若，，则______▲_____10．已知等比数列中，,则= ▲ .11．若正数满足，则的值为___▲___12．求“方程的解”有如下解题思路：设，则在R上单调递减，且，所以原方程有唯一解．类比上述解题思路，方程的解集为▲．13．已知的三边长为满足，，则的取值范围是▲．14．对于实数，表示不超过的最大整数。

对于某个正整数，若恰好存在1000个正整数同时满足下列两个条件：（1），（2）均能被整除，则=____▲_____.“姜立夫杯”2015年高二数学上学期竞赛试题考生注意事项：1本卷共有17道题目,全卷满分100分,考试时间120分钟.2答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号.3本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效.4本卷解答一律不准使用计算器.选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题有且仅有一个正确的答案）1．设常数，集合，若，则的取值范围为（▲）A． B．C．D．2．已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（▲）A．相交B．相切C．相离D．与的取值有关[3．已知等比数列的前项和为,则下列一定成立的是（▲）A. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若.则4．函数在上为单调递减函数，则实数的取值范围是（▲）A．B．C．D．5．在棱长为1的正四面体中，记，则不同取值的个数为（▲）A．6 B．5 C．3 D．26．在中，，，分别为的重心和外心，且，则的形状是（▲）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．上述三种情况都有可能7．设,，关于的不等式和无公共解，则最大值是（▲）A．3 B．5 C． 7 D． 98．如图，某商业中心有通往正东方向和北偏东方向的两条街道，某公园位于商业中心北偏东角，且与商业中心的距离为公里处，现要经过公园修一条笔直小路分别与两条街道交汇于两处,当商业中心到两处的距离之和最小值为（▲）A．7公里B．8公里C．9公里 D．10公里填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分.）9．若，，则______▲_____10．已知等比数列中，,则= ▲ .11．若正数满足，则的值为___▲___12．求“方程的解”有如下解题思路：设，则在R上单调递减，且，所以原方程有唯一解．类比上述解题思路，方程的解集为▲．13．已知的三边长为满足，，则的取值范围是▲．14．对于实数，表示不超过的最大整数。