2020年浙江苍南县“姜立夫杯”高一数学试题(附答案)

2015年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高一试卷考生注意事项：1本卷共有17道题目,全卷满分100分,考试时间120分钟.2答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号. 3本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效. 4本卷解答一律不准使用计算器.一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题有且仅有一个正确的答案）1．已知a 为给定的实数，那么集合{}22320=-+-=M x x x a 的子集的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．不确定 2．函数()212()log 23f x x x =--的单调递增区间是（ ）A ．)1,(--∞B ．)1,(-∞C ．),1(+∞D ．),3(+∞ 3．函数221)(xx x f x --=（ ） A 是偶函数但不是奇函数 B 是奇函数但不是偶函数 C 既是偶函数又是奇函数 D 既不是偶函数也不是奇函数 4．设3log 2=a ，ln 2=b ，125-=c ，则（ ）A ．c b a <<B ．a c b <<C ．<<c a bD ．<<c b a5．设函数()()2log 2x f x m =+,则满足函数f x 的定义域和值域都是实数集R 的实数m 构成的集合为（ ）A ．{}0m m =B ．{}0m m ≤C ．{}0m m ≥D ．{}1m m =6．已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数[]()1=-y f f x 的零点个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 47．如果不等式21x x a <-+的解集是区间()3,3-的子集，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,7)-∞B ．(],7-∞C ．(,5)-∞D ．(],5-∞ 8．已知(),(),()f x g x h x 为一次函数，若对实数x 满足1,1()()()32,1022,0x f x g x h x x x x x -<-⎧⎪-+=+-≤<⎨⎪-+≥⎩，则()h x 的表达式为（ ）A.1()2h x x =-B.1()2h x x =--C.1()2h x x =-+D.1()2h x x =+ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分.）9．已知点在幂函数()yf x 的图象上，则4f ▲ ．10．设,a b 为不相等的两个实数，若二次函数()2f x x ax b =++满足()()f a f b =，则()2f 的值为 ▲ ． 11．已知函数315(1)()(1)xa x x f x ax 是实数集R 上的增函数，则实数a 的取值范围为▲ ．12．已知奇函数)(x f 在定义域[]3,3-上是减函数，且()2(2)20-+-<f x x f x ，则实数x 的取值范围是 ▲13.已知()f x 为R 上增函数，且对任意∈x R ，都有()34⎡⎤-=⎣⎦xf f x ，则(2)f 的值等于▲14．已知自然数a b c d e 、、、、满足1100a b c d e ≤<<<<≤，则当b da c e++取最小值时，a b c d e ++++=____▲ ___2015年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高一答题卷一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题有且仅有一个正确的答案）二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分. 请将正确的答案填在横线上）9.________________________ 10._____________________________ 11._______________________ 12._____________________________ 13._______________________ 14._____________________________三、解答题（本大题共3小题，第15、16题各10分,第17题12分,满分32分.要求写出必要的解答过程）15．设集合}023|{2≤++=x x x A ，}0|{2≤++=b ax x x B ， (1) 若R B A C x x B A C R R =≤<-= )(},21|{)(，求b a ,的值； (2) 若1=b ，且A B A = ，求实数a 的取值范围．16．已知函数()(1)(01)xxf x a k a a a -=-->≠且是定义域为R 上的奇函数.（1）求k 的值； （2）若23)1(=f ，且)(2)(22x f m a a x g x x ⋅-+=-在),1[∞+上的最小值为2-， 求m 的值．17．设二次函数c bx ax x f ++=2)(（0,,,≠∈a R c b a ）满足条件： ①当R x ∈时，(1)(3)-=-f x f x ；②不等式241()21--≤≤+x f x x 对一切实数x 都成立。

浙江省苍南县金乡卫城中学2019-2020学年高一数学下学期第一次月考试题满分150分， 时间90分钟一、选择题 共22小题，每小题5分，共110分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.直线310x y -+=的倾斜角为（ ） A.3π B.6π C.23π D.56π 2.直线340x y +-= 的斜率和在y 轴上的截距分别是( )A. 3,4-B. 3,4-C. 3,4--D. 3,43.过点A (3，3)且垂直于直线4270x y +-=的直线方程为( ) A. 122y x =+ B. 27y x =-+ C. 1522y x =+ D.1322y x =+4.不论m 为何值，直线()1(21)5m x m y m -+-=-恒过的定点的坐标为（ ） A. 11,2⎛⎫-⎪⎝⎭B. ()2,0-C. (2,3)D. (9,4)-5.若直线1l ：60x ay ++=与2l ：()2320a x y a -++=平行，则1l 与2l 间的距离为( ) A. 2B.823C. 3D.8336.已知点A(2, 3)，B(－3, －2)，若直线l 过点P(1, 1)且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）A. k ≥2或k ≤34 B. 34≤k ≤2 C. k ≥34D. k ≤2 7.图中的直线123,,l l l 的斜率分别是123,,k k k ，则有（ ）A. 123k k k <<B. 312k k k <<C. 321k k k <<D. 231k k k <<8.在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，则sin sin sin a b cA B C++++等于 ( )9.在ABC ∆中，已知222sin sin sin sin sin A B A B C +-=，且满足4ab =，则ABC ∆的面积为（ ）A. 1B. 210. 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 （ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 由增加的长度决定11.△ABC 中，已知下列条件：①b ＝3，c ＝4，B ＝30°；②a ＝5，b ＝8，A ＝30°；③c ＝6，b＝，B ＝60°；④c ＝9，b ＝12，C ＝60°．其中满足上述条件的三角形有两解的是 ( ) A. ①②B. ①④C. ①②③D. ③④12.在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是A ∠、B Ð、C ∠所对边的边长.若2cos sin 0cos sin A A B B+-=+，则a bc +的值是（ ）.A. 1D. 213.在ABC ∆中，内角C 为钝角，3sin 5C =，5AC =，AB =BC =（ ） A. 2 B.3 C. 5 D. 1014.若ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若1sin()sin 2C A B -=，且4b =，则22c a -=（ ）A. 10B. 8C. 7D. 415．在等差数列{}n a 中，351028a a a ++=，则此数列的前13项的和等于( )A ．8B ．13C ．16D ．2616．已知正项数列{n a }中,a 1=1,a 2=2,22n a =21n a ＋+21n a -(n≥2),则a 6等于（ ）A ．16B ．8C．2D ．417．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝t ·5n －2－15，则实数t 的值为( )．A ．4B ．5C.45D.1518．已知数列{}n a 满足),2(525*11N n n a a a n n n ∈≥--=--，且{}n a 前2014项的和为403，则数列{}1+⋅n n a a 的前2014项的和为 ( )A ．-4B ．-2C ．2D ．419．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4+a 7+a 10=9，S 14﹣S 3=77，则使S n 取得最小值时n 的值为（ ） A ． 4B ． 5C ． 6D ． 720．各项均为实数的等比数列{a n }前n 项和记为S n ，若S 10=10,S 30=70，则S 40等于( )A ． 150B ． -200C ． 150或-200D ．400或-5021．若{a n }是等差数列，首项a 1>0，公差d<0，且a 2 013(a 2 012＋a 2 013) <0，则使数列{a n }的前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是 ( )A ．4 027B ．4 026C ．4 025D ．4 024 22．已知定义在R 上的函数)(x f 是奇函数且满足)()23(x f x f =-，3)2(-=-f ，数列{}n a 满足11-=a ，且n a S n n +=2，（其中n S 为{}n a 的前n 项和）。

苍教研函[2014] 309号
关于公布2014年苍南县“姜立夫杯”
高中数学竞赛结果的通知
各高级中学：
2014年苍南县“姜立夫杯”高中数学竞赛于12月14日在苍南中学举行，全县共有1001名高一、高二学生参加竞赛，竞赛结果已经揭晓，吴姝瑶等258名学生分获不同组别的一、二、三等奖。

现将获奖名单予以公布。

附件：获奖学生和指导师名单
二○一四年十二月十六日
附件：获奖学生和指导师名单
1．一类高中组
1．1高一段：
一等奖（8名）
二等奖（10名）
三等奖（21名）
1．2高二段：
一等奖（7名）
二等奖（11名）
三等奖（23名）
2．二类高中组
2．1高一段：
一等奖（9名）
二等奖（18名）
三等奖（26名）
2．2高二段：
一等奖（8名）
二等奖（15名）
三等奖（30名）
3．三类高中组
3．1高一段：
一等奖（7名）
二等奖（11名）
三等奖（19名）
3．2高二段：
一等奖（6名）
二等奖（10名）
三等奖（19名）。

数学网课测试 满分150分时间90分钟一、选择题共22小题，每小题5分，共110分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.直线310x y -+=的倾斜角为 A.23π B.56π C.3π D.6π 【答案】D 【解析】 【分析】求得直线的斜率，由此求得直线的倾斜角. 【详解】依题意，直线的斜率为333=-，对应的倾斜角为π6，故选D.【点睛】本小题主要考查由直线一般式求斜率和倾斜角，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.2.直线340x y +-= 的斜率和在y 轴上的截距分别是 A. 3,4- B. 3,4-C. 3,4--D. 3,4【答案】A 【解析】直线340x y +-= 的斜率为-3，在轴上的截距为4. 故答案为:A.3.过点A (3，3)且垂直于直线4270x y +-=的直线方程为 A. 122y x =+ B. 27y x =-+ C. 1522y x =+ D.1322y x =+【答案】D 【解析】过点A (3，3)且垂直于直线4270x y +-=的直线斜率为12，代入过的点得到1322y x =+. 故答案为D.4.不论m 为何值，直线()1(21)5m x m y m -+-=-恒过的定点的坐标为（ ） A. 11,2⎛⎫-⎪⎝⎭B. ()2,0-C. (2,3)D. (9,4)-【答案】D 【解析】∵直线方程为()1(21)5m x m y m -+-=- ∴直线方程可化为(21)(5)0x y m x y +-+--+=∵不论m 为何值，直线()1(21)5m x m y m -+-=-恒过定点∴210{50x y x y +-=--+= ∴9{4x y ==-故选D点睛：含参直线恒过定点的求法：（1）分离参数法，把含有的参数的直线方程改写成(,)(,)0f x y g x y λ+=，解方程组(,)0{(,)0f x yg x y ==，便可得到定点坐标；（2）特殊值法，把参数赋两个特殊的值，联立方程组，即可得到定点坐标.5.若直线1:60l x ay ++=与()2:2320l a x y a -++=平行，则1l 与2l 间的距离为（ ）B.3D.3【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行求出a 的值，得出两条直线方程，再求直线之间的距离. 【详解】由题：直线1:60l x ay ++=与()2:2320l a x y a -++=平行， 则()32a a =-，即2230a a --=，解得3a =或1a =-， 当3a =时，直线1:360l x y ++=与2:360l x y ++=重合；当1a =-时，直线1:60l x y -+=与22:03l x y -+=平行， 两直线之间的距离为2682332-=. 故选：B【点睛】此题考查根据两直线平行求参数的取值，需要注意讨论直线重合的情况，根据距离公式求平行线之间的距离.6.已知点A(2, 3)，B(－3, －2)，若直线l 过点P(1, 1)且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）A. k ≥2或k ≤34B.34≤k ≤2 C. k ≥34D. k ≤2【答案】A 【解析】试题分析：因为2AP k =，34BP k =，结合图象可知，当2AP k k ≥=或34BP k k ≤=时，则直线l 与线段AB 相交，故选A ．考点：直线的斜率．7.图中的直线123,,l l l 的斜率分别是123,,k k k ，则有（ ）A. 123k k k <<B. 312k k k <<C. 321k k k <<D.231k k k <<【答案】D 【解析】【详解】由图可知：10k >，20k <，30k <，且直线3l 的倾斜角大于直线2l 的倾斜角，所以32k k >，综上可知：231k k k <<，故选D ．8.在△ABC 中，A ＝60°，b ＝13，则sin sin sin a b cA B C++++等于 ( )323926329 【答案】B 【解析】ABC 中，60A =︒，1b =31sin 32bc A ∴=，即13322c =4c = 由余弦定理可得2222sin 116413a b c bc A =+-=+-= 即13a = 由正弦定理sin sin sin a b cA B C==可得sin3a b c asinA sinB sinC A++===++故选B9.在ABC∆中，已知222sin sin sin sin sinA B A B C+-=，且满足4ab=，则ABC∆的面积为（）A. 1B. 2【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理先进行化简，然后根据余弦定理求出C的大小，结合三角形的面积公式进行计算即可．【详解】在ABC∆中，已知222sin sin sin sin sinA B A B C+-=，∴由正弦定理得222a b ab c+-=，即222a b c ab+-=，∴cos C＝2222a b cab+-＝122abab=，即C＝3π.∵4ab=，∴ABC∆的面积11sin422S ab C==⨯=故选D．【点睛】本题主要考查三角形面积的计算，结合正弦定理余弦定理进行化简是解决本题的关键,属于基础题．10. 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 由增加的长度决定【答案】A【解析】试题分析：不妨设ABC∆为直角三角形，90C =，则222+=a b c，设三边增加的长度为()0m m>，则新三角形A B C'''∆的三边长度分别为,,a mb mc m+++，则()()()()()222cos 2a m b m c m C a m b m '+++-+=++，而()()()()222220a m b m c m a b c m m +++-+=+-+>，所以cos 0C '>，因此新三角形为锐角三角形. 考点：余弦定理.11.△ABC 中，已知下列条件：①b ＝3，c ＝4，B ＝30°；②a ＝5，b ＝8，A ＝30°；③c ＝6，b ＝，B ＝60°；④c ＝9，b ＝12，C ＝60°．其中满足上述条件的三角形有两解的是 ( ) A. ①② B. ①④C. ①②③D. ③④【答案】A 【解析】ABC 中，()1?3b =，4c =，30B =︒，可得34sin 30sin C =︒，2sin sin 303C =>︒故满足条件的角C 有2个，一个为锐角，一个为钝角，三角形有两个解，故正确()2?5a =，8b =，30A =︒，可得58sin 30sin B =︒，4sin sin 305B =>︒故满足条件的角C 有2个，一个为锐角，一个为钝角，三角形有两个解，故正确()3?6c =，b =60B =︒，可得6sin C =sin 1C =，则2C π=，三角形有唯一的解，故错误()4?9c =，12b =，60C =︒，可得912sin 60sin B =︒，sin 13B =>，则B 不存在，三角形无解，故错误 故选A12.在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是A ∠、B 、C ∠所对边的边长.若2cos sin 0cos sin A A B B+-=+，则a b c +的值是（ ）.A. 1D. 2【答案】B 【解析】【详解】因为2cos sin 0cos sin A +A -=B +B，所以()()cos sin cos sin 2A+A B+B =，所以cos cos sin sin sin cos cos sin 2A B A B A B A B +++=， 即cos()sin()2A B A B -++=所以cos()1,sin()1A B A B -=+=，所以,2A B A B π=+=，所以,a ba b c+==B.考点：三角恒等变换.13.在ABC 中，内角C 为钝角，3sin 5C =，5AC =，AB =BC =（） A. 2 B. 3C. 5D. 10【答案】A 【解析】 【分析】先根据同角三角函数平方关系求cos C ，再根据余弦定理求.BC 【详解】因为3sin ,5C C =为钝角， 所以4cos ,5C =-因此由余弦定理得(22245255BC BC ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭2BC ∴=（负值舍去），选A. 【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.14.若ABC ∆的三个内角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，若()1sin sin 2C A B -=，且4b =，则22c a -=A. 10B. 8C. 7D. 4【答案】B 【解析】分析：利用诱导公式、两角和与差的正弦公式将()1sin sin 2C A B -=展开，结合正弦定理和余弦定理进行化简可得228c a -=.详解：()()11sin 22sin C A B sin A C -==+, 即2sin cos 2cos sin sin cos cos sin C A C A A C A C -=+， 即sin cos 3sin cos C A A C =， 由正弦定理和余弦定理得：222222322b c a a b c c a bc ab+-+-⋅=⋅， 即222222333b c a a b c +-=+-， 即22244221632c a b -==⨯=， 则228c a -=，故选B.点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及两角和与差的正弦公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.15.在等差数列{}n a 中，351028a a a ++=，则此数列的前13项的和等于（ ） A. 8 B. 13 C. 16 D. 26【答案】D 【解析】 【分析】在等差数列{}n a 中，根据351028a a a ++=，利用等差数列的性质，得到4104a a +=，再代入前n 项和公式求解.【详解】在等差数列{}n a 中，因为351028a a a ++=， 所以4104a a +=， 所以()()4131131013+13+=2622a a a a S ==，故选：D【点睛】本题主要考查等差数列的性质及前n 项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16.已知正实数数列{}n a 中，22212111,2,2(2)n n n a a a a a n +-===+≥，则6a 等于（ ）A. 16B. 8C. D. 4【答案】D 【解析】试题分析：由题意,数列{}2na 是以1为首项,公差为3的等差数列,所以26615316,4a a =+⨯=∴=,故选D.考点：等差数列.17.已知等比数列{}n a 的前n 项和2155n n S t -=⋅-，则实数t 的值为（ ） A.15B.45C. 4D. 5【答案】D 【解析】 【分析】由2155n n S t -=⋅-，给n 分别取1，2，3，可求出等比数的前三项123,,a a a ，再由2223a a a =⋅列方程求出t 的值【详解】由题知111155a S t ==-，22145a S S t =-=，3324a S S t =-=，{}n a 是等比数列，24114555t t t ⎛⎫⎛⎫∴=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，易知0t ≠，解得5t =， 故选：D .【点睛】本题考查等比数列的通项公式与前n 项和及等比中项公式的应用，考查逻辑推理能力与运算求解能力，考查数学运算、逻辑推理核心素养，属于基础题. 18.已知数列{}n a 满足()*11522,5n n n a a n n N a ---=≥∈-，且{}n a 前2014项的和为403，则数列{}1n n a a +⋅的前2014项的和为（ ）A. 4-B. 2-C. 2D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据数列{}n a 满足()*11522,5n n n a a n n N a ---=≥∈-，变形为()()12355n n a a --=-为定值，令2,3n =得到31a a =，得到数列的奇数项均为1a ，偶数项均为2a ，再根据{}n a 前2014项的和为403，求得12a a +，再代入()()212553a a -=-，求得12a a ⋅即可. 【详解】因为数列{}n a 满足()*11522,5n n n a a n n N a ---=≥∈-， 所以()()12355n n a a --=-，所以()()()()2132523,55523a a a a -=-=--为定值， 所以3155a a -=-，即31a a =， 同理135a a a ===⋯，246a a a ===⋯ 所以奇数项均为1a ，同理偶数项均为2a ， 又因为{}n a 前2014项的和为403， 所以()12201420144032a a S =+=，所以124031007a a =+， 代入()()212553a a -=-， 得1211007a a =⋅， 因为1223341 (1007)a a a a a a ===⋅=⋅⋅， 则数列{}1n n a a +⋅的前2014项的和为()20141220142S a a ⋅==. 故选：C.【点睛】本题主要考查数列的周期性及前n 项和，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 19.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，47109,a a a ++=14377S S -=,则使n S 取得最小值时n 的值为( ) A. 7 B. 6C. 5D. 4【答案】C 【解析】 等差数列{a n }中，∵a 4+a 7+a 10=9，S 14﹣S 3=77，∴745143977a a a a =⎧⎨+++=⎩，解得a 1=﹣9，d=2． ∴()19n 22n n n S -=-+⨯=n 2﹣10n =（n ﹣5）2﹣25，∴当n=5时，S n 取得最小值． 故选C ．20.各项均为实数的等比数列{a n }前n 项之和记为n S ,若1010S =,3070S =, 则40S 等于 A. 150 B. -200C. 150或-200D. -50或400【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的前n 项和公式化简S 10＝10，S 30＝70，分别求得关于q 的两个关系式，可求得公比q 的10次方的值，再利用前n 项和公式计算S 40即可．【详解】因为{a n }是等比数列，所以有1010(1)101a q S q -==-，3030(1)701a q S q -==- 二式相除得，3010171q q-=-，整理得102017q q ++= 解得102q=或103q =-（舍）所以有40401010(1)1(1)1a q S qa q S q--=--=401011q q -- =4121512-=- 所以401015S S ==150．答案选A ．【点睛】此题考查学生灵活运用等比数列的前n 项和的公式化简求值，是一道综合题，有一定的运算技巧，需学生在练习中慢慢培养．21.若{}n a 是等差数列，首项10a >，公差0d <，且()2013201220130a a a +<，则使数列{}n a 的前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是（ ） A. 4027 B. 4026C. 4025D. 4024【答案】D 【解析】 【分析】根据首项10a >，公差0d <，得到{}n a 是递减数列，由()2013201220130a a a +<，得到201220130,0a a ><，再结合等差数列的性质由前n 项和公式求解.【详解】因为{}n a 是等差数列，首项10a >，公差0d <， 所以{}n a 是递减数列， 又因为()2013201220130a a a +<，所以2012201320122013201220130,0,,0a a a a a a ><>+>， 所以()20122013402520134024402440250,02a a S a S +=<=>，所以则使数列{}n a 的前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是4024. 故选：D.【点睛】本题主要考查等差数列的性质及前n 项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22.已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数且满足，3()(2)32f x f x f ⎛⎫-=-=-⎪⎝⎭，，数列{}n a 满足11a =-，且2n n S a n =+，(其中n S 为{}n a 的前n 项和).则()()56f a f a +=（）A. 3B. 2-C. 3-D. 2【答案】A 【解析】 由奇函数满足()32f x f x ⎛⎫-=⎪⎝⎭可知该函数是周期为3T =的奇函数， 由递推关系可得：112,21n n n n S a n S a n +-=+=+-,两式做差有：1221n n n a a a -=--，即()()1121n n a a --=-， 即数列{}1n a -构成首项为112a -=-，公比为2q 的等比数列，故：()1122,21n n n n a a --=-⨯∴=-+，综上有：()()()()()552131223f a f f f f =-+=-==--=， ()()()()66216300f a f f f =-+=-==，则：()()563f a f a +=. 本题选择A 选项.二、解答题（12+13+15=40分）23.已知ABC ∆的三个顶点坐标分别为()4,2A --，()4,2B ，()13C ，． （1）求边AB 上的高所在直线的一般式方程； （2）求边AB 上的中线所在直线的一般式方程. 【答案】(1)250x y +-=；(2)30x y -=. 【解析】试题分析:(1)根据垂直关系得到12AB k =，过点()13C ，，得到直线方程为：250x y +-=；（2）由中点坐标公式得到()00D ，又因为过点()13C ，故得到中线方程. 解析：（1）∵()4,2A --，()4,2B ，∴12AB k =， ∴边AB 上的高所在直线的一般式方程为，即250x y +-=（2）AB 的中点为D ，∵()4,2A --，()4,2B ∴()00D ，∴边AB 的中线CD 的斜率为3k =，∴边AB 上的中线CD 的一般式方程为30x y -=24.已知ABC 的内角, , A B C 的对边分别是, , a b c ，且sin 2sin b A a B =. （1）求A ；（2）若2a =，ABCABC 的周长. 【答案】（1）3A π=（2）6【解析】【分析】（1）根据sin 2sin b A a B =，由二倍角正弦公式得到2sin cos sin b A A a B =，然后由正弦定理求解.（2）根据2a =，利用余弦定理，得到224b c bc =+-，再根据ABC ，得到4bc =，两式联立求解.【详解】（1）由sin 2sin b A a B =，得2sin cos sin b A A a B =， 由正弦定理，得2sin sin cos sin sin B A A A B =，由于sin sin 0A B ≠，所以1cos 2A =. 因为0A π<<，所以3A π=.（2）由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-， 又2a =，所以224b c bc =+-.① 又ABC ，即1sin 2bc A =1sin 23bc π=4bc =.②由①②得228b c +=，则222()28816b c b c bc +=++=+=，得4b c +=.所以ABC 的周长为6.【点睛】本题主要考查等正弦定理，余弦定理的应用以及二倍角公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.25.已知数列{a n }满足a 1＝1，1114n na a +=-，其中n ∈N *． （1）设221n n b a =-，求证：数列{b n }是等差数列，并求出{a n }的通项公式．（2）设41nn a c n =+，数列{c n c n +2}的前n 项和为T n ，是否存在正整数m ，使得11n m m T c c +<对于n ∈N *，恒成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明．【答案】（1）12n n a n+=；（2）3 【解析】 试题分析：(1)结合递推关系可证得b n +1-b n =2，且b 1＝2，即数列{b n }是首项为2，公差为2的等差数列，据此可得数列{}n a 的通项公式为12n n a n+=． (2)结合通项公式裂项有21122n n c c n n ，+⎛⎫=-⎪+⎝⎭求和有111213212n T n n ⎛⎫=+--< ⎪++⎝⎭．据此结合单调性讨论可得正整数m 的最小值为3． 试题解析：（1）证明：b n +1-b n 1222121n n a a +=---222112114n n a a =--⎛⎫-- ⎪⎝⎭4222121n n n a a a =-=--．又由a 1＝1，得b 1＝2，所以数列{b n }是首项为2，公差为2的等差数列，所以b n ＝2+(n -1)×2＝2n ，由221n n b a =-，得12n n a n+=． （2）解：2n c n =，()2411222n n c c n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭所以111213212n T n n ⎛⎫=+--< ⎪++⎝⎭．依题意，要使11n m m T c c +<对于n ∈N *恒成立，只需()134m m +≥，解得m ≥3或m ≤-4．又m＞0，所以m≥3，所以正整数m的最小值为3．。

苍南中学2020学年寒假返校考试高一数学试卷参考公式:1.三角函数和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=m ;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=m .sin cos a b αα+)αϕ+(其中tan baϕ=). 2.二倍角公式sin 2sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-. 第I 卷（共30分）一、 选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、 已知集合{1,2},{1,2,3}A B ==，集合{|,,}C t t x y x A y B ==+∈∈，则集合C 中的元素个数是（ ▲ ）（A ）4 (B) 5 (C) 6 (D)72、 sin 43cos13cos43sin13︒︒-︒︒的值等于 （ ▲ ） A ．12B ．C．2 D3、 下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为 （ ▲ ） A ．1y x =- B ．22y x =- C ．1y x=D ．||y x x = 4、 已知1tan()2πα-=-，则cos()+cos 22cos sin παααα+-的值是 （ ▲ ）A.15B.13C.35D. 15、 已知sin15cos15a =oo，22cos sin66b ππ=-，2tan301tan 30c =-oo ，则,,a b c 的大小关系是（ ▲ ） A ．a b c << B ．a b c >> C ．c a b >> D ．a c b <<6、已知定义域为R 的奇函数()f x .当0x >时,3)(-=x x f ，则不等式()0xf x >的解集为（ ▲ ）A. (,3)(3,)-∞-+∞UB. (3,3)-C. (,0](3,)-∞+∞UD. (3,)+∞7、函数f(x)＝⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-1,341,442x x x x x 的图象与函数g(x)＝log 2x 图象交点个数是 （ ▲ ）A ．1B ．2C ．3D ．48、将函数f(x)＝2sin(w x ＋ϕ)的图象向左平移2π个单位，若所得图象与原图象重合，则w 的值不．可能为 （ ▲ ） A ．4 B ．6C ．8D ．129、 汽车的油箱是长方体形状容器，它的长是a cm ，宽是b cm ，高是c cm ，汽车开始行驶时油箱内装满汽油，已知汽车的耗油量是n cm 3/km ，汽车行驶的路程y （km ）与油箱剩余油量的液面高度x (cm)的函数关系式为 （ ▲ ）A. ()(0)ab y c x x c n =-≤≤ B. ()(0)ny c x x c ab =-≤≤ C. ()(0)c y n x x c ab =-≤≤ D. ()(0)aby n x x c c=-≤≤10、已知f(x)＝2ax 2―2(4―a)x ＋1, g(x)＝ax ，若对任意x ∈R, f(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数a 的取值范围是 （ ▲ ）A ．(0, 2)B ．(0, 8)C ．(2, 8)D ．(－∞, 0)第II 卷（共70分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11、若函数f(x)＝a(x －1)＋2(其中a ＞0且a ≠1)的图象经过定点P(m, n), 则m ＋n ＝ ▲ 。

2020年苍南县、龙港市“姜立夫杯”数学竞赛高一试卷考生注意事项：1本卷共有17道题目,全卷满分100分,考试时间120分钟.2答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号.3本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效.4本卷解答一律不准使用计算器.一、单选题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分，每小题有且仅有一个正确的答案）1．已知集合{|{|lg }A x y B y y x ====，则A B = （）A ．[1,)-+∞B ．[0,)+∞C ．(0,)+∞D ．R 2.已知函数对任意的x ∈R 有，且当0x >时，()ln(1)f x x =+，则函数()f x 的图象大致为（）A ．B．C ．D．3.已知函数32log ,0()41,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，函数()()F x f x b =-有四个不同的零点1x ，2x ，3x ，4x ，且满足：1234x x x x <<<，则1234x x x x +的值是（）.A ．-4B ．-3C ．-2D ．-1.01024.233）条件的（是<-++<-x x x x A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S可由公式S =求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足6a =，8+=b c ，则三角形面积最大值为（）A．B ．8C．D．0)()(=-+x f x f==)60(log ,4)(2f x f x 则二、多选题（本大题共3小题，每小题4分，满分12分，每小题有多个正确的答案，错选不给分，少选给一半分数）6.定义“正对数”：0,01ln ln ,1x x x x +<<⎧=⎨≥⎩，下列命题中正确的有（）A.若0a >，0b >，则()ln ln ln ab a b +++=+；B.若0a >，0b >，则l ln n b a b a ++=；C.若0a >，0b >，则n n ln l l a a b b +++⎛⎫≥- ⎪⎝⎭；D.若0a >，0b >，则()ln ln n l l 2n a b a b +++++≤++.1.]1,0(.1.0.,0(0))()(ln 7.>∈≥≤+∞∈≥---b D b C a B a A x b x a x a x ）正确的是（）恒成立，则下列结论对（8.若函数)(x f 对任意的R x ∈，均有)(2)1()1(x f x f x f ≥++-，则称函数)(x f 具有性质P ，则下列判断正确的有（）A.Px f x 具有性质函数3)(= B.P x x f 具有性质函数3)(=C.0)10(,0)99()1(,)(≤==f f f P x f 则若具有性质函数D.0)15(,0)14()1(,)(≤==f f f P x f 则若具有性质函数三、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分.）9.我国古代数学著作《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空，二人共车，九人步.问人车各几何？”其大意是：“每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人步行.问人数和车数各多少？”根据题意，其车．数为______辆.10.则不等式______11.已知函数c bx ax x x f +++=23)(，，，2019)2018(2018)2017(==f f ==)2020(2020)2019(f f ，则12.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(4)(2)f x f x +=-.若当时，______.有且只有两个零点，))((),2()1(23)(13.2x f f y a a x a x x f =+--+=则实数a 的取值范围是______.14.______0,3x ∈（）的最小值为则22222,12y xy x y xy x ++=++单调增，时，）当（具有性质：上的函数定义在)(02)()()()1()(x f x y f x f y x f x f R >+=+的解集为24)33()1(>+-++x x f x f四、解答题（本大题共3小题，第15题10分,第16、17题各11分.满分32分要求写出必要的解答过程）15.地球正在变绿，中国通过植树造林和提高农业效率，在其中起到了主导地位．已知某种树木的高度()f t (单位：米)与生长年限t （单位：年，t ∈N *）满足如下的逻辑斯蒂函数：()0.5261e t f t -+=+，其中e 为自然对数的底数.设该树栽下的时刻为0.()ln5 1.61≈（1）需要经过多少年，该树的高度才能超过5米？（精确到个位）（2）第几年该树长高最快？16.已知函数（1）（2）若1,1a b ==，关于x 的方程()()2143210x x f k -+--=，有3个不同的实数解，求实数k 的值.17.已知函数()22f x x a x b =-+-，其中a ，b ，x ∈R .（I）当1a b ==时，求函数()y f x =的单调区间；（II）若对任意[]0,1x ∈，都有()2f x a b ≤+恒成立，求实数2a b +的最小值.)0(12)(2>++-=a a bx ax x f ，1|24||46|)(]3,1[+-+-≤∈b a b a x f x 时，证明：当2020年苍南县、龙港市“姜立夫杯”数学竞赛高一答题卷一、单选题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分，每小题有且仅有一个正确的答案）题号12345答案二、多选题（本大题共3小题，每小题4分，满分12分，每小题可能有多个或者一个正确的答案，错选不给分，少选给一半分数）题号678答案三、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分.请将正确的答案填在横线上）9.________________10.________________11.________________12.________________13.________________14.________________四、解答题（本大题共3小题，第15题10分,第16、17题各11分.满分32分要求写出必要的解答过程）15.地球正在变绿，中国通过植树造林和提高农业效率，在其中起到了主导地位．已知某种树木的高度()f t (单位：米)与生长年限t （单位：年，t ∈N *）满足如下的逻辑斯蒂函数：()0.5261e t f t -+=+，其中e 为自然对数的底数.设该树栽下的时刻为0.()ln5 1.61≈（1）需要经过多少年，该树的高度才能超过5米？（精确到个位）（2）第几年该树长高最快？16.已知函数（1）（2）若1,1a b ==，关于x 的方程()()2143210x x fk -+--=，有3个不同的实数解，求实数k 的值.)0(12)(2>++-=a a bx ax x f ，1|24||46|)(]3,1[+-+-≤∈b a b a x f x 时，证明：当17.已知函数()22f x x a x b =-+-，其中a ，b ，x ∈R .（I）当1a b ==时，求函数()y f x =的单调区间；（II）若对任意[]0,1x ∈，都有()2f x a b ≤+恒成立，求实数2a b +的最小值.。

2016年浙江省高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本大题共8小题，每小题6分，满分48分） 1.曲线()()2220x y a x y++-=为平面上交于一点的三条直线的充要条件是（ ）． （A ） 0a = （B ）1a = （C ）1a =- （D ）a R ∈答案：（A ） 解 若0a =，则曲线()()2220x y a x y++-=表示曲线是三条交于原点的直线．反之，由于直线y x =和直线y x =-交于原点，所以曲线要为平面上交于一点的直线，则直线20x y a ++=过原点，即0.a =2.函数()234sin sin 2sin cos 22x x f x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭的最小正周期为（ ）．（A ）2π （B ）2π（C ）23π （D ）π答案：（C ）解 化简得，()sin32f x x =-+，则函数()f x 的最小正周期为.3π2 3.设双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左右焦点分别为12,F F ，点A 是过2F 且倾斜角为4π的直线与双曲线的一个交点．若△12F F A 为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）．（A （B 1 （C （D 1 答案；(D)解 因为122AF AF a -=，要使△12F F A 为等腰直角三角形，则A 必在双曲线的左支上，且212AF F F =2c =，从而122AF a c =+，由勾股定理得()()()22222.a c c +=解得1.ca= 4.已知正三棱锥S -ABC ，底面边长为1，侧棱为2．若过直线AB 的截面，将正三棱锥 的体积分成两个相等的部分，则截面与底面所成二面角的平面角的余弦值为（ ）（A （B （C （D 答案：（D ）解：设截面与棱SC 交于D 点，由已知条件可知，点D 为棱SC 的中点．取AB 的中点E ，连接,,EC DE SE ，则DEC ∠为截面与底面所成二面角的平面角，设为θ．在△SEC中，2SE EC SC ===，所以中线DE =在△DEC 应用余弦定理得cos θ=5.已知,a b R ∈，函数().f x ax b =-若对任意[]1,1x ∈-，有()01f x ≤≤，则3122a b a b +++-的取值范围为（ ）（A ）1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （B ）4,05⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C ）12,27⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （D ）42,57⎡⎤-⎢⎥⎣⎦答案：（D ）解：由题设，()()011,011f f ≤≤≤-≤，即01,10.a b a b ≤-≤-≤+≤令u a b =+，c a b =-，则由此即知4312.5227a b a b ++-≤≤+- 6.已知向量,OA OB 垂直，且24.OA OB ==若[]0,1t ∈，则 的最小值为（ ）（A ） （B ）26 （C ） （D ）24 答案：（B ）解：用数形结合方法求解，作正方形OACB ，连对角线AB ，则向量t AB AO -等于向量OD （D 为对角线AB 上一点）．向量()5112BO t BA --等于向量DE （E 为OB 上一点，10EB =）．因为OD DC =，所以 由几何意义可知DE DC +的最小值为EC 的值，即等于26. 7.设集合()*,|,M x y x y N ⎧⎫⎪⎪==∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则集合M 的元素个数为（ ） （A ）0 （B ） 1 （C ） 2 （D ） 3答案：（B ） 解：由=得115=+，从而11152255x y =++这样.Q 同理，.Q 所以可设22*5,5,,.x a y b a b N ==∈因此，原式等价于111.3a b -=解得()(),2,6.a b =又(),a b 与(),x y 一一对应，则集合M 中元素的个数为1. 8.记[]x 为不超过x 的最大整数．若集合()[][]{},|1S x y x y x y =++-≤，则集合S所表示的平面区域的面积为（ ）． （A ）52 （B ）3 （C ）92（D ）4 答案：（A ）解：当01x y ≤+<时，[]0x y +=，所以[]1x y -≤，即12x y -≤-<； 当12x y ≤+<时，[]1x y +=，所以[]0x y -=，即01x y ≤-<； 当10x y -≤+<时，[]1x y +=-，所以[]0x y -=，即0 1.x y ≤-< 画出满足上述条件的区域，可知集合S 所表示的平面区域的面积为5.2二、填空题（本大题共7小题，12题9分，其余各题7分，满分51分）9.设()f x 是定义在R 上的奇函数．若对任意实数,x 有()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2f x x =，则(f = ．答案：36-解：由()()2f x f x +=-得()()()42f x f x f x +=-+=，所以()f x 周期为4，因此 10.已知数列{}{},n n a b 满足：()*11111,2,,23,n n n n n a b a b b a b n N ++=-==-=-∈则20152016b b += ． 答案：201532.-⨯解：由题设递推关系，我们有 从而，()()21212nn n b b b b +++=-+，注意到211238b a b =-=-．我们有20152015201632.b b +=-⨯11.设a R ∈．方程2x a a --=恰有三个不同的根，则a = ． 答案：2.解：原方程可变形为2x a a -=±，要使方程恰好有三个不同的根，则2a =，此时方程恰好有三个不同的根1232,6,2x x x ===-，所以 2.a =12.已知两个底面重合的正四面体A -OBC 和D -OBC ，,M N 分别为△ADC 与△BDC 的重心．记,,OA a OB b OC c ===．若点P 满足,2.OP xa yb zc MP PN =++= 则实数x = ，y = ，z = ． 答案：245,,.999x y z =-== 解 设点A 在面OBC 上的投影为H ，则()()211,323OH OB OC b c =⨯+=+所以 又()()211925,329AM AD AC a b c =⨯+=-++所以()125.9OM OA AM b c =+=+ 同理，()1355.9a b c =-++由2MP PN =得，()12.3OP OM ON =+所以13.在△ABC 中，5,412B C ππ==，AC AC =的中点为D ．若长度为3的线段PQ （P在Q 的左侧）在直线BC 上滑动，则AP DQ +的最小值为 ．答案：2解：由已知得3A π=，由正弦定理，得 6.BC =过D 作直线DE 平行BC ，交AB 于E 点，则//DE BC ，注意到DE 为△ABC 的中位线，则3DE PQ ==，所以PQDE 为平行四边形，即有.DQ EP =这样问题就转化为在直线BC 上找一点，使AP EP +最小．作A 关于BC 的对称点A '，则()min .AP EP A E '+=注意到sin sin AC CAB B⋅==则14.若关于,x y 的方程组有实数解，则正实数m 的取值范围为 ． 答案：[]1,2．解：两式平分后相加，消去x ，得反之，当12m ≤≤时，也存在()00,x y 满足此方程．因此，正实数m 的取值范围为[]1,2. 15.已知,,a b c 为互不相等的整数，则()()22224a b c a b c ++-++的最小值为 ．答案：8. 解：()()()()()22222222224a b ca b c a b b c c a a b c ++-++=-+-+-+++，其最小值为8.三、解答题（本大题共3小题，16题15分，17，18题每题18分，满分51分） 16.设函数()()()22537,.f x x k ak x a k R =--++∈已知对于任意的[]0,2,k ∈若1,x2x 满足[]1,x k k a ∈+，[]22,4x k a k a ∈++，则()()12,f x f x ≥求正实数a 的最大值．解 由于二次函数()()22537f x x k ak x =--++的对称轴为2532k ak x -+=，故题设条件等价于对任意的[]0,2k ∈，均有 即对任意的[]0,2k ∈，均有 注意到当且仅当1k =时取等号，故2min23 4.1k k k ⎛⎫-+= ⎪+⎝⎭所以，正实数a的最大值为4.517.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点163,5P ⎛⎫⎪⎝⎭，离心率为35．过椭圆C 的右焦点作斜率为k 的直线l ，交椭圆于,A B 两点，记,PA PB 的斜率为12,.k k （1）求椭圆的标准方程； （2）若120k k +=，求实数.k 解 （1）由题设条件，得所以椭圆方程为221.2516x y += （2）椭圆的右焦点坐标为()3,0. 若0k =时，()()5,0,5,0,A B -则1228,,55k k ==-此时120k k +≠．故0.k ≠ 直线l 的方程为()3.y k x =-和椭圆方程联立，并消去y ，得 设()()1122,,,A x y B x y ，则由韦达定理，得 注意到()()11223,3,y k x y k x =-=-可得18.给定数列{}n x ，证明：存在唯一分解n n n x y z =-，其中数列{}n y 非负，{}n z 单调不减，并且()100,0.n n n y z z z --==证 我们只需证明对任意的正整数n ，满足()110,0,0,0,0n n n n n n n n n x y z y z z y z z z --=-⎧⎪-=⎪⎨≥⎪⎪-≥=⎩ ① 的(),n n y z 存在且唯一．下面用数学归纳法证明之．（1）当1n =时，()110110y z z y z -==，这样有1110,y z x ==-或者111,0.y x z == 若10,x ≥则111,0y x z ==．若10x <，则1110,y z x ==-．此时命题成立． （2）假设当()1n k k =≥时，命题成立，则当1n k =+时，①等价于 这样有()1110,k k k k k y z z x z +++=-=-+或111,0.k k k k k y x z z z +++=+-=进一步 若10k k x z ++≥，则111,0.k k k k k y x z z z +++=+-=即111,.k k k k k y x z z z +++=+= 若10k k x z ++<，则()1110,k k k k k y z z x z +++=-=-+，即1110,.k k k y z x +++==- 故当1n k =+时，命题成立．（3）由数学归纳法可知，对任意的正整数n ，命题均成立．从而原命题得证． 四、附加题（本大题共2小题，每题25分，满分50分）19.设集合{}*|2,0,1,6.A x N x =∈的十进制表示中数码不含证明：13.x Ax ∈<∑ （注：1x Ax ∈∑表示集合A 中的所有元素的倒数之和）证 在k 位正整数中，各位上的数码不含数字2,0,1,6的共有6k个，其中首位数字为3,4,5,7,8,9的各有16k -个，所以，所有不含数字2,0,1,6的k 位数的倒数和小于所以，20.设正整数2n ≥，对2n ⨯格点链中的2n 个结点用红()R 、黄()Y 、蓝()B 三种颜色染色，左右端点中的三个结点已经染好色，如图所示．若对剩余的23n -个结点，要求每个结点恰染一种颜色，相邻结点异色，求不同的染色方法数．解 对2n ⨯格点链中的2n 个结点用红()R 、黄()Y 、蓝()B 三种颜色染色，其中左端点染红色与黄色，设右端点染色为,P Q 如下图所示．记P R =（或Y ），Q B =时的着色数目为n a ；记,P B =Q R =（或Y ）时的者色数目为n b ； 我们注意到：（1）若右端没有约束时，每增加一个格子都有3种不同的着色方法，则（2）由对称性，即将图形上下翻转，并且颜色R和Y互换，可知（3）考虑相互的递推特征，则由上三式知，即为问题所求的不同的染色方法数．。

年苍南县“姜立夫杯”高中数学竞赛高一试卷一、选择题（每题5分，共40分）1、三元实数集A=},,{y x xy x +，B=},||,0{y x ，且A=B ，则20062006xy +=（ ）A 、0B 、1C 、2D 、－12、若某等差数列{a n }中，1662a a a ++是一个确定的常数，则其前n 项和S n 中也为确定的常数的是( ）A 、 15SB 、 14SC 、 8SD 、7S 3、设函数121(1)()lg (1)x x f x x x -⎧-<=⎨≥⎩，若1)(0>x f ，则x 0的取值范围是（ ） A 、（0，10） B 、（－1，+∞） C 、（－∞，－2） D 、（－∞，0）∪（10，+∞）4、等差数列}{n a 的前n 项和为S n ，且3184=S S ，则=168S S （ ） A 、81 B 、31 C 、91 D 、103 5、已知集合{|1284,,,}P u u m n l m n l Z ==++∈，集合{|201612,,,}Q u u p q r p q r Z ==++∈，则P 与Q 的关系为（ ）A 、P =QB 、P ∩Q =φC 、 P ∪Q =RD 、P ∪Q =Z6、数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4……，则这个数列的第个数是（ ）A 、62B 、63C 、64D 、657、已知函数f(x)是R 上的减函数，A （0，－2），B （－3，2）是其图象上的两点，则不等式|f(x+2)|>2的解集是（ ）A 、（－1，2）B 、（－∞，－1）∪（2，+∞）C 、（－∞，－5）∪（－2，+∞）D 、（－∞，－3）∪（0，+∞）8、某火车站在节日期间的某个时刻候车旅客达到高峰，此时旅客还在按一定的流量到达。

如果只打开3个检票口，需要30分钟才能使所有滞留旅客通过检票口。

如果打开6个检票口，只需要10分钟就能让所有滞留旅客通过。

2020年浙江省普通高中7月学业水平考试数学试题一、单选题1．已知集合{}13A x R x =∈<<，则下列关系正确的是（ ） A ．1A ∈ B ．2A ∉ C ．3A ∈ D ．4A ∉【答案】D【解析】根据元素与集合的关系可得答案. 【详解】因为集合{}13A x R x =∈<<，所以1A ∉，2A ∈，3A ∉，4A ∉ 故选：D 【点睛】本题考查的是元素与集合的关系，较简单. 2．函数()2xf x =的值域是（ ）A ．(),0-∞B ．()0,∞+C ．()1,+∞D ．(),-∞+∞【答案】B【解析】根据指数函数的知识可直接选出答案. 【详解】函数()2xf x =的值域是0,故选：B 【点睛】本题考查的是指数函数的值域，较简单.3．已知等差数列{}n a 的首项13a =，公差2d =，则5a =（ ） A ．7 B ．9C ．11D ．13【答案】C【解析】根据等差数列的通项公式可算出答案. 【详解】因为等差数列{}n a 的首项13a =，公差2d =，所以5143811a a d =+=+= 故选：C 【点睛】本题考查的是等差数列的通项公式，较简单.4．已知直线1l ：10x y --=与2l ：220x ay -+=平行，则实数a 的值是（ ） A ．12B ．12-C ．1D ．1-【答案】A【解析】根据直线平行可直接构造方程求得结果. 【详解】12//l l ，()()()()()1211012210a a ⎧⨯---⨯=⎪∴⎨-⨯--⨯-≠⎪⎩，解得：12a =.故选：A . 【点睛】本题考查根据两直线平行求解参数值的问题，解题关键是明确若直线1110A x B y C ++=与直线2220A x B y C ++=平行，则12210A B A B -=且12210B C B C -≠.5．双曲线2213y x -=的渐近线方程是（ ）A ．0y ±=B ．0x ±=C ．30x y ±=D ．30x y ±=【答案】A【解析】双曲线2213y x -=的渐近线方程是2203y x -=，即可得到答案.【详解】双曲线2213y x -=的渐近线方程是2203y x -=0y ±=故选：A 【点睛】本题考查的是由双曲线的方程得其渐近线方程，简单题.6．已知()f x 是奇函数，其部分图象如图所示，则()f x 的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据奇函数的图象关于原点对称可直接选出答案. 【详解】因为奇函数的图象关于原点对称，所以()f x 的图象是故选：B 【点睛】本题考查的是奇函数的图象特点，较简单.7．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知6A π=，4B π=，3a =，则b =（ ） A ．6 B ．33C ．32D 6【答案】C【解析】利用正弦定理直接求得结果. 【详解】由正弦定理sin sin a b A B =得：3sinsin 421sin sin 62a Bb A ππ====故选：C . 【点睛】本题考查正弦定理解三角形的问题，属于基础题. 8．设a R ∈，则“1a =”是“21a =”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】利用定义法判断即可. 【详解】当1a =时，21a =，充分性成立；反过来，当21a =时，则1a =±，不一定有1a =， 故必要性不成立，所以“1a =”是“21a =”的充分而不必要条件. 故选：A 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，本题采用的是定义法，考查学生逻辑推理能力，是一道容易题.9．若实数x ，y 满足不等式组40400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值是（ ）A ．0B ．4C ．8D ．12【答案】C 【解析】画出不等式组表示的平面区域，然后令2x y z +=，即122zy x =-+，然后可得答案. 【详解】不等式组4040x yx yy-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域如图，令2x y z+=，即122zy x=-+，由图可得当直线122zy x=-+过点()0,4时z最大，最大值为8故选：C【点睛】本题考查的是线性规划，准确地画出可行域是解题的关键，较简单. 10．已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．1 B．32C．3 D．92【答案】B【解析】分析三视图可知，该几何体为三棱锥，再利用体积公式求解即可. 【详解】解：由三视图可知该几何体为三棱锥，直观图如图，故体积为113333322V=⨯⨯=故选：B.【点睛】本题主要考查了根据三视图求解三棱锥的体积问题,属于基础题型. 11．已知实数x ，y 满足221x y +=，则xy 的最大值是（ ）A ．1B 3C ．22D ．12【答案】D【解析】根据222x y xy +≥求解即可. 【详解】解：因为222x y xy +≥，所以222=1y x x y +≤，得12xy ≤. 故选：D. 【点睛】本题考查利用222x y xy +≥求最值，是基础题.12．已知向量a ，b 满足1a =，2b =，1a b ⋅=，则a 与b 的夹角是（ ） A ．30° B ．45°C ．60°D ．120°【答案】C【解析】直接根据向量夹角公式求解. 【详解】由已知1a =，2b =，1a b ⋅=得1cos ,2a b a b a b ⋅==，又0,a b π≤≤，所以a 与b 的夹角为60︒， 故选：C. 【点睛】本题考查求向量夹角，考查基本分析求解能力，属基础题.13．已知角α为第四象限角，α的终边与单位圆交于点3,5P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则sin 4πα⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ）A ．10-B ．10C ．10D ．10【答案】A【解析】首先求出m ，然后由任意角的三角函数的定义得cos α和sin α，然后由正弦的两角和计算公式可得πsin α4⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 【详解】因为角α为第四象限角，α的终边与单位圆交于点3,5P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以45m =- 所以由任意角的三角函数的定义得4sin 5α=-，35=cos α则πsin α4⎛⎫+= ⎪⎝⎭()sin cos 2αα+= 10- 故选：A 【点睛】本题考查了任意角的三角函数的定义和正弦两角和的计算公式，属于基础题.14．已知α，β是两个不同平面，m ，n 是两条不同直线，则下面说法正确的是（ ） A ．若//αβ，m α⊥，βn//，则//m n B ．.若//αβ，m α⊥，βn//，则m n ⊥ C ．若αβ⊥，//m α，n β⊥，则//m n D ．若αβ⊥，//m α，n β⊥，则m n ⊥ 【答案】B【解析】根据空间中点、线、面的位置关系逐一判断即可. 【详解】若//αβ，m α⊥，βn//，则m n ⊥，故A 错误，B 正确；若αβ⊥，//m α，n β⊥，则m 与n 可以平行、相交或异面，故C 、D 错误； 故选：B【点睛】本题考查的是空间中点、线、面的位置关系，较简单. 15．设数列(){}113n n +-⋅的前n 项和为n S ，则对任意的正整数n 恒成立的是（ ）A ．1n n S S +>B ．1n n S S +<C ．221n n S S ->D ．221n n S S -<【答案】D【解析】由()21222211330n n n n n S S +--=-⋅=-<可得答案.【详解】因为()12113n n n n S S +++-=-⋅，确定不了符号；()21222211330n n n n n S S +--=-⋅=-<，所以221n n S S -<故选：D 【点睛】本题考查的是数列的通项与前n 项和的关系，较简单. 16．已知1a b >>，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．()()log log log log 0a a b b b a ⋅> B ．()()log log log log 0a a b b b a +> C ．()()log log log log 0a b b a a b ⋅> D ．()()log log log log 0a b b a a b +> 【答案】B【解析】由1a b >>可得0log 1a b <<，log 1b a >，然后利用对数的运算法则和运算性质、对数函数的单调性逐一判断即可. 【详解】因为1a b >>，所以0log 1a b <<，log 1b a >，所以()()log log 0,log log 0a a b b b a <>所以()()log log log log 0a a b b b a ⋅<，故A 错误， 同理可得()()log log log log 0a b b a a b ⋅<，故C 错误 令()log 0,1a t b =∈，则1log b a t= 所以()()log log 111log log log log log log log log log log log log t t a a b b a b a b t t t t b a b a t t t t a b a b-+=+=-=-=⋅因为()0,1t ∈，1a b >>，所以log log t t b a >，log 0,log 0t t a b <<，所以log log 0log log t t t t b aa b->⋅，即()()log log log log 0a a b b b a +>，故B 正确 同理可得()()log log log log 0a b b a a b +<，故D 错误 故选：B 【点睛】本题考查了对数的运算法则和运算性质、对数函数的单调性，考查了学生的运算求解能力，属于中档题.17．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，左顶点为A .若点P 为椭圆C上的点，PF x ⊥轴，且sin 10PAF ∠<，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】由题意可得，()()2,0,,0,,b F c A a P c a ⎛⎫-± ⎪⎝⎭，然后可得2sin 10b PAF ∠=<，然后结合222b a c =-和ce a=可得2230e e --<，解出即可.【详解】由题意可得，()()2,0,,0,,b F c A a P c a ⎛⎫-± ⎪⎝⎭所以2sin 10b PAF ∠=<，所以()4422210b b a c a a<++所以()4229b a c a<+，所以()23b a a c <+，所以()2223a c a ac -<+所以22230a ac c --<，所以2230e e --<，解得23e >或1e <- 因为()0,1e ∈，所以2,13e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选：D 【点睛】本题考查的是椭圆离心率的求法，考查了学生的运算求解能力，属于中档题.18．如图，已知直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，侧棱长为2.E ，F 分别是侧面11ACC A 和侧面11ABB A 上的动点，满足二面角1A EF A --为直二面角.若点P 在线段EF 上，且AP EF ⊥，则点P 的轨迹的面积是 （ ）A ．3π B ．23π C ．43π D ．83π 【答案】B【解析】根据已知条件得P 的轨迹为以1AA 为直径的球在三棱柱111ABC A B C -内部的曲面，再根据球的面积公式求解即可. 【详解】解：∵ 二面角1A EF A --为直二面角 ∴ 平面AEF ⊥平面1EFA ，又∵ 点P 在线段EF 上，且AP EF ⊥，AP ⊂平面AEF ，平面AEF平面1EFA EF =∴ AP ⊥平面1EFA ，连接1A P ，∴ AP ⊥1A P ，∴ P 在以1AA 为直径的球上，且P 在三棱柱111ABC A B C -内部， ∴ P 的轨迹为以1AA 为直径的球在三棱柱111ABC A B C -内部的曲面， 又∵ 三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱， ∴ P 的轨迹为以1AA 为直径的球面，占球面的16， ∴ 点P 的轨迹的面积是12463S ππ=⨯=. 故选：B. 【点睛】本题考查立体几何面面垂直的性质定理，考查空间想象能力，是中档题.二、双空题 19．已知A 的方程为()()22221x y -+-=，则其圆心A 坐标为______；半径为______.【答案】()2,2 1【解析】根据圆的方程可直接得到答案. 【详解】 因为A 的方程为()()22221x y -+-=，所以其圆心A 坐标为()2,2，半径为1 故答案为：()2,2；1 【点睛】本题考查的是由圆的标准方程得其圆心坐标和半径，较简单.三、填空题20．已知幂函数()y f x =的图象过点(，则()4f =______. 【答案】2【解析】结合幂函数定义，采用待定系数法可求得()f x 解析式，代入4x =可得结果. 【详解】()y f x =为幂函数，∴可设()f x x α=，()33f α∴=，解得：12α=，()12f x x ∴=，()42f ∴=.故答案为：2. 【点睛】本题考查幂函数解析式和函数值的求解问题，关键是能够明确幂函数的定义，采用待定系数法求解函数解析式，属于基础题.21．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知2AB =，11BC BB ==，则直线1A B 与平面11A B CD 所成角的正弦值是______.【答案】1010【解析】连接1BC ，交1CB 于K ，连接1A K ，易得1BA K ∠为直线1A B 与平面11A B CD 所成的角，再由已知算出1,BK AB 的长度即可得到答案. 【详解】如图，连接1BC ，交1CB 于K ，连接1A K ，由题，11A B ⊥平面11BB C C ，所以11A B ⊥1BC ，又四边形11BB C C 是正方形， 所以1BC ⊥1CB ，11A B 11CB B =，所以1BC ⊥平面11CB A D ，即1BA K ∠为直线1A B 与平面11A B CD 所成的角， 又2AB =，11BC BB ==，所以22115A B AB AA =+=1122BK BC ==，故112102sin 105BK BA K A B ∠===. 10【点睛】本题主要考查利用定义法求线面角，考查学生逻辑推理能力，是一道容易题.22．若数列{}n a 满足12a =，1441n n n a a a +=+，则使得22020n a ≥成立的最小正整数n 的值是______. 【答案】11【解析】根据递推关系式可证得数列{}1n a 为等比数列，根据等比数列通项公式求n a n *∈N 可求得结果. 【详解】()2144121n n n n a a a a +=+=，121n n a a +=，)1121n na a +=，∴数列{}1na +1121a =为首项，2为公比的等比数列， ()11212n na -=⨯，)12121n n a -=⨯-，由22020n a ≥2020n a ≥，即)1220212183721n -≥=⨯≈+，92512=，1021024=且n *∈N ，∴满足题意的最小正整数11n =.故答案为：11. 【点睛】本题考查根据数列递推关系式求解数列通项公式并解不等式的问题，关键是能够通过构造的方式，通过递推关系式得到等比数列的形式，进而利用等比数列通项公式来进行求解.四、解答题23．已知函数()22cos sin 66f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∈R .（Ⅰ）求3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； （Ⅱ）求()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合. 【答案】（Ⅰ）1-；（Ⅱ）1，,6x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭. 【解析】（1）直接代入计算即可；（2）先根据二倍角公式化简，再根据余弦函数的性质求解即可. 【详解】 解：（Ⅰ）22cos sin 1322f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（Ⅱ）由二倍角公式得： ()cos 2cos 263f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以，()f x 的最大值为1. 当且仅当223x k ππ+=时，即()6x k k Z ππ=-∈时，()f x 取得最大值，所以，取得最大值时x 的集合为,6x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查余弦的二倍角公式，三角函数的最大值问题，是基础题.24．在平面直角坐标系中，点()1,0M -，()1,0N ，直线PM ，PN 相交于点(),P x y ，且直线PM 的斜率与直线PN 的斜率的差的绝对值是2. （Ⅰ）求点P 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）设直线l ：()0y kx k =>交轨迹E 于不同的四点，从左到右依次为A ，B ，C ，D .问：是否存在满足AB BC CD ==的直线l ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）()()211y x x =±-≠±；. 【解析】（Ⅰ）根据条件直接建立方程即可；（Ⅱ）假设存在直线l 满足题意，设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，联立直线的方程与21y x =-消元，然后韦达定理再结合点B 是AC 的中点可得2,22k k B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，然后代入21y x =-可解出k ，同理，由BC CD =可解出k .【详解】（Ⅰ）由已知得，2PM PN k k -=，即211y yx x -=+-， 化简得到点P 的轨迹E 的方程为()()211y x x =±-≠±.（Ⅱ）假设存在直线l 满足题意.设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y .由方程组21y kx y x=⎧⎨=-⎩消去y ，整理得210x kx +-=，所以13x x k +=-. 因为AB BC =，所以点B 是AC 的中点，故2,22k k B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.因为点B 在21y x =-上，故22122k k ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，由0k >，得233k =. 同理，由BC CD =得到233k =. 综上可知存在233k =的直线l 满足题意.【点睛】涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.25．设a R ∈，已知函数()22f x x a a x =-+-，[]1,1x ∈-.（Ⅰ）当0a =时，判断函数()f x 的奇偶性； （Ⅱ）当0a ≤时，证明：()22f x a a ≤-+；（Ⅲ）若()4f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）()f x 为偶函数；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【解析】（Ⅰ）利用偶函数的定义可判断()f x 为偶函数. （Ⅱ）利用绝对值不等式可证()22f x a a ≤-+.（Ⅲ）就0a ≤、01a <≤、1a >分类讨论，注意利用（Ⅱ）的结论和绝对值不等式放缩后可求函数的最大值，从而得到实数a 的取值范围. 【详解】（Ⅰ）当0a =时，()2f x x x =+，定义域为[]1,1-，且对于任意的[]1,1x ∈-，有()()2f x x x f x -=+=恒成立，所以函数()f x 为偶函数.（Ⅱ）当0a ≤时，因为[]1,1x ∈-，所以，()2222f x x a a x x a a x =-+-=-+-222222x a a x a a x x a a ≤-++=-++≤-+.即对于任意的[]1,1x ∈-，()22f x a a ≤-+恒成立.（Ⅲ）记()()2211f x x a a x x =-+--≤≤的最大值为M ，则()4f x ≤恒成立4M ⇔≤. （ⅰ）当0a ≤时，由（Ⅱ）可知，对于任意的[]1,1x ∈-，()()221f x a a f ≤-+=-恒成立，所以，22M a a =-+.由2240a a a ⎧-+≤⎨≤⎩解得10a -≤≤. （ⅱ）当01a <≤时，因为[]1,1x ∈-，所以，()22224f x x a a x x a a x =-+-≤+++≤恒成立.（ⅲ）当1a >时，因为[]1,1x ∈-，所以，()2222221124f x x a a x a x a x x a a ⎛⎫=-+-=-+-=-++++ ⎪⎝⎭， 此时21124M f a a ⎛⎫=-=++ ⎪⎝⎭， 由21441a a a ⎧++≤⎪⎨⎪>⎩，得312a <≤. 综上所述，a 的取值范围为31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题含绝对值函数的奇偶性以及与绝对值函数相关的不等式的恒成立，还考查了放缩法，对于不等式的恒成立问题，注意利用绝对值不等式合理放缩，本题属于较难题.。