【三维设计】届高考数学大一轮(夯基保分卷+提能增分卷)第十二章 曲线与方程配套课时训练(含14年最新题及

课时跟踪检测(三十) 等差数列及其前n 项和(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页) 第Ⅰ卷：夯基保分卷1．(2014·泰州模拟)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 9＋a 27＝12，则a 13＝________. 2．已知等差数列{a n }满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n >3)，S n ＝100，则n 的值为________． 3．(2014·镇江月考)已知等差数列{a n }中，a 4＋a 6＝10，前5项和S 5＝5，则其公差为________．4．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10>0并且S 11＝0，若S n ≤S k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 构成的集合为________．5．(2013·南通二模)设等差数列{a n }的公差为正数，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝________.6．(2013·常州质检)设s ，t 为正整数，两条直线l 1：t 2s x ＋y －t ＝0与l 2：t2s x －y ＝0的交点是(x 1，y 1)，对于正整数n (n ≥2)，过点(0，t )和(x n －1,0)的直线与直线l 2的交点记为(x n ，y n )，则x n －y n ＝________(用s ，t ，n 表示)．7．(2013·南京二模)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 7＝13，则S 6S 7＝________.8．(2013·无锡期末)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－7n ，且满足16<a k ＋a k ＋1<22，则正整数k ＝________.9．(2013·苏锡常镇、连云港、徐州六市调研(二))已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且a 3＝a 27，a 2＝a 4＋a 6.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，求满足S n －2a n －20>0的所有正整数n 的集合．10．(2014·南京学情调研)已知数列{a n }的首项a 1＝a ，S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S 2n ＝3n 2a n ＋S 2n －1，a n ≠0，n ≥2，n ∈N *.(1)若数列{a n }是等差数列，求a 的值；(2)确定a 的取值集合M ，使a ∈M 时，数列{a n }是递增数列．第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2013·苏锡常镇、连云港、徐州六市调研(二))设S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，已知S n T n ＝2n ＋14n －2，n ∈N *，则a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝________.2．(2014·盐城二模)在等差数列{a n }中，a 2＝5，a 6＝21，记数列{1a n}的前n 项和为S n ，若S 2n ＋1－S n ≤m15对n ∈N *恒成立，则正整数m 的最小值为________．3．(2014·南通一模)已知数列{a n }中，a 2＝1，前n 项和为S n ，且S n ＝n a n －a 12.(1)求a 1；(2)求证：数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式； (3)设lg b n ＝a n ＋13n，试问是否存在正整数p ，q (其中1<p <q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p ，q )；若不存在，请说明理由．4．(2013·南京、淮安二模)已知数列{a n }的各项都为正数，且对任意n ∈N *，a 2n ＋1＝a n a n＋2＋k (k 为常数)．(1)若k ＝(a 2－a 1)2，求证：a 1，a 2，a 3成等差数列； (2)若k ＝0，且a 2，a 4，a 5成等差数列，求a 2a 1的值；(3)已知a 1＝a ，a 2＝b (a ，b 为常数)，是否存在常数λ，使得a n ＋a n ＋2＝λa n ＋1对任意n∈N *都成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．答 案第Ⅰ卷：夯基保分卷1．解析：等差数列{a n }中，由a 3＋a 9＋a 27＝12得3a 13＝12，所以a 13＝4. 答案：42．解析：由S n －S n －3＝51得，a n －2＋a n －1＋a n ＝51，所以a n －1＝17， 又a 2＝3，S n ＝n a 2＋a n －12＝100，解得n ＝10. 答案：103．解析：由a 4＋a 6＝10，得2a 5＝10， 所以a 5＝5.由S 5＝5a 3＝5，得a 3＝1， 所以d ＝a 5－a 32＝5－12＝2.答案：24．解析：在等差数列{a n }中， 由S 10>0，S 11＝0得，S 10＝a 1＋a 102>0⇒a 1＋a 10>0⇒a 5＋a 6>0， S 11＝a 1＋a 112＝0⇒a 1＋a 11＝2a 6＝0，故可知等差数列{a n }是递减数列且a 6＝0， 所以S 5＝S 6≥S n ，其中n ∈N *， 所以k ＝5或6. 答案：{5,6}5．解析：由条件可知，a 2＝5，从而a 1＋a 3＝10，a 1a 3＝16，得a 1＝2，a 3＝8，公差为3，所以a 11＋a 12＋a 13＝2×3＋(10＋11＋12)×3＝105.答案：1056．解析：法一：点(x n ，y n )满足⎩⎪⎨⎪⎧tx ＋x n －1y ＝tx n －1，t2sx －y ＝0，得到x n ＝2sx n －12s ＋x n －1，y n ＝tx n －12s ＋x n －1，所以x n －y n ＝s －t x n －12s ＋x n －1.点(x 1，y 1)满足⎩⎪⎨⎪⎧t 2s x ＋y －t ＝0，t2s x －y ＝0，解得x 1＝s ，y 1＝t 2，所以x 2＝23s ，y 2＝t 3；x 3＝12s ，y 3＝14t ；x 4＝25s ，y 4＝15t ，…猜想：x n ＝2s n ＋1，y n ＝t n ＋1. 所以x n －y n ＝2s n ＋1－t n ＋1＝2s －tn ＋1. 法二：由法一知x 1＝s ，y 1＝t2，x n ＝2sx n －12s ＋x n －1，y n ＝tx n －12s ＋x n －1由2sx n ＋x n x n －1＝2sx n －1可化为 2sx n－2sx n －1＝1，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫2s x n 是以2sx 1＝2为首项，1为公差的等差数列．所以2s x n ＝2＋(n －1)，得x n ＝2s n ＋1，将其代入y n 得y n ＝t n ＋1，故x n －y n ＝2s －t n ＋1.答案：2s －t n ＋17．解析：由S 3＝3a 2，S 7＝7a 4，S 3S 7＝13得9a 2＝7a 4＝7(a 2＋2d )，即a 2＝7d ，所以a 3＝8d ，a 4＝9d ，从而S 6＝3(a 3＋a 4)＝51d ，S 7＝7a 4＝63d ，故结果为1721.答案：17218．解析：由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1S n －S n －1，n ≥2，可得a n ＝2n －8,16<a k ＋a k ＋1<22，即16<(2k －8)＋(2k －6)<22，所以7.5<k <9，又k ∈N *，所以k ＝8.答案：89．解：(1)由a 3＝a 27 得a 1＋2d ＝(a 1＋6d )2.① 由a 2＝a 4＋a 6得a 1＋d ＝2a 1＋8d ， 即a 1＝－7d .② 将②代入①得－5d ＝d 2.所以d ＝－5或d ＝0(不符合题意．舍去)． 则a 1＝35.所以a n ＝35＋(n －1)(－5)＝－5n ＋40.(2)S n ＝－5n ＋n 2＝n－5n2. 不等式S n －2a n －20>0， 即n－5n2－2(－5n ＋40)－20>0， 整理得n 2－19n ＋40<0. 所以19－2012<n <19＋2012.因为n ∈N *，则19－142≤n ≤19＋142，即52≤n ≤332. 所以所求n 的集合为{3,4，…，16}．10．解：(1)在S 2n ＝3n 2a n ＋S 2n －1中分别令n ＝2，n ＝3及a 1＝a 得(a ＋a 2)2＝12a 2＋a 2，(a ＋a 2＋a 3)2＝27a 3＋(a ＋a 2)2.因为a n ≠0，所以a 2＝12－2a ，a 3＝3＋2a . 因为数列{a n }是等差数列， 所以a 1＋a 3＝2a 2，即2(12－2a )＝a ＋3＋2a ，解得a ＝3. 经检验a ＝3时，a n ＝3n ，S n ＝3n n ＋2，S n －1＝3nn －2满足S 2n ＝3n 2a n ＋S 2n －1.所以a ＝3.(2)由S 2n ＝3n 2a n ＋S 2n －1 得S 2n －S 2n －1＝3n 2a n ，即(S n ＋S n －1)(S n －S n －1)＝3n 2a n ， 故(S n ＋S n －1)a n ＝3n 2a n . 因为a n ≠0，所以S n ＋S n －1＝3n 2(n ≥2)， ① 所以S n ＋1＋S n ＝3(n ＋1)2.② ②－①得a n ＋1＋a n ＝6n ＋3(n ≥2)． ③ 所以a n ＋2＋a n ＋1＝6n ＋9.④④－③得a n ＋2－a n ＝6(n ≥2)，即数列a 2，a 4，a 6，…及数列a 3，a 5，a 7，…都是公差为6的等差数列． 因为a 2＝12－2a ，a 3＝3＋2a ，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ， n ＝13n ＋2a －6，n 为奇数且n ≥3，3n －2a ＋6，n 为偶数，要使数列{a n }是递增数列，须有a 1<a 2，且当n 为大于或等于3的奇数时，a n <a n ＋1，且当n 为偶数时，a n <a n ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <12－2a ，3n ＋2a －n ＋－2a ＋6n 为大于或等于3的奇数，3n －2a ＋n ＋＋2a －6n 为偶数，解得94<a <154.所以集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |94<a <154，当a ∈M 时，数列{a n }是递增数列．第Ⅱ卷：提能增分卷1．解析：因为{a n }，{b n }是等差数列，故b 3＋b 18＝b 6＋b 15，所以a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝a 10＋a 11b 3＋b 18＝a 1＋a 20b 1＋b 20＝S 20T 20＝2×20＋14×20－2＝4178. 答案：41782．解析：由条件得公差d ＝21－54＝4，从而a 1＝1，所以a n ＝4n －3，数列{1a n}的前n 项和为S n ＝1＋15＋…＋14n －3.原不等式可化为14n ＋1＋14n ＋5＋…＋18n ＋1≤m15，记f (n )＝14n ＋1＋14n ＋5＋…＋18n ＋1.因为f (n ＋1)－f (n )＝18n ＋9－14n ＋1<0，故f (n )为单调递减数列，从而f (n )max ＝f (1)＝15＋19＝1445.由条件得m 15≥1445，解得m ≥143，故正整数m 的最小值为5.答案：53．解：(1)令n ＝1，则a 1＝S 1＝a 1－a 12＝0.(2)证明：由S n ＝n a n －a 12，即S n ＝na n2， ①得S n ＋1＝n ＋a n ＋12.② ②－①得(n －1)a n ＋1＝na n ，③于是na n ＋2＝(n ＋1)a n ＋1. ④④－③得na n ＋2＋na n ＝2na n ＋1， 即a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，又a 1＝0，a 2＝1，a 2－a 1＝1，所以数列{a n }是以0为首项，1为公差的等差数列． 所以a n ＝n －1.(3)假设存在正整数数组(p ，q )使b 1，b p ，b q 成等比数列，则lg b 1，lg b p ，lg b q 成等差数列，于是2p 3p ＝13＋q 3q .所以q ＝3q (2p 3p －13)．(*) 易知(p ，q )＝(2,3)为方程(*)的一组解． 当p ≥3，且p ∈N *时，p ＋3p ＋1－2p 3p ＝2－4p3p ＋1<0，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2p 3p (p ≥3)为递减数列， 于是2p 3p －13≤2×333－13<0，所以此时方程(*)无正整数解．综上，存在唯一正整数数组(p ，q )＝(2,3)，使b 1，b p ，b q 成等比数列． 4．解：(1)证明：当k ＝(a 2－a 1)2时，在a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋k 中， 令n ＝1，得a 22＝a 1a 3＋(a 2－a 1)2， 即a 1a 3－2a 1a 2＋a 21＝0.因为a 1>0，所以a 3－2a 2＋a 1＝0， 即a 2－a 1＝a 3－a 2. 故a 1，a 2，a 3成等差数列． (2)当k ＝0时，a 2n ＋1＝a n a n ＋2，n ∈N *. 因为数列{a n }的各项都为正数， 所以数列{a n }是等比数列． 设公比为q (q >0)．因为a 2，a 4，a 5成等差数列，所以a 2＋a 5＝2a 4， 即a 1q ＋a 1q 4＝2a 1q 3.因为a 1>0，q >0，所以q 3－2q 2＋1＝0. 解得q ＝1或q ＝1＋52(负根舍去)．所以a 2a 1＝q ＝1或a 2a 1＝q ＝1＋52.(3)存在常数λ＝a 2＋b 2－kab，使a n ＋a n ＋2＝λa n ＋1. 证明如下：因为a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋k ，所以a 2n ＝a n －1a n ＋1＋k ，n ≥2，n ∈N *. 所以a 2n ＋1－a 2n ＝a n a n ＋2－a n －1a n ＋1， 即a n a n ＋2＋a 2n ＝a 2n ＋1＋a n －1a n ＋1.(*) 由于a n >0，(*)式两边同除以a n a n ＋1 得a n ＋a n ＋2a n ＋1＝a n －1＋a n ＋1a n. 所以a n ＋a n ＋2a n ＋1＝a n －1＋a n ＋1a n ＝…＝a 1＋a 3a 2， 即当n ∈N *，都有a n ＋a n ＋2＝a 1＋a 3a 2a n ＋1. 因为a 1＝a ，a 2＝b ，a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋k ，所以a 3＝b 2－ka.所以a 1＋a 3a 2＝a ＋b 2－k a b ＝a 2＋b 2－kab.所以对任意n ∈N *，都有a n ＋a n ＋2＝λa n ＋1，此时λ＝a 2＋b 2－k ab.。

课时跟踪检测(十一) 函数与方程第Ⅰ组：全员必做题1．(2013·南通期中)用二分法求函数f(x)＝3x －x －4的一个零点，其参考数据如下：据此数据，可得方程3x －x －4＝0的一个近似解为________(精确到0.01)2．(2014·荆门调研)已知函数y ＝f(x)的图像是连续不间断的曲线，且有如下的对应值：则函数y ＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有________个．3．若函数f(x)＝－|x －5|＋2x －1的零点所在的区间是(k ，k ＋1)，则整数k ＝________.4．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①y ＝2x ；②y ＝－2x ；③f(x)＝x ＋x －1；④f(x)＝x －x －1.则输出函数的序号为________．5．[x]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知f(x)＝x －[x](x ∈R)，g(x)＝log4(x －1)，则函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数是________．6．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x －1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．7．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋34，x≥2，log2x ，0<x<2.若函数g(x)＝f(x)－k 有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是________．8．已知0<a<1，k≠0，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ ax ，x≥0，kx ＋1，x<0，若函数g(x)＝f(x)－k 有两个零点，则实数k 的取值范围是________．9．已知函数f(x)＝x3－x2＋x 2＋14. 证明：存在x0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使f(x0)＝x0.10．关于x 的二次方程x2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围．第Ⅱ组：重点选做题1．(2013·盐城三调)若关于x 的方程x2－(a2＋b2－6b)x ＋a2＋b2＋2a －4b ＋1＝0的两个实数根x1，x2满足x1<0<x2<1，则a2＋b2＋4a ＋4的取值范围是________．2．(2014·扬州期末)若函数f(x)＝x3－ax2(a>0)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫203，＋∞上是单调增函数，则使方程f(x)＝1 000有整数解的实数a 的个数是________．答 案第Ⅰ组：全员必做题1．解析：因为函数f(x)＝3x －x －4，令f(a)f(b)<0，则方程f(x)＝0在(a ，b)内有实根，从而x≈1.56.答案：1.562．解析：依题意，f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，故函数y ＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个．答案：33．解析：依题意得f(0)·f(1)>0，f(1)·f(2)>0，f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)>0， 故f(x)的零点所在区间是(2,3)．答案：24．解析：由图可知输出结果为存在零点的函数，因2x>0，所以y ＝2x 没有零点，同样y ＝－2x 也没有零点；f(x)＝x ＋x －1，当x>0时，f(x)≥2，当x<0时，f(x)≤－2，故f(x)没有零点；令f(x)＝x －x －1＝0得x ＝±1.答案：④5．解析：作出函数f(x)与g(x)的图像如图所示，发现有2个不同的交点．答案：26．解析：因为f(x)＝x3＋3x －1是R 上的连续函数，且f(0)<0，f(0.5)>0，则f(x)在x ∈(0,0.5)上存在零点，且第二次验证时需验证f(0.25)的符号．答案：(0,0.5) f(0.25)7．解析：画出函数f(x)的图像如图．要使函数g(x)＝f(x)－k 有两个不同零点，只需y ＝f(x)与y ＝k 的图像有两个不同交点，由图易知k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫34，18．解析：函数g(x)＝f(x)－k 有两个零点，即f(x)－k ＝0有两个解，即y ＝f(x)与y ＝k 的图像有两个交点．分k>0和k<0作出函数f(x)的图像．当0<k<1时，函数y ＝f(x)与y ＝k 的图像有两个交点；当k ＝1时，有一个交点；当k>1或k<0时，没有交点，故当0<k<1时满足题意．答案：0<k<19．证明：令g(x)＝f(x)－x.∵g(0)＝14， g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12＝－18， ∴g(0)·g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0. 又函数g(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上连续， ∴存在x0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使g(x0)＝0， 即f(x0)＝x0.10．解：设f(x)＝x2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0,2]，①若f(x)＝0在区间[0,2]上有一解，∵f(0)＝1>0，则应有f(2)<0，又∵f(2)＝22＋(m －1)×2＋1，∴m<－32. ②若f(x)＝0在区间[0,2]上有两解，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，0<－m －12<2，f 2 ≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m－1 2－4>0，－3<m<1，4＋ m－1 ×2＋1≥0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ m>3或m<－1，－3<m<1，m≥－32.∴－32≤m<－1. 由①②可知m 的取值范围(－∞，－1)．第Ⅱ组：重点选做题1．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f 0 <0，f 1 >0 即⎩⎪⎨⎪⎧ a＋1 2＋ b－2 2<4，a ＋b ＋1>0，利用线性规划的知识，问题转化为求区域上的点到点(－2,0)的距离的平方的取值范围．由图可知，所求的最大距离即为点(－2,0)与圆心(－1,2)的连线交圆与另一端点的值，即5＋2.所求的最小距离即为点(－2,0)到直线a ＋b ＋1＝0的距离，即为|－2＋0＋1|2＝12，所以a2＋b2＋4a ＋4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫122， 5＋2 2，即a2＋b2＋4a ＋4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，9＋45. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，9＋45 2．解析：令f′(x)＝3x2－2ax>0，则x>2a 3或x<0. 由f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫203，＋∞上是单调增函数知⎝ ⎛⎭⎪⎫203，＋∞⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，＋∞，从而a ∈(0,10]．由f(x)＝1 000得a ＝x －1 000x2，令g(x)＝x －1 000x2，则g(x)在(0，＋∞)上单调递增，且与x 轴交于点(10,0)，在同一直角坐标系中作出函数g(x)与y ＝a(0<a≤10)的大致图像(如图所示)．当a ＝10时，由f(x)＝1 000得x3－10x2－1 000＝0.令h(x)＝x3－10x2－1 000，因为h(14)＝－216<0，h(15)＝125>0，所以方程x3－10x2－1 000＝0在区间(14,15)上存在根x0，因此从图像可以看出在(10，x0]之间f(x)＝1 000共有4个整数解．答案：4。

课时跟踪检测(五十) 抛 物 线第Ⅰ组：全员选做题1．(2013·扬州期末)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点也是双曲线x2－y2＝8的一个焦点，则p ＝________.2．(2014·苏州模拟)顶点在原点且以双曲线x23－y2＝1的右准线为准线的抛物线方程是________．3．已知抛物线y2＝2px(p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为________．4．已知抛物线y2＝2px 的焦点F 与双曲线x27－y29＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上，且|AK|＝2|AF|，则△AFK 的面积为________．5．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．若AB 的中点的坐标为(2,2)，则直线l 的方程为________．6．(2013·江西高考)抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F ，其准线与双曲线x23－y23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.7．(2013·苏州暑假调查)抛物线C ：y2＝4x 的焦点为F ，点P 在抛物线上，且PF ＝3，则点P 到直线x ＝－1的距离为________．8．(2013·南京二模)若抛物线y2＝2x 上的一点M 到坐标原点O 的距离为3，则M 到该抛物线焦点的距离为________．9．(2013·天津调研)设F 是抛物线C1：y2＝2px(p>0)的焦点，点A 是抛物线与双曲线C2：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的一个公共点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为________．10．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其焦点F 的距离为5，该抛物线的顶点在直线MF 上的射影为点P ，则点P 的坐标为________．第Ⅱ组：重点选做题1．(2013·苏北四市二调)已知点A(0,2)，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F ，准线为l ，线段FA 交抛物线于点B ，过B 作l 的垂线，垂足为M ，若AM ⊥MF ，则p ＝________.2．已知过点P(4,0)的直线与抛物线y2＝4x 相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y21＋y22的最小值是________．3．(2014·荆州模拟)如图，直线AB 经过抛物线y2＝2px 的焦点F ，交抛物线于点A 、B ，交抛物线的准线l 于点C ，若BC ＝－2BF ，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为________．4．(2014·黄冈月考)如图，A1，A2，A3，…，An 分别是抛物线y ＝x2上的点，A1B1垂直于x 轴，A1C1垂直于y 轴，线段B1C1交抛物线于A2，再作A2B2⊥x 轴，A2C2⊥y 轴，线段B2C2交抛物线于A3，这样下去，分别可以得到A4，A5，…，An ，其中A1的坐标为(1,1)，则S矩形AnBnOCn ＝________.答 案第Ⅰ组：全员必做题1．解析：抛物线y2＝2px 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，双曲线x2－y2＝8的右焦点为(4,0)， 故p 2＝4，即p ＝8. 答案：82．解析：双曲线x23－y2＝1的右准线为x ＝33＋1＝32，设所求抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，则p 2＝32，即p ＝3，所以抛物线方程是y2＝－6x. 答案：y2＝－6x3．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题知抛物线的焦点坐标为F(p 2，0)，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p 2，将其代入抛物线方程得y2＝2px ＝2p(y ＋p 2)＝2py ＋p2，所以y2－2py －p2＝0，所以y1＋y22＝p ＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x ，准线方程为x ＝－1.答案：x ＝－14．解析：由题可知抛物线焦点坐标为F(4,0)．过点A 作直线AA′垂直于抛物线的准线，垂足为A′，根据抛物线定义知，|AA′|＝|AF|，在△AA′K 中，|AK|＝2|AA′|，故∠KAA′＝45°，所以直线AK 的倾斜角为45°，直线AK 的方程为y ＝x ＋4，代入抛物线方程y2＝16x 得y2＝16(y －4)，即y2－16y ＋64＝0，解得y ＝8.所以△AFK 为直角三角形，故△AFK的面积为12×8×8＝32. 答案：325．解析：由于抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以抛物线的方程为y2＝4x.显然当直线的斜率不存在或为零时不满足题意，故设直线l 的方程为y －2＝k(x －2)，其中k≠0，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋－2k ，y2＝4x ，消去y 得k2x2＋[4k(1－k)－4]x ＋4(1－k)2＝0，显然4k2－4k ＋42k2＝2，解得k ＝1.故直线l 的方程为y ＝x.答案：y ＝x6．解析：由x2＝2py(p>0)得焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线l 为y ＝－p 2，所以可求得抛物线的准线与双曲线x23－y23＝1的交点 A ⎝⎛⎭⎪⎫－12＋p22，－p 2， B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋p22，－p 2， 所以|AB|＝ 12＋p2，则|AF|＝|AB|＝ 12＋p2，所以p |AF|＝sin π3，即p 12＋p2＝32， 解得p ＝6.答案：67．解析：由抛物线C ：y2＝4x 知其准线为x ＝－1，根据抛物线定义得点P 到直线x ＝－1的距离d ＝PF ＝3.答案：38．解析：设点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫t22，t ，t>0，则 ⎝ ⎛⎭⎪⎫t222＋t2＝3，即t4＋4t2－12＝0，解得t2＝2或t2＝－6(舍)，故M(1，±2)．又抛物线的准线方程为x ＝－12，故点M 到准线距离为32，即M 到其焦点距离为32. 答案：329．解析：由题意知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，不妨取双曲线的渐近线为y ＝b a x ，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝b a x ，y2＝2px 得x ＝2pa2b2.因为AF ⊥x 轴，所以xA ＝p 2，即2pa2b2＝p 2，解得b2＝4a2，即b2＝4a2＝c2－a2，所以c2＝5a2，即e2＝5，所以离心率e ＝ 5. 答案： 510．解析：抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p 2.因为|MF|＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2＝5，所以p ＝8.所以抛物线方程为y2＝16x ，即m2＝16，所以m ＝4.即M(1,4)，则直线MF 的方程为4x ＋3y －16＝0，斜率为－43.因为OP ⊥MF ，所以OP 的斜率为34，即直线OP 的方程为y ＝34x ， 即3x －4y ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋3y －16＝0，3x －4y ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6425，y ＝4825，即点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫6425，4825. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫6425，4825 第Ⅱ组：重点选做题1．解析：由抛物线的定义得BM ＝BF ，又因为AM ⊥MF ，所以点B 为线段AF 的中点，由于A(0,2)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，从而点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 4，1在抛物线y2＝2px(p>0)上，所以1＝2p·p 4，于是p ＝ 2. 答案： 22．解析：当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝4，代入y2＝4x ，得交点为(4,4)，(4，－4)，∴y21＋y22＝16＋16＝32.当直线斜率存在时，设直线方程为y ＝k(x －4)，与y2＝4x 联立，消去x 得ky2－4y －16k ＝0.由题意知k≠0，则y1＋y2＝4k， y1y2＝－16.∴y21＋y22＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16k2＋32>32. 综上知，(y21＋y22)min ＝32.答案：323．解析：作AA1⊥l ，BB1⊥l ，垂足分别为A1，B1，∵|BC|＝2|BF|，∴cos ∠B1BC ＝12，∠B1BC ＝60°，即直线AB 的倾斜角为60°，所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3－p 2，332，代入方程得p ＝32或p ＝92，又点A 在点B 的右边，所以方程为y2＝3x. 答案：y2＝3x4．解析：设An 的坐标为(xn ，x2n )，则Bn 、Cn 的坐标分别为(xn,0)、(0，x2n )，Bn 、Cn 所在的直线方程是x xn ＋y x2n ＝1，由An ＋1(xn ＋1，x2n ＋1)在这条直线上得xn ＋1xn ＋x2n ＋1x2n ＝1，整理得⎝⎛⎭⎪⎫xn ＋1xn 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫xn ＋1xn －1＝0 ⇒xn ＋1xn ＝－1±52， 而xn>0，∴xn ＋1xn ＝－1＋52. 所以数列{xn}是以－1＋52为公比、1为首项的等比数列，∴xn ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋52n －1. 所以S 矩形AnBnOCn ＝xn·x 2n ＝(xn)3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫5－12n －13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫5－123n －1＝(5－2)n －1. 答案：(5－2)n －1.。

课时跟踪检测(四十一) 直线、平面平行的判定与性质第Ⅰ组：全员必做题1．(2014·常州模拟)给出下列命题：(1)若线段AB在平面α内，则直线AB上的点都在平面α内；(2)若直线a在平面α外，则直线a与平面a没有公共点；(3)两个平面平行的充分条件是其中一个平面内有无数条直线平行于另一个平面；(4)设a，b，c是三条不同的直线，若a⊥b，a⊥c，则b∥c.上述命题中，假命题的序号是________．2．(2014·河北教学质量检测)已知α，β是两个不同的平面，给出下列四个条件：①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；④存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α.可以推出α∥β的是________(填写序号)．3．(2014·南通一模)关于直线m，n和平面α，β有以下四个命题：(1)若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n；(2)若m∥n，m⊂α，n⊥β，则α⊥β；(3)若α∩β＝m，m∥n，则n∥α且n∥β；(4)若m⊥n，α∩β＝m，则n⊥α或n⊥β.其中假命题的序号是________．4．(2014·南京一模)已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题：(1)若l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则α∥β；(2)若l⊂α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；(3)若α∥β，l∥α，则l∥β；(4)若l⊥α，m∥l，α∥β，则m⊥β.其中真命题是________(填序号)．5．(2013·盐城二调)已知l是一条直线，α，β是两个不同的平面．若从“①l⊥α；②l∥β；③α⊥β”中选取两个作为条件，另一个作为结论，试写出一个你认为正确的命题________(请用序号表示)．6．(2014·惠州调研)已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的有________．①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m∥α，m∥β，则α∥β；④若m⊥α，n⊥α，则m∥n.7．在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，有平面D1BQ∥平面PAO.8．设α，β，γ为三个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m ，n ⊂γ，且________，则m ∥n ”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n ⊂β；②m ∥γ，n ∥β；③n ∥β，m ⊂γ.可以填入的条件有________．9.已知直三棱柱ABC ­A ′B ′C ′满足∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝12AA ′＝2，点M ，N 分别为A ′B ，B ′C ′的中点．(1)求证：MN ∥平面A ′ACC ′；(2)求三棱锥C ­MNB 的体积．10．(2013·江苏高考)如图，在三棱锥S ­ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB .过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：(1)平面EFG ∥平面ABC ；(2)BC ⊥SA .第Ⅱ组：重点选做题1．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊂平面α，CD ⊄平面α，则直线CD 与平面α内的直线的位置关系只能是________．2．(2014·汕头质检)若m ，n 为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中真命题的序号是________．①若m ，n 都平行于平面α，则m ，n 一定不是相交直线；②若m ，n 都垂直于平面α，则m ，n 一定是平行直线；③已知α，β互相平行，m ，n 互相平行，若m ∥α，则n ∥β；④若m ，n 在平面α内的射影互相平行，则m ，n 互相平行．答 案第Ⅰ组：全员必做题1．解析：对于(1)，若线段AB在平面α内，则A，B∈α，故由公理1可得直线AB上的点都在平面α内；对于(2)，直线a在平面α外还包含直线a与平面α相交；对于(3)，两个平面平行，则一个平面内所有直线都平行于另一个平面，故其中一个平面内有无数条直线平行于另一个平面是其必要条件；对于(4)，b，c还可能相交或异面．故(2)(3)(4)为假命题．答案：(2)(3)(4)2．解析：对于②，平面α与β还可以相交；对于③，当a∥b时，不一定能推出α∥β，所以②③是错误的，易知①④正确．答案：①④3．解析：(1)中，m，n也可以相交，故(1)是假命题；(2)正确；(3)中，n还可以在α内或β内，故(3)是假命题；(4)中，只有当α⊥β时，命题才成立．故假命题的序号是(1)(3)(4)．答案：(1)(3)(4)4．解析：(1)只有当l与m相交时，才可得到α∥β；(3)l可能在平面β内；(2)(4)正确．答案：(2)(4)5．解析：由两个作为条件，另一个作为结论的所有可能情形有：①②→③；①③→②；②③→①.其中①③→②不正确，l还可以在平面β内；②③→①不正确，l还可以在平面α内，也可以平行于平面α；①②→③是正确命题．答案：①②→③6．解析：若m∥α，n∥α，m，n可以平行，可以相交，也可以异面，故①不正确；若α⊥γ，β⊥γ，α，β可以相交，故②不正确；若m∥α，m∥β，α，β可以相交，故③不正确；若m⊥α，n⊥α，则m∥n，④正确．答案：④7．解析：假设Q为CC1的中点，因为P为DD1的中点，所以QB∥PA.连结DB，因为P，O 分别是DD1，DB的中点，所以D1B∥PO，又D1B⊄平面PAO，QB⊄平面PAO，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO.故Q满足条件Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面PAO.答案：Q为CC1的中点8．解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．答案：①或③9．解：(1)证明：如图，连结AB′，AC′，∵四边形ABB ′A ′为矩形，M 为A ′B 的中点，∴AB ′与A ′B 交于点M ，且M 为AB ′的中点，又点N 为B ′C ′的中点，∴MN ∥AC ′，又MN ⊄平面A ′ACC ′，且AC ′⊂平面A ′ACC ′，∴MN ∥平面A ′ACC ′.(2)由图可知V C ­MNB ＝V M ­BCN ，∵∠BAC ＝90°，∴BC ＝AB 2＋AC 2＝22，又三棱柱ABC ­A ′B ′C ′为直三棱柱，且AA ′＝4，∴S △BCN ＝12×22×4＝4 2. ∵A ′B ′＝A ′C ′＝2，∠B ′A ′C ′＝90°，点N 为B ′C ′的中点，∴A ′N ⊥B ′C ′，A ′N ＝ 2.又BB ′⊥平面A ′B ′C ′，∴A ′N ⊥BB ′，∴A ′N ⊥平面BCN .又M 为A ′B 的中点，∴M 到平面BCN 的距离为22， ∴V C ­MNB ＝V M ­BCN ＝13×42×22＝43. 10．证明：(1)因为AS ＝AB ，AF ⊥SB ，垂足为F ，所以F 是SB 的中点．又因为E 是SA 的中点，所以EF ∥AB .因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC .同理EG ∥平面ABC .又EF ∩EG ＝E ，所以平面EFG ∥平面ABC .(2)因为平面SAB ⊥平面SBC ，且交线为SB ，又AF ⊂平面SAB ，AF ⊥SB ，所以AF ⊥平面SBC .因为BC ⊂平面SBC ，所以AF ⊥BC .又因为AB ⊥BC ，AF ∩AB ＝A ，AF ⊂平面SAB ，AB ⊂平面SAB ，所以BC ⊥平面SAB . 因为SA ⊂平面SAB ，所以BC ⊥SA .第Ⅱ组：重点选做题1．解析：因为AB ∥CD ，AB ⊂平面α，CD ⊂平面α，所以CD ∥平面α，所以CD 与平面α内的直线可能平行，也可能异面．答案：平行或异面2．解析：①为假命题，②为真命题，在③中，n可以平行于β，也可以在β内，故是假命题，在④中，m，n也可能异面，故为假命题．答案：②。