对弧长的曲线积分 课堂教学设计

第十章曲线积分与曲面积分 第一节 对弧长的曲线积分一．对弧长的曲线积分的概念 1．引入平面曲线构件L 的线密度ρ是常数，则平面曲线L 的质量为L M ρ=平面曲线构件L 的线密度ρ非均匀的，即ρ是非常数，却是曲线构件L 上点的函数),(y x f =ρ，则平面曲线构件L 质量的计算是把曲线弧L 分成n 个小段:n s s s ∆∆∆,,,21 ，其中i s ∆也表示第i 段小弧的长（0≥i s ）。

在小段弧i s ∆上任意取一点),(i i ηξ，则该小段弧的质量近似为i i i s f ∆),(ηξ曲线构件L 的质量近似为∑=→∆ni i i i s f 1),(lim ηξλ那么，曲线构件L 的质量为∑=→∆=ni i i i s f M 1),(lim ηξλ其中}{max 1i ni s ∆=≤≤λ2．对弧长的曲线积分的概念定义 设定义在平面曲线L 上的有界函数),(y x f ，将曲线弧L 任意分割成n 小段弧i s ∆，且并以i s ∆表示第i 段小弧的长，在每小段弧i s ∆上任意取一点),(i i ηξ，作和式∑=∆ni iiisf 1),(ηξ当最大小段弧的长趋于零时，和式的极限存在∑=→∆ni i i i s f 1),(lim ηξλ则此极限值称为函数),(y x f 在平面曲线L 上对弧长的曲线积分（或称为第一类曲线积分）。

记作⎰Lds y x f ),(∑=→∆=ni i i i s f 1),(lim ηξλ其中}{max 1i ni s ∆=≤≤λ，),(y x f 叫做被积函数，ds y x f ),(叫做被积表达式，ds 称为弧微分，L 称为积分路径。

如果L 是封闭曲线，则曲线积分记为⎰Lds y x f ),(3．对弧长的曲线积分的性质 对弧长的曲线积分与积分路径无关，即⎰⎰=BAABds y x f ds y x f 弧弧),(),(。

由于对弧长的曲线积分的定义与定积分、重积分的定义类似，因此也有与它们相类似的性质。

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11.1对弧长的曲线积分《高等数学》同济高等数学精品课第11章曲线积分与曲面积分curvillnear integral and surface integral同济高等数学精品课第一节第一类曲线积分问题的提出对弧长的曲线积分的概念对弧长的曲线积分的计算几何意义与物理意义小结思考题作业3第十章曲线积分与曲面积分同济高等数学精品课对弧长的曲线积分一、问题的提出实例曲线形构件的质量匀质之质量M s 分割M1 , M 2 , , M n 1OAByL( i , i ) M iM1 M 2M n 1M i 1si取近似取( i , i ) si , M i ( i , i ) six求和M ( i , i ) sii 1 nn近似值精确值4取极限M lim ( i , i ) si 0i 1同济高等数学精品课对弧长的曲线积分二、对弧长的曲线积分的概念设L为xOy面内一条光滑曲线弧, ① 函数 f ( x , y ) 在L上有界. 在L上任意插入一点列M1 , M 2 , , M n 11.定义把L分成n个小段. 设第i个小段的y长度为si ,又( i , i )为第i个小段上任意取定的②作乘积f ( i , i ) si , 一点, ③ 并作和f ( i , i ) si ,i 1 n( i , i ) M iLM n 1B④ 如果当各小弧段的长度的最大值0时,OAM1 M 2M i 1six5同济高等数学精品课对弧长的曲线积分n注意: 被积表达式都定义在曲线上, si f ( i , i ) 即满足曲线的方程 . i 1 这和的极限存在, 则称此极限为函数f ( x , y ) 在曲线弧L 对弧长的曲线积分或记作第一类曲线积分. 被积函数L f ( x, y )ds, 即nf ( i , i ) si L f ( x, y )ds lim 0 i 1积分弧段弧元素L积分和式曲线形构件的质量M ( x , y )ds6同济高等数学精品课对弧长的曲线积分2. 存在条件当f ( x , y )在光滑曲线弧L上连续,对弧长的曲线积分3. 推广L f ( x, y )ds 存在.函数f ( x , y , z )在空间曲线弧上对弧长的曲线积分为f ( x , y , z )ds lim f ( i , i , i ) si 0i 1n同济高等数学精品课对弧长的曲线积分注意(1) 若L (或)是分段光滑的, ( L L1 L2 )L L12f ( x , y )ds f ( x , y )ds f ( x , y )dsL1 L2(对路径具有可加性)( 2) 函数f ( x , y )在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作L f ( x, y )ds8同济高等数学精品课对弧长的曲线积分4. 性质(1)L[ f ( x, y ) g( x, y )]ds f ( x , y )ds g( x , y )ds L L(2)L kf ( x, y )ds k L f ( x, y )ds (k为常数) L ⌒ f ( x, y )ds ( AB )L (⌒ BA)(3) 与积分路径的方向无关, 即f ( x , y )ds同济高等数学精品课对弧长的曲线积分补充在分析问题和算题时常用的对称性质设函数f ( x运用对称性简化对弧长的曲线积分, y ) 在一条光滑(或分段光滑)的计算时, 应同时考虑被积函数 f ( x , y )与积曲线L上连续, L关于x=0 (或y=0) 对称, 则分曲线L的对称性.L f ( x, y )ds1当f ( x , y ) 是L上关于x (或y)的奇函数0 , 2 f ( x , y )ds , 当 f ( x , y ) 是L上关于x (或y)的偶函数LL1是曲线L落在y (或x) 轴一侧的部分.同济高等数学精品课对弧长的曲线积分例计算( x y )ds . 其中L是圆周x 2 y 2 R 2 . L3解对称性,得yL Lx 2 y 2 R2L( x y 3 )ds xds y 3ds 0LOx对xds , 因积分曲线L关于x=0对称,被积函数x是L上关于x的奇函数对y 3ds , 因积分曲线L关于y=0对称, LLxds 0被积函数y 3是L上关于y的奇函数y 3ds 0 L11同济高等数学精品课对弧长的曲线积分三、对弧长曲线积分的计算解法化为参变量的定积分计算定理设f ( x , y )在曲线弧L上有定义且连续, x (t ) L的参数方程为( t ),其中y (t )( t ), ( t )在[ , ]上具有一阶连续导数, 且Lf ( x , y )ds f [ ( t ), ( t ) ] 2 (t ) 2 (t )dt对弧长的曲线积分要求ds 0 (1)化为定积分的下限一定要小于上限(2) 积分值与曲线方向无关.注意( )同济高等数学精品课对弧长的曲线积分Lx (t ) L的参数方程为( t ), y (t ) f ( x , y )ds f [ ( t ), ( t ) ] 2 (t ) 2 (t )dt特殊情形(1) L : y ( x ), a x b( )L f ( x, y )ds Lbaf [ x , ( x )] 1 2 ( x )dx (a b)ds 1 2 ( x )dx (2) L : x ( y ), c y df ( x , y )ds f [ ( y ), y ] 1 2 ( y )dy (c d ) c13dds 1 2 ( y )dy同济高等数学精品课对弧长的曲线积分x (t ) L的参数方程为( t ), y (t )L f ( x, y )ds f [ (t ), (t ) ] 特殊情形(3) L : ( ),2 (t ) 2 (t )dt( )f [ ( ) cos , ( ) sin ] 2 ( ) 2 ( )dL f ( x , y )ds推广: x ( t ), y ( t ), z ( t ) ( t )f [ ( t ), ( t ), ( t )] 2 ( t ) 2 ( t ) 2 ( t )dt ( ) 14f ( x , y , z )ds同济高等数学精品课对弧长的曲线积分如果积分路径L是两个曲面的交线1 ( x , y , z ) 0 z f ( x, y) 或z g( x , y ) 2 ( x , y , z ) 0此时需把它化为参数方程(选择x , y , z中某一个为参数), 再按上述方法计算.同济高等数学精品课对弧长的曲线积分例1求I yds , 其中L为y 2 2 x上自原点到Ly ( 0 y 2) 解y 2x x 2 2 1 2 I y 1 y dy (5 5 1) 0 32( 2,2)的一段.对x积分?2yy2 2x( 2,2)Ox例2 求I xyzds , 其中: x a cos , y a sin ,z k 的一段. (0 2 )解I2a 2 cos sin k a 2 k 2d1 2 2 2 ka a k 2同济高等数学精品课对弧长的曲线积分例3 计算L | y | ds, 其中L是右半圆周, 即2⌒ 如图)的解由曲线L(半圆周ABC 2 2 2 方程x y R , 得ds 1 y 2dxx y R ( x 0).2 2AyLB xOCR x2 y2 dx dx 2 | y| yL R 0| y | ds AB ⌒ | y |d s ⌒ | y | d s BCR R R dx 2 R 2 | y | dx | y |0 | y| | y|17同济高等数学精品课对弧长的曲线积分计算| y | ds , 其中L是右半圆周,即L x 2 y 2 R 2 ( x 0).解此题时也可用对称性质L关于x轴对称, | y | 为y的偶函数,故AyLB xL | y | ds 2 ⌒ ydsABOC2R02R y dx y2R同济高等数学精品课对弧长的曲线积分例4 求I x 2 d s ,x2 y2 z2 a2 , 其中为圆周x y z 0.解由于的方程中的x, y, z的地位完全对称, 有1 2 2 2 ( x y z )ds I 3 2 a 2 a 3 ds 3 3x 2ds y 2d s z 2ds( 2 a ds, 球面大圆周长)19同济高等数学精品课对弧长的曲线积分例5 曲线是中心在( R, 0), 半径为R2 2的上半圆周.求提示:用极坐标( x y ) ds同济高等数学精品课对弧长的曲线积分四、几何意义与物理意义几何意义(1) 当f ( x , y ) 1时, L 弧长。

L
L1
L2
二．对弧长曲线积分的计算法
定理 设 f (x, y) 在平面曲线 L 上连续 L 的参数方程为 x (t), y (t) ( t ) 其中(t) 、
(t) 在[, ]上具有一阶连续导数 且2 (t) 2 (t) 0 ，则曲线积分 f (x, y)ds 存在 且有 L
f (x, y)ds f [(t), (t)] 2(t) 2(t)dt ( ) .
高等数学教学教案
第 11 章 曲线积分与曲面积分
授课序号 01
教学基本指标
教学课题 教学方法 教学重点
第 11 章 第 1 节 对弧长的曲线积分 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 对弧长的曲线积分的计算方法
课的类型 教学手段 教学难点
新知识课 黑板多媒体结合 对弧长的曲线积分的计算方法
参考教材 同济七版《高等数学》下册
性质 3（路径可加性) 如果把有向曲线弧 L 分成 L1 和 L2 则
Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy.
L
L1
L2
二．对坐标的曲线积分的计算方法
3
定理 设 P(x, y) , Q(x, y) 是定义在光滑有向曲线 L : x (t), y (t) 上的连续函数 当参数 t 单调地由
c
（3）若空间曲线 L 的方程为 x (t), y (t), z (t) ( t ) ，则
f (x, y, z)ds
f ((t), (t),(t))
2(t) 2(t) 2(t)dt .
L
（4）对弧长的曲线积分的计算方法可以写成：“一定、二代、三替换、下限必定小上限”.“一定”是指确定
性质 1（线性性） 设， 为任意常数 则 [f (x, y) g(x, y)]ds f (x, y)ds g(x, y)ds .