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第十章曲线积分与曲面积分【教学目标与要求】1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。
2.掌握计算两类曲线积分的方法.3.熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数.4.了解第一类曲面积分的概念、性质，掌握计算第一类曲面积分的方法。
【教学重点】1。
两类曲线积分的计算方法；2。
格林公式及其应用；3。
第一类曲面积分的计算方法；【教学难点】1。
两类曲线积分的关系及第一类曲面积分的关系；2.对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算;3。
应用格林公式计算对坐标的曲线积分；6.两类曲线积分的计算方法；7.格林公式及其应用格林公式计算对坐标的曲线积分;【参考书】[1]同济大学数学系.《高等数学(下)》，第五版.高等教育出版社。
[2］同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社.［3］同济大学数学系。
《高等数学习题全解指南(下)》，第六版.高等教育出版社§11.1 对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念与性质曲线形构件的质量:设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上,已知曲线形构件在点(x，y）处的线密度为μ(x，y)。
求曲线形构件的质量.把曲线分成n小段，∆s1，∆s2，⋅⋅⋅,∆s n(∆s i也表示弧长)；任取(ξi,ηi)∈∆s i,得第i小段质量的近似值μ（ξi,ηi）∆s i;整个物质曲线的质量近似为;令λ=max｛∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆s n｝→0,则整个物质曲线的质量为.这种和的极限在研究其它问题时也会遇到。
定义设函数f（x，y）定义在可求长度的曲线L上，并且有界。
，将L任意分成n个弧段：∆s1,∆s2，⋅⋅⋅,∆s n,并用∆s i表示第i段的弧长;在每一弧段∆s i上任取一点(ξi，ηi）,作和；令λ=max｛∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆s n}，如果当λ→0时,这和的极限总存在，则称此极限为函数f（x，y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分,记作,即.其中f(x,y)叫做被积函数,L叫做积分弧段。
第十章曲线积分与曲面积分§ 1对弧长地曲线积分计算公式：无论是对弧长还是对坐标地曲线积分重要地是写出曲线地参数方程x =x t L ：y =y tx = x(t ) L:<y = y(t )"z(t )Lf x,y,z ds - 注意：上限一定要大于下限1.计算下列对弧长地曲线积分<1) \(x 2y 2)2ds ,其中 L 为圆周 x 2y 2=a 2； 解：法一：Q|jx2+y 2)2ds = |J L (a 2)2ds二玄仁 ds =a 4(2二a) =2二a 5法二：_L x =acosv L: 0 心：:2二,匸(x 2 y 2)2ds2二 2 2 2 2 2[a cos ： a si n ] -asi na cos d ：2二 5 . 5ad^ - 2「a<2) \e x yds ,其中L 为圆周x 2■ y 2=a 2,直线y=x 及x 轴在第一象限内所围成地扇形ba 兰t 兰b ,则(f (x, y ps= f a f(x (t ), y(tddbafxt ,y t ,zt解：忆e 拧%s = ( & +廟+ J BO 卅“ ds ,其中故口 e^iyds=e a(2+ — a) -2匕 4<3) L xds ,其中L 为抛物线y =2x 2-1上介于x =0与x=1之间地一段弧;「X =x解：由 L:20<x<1，得、y=2x -1l xds 二 ° x 1亠〔4x 2dx2 3_2(1+16x)2o_17用-1 -32-48<4) L y 2ds ,其中 L 为摆线地一拱 x =a(t - si nt), y =a(1 - cost)(0 — t — 2二)； 解: .L y 2ds = ：0〔a(1-cost)『」a 1-cost ]2a si nt^dt2TI 5=V2a 3「(1 —cost)2dtx = x x = a cos—— x = x 、2 OA: ,0_x_a ,AB:,0, BO: 0_x a y =0 y =as in 4 y = x 2f e x 旳 ds =『少尺 J 12 +02 dxoA-0aoa二ABey ds 二ABe ds二 e ABds4<或]e x 七ds■AB=[4 e ' 严"巧塔“巧 J (一 a sin 盯 + (acos日 j d 日JI4 e a ad ) 4a 二 BO-a-2-2匸2a 一2 2 -------- ■ 2 e x 2 x 2,12 12dx 0-1 a二5二 迈a 3 ： (2sin 2*)2dt =8a 3J6a 3siJI353= 32a 2sin 如-32a」0x 2+y 2+z 2=22 2]x = cosT解：由」 丫，得2X 2+Z2=2,令 < 厂 0兰日兰2兀y = xz = \ 2 sin 71x= cos 日sin 5 -dt <令—-v4 2 256 3a5 3 15<5) “L xyds ，其中L 为圆周x 2 y 2 =a 2 ； 解：利用对称性J |xyds = 4jJxyds ,其中 Lix = a cos 日 0<6y = a sinJI< 一2[xy ds = 4『xy ds = 4 fxyds迟,=4 02 (acos R(asin v) (-asin v)2 (acosv)2dv"a 3jcosrsin=2a 3sin =-2a 3<6)-x 2y 22ds ,其中-为曲线 z 2X =e t cost ,y =e t si nt ,z =e t 上相应于 t 从 0 变到 2 地------ 2 -- 1 ---- 2 ---- cost )]2 +[(£ sin t )]2 +e 2t dte tcost ]亠[d sin t ]亠[d =—fe^dt =^(1 —e‘) 2 02<7)广yds ,其中-为空间圆周:x 2 + y 2 + z 2 =2』=x弧段; 解：故丫: * y = cos日0兰日乞2兀.故z = J2s in。
第十章曲线积分与曲面积分习题简答习题10—11 计算下列对弧长的曲线积分：（1）LIxds ，其中L 是圆221xy中(0,1)A 到11(,)22B 之间的一段劣弧；解:1(1)2．（2）(1)Lx y ds，其中L 是顶点为(0,0),(1,0)O A 及(0,1)B 所成三角形的边界；解:(1)322Lxyds．（3）22Lxy ds，其中L 为圆周22x yx ；解:222Lxy ds．（4）2Lx yzds ，其中L 为折线段ABCD ，这里(0,0,0)A ，(0,0,2),B (1,0,2),C (1,2,3)D ；解:2853Lx yzds ．2 求八分之一球面2221(0,0,0)xyzx y z 的边界曲线的重心，设曲线的密度1。
解故所求重心坐标为444,,333．习题10—21 设L 为xOy 面内一直线y b （b 为常数），证明xyz(0,0,0)A (0,0,2)B (1,0,2)C (1,2,3)D xyoABC(,)0LQ x y dy 。
证明：略.2 计算下列对坐标的曲线积分：（1）Lxydx ，其中L 为抛物线2yx 上从点(1,1)A 到点(1,1)B 的一段弧。
解:45Lxydx 。
（2）Ldy y xdx y x 2222)()(，其中L 是曲线x y11从对应于0x 时的点到2x 时的点的一段弧；解34)()(2222Ldyy xdxy x．（3）,Lydx xdy L 是从点(,0)A a 沿上半圆周222xya 到点(,0)B a 的一段弧；解0.Lydxxdy（4）22Lxy dyx ydx ，其中L 沿右半圆222xya 以点(0,)A a 为起点，经过点(,0)C a 到终点(0,)B a 的路径；解22Lxy dyx ydx44a 。
（5）3223Lx dx zy dy x ydz ，其中L 为从点(3,2,1)A 到点(0,0,0)B 的直线段AB ；解3223Lx dx zy dy x ydz3187874t dt。
第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分一 基本概念定义1 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分） （1）平面曲线()L AB 的积分：()()01(,)d lim(,)nkkkL AB T k f x y s f sλξη→==∆∑⎰（2）空间曲线()L AB 的积分：()()01(,,)d lim(,,)nkkkk L AB T k f x y z s f s λξηζ→==∆∑⎰其中()T λ表示分割曲线()L AB 的分法T 的细度，即n 段曲线弧长的最大值，(,)k k ξη或(,,)k k k ξηζ是第k 段弧上的任意一点。
物理意义：第一类曲线积分表示物质曲线L 的质量，其中被积函数(,)f x y 或(,,)f x y z 表示曲线的线密度。
定义2 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分） （1）平面曲线()L AB 的积分：()()01(,)d (,)d lim[(,)(,)]nkkkk k k L AB T k P x y x Q x y y f xf y λξηξη→=+=∆+∆∑⎰（2）空间曲线()L AB 的积分：()(,,)d (,,)d (,,)d L AB P x y z x Q x y z y R x y z z ++⎰()01lim[(,,)(,,)(,,)]nkkkk k k k k k k k k T k f x f y f z λξηζξηζξηζ→==∆+∆+∆∑其中()T λ表示分割曲线()L AB 的分法T 的细度，即n 段的最大弧长，(,)k k ξη是第k 段弧上的任意一点。
物理意义：第二类曲线积分表示变力F 沿曲线L 所作的功，被积函数(,),(,)P x y Q x y 或(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 表示力F 在各坐标轴上的分量。
二 基本结论定理1 （第一类曲线积分的性质） （1）无向性()()(,)d (,)d L AB L BA f x y s f x y s =⎰⎰．（2）线性性质 (1)(,)d (,)d LLk f x y s k f x y s =⎰⎰；(2)[(,)(,)]d (,)d (,)d LLLf x yg x y s f x y s g x y s ±=±⎰⎰⎰．（3）路径可加性 曲线L 分成两段1L 和2L （不重叠），则12(,)d (,)d (,)d LL L f x y s f x y s f x y s =+⎰⎰⎰．（4）弧长公式d Ls L =⎰(L 表示曲线L 的弧长)．（5）恒等变换 积函数可用积分曲线方程作变换． （6）奇偶性与对称性 如果积分弧段()L AB 关于y 轴对称，()(,)d L AB f x y s ⎰存在，则()()0,(,)(,)d 2(,)d (,)L AB L OB f x y x f x y s f x y s f x y x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰关于是奇函数,，关于是偶函数.其中O 点是曲线弧段()L AB 与y 轴的交点．定理2 （第二类曲线积分的性质） （1）有向性()()(,)d (,)d L AB L BA P x y x P x y x =-⎰⎰．（2）线性性质 (1)(,)d (,)d LLkf x y x k f x y x =⎰⎰；(2) [(,)(,)]d (,)d (,)d L L Lf x yg x y x f x y x g x y x ±=±⎰⎰⎰．（3）路径可加性 曲线L 分成两段1L 和2L （不重叠），则12(,)d (,)d (,)d LL L f x y x f x y x f x y x =+⎰⎰⎰．定理3 （第一类曲线积分与第二类曲线积分的关系）()()d d d d d d d d d d L AB L AB xy z P x Q y R z P Q R s ss s ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭⎰⎰()(cos cos cos )d L AB P Q R s αβγ=++⎰()d L AB =⋅⎰F s其中cos ,cos ,cos αβγ是曲线AB 上的点的切线的方向余弦，且d cos d ,d cos d ,d cos d x s y s z s αβγ===一般地，积分曲线的方向余弦是变量。
第十章曲线积分与曲面积分习题简答习题10—11 计算下列对弧长的曲线积分： （1）LI xds =⎰，其中L 是圆221x y +=中(0,1)A到B 之间的一段劣弧； 解:(1+．（2）(1)L x y ds ++⎰，其中L 是顶点为(0,0),(1,0)O A 及(0,1)B 所成三角形的边界；解:(1)3Lx y ds -+=+⎰．（3）22Lx y ds +⎰，其中L 为圆周22x y x +=；解:222Lx y ds +=⎰．（4）2 Lx yzds ⎰，其中L 为折线段ABCD ，这里(0,0,0)A ，(0,0,2),B (1,0,2),C(1,2,3)D ；解: 2Lx y z d =⎰2 求八分之一球面2221(0,0,0)x y z x y z ++=≥≥≥度1ρ=。
解 故所求重心坐标为444,,333πππ⎛⎫⎪⎝⎭．习题10—21 设L 为xOy 面内一直线y b =（b 为常数），证明xyoABC(,)0LQ x y dy =⎰。
证明：略.2 计算下列对坐标的曲线积分： （1）Lxydx ⎰，其中L 为抛物线2y x =上从点(1,1)A -到点(1,1)B 的一段弧。
解 :45Lxydx =⎰。
（2）⎰-++Ldy y x dx y x 2222)()(，其中L 是曲线x y --=11从对应于0=x 时的点到2=x 时的点的一段弧；解34)()( 2222=-++⎰Ldy y x dx y x ．（3）,Lydx xdy +⎰L 是从点(,0)A a -沿上半圆周222x y a +=到点(,0)B a 的一段弧；解 0.Lydx xdy +=⎰（4）22Lxy dy x ydx -⎰，其中L 沿右半圆222x y a +=以点(0,)A a 为起点，经过点(,0)C a 到终点(0,)B a -的路径；解 22Lxy dy x ydx -⎰44a π=-。
（5）3223Lx dx zy dy x ydz +-⎰，其中L 为从点(3,2,1)A 到点(0,0,0)B 的直线段AB ；解 3223Lx dx zy dy x ydz +-⎰3187874t dt ==-⎰。
第十章曲线积分与曲面积分10.1 对弧长的曲线积分一、求曲线cos,sin,t t tx e t y e t z e===从0t=到任意点间的那段弧的质量，设它各点的密度与该点到原点的距离的平方成反比，且在点(1,0,1)处的密度为1。
1)te-）二、计算下列曲线积分：1. L⎰，其中L为旋轮线：(sin)(1cos)x a t ty a t=-⎧⎨=-⎩（0tπ≤≤2）。
（324aπ）2.()Lx y ds+⎰，其中L是顶点为(0,0),(1,0),(0,1)O A B的三角形边界。
（13. L⎰，其中L是由极坐标曲线,0,r aπθθ===4所围成的区域的边界曲线。
（2(1)a ae aeπ-+4）4.()Lx y z ds++⎰，其中L由直线AB：(1,1,0),(1,0,0)A B及螺线cos,sin,(02)x t y t z t tπ===≤≤组成。
（322+）三、计算L⎰，其中L是由,0y x y y===所围成的第一象限部分的边界。
（2sin cosR R Rπ+4）四、计算L，其中L是圆：2222x y z ax y⎧++=⎨=⎩。
（2aπ2）五、 计算Lxds⎰Ñ，其中L 由直线0,x y x ==及曲线22y x -=所围成的第一象限部分的整个边界。
（+） 10.2 对坐标的曲线积分一、设一质点处于弹性力场中，弹力方向指向原点，弹力大小与质点到原点的距离成正比，比例系数为k 。
若质点从点(0,)a 沿椭圆22221x y a b +=在第一象限部分移动到点(0,)b ，求弹力所做的功。
（221()2k a b -）二、计算曲线积分22(2)(2)Lx xy dx y xy dy ++-⎰，其中L 是抛物线2(11)y x x =-≤≤沿x增加的方向。
（1415-） 三、 计算2y Lxe dy+⎰，其中L是曲线y =从点(0,0)O 到点(1,1)的一段弧。
（2322）四、 计算2222()()Lx y dx x y dy ++-⎰，其中L 是曲线11y x =--从点(0,0)到点(2,0)的一段。
（43）五、 计算 ¼ABCxdy ydx-⎰，其中(1,0),(0,1),(1,0)A B C -，»AB 为圆221x y +=的上半部分，»BC 为L 是一段抛物线21y x=-。
（43π--2）六、 计算Lxdy⎰Ñ，其中L 是由直线123x y+=和两个坐标轴构成的三角形闭路，沿逆时针方向。
（3）七、 计算222()2Ly z dx yzdy x dz -+-⎰，其中L 是曲线23,,x t y t z t ===从t =到1t =的一段弧。
（135）八、已知平面力场{,}F y x =u r，将单位质量的质点M 从坐标原点沿直线移动到椭圆22221x y a b +=在第一象限上，问终点在何处时，力F u r 做功最大？并求出功的最大值。
（max 2ab W =） 10.3 格林公式及其应用一、 利用曲线积分计算由旋轮线 (sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩（0t π≤≤2）与x 轴所围区域的面积。
（23a π）二、 利用格林公式计算下列曲线积分：1.222()()Lx y dx x y dy ++-⎰Ñ，其中L 是顶点为(1,1),(3,3),(3,5)A B C 的三角形的边界，沿逆时针方向。
（12-）2.22Lxy dx x ydy -⎰Ñ，其中L 是圆周222x y R +=的逆时针方向。
（0）3.2222(2)(2)Lxxy y dx x xy y dy+-+-+⎰，其中L 是从点(0,1)A -沿直线1y x =-到点(1,0)M ，再从点M 沿圆周221x y +=的逆时针方向到点(0,1)B 。
（23）4.[()][()]x xLf y e my dx f y e m dy '-+-⎰，其中()f y 具有连续的导数，L是连接点1(0,)A y 和2(0,)B y 的任何路径，且L 与直线AB 所围成的区域的面积为定值S ，L 总是位于直线AB 的左方。
（2121()()()mS f y f y m y y +---）三、 求 22L xdy ydx dy x y -+⎰Ñ，其中L 为正方形1x y +=的逆时针方向。
（2π）四、设曲线积分2)Lxy dx y x dyϕ+(⎰与路径无关，其中)x ϕ(具有连续的导数，且ϕ(0)=0，求)x ϕ(，并计算积分(1,1)2(0,0))xy dx y x dyϕ+(⎰。
（21),2x x ϕ(=）五、求22(2)(2)Ly xy dx xx y dy++++⎰，其中L 是224x y +=的上半圆，由点(4,0)A 到点(0,0)B 的弧段。
（2π）六、求Ly dx x dy+⎰Ñ，其中L 是以(1,0),(0,1),(1,0)A B C -为顶点的三角形的正向边界曲线。
（1-）七、证明：2223(36)(64)x xy dx x y y dy ++-在xOy 面上是某一函数(,)u x y 的全微分，并求(,)u x y 。
（3224(,)3u x y x x y y C =+-+） 八、求抛物线2()(0)x y ax a +=>与x 轴所围区域的面积。
（26a ）九、设()f x 在(,)-∞+∞上有连续导数，求2221()[()1]L y f xy x dx y f xy dy y y ++-⎰，其中L 是从点2(3,)3A 到点(1,2)B 的直线段。
（4-）10.4 对面积的曲面积分一、 计算下列曲面积分：1.22()x y dS ∑+⎰⎰Ò，其中∑是球面2222x y z R++=。
（483R π）2.xyzdS∑⎰⎰，其中∑是平面1x y z ++=在第一卦限部分。
（）3.22()x y dS ∑+⎰⎰Ò，其中∑是由圆锥面z =和平面1z =所围成的圆锥体的表面。
（11)2π）4.()xy yz zx dS∑++⎰⎰，其中∑是圆锥面z =被圆柱面222(0)x y ax a +=>所截下的那块曲面。
（4）5.3zdS∑⎰⎰，其中∑是抛物面222z x y =--（0z ≥）。
（11110π）6.xydS∑⎰⎰，其中∑是曲面22z x y =+（01z ≤≤）在第一卦限的部分。
（1 240）二、求上半球壳2222(0)x y z a z++=≥的质量，此壳的面密度zρ=。
（3a π）三、求均匀曲面z=的重心坐标。
（(0,0,)2a）10.5 对坐标的曲面积分一、把对坐标的曲面积分(,,)(,,)(,,)P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy∑++⎰⎰化为对面积的曲面积分：1. ∑为平面326x y++=在第一卦限部分的上侧。
（1(32)5P Q dS∑++⎰⎰）2. ∑为球面2222x y z a++=的内侧。
（∑-）二、计算()()()f x dydzg y dzdxh z dxdy∑++⎰⎰，其中(),(),()f xg yh z为连续函数，∑为直角平行六面体0,0,0x a y b z c≤≤≤≤≤≤的表面外侧。
（()(0)()(0)()(0)[]f a fg b gh c habca b c---++）三、计算xyzdxdy∑⎰⎰，其中∑为圆柱面222x y R+=在0,0x y≥≥两卦限内被平面0y=及(0)y h h=>所截部分的外侧。
（3213R h）四、 计算()()()y z dydz z x dzdx x y dxdy∑-+-+-⎰⎰Ò，其中∑为圆锥面z =及平面(0)y h h =>所围成的空间区域的整个边界的外侧。
（0）五、计算[(,,)][2(,,)][(,,)]f x y z x dydz f x y z y dzdx f x y z z dxdy∑+++++⎰⎰Ò，其中(,,)f x y z 为连续函数，∑为平面1x y z -+=在第四卦限部分的上侧。
（12）10.6 高斯公式 通量与散度一、利用高斯公式计算曲面积分：1.xydydz yzdzdx zxdxdy∑++⎰⎰Ò，其中∑是由1x y z ++=和三个坐标面所围成的四面体的外侧表面。
（18）2.()()()x y z dydz y z x dzdx z x y dxdy∑-++-++-+⎰⎰Ò，其中∑是椭球面2222221x y z a b c ++=的外侧。
（43abc π）二、求向径{,,}x y z =r通过圆锥体1z =01z ≤≤）全表面外侧的通量。
（π）三、求333x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰，其中∑是球面2222x y z a ++=的上半部分的外侧。
（565a π）四、求2222221[()()][()()][()]3z f a x a y dydz f a x a y dzdx x y z dxdy a y a x ∑++-+++++++⎰⎰其中∑是球面2221x y z ++=的下半部分的上侧，常数1a >，f 可导。
（25π-）五、求2233()(sin )z xz ye dydz x ydzdx x zy dxdy ∑++++⎰⎰，其中∑是下半球面z =的上侧。
（565a π）六、计算(2)x z dydz zdxdy∑++⎰⎰，其中∑为有向曲面22(01)z x y z =+≤≤，其法向量与z 轴正向的夹角为锐角。
（π-2）七、求下列向量场的散度：1.A yz xz xy =++i j k u r（div 0A =u r）2. A =r ru r ，其中x y z =++r i j k（div A =u r ）10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度一、利用斯托克斯公式计算曲线积分：()()()Lz x dx x z dy x y dz-+-+-⎰Ñ，其中L 是椭圆2212x y x y z ⎧+=⎨-+=⎩，从z 轴正向往负向看，L 的方向是顺时针方向。
（2π-）二、求向量场(23)(3)(2)A z y x z y x =-+-+-i j k u r的旋度。
（{2,4,6}A =rot u r ）。
