固体物理学07_01

⎛ 2 ∂2E ⎜= / 2 ∂k x 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 ⎟=⎜ ⎜ *⎟ mz ⎠ ⎜ 0 ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎟ 2 ⎟ E ∂ =2 / 2 ⎟ ∂k z ⎠ 0
⎛ m* ⎜ x 由有效质量的定义： ⎜ 0 ⎜ 0 ⎝
0 =2 / ∂2E 2 ∂k y 0
0 m* y 0
(1) 1
K K K K K =k =k ⋅ p K K (1) n0 ， ∆E1 ( k ) = ⋅ n0 p n0 —— n 0 为 un 0 ( r ) 缩写。 能量一级修正： ∆E ( k ) = n0 m m K K =k K K ∆E ( k ) = ⋅ n0 p n0 为 k 的一次项， m
K
K
K
K
K
K
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固体物理学_黄昆_第七章 半导体电子论_20050406
K K K K K K K K 1 3 E ( k ) ≈ E ( k0 ) + [∇k E ( k )]kK0 ( k − k0 ) + ∑ [∇ 2 ki E ( k )]kK0 i ( ki − k0i ) 2 2 i =1
K K K K K =2k 2 p2 K K K =k ⋅ p + V (r ) + )unk ( r ) = [ E n ( k ) − ]unk ( r ) ——方程的解为晶格周期性函数 整理得到： ( 2m m 2m K K K K K =2k 2 p2 K K K =k ⋅ p + V (r ) + )unk ( r ) = [ E n ( k ) − ]unk ( r ) ，同时利用周期性函数解的条件，即 求解方程 ( 2m m 2m K 可以得到电子的全部能量 E n ( k ) 。 K K K K k ⋅ p 微扰法的中心思想：如果已知 k 0 处的解，利用微扰法则可以得到 k 的解，即原则上布里渊区其
K
K
K
K
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如图 XCH007_001_02 所示。 声子的能量 =Ω ~ k B ΘT ，约为 ~ 10
−2ห้องสมุดไป่ตู้
eV
光子的能量约为 2 eV ~ 3 eV —— 可见光能量范围 —— 在非竖直跃迁过程中可以忽略不计声子的能量。 因此电子跃迁的能量
所以 n 0 p n 0 = 0
K
能量二级修正： ∆E1 ( k ) =
(2)
K
=2 m2
∑∑
ij n'
n0 pi n'0 n'0 p j n0 E n (0) − E n ' (0)
ki k j
K K K K K =2k 2 p2 K K K =k ⋅ p + V (r ) + )unk ( r ) = [ E n ( k ) − ]unk ( r ) 的能量本征值 因此满足方程 ( m 2m 2m K K =2k 2 =2 E n ( k ) = E n (0) + + 2m m 2
K 可以用 u K 来表示。 它任一点的解 u nk nk
0
讨论布里渊区中心 k 0 = 0 的情况 已知晶体中电子在 k 0 = 0 的所有状态：ψ n 0 = e
K K
KK ik ⋅r
K K u nk ( r ) = u n 0 ( r ) 和 E n (0)
K p2 K K K 满足的方程： ( + V ( r )un 0 ( r ) = E n (0)u n 0 ( r ) 2m
K
K
K
K
K
K
K
价带顶部电子的波矢通常在布里渊区边界取值，数量级为布里渊区的范围：
2π ~ 108 cm −1 a
光子的波矢：
2π
λ
~ 10 4 cm −1 —— 远远小于价带顶部电子的波矢。
在竖直跃迁过程中，可以忽略光子的动量，光吸收的跃迁选择定则近似表示为： =k ' ≈ =k
K
K
—— 在跃迁的过程中， 波矢可以看作是不变的， 在能带的图示上， 初态和末态几乎在一条竖直线上， 如图 XCH007_001_01 所示。价带顶和导带底处于 k 空间同一点，这样的跃迁称为竖直跃迁，相应的 半导体称为直接带隙半导体。 2） 非竖直跃迁—— 间接带隙半导体 k 空间，电子吸收光子从价带顶部 k 跃迁到导带底部状态 k ' ，且 k ' ≠ k 。在这一过程中，因为光子 的动量太小，忽略不计，所以单纯吸收光子不能使电子由价带顶跃迁到导带底。因此电子在吸收光 子的同时伴随着吸收或者发出一个声子，以满足动量守恒关系。 该过程的能量守恒为： ∆E k = =ω ± =Ω —— 电子能量差＝光子能量 ± 声子能量
一般温度下，由于热激发价带顶部有少量的空穴，导带底部有少量的电子。如图 XCH007_026_02 所示。这些电子和空穴就是半导体中的载流子，决定了半导体的导带能力。 1. 半导体的带隙 本征光吸收：光照将价带中的电子激发到导带中，形成电子—空穴对，这一过程称为本征光吸收。
本征光吸收过程中光子的能量满足： =ω ≥ E g ， ω =
∑∑
ij n'
n0 pi n'0 n'0 p j n0 E n (0) − E n ' (0)
ki k j
K K =2k 2 =2 选择 k x , k y , k z 为主轴方向后： E n ( k ) = E n (0) + + 2m m 2
∑∑
i n'
n0 pi n'0 n'0 pi n0 E n (0) − E n ' (0)
(1) 1
而 E (k ) = E (k 0 ) +
K
K
=2 =2 =2 2 2 ( k − k ) + ( k − k ) + (k z − k 0 z ) 2 x y 0x 0y * * * 2m x 2m y 2m z
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第七章 半导体电子论
半导体材料是一种特殊的固体材料。固体能带理论的发展对半导体的研究起到了重大的指导作用， 而半导体材料与技术的应用发展又对固体物理研究的深度与广度产生了相对的推进作用。 由于半导体中电子的运动可以是多样化的，其材料的性质与杂质、光照、温度和压力等因素有着密 切的关系。通过半导体物理的研究，可以进一步不断地揭示材料中电子各种形式的运动，阐明它们 运动的规律。 本章研究主要是对半导体中电子的性质作一些初步介绍。 §7.1 半导体的基本能带结构 半导体的能带如图 XCH007_026_01 所示。
有效质量的计算 —— k ⋅ p 微扰法 晶体中电子的波函数可以写成布洛赫波：ψ nk = e
KK ik ⋅r
K K
K u nk ( r )
电子的布洛赫波满足： [
K K KK p2 K KK K K + V ( r )]e ik ⋅r unk ( r ) = E n ( k )e ik ⋅r unk ( r ) 2m
1 1 2 = + 2 * mi m m
∑
n'
在诸多的 n '0 中如果存在一个态，一方面 n '0 pi n 0 不为零，另一方面 E n (0) − E n ' (0) 很小，那么 这一个将起主要作用。 在讨论半导体材料导带Γ（布里渊区中心）点附近的有效质量时起主要作用的是价带，因为导带底与 价带顶的能量相差最小。
∆E k = =ω
K K K K
准动量守恒的选择定则： =k '− =k = p photon ± =q ， =q 声子的准动量 声子的准动量和能带中电子的准动量数量相仿，不计光子的动量 因此 =k '−=k = ± =q —— 在非竖直跃迁过程中，光子提供电子跃迁所需的能量，声子提供跃迁所需的动量。 —— 非竖直跃迁是一个二级过程， 发生几率比起竖直跃迁小得多， 这类半导体称为间接带隙半导体。 直接带隙半导体：GaAs, InSb 间接带隙半导体：Ge, Si 零带隙半导体：α－Sn —— 带隙宽度为零 半导体带隙宽度和类别可以通过本征光吸收进行测定， 还可 以用电导率随温度的变化来测定。 电子－空穴对复合发光 电子－空穴对复合发光是本征光吸收的逆过程，即导带底部的电子跃迁到价带顶部的空能级，发出 能量约为带隙宽度的光子。如图 XCH007_001_03 所示的跃迁过程。 2. 带边有效质量 半导体基本参数之一——导带底附近电子的有效质量和价带顶附近的空穴有效质量。 将电子的能量 E ( k ) 在布里渊区附近按极值波矢 k 0 作泰勒级数展开：
用微扰法求 k 0 = 0 附近的 E n ( k )
K
K
ˆ0 = − 周期性场 V ( r ) 中电子的哈密顿函数： H
K K K ˆ u (0, r k 0 = 0, H ) = E n (0)u n (0, r ) 0 n
将ψ n 0
K
=2 2 K ∇ + V (r ) 2m
K K =k ⋅ p K = un 0 ( r ) 看作是零级波函数， 作为微扰项，假设能带是非简并情况。 m
k i2
和 E (k ) = E (k 0 ) +
K
K
=2 =2 =2 2 2 ( k − k ) + ( k − k ) + (k z − k 0 z ) 2 比较得到有效质量 x y 0x 0y * * * 2m x 2m y 2m z