在生活中应用全等三角形测距离

全等三角形的实际应用全等知识在生产和生活中应用非常广泛，利用三角形全等测距离就是其中一个非常重要且实用的应用问题.在利用三角形全等测距离时，应全面掌握前面学过的SSS，SAS，ASA，AAS判定三角形全等的方法，针对具体问题选择适当的方法来处理实际问题.另外仔细审题，从实际问题出发抽象出数学模型是解决问题的关键.例1 如图1，A，B两个建筑物分别位于河的两岸，要测得它们之间的距离，可以从B出发沿河岸画一条射线BF，在BF上截取BC=CD，过D作DE∥AB，使E，C，A在同一条直线上，则DE的长就是A，B之间的距离.请你说明理由.你还能想出其他的方法吗？图1析解：由题意并结合图形可以知道BC=CD，∠ACB=∠ECD，又因为AB∥DE，所以∠A=∠E或∠ABC=∠EDC.故在△ABC与△EDC中，∠A=∠E，∠ACB=∠ECD，CB=CD，所以△ABC≌△EDC（AAS），所以AB=ED（全等三角形对应边相等），即测出ED之长后即可知道A，B 之间的距离.例2如图2，公园里有一条“Z”字型道路ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段道路旁各有一只小石凳E，F，M，M恰为BC的中点，且E，F，M在同一直线上，在BE道路上停放着一排小汽车，从而无法直接测量B，E之间的距离，你能想出解决的方法吗？请说明其中的道理.图2析解：我们可以通过构造三角形全等间接的测量出B，E之间的距离.因为AB∥CD，所以∠B=∠C.在△BME和△CMF中∠B=∠C，BM=CM，∠BME=∠CMF，所以△BME≌△CMF（ASA），所以BE=CF.故只要测量CF即可得B，E之间的距离.例3 如图3，某公路施工队修公路的过程中需要打通一座小山，现给出小山的俯视图，施工前需要测量出隧道的长度，你能帮助测量人员想出一种办法吗？请画出设计的测量方法图，并说明理由.你还有其他方法吗？图3析解：先在地面上取可以直接到达A点和B点的一点C，连AC并延长到D，使CD=AC；连BC并延长到E，使CE=CB.连DE并测量出它的长度，DE 的长度就是A，B间的距离.理由：根据SAS易证△ACB≌△DCE，从而AB＝DE.。

利用三角形全等解决实际问题三角形全等是几何学中的一个重要概念，它具有广泛的应用。

通过运用三角形全等，我们可以解决实际生活和工作中的很多问题。

本文将介绍三角形全等的定义与性质，并通过几个实例来说明如何利用三角形全等解决实际问题。

三角形全等定义与性质在几何学中，三角形全等是指两个三角形的对应边和对应角完全相等。

当两个三角形的三个边和三个角分别相等时，我们可以得出这两个三角形全等的结论。

换句话说，如果两个三角形的三个边长度和三个夹角大小分别相等，那么这两个三角形就是全等的。

利用三角形全等解决实际问题的实例例1：测量高楼的高度假设我们在测量一座高楼的高度时，无法直接测量，但我们可以通过测量影子的长度来获得一些有用的信息。

为了解决这个问题，我们可以利用三角形全等的原理。

首先，选择一棵垂直于地面的直杆，使得直杆的长度和影子的长度成等比例。

然后，测量直杆的长度和它的投影长度，以及高楼的投影长度。

由于直杆和高楼的投影都是等比例关系，而直杆和影子之间的三角形是全等的，我们可以通过设置一个方程组来解决问题，从而计算出高楼的高度。

例2：求解行走距离假设我们需要从A点到B点行走，但由于某些原因，我们只能从A 点看到B点的某一侧，不直接看到B点。

为了确定行走的距离，我们可以利用三角形全等原理。

首先，从A点出发，设想一条虚拟的直线使其与B点相连。

然后，选择一个合适的地方设立一个测量点C，使得C点能够和B点连成一条直线。

测量AC的长度和∠C的角度。

由于三角形ABC与实际的三角形ABD是全等的，我们可以通过计算得到BD的长度，进而确定行走的距离。

总结通过本文的介绍，我们了解了三角形全等的定义与性质，并且通过两个实际问题的解决，展示了如何利用三角形全等来解决实际问题。

三角形全等在几何学中发挥着重要的作用，通过合理运用三角形全等的原理，我们可以解决许多实际问题，提升工作和生活的效率。

虽然本文只提供了两个实例，但是通过进一步的学习和实践，我们可以应用三角形全等的原理解决更多的实际问题。

利用三角形全等测距离2篇文章1一、什么是三角形全等测距离？三角形全等测距离是指通过观察和测量三角形的各个边长和角度，来确定两个或多个三角形之间的距离。

在实际应用中，我们常常需要测量一些无法直接测量的物体的距离，而三角形全等测距离提供了一种有效的方法。

通过观察和测量三角形的特征，我们可以推导出相似三角形之间的比例关系，从而计算出距离。

二、如何利用三角形全等测距离测量距离？要进行三角形全等测距离的测量，我们需要以下步骤：步骤一：选择一个可测量的标志物体。

在测量过程中，我们需要选择一个已知距离的标志物体作为参照。

这个标志物体可以是任何形状的物体，但是必须要有明确的测量标准。

例如，我们可以选择一根知道长度的杆子或测量单位已知的标尺作为参考。

步骤二：确定视角。

为了进行距离的测量，我们需要确定测量者与被测量物体之间的视角。

视角的选择将直接影响到后续的测量结果。

步骤三：观察和记录。

通过眼睛观察被测物体和标志物体之间的角度和边长关系，并将其记录下来。

这些记录将作为计算距离的依据。

步骤四：计算距离。

利用已知角度和边长的比例关系，我们可以通过简单的几何运算计算出待测物体与标志物体之间的距离。

具体的计算公式可以根据实际情况进行调整，但原理是相同的。

三、三角形全等测距离的应用领域三角形全等测距离在现实生活中有广泛的应用。

以下是其中一些应用场景：1.地图测量在绘制地图时，我们需要准确测量不同地理特征之间的距离，并将其绘制到比例尺上。

利用三角形全等测距离，我们可以通过测量一些关键标志物体之间的距离来计算出其他位置的距离。

2.建筑设计在建筑设计中，我们常常需要测量建筑物与周围地物的距离。

例如，在规划一片土地时，我们需要计算出建筑物与道路、河流等的距离。

通过利用三角形全等测距离，我们可以准确测算出各个位置之间的距离。

3.导航系统导航系统需要准确测量车辆或行人与目标地点之间的距离。

通过利用三角形全等测距离，我们可以在导航系统中引入三角测量的原理，从而提供准确的距离信息。

专训1六种常见的实际应用名师点金：利用三角形全等解决实际问题的步骤：(1)明确应用哪些知识来解决实际问题；(2)根据实际问题抽象出几何图形；(3)结合图形和题意分析已知条件；(4)找到已知与未知的联系，寻求恰当的解决途径，并表述清楚．利用三角形全等测量能到两端的距离1．如图，为了测量出池塘两端A，B之间的距离，在地面上找到一点C，连接BC，AC，使∠ACB＝90°，然后在BC的延长线上确定点D，使CD＝BC，那么只要测量出AD的长度就得到了A，B两点之间的距离．你能说明其中的道理吗(第1题)利用三角形全等求两端的距离2．【中考·宜昌】杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语．其具体信息汇集如下，|如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等．AC，BD相交于O，OD⊥CD垂足为D.已知AB＝20米．请根据上述信息求标语CD的长度．(第2题)利用三角形全等测量物体的内径3．如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，动手制作一个简单的工具，利用三角形全等的知识，求出x.(第3题)利用三角形全等解决工程中的问题4．如图，工人师傅要在墙壁的点O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的点B处打开，墙壁厚35 cm，点B与点O的垂直距离AB长20 cm，在点O处作一直线平行于地面，再在直线上截取OC＝35 cm，过点C作OC的垂线，在垂线上截取CD＝20 cm，连接OD，然后沿着DO的方向打孔，结果钻头正好从点B处打出，这是什么道理`(第4题)利用三角形全等解决面积问题5．育新中学校园内有一块直角三角形(Rt△ABC，∠BAC＝90°)空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在△ABD区域内种植了一串红，在△ACD区域内种植了鸡冠花，并量得两直角边AB＝20 m，AC＝10 m，求两种花草的种植面积各是多少．(第5题)利用角平分线的判定和性质设计方案6．如图，湖边的三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，则可供选择的地方有多少处【导学号：】(第6题)答案1．解：因为∠ACB＝90°，所以∠ACD＝180°－∠ACB＝90°.在△ABC和△ADC中，、⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝DC ，∠ACB＝∠ACD，AC ＝AC ，所以△ABC≌△ADC (SAS )． 所以AB ＝AD. 2．解：∵AB∥DC， ∴∠ABO＝∠CDO. 又∵DO⊥CD， ∴∠CDO＝90°，∴∠ABO＝90°，即BO⊥AB， ∵相邻两平行线间的距离相等， ∴BO＝DO.又∵∠AOB＝∠COD， ∴△BOA≌△DOC.{∴CD＝AB ＝20米．(第3题)3．解：可设计如图所示的工具，其中O 为AC ，BD 的中点． 在△AOB 和△COD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AO ＝CO ，∠AOB＝∠COD，BO ＝DO ，所以△AOB≌△COD (SAS )．所以AB ＝CD ，即CD 的长就是A ，B 间的距离． 因为AB ＝a －2x ， 所以x ＝a －AB 2＝a －CD 2.4．解：在△AOB 和△COD 中，!⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OC ，∠OAB＝∠OCD＝90°，AB ＝CD ，所以△AOB≌△COD (SAS )． 所以∠AOB＝∠COD.又因为∠AOB＋∠BOC＝180°， 所以∠BOC＋∠COD＝180°，即∠BOD＝180°.所以D ，O ，B 三点在同一条直线上． 所以钻头沿着DO 的方向打孔，一定从点B 处打出． 5．解：由已知，AB ＝20 m ，AC ＝10 m .在Rt △ABC 的边AB 上取点E ，使AE ＝AC ＝12AB.连接DE.∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠CAD＝∠BAD.~又∵AD 是△ACD 和△AED 的公共边， ∴△ACD≌△AED (SAS )． ∴S △ACD ＝S △AED .又易得S △AED ＝S △BED ＝12S △ABD .∴S △ACD ＝13S △ABC ＝16×20×10＝1003 m 2.S △ABD ＝2003m 2.答：一串红的种植面积是2003 m 2，鸡冠花的种植面积是1003 m 2.6．解：如图所示．①作出△ABC 的两个内角的平分线，其交点为O 1； ②分别作出△ABC 外角平分线，其交点分别为O 2，O 3. 故满足条件的修建点有三处，即点O 1，O 2，O 3.(第6题)点拨：解题的关键是分情况讨论：分所选位置在三条公路所围三角形的内部和外部两种情况．本章角平分线的性质和判定定理尚未学到，但结合全等三角形的判定及性质，很容易理解角平分线的性质及判定定理．前后呼应相得益彰．。

全等三角形在生活中的应用在全等图形中，全等三角形是最基本，应用最广泛的一类图形，利用全等三角形的有关知识，不仅可以帮助我们进行决策，还可以帮助我们制作一些仪器，现举例说明这个问题，供同学们学习时参考．一、仪器我也会做例1 如图1是小亮做的一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC ，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是角平分线．你能说明其中的道理吗？分析：由已知条件易得△ABC 和△ADC 全等，由全等三角形的对应角相等，可知∠BAC=∠DAC ，即AE 是角平分线．解：已知AB=AD ，BC=DC ，又因为AC 是公共边，所以△ABC ≌△ADC ，所以∠BAC=∠DAC ．所以AE 是角平分线．评析：利用三角形全等的知识，常常可以说明两个角相等的问题．二、巧测内口直径例2 小红家有一个小口瓶（如图2所示），她很想知道它的内径是多少？但是尺子不能伸在里边直接测，于是她想了想，唉！有办法了．她拿来了两根长度相同的细木条，并且把两根长木条的中点固定在一起，木条可以绕中点转动，这样只要量出AB 的长，就可以知道玻璃瓶的内径是多少．你知道这是为什么吗？请说明理由．（木条的厚度不计）分析：只要量出AB 的长，就知道内径是多少？显然只需要说明AB 和CD 相等就行． 解：连结AB ，CD ，因为AO=DO ，BO=CO ， 图 1 图2又因为∠AOB=∠DOC，所以△ABO≌△DCO（SAS）．所以AB=CD，也就是AB的长等于内径CD的长．评析：利用三角形全等的知识，可以说明线段长相等的问题．三、距离相等的解释例3 如图3，从小丽家（C处）到学校A和菜市场B的夹角∠C是锐角，又知道从小丽家到学校、菜市场的距离相等，小丽说学校到路段BC的距离AD与菜市场到路段AC的距离BE相等，你认为她说的有道理吗？请说明理由．分析：只要能说明AD与BE相等，就说明她说的有道理．解：小丽说的有道理，理由如下：图3 已知AC=BC，因为∠ADC=∠BEC=90°，又因为∠C是公共角，所以△ACD≌△BCE，所以AD=BE．即学校到路段BC的距离与菜市场到路段AC的距离相等．你还知道全等三角形有哪些应用，说出来和同学们交流交流！应把握的两种模型利用三角形全等测距离，主要有以下两种模型：一、视线模型当需要测量距离的两个点中有一个点无法接近时，常采用这种方法. 视线法简便易行，但有一定的误差，一般在仅适应于目测的情况下使用. 如：例1如图1所示，在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望，为用炮火实施定点轰炸，需要测量我军阵地与敌军碉堡隔的距离，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来一个办法，他面向碉堡方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐，正好落在碉堡的底部，然后转过一个角度，身体保持刚才的姿势，使视线落在我军一岸的某一点上，接着他用步测法测出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡之间的距离.你能解释其中的道理吗？解：这个战士实际上是运用了全等三角形的知识. 要说明其中的道理，首先要根据实际情景建立数学模型，将情景中示意图抽象为几何图形.如图2所示，我军阵地与敌军碉堡之间的距离无法测量，即AC不可测量，但线段FD的长度可以测得，又因为战士与地面是垂直的，也就是∠BCA＝∠EFD＝90°，另外战士的身高与姿态是不变的，所以BC＝EF，∠ABC＝∠FED.依据“SAS”可知△ABC≌△DEF，所以AC＝FD.所以只要测得FD的距离，就可得到AC的距离.这就是“视线法”的基本模型与解题原理.二、构图模型当需要测量距离的两点均可到达，但两点之间不能通过直接测得距离时，可通过构造两个全等的三角形，进行间接的测量.构图法间接测量的结果比较准确.如：例2如图3所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量这两点之间的距离，但绳子不够长，老师为他出了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B 两点的点C，连接AC并延长到点D，使DC＝AC；连接BC并延长BC到点E，使CE＝CB，连接DE并测出它的长度，DE的长度就是A，B之间的距离.你能说明其中的道理吗？解：池塘两端的A点和B点不好直接测量，取一个可以直接到达A，B两点的点C，连接AC并延长的D，使DC＝AC；连接BC并延长BC到点E，使CE＝CB，这样在△ABC 与△DEC中，有CA＝CD，CB＝CE，且∠ACB＝∠ECD，则依据“SAS”可得△ABC≌△DEC，从而DE＝AB，因为DE是可直接测得的，这样即可得到AB的距离.这就是“构图法”的基本模型与解题原理.。

利用全等三角形测距离的方法宝子们！今天咱们来唠唠一个超有趣的事儿——利用全等三角形测距离。

全等三角形啊，那可是一对长得一模一样的三角形呢。

它们的对应边相等，对应角也相等。

这特性可就被聪明的人儿用来测距离啦。

比如说吧，你站在一个地方，想知道河对岸某个点到你的距离。

但是呢，你又不能直接拿着尺子去量，这时候全等三角形就闪亮登场啦。

你可以在你这边的岸上，找一个点A，然后从这个点出发，沿着河岸走一段距离到点B，再找个合适的角度，比如说让∠ABC是个直角。

然后从点B向对岸的那个目标点C看过去，在这条视线和河岸的交点处标记为点D。

这时候呢，你就构造出了两个三角形啦，一个是△ABC，还有一个是△ABD。

你看啊，∠ABC = ∠ABD = 90°，而且∠BAC和∠BAD是你看同一个方向形成的角，所以这两个角相等，再加上AB是公共边。

这么一来，根据角边角的判定定理，这两个三角形就是全等三角形啦。

那既然全等了，AC和AD的长度就相等喽。

你只要量出AD的长度，就知道河对岸的点C到你的距离啦。

是不是很神奇呢？再比如在野外探险的时候，你想知道两座山之间的距离。

你可以在平地上找一个合适的位置，同样构造出这样的全等三角形。

找个基准点，然后通过测量一些角度和距离，利用全等三角形的性质，就可以算出两座山之间的距离啦。

这种方法就像是我们和数学玩的一个小把戏。

它不需要那些特别高大上的仪器，就靠着我们对全等三角形的了解，就能解决那些看起来很难测量距离的问题。

而且啊，当你通过自己的智慧，用这种方法算出距离的时候，那种成就感简直不要太爽哦。

就像是你和数学之间有了一个小秘密，然后你用这个小秘密解决了实际的大问题呢。

宝子们，是不是也想找个机会去试试这个超酷的测量距离的方法呀 。

第三章 三角形
5 利用三角形全等测距离
学习目标
1.能利用三角形全等解决实际问题 2.感受所学知识与实际生活的联系
在抗日战争期间，为了炸毁 与我军阵地隔河相望的日本鬼子 的碉堡，需要测出我军阵地到鬼 子碉堡的距离。由于没有任何测 量工具，我八路军战士为此绞尽 脑汁，这时一位聪明的八路军战 士想出了一个办法，为成功炸毁 碉堡立了一功.
A
碉堡距离 B
？
步测距离 C D
理由：在△ACB与△ACD中， ∠BAC=∠DAC AC=AC（公共边） ∠ACB=∠ACD=90° △ACB≌△ACD （ASA ） BC= DC （全等三角形的对应边相等 ）
A
B
小明在上周末游览风景区时， 看到了一个池塘 ，他想知道最远 两点A、B之间的距离， 但是他没 有船，不能直接去测。手里只有 一根细长绳子和一把尺子，他怎 样才能测出A、B之间的距离呢？
B
A● B
●
C
DF E
如图所示小明设计了一种测工件内 径AB的卡钳，要使CD=AB问：在卡 钳的设计中，AO、BO、CO、DO 应 满足下列的哪个条件？（ D ） A、AO=CO B、BO=DO
A O D
C、AC=BD
B
C
D、AO=CO且BO=DO
谈一谈你在本节课的收获
方案一：在能够到达A、B的空地上取 一适当点C，连接AC，并延长AC到D， 使CD=AC，连接BC，并延长BC到E， 使CE=BC，连接ED。则只要测ED的长 就可以知道AB的长了 A
●
●
理由: 在△ACB与△DCE中
AC=CD
∠BCA=∠ECD
E
B
C
●
△ACB≌△DCE（SAS）

活动二
提供活动材料： 吸管 曲别针 剪刀 打火机 铁丝 针 胶条 卷尺 纸条 圆规 A4纸 水彩笔
活动二
小组方法展示
活动二
答案揭晓
23.5cm
1号
23.5cm
3号

25.5cm
2号
25.5cm
4号
25.5cm
5号
活动二
组内交流
收获分享
这节课你有什么体会和收获吗？ 与大家一起分享吧！
课外 体验
脚长 23. 23.5 24.0 24.5 25.0 25.5 26.0 26.5 27.0 27.5 （cm) 0
鞋号
23. 23.5 24.0 24.5 25.0 25.5 26.0 26.5 27.0 27.5 0
脚码号 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
活动一
欧码 中国鞋码
(EUR） （CHIN） （厘米）
34
22
35
22.5
36
23
37
23.5
38
24
39
24.5
40
25
4你1 看到了2什5么.5？
42
26
美码 (US)
2 2.5 3.5 4 5 6 7 7.5
8
鞋的内长怎 样来测呢？
活动一
活动二
测量鞋的内长
活动二
提示： 1、每一组用一种方法测出结果，
在A4纸上写清：组号+鞋号+测量数值， 将纸贴到展板上。 有几种方法，可以贴几张。 2、活动中一定注意安全。
1、请同学们根据今天这节内容，写一篇 数学小论文，题目自拟。
2、请同学们回家测一测父母的鞋子内长， 用照片或小视频记录下活动过程。

明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一
个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可
以直接到达点A和点B的点C，连接AC并延长到D，使
CD=AC；连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE并测量
出它的长度，DE的长就是A，B间的距离。 你能说明
其中的道理吗？请把你的思路写下来。
解：在△ABC与△DEC 中
接着，他用步测的办法量出自己与那个点的 距离，这个距离就是他与碉堡间的距离。 你能解释其中的道理吗？
D
A
B
C
在△ABD和△CBD中，
∠ADB= ∠CDB
∵
BD=BD
∠ABD= ∠CBD
∴ △ABD≌△CBD （ASA） ∴ AB=BC （全等三角形的对应边相等）
如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小
随堂检测
1. 如图要测量河两岸相对的两点A、B的距离， 先在AB 的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC， 再定出BF的垂线DE，可以证明△EDC≌△ABC， 得ED=AB，因此，测得ED的长就是AB的长。
判定△EDC≌△ABC的理由是( B )
A、SSS B、ASA A C、AAS D、SAS ●
AC＝DC（已知）Fra bibliotekA∵ ∠ACB＝∠DCE（对顶角相等）
E
BC＝EC（已知）
C
∴ △ABC≌ △DEC (SAS)
∴ AB=DE（全等三角形对应边相等） B
D
归纳总结
利用三角形全等测距离的 目的、依据、关键： 目的：变不可测距离为可测距离。 依据：全等三角形的性质。 关键：构造全等三角形。 构造全等三角形的方法：延长法
的理由是( D )
D
A、SSS

全等直角三角形在实际生活中的应用全等直角三角形是一种非常常见且有趣的几何形状。

它在实际生活中有许多应用，下面将介绍其中一些。

建筑设计全等直角三角形在建筑设计中经常被用来计算和确定角度、长度和比例关系。

例如，在设计一个房屋的楼顶斜坡时，建筑师可以利用全等直角三角形的性质来确定合适的斜坡角度以及相关的长度关系。

地理测量全等直角三角形被广泛应用于地理测量领域。

它们可以用来测量难以达到的地点的高度或长度。

例如，在测量一个高山的高度时，可以使用全等直角三角形的原理来计算高山的高度与测量地点的距离。

航海导航全等直角三角形在航海导航中也起着重要的作用。

通过使用全等直角三角形的特性来测量方向和角度，船舶的航向和位置可以被准确地确定。

这对于导航和航海安全至关重要。

数学教学全等直角三角形在数学教学中是一个重要的概念，它帮助学生理解几何学基本原理。

通过实际应用，学生可以更容易地理解全等直角三角形的性质，并将其应用到解决实际问题中。

工程设计除了建筑设计之外，全等直角三角形在其他工程设计领域也起着重要的作用。

例如，在电子工程中，全等直角三角形的性质可以帮助工程师计算电路元件的有效阻抗和相位差。

这对于电路的正确设计和性能优化至关重要。

总结全等直角三角形在实际生活中有许多应用。

无论是在建筑设计、地理测量、航海导航还是数学教学和工程设计中，全等直角三角形的性质都发挥着重要的作用。

了解并应用这些性质可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。

‘ ：AB} }CD．
．‘．[ B=￡C．
C
，
D

图l
又。? BE=CF，BM=CM，
{
面汹}2歹
．·．△BME錾△CMF ?。厶EMB=厶FMC． 7．厶EMF=厶EMB七厶BMF=厶FMC+厶BMF=厶BMC=1 800，
故三条石凳E、F、M恰好在同一条直线上． 二、说理型 例2小丽同学的三角形红领巾如图2所示，不小心撕下了一 个角，小丽想找一块同色 的布料缝补，想出了以下
离的方法，并说明其中的道理． 分析：本题是一道开放性试题，答案不唯
一．如图5，解题的关键是构造出△ABC錾
△ 肋 C， 利 用 全 等 三 角 形 的 性 质 得 肋 =AB， 从
澎
而得出被测距离．解决方案设计型问题通常要 先画出草图．
解： 如图5，在 AB的 垂线卯 上取两 点c 、D，使 cD=曰C，作BF的垂
的 中 点 上 ． 试 判 断 三 条 石 凳 E、 肘 、 胎 好 在 同 一 条 直 线 上 吗 ?请 说 明
理由．
分析：要判断三条石凳E、膨、别是 A
E
B
否 在 同 一 条 直 线 上 ， 只 要 判 断 ￡ E胛
=180。是否成立．
解：三条石凳E、，、M恰好在同一
条直线上．理由如下：
连 结 觚 、 MF
线DE，使A、c、E在同一条直线上，根据“A鼢”可以证明△ABc兰
△ 肋 C， 从 而 得 肋 =A曰 ． 因 此 ， 测 得 册 的 长 就 是 A、 B
两点之间的距离．
评点：在测量某些不 能直接到达的两点之间
的距离时，常常通过作出 新的图形，将它从一个位置转化到另一个能够测出的与之相等的

生活中的“利用三角形全等测距离”利用三角形全等测距离实际就是构造两个全等的三角形，通过全等三角形对应边相等这一性质，把较难测得长度的线段，转化为已知的或是较易得到结果的线段．［例1］某铁路施工队在建设铁路的过程中，需要打通一座小山，设计时要测量隧道的长度．小山前面恰好是一块空地，利用这样的有利地形，测量人员是否可以利用三角形全等的知识测量出需要开挖的隧道的长度说明道理．点拨：A、B两点直接测量有难度，因此，可利用山前面的空地，构造全等的两个三角形，使含AB的一对对应边相等，则测量出对应边的长，即得出AB 的长．解：方法：可在空地上取一个能直接到达A点、B点的点O，连结AO延长到D，使OD＝OA；连接BO延长到E，使OE＝OB。

连结DE并测出它的长度，则DE的长就是A、B间的距离．如图所示：∴△AOB≌△DOE（SAS）∴AB＝DE（全等三角形，对应边相等）．［例2］如图，要测量河两岸两点A、B间的距离，可用什么方法并说明这样做的合理性．点拨：直接测量A、B间的距离有困难，而若用上题中的方法，则会出现这种情况：得到的O点在河中间，很难取到；即使O点取好，而寻找的全等三角形中AB的对应边CD的两点仍然在河的两岸，与A、B的位置相同，因此此法不可取．要寻求另一种使对应边在岸上的方法．利用下面图示的方法就行了．解：方法：在AB的垂线BE上取两点C、D，使CD＝BC。

过点D作BE的垂线D G，并在DG上取一点F，使A、C、F在一条直线上，这时测得的DF的长就是A、B间的距离．理由：∵AB⊥BE，DG⊥BE∴∠B＝∠BDF＝90°∴△ABC≌△FDC（ASA）∴AB＝DF（全等三角形对应边相等）．注意：要注意区分这两种情况，根据具体情况或题目的语言叙述来判断方法．最明显的区别是第一种没有垂直的情况，利用SAS证全等；而第二种有垂直的情况，会用ASA证明三角形全等．当然，若特殊情况，需具体分析．。

专题09 全等三角形在生活中的应用【专题综述】学习了三角形全等的有关知识后，同学们会发现它可以解决许多生活中的实际问题，并且有利于考查同学们识别图形、动手操作的能力，更注重考查大家抽象、转化的思维能力以及运用几何知识解决实际问题的能力。

因此，同学们在学习过程中应该注意观察身边的实际问题，善于用数学的头脑去发现、分析、解决问题。

【方法解读】一、用于产品检验例1 如图，工人师傅要检查人字梁的∠B和∠C是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺．他是这样操作的：①分别在BA和CA上取BE=CG；②在BC上取BD=CF；③量出DE的长a米，FG的长b米．如果a=b，则说明∠B和∠C是相等的，他的这种做法合理吗？为什么？【举一反三】如图,由两根钢丝固定的高压电线杆,按要求当两根钢丝与电线杆的夹角相同时,固定效果最好.现已知钢丝触地点到电线杆的距离相等,那么请你判断图中两根钢丝的固定是否合乎要求,并说明理由.(电线杆的粗细忽略不计)【来源】北师大版七年级数学下4.5 利用三角形全等测距离同步练习二、用于图形复原例2 如图是举世闻名的三星堆考古中挖掘出的一个三角形残缺玉片，工作人员想制作该玉片模型，则测量图中哪些数据，就可制成符合规格的三角形玉片模型？并说明其中的道理.【举一反三】小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一些块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（）A.第1块B.第2块C.第3块D.第4块【来源】2014-2015学年江苏省南苑中学八年级上学期第一次单元考试数学试卷（带解析）三、用于测量距离例3 如图3，从小丽家（C处）到学校A和菜市场B的夹角∠C是锐角，又知道从小丽家到学校、菜市场的距离相等，小丽说学校到路段BC的距离AD与菜市场到路段AC的距离BE相等，你认为她说的有道理吗？请说明理由．图3【举一反三】小强为了测量一幢高楼高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC=36°，测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB=54°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为DB=36米，小强计算出了楼高，楼高AB是多少米？【来源】北师大版七年级数学下册习题:4.5《利用三角形全等测距离》（详细答案）【强化训练】1.如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，如图所示的这种方法，是利用了三角形全等中的（）A. SSSB. ASAC. AASD. SAS【来源】北师大版数学七年级下册第四章4.5利用全等三角形全等测距离课时练习2.山脚下有A、B两点，要测出A、B两点间的距离。

利用全等三角形测距离的例子
1. 你知道吗，在实际生活中，我们可以像聪明的探险家一样利用全等三角形测距离呢！比如说，当我们要测量一条小河的宽度，就可以在河对岸找一个参照点，这边也找一个点，然后通过一些操作，让相应的三角形全等，这不就能知道小河大概有多宽啦！厉害吧！
2. 嘿，想象一下，假如你在一个大操场上，想知道从这边到那边有多远，这时候全等三角形就能派上大用场啦！就好像你有一把神奇的尺子，可以通过巧妙的方法测量出距离呢！比如在这边立一个杆子，在那边也弄一个同样角度的标记，是不是很有意思呀！
3. 哇塞，全等三角形测距离可太神奇啦！就好比你站在一个大大的广场上，想知道到对面那栋楼有多远。

你可以找一些辅助的东西呀，让三角形全等起来，然后就能得到答案啦！这就像是变魔术一样，把不可能变成可能！
4. 哎，你看，在建筑工地上，工人们也会用全等三角形测距离呢！他们会找一些巧妙的点，让三角形完美全等，然后就能精确地知道建筑之间的距离啦。

这是不是就像他们有一双能看透距离的眼睛呀！
5. 哈哈，利用全等三角形测距离，这可真是一个超棒的办法！比如你和小伙伴们在野外玩耍，想要知道两个大石头之间有多远，那就开动脑筋用全等三角形呀！是不是感觉一下子就变得超有趣呢！
6. 哎呀呀，全等三角形测距离在很多地方都能用得上呢！像测量一个大花园的对角线长度，这可难不倒我们，通过一些巧妙布置，让三角形全等，距离就出来啦！这就像解开一个神秘的谜题一样令人兴奋！
7. 真的呀，全等三角形测距离真的超级有用！比如要知道山上两个亭子之间的距离，我们就可以想办法利用全等三角形来搞定呀！这不是很厉害吗？
我的观点结论就是：利用全等三角形测距离是一种既有趣又实用的方法，在很多情况下都能发挥出神奇的效果呢！。

全等三角形在实际生活中的应用三角形全等在解决实际问题中有广泛的应用，如测量无法直接测量的距离时，可根据三角形全等进行转化.有许多图形分割问题，也蕴含着全等思想.一、测量中的全等三角形例1．图1为人民公园中的荷花池,现要测量此荷花池两旁A 、B 两棵树间的距离(我们不能直接量得).请你根据所学知识,以卷尺和测角仪为测量工具设计一种测量方案.要求:(1)画出你设计的测量平面图；(2)简述测量方法，并写出测量的数据(长度用,,,c b a …表示；角度用,,,γβα…表示)；(3)根据你测量的数据,计算A 、B 两棵树间的距离.分析：此题的测量方法很多，这里用全等知识来解决，方案如图2，步骤为：（1）在地上找可以直接到达的一点O ，（2）在OA 的延长线上取一点C ，使OC=OA ；在BO 的延长线上取一点D ，使OD=OB ；（3）测得DC=a ，则AB=a ． 点评：本题是一道全开放式的设计方案题，它的解题策略非常多，可以利用三角函数、三角形中位线定理、全等三角形、三角形相似等许多知识，本题来源于课本、来源于生活，可以激发学生“学有用的数学”，更激发学生的学习热情和创新热情以及求知欲望．例2．如图3所示，在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望，为用炮火实施定点轰炸，需要测量我军阵地与敌军碉堡隔的距离，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来一个办法，他面向碉堡方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐，正好落在碉堡的底部，然后转过一个角度，身体保持刚才的姿势，使视线落在我军一岸的某一点上，接着他用步测法测出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡之间的距 B A C D O 图2 Ａ • • • Ｂ图1 图3离。

你能解释其中的道理吗？解：这个战士实际上是运用了三角形全等的知识 . 要说明其中的道理，首先要根据实际情景建立数学模型，将情景中示意图抽象为几何图形。

如图4所示，我军阵地与敌军碉堡之间的距离无法测量，即AC不可测量，但线段FD 的长度可以测得，又战士与地面是垂直的，也就是∠BAC ＝∠EFD ＝900，另外战士的身高与姿态是不变的，所以BC ＝EF ，∠ABC ＝∠FED . 依据“SAS”可知△ABC ≌△DEF ，所以AC ＝FD . 所以只要测得FD的距离，就可得到AC 的距离 .二、修路中的全等三角形例3．如图5，有一块不规则土地ABCD ，分别被甲、乙二人承包，一条公路GEFH 穿过这块土地，EF 左边是甲，右边是乙，AB ∥CD.为方便通行，决定将这条公路尽量修直，但要求甲、乙二人的土地面积不变.请你设计一种方案，解决这个问题，并说明方案正确的理由.分析：将公路修直并不困难，关键是要保持甲、乙二人的土地面积不变.这里，我们应注意充分利用AB ∥CD 这一条件来构造全等三角形.解：取EF 的中点O ，连接GO 并延长交FH 于点M ，GM 就是修直后的公路.理由是：设GM 分别交AB 、CD 于点P 、Q ，由AB ∥CD ，可得∠PEO ＝∠QFO ，又因为EO ＝FO ，∠EOP ＝∠FOQ ，故△EOP ≌△FOQ ，所以这个方案能保持甲、乙二人的土地面积不变.三、其他问题中的全等三角形例4．如图6，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，请你设计一个最省事的配玻璃方案，并说明理由.解：最省事的配玻璃方案是带着碎玻璃块③去玻璃店.理由是：玻璃块③含有一条完整的边BC 和夹BC 的两个图 5图4图6完整的角，根据ASA，只需将∠B和∠C的不完整的边延长相交即可，得到的三角形与原三角形全等.例5．如图7，点C是路段AB的中点，两人从C同时出发以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，DA⊥AB，EB⊥AB，D，E与路段AB的距离相等吗？为什么？分析：因为两人是从点C同时出发，且同时到达D，E两点，所以CD=CE.要说明DA与EB是否相等，则只需说明△ADC和△BEC是否全等.解：D，E与路段AB的距离相等.理由：因为点C是AB的中点，所以CA=CB，又CD=CE，DA⊥AB，EB⊥AB，所以Rt△ADC≌Rt△BEC（Hl）.所以DA=EB.即D，E与路段AB的距离相等.例6．如图8是用两根拉线固定电线杆的示意图，其中，两根拉线的长AB=AC，BD和DC的长相等吗？为什么？分析：因为电线杆和地面垂直，它和两根拉线分别构成两个直角三角形，所以通过全等三角形的知识解决.解:BD和DC相等.因为AD⊥BC,所以∠ADB=∠ADC=90°,又AB=AC,AD=AD,所以Rt△ABD≌Rt△ACD(HL).所以BD=DC.例7．如图9，海岛上有A，B两个观测点，点B在点A 的正东方，海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B 图7图8图9的正北方，从观测点A看海岛C、D的视角∠CAD与从观测点B看海岛C、D 的视角∠CBD相等，那么海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等吗？为什么？分析：本题是一道和三角形全等有关的实际问题，要看海岛C、D到海岸AB的距离是否相等，则要看△ABC与△BAD是否全等.解：海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等.理由：由已知得∠CAB=∠DBA=90°，又∠CAD=∠CBD，所以∠DAB=∠CBA，在Rt△ABC和Rt△BAD中，∠CAB=∠DBA，AB=BA，∠CBA=∠DAB，所以△ABC≌△BAD（ASA），所以CA=DB，即海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等.。

所以△BME≌△CMF(ASA) ，所BE=CF.
故只要测量CF即可得B，E之间的距离.
B
C
F
D
课堂练习
6.课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不谨慎掉到两墙之间，
如图，试说明：△ADC≌△CEB．
A
B

D
C
E
课堂练习
解：由题意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
所以∠ADC=∠CEB=90°.
4.5利用三角形全等测距离
学习目标
01
能利用三角形的全等解决实际问题，体会数学与实
际生活的联系.
02
能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达.
03
经历探索设计构造全等三角形测距离的过程中，培
养学生思维的逻辑性和发散性.
学习重难点
重点：
能利用三角形的全等解决实际问题.
难点：
如何灵活多样地构造全等三角形.
A. AO=CO
B. BO=DO
C. AC=BD
D. AO=CO且BO=DO
A
D
O
B
C
课堂练习
4.如图所示，已知AC=DB，AO=DO，CD=100 m，则A，B两点间的
距离( B )
A.大于100 m
B.等于100 m
C.小于100 m
D.无法确定
课堂练习
5.如图，公园里有一条“Z”字型道路ABCD，其中AB∥CD，在AB，
在△ODB和△OCA中，
AO=BO，∠AOC=∠BOD，CO=DO，
所以△ODB≌△OCA（SAS），
所以BD=AC．
故只要测量A，C的距离，就可以知道玻璃容器的内径．
课堂练习

A E B
M
C
D
全等三角形在你身边的应用
2、一个初中课外活动小组，想运用自己所学的知 识搞一次有意义的活动，他们发现学校附近的公园 有一个池塘，他们想测量该池塘两端A、B之间的 距离，你能帮他们设计一个可行的测量方案吗？
A
B
教学小结：
1、通过本节课的学习你对全等三角形 有什么新的认识？
2、本节课最大的收获是什么？
C
几何鼻祖泰勒斯
泰勒斯是古希腊第一
个数学家和哲学家.青 年时代经商，曾游历
埃及，测量过金字塔
的高度;利用全等三角 形和相似三角形的知 识用不同的方法测量 出轮船与海岸的距离; 因预测出日食而阻止
Thales （ 624 B.C. - 547 B.C.）
过一场战争；创立爱 奥尼亚学派。
全等三角形的应用
Ancient Egyptian Mathematics
1799年，拿破仑远征军中 的工程师Pierre-Francois
Bouchard (1772-1832) 在埃
及尼罗河口Rosetta 城郊发 现了埃及古碑，上刻有象 形文、俗体文和希腊文三 种文字。 远征 埃及
泰勒斯测量轮船与 海岸的距离的方法
有一个故事说，拿破仑军队在
行军途中为一河流所阻，一名
随军工程师用运用泰勒斯的方
法迅速测得河流的宽度，因而
受到拿破仑的嘉奖。因此，从
古希腊开始，角边角定理在测 量中一直扮演者重要角色。
全等三角形的应用
拿破仑军队在行军途中为 一河流所阻，一名随军工 程师用运用泰勒斯的方法 迅速测得河流的宽度，因 而受到拿破仑的嘉奖。
拿破仑:
怎样测河宽 ?
泰勒斯的测量方法 如图，泰勒斯在高丘上利用