邱关源《电路》第五版第9章-正弦稳态电路分析

第9章 正弦稳态电路分析9-1 阻抗和导纳一．阻抗1． 定义：在正弦稳态无源二端网络端钮处的电压相量与电流相量之比定义为该二端网络的阻抗，记为Z ，注意：此时电压相量U g与电流相量I g的参考方向向内部关联。

uiU U ZI Iψψ∠=∠ （复数）阻抗()Ωz j Z R X ψ=∠=+其中 ()UZ I=Ω —阻抗Z 的模，即阻抗的值。

Z u i ϕψψ=- —阻抗Z 的阻抗角 z cos ()R Z ϕ=Ω —阻抗Z 的电阻分量 z sin ()X Z ϕ=Ω —阻抗Z 的电抗分量电阻元件的阻抗： 在电压和电流关联参考方向下电阻的伏安关系的相量形式为gU U Z I=-gggRX|Z |Z ϕgRU gR I 与R U 共线阻抗三角形R R U R I =则 R R RU Z R I ==电感元件的阻抗： 在电压和电流关联参考方向下电感的伏安关系的相量形式为L L j U L I ω=则 L L L Lj j U Z L X I ω==电容的阻抗： 在电压和电流关联参考方向下电容的伏安关系的相量形式为j gg1j- C UggCC CC CC j 11j j I C U U I I C Cωωω===- 则 C C C C1jj U Z X C I ω=-= C 1X Cω=-—容抗 2. 欧姆定律的相量形式 U Z I = 电阻、电感、电容的串联阻抗：在电压和电流关联参考方向下，电阻、电感、电容的串联，得到等效阻抗eq ZR L C eq R L C1L C ZZ I Z I Z IU Z Z Z Z IIR j L R jX jX R jX j C Z ωωϕ++===++=++=++=+=∠其中：阻抗Z 的模为||Z =阻抗角分别为 1/LCZX L C arctg arctgarctgRRRXXωωϕ+-===。

可见，电抗X 是角频率ω的函数。

当电抗X ＞0(ωL ＞1/ωC )时，阻抗角φZ ＞0，阻抗Z 呈感性； 当电抗X ＜0(ωL ＜1/ωC ＝时，阻抗角φZ ＜0，阻抗Z 呈容性； 当电抗X ＝0(ωL ＝1/ωC )时，阻抗角φZ ＝0，阻抗Z 呈阻性。

Cg3. 串联阻抗分压公式：引入阻抗概念以后，根据上述关系，并与电阻电路的有关公式作对比，不难得知，若一端口正弦稳态电路的各元件为串联的，则其阻抗为∑==nk k Z Z 1串联阻抗分压公式eqkk Z U U Z =二．导纳1．定义：正弦稳态无源二端网络端钮的电流相量与电压相量之比定义为该二端网络的导纳，记为Y ，即i u1I IYZ U U ψψ∠==∠ 复导纳（S ） Y j Y G B ψ=∠=+其中 IY U=—导纳Y 的模（S ） Y i u Z ϕψψϕ=-=- —导纳Y 的导纳角。

Y cos (s)G Y ϕ= —导纳Y 的电导分量Y sin (s)B Y ϕ= —导纳Y 的电纳分量 导纳三角形ggGB|Y |Y ϕ可见，同一二端网络的Z 与Y 互为倒数 特例：电阻的导纳 R R 1Y G RZ ==电容的 C C j j C Y C Z B ω== B C 电容的电纳，简称容纳。

电感的 L L 1jj L Y B Z Lω=-= B L 称为电感的电纳，简称感纳；2. 欧姆定律的另一种相量形式I Y U =若一端口正弦稳态电路的各元件为并联的，则其导纳为∑==nk kY Y 1并联导纳的分流公式：eqkk Y I I Y =RLC 并联正弦稳态电路中，根据导纳并联公式，得到等效导纳YY C L R Y jB G LC j R C j Lj R Y Y Y Y ϕωωωω/||)1(111=+=-+=++=++=可见，等效导纳Y 的实部是等效电导G (＝1/R )＝|Y |cos φY ；等效导纳Y 的虚部是等效电纳B ＝|Y |sin φY ＝B C +B L ＝ωC -1/ωL ，是角频率ω的函数。

导纳的模为：||Y =导纳角分别为:1/CLYBC Larctgarctg arctgGGGBBωωϕ+-===由于电纳B 是角频率ω的函数，当电纳B ＞0(ωC ＞1/ωL )时，导纳角φY ＞o ，导纳Y 呈容性； 当电纳B ＜0(ωC ＜1/ωL )时，导纳角φY ＜o ，导纳Y 呈感性； 当电纳B =0(ωC =1/ωL )时，导纳角φY ＝0导纳Y 呈阻性。

注意：两个电阻的并联与两个阻抗的并联对应12121212R R Z ZR Z R R Z Z =⇒=++22Z1R11212R Z I I I I R R Z Z =⇒=++三.对同一二端网络：1U I Z Y Y ZIU===其中：22()()()()R G R X ωωωω=+ ， 22()()()()X B R X ωωωω-=+， Y Z ϕϕ=-一般情况下，一个由电阻、电感、电容所组成的不含独立源的一端口正弦稳态电路的等效阻抗Z (j ω)是外施正弦激励角频率ω的函数，即Z (j ω)＝R (ω)+jX (ω)式中R (ω)＝Re[Z (j ω)]称为Z (j ω)的电阻分量，X (ω)＝Im[Z (j ω)]称为Z (j ω)的电抗分量。

式中电阻分量和电抗分量都是角频率ω的函数。

所以，要注意到电路结构和R 、L 、C 的值相同的不含独立源的正弦稳态电路，对于角频率ω不同的外施正弦激励而言，其等效阻抗是不同的。

如下图电路的等效阻抗eq 22j 1j (j )1()(j )j ()R L R L R L Z j R L C R L Cωωωωωωω⋅⋅-=+-=+-++ 222222()1j ()()R L R L R L R L C ωωωωω⎡⎤=+-⎢⎥++⎣⎦()j ()R X ωω=+同理，一个由电阻、电感、电容所组成的不含独立源的一端口正弦稳态电路的等效导纳Y (j ω)也是外施正弦激励角频率ω的函数，即Y (j ω)＝G (ω)+jB (ω)式中G (ω)＝Re[Y (j ω)]称为Y (j ω)的电导分量，B (ω)＝Im[Y (j ω)]称为Y (j ω)的电纳分量。

电导分量和电纳分量也都是角频率ω的函数。

所以要注意到电路结构和R 、L 、C 的值相同下的不含独立源的一端口正弦稳态电路，对于角频率ω不同的外施正弦激励言，其等效导纳是不同的。

四.电路的计算 完全与电阻电路一样例：求如图所示电路等效阻抗。

可变，找不到适于任何场合下的等效电路j ω L1j-R 21R2Z eq2222211222221m 2m 222111(j )j j j eq 11j (j )j C U U U C C C R R C g C g U C U U R R U Z Iωωωωωωω++++++++===9-2 简单正弦稳态电路的分析、相量图例1：已知：S ()V u t t =，求：L C (),(),()i t i t i t解：将电路转化为相量模型L 1j j3000j 1k 3Z L ω==⨯=ΩC 61j j2k 13000106Z -=-=-Ω⨯⨯eq (12j)j 12j 1(2j 1)(1j 1)1.5 1.5 1.52j 1.5k2.536.9(1j2)j 11j 12Z k -⋅+++=+=+=+=+Ω=∠Ω-+- S eq 4001636.9mA 2.536.9U I Z ∠===∠-∠C j 1j 11636.98298.1mA (1j2)j 11j 1I I I ===∠-=∠-+-L C 1j225.355.3mA (1j2)j 1I I I I -==-=∠--+µF(t )ΩS U _ g()36.9)mA i t t ∴=- C ()16c o s (300098.1)m Ai t t=+L ()22c o s (300055.3)m A i t t =- 例2：已知：U =100V , I =5A, 且U 超前I 53.1，求L ,R X解法1 ：令50A I =∠，则10053.1V U =∠eq 10053.12053.112j 1650U Z I∠===∠=+Ω∠12,16eq eq R X ∴=Ω=Ω2L22L 2L L 22L 1210032516R X R X R R X X R X ⎫⋅=⎧⎪+=Ω⎪⎪⇒⎬⎨⋅⎪⎪=Ω=⎩⎪+⎭解法2 ：令1000U =∠—纯实数， 则553.1A 3I =∠-=-R100010033U R I ∠===Ω I I j X LgL 纯虚数L L1000j25j4U Z I ∠===Ω-例3：已知C 2A I =，R I =，L 100X =Ω，且U 与C I 同相，求U ＝？解代数法：令R 0A I =，则R 0V U =R L L j A j 100U I X ==-C R L 2j100I I I =+=2=100R =ΩR 0V U∴= L A I =- C R L 245AI I I =+=∠- L eq C L Cj j j R X UZ X R X I ⋅=+=+ C Cj 50j50U X I ++=U 与C I 同相 eq Im 0Z ⎡⎤∴=⎣⎦ 即C 500X += 则C 50X =-ΩC R C j j502451002502j50210045VU X I U =+=-⨯∠-+=-=∠-RgR100V U ∴=解相量图法：由电流三角形L I ==R L L L 10V U U X I === 1LR45I tgI α-== 由电压三角形 R cos 100V U U α==在正弦稳态电路分析和计算中，往往需要画出一种能反映电路中电压、电流关系的几何图形，这种图形就称为电路的相置图。

与反映电路中电压、电流相量关系的电路方程相比较，相量图能直观地显示各相量之间的关系，特别是各相量的相位关系，它是分析和计算正弦稳态电路的重要手段。

通常在未求出各相量的具体表达式之前，不可能准确地画出电路的相量图，但可以依据元件伏安关系的相量形式和电路的KCL 、KVL 方程定性地画出电路的相量图。

在画相星图时，可以选择电路中某一相量作为参考相量，其它有关相量就可以根据它来确定。

参考相量的初相可任意假定，可取为零，也可取其它值，因为初相的选择不同只会使各相量的初相改变同一数值，而不会影响各相量之间的相位关系。

所以，通常选参考相量的初相为零。

gR L U =g g在画串联电路的相量图时，一般取电流相量为参考相量，各元件的电压相且即可按元件上电压与电流的大小关系和相位关系画出。

在画并联电路的相量图时，一般取电压相量为参考相量，各元件的电流相置即可按元件上电压与电流的大小关系和相位关系画出。

例4：已知：L1C1L3C3,X X X X ><，定性作出相量图解：1. 取1I 为参考相量，并设各元件的电压与电流为关联参考方向。