高二数学算术平均数与几何平均数教案

算术平均数与几何平均数————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：算术平均数与几何平均数(1)教学目的：１．学会推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理．2.理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等.３．通过掌握公式的结构特点,运用公式的适当变形,提高学生分析问题和解决问题的能力,培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力.教学重点：均值定理证明教学难点:等号成立条件教学过程:一、复习引入：不等式的基本性质.二、讲解新课：１．重要不等式：如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a２．定理：如果a,b 是正数,那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a 说明：ⅰ)我们称b a b a ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数,因而,此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. ⅱ）ab ba ab b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的:前者只要求a,b 都是实数，而后者要求a,b 都是正数．ⅲ）“当且仅当”的含义是充要条件. 3.均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”.以长为a +b 的线段为直径作圆,在直径ＡB 上取点Ｃ，使ＡＣ=a,C Ｂ＝b.过点C 作垂直于直径AB 的弦D Ｄ′,那么CB CA CD ⋅=2,即ab CD = 这个圆的半径为2b a +,显然,它不小于CD ,即ab b a ≥+2,其中当且仅当点C 与圆心重合；即a=b 时,等号成立.三、讲解范例：例1 已知x ，y 都是正数，求证:（1）如果积x ｙ是定值P ,那么当x=y 时，和x +y 有最小值;2P（2)如果和x ＋ｙ是定值S ,那么当ｘ=y 时,积x ｙ有最大值.412S 说明:此例题反映的是利用均值定理求最值的方法,但应注意三个条件:ⅰ)函数式中各项必须都是正数；ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数; a b ab D'D A B Cⅲ）等号成立条件必须存在.例2 已知：a ｂ>0,求证:2b a a b+≥． 当且当a =b 时等号成立. 反思:由本例可以得出什么结论?例3 已知a ,b 都是正数,求证222.1122a b a b ab a b ++≤≤≤+ 当且当a =ｂ时等号成立.(介绍ｎ个正数的“调和平均数”、“几何平均数”、“算术平均数”、“平方平均数”的概念及它们的关系）四、课堂练习:１.已知a 、ｂ、c 都是正数,求证(a +b )（ｂ+c ）(c ＋a )≥8a ｂｃ２.已知x 、y 都是正数,求证：(x ＋y )（x 2+ｙ2）(ｘ３+y 3)≥8x 3y ３.3．求证:(2b a +）2≤222b a +. 五、作业:(1）“a +ｂ≥2ab ”是“ａ∈R +,b ∈Ｒ＋”的( ）A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 Ｃ.充要条件 D ．即不充分也不必要条件(２)设b ＞a >0，且ａ+b ＝1，则此四个数21，2a ｂ,a 2＋b 2,b 中最大的是( ) A.b B.a ２+b ２ ﻩ C ．2a ｂ D ． 21 (３）设a ,b ∈Ｒ,且ａ≠b ，a +ｂ＝2,则必有（ ）A.1≤ａb ≤222b a + B ．a ｂ<1<222b a + Ｃ.ab <222b a +<1 D . 222b a +<ab <1 (4)已知a ，b ∈R +且a ＋b =4,则下列各式恒成立的是（ )Ａ.211≥ab B.b a 11+≥1 C.ab ≥2 D ．41122≤+b a (５)若a ＞b >0,则下面不等式正确的是( ) A.ab b a b a ab <+<+22 B ．ab ba ab b a <+<+22 C.22b a ab b a ab +<<+ Ｄ.22b a b a ab ab +<+< (６）若a ,ｂ∈Ｒ且ａ≠b ,在下列式子中，恒成立的个数为（ ） ①a 2＋3ab ＞2b 2 ②a ５＋b ５＞ａ3b 2+a 2b 3 ③ａ２+b ２≥2（a -ｂ-1） ④a b b a +>2 Ａ．4 B.3ﻩ ﻩﻩ Ｃ.2 D.1（7)设a ,ｂ，c 是区间(0,１)内的三个互不相等的实数且p =lo ｇc 2b a +,q =2log log b ac c +，r ＝2log 21b a c +,则p ,ｑ,ｒ的大小关系是（ ) Ａ.p >ｑ＞r B.p ＜ｑ＜ｒﻩﻩC ．r <P <ｑ Ｄ.p ＜r <q算术平均数与几何平均数(2）教学目的:１.进一步掌握均值不等式定理；2.会应用此定理求某些函数的最值；3．能够解决一些简单的实际问题.教学重点：均值不等式定理的应用教学难点：解题中的转化技巧教学过程：一、复习引入:１．重要不等式：（1)如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a(2）如果ａ,ｂ都是正数,那么 222.1122a b a b ab a b ++≤≤≤+ 当且当a ＝b 时等号成立．2.上课时中“例1”的条件、结论及注意事项.二、讲解新课：定理:如果+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++(当且仅当ａ=b=c 时取“=”)推论：如果+∈R c b a ,,,那么33abc c b a ≥++ (当且仅当a ＝ｂ＝c 时取“=”） 三、例题例１已知a ,ｂ，c ,d 都是正数,求证：abcd bd ac cd ab 4))((≥++例2 求下列函数的最小值,并求相应的x 值．1(1)(0);1(5)(2)(2)(1).1y x x x x x y x x =+≥+++=>-+例3 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为48００ｍ3，深为3m ，如果池底每１m ２的造价为１5０元,池壁每1m 2的造价为120元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元？四、课堂练习:1．已知ｘ≠0，当x 取什么值时,x 2+281x 的值最小?最小值是多少? ２.一段长为L m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大,最大面积是多少?四、作业:(1)求函数y ＝2x 2+x3(x >0)的最小值． (２)求函数y ＝x 2+41x（x ＞0)的最小值. (３)求函数ｙ＝3x 2-2x 3（０＜x <23)的最大值． (4)求函数y =x （1-x 2）(０＜ｘ＜1)的最大值. （5)设a >0，b >０,且ａ2+22b =１，求ａ21b 的最大值.算术平均数与几何平均数(3)教学目的：1.进一步掌握均值不等式定理；2.会应用此定理求某些函数的最值；3．能够解决一些简单的实际问题.教学重点:均值不等式定理的应用教学难点：解题中的转化技巧教学过程：一、复习引入：1.重要不等式：(１）如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a（２)如果a ,b 都是正数,那么222.1122a b a b ab a b ++≤≤≤+ 当且当a =b 时等号成立.(3)如果a ｂ＞０，那么2b a a b+≥. 当且当a =b 时等号成立． （4）如果+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++（当且仅当a=ｂ=c 时取“＝”)（5）如果+∈R c b a ,,,那么33abc c b a ≥++ (当且仅当a ＝b=ｃ时取“=”） 2. 利用“均值不等式”求最值．二、例题 例1 (１)已知lg ｘ+lgy=2，求yx 11+的最小值; (2)已知ｘ>0,y>0，且 2x ＋5ｙ＝2０,求lgx ＋lgy 的最大值；（3)已知0<x ＜2,求x(8-3x)的最大值.例2 求下列函数的最大值：215(1)42();4542(2)(2).1y x x x x y x x x =-+<-+=>-++例3 (1)已知a ＞b>0,求1()a a b b +-的最小值. (2）已知310<<x ,求)31(2x x -的最大值．例4 求函数)0(sin 9sin π<<+=x xx y 的最小值.例５ 从一块半径为R 的半圆铁板上剪一块矩形，当矩形的长和宽各取多少时矩形的面积最大，并求这个最大面积.三、作业1.填空（1)如果b>ａ>0,则b,2ab,ａ2+ｂ2的大小顺序是 . (2) 函数222)1(164)(++=x x x f 的最小值是 （3)当ｘ= 时，函数)20)(24()(22<<-=x x x x f 取得最大值(4）若x>0,xx x f 24618)(--=的最大值是 (５)若ab+ｂc+c ａ＝１，则当 时｜a+ｂ+c|取得最小值 （6）2221,12,0,0b a b a b a +=+≥≥则设的最大值是 (7)45)(22++=x x x f 的最小值是（８)若ｘ2+ｙ2=1,Ｓ=(１－xy ）（1+xy),则S 的取值范围是（９)若x ｙ＞0，ｘ2ｙ=2,则x ｙ+x2的最小值为2.已知2160,()a b a b a b >>+-求的最小值. 3.如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底宽2米的无盖长方体的沉淀箱,污水从A 孔流入,经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b 米,已知流出的水中该杂质的质量份数与a 、b 的乘积ab 成反比.现有制箱材料60平方米,问ａ、b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量份数最小(Ａ、B 孔面积忽略不计).４.如图，在△AB Ｃ中,∠Ｃ＝90°,AC ＝３，BC =４,一条直线分△ＡBC 的面积为相等的两部分，且夹在AB 与BC 之间的线段最短,求此线段长.。

第三教时教材：算术平均数与几何平均数目的：要求学生掌握算术平均数与几何平均数的意义，并掌握“平均不等式”及其推导过程。

过程：一、定理：如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取“=”） 证明：222)(2b a ab b a -=-+⇒⎭⎬⎫>-≠=-=0)(0)(22b a b a b a b a 时，当时，当ab b a 222≥+ 1．指出定理适用范围：R b a ∈,2．强调取“=”的条件b a =二、定理：如果b a ,是正数，那么ab b a ≥+2（当且仅当b a =时取“=”） 证明：∵ab b a 2)()(22≥+ ∴ab b a 2≥+即：ab b a ≥+2 当且仅当b a =时 ab b a =+2注意：1．这个定理适用的范围：+∈R a2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

三、推广：定理：如果+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取“=”）证明：∵abc ab b a c b a abc c b a 333)(32233333---++=-++)(3])())[((22c b a ab c c b a b a c b a ++-++-+++=]32)[(222ab c bc ac b ab a c b a -+--++++=))((222ca bc ab c b a c b a ---++++=])()())[((21222a c c b b a c b a -+-+-++= ∵+∈R c b a ,, ∴上式≥0 从而abc c b a 3333≥++指出：这里+∈R c b a ,, ∵0<++c b a 就不能保证推论：如果+∈R c b a ,,，那么33abc cb a ≥++（当且仅当c b a ==时取“=”）证明：3333333333)()()(c b a c b a ⋅⋅≥++⇒33abc c b a ≥++⇒33abc cb a ≥++四、关于“平均数”的概念1．如果++∈>∈N n n R a a a n 且1,,,,21 则：n a a a n+++ 21叫做这n 个正数的算术平均数n n a a a 21叫做这n 个正数的几何平均数2．点题：算术平均数与几何平均数3．基本不等式： n a a a n+++ 21≥n n a a a 21n i R a N n i ≤≤∈∈+1,,*这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）语言表述：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

高二数学教案：《算术平均数与几何平均数》教学设计（二）高二数学教案：《算术平均数与几何平均数》教学设计（二）第一课时一、教材分析（一）教材所处的地位和作用“算术平均数与几何平均数”是全日制普通高级中学教科书（试验修订本·必修）数学第二册（上）“不等式”一章的内容，是在学完不等式性质的基础上对不等式的进一步研究．本节内容具有变通灵活性、应用广泛性、条件约束性等特点，所以本节内容是培养学生应用数学知识，灵活解决实际问题，学数学用数学的好素材二同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，所以有利于培养学生良好的思维品质．（二）教学目标1．知识目标：理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的重要不等式的证明及其几何解释；掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理的证明及其几何解释；掌握应用平均值定理解决一些简单的应用问题．2．能力目标：培养学生数形结合、化归等数学思想．（三）教学重点、难点、关键重点：用平均值定理求某些函数的最值及有关的应用问题．难点：定理的使用条件，合理地应用平均值定理．关键：理解定理的约束条件，掌握化归的数学思想是突破重点和难点的关键．（四）教材处理依据新大纲和新教材，本节分为二个课时进行教学．第一课时讲解不等式（两个实数的平方和不小于它们之积的2倍）和平均值定理及它们的几何解释．掌握应用定理解决某些数学问题．第二课时讲解应用平均值定理解决某些实际问题．为了讲好平均值定理这节内容，在紧扣新教材的前提下，对例题作适当的调整，适当增加例题．二、教法分析（－）教学方法为了激发学生学习的主体意识，又有利于教师引导学生学习，培养学生的数学能力与创新能力，使学生能独立实现学习目标．在探索结论时，采用发现法教学；在定理的应用及其条件的教学中采用归纳法；在训练部分，主要采用讲练结合法进行．（二）教学手段根据本节知识特点，为突出重点，突破难点，增加教学容量，利用计算机辅导教学．三、教学过程设计6．2算术平均数与几何平均数（第一课时）（一）导入新课（教师活动）1．教师打出字幕（提出问题）；2．组织学生讨论，并点评．（学生活动）学生分组讨论，解决问题．297600元．设计意图：加深理解应用平均值定理求最值的方法，学会应用平均值定理解决某些函数最值问题和实际问题，并掌握分析变量的构建思想．培养学生用数学知识解决实际问题的能力，化归的数学思想．【课堂练习】（教师活动）打出字幕（练习），要求学生独立思考，完成练习；请三位同学板演；巡视学生解题情况，对正确的给予肯定，对偏差进行纠正；讲评练习．（学生活动）在笔记本且完成练习、板演．［字幕〕练习设计意图；A组题训练学生掌握应用平均值定理求最值．B组题训练学生掌握平均值定理的综合应用，并对一些易出现错误的地方引起注意．同时反馈课堂教学效果，调节课堂教学．【分析归纳、小结解法】（教师活动）分析归纳例题和练习的解题过程，小结应用平均值定理解决有关函数最值问题和实际问题的解题方法．（学生活动）与教师一道分析归纳，小结解题方法，并记录笔记．1．应用平均值定理可以解决积为定值或和为定值条件下，两个正变量的和或积的最值问题．2．应用定理时注意以下几个条件：（ⅰ）两个变量必须是正变量．（ⅱ）当它们的和为定值时，其积取得最大值；当它们的积是定值时，其和取得最小值．（iii）当且仅当两个数相等时取最值，即必须同时满足“正数”、“定值”、“相等”三个条件，才能求得最值．3．在求某些函数的最值时，会恰当的恒等变形——分析变量、配置系数．4．应用平均值定理解决实际问题时，应注意：（l）先理解题意，没变量，把要求最值的变量定为函数．（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题，确定函数的定义域．（3）在定义域内，求出函数的最值，正确写出答案．设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，帮助学生形成知识体系，全面深刻地掌握平均值定理求最值和解决实际问题的方法．（三）小结（教师活动）教师小结本节课所学的知识要点．（学生活动）与教师一道小结，并记录笔记．这节课学习了利用平均值定理求某些函数的最值问题．现在我们又多了一种求正变量在定积或定和条件下的函数最值方法．这是平均值定理的一个重要应用，也是本节的重点内容，同学们要牢固掌握．应用定理时要注意定理的适用条件，即“正数、定值、相等”三个条件同时成立，且会灵活转化问题，达到化归的目的．设计意图：培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识．3．研究性题：某种汽车购车时费用为10万元，每年保险、养路、汽车费用9千元；汽车的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，依每年2千元的增量逐年递增．问这种汽车最多使用多少年报废最合算（即使用多少年的平均费用最少）？设计意图：课本作业供学生巩固基础知识；思考题供学有余力的学生练习，使学生能灵活运用定理解决某些数学问题；研究性题培养学生应用数学知识解决实际问题的能力．（五）课后点评1．关于新课引入设计的想法：导入这一环节是调动学生学习的积极性，激发学生探究精神的重要环节，本节课开始给出一个引例，通过探究解决此问题的各种解法，产生用平均值定理求最值，点明课题．事实上，在解决引例问题的过程中也恰恰突出了教学重点．2．关于课堂练习设计的想法：正确理解和使用平均值定理求某些函数的最值是教学难点．为突破难点，教师单方面强调是远远不够的，只有让学生通过自己的思考、尝试，发现使用定理的三个条件缺一不可，才能大大加深学生对正确使用定理的理解，设计解法正误讨论能够使学生尝试失败，并从失败中找到错误原因，加深了对正确解法的理解，真正把新知识纳入到原有认知结构中．3．培养应用意识．教学中应不失时机地使学生认识到数学源于客观世界并反作用干客观世界．为增强学生的应用意识，在平时教学中就应适当增加解答应用问题的教学．本节课中设计了两道应用问题，用刚刚学过的数学知识解决了问题，使学生不禁感到“数学有用，要用数学”．作业解答思考题：。

高二数学算术平均数与几何平均数教案教学目标(1)把握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这一重要定理;(2)能运用定理证明不等式及求一些函数的最值;(3)能够解决一些简单的实际问题;(4)通过对不等式的结构的分析及特点的把握把握重要不等式的联系;(5)通过对重要不等式的证明和等号成立的条件的分析，培养学生严谨科学的认识适应，进一步渗透变量和常量的哲学观;教学建议1.教材分析(1)知识结构本节依照不等式的性质推导出一个重要的不等式：，依照那个结论，又得到了一个定理：，并指出了为的算术平均数，为的几何平均数后，随后给出了那个定理的几何说明。

(2)重点、难点分析本节课的重点内容是把握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数把握两个正数的和为定值时积有最大值，积为定值时和有最小值的结论，教学难点是正确明白得和使用平均值定理求某些函数的最值.为突破重难点，教师单方面强调是远远不够的，只有让学生通过自己的摸索、尝试，注意到平均值定理中等号成立的条件，发觉使用定理求最值的三个条件一正，二定，三相等缺一不可，才能大大加深学生对正确使用定理的明白得，教学中要注意培养学生分析归纳问题的能力，关心学生形成知识体系，全面深刻地把握平均值定理求最值和解决实际问题的方法.㈠定理教学的注意事项在公式以及算术平均数与几何平均数的定理的教学中，要让学生注意以下两点：(1)和成立的条件是不同的：前者只要求差不多上实数，而后者要求差不多上正数。

例如成立，而不成立。

(2)这两个公式差不多上带有等号的不等式，因此对其中的当且仅当时取=号这句话的含义要搞清晰。

教学时，要提醒学生从以下两个方面来明白得这句话的含义：当时取等号，其含义确实是：仅当时取等号，其含义确实是：综合起来，其含义确实是：是的充要条件。

(二)关于用定理证明不等式当用公式，证明不等式时，应该使学生认识到：它们本身也是依照不等式的意义、性质或用比较法(将在下一小节学习)证出的。

第4课时 算术平均数与几何平均数（1）目标引领1． 学习目标：理解“如果22,,b a R b a +∈那么≥ab 2（当且仅当b a =时取等号）”这一定理的证明及几何解释.理解“如果,0,>b a 那么2b a +≥ab （当且仅当b a =时取等号）”这一定理的证明及几何解释.会运用不等式最值定理，证明一些不等式，解决一些最值问题.2． 学法指导：学习时要注意三个问题：（1）注意两个定理中的条件不同.（2）注意两个定理中的结论的变形形式，如ab ≤222b a + （R b a ∈,），ab ≤,2b a +ab ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a （0,>b a ）. （3）注意等号取到的条件，“当且仅当b a =时取等号”一方面表示当b a =时取到等号，另一方面表示取等号时必有b a =.教师在线1．解析视频：“和定积大，积定和小”表示若两个正数的和为定值，则可求其积的最大值；若两个正数的积为定值，则可求其和的最小值.应用此结论需注意以下三点：①各项或各因式均为正；②和或积为定值；③等号能取到.2.经典回放：【例1】求函数()03>+=x xx y 的最小值. 分析：由于函数式中两项为正且积为定值，可直接运用均值不等式来求最小值.解：∵03,0>>x x ，∴32323=⋅≥+x x x x ，当且仅当x x 3=时取等号. ∴当3=x 时，y 取得最小值为32.点评：运用均值不等式来求最小值一定要遵循“一正二定三等号”的原则.【例2】求函数()x x y 33-= （0<<x 1）的最大值.分析：由于函数式中两项虽为正但和不是定值，不能直接运用基本不等式，所以需对函数式作一些变形.解：∵01,0>->x x ， ∴()()x x x x -=-1333≤3（21x x -+）2=43， 当且仅当x x -=1时取等号.∴当21=x 时，y 取得最大值为.43 点评：将()()x x x x --1333变形为是解题的关键.【例3】已知,191,0,=+>yx y x 且求y x +的最小值.分析：直接运用均值不等式来求y x +的最小值是困难的，可从条件191=+yx 处入手. 解：∵,191,0,=+>y x y x 且∴y x +=（y x +）（y x 91+）=109++yx x y ≥6+10=16， 当且仅当yx x y 9= 191=+y x 且时取等号，∴12,4==y x 时y x +取得最小值为16. 点评:此题还可以用三角换元、判别式法等方法来求解.同步训练1．如果,1>a 则11-+a a 的最小值是（ ） A ．2 B ． aC ．12-a a D ．3 2．已知12=+y x ，则y x 24+的最小值是（ ）A ．8B ． 6C ．22D ．323．设b a ,是不相等的正数，则（ ）A ．2222b a ab b a +<<+B ． 2222b a b a ab +<+< C ．2222b a b a ab +<+< D ．2222b a ab b a +<<+ 4．若0,>b a ，且1=+b a ，则ab 的最大值是 .5.当0>x 时，()122+=x x x f 的值域是 . 6.若,0,>b a 且3++=b a ab ，求ab 的取值范围.7.已知,0,0>>y x 12=+y x ，求的最小值y x 11+. 拓展尝新8．已知,0,0>>b a 且,302=++a ab b 求函数()为正常数k abk y =的最小值.。

算术平均数与几何平均数教案章节一：算术平均数的定义与性质教学目标：1. 理解算术平均数的定义；2. 掌握算术平均数的性质；3. 学会计算一组数据的算术平均数。

教学内容：1. 引入算术平均数的定义；2. 讲解算术平均数的性质；3. 举例说明如何计算一组数据的算术平均数。

教学活动：1. 引导学生思考平均数的含义；2. 引导学生通过实际例子理解算术平均数的定义；3. 引导学生探索算术平均数的性质；4. 引导学生进行小组讨论，互相交流计算算术平均数的方法；5. 教师进行总结讲解。

章节二：几何平均数的定义与性质教学目标：1. 理解几何平均数的定义；2. 掌握几何平均数的性质；3. 学会计算一组数据的几何平均数。

教学内容：1. 引入几何平均数的定义；2. 讲解几何平均数的性质；3. 举例说明如何计算一组数据的几何平均数。

教学活动：1. 引导学生思考平均数的含义；2. 引导学生通过实际例子理解几何平均数的定义；3. 引导学生探索几何平均数的性质；4. 引导学生进行小组讨论，互相交流计算几何平均数的方法；5. 教师进行总结讲解。

章节三：算术平均数与几何平均数的比较教学目标：1. 理解算术平均数与几何平均数的概念；2. 掌握算术平均数与几何平均数的区别与联系；3. 学会运用算术平均数与几何平均数解决实际问题。

教学内容：1. 讲解算术平均数与几何平均数的概念；2. 分析算术平均数与几何平均数的区别与联系；3. 举例说明如何运用算术平均数与几何平均数解决实际问题。

教学活动：1. 引导学生思考算术平均数与几何平均数的概念；2. 引导学生通过实际例子理解算术平均数与几何平均数的区别与联系；3. 引导学生进行小组讨论，互相交流运用算术平均数与几何平均数解决实际问题的方法；4. 教师进行总结讲解。

章节四：算术平均数与几何平均数在实际问题中的应用教学目标：1. 理解算术平均数与几何平均数在实际问题中的应用；2. 掌握算术平均数与几何平均数解决实际问题的方法；3. 学会运用算术平均数与几何平均数分析实际问题。

算术平均数与几何平均数教案第一章：算术平均数的定义与性质1.1 算术平均数的定义引导学生回顾平均数的概念，引入算术平均数的概念。

通过具体例子，让学生理解算术平均数的含义。

1.2 算术平均数的性质引导学生探究算术平均数的性质，如非负性、交换律、结合律等。

通过小组讨论和练习，让学生掌握算术平均数的性质。

第二章：几何平均数的定义与性质2.1 几何平均数的定义引导学生回顾几何平均数的概念，引入几何平均数的概念。

通过具体例子，让学生理解几何平均数的概念。

2.2 几何平均数的性质引导学生探究几何平均数的性质，如非负性、交换律、结合律等。

通过小组讨论和练习，让学生掌握几何平均数的性质。

第三章：算术平均数与几何平均数的关系3.1 算术平均数与几何平均数的联系引导学生探究算术平均数与几何平均数之间的关系，如算术平均数大于等于几何平均数等。

通过具体例子和练习，让学生理解算术平均数与几何平均数之间的关系。

3.2 算术平均数与几何平均数的应用引导学生运用算术平均数与几何平均数解决实际问题，如求平均速率、平均增长率等。

通过案例分析和练习题，让学生掌握算术平均数与几何平均数的应用。

第四章：算术平均数与几何平均数的计算4.1 算术平均数的计算引导学生掌握算术平均数的计算方法，如将数据相加后除以数据个数等。

通过练习题，让学生熟练计算算术平均数。

4.2 几何平均数的计算引导学生掌握几何平均数的计算方法，如将数据相乘后再开方等。

通过练习题，让学生熟练计算几何平均数。

第五章：算术平均数与几何平均数在实际问题中的应用5.1 算术平均数在实际问题中的应用引导学生运用算术平均数解决实际问题，如求平均成绩、平均消费等。

通过案例分析和练习题，让学生掌握算术平均数在实际问题中的应用。

5.2 几何平均数在实际问题中的应用引导学生运用几何平均数解决实际问题，如求平均速率、平均增长率等。

通过案例分析和练习题，让学生掌握几何平均数在实际问题中的应用。

第六章：算术平均数与几何平均数的扩展应用6.1 算术平均数与几何平均数在概率论中的应用引导学生了解算术平均数和几何平均数在概率论中的作用，如期望值和方差的计算。

算术平均数与几何平均数（第一课时）学案授课教师:玉田县林南仓中学金志刚一、复习回顾：1．“差值”比较法的依据是什么？解决问题的一般步骤是什么?主要解决哪些问题?2．不等式的基本性质：(1)反对称性：(2)传递性：(3)可加性：(4)可积性：(5)加法法则：(6)乘法法则：(7)乘方法则：(8)开方法则：3．练习：已知a、b为正实数，m、n∈N*且m＞n，求证：a m＋b m≥a m－n b n＋a n b m－n.二、自学指导：请同学们自学课本第9页并思考下面的问题:1.这段课文证明了哪几个重要不等式?他们之间有什么区别?2.你怎么理解‘‘当且仅当”?3.你还有其他的方法证明这几个重要不等式吗?4.什么是算术平均数和几何平均数？课本是怎样从几何的角度解释的? 三、简单应用：1.已知a、b、c都是正数，求证（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc2.已知x、y都是正数，求证：(1)yxxy+≥2； (2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.３．a2+b2+c2≥ab+bc+ca，(a、b、c、d∈R)４.求证：（2ba+）2≤222ba+.四、引申探究：例题：已知：（a＋b）（x＋y）＞2（ay＋bx），求证：五、课堂小结六、课后作业：课本P11习题６.２2、3.2x y a ba b x y--+≥--七、课后自助餐：１．（1）．a2+b2≥2|ab|；（2）．；（3）(a+b)2≥4ab；(a、b∈R，当且仅当a=b时取等号)2. 2(a2+b2)≥(a+b)2 (a、b∈R，当且仅当a=b时取等号)。

3. (a、b∈R且ab>0)。

4. （１）(即，a、b∈R+，当且仅当a=b时取等号)（２）(a、b∈R+，当且仅当a=b时等式成立) 5.（１） (a、b、∈R+)；（２），(a、b、c∈R+) ．6.a2+b2+c2+d2≥ab+bc+cd+da (a、b、c、d∈R)。

算术平均数与几何平均数教案教学目标：1.理解算术平均数和几何平均数的定义和意义。

2.学会计算算术平均数和几何平均数。

3.掌握算术平均数和几何平均数的应用场景。

教学步骤：Step 1：引入话题（10分钟）引入平均数的概念，让学生了解平均数在现实生活中的应用，在分享一些具体的例子，鼓励学生提出自己对平均数的理解。

Step 2：算术平均数（20分钟）2.1算术平均数的定义：2.2算术平均数的计算：给学生提供一组数据，让他们手算算术平均数的过程。

让学生通过操作这些数据，找到计算算术平均数的方法。

2.3算术平均数的应用：通过实际例子和应用问题，展示算术平均数的应用场景，例如：计算考试成绩的平均分，计算一个家庭的平均月开销等。

Step 3：几何平均数（20分钟）3.1几何平均数的定义：几何平均数是一组正数的乘积的n次方根。

3.2几何平均数的计算：给学生提供一组正数，让他们手算几何平均数的过程。

引导学生思考如何计算乘积的n次方根。

3.3几何平均数的应用：通过实际例子和应用问题，展示几何平均数的应用场景，例如：计算连续增长的比率，计算复利的年均增长率等。

Step 4：练习与应用（25分钟）让学生分小组进行练习，计算一些给定数据的算术平均数和几何平均数。

然后，给学生一些应用问题，让他们应用所学平均数的概念和计算方法解决问题。

Step 5：总结和归纳（15分钟）让学生总结算术平均数和几何平均数的定义、计算方法和应用场景。

可以通过小组讨论的方式，让学生分享彼此的理解和想法。

教学要点：1.引入平均数的概念，让学生理解平均数的定义和意义。

2.讲解算术平均数的定义和计算方法，引导学生找出计算算术平均数的公式。

3.讲解几何平均数的定义和计算方法，引导学生思考如何计算乘积的n次方根。

4.通过实际例子和应用问题，让学生了解算术平均数和几何平均数的应用场景。

5.分组练习和应用问题，让学生巩固所学概念和计算方法。

教学评估：1.利用小组讨论和学生报告的形式，评估学生对算术平均数和几何平均数的理解。

算术平均数与几何平均数【教学目标】（1） 知识目标使学生能准确表达两个重要不等式；理解它们成立的条件和意义；能正确运用算术平均数与几何平均数定理求最值.（2） 能力目标通过对实例的分析和提炼培养学生的观察、分析和抽象、概括能力；通过师生间的合作交流提高学生的数学表达和逻辑思维能力.（3） 情感目标 让学生经历知识的发生、发展、应用的全过程，鼓励学生在学习中勤于思考，积极探索；通过去伪存真的学习过程培养学生批判质疑的理性思维和锲而不舍追求真理的精神.【教学重点】两个正数的算术平均数与几何平均数定理及应用定理求最值.【教学难点】在求最值时如何正确运用定理.【教学过程】Ⅰ.引言：某人中秋节到超市买两斤糖果，不巧超市的电子秤坏了，但超市还有一个不等臂但刻度准确的坏天平，于是售货员先把糖果放在天平的左侧称出“一斤”，再拿出一些糖果放在天平的右侧称出“一斤”，然后把两次称出的糖果合在一起给了他，并且解释:“一边多一边少，加在一起就正好.”这种称法准确么？如果不准确，那么是称多了还是称少了？【分析】设天平左右两侧力臂长分别为1l 、2l ，两次称得的糖果实际重量为x 、y 则：12xl l =，12l yl =，∴2112l l x y l l +=+ 这个数比2大还是小呢？有没有好的解决方法？请同学们阅读课本第9，10页算术平均数与几何平均数一节的正文及例1，看看能否在课本中找到答案。

同时思考以下问题： 问题1.糖果给多了还是少了？你用什么知识解决了这个问题？如何解决的？问题2.除定理外还有一个重要不等式，内容是什么？它与定理有哪些相同点和不同点？ 问题3.认真分析例1及其证明过程，你能得到什么启示？Ⅱ. 阅读课文，找寻答案学生阅读课本后回答问题1和问题2，引出本节知识一．两重要不等式如果,a b R ∈那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取“=”号）.定理 如果,a b 是正数，那么2a b ab +≥ （当且仅当a b =时取“=”号）.想一想：“当且仅当”的含义是什么？介绍2a b +叫做a 、b 的算术平均数，ab 叫做a 、b 的几何平均数. 数列解释：两个正数的等差中项不小于它们的正项等比中项.Ⅲ.例题精析,去伪存真二．定理应用例1． 已知,x y 都是正数，求证：（1）如果积xy 是定值P ，那么当x y =时，和x y +有最小值2P ；（2）如果和x y +是定值S ，那么当x y =时，积xy 有最大值214S . 回答问题3，得出：1.利用定理可以求解最值问题；2.利用定理可以求解：和一定求积的最值；积一定求和的最值.3.利用定理求最值应满足：指出“一正”即满足定理成立的条件；“二定”即求和的最小值则积应为定值，求积的最大值则和应为定值；“三相等”即要保证求出的最值可以取到. 三个条件在利用定理求最值时缺一不可.练习1.(1)已知0x ≠，当x 取什么值时,2281x x+的值最小，最小值是多少？ (2)已知02x <<，当x 取什么值时, (2)x x -的值最大，最大值是多少？投影学生的解题过程，让其他学生分析是否完整，并思考这两个问题是否还有其他解法（第一个小题还可以利用第一个重要不等式；第二小题可以利用一元二次函数的最值求法）.练习2.下列问题的解法是否正确，如果错误请指出错误原因.（1）求函数1y x x=+ (0)x ≠的值域. 解：12y x x xx =+=≥ [)12.y x x∴=++∞函数的值域为， （2）求函数3(32),02y x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，的最大值.解：302x <<320x ∴-> 22323((x x x +--解：24x +2y x ∴=2144x =+满足和(32)x x +-为定值；练习3错误原因=不可能成立. 并且给出第（1）（2）小题的正确解法.再次强调“一正”即满足定理成立的条件；“二定”即求和的最小值则积应为定值，求积的最大值则和应为定值；“三相等”即要保证求出的最值可以取到。

高二数学教案：《算术平均数与几何平均数》教学设计（一）高二数学教案：《算术平均数与几何平均数》教学设计（一）教学目标（1）掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”这一重要定理；（2）能运用定理证明不等式及求一些函数的最值；（3）能够解决一些简单的实际问题；（4）通过对不等式的结构的分析及特征的把握掌握重要不等式的联系；（5）通过对重要不等式的证明和等号成立的条件的分析，培养学生严谨科学的认识习惯，进一步渗透变量和常量的哲学观；教学建议1．教材分析（1）知识结构（2）重点、难点分析本节课的重点内容是掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”；掌握两个正数的和为定值时积有最大值，积为定值时和有最小值的结论，教学难点是正确理解和使用平均值定理求某些函数的最值．为突破重难点，教师单方面强调是远远不够的，只有让学生通过自己的思考、尝试，注意到平均值定理中等号成立的条件，发现使用定理求最值的三个条件“一正，二定，三相等”缺一不可，才能大大加深学生对正确使用定理的理解，教学中要注意培养学生分析归纳问题的能力，帮助学生形成知识体系，全面深刻地掌握平均值定理求最值和解决实际问题的方法．㈠定理教学的注意事项它们本身也是根据不等式的意义、性质或用比较法（将在下一小节学习）证出的。

因此，凡是用它们可以获证的不等式，一般也可以直接根据不等式的意义、性质或用比较法证明。

（三）应用定理求最值的条件应用定理时注意以下几个条件：（1）两个变量必须是正变量；（2）当它们的和为定值时，其积取得最大值；当它们的积是定值时，其和取得最小值；（3）当且仅当两个数相等时取最值．即必须同时满足“正数”、“定值”、“相等”三个条件，才能求得最值．在求某些函数的最值时，还要注意进行恰当的恒等变形、分析变量、配置系数．（四）应用定理解决实际问题的分析在应用两个正数的算术平均数与几何平均数的定理解决这类实际问题时，要让学生注意；（1）先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；（3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值；（4）正确写出答案。

第5课时 算术平均数与几何平均数（2）目标引领1． 学习目标：运用基本不等式最值定理能解决一些简单的应用题.2． 学法指导： 建立函数模型xb ax y +=的实际问题中，要注意考察该问题是否符合运用均值不等式成立的条件，不符合时要运用函数的单调性来解决.教师在线1． 解析视频：解应用题的一般步骤：（1）阅读材料，设出未知数，确定量与量之间的关系.（2）建立数学模型xb ax y +=（3）运用均值不等式求最值，如果等号取不到，则用函数的单调性来解决（4）写出结论.2． 经典回放：【例1】某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的小房，房屋正面造价每平方米600元，房屋侧面的造价为每平方米400元，房顶的造价为5600元，如果墙高为3米且不计房背面的费用，问怎样设计能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：总造价=正面造价+侧面造价+屋顶造价，根据地面面积为12平方米，可设地面长为x 米，则宽为x12米. 解：可设地面长为x 米，则宽为x12米，再设总造价为y 元. 由题意知：560040031226002+⋅⋅⋅+⋅=x x y =5600288001800++x x 56002880018002+⋅≥x x =20000,当且仅当xx 288001800=时取等号,即4=x 时min y =20000元.答：当房屋地面长为4米，宽为3米时，总造价最低，最低造价为20000元. 点评：本题建立的数学模型是xb ax y +=型，在求最值时常用均值不等式求解. 【例2】某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台，每批都购入x 台，且每批均需付运费400元，贮存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比，若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43600元，现在全年只有24000元资金可以用于支付这笔费用，请问：能否恰当安排每批进货的数量使资金够用？写出你的结论，并说明理由.分析：本题是探索性应用问题，关键是求运输和保管总费用的最小值并与24000元比较.解：设全年需用去运输和保管总费用为y 元,由题意知：k x xy ⋅+⋅=20004003600由于400=x 时，,43600=y 所以,201=k 所以240001001440000≥+=x x y ，当且仅当x x 1001440000=时取等号,即120=x 时min y =24000元. 答：只要安排每批进货120台，就可以使资金够用.点评：建立的数学模型后，根据条件先求出待定系数.【例3】投资生产某产品，并用广告方式促销.已知生产这种产品的年固定投资为10万元，每生产1万件产品还需投入18万元，又知年销量W （万件）与广告费x （万元）之间的函数关系为()011≥++=x x kx W ，且知投入广告费1万元时，可销售2万件产品.预计此种产品的年销售收入M （万元）等于年成本（万元）的150﹪与年广告费用50﹪的和.（1） 试将年利润y （万元）表示为年广告费用x （万元）的函数；（2） 当年广告费用为多少时，年利润最大？分析：本题的数学模型是年利润=年销售收入—年成本—年广告费用.解：（1）∵()011≥++=x x kx W ，且当1=x 时，2=y ，∴3=k 由题意知：()1501018⋅+=W y %+50⋅x ﹪()x W -+-1018=()1228632+++-x x x ()0≥x , （2）设,1+=x t 则5.262651822265182=+⋅-≤+⎪⎭⎫⎝⎛+-=t t t t y 当且仅当tt 182=时取等号,即()3612=+x 时,5.26max =y ,此时,5=x 答: 当年广告费用为5万元时, 年利润最大, 最大年利润为26.5万元. 点评:通过换元,构造出x b ax +型再求最值. 同步训练1．某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当住第n 层楼时，上下楼造成的不满意度为n ，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随楼次升高，环境不满意程度降低，设住第n 层楼时，环境不满意度为,8n则此人应选（ ）.A ．1楼B ． 2楼C ．3楼D ．4楼2．做一个面积为1平方米，形状为直角三角形的铁架框，在下列四种长度的铁管中，最合理（够用，又浪费最少）的是（ ）.A. 4.6mB. 4.8mC. 5mD. 5.2m3．把长为12厘米的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是（ ）.A ．323平方厘米 B ．23平方厘米 C ．32平方厘米 D ．4平方厘米 4．直角三角形的周长为1，则三角形的最大面积为 . 5．函数⎥⎦⎤ ⎝⎛∈+=4,0,sin 1sin πx x x y 的最小值是 . 6.一直角三角形的两条直角边的长为a 、,b （1）若此三角形的周长为定值L ，求其面积的最大值；（2）若此三角形的面积为定值S ，求其周长的最小值.7.一轮船的燃料费与其速度的平方成正比，已知船速为每小时10公里，燃料费为每小时20元，其余费用（不随速度变化）为每小时320元，求当轮船的速度为每小时多少公里时，轮船航行每公里的费用总和最小？拓展尝新8．如图所示，电路中电源的电动势为ε，内阻为r ，1R 为固定电阻，求可变电阻2R 调至何值时 ，它所消耗的电功率最大？最大功率是多少？。