【2019-2020】高中数学第三章空间向量与立体几何3
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【2019-2020】高中数学第三章空间向量与立体几何3
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学习目标 1.理解直线与平面所成角、二面角的概念.2.掌握向量法解决空间角和距离问题.3.体会空间向量解决立体几何问题的三步曲．
知识点 空间三种角的向量求法
空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它们相应的取值范围，结合它们的取值范围可以用向量法进行求解．
角的分类
向量求法 范围
异面直线所成的角 设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量分别为a，b，则cosθ＝|cos〈a，b〉|＝|a·b||a||b| 0，π2
直线与平面所成的角 设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈a，n〉|＝|a·n||a||n| 0，π2
二面角 设二面角α－l－β为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|＝|n1·n2||n1||n2| [0，π]
(1)直线与平面所成的角α与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角β互余．(×)
(2)二面角的大小范围是.(×)
(3)二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小．(×)
3 / 24 (4)直线与平面所成角的范围是.(√)
类型一 求线线角、线面角
例1 (1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为________．
考点 向量法求直线与直线所成的角
题点 向量法求线线角
答案 3010
解析 如图所示，以C为坐标原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线CC1为z轴建立空间直角坐标系Cxyz.
设CA＝CB＝CC1＝1，则B(0,1,0)，
M，A(1,0,0)，
N，故＝，＝，
所以cos〈，〉＝＝＝.
(2)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M，N分别为PC，PB的中点．
①求证：PB⊥DM；
②求BD与平面ADMN所成的角．
考点 向量法求直线与直线所成的角
4 / 24 题点 向量法求线线角
①证明 如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，
设BC＝1，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，C(2,1,0)，M.
∵·＝(2,0，－2)·＝0，
∴PB⊥DM.
②解 ∵·＝(2,0，－2)·(0,2,0)＝0，
∴PB⊥AD.
又∵PB⊥DM，AD∩DM＝D，
∴PB⊥平面ADMN.
即为平面ADMN的一个法向量．
因此〈，〉的余角即是BD与平面ADMN所成的角．
∵cos〈，〉＝＝＝，
且〈，〉∈[0，π]，
∴〈，〉＝，
∴BD与平面ADMN所成的角为.
反思与感悟 用向量法解决线线角、线面角问题时，首先需建立适当的坐标系，然后求解相应的向量表达式，再借助于空间向量的运算进行求解．
跟踪训练1 (1)已知在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则AB1与D1E所成角的余弦值为( )
5 / 24 A.1010
B.105
C．－1010
D．－105
考点 向量法求线线角
题点 向量法求线线角
答案 A
解析 ∵A(2,2,0)，B1(2,0,2)，E(0,1,0)，D1(0,2,2)，
∴＝(0，－2,2)，＝(0,1,2)，
∴||＝2，||＝，·＝0－2＋4＝2，
∴cos〈，〉＝＝＝，
又异面直线所成角的范围是，
∴AB1与ED1所成角的余弦值为.
(2)如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.
①证明：AB⊥A1C；
②若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．
考点 向量法求线面角
题点 向量法求线面角
①证明 取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.
6 / 24 ∵CA＝CB，∴OC⊥AB.
由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，
故△AA1B为等边三角形，
∴OA1⊥AB.
∵OC∩OA1＝O，
∴AB⊥平面OA1C.
又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.
②解 由①知OC⊥AB，OA1⊥AB.
又平面ABC⊥平面AA1B1B，
交线为AB，OC⊂平面ABC，
∴OC⊥平面AA1B1B，
故OA，OA1，OC两两垂直．
以O为坐标原点，OA，OA1，OC所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
设AB＝2，则A(1,0,0)，A1(0，，0)，
C(0,0，)，B(－1,0,0)，
则＝(1,0，)，＝＝(－1，，0)，
A1C-→＝(0，－，)．
设n＝(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量，
则即 x＋3z＝0，－x＋3y＝0，
可取n＝(，1，－1)．
故cos〈n，〉＝＝－，
7 / 24 ∴A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.
类型二 求二面角问题
例2 如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点，求二面角A－A1D－B的余弦值．
考点 向量法求二面角
题点 向量法求二面角
解 取BC的中点O，连接AO，因为△ABC是正三角形，所以AO⊥BC，因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，AO⊂平面ABC，所以AO⊥平面BCC1B1.
取B1C1的中点O1，以O为坐标原点，分别以OB，OO1，OA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0)．
设平面A1AD的法向量为n＝(x，y，z)，
AD→＝(－1,1，－)，＝(0,2,0)．
因为n⊥，n⊥，
所以得 －x＋y－3z＝0，2y＝0，
所以 y＝0，x＝－3z.
令z＝1，得n＝(－，0,1)为平面A1AD的一个法向量．
又因为＝(1,2，－)，＝(－2,1,0)，
BA1→＝(－1,2，)，
8 / 24 所以·＝－2＋2＋0＝0，
AB1→·＝－1＋4－3＝0，
所以⊥，⊥，
即AB1⊥BD，AB1⊥BA1，
且BD∩BA1＝B，
所以AB1⊥平面A1BD，
所以是平面A1BD的一个法向量，
所以cos〈n，〉＝＝＝－，
又二面角A－A1D－B为锐二面角，
所以二面角A－A1D－B的余弦值为.
反思与感悟 求角二面角时，可以用方向向量法，也可以采用法向量法求解．
跟踪训练2 如图，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，BC＝，PA＝AC＝1，求二面角A－PB－C的余弦值．
考点 向量法求二面角
题点 向量法求二面角
解 以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，取PB的中点D，连接DC，可知DC⊥PB，作AE⊥PB于点E，则向量与的夹角的大小为二面角A－PB－C的大小．
9 / 24 ∵A(1,0,0)，B(0，，0)，C(0,0,0)，P(1,0,1)，
D为PB的中点，
∴D.
在Rt△PAB中，由△PAB∽△AEB∽△PEA，
得＝＝，
∴E.
∴＝，＝，
∴·＝.
又||＝，||＝1，
∴cos〈，〉＝＝＝，
∴二面角A－PB－C的余弦值为.
1．已知向量m，n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为( )
A．30°B．60°C．120°D．150°
考点 向量法求线面角
题点 向量法求线面角
答案 A
解析 设l与α所成的角为θ，则
sinθ＝|cos〈m，n〉|＝.∴θ＝30°.
2．已知二面角α－l－β的两个半平面α与β的法向量分别为a，b，若〈a，b〉＝，则二面角α－l－β的大小为( )
10 / 24 A. B.2π3
C.或 D.或π3
考点 向量法求二面角
题点 向量法求二面角
答案 C
解析 由于二面角的范围是[0，π]，而二面角的两个半平面α与β的法向量都有两个方向，因此二面角α－l－β的大小为或，故选C.
3．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝1，D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为( )
A.B．－C.D．－104
考点 向量法求解直线与平面所成的角
题点 向量法解决直线与平面所成的角
答案 A
解析 取AC的中点E，连接BE，
则BE⊥AC，以B为坐标原点，BE，BB1所在直线分别为x轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，
则A，D(0,0,1)，B(0,0,0)，E，
则＝，＝.
∵平面ABC⊥平面AA1C1C，
平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，BE⊥AC，BE⊂平面ABC，
∴BE⊥平面AA1C1C，
∴＝为平面AA1C1C的一个法向量．
