【2019最新】高中数学第三章空间向量与立体几何3-2空间向量在立体几何中的应用3-2-1直线的方向向量与直线的

●

O ● P

P 人教A版选修1-1教案

3.2 立体几何中的向量方法

§3.2.1直线的方向向量与平面的法向量

【学情分析】：

教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,所以本节课是通过这些知

识理解空间的几个元素点、直线、平面的位置的向量表示，并且用向量及其运算表示线线、线面、面面间

的平行与垂直的位置关系,可以比较顺利地进行教学.

【教学目标】：

（1）知识与技能：理解直线的方向向量和平面的法向量；会用向量及其运算表示线线、线面、面面

间的位置关系.

（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对相关知识的理解。

（3）情感态度与价值观：开始体会把立方体几何几何转化为向量问题优势.

【教学重点】：

平面的法向量.

【教学难点】：

用向量及其运算表示线线、线面、面面间的平行与垂直关系.

【教学过程设计】：

教学环节 教学活动 设计意图

一、复习引

入

1． 两个非零向量共线的充要条件是什么？

2． 什么叫直线的方向向量？

3． 回顾平面向量基本定理。 为探索新知识做准

备.

二、探究新

知

一、点、直线、平面的位置的向量表示

1. 思考：如何确定一个点在空间的位置？

如图，在空间中，我们取一点O作为基点，那么空间中任意一点P

的位置就可以用向量OP

来表示．称向量OP

为点的位置向量。

2. 思考：在空间中给定一个定点A和一个定方向（向量），能确定一条直

线在空间的位置吗？

要求学生自己寻找

空间中的几何元素

点、直线、平面的

位置的向量表示方

法。

基点

)(RaAP=a

l

A

ml//



//如图，点A和a

不仅可以确定直线l

的位置，还可以具体表示出l

上的

任意一点P。

3. 思考：给定一个定点和两个定方向（向量），能确定一个平面在空间的

位置吗？

如图，点O和a

、b

不仅可以确定平面

的位置，还可以具体表示出

内的任意一点P.

4.思考：给定一个定点和一个定方向（向量），能确定一个平面在空间的

最新资料

部编本试题，欢迎下载！ 第3课时 用向量方法求空间中的角

课时过关·能力提升

基础巩固

1若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,则直线l与平面α所成的角等于( )

A.120° B.60°

C.30° D.以上均错

解析:∵l的方向向量与平面α的法向量的夹角为120°,

∴它们所在直线的夹角为60°.

则直线l与平面α所成的角为90°-60°=30°.

答案:C

2设四边形ABCD,ABEF都是边长为1的正方形,FA⊥平面ABCD,则异面直线AC与BF所成的角等于 ( )

A.45° B.30° C.90° D.60°

解析:建立如图所示的空间直角坐标系,

则A(0,0,0),F(0,0,1),B(0,1,0),C(1,1,0),

∴𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0),𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,1).

∴𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ =-1.

设异面直线AC与BF所成的角为θ,

∴cos θ=|cos<𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ,𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ >|=12.

又∵θ∈(0°,90°],∴θ=60°.

答案:D

3若a=(λ,1,2)与b=(2,-1,-2)的夹角为钝角,则实数λ的取值范围为( ) A.λ<52

B.λ<52,且λ≠-2 最新资料

部编本试题，欢迎下载！ C.λ≥52,且λ≠4

D.λ≥52

解析:由已知,得a·b=2λ+(-1)-4<0,即λ<52.

而|a|=√5+𝜆2,|b|=3,又为钝角,

∴2𝜆-53√5+𝜆2≠-1,即λ≠-2.

答案:B

4若斜线段与它在平面α内射影的长之比是2∶1,则AB与平面α所成角为( )

A.π6 B.π3

C.23π D.56π

解析:设AB与平面α所成角为θ,由题意知cos θ=12,则AB与平面α所成角为π3.

答案:B

5若平面α的一个法向量为n=(4,1,1),直线l的一个方向向量为a=(-2,-3,3),则l与α所成角的余弦值为 ( )

描述：

例题：高中数学选修2-1(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案

第三章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量在立体几何中的应用

一、学习任务

1. 理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量．

2. 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系．

3. 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；能用向量方法判断

一些简单的空间线面的平行和垂直关系．

4. 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题；体会向量方法在研究几何问题中的

作用．

二、知识清单

异面直线所成的角 线面角 二面角

空间向量的应用

三、知识讲解

1.异面直线所成的角

设直线 是异面直线，过空间一点 分别作直线 的平行线 ，我们把直线

所成的锐角或直角叫做异面直线 所成的角，或异面直线 的夹角．a,bOa,b,a′

b′,a′

b′

a,ba,b

如图，在正方体 中，求：

（1）异面直线 与 所成的角；

（2） 与 所成的角．

解：（1）因为 ，而 ，所以 ，即 与 所

成角为 ．

（2）如下图，连接 ，，因为 ，所以 与 所成的角即为

与 所成的角．

又 ，所以 为正三角形，所以 和 所成的角为 ABCD−A

1B

1C

1D

1

ABA

1D

1

AD

1DC

1

∥ABA

1B

1⊥A

1D

1A

1B

1⊥ABA

1D

1ABA

1D

1

90∘

AB

1B

1D

1A∥DB

1C

1AB

1AD

1

DC

1AD

1

A=A

=

D

1B

1B

1D

1△AB

1D

1AD

1AB

1

A

描述：

例题：2.线面角

一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平

面的交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足

和斜足

的直线

叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条

直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，则称直线和平面所成的角是；一条直线和

平面平行，或在平面内，则称直线和平面所成的角是．，即 与 所成的角为 ．60∘

3.2.2 空间线面关系的判定

学 习 目 标 核 心 素 养

1.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系，能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．(重点)

2.能用向量方法判定空间线面的平行和垂直关系．(重点、难点)

3.向量法证明线面平行．(易错点) 1.通过线面位置关系的判断与证明，培养逻辑推理素养．

2.借助方向向量、法向量的应用，提升数学运算素养.

向量法判定线面关系

设空间两条直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2，两个平面α1，α2的法向量分别为n1，n2，则有下表：

平行 垂直

l1与l2 e1∥e2 e1⊥e2

l1与α1 e1⊥n1 e1∥n1

α1与α2 n1∥n2 n1⊥n2

思考：若一个平面内一条直线的方向向量与另一个平面的法向量共线，则这两个平面是否垂直？

[提示] 垂直

1．若直线l的方向向量a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则

( )

A．l∥α B．l⊥α

C．l⊂α D．l与α斜交

B [∵n＝(－2,0，－4)＝－2(1,0,2)＝－2a，

∴n∥a，∴l⊥α.]

2．已知不重合的平面α，β的法向量分别为n1＝12，3，－1，n2＝－16，－1，13，则平面α与β的位置关系是________．

平行 [∵n1＝－3n2，∴n1∥n2，故α∥β.]

3．设直线l1的方向向量为a＝(3,1，－2)，l2的方向向量为b＝(－1,3,0)，则直线l1与l2的位置关系是________．

垂直 [∵a·b＝(3,1，－2)·(－1,3,0)＝－3＋3＋0＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.]

4．若直线l的方向向量为a＝(－1,2,3)，平面α的法向量为n＝(2，－4，－6)，则直线l与平面α的位置关系是________． 垂直 [∵n＝－2a，∴n∥a，又n是平面α的法向量，所以l⊥α.]