2019-2020学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.1.3 空间向量基本定理 3.1

3.1.3 空间向量基本定理3.1.4 空间向量的坐标表示

学 习 目 标 核 心 素 养

1.掌握空间向量的基本定理及其推论，理解空间向量的正交分解，掌握用基底表示空间向量的方法．(重点、难点)

2.理解空间向量坐标的定义，能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算，会根据向量的坐标运算判断两个空间向量平行．(重点)

3.基向量的选取及应用．(易错点) 1.借助空间向量的坐标运算，提升数学运算素养．

2.通过空间向量基本定理的运用，培养数学抽象素养.

1．空间向量基本定理

如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使p＝xe1＋ye2＋ze3.

2．基底、基向量

在空间向量基本定理中，e1，e2，e3是空间不共面的三个向量，则把{e1，e2，e3}称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫做基向量.0不能作为基向量．

3．正交基底、单位正交基底

如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底．特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i，j，k}表示．

4．空间向量基本定理的推论

设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→.

5．空间向量的坐标运算

(1)空间向量的坐标

在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则AB→＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)；当空间向量a的起点移至坐标原点时，其终点坐标就是向量a的坐标．

(2)空间向量的坐标运算

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．

向量的加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)

向量的减法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)

数乘向量 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R

向量平行 a∥b(a≠0)⇔

b1＝λa1，b2＝λa2，b3＝λa3，λ∈R

思考：(1)零向量能不能作为一个基向量？

(2)当基底确定后，空间向量基本定理中实数组{x，y，z}是否唯一？

[提示] (1)不能．因为0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面．

(2)唯一确定．

1．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，可以作为空间向量一个基底的是( )

A.AB→，AC→，AD→ B.AB→，AA1→，AB1→

C.D1A1→，D1C1→，D1D→ D.AC1→，A1C→，CC1→

C [由题意知，D1A1→，D1C1→，D1D→不共面，可以作为空间向量的一个基底．]

2．已知向量a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则4a＋2b等于( )

A．(16,0,4) B．(8，－16,4)

C．(8,16,4) D．(8,0,4)

D [4a＝(12，－8,4)，2b＝(－4,8,0)，

∴4a＋2b＝(8,0,4)．]

3．设{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1－3e2＋7e3，则a，b的坐标分别为________．

a＝(4，－8,3) b＝(－2，－3,7) [由题意知a＝(4，－8，3)，b＝(－2，－3,7)．]

4．设a＝(1,2,3)，b＝(－2,2，－2)，若(ka－b)∥(a＋b)，则k＝________.

－1 [ka－b＝k(1,2,3)－(－2,2，－2)＝(k＋2,2k－2,3k＋2)，a＋b＝(－1,4,1)．∵(ka－b)∥(a＋b)，

∴k＋2－1＝2k－24＝3k＋2，解得k＝－1.]

基底的判断

【例1】 (1)若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是________(填序号)．

①{a，a＋b，a－b}；②{b，a＋b，a－b}；③{c，a＋b，a－b}；④{a＋b，a－b，a＋2b}．

(2)若{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且向量OA→＝2e1＋e2＋e3，OB→＝e1－e2＋2e3，OC→＝ke1＋3e2＋2e3不能作为空间的一组基底，则k＝________.

[思路探究] (1)看各组向量是否共面，共面不能作为基底，否则可作基底；(2)OA→，OB→，OC→共面，利用共面向量定理求解．

[解析] (1)若c，a＋b，a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则a，b，c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋b，a－b可构成空间向量的一组基底．

(2)因为OA→，OB→，OC→不能作为空间向量的一组基底，故OA→，OB→，OC→共面．

由共面向量定理可知，存在实数x，y，使OC→＝xOA→＋yOB→，

即ke1＋3e2＋2e3＝x(2e1＋e2＋e3)＋y(e1－e2＋2e3)．

故 k＝2x＋y，3＝x－y，2＝x＋2y，解得x＝83，y＝－13，k＝5.

[答案] (1)③

(2)5

基底的判断

判断某一向量组能否作为基底，关键是判断它们是否共面．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断．

用基底表示空间向量

【例2】 如图所示，空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，试用向量a，b，c表示向量GH→.

[思路探究]

GH→＝OH→－OG→ →用OD→表示OH→ →

用OB→，OC→表示OD→，用OA→，AG→表示OG→ →用AD→表示AG→

→用OD→，OA→表示AD→ →用OB→，OC→表示OD→ [解] GH→＝OH→－OG→，∵OH→＝23OD→，

∴OH→＝23×12(OB→＋OC→)＝13(b＋c)，

OG→＝OA→＋AG→＝OA→＋23AD→

＝OA→＋23(OD→－OA→)＝13OA→＋23×12(OB→＋OC→)

＝13a＋13(b＋c)，∴GH→＝13(b＋c)－13a－13(b＋c)＝－13a，即GH→＝－13a.

用基底表示向量的技巧

1．定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．

2．找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变换、化简，最后求出结果．

3．下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．

1．如图所示，已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1，设AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，P是CA1的中点，M是CD1的中点．用基底{a，b，c}表示以下向量：

(1)AP→；(2)AM→.

[解] 如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，连接AC，AD1，

(1)AP→＝12(AC→＋AA1→)

＝12(AB→＋AD→＋AA1→)

＝12(a＋b＋c)．

(2)AM→＝12(AC→＋AD1→)＝12(AB→＋2AD→＋AA1→)＝12a＋b＋12c.

空间向量的坐标运算

[探究问题]

1．如何建立空间直角坐标系？

[提示] (1)用空间向量的坐标运算解决问题的前提是建

立恰当的空间直角坐标系，为便于坐标的求解及运算，在建立空间直角坐标系时，要充分分析空间几何体的结构特点，应使尽可能多的点在坐标轴上或坐标平面内．

(2)进行向量的运算时，在能建系的情况下尽量建系化为坐标运算，并且按照右手直角坐标系建系，如图所示．

2．如何运用空间向量的坐标运算解决几何问题？

[提示] 运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤：

(1)建立恰当的空间直角坐标系；

(2)求出相关点的坐标；

(3)写出向量的坐标；

(4)结合公式进行论证、计算；

(5)转化为几何结论．

【例3】 如图，在长方体OAEB­O1A1E1B1中，OA＝3，OB＝4，OO1＝2，点P在棱AA1上，且AP＝2PA1，点S在棱BB1上，且SB1＝2BS，点Q，R分别是棱O1B1，AE的中点．

求证：PQ∥RS.

[思路探究] 以O为原点，以OA→，OB→，OO1→的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，确定PQ→，RS→的坐标，利用向量共线证明．

[解] 如图，建立空间直角坐标系，

则A(3,0,0)，B(0,4,0)，O1(0,0,2)，A1(3,0,2)，B1(0,4,2)．

∵PA＝2PA1，SB1＝2BS，

Q，R分别是棱O1B1，AE的中点，∴P3，0，43，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S0，4，23.

于是PQ→＝－3，2，23＝RS→，∴PQ→∥RS→.

∵R∉PQ，∴PQ∥RS.

两向量平行的充要条件有两个：①a＝λb，

② x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2，依此既可以判定两向量共线，也可以通过两向量平行求待定字母的值．

2．已知四边形ABCD的顶点坐标分别是A(3，－1,2)，B(1，2，－1)，C(－1,1，－3)，D(3，－5,3)，求证：四边形ABCD是一个梯形．

[证明] ∵AB→＝(1,2，－1)－(3，－1,2)＝(－2,3，－3)，CD→＝(3，－5,3)－(－1,1，－3)＝(4，－6,6)，

∴－24＝3－6＝－36，

∴AB→与CD→共线，即AB∥CD.

又∵AD→＝(3，－5,3)－(3，－1,2)＝(0，－4,1)，

BC→＝(－1,1，－3)－(1,2，－1)＝(－2，－1，－2)，

∴0－2≠－4－1≠1－2，

∴AD→与BC→不平行．

∴四边形ABCD为梯形．

1．基底中不能有零向量．因零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量．

2．空间几何体中，要得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两两垂直的三条线段所在直线为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标．

3．用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则．逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示．

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若{a，b，c}为空间一个基底，且p＝xa＋yb＋zc.若p＝0，则x＝y＝z＝0.( )

(2)若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面．( )

(3)以原点O为起点的向量OP→的坐标和点P的坐标相同．( )

(4)若OP→＝(2,3,0)，则点P在平面xOy内．( )

[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)√

2．在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是( )