高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中

第三章 空间向量与立体几何

一、坐标运算

111222,,,,,axyzbxyz

121212121212111121212,,,,,,,,abxxyyzzabxxyyzzaxyzabxxyyzz则

二、共线向量定理

,0,=.abbabab充要对于使

三、共面向量定理

,,.abpabxypxayb充要若与不共线，则与共面使

,,,1.OOPxOAyOBPABxy充要条件四、对空间任意一点，若则三点共线

,1.PABCOOPxOAyOBzOCPABCxyz充要五、对空间异于、、、四点的任意一点，若若、、、四点

11,1.PABCAPxAByACOPOAxOBOAyOCOAOPxOByOCxyOAxyzxyz证明：①必要性、、、四点共面，，，，令

1,1,xyzOPyzOAyOBzOCOPOAyOBOAzOCOAAPyABzACABCP②充分性，，、、、四点共面.

六、空间向量基本定理

,,abcpxyzpxaybzcabcabc若,,不共面，对于任意，使=++，称,,做空间的一个基底，,,都叫做基向量.

七、立体几何中的向量方法

121212,,.nnllvv设平面和的法向量为和直线和的方向向量为

11121111121212121212nvlllnvlllvvllvvnnnn①或②若③④⑤⑥

八、角、距离

1异面直线的夹角，

coscos,ABCDABCDABCD则

2,线与面的夹角

sincosanan则

最新中小学教案、试题、试卷

最新中小学教案、试题、试卷 1 3.2.5 距离

课后导练

基础达标

1.如右图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则C1在面ABC上的射影H必在（ ）

A.直线AB上 B.直线BC上 C.直线CA上 D.△ABC内部

答案：A

2.下列命题中正确命题的个数为（ ）

①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；

②如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；

③过平面外一点有且只有一条直线与平面平行；

④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

答案：B

3.如右图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB=90°,M为AB中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么（ ）

A.PA=PB＞PC B.PA=PB＜PC C.PA=PB=PC D.PA≠PB≠PC

答案：C

4.正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a，点M分AN1AC的比为21，N为B1B的中点，则|MN|为…（ ）

A. 621a B.66a C.615a D.315a

答案：A

5.(2005全国高考卷Ⅲ，11)不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（ ）

A.3个 B.4个 C.6个 D.7个

答案：D

6.如左下图，AB垂直于△BCD所在的平面，AC=10，AD=17，BC∶BD=3∶4，当△BCD的面积最大时，点A到直线CD的距离为______________. 最新中小学教案、试题、试卷

1 空间向量立体几何知识点集锦

一、空间向量的加法和减法：

1求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点，作a，b，则ab．

2求两个向量和的运算称为向量的加法：在空间以同一点为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形C，则以起点的对角线C就是a与b的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则．

二、实数与空间向量a的乘积a是一个向量，称为向量的数乘运算．当0时，a与a方向相同；当0时，a与a方向相反；当0时，a为零向量，记为0．a的长度是a的长度的倍．

三、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．

四、向量共线充要条件：对于空间任意两个向量a，0bb，//ab的充要条件是存在实数，使ab．

五、平行于同一个平面的向量称为共面向量．

六、向量共面定理：空间一点位于平面C内的充要条件是存在有序实数对x，y，使xyC；或对空间任一定点，有xyC；或若四点，，，C共面，则1xyzCxyz．

七、已知两个非零向量a和b，在空间任取一点，作a，b，则称为向量a，b的夹角，记作,ab．两个向量夹角的取值范围是：,0,ab．

八、对于两个非零向量a和b，若,2ab，则向量a，b互相垂直，记作ab．

九、已知两个非零向量a和b，则cos,abab称为a，b的数量积，记作ab．即cos,ababab．零向量与任何向量的数量积为0．

1 专题七 立体几何

第2课时 空间关系与空间角

命题人: 审核人: 时间：

教学班级

行政班级 姓名 学号 面批时间

课前自学案

【考情分析】立体几何是高考的重点内容之一,从近几年高考试题来看,主要是考查线面位置关系的判断与证明;三是考查空间向量的应用,尤其空间向量法求空间角（特别是二面角）是考查的热点之一.主要问题类型：(1)空间线面关系的证明；(2)空间角的求法；(3)存在性问题的处理方法．

求解时应注意的问题：(1)利用空间向量求异面直线所成的角时，应注意角的取值范围；

(2)利用空间向量求二面角的平面角时，应注意观察二面角是钝角还是锐角．

【要点梳理】1．平行关系及垂直关系的转化

2．空间角的求解

(1)异面直线所成的角：若异面直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，它们所成的角为θ(0＜θ≤π2)，则cos θ＝|cos〈v1，v2〉|.

(2)线面角：设直线l与平面所成的角为θ(0≤θ≤π2)，直线l的方向向量为a，平面的法向量为μ，则sin θ＝|cos〈a，μ〉|＝|a·μ||a||μ|.

(3)二面角：设二面角大小为θ(0≤θ≤π)，两个面的法向量分别为μ和v，则|cos θ|＝|cos〈μ，v〉|＝|μ·v||μ||v|.

易错警示：①求线面角时，得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦，是线面角的正弦，容易误以为是线面角的余弦．

②求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析． 编号

012 2 【课前自测】1.(2013年高考卷理 4）已知三棱柱111ABCABC的侧棱与底面垂直,体积为94 ,底面积是边长为 3的正三角形，若P为底面111ABC的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为 ( )

（A） 512 （B）3 （C） 4 （D） 6

2.(2009年高考卷理5)已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“m”的( )