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高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及

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1 3.1.4 空间向量的直角坐标运算

课后训练

1．已知点B是点A(3,7，－4)在xOz平面上的射影，则|OBuuur|2＝( )

A．(9,0,16) B．25

C．5 D．13

2．设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB中点M到点C的距离|CMuuuur|＝( )

A．534 B．532

C．532 D．132

3．已知a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为( )

A．65 B．652

C．4 D．8

4．已知a＝(cos α，1，sin α)，b＝(sin α，1，cos α)，则a＋b与a－b的夹角是( )

A．90° B．60°

C．30° D．0°

5．已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)，若a∥b，则( )

A．x＝6，y＝15

B．x＝3，152y

C．x＝3，y＝15

D．x＝6，152y

6．已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以ABuuur＝a＝(2,1，－1)，ADuuur＝b＝(1，－2,1)，1AAuuur＝c＝(1,1,1)为三条棱，则|1ACuuuur|＝__________.

7．已知三点P1(－x,1，－3)，P2(2，y，－1)，P3(－3,0，z)，若13PPuuuur＝3235PPuuuur，则x＝__________，y＝__________，z＝__________.

8．已知点A(1,0,0)，B(3,1,1)，C(2,0,1)，且BCuuur＝a，CAuuur＝b，则〈a，b〉＝__________.

9．设空间两个单位向量OAuuur＝(m，n,0)，OBuuur＝(0，n，p)与OCuuur＝(1,1,1)的夹角都等于π4，求cos∠AOB. 2 10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，问当点N位于AB何处时，MN⊥MC1? 3

参考答案

1. 答案：B 由题意，得B(3,0，－4)，

∴|OBuuur|2＝32＋02＋(－4)2＝25.

2. 答案：C 由题意，得M(2,1.5,3)，CMuuuur＝(2,0.5,3)，

|CMuuuur|＝2225320.532.

3. 答案：A ∵222||=212=3a，|b|＝3，

∴cos〈a，b〉＝49，

sin〈a，b〉＝659，

S＝|a||b|sin〈a，b〉＝65.

4. 答案：A 因(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝cos2α＋12＋(sin α)2－(sin2α＋12＋cos2α)＝0，

故a＋b与a－b的夹角是90°.

5. 答案：D a∥b6,245153.2xxyy

6. 答案：17 ∵1ACuuuur＝a＋b＋c＝(2,1，－1)＋(1，－2,1)＋(1,1,1)＝(4,0,1)，

∴|1ACuuuur|＝22240117.

7. 答案：6 53 94 由已知条件得，

(－3＋x,0－1，z＋3)＝35(2＋3，y－0，－1－z)，

解得x＝6，53y，94z.

8. 答案：60° 由题中条件得

a＝(－1，－1,0)，b＝(－1,0，－1)．

故cos〈a，b〉＝·||||abab

＝2222221110101 4 ＝12，

所以〈a，b〉＝60°.

9. 答案：解：由题意得，222222221,1,πcos,43πcos,43mnnpmnmnnpnp

解得624n，

故cos∠AOB＝||||OAOBOAOBuuuruuuruuuruuur＝n2＝234.

10. 答案：解：以A为坐标原点，棱AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为a，

则0,0,2aM，C1(a，a，a)，N(x,0,0)．

1MCuuuur＝,,2aaa，MNuuuur＝,0,2ax，

MNuuuur·1MCuuuur＝xa－24a＝0，得x＝4a.

所以点N的坐标为,0,04a，即N为AB的四等分点且靠近A点时，MN⊥MC1.

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空间向量1(教师)

空间向量1(教师)

新高二数学教师讲义

1 第三章 空间向量与立体几何

3．1 空间向量及其运算

3.1.1 空间向量及其加减法

【考点同步解读】

1．理解空间向量概念及其运算性质，掌握空间向量的几何表示法和字母表示法.

2．能够结合图形说明空间向量加减法及其运算律.

考点1：空间向量基本概念及理解

例1:给出下列命题：

①若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b；

②若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；

③零向量没有方向；

④若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同．

其中假命题的个数是( )．

A．1 B．2 C．3 D．4

正解：模相等的两个向量不一定相等，①错；|m|＝|n|，|n|＝|p|，所以|m|＝|p|，又m与n同向，n与p同向，从而m与p同向，所以m＝p，②对；零向量方向任意，但并不是没有方向，③错；④错．

C

正解依据：（1）空间中的单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中对应的概念完全一样．

（2）两个向量的模相等，只是它们的长度相等，但它们的方向不一定相同.

考点2：空间向量加减法及运算律

例2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为AB、B1C的中点．用AB→、AD→、AA1→表示向量MN→，则MN→＝________．

正解：解析 MN→＝MB→＋BC→＋CN→

＝12AB→＋AD→＋12(CB→＋BB1→)

＝12AB→＋AD→＋12(－AD→＋AA1→)

＝12AB→＋12AD→＋12AA1→.

正解依据：（1）掌握好向量加、减法的三角形法则是解决这类问题的关键，灵活应用相反向量及两向量的和、差，可使这类题迅速获解，另外需注意零向量的书写要规范．

（2）利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．

江苏省苏州市第五中学高中数学教案 苏教版选修2-1 第三章《空间向量与立体几何》3.1空间向量及其运算

江苏省苏州市第五中学高中数学教案 苏教版选修2-1 第三章《空间向量与立体几何》3.1空间向量及其运算

第3章 空间向量与立体几何

3．1 空间向量及其运算

一、学习内容、要求及建议

二、预习指导

1．预习目标

(1)了解空间向量的概念及空间向量的几何表示法、字母表示法和坐标表示法；

(2)了解共线或平行向量概念、向量与平面平行(共面)意义，掌握它们的表示方法；

(3)会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；

(4)了解空间向量基本定理及其意义；会在简单问题中选用空间三个不共面向量作基底，表示其他的向量；

(5)会用向量解决立体几何中证明直线和平面垂直、直线和直线垂直、求两点距离或线段长度等问题的基本方法步骤．

(6)掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；

(7)理解空间向量夹角和模的概念及表示方法，理解两个向量的数量积的概念、性质 知识、方法 要求 学习建议

空间向量的概念 了解 空间向量的定义、表示方法及相等关系都与平面向量相同．可在复习平面向量的定义、表示方法及其相等关系后类比进行理解﹒

空间向量共线、共面的充分必要条件 理解 共面向量与共线向量的定义对象不同，但定义形式相同．

空间向量的加法、减法及数乘运算 理解 掌握空间向量的加法、减法和数乘运算．利用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律﹒

空间向量的坐标表示 理解 空间向量的坐标运算，加法、减法和数量积同平面向量类似，具有类似的运算法则，学习中可类比推广．

空间向量的数量积 理解 掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握空间向量的坐标表示；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；理解向量长度公式及空间两点间距离公式．

空间向量的共线与垂直 理解 能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直． ABCOMNG和计算方法及运算律．

(8)理解向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式，并会用这些公式解决有关问题．

2．预习提纲

(1)回顾平面向量的相关知识：

①平面向量的基本要素是什么? ②平面向量是如何表示的?

空间向量与立体几何教案

空间向量与立体几何教案

第三章 空间向量与立体几何

3.1空间向量及其运算（一）

教学目标：

㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；

㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；

⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；

⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．

㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会

用联系的观点看待事物．

教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．

教学难点：应用向量解决立体几何问题．

教学方法：讨论式．

教学过程：

Ⅰ.复习引入

［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？

［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：

①用有向线段表示；

②用字母a、b等表示；

③用有向线段的起点与终点字母：AB．

［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．

［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：

⒈向量的加法：

⒉向量的减法：

⒊实数与向量的积：

实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：

(1)|λa|＝|λ||a|

(2)当λ＞0时，λa与a同向；

当λ＜0时，λa与a反向；

当λ＝0时，λa＝0. ［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？

［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律

加法交换律：a＋b＝b＋a

加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）

数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb

［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P26～P27．

空间向量与立体几何

空间向量与立体几何

第三章 空间向量与立体几何

3．1 空间向量及其运算

3．1．1 空间向量的线性运算

一、学习目标

经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解平面向量和空间向量的本质和向量运算性质．

二、知识梳理

(一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)

1．化简MNPNPM ( )

A．PM B．NP C．0 D．MN

2．已知向量cba,,，则下列等式中错误的是( )

A．cbacba)()( B．cbacba)()(

C．0)()(cbacba D．0)()(cbacba

3．在空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则)(21BCBDAB等于( )

A．AD B．GA C．AG D．MG

4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，以其顶点为始点和终点的向量中与AC共线的有______个．( )

A．0 B．1 C．2 D．3

(二)填空题

5．在空间四边形ABCD中，DABCCDAB______．

6．设,0)2(2)2(3xabx则x＝______.

7．棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，以正方体AC1的顶点为始点和终点的向量中，模长等于2的向量有______个，模长等于3的向量有______个．

8．(1)1111111111)(4(;))(3(;))(2(;)(AACBBBABCDDAAACCBCAB1111)CBBA，其中运算结果等于1AC的是______(填序号)．

9．)322(21)623(31)2(3cbacbacba______.

(三)解答题

10．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设,,,1cAAbADaAB，E、F分别是AD1，BD中点．

(1)用向量cba,,表示EFBD,1；

(2)化简：.21111EDDCBCBBAB

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