映射的概念教学设计

1—1.1.1集合的含义与表示

一、教材分析

1. 在教材中的地位与作用

在《集合与函数概念》一章中，《集合的含义与表示》是一项重要的基础内容，在知识体系来看，他不仅是高中数学的开始，也是中小学数学的一个承接。具体体现在：

第一、内容的定位。

集合在高中课程中的定位，在标准中写的比较清楚。标准是这样说的，集合语言是现代数学的基本语言，使用集合语言可以简洁准确的表达数学中的一些内容。高中数学只将集合作为一种语言来学习，它把集合是作为一种语言，来描述和表达问题的一种语言来学习的。学生学会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，发展运用语言进行交流的能力。我觉得这一段话，就给了我们这个集合内容的一个基本的定位。

第二、集合内容的一个目标。

集合在实现目标中的作用。提高数学的表达和交流的能力，是集合的一个基本的目标。集合作为一个数学的概念，对于数学中的分类思想，起了一个促进的作用。我们数学里有自然语言，有符号语言，有图形语言，还有图表语言等等。集合就是一种特殊的符号语言。集合在实现这个目标中，是起了一个作用的。

集合主要是要把各种不同的事物能刻划清楚。在我们中学所使用、所体现出来的具体集合，都是非常清楚的元素和集合之间的关系，是非常清楚的。为了搞清楚集合在整个课程中的一个定位，我们应该搞清楚课程中的一个基本脉络。那些可以作为集合的载体,教室里的男女同学，自然数、整数、分数、小数等等。我们用这些来对数进行分类。另外呢，数轴上的点集，比如说我们在讲不等式的点集、不等式的解集、方程的解。我们总希望用数形结合，它反映在这个是一个点集。另外还有直角坐标系中的点集、方程的根、不等式的解集、函数的定义域等等，函数的定义域、单调区间，函数这个单调的区间，还要学习图形，图形上的一些特殊点。集合也需要，作为一种支撑的一个语言。直线与平面的关系，我们常常说直线L是含于某一个平面的等等。那么，到了我们学解析几何的时候，我们又要使用集合的语言来帮助我们去刻划平面直角坐标系中的某些特殊点，等等。对数据进行分类，用了直方图、扇形图，这些都是集合的比较好的一个载体。三角函数的周期刻划、零点的刻划、最值的刻划、单调区间的刻划、向量与平面点集的刻划等等。一元二次不等式、目标函数的可行域，在我们线性规划问题里数列的特殊点。所以当我们学完这个集合的内容，在我们后续的课程中，有很多的内容可以帮助我们不断的加深对于集合作为一种语言的认识。这样梳理以后，老师清楚我们在这四个课时要讲的内容中，在我们整个高中课程中，所处的一个位置。哪一些载体是学生比较容易掌握的，哪一些载体是学生不容易掌握的。在讲集合的时候，最好选用一维的载体，比如说数、数轴、不等式的解集、数量的范围等等。这些都是一维的载体。另外，就是有限点集学生比较容易。我们常常也把这个开区间，虽然也是无限的，但是学生有一个有限的范围的感觉。知道在讲集合的开始阶段，我们选用什么样的载体来支持学生学习集合的语言。我想这样的分析都使得我们能够更好的把握课程的定位，更好的理解集合所发挥的作用。

精 品 教 学 设 计

映射的概念

设计理念：以建构主义理论为支持，以回顾旧知——建构新知———巩固新知为主线，在前面所学集合函数知识的基础上正确理解映射的概念

教学目标：

知识目标：理解映射，一一映射的概念，会判断所给的对应是不是映射，是不是一一映射？理解映射与函数的区别与联系

能力目标：渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的思想

情感目标：增强数学与实际的联系，培养学生学习数学的兴趣

教学重点：映射的概念，一一映射的概念

教学难点：判断映射，一一映射

教学准备：制作ppt

教学过程：

1. 新课引入：通过几个具体的对应关系，（研究对象包括人，物体，数，点等之间的对应）引出特殊的对应——映射

2. 映射的概念：给出几个对应关系（ppt）让同学自己找它们的共同点，老师给出总结并给出映射的概念，强调映射三要素

映射：设A，B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射。 记作：f：Ａ→ Ｂ

像、原像：给定一个集合A到集合B的映射，且a属于Ａ，b属于Ｂ，如果

元素a和元素b对应，则元素b叫做元素a的像，元素a叫做元素b的原像.

分析映射的概念，并进行小结强调映射的特性

任意性，有序性，存在性，唯一性，封闭性。

①任意性：映射中的两个集合A,B可以是数集、点集或由图形组成的集合等；

②有序性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；

③存在性：映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象；

④唯一性：映射中集合A的任一元素在集合B中的象是唯一的；

⑤封闭性：映射中集合A的任一元素的象都必须是B中的元素，不要求B中的每一个元素都有原象，即A中元素的象集是B的子集。

3.课堂练习

①给出两个对应关系，判断是否是映射？通过练习巩固映射概念，老师小结：只有一对一，多对一的对应关系是映射

“映射”映射出的数学教学观　高志雄　（江苏省姜堰中学，２２５５Ｏ０）　摘要：数学教学要促进学生的有意义学习，设计基于学生已　有知识结构的学习。“映射”一课的教学案例映射出了数学教学的　不同观念，在课程改革不断推进的态势下，数学教师学一点教育学、　心理学的基础理论，对提高教学分析与教学设计能力大有裨益。　关键词：“映射”课例思考　最近先后听了两节高中数学课，课题均　为“映射”，只是两位执教教师使用的教材版　本不同。一位教师用的是课程标准实验教　材，“映射”置于函数的概念之后学习；另一位　教师用的是原来的大纲教材，“映射”编排在　函数概念之前。但不约而同的是，两位教师　的教学内容、教学设计与教学过程基本一致。　【课例摘录】　一、问题情境　情境１：准考证号与座位，对号入座；　、情境２：实数与数轴上的点的对应；　９０　情境３：平面直角坐标系中的点与实数对　之间的对应。　二、学生活动　教师先举例说明生活中、数学里存在大　量的对应关系，然后请学生考察下图中的六　个对应关系，说明它们各有什么特点。　教育研究与评论・中学教育教学　（１）　

（２）　（３）　（４）　（５）　（６）　在从“一对一”、“一对多”、“多对一”等角　度分析了图中的六个对应之后，教师将其中　的（１）、（２）、（５）、（６）取出，并提出问题：这四　个对应有怎样的共同特点？然后根据共同特　点给　映射的概念。　三、建构数学　给ｆｆＪ映射的概念，并分析要点（三要素），　说明象的唯一存在性、原象的不确定性等。　四、练习巩固　给出一系列的判断题，要求学生回答“是　否是映射”，并说出理由。　【几点思考】　一、如何促进学生的“有意义学习”　上述教学过程，学生跟在教师后面，被动　地操作和识记，根本不知道辨析这六个对应　的目的何在，不知道为什么要将其中的四个　对应专门取出，并研究它们的共同特点，当然　也就不知道引入映射的目的何在了。于是，　学习的必要性也就无从体现。这种学习对学　生而言，在心理上就是缺乏意义的。　“有意义学习”既是提高学习效果的有效　心理倾向，更是促进学生透彻理解的必要条　件。美国密西根州立大学的Ｓｔｅｐｈｅｎ　Ｌ　Ｙｅｌｏｎ教授在其《教学原理》一书中介绍了他　曾做过的一次实验：让他的教学助理分成两　组，运用老师介绍的教学原理实施教学过程。　结果，教授发现，第一组根本没有运用老师的　教学原理，原因是他们不会应用，对老师介绍　的教学原理并没有了解。而第二组却能够将　老师介绍的教学原理熟练地运用于教学过程　之中。是什么原因造成如此差异呢？原来，　第一组的助理们并未收到任何工作的指派，　他们不知道将会被安排何种工作，只知道其　中有２０　的人会被安排做教学工作，但他们　都不希望从事教学＿Ｔ作。因此，对他们来说，　老师介绍的教学原理在心理上并没有意义。　但第二组的助理们早就知道他们将要从事教　学＿ｆ＝作，所有的人都渴望得到有助于教学的　方法、原理和理念，老师介绍的教学原理对于　他们来说就是有意义的。后来，Ｓｔｅｐｈｅｎ　１　．　Ｙｅｌｏｎ教授又经过更多的实验证实：有意义学　习对学习效果会产生很大的影响。　事实上，除了知道学习内容与自己将来　所从事的职业是否相关会影响学习质量外，　有意义的学习还包括更为广泛的内容，如：学　习内容在社会、生活中的作用，在学科理论建　构中的作用，在其他学科中的应用，特别是条　件（或情境、呈现的信息）与要达成的目标之　间具有一定的逻辑关系或内在联系时。著名　的“格式塔”心理学派创立人惠特海默强调：　不能用无意义的方式来学习有意义的结构。　因此，数学教学除了让学生感受到数学对其　自身的直接作用外（这可能不是很容易做到，　除非学生早已立志将来从事数学研究或从事　与数学相关的职业），还要充分体现其必要性　（现实的或理论的，这是容易做到的），激发学　生积极探究的心理倾向。　为了促进有意义学习，让学生充分感受　到引进映射概念的必要性和合理性，可以先　让学生讨论以下实例：　教育研究与评论・中学教育教学　９１

映射的概念

1、映射的概念：

设A,B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，使对于-______________________，在B中都有 ______________________，那么，这样的单值对应叫做集合A到集合B的 _______，记作_______

2、对应与映射，映射与函数的关系_______

二、例题分析：

例1、如图所示的对应中，哪些是A到B的映射？

例2、在下列集合A到集合B的对应中是映射的是（ ）

A:*NBA,对应法则：|3|:xxf

B:}1,0{,BRA，对应法则：)0(0)0(1:xxxf

C:RBA，对应法则：xxf: D:QBZA,，对应法则：:f取倒数

例3、已知映射},|),{(,:RyRxyxBABAf，:fA中的元素),(yx对应B中的元素为)134,123(yxyx a1

a2

a3

a4 b1

b2

b3

b4 a1

a2

a3

a4 b1

b2

b3

b4 a2 a1

a3

a4 b1

b2

b3

b4

a2 a1 b1

b2

b3

b4 a2 a1 b1

b2 a2 a1

a3

a4 b1

b2 (1) (2) (3)

(4) (5) (6) 求A中元素(1,2)与B中的哪个元素对应？

A中哪些元素与B中元素（1,2）对应？

例4、①集合{1,2,3,4},{5,6}AB，则A到B的不同映射有_______个。

②集合}1,0,1{},,,{NcbaM，映射NMf:满足0)()()(cfbfaf，那么映射NMf:的个数是_______个。

练习

若B={-1，3，5}，试找出一个集合A，使得:21fxx是A到B的映射。

2、（全国高考题）设集合A和B都是自然数集N，映射:fAB把集合A中的元素n映射到集合B的元素2nn ，则在映射f下，集合A中的__________与集合B的20对应。