空间角求法

空间角求法题型（线线角、线面角、二面角）空间角能比较集中的反映学生对空间想象能力的体现，也是历年来高考命题者的热点，几乎年年必考。

空间角是线线成角、线面成角、面面成角的总称。

其取值范围分别是：0°< θ ≤90°、0°≤ θ ≤90°、0°< θ ≤180°。

空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。

空间角的求法一般是：一找、二证、三求解，手段上可采用：几何法（正余弦定理）和向量法。

下面举例说明。

一、异面直线所成的角：例1如右下图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知4AB =，3AD =，12AA =。

E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且1EB FB ==。

求直线1EC 与1FD 所成的角的余弦值。

思路一：本题易于建立空间直角坐标系，把1EC 与1FD 所成角看作向量EC 1与FD 的夹角，用向量法求解。

思路二：平移线段C 1E 让C 1与D 1重合。

转化为平面角，放到三角形中，用几何法求解。

（图1）解法一：以A 为原点，1AB AD AA 、、分别为x 轴、y 轴、z 轴的正向建立空间直角坐标系，则有 D 1（0，3，2）、E （3，0，0）、F （4，1，0）、C 1（4，3，2），于是11(1,3,2),(4,2,2)EC FD ==-设EC 1与FD 1所成的角为β，则：112222221121cos 14132(4)22EC FD EC FD β⋅===⋅++⨯-++ ∴直线1EC 与1FD 所成的角的余弦值为2114解法二：延长BA 至点E 1，使AE 1=1，连结E 1F 、DE 1、D 1E 1、DF ， 有D 1C 1//E 1E ， D 1C 1=E 1E ，则四边形D 1E 1EC 1是平行四边形。

则E 1D 1//EC 1 于是∠E 1D 1F 为直线1EC 与1FD 所成的角。

学立体几何是中学数学的主要内容之一，而空间角的求解则是立体几何中对空间思维和运算能力要求较高的内容，也是每年高考的必考内容．立体几何中的空间角主要包括异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角三大类．本文就这三类空间角的具体求法进行简单分析，供同学们复习时参考．一、异面直线所成的角的求法１．平移法例１如图１所示，ＡＢＣ—Ａ１Ｂ１Ｃ１是直三棱柱，∠ＢＣＡ＝π２，点Ｄ１，Ｆ１分别是Ａ１Ｂ１和Ａ１Ｃ１的中点，若ＢＣ＝ＣＡ＝ＣＣ１，则ＢＤ１与ＡＦ１所成角的余弦值是（Ａ）３０"１０（Ｂ）１２（Ｃ）３０"１５（Ｄ）１５"１０解析：构建平行线将异面直线所成的角转化成平面角．∵Ｄ１，Ｆ１分别是Ａ１Ｂ１和Ａ１Ｃ１的中点，∴Ｄ１Ｆ１∥Ｂ１Ｃ１，Ｄ１Ｆ１＝１２Ｂ１Ｃ１．取ＢＣ的中点Ｍ，连接ＢＤ１，ＭＦ１．∵Ｄ１Ｆ１平行且等于１２Ｂ１Ｃ１，ＢＭ平行且等于１２Ｂ１Ｃ１，∴ＢＭ平行且等于Ｄ１Ｆ１，∴ＢＭＦ１Ｄ１是平行四边形，ＭＦ１∥ＢＤ１．连接ＭＡ，显然∠ＭＦ１Ａ是异面直线ＢＤ１和ＡＦ１所成的角．设ＢＣ＝ＣＡ＝ＣＣ１＝１，则ＡＭ２＝１＋１４＝５４，ＭＦ１２＝ＢＤ１２＝１＋２%２&’２＝３２，ＡＦ１２＝１＋１４＝５４，∴ｃｏｓ∠ＭＦ１Ａ＝江山中学王陆军空间角的法求图１Ａ１Ｆ１Ｃ１Ｄ１Ｂ１ＢＡＭＣ５４＋３２－５４２×３２!×５４!＝３０!１０．∴答案选Ａ．２．补形法例２同例１．解析：如图２所示，将三棱柱ＡＢＣ—Ａ１Ｂ１Ｃ１补成四棱柱ＡＢＥＣ—Ａ１Ｂ１Ｅ１Ｃ１．取Ｂ１Ｅ１的中点Ｍ，连接ＢＭ，Ｄ１Ｍ，Ｄ１Ｂ，显然ＭＢ∥ＡＦ１，∴∠ＭＢＤ１是异面直线ＢＤ１和ＡＦ１所成的角．解△ＭＢＤ１即可解决本题．３．向量法例３同例１．解析：同例１，以Ｃ为原点，ＣＡ为ｘ轴，ＣＢ为ｙ轴，ＣＣ１为ｚ轴，建立空间直角坐标系，如图３所示．则点Ａ（１，０，０），Ｂ（０，１，０），Ｄ１１２，１２，%&１，Ｆ１１２，０，%&１，∴ＢＤ１＝１２，－１２，%&１，ＡＦ１＝－１２，０，%&１，∴ｃｏｓ〈ＢＤ１，ＡＦ１〉＝－１４＋０＋１５!２×６!２＝３０!１０．４．三垂线定理法例４正三棱锥Ｖ—ＡＢＣ中，Ｄ，Ｅ，Ｆ分别是ＶＣ，ＶＡ，ＡＣ的中点，Ｐ为ＶＢ上的一点，如图４所示，则直线ＤＥ与ＰＦ所成角的大小是（Ａ）π６（Ｂ）π３（Ｃ）π２（Ｄ）π解析：当用平移法和补形法求解异面直线所成的角有困难时，可以考虑用三垂线定理法．如果一条异面直线在另一条异面直线所在平面的射影与该异面直线垂直，则问题就可迎刃而解．对于正三棱锥Ｖ—ＡＢＣ，显然ＰＦ在底面的射影总在ＢＦ上，由于ＢＦ⊥ＡＣ，因此ＰＦ⊥ＡＣ．又∵ＤＥ∥ＡＣ，∴ＰＦ⊥ＤＥ．故答案选Ｃ．图２图４Ａ１ＥＭＡＦ１Ｄ１Ｅ１ＢＢ１ＡＣＣ１ＥＢＦＤＶＰＣ学图３ＡＦ１Ｃ１Ｂ１Ｄ１Ａ１ＣｚｘｙＢ!’&#&"&&&!&#*()"二、直线与平面所成的角的求法１．定义法例５在正三棱柱ＡＢＣ—Ａ１Ｂ１Ｃ１中，已知ＡＢ＝１，Ｄ在棱ＢＢ１上，且ＢＤ＝１，若ＡＤ与平面ＡＣ１所成的角为α，则α等于（Ａ）π３（Ｂ）π４（Ｃ）ａｒｃｓｉｎ１０!４（Ｄ）ａｒｃｓｉｎ６!４解析：如图５所示，分别取ＡＣ，Ａ１Ｃ１的中点Ｎ，Ｍ，连接ＭＮ，ＢＮ．在ＭＮ上取一点Ｅ，使ＮＥ＝１．∵ＡＢＣ—Ａ１Ｂ１Ｃ１为正三棱柱，∴ＢＮ⊥平面ＡＣ１．连接ＡＥ，ＥＤ．∵ＥＤ∥ＢＮ，∴ＥＤ⊥平面ＡＣ１，∴ＥＡ为ＡＤ在平面ＡＣ１上的射影，∴∠ＤＡＥ为ＤＡ与平面ＡＣ１所成的角，即为α．在Ｒｔ△ＡＤＥ中，ｓｉｎα＝６!４，∴α＝ａｒｃｓｉｎ６!４，∴答案选Ｄ．２．特殊公式法例６正三棱锥Ｐ—ＡＢＣ的棱长都相等，Ｍ是ＡＢ中点，如图６所示．则ＰＡ与ＣＭ所成的角是（Ａ）ａｒｃｃｏｓ３!６（Ｂ）ａｒｃｃｏｓ３!４（Ｃ）ａｒｃｃｏｓ３!３（Ｄ）３０°解析：设正三棱锥的棱长为ａ，过点Ａ作ＡＤ∥ＣＭ，∴ＰＡ与ＣＭ所成的角即为ＰＡ与ＡＤ所成的角∠ＤＡＰ，且有∠ＤＡＭ＝９０°．再取ＢＣ中点Ｅ，连接ＡＥ，ＰＥ．显然∠ＰＡＥ是ＡＰ与底面ＡＢＣ所成的角．在△ＰＡＥ中，ｃｏｓ∠ＰＡＥ＝ＡＰ２＋ＡＥ２－ＰＥ２２ＡＰ·ＡＥ＝３!３，∠ＤＡＥ＝∠ＤＡＣ＋∠ＣＡＥ＝３０°＋３０°＝６０°．由ｃｏｓ∠ＤＡＰ＝ｃｏｓ∠ＰＡＥ·ｃｏｓ∠ＤＡＥ，得ｃｏｓ∠ＤＡＰ＝３!３×ｃｏｓ６０°＝３!３×１２＝３!６，故∠ＤＡＰ＝ａｒｃｃｏｓ３!６．答案选Ａ．３．向量法例７如图７所示，在棱长为１的图５图６ＡＭＤＣ１Ａ１Ｂ１ＢＭＡＣＤＰＥＢＣＮＥ&#""!!$!!!!&#$(’"学#%’正方体ＡＢＣＤ—Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，Ｐ是侧棱上的一点，ＣＰ＝ｍ．（１）试确定ｍ，使直线ＡＰ与平面ＢＤＤ１Ｂ１所成角的正切值为３２!；（２）在线段Ａ１Ｃ１上是否存在一定点Ｑ，使得对任意的ｍ，Ｄ１Ｑ在平面ＡＰＤ１上的射影垂直于ＡＰ，并加以证明．解析：（１）以Ｄ为原点，建立如图８所示的空间直角坐标系，连接Ｄ１Ｐ，Ｄ１Ａ，ＡＰ，ＡＣ，ＤＢ．则点Ａ（１，０，０），Ｂ（１，１，０），Ｐ（０，１，ｍ），Ｃ（０，１，０），Ｄ（０，０，０），Ｂ１（１，１，１），Ｄ１（０，０，１）．∴ＢＤ＝（－１，－１，０），ＢＢ１＝（０，０，１），ＡＰ＝（－１，１，ｍ），ＡＣ＝（－１，１，０）．又∵ＡＣ·ＢＤ＝０，ＡＣ·ＢＢ１＝０，∴ＡＣ为平面ＢＤＤ１Ｂ１的一个法向量．再设ＡＰ与平面ＢＤＤ１Ｂ１所成的角为θ，则ｓｉｎθ＝ｃｏｓπ２－"θ由题意得２２!·２＋ｍ２!＝ｔａｎθ１＋（ｔａｎθ）２!＝３２!１＋（３２!）２!，解得ｍ＝１３．∴当ｍ＝１３时，直线ＡＰ与平面ＢＤＤ１Ｂ１所成的角的正切值为３２!．（２）若在Ａ１Ｃ１上存在这样的点Ｑ，设此点的横坐标为ｘ，则Ｑ（ｘ，１－ｘ，１），Ｄ１Ｑ＝（ｘ，１－ｘ，０）．依题意，若对任意的ｍ要使Ｄ１Ｑ在平面ＡＰＤ１上的射影垂直于ＡＰ，则由三垂线定理可知其等价于Ｄ１Ｑ⊥ＡＰ，∴ＡＰ·Ｄ１Ｑ＝０，∴－ｘ＋（１－ｘ）＝０，∴ｘ＝１２，即存在定点Ｑ，且当其为Ａ１Ｃ１的中点时，满足题设要求．三、二面角的求法１．定义法例８如图９所示，正三棱柱ＡＢＣ—Ａ１Ｂ１Ｃ１的底面边长为３，侧棱ＡＡ１＝３３!２，Ｄ是ＣＢ延长线上的一点，且ＢＤ＝ＢＣ，求二面角Ｂ１－ＡＤ－ＢＡ１ＢＣＰＡＣ１Ｄ１Ｂ１ＤｙＡ１ＢＣＤＡＣ１Ｄ１Ｂ１学图７ｚ图８!!"#$!#!$!"!!!"#%!#!$!"!$,*ZP的大小．解析：在棱ＡＤ上任取一点Ｅ，使得ＤＥ＝１．作ＥＦ⊥ＡＤ，ＥＨ⊥ＡＤ，分别交ＤＢ１，ＤＢ于点Ｆ，Ｈ，则∠ＦＥＨ为二面角Ｂ１－ＡＤ－Ｂ的平面角，连接ＦＨ．由题设条件可知∠ＡＤＢ＝３０°，∠ＤＡＣ＝９０°，∴ＥＨ＝３#３．∵ＤＢ１＝ＡＢ１＝ＡＢ２＋ＢＢ１２#＝３７#２，ＡＤ＝３３#，∴ＥＦ＝ＤＥ·ｔａｎ∠ＡＤＢ１＝２３#３，ＤＨ＝ＥＨ２＋ＥＤ２#＝２３#３，ＤＦ＝ＤＥ２＋ＥＦ２#＝２１#３，ｃｏｓ∠ＢＤＢ１＝ＢＤＢ１Ｄ＝２７#７．∴ＨＦ＝ＤＨ２＋ＤＦ２－２ＤＨ·ＤＦ·ｃｏｓ∠ＢＤＢ１#＝１，ｃｏｓ∠ＨＥＦ＝ＥＦ２＋ＥＨ２－ＨＦ２２ＥＦ·ＥＨ＝１２．故二面角Ｂ１－ＡＤ－Ｂ的大小为６０°．２．三垂线法例９三棱锥Ｐ—ＡＢＣ中，侧面ＰＡＣ与底面ＡＢＣ垂直，ＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣ＝３，如图１０所示．（１）求证ＡＢ⊥ＢＣ；（２）如果ＡＢ＝ＢＣ＝２３#，求侧面ＰＢＣ与侧面ＰＡＣ所成二面角的大小．解析：（１）取ＡＣ的中点Ｄ，连接ＰＤ，ＢＤ．∵ＰＡ＝ＰＣ，∴ＰＤ⊥ＡＣ．又已知平面ＰＡＣ⊥平面ＡＢＣ，∴ＰＤ⊥平面ＡＢＣ，Ｄ为垂足．∵ＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣ，∴ＤＡ＝ＤＢ＝ＤＣ，故可得ＡＣ为△ＡＢＣ外接圆的直径，∴ＡＢ⊥ＢＣ．（２）∵ＡＢ＝ＢＣ＝２３#，Ｄ为ＡＣ中点，∴ＢＤ⊥ＡＣ．又∵平面ＰＡＣ⊥平面ＡＢＣ，∴ＢＤ⊥平面ＰＡＣ，Ｄ为垂足．作ＢＥ⊥ＰＣ于Ｅ，连接ＤＥ．∵ＤＥ为ＢＥ在平面ＰＡＣ内的射影，∴ＤＥ⊥ＰＣ，∴∠ＢＥＤ为所求二面角的平面角．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＢＣ＝２３#，∴ＢＤ＝６#．在Ｒｔ△ＰＤＣ中，ＰＣ＝３，ＤＣ＝６#，ＰＤ＝３#，∴ＤＥ＝ＰＤ·ＤＣＰＣ＝３#×６#３＝２#．∴在Ｒｔ△ＢＤＥ９Ａ１ＢＣＦＡＣ１Ｂ１ＨＥＰＡＢＣＤＥ学图１０图)!"&($!("&"%#D)!&("#中，ｔａｎ∠ＢＥＤ＝６"２"＝３"，∴∠ＢＥＤ＝６０°，即侧面ＰＢＣ与侧面ＰＡＣ所成的二面角为６０°．３．垂面法在已知的二面角α－ｌ－β中，作棱ｌ的垂面γ，设γ∩α＝ＯＡ，γ∩β＝ＯＢ，则∠ＡＯＢ为二面角α－ｌ－β的平面角．例１０如图１１所示，已知四棱锥Ｐ—ＡＢＣＤ的底面是正方形，ＰＡ⊥底面ＡＢＣＤ，ＡＥ⊥ＰＤ，ＥＦ∥ＣＤ，ＡＭ＝ＥＦ．（１）证明：ＭＦ是异面直线ＡＢ与ＰＣ的公垂线；（２）若ＰＡ＝３ＡＢ，求二面角Ｅ－ＡＢ－Ｄ的平面角的正弦值．解析：（１）∵ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，∴ＰＡ⊥ＡＢ．又∵ＡＢ⊥ＡＤ，∴ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，故可得ＡＢ⊥ＡＥ．∵ＡＭ∥ＣＤ∥ＥＦ，且ＡＭ＝ＥＦ，ＡＭ⊥ＡＥ，∴四边形ＡＥＦＭ为矩形，∴ＡＭ⊥ＭＦ．又∵ＡＥ⊥ＥＦ，ＡＥ⊥ＰＤ，∴ＡＥ⊥平面ＰＥＦ．而ＡＥ∥ＭＦ，∴ＭＦ⊥平面ＰＥＦ，∴ＭＦ⊥ＰＣ，∴ＭＦ是ＡＢ与ＰＣ的公垂线．（２）由（１）可知平面ＰＡＤ垂直于二面角Ｅ－ＡＢ－Ｄ的棱ＡＢ，且平面ＭＥ∩平面ＰＡＤ＝ＡＥ，平面ＡＣ∩平面ＰＡＤ＝ＡＤ，则∠ＥＡＤ为二面角Ｅ－ＡＢ－Ｄ的平面角．设ＡＢ＝ａ，则ＡＰ＝３ａ．由Ｒｔ△ＡＥＤ∽Ｒｔ△ＰＡＤ，可得∠ＥＡＤ＝∠ＡＰＤ．∴ｓｉｎ∠ＥＡＤ＝ｓｉｎ∠ＡＰＤ＝ＡＤＰＤ＝ａａ２＋（３ａ）２"＝１０"１０．４．公式法例１１如图１２所示，在正方体ＡＣ１中，Ｅ是ＢＣ中点，求二面角Ｄ１－Ｂ１Ｅ－Ｃ１的大小．解析：Ｄ１在平面Ｂ１ＥＣＣ１的射影为Ｃ１，则△Ｄ１Ｂ１Ｅ在平面Ｂ１ＢＣＣ１上的射影为△Ｂ１ＥＣ１．若设正方体棱长为２，则可得Ｂ１Ｅ＝５"，Ｄ１Ｂ１＝２２"，Ｄ１Ｅ＝３，Ｓ△ＢＣＥ＝２，Ｓ△ＤＢＥ＝３，∴ｃｏｓθ＝Ｓ△ＢＣＥＳ△ＤＢＥ＝图１２学ＢＣ１１ＰＥＤＡＦＭ-’图))%"$(./-’$’)-)(()$)"图１３Ｃ１ＣＢＦＢ１ＡＡ１Ｄ１ＥＤｙｘｚ"２３，∴θ＝ａｒｃｃｏｓ２３．５．向量法例１２如图１３所示，在长方体ＡＢＣＤ—Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，已知ＡＢ＝４，ＡＤ＝３，ＡＡ１＝２．Ｅ，Ｆ分别是线段ＡＢ，ＢＣ上的点，且ＥＢ＝ＦＢ＝１．求二面角Ｃ－ＤＥ－Ｃ１的正切值．解析：以Ａ为原点，ＡＢ，ＡＤ和ＡＡ１分别为ｘ轴，ｙ轴和ｚ轴的正方向建立空间直角坐标系，则有点Ｄ（０，３，０），Ｄ１（０，３，２），Ｅ（３，０，０），Ｆ（４，１，０），Ｃ１（４，３，２）．于是可得ＤＥ＝（３，－３，０），ＥＣ１＝（１，３，２），ＦＤ１＝（－４，２，２）．若设向量ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ）与平面Ｃ１ＤＥ垂直，则可得：ｎ⊥ｎ⊥$%３ｘ－３ｙ＝０ｘ＋３ｙ＋２ｚ＝$０%ｘ＝ｙ＝－１２ｚ．∴ｎ＝－ｚ２，－ｚ２，&’ｚ＝ｚ２（－１，－１，２），其中ｚ＞０．若取ｎ０＝（－１，－１，２），则ｎ０是与平面Ｃ１ＤＥ垂直的向量．∵向量ＡＡ１与平面ＣＤＥ垂直，∴ｎ０与ＡＡ１所成的角θ就是二面角Ｃ－ＤＥ－Ｃ１．∵ｃｏｓθ＝ｎ０·｜ｎ｜·｜｜＝－１×０－１×０＋２×２１＋１＋４(×０＋０＋４(＝６(３，∴ｔａｎθ＝２(２，∴二面角Ｃ－ＤＥ－Ｃ１的正切值为２(２．ＤＥＥＣ１ＡＡ１ＡＡ１!!!"#"!$$!%!&%学’()"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"!!!!!!!!!!!!!!!!"放下松一散步一位胖太太在街上散步，有个陌生的小男孩紧紧地跟着她。

空间角的求法一、异面直线所成角的求法平移法常见三种平移方式:直接平移；中位线平移（尤其是图中显现了中点）：补形平移法。

“补形法”是立体几何中一种常见的方式，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处置，利用"补形法”找两异面直线所成的角也是经常使用的方式之一。

（1）直接平移法4、伍例1如图，PA丄矩形ABCD,已知PA=AB=8,BCJ0，求AD与PC所成角的正切值。

（尊）（2）中位线平移法：构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面宜线所成的角转化为平面问题，解三角形求之。

例2设S是正三角形ABC所在平面外的一点，SA=SB=SC,且Z ASB= Z BSC= Z CSA= y , M、N别离是AB和SC的中点，求异面直线SM与BN所成的角的余弦值。

（巧）（3）补形平移法：在已知图形外补作一个相同的几何体，以利于找出平行线。

例3在正方体ABCD -中，E是CC】的中点，求直线AC与EDi所成角的余弦值。

（竺）A ______ G ____二、线而角的兰种求法1 •直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。

一般是解由斜线段，垂线段， 斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它能够起到联系各线段的作用。

例1四面体ABCS 中，SA, SB, SC 两两垂直，ZSBA=45°, ZSBC=60°, M 为AB 的中点，求：（1） BC 与 平面SAB 所成的角；（60。

） （2） SC 与平面ABC 所成的角。

（冷-）（“垂线”是相对的，SC 是面SAB 的垂线，又是面ABC 的斜线。

作面的垂线常依照面面垂直的性质定理，其 思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。

）2•利用公式sinO = *:其中&是斜线与平面所成的角，力是垂线段的长，/是斜线段的长，其中求出垂线段的 长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。

空间角的几何求法一、 异面直线所成角（线线角）范围：(0,]2πθ∈先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得。

【典例分析】例1. 已知多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，AC = AD = CD = DE = 2，AB = 1，F 为CD 的中点. （1）求证：AF ⊥平面CDE ； （2）求异面直线AC ，BE 所成角余弦值；【变式】在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为。

二、直线与平面所成角（线面角）范围：[0,]2πθ∈【典例分析】例1.如图，已知多面体ABCA 1B 1C 1，A 1A ，B 1B ，C 1C 均垂直于平面ABC ，∠ABC =120°，A 1A =4，C 1C =1，AB =BC =B 1B =2．（1）证明：AB 1⊥平面A 1B 1C 1；（2）求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值．【变式】如图，四边形ABCD 是正方形，PB ⊥平面ABCD ，MA//PB ，PB=AB=2MA ， （1）证明：AC//平面PMD ；（2）求直线BD 与平面PCD 所成的角的大小；1111ABCD A B C D -1AB BC ==13AA =1AD 1DB例2. 如图所示，四棱锥P —ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，PA ⊥底面ABCD ，PA=AD=CD=2AB=2， M 为PC 的中点。

(1)求证：BM∥平面PAD ；(2)在侧面PAD 内找一点N ，使MN ⊥平面PBD ； (3)求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦。

【变式】如图，在三棱锥V ABC -中，VC ABC ⊥底面，AC BC ⊥，D 是AB 的中点，且AC BC a ==，π02VDC θθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭∠．（1）求证：平面VAB ⊥平面VCD ；（2）试确定角θ的值，使得直线BC 与平面VAB 所成的角为π6．三、平面与平面所成角（面面角）范围：[0,]θπ∈（1）定义法：当点A 在二面角α- -β的棱 上时，可过A 分别在α、β内作棱 的垂线，AB 、AC ，由定义可知∠BAC 即为二面角α- -β的平面角。

在高中的空间几何学习中，常见的几何形状包括点、线、面、体等，涉及到各种角的计算。

以下是一些常见的角的公式：
1. 平面内的角：
-顶点在圆心的圆心角和半圆角：圆心角等于对应的圆周角，半圆角为180度。

-对顶角：对顶角相等。

-同位角：同位角相等。

-内错角和内错角互补：内错角之和等于180度，内错角互补。

2. 空间内的角：
-平行线与截线：平行线与截线的对应角相等。

-直线与平面：直线与平面的夹角等于其倾斜角。

-平面与平面：两平面的夹角等于它们法向量的夹角。

3. 立体几何中的角：
-直线与立体的交角：直线与平面或立体的夹角等于90度减去它们的夹角余补角。

-两平面之间的夹角：两平面的夹角是它们的法线之间的夹角。

这些公式是空间几何中常见的角度计算原则，通过理解和掌握这些规律，可以更好地解决空间几何题目中涉及到的各种角度问题。

立体几何中空间角的求法立体几何是高中数学的核心内容之一，在高考中占有很大的比重。

考查的知识点、题型等相对稳定，但对学生的空间概念、逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力要求较高，而且在2010年高考立体几何试题对转化与化归思想、数形结合思想、割补思想等数学思想的考查也体现的淋漓尽致，而高考对立体几何中空间角的考查一直是热点内容，更成为必考内容，空间角是立体几何中一个重要概念，它是空间图形的一个突出的量化指标，是空间图形位置关系的具体体现，故在历届高考试题中频繁出现，求解方法也多种多样，本文就是空间角常用的方法--传统法与空间向量法。

一、异面直线所成的角θ∈[ 0°，90°]（1）传统方法：平移转化法或补形法，使之成为两相交直线所成的角，放入三角形中利用余弦定理计算，若求得的角为钝角，则这个角的补角才为所求。

（2）空间向量法：设异面直线ab与cd所成的角为θ，则cos θ = cos〈，〉参考例题：例1，如图在四棱锥o-abcd中，底面abcd是边长为1的菱形，∠abc= ，oa⊥面abcd，oa=2，m为oa的中点，则异面直线ab与md所成角的大小为（）a. b. c. d. π解析：（法1）∵cd∥ab ∴∠mdc为异面直线ab与md所成的角（或其补角）在△abc中，ab=1，∠abc= ，bc=1 ，∴ac2=2-又oa⊥面abcd ∴rt△amc中，am2=1，∴mc2=3-又cd=1 md=∴在△mdc中，cos∠mdc= = ∴∠mdc=（法2）作ap⊥cd于p，分别以ab、ap、ao所在直线为x、y、z 轴建立空间直角坐标系。

则a（0，0，0）， b（1，0，0）， d（- ，，0），o（0，0，2）， m（0，0，1）设ab与md所成的角为θ，又 =（1，0，0） =（ - ，，-1）∴cosθ= = ∴θ=二、直线与平面所成的角θ∈[ 0°，90°]（1）传统方法：先找到（或作出）过斜线上一点垂直于平面的直线，斜足与垂足的连线就是斜线在平面内的射影，该斜线与射影的夹角就是所求的角，然后放入直角三角形中求解。

空间角的几何求法一、 异面直线所成角（线线角） 范围：(0,]2πθ∈先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得。

【典例分析】例1. 已知多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，AC = AD = CD = DE = 2，AB = 1，F 为CD 的中点. （1）求证：AF ⊥平面CDE ； （2）求异面直线AC ，BE 所成角余弦值；【变式】在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为 。

二、直线与平面所成角（线面角） 范围：[0,]2πθ∈【典例分析】例1.如图，已知多面体ABCA 1B 1C 1，A 1A ，B 1B ，C 1C 均垂直于平面ABC ，∠ABC =120°，A 1A =4，C 1C =1，AB =BC =B 1B =2．（1）证明：AB 1⊥平面A 1B 1C 1；（2）求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值． 【变式】如图，四边形ABCD 是正方形，PB ⊥平面ABCD ，MA//PB ，PB=AB=2MA ， （1）证明：AC//平面PMD ；（2）求直线BD 与平面PCD 所成的角的大小；例2. 如图所示，四棱锥P —ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，PA ⊥底面ABCD ，PA=AD=CD=2AB=2， M 为PC 的中点。

(1)求证：BM∥平面PAD ；(2)在侧面PAD 内找一点N ，使MN ⊥平面PBD ； (3)求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦。

【变式】如图，在三棱锥V ABC -中，VC ABC ⊥底面，AC BC ⊥，D是AB 的中点，且AC BC a ==，π02VDC θθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭∠． （1）求证：平面VAB ⊥平面VCD ；（2）试确定角θ的值，使得直线BC 与平面VAB 所成的角为π6． 三、平面与平面所成角（面面角） 范围：[0,]θπ∈（1）定义法：当点A 在二面角α- -β的棱 上时，可过A 分别在α、β内作棱 的垂线，AB 、AC ，由定义可知∠BAC 即为二面角α- -β的平面角。