立体几何专题复习空间角的求法(三)

-立体几何中的传统法求空间角知识点：一．异面直线所成角：平移法二．线面角1.定义法：此法中最难的是找到平面的垂线.1.）求证面垂线，2）.图形中是否有面面垂直的结构，找到交线，作交线的垂线即可。

2.用等体积法求出点到面的距离sinA=d/PA三．求二面角的方法1、直接用定义找，暂不做任何辅助线；2、三垂线法找二面角的平面角.例一：如图, 在正方体错误！未找到引用源。

中, 错误！未找到D1C1引用源。

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的中点, 则异面直线错误！未A1B1N找到引用源。

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所成的角的大小是______90______. D CM考向二线面角AB 例二、如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AD ⊥PD，BC=1，PC=2 3 ，PD=CD=2.（I ）求异面直线PA与BC所成角的正切值；（II ）证明平面PDC⊥平面ABCD；（III ）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。

练习：如图，在三棱锥P ABC 中，PA 底面A B, C P A, AB 6 0A B,C， BC A点D，E分别在棱PB, PC 上，且DE // BC（Ⅰ）求证：BC 平面PAC ；（Ⅱ）当D 为P B 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的正弦值；（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC ，∴PA⊥BC.又BCA 90 ，∴AC ⊥BC.∴BC⊥平面PAC.（Ⅱ）∵D 为PB 的中点，DE//BC ，∴1DE BC ，2又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点 E.∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角，∵PA⊥底面ABC ，∴PA⊥AB ，又PA=A B，∴△ABP 为等腰直角三角形，∴1AD AB ，2∴在Rt△ABC 中，ABC 60 ，∴1BC AB.2∴在Rt△ADE 中，sin DAE DE BC2 AD 2AD 4，考向三：二面角问题在图中做出下面例题中二面角例三：.定义法（2011 广东理18）如图5．在椎体P-ABCD 中，ABCD 是边长为 1 的棱形，且∠DAB=60 ，P A PD 2 ,PB=2,E,F 分别是BC,PC 的中点．（1）证明：AD 平面DEF;（2）求二面角P-AD-B 的余弦值．法一：（1）证明：取AD 中点G，连接PG，BG，BD。

空间几何的立体角计算在空间几何中，立体角是指球心所在的立体角。

它是一个以球心为顶点，包含在球面上的一个锐角空间图形。

计算立体角的方法有很多种，下面将介绍几种常见的计算方法。

一、球体的立体角计算对于球体而言，可以通过球的半径和球心与球面上两点之间的弧长计算立体角。

假设球心为O，球面上两点为A和B，对应的单位法向量为a和b。

则球体的立体角可以用以下公式表示：Ω = acos(a·b)其中，·表示向量的点积运算，acos表示反余弦函数。

上述公式表示了向量a和向量b的夹角。

二、多面体的立体角计算对于多面体，可以将其分解为若干个共有顶点的面组成的角。

然后根据面的法向量来计算每个面对应的立体角，并将其相加得到总的立体角。

比如，假设有一个四面体，顶点分别为A、B、C和D，面分别为ABC、ACD、ADB和BDC。

其中，每个面都可以计算对应的立体角。

假设面ABC与面ACD的夹角为α，面ABC与面ADB的夹角为β，面ABC与面BDC的夹角为γ，则四面体的立体角Ω可以用以下公式表示：Ω = α + β + γ而计算每个面对应的立体角，可以使用球体的立体角计算方法进行计算。

三、棱锥的立体角计算对于棱锥而言，可以通过棱锥的顶角和侧面法向量计算立体角。

假设棱锥的顶点为O，底面上一点为A，底面上的两条棱为OB和OC，顶角为∠BOC，底面上的法向量为n，则棱锥的立体角可以用以下公式表示：Ω = 2π - ∠BOC其中，∠BOC可以通过向量OB和向量OC的点积计算得到。

四、扇形的立体角计算对于扇形而言，可以通过确定扇形对应的圆锥的顶角和底面法向量计算立体角。

圆锥的底面是扇形的圆心O、半径r和夹角θ所在的圆。

假设圆锥的顶点为O，扇形上的两点为A和B，顶角为α，则扇形的立体角可以用以下公式表示：Ω = α - sinα其中，α可以通过扇形的半径r和夹角θ计算得到：α = rθ。

以上是几种常见的空间几何中立体角的计算方法，可以根据不同的几何形状选择合适的方法进行计算。

专题35 空间中线线角、线面角、二面角的求法【高考地位】立体几何是高考数学命题的一个重点，空间中线线角、线面角的考查更是重中之重. 其求解的策略主要有两种方法：其一是一般方法，即按照“作——证——解”的顺序进行；其一是空间向量法，即建立直角坐标系进行求解. 在高考中常常以解答题出现，其试题难度属中高档题.类型一 空间中线线角的求法方法一 平移法例1正四面体ABCD 中， E F ，分别为棱AD BC ，的中点，则异面直线EF 与CD 所成的角为 A.6π B. 4π C. 3π D. 2π 【变式演练1】【2021届全国著名重点中学新高考冲刺】如图，正方体1111ABCD A B C D -，的棱长为6，点F 是棱1AA 的中点，AC 与BD 的交点为O ，点M 在棱BC 上，且2BM MC =，动点T （不同于点M ）在四边形ABCD 内部及其边界上运动，且TM OF ⊥，则直线1B F 与TM 所成角的余弦值为（ ）A B C D ．79【变式演练2】【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期9月月考模拟测试】当动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的棱DC 上运动时，异面直线1D P 与1BC 所成角的取值范围（ ）A ．,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【变式演练3】【甘肃省白银市靖远县2020届高三高考数学（文科）第四次联考】在四面体ABCD 中，2BD AC ==，AB BC CD DA ====E ，F 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线EF 与AC 所成的角为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2【变式演练4】【2020年浙江省名校高考押题预测卷】如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，4AB BC ==，90ABC ∠=︒，侧棱SB 与平面ABC 所成的角为45︒，M 为AC 的中点，N 是侧棱SC上一动点，当BMN △的面积最小时，异面直线SB 与MN 所成角的余弦值为（ ）A ．16B ．3C D ．6方法二 空间向量法例2、【重庆市第三十七中学校2020-2021学年高三上学期10月月考】在长方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为棱1AA ，11C D ，1DD 的中点，12AB AA AD ==，则异面直线EF 与BG 所成角的大小为（ ） A ．30B ．60︒C ．90︒D ．120︒例3、【四川省泸县第四中学2020-2021学年高三上学期第一次月考】在长方体1111ABCD A B C D -中，2BC =，14AB BB ==，E ，F 分别是11A D ，CD 的中点，则异面直线1A F 与1B E 所成角的余弦值为（ ）A ．34B ．34-C D ．6【变式演练5】【2021届全国著名重点中学新高考冲刺】《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形ABCD 为矩形，//EF AB ，若3AB EF =，ADE 和BCF △都是正三角形，且2AD EF =，则异面直线AE 与CF 所成角的大小为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【变式演练6】【云南省云天化中学、下关一中2021届高三复习备考联合质量检测卷】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为线段AB 的中点，点F 在线段AD 上移动，异面直线1B C 与EF 所成角最小时，其余弦值为（ ）A ．0B ．12C D ．1116类型二 空间中线面角的求法方法一 垂线法第一步 首先根据题意找出直线上的点到平面的射影点；第二步 然后连接其射影点与直线和平面的交点即可得出线面角； 第三步 得出结论.例3如图，四边形ABCD是矩形，1,AB AD ==E 是AD 的中点，BE 与AC 交于点F ，GF ⊥平面ABCD .（Ⅰ）求证：AF ⊥面BEG ；（Ⅰ）若AF FG =，求直线EG 与平面ABG 所成角的正弦值.【变式演练7】已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等,1A 在底面ABC 内的射影为ABC 的中心,则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为（ ）A ．13 B． C．3 D ．23【变式演练8】【北京市朝阳区2020届高三年级下学期二模】如图，在五面体ABCDEF 中，面ABCD 是正方形，AD DE ⊥，4=AD ，2DE EF ==，且π3EDC ∠=．（1）求证：AD ⊥平面CDEF ；（2）求直线BD 与平面ADE 所成角的正弦值；GFEDCBA（3）设M 是CF 的中点，棱AB 上是否存在点G ，使得//MG 平面ADE ？若存在，求线段AG 的长；若不存在，说明理由．方法二 空间向量法第一步 首先建立适当的直角坐标系并写出相应点的空间直角坐标； 第二步 然后求出所求异面直线的空间直角坐标以及平面的法向量坐标；第三步 再利用a bsin a bθ→→→→⋅=即可得出结论.例4 【内蒙古赤峰市2020届高三（5月份）高考数学（理科）模拟】在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，//BC AD ，222AD BC CD ===，O 是AD 的中点，PO ⊥平面ABCD ，过AB 的平面交棱PC 于点E （异于点C ，P 两点），交PO 于F .（1）求证：//EF 平面ABCD ；（2）若F 是PO 中点，且平面EFD 与平面ABCD 求PC 与底面ABCD 所成角的正切值.【变式演练9】【2020年浙江省名校高考仿真训练】已知三棱台111ABC A B C -的下底面ABC 是边长为2的正三角形，上地面111A B C △是边长为1的正三角形.1A 在下底面的射影为ABC 的重心，且11A B A C ⊥.（1）证明：1A B ⊥平面11ACC A ；（2）求直线1CB 与平面11ACC A 所成角的正弦值.类型三 空间二面角的求解例4【江西省部分省级示范性重点中学教科研协作体2021届高三统一联合考试】三棱锥S ABC -中，2SA BC ==，SC AB ==，SB AC ==记BC 中点为M ，SA 中点为N（1）求异面直线AM 与CN 的距离； （2）求二面角A SM C --的余弦值.【变式演练10】【2021年届国著名重点中学新高考冲刺】如图，四边形MABC 中，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，MAC △是边长为2的正三角形，以AC 为折痕，将MAC △向上折叠到DAC △的位置，使D 点在平面ABC 内的射影在AB 上，再将MAC △向下折叠到EAC 的位置，使平面EAC ⊥平面ABC ，形成几何体DABCE .（1）点F 在BC 上，若//DF 平面EAC ，求点F 的位置； （2）求二面角D BC E --的余弦值. 【高考再现】1．【2020年高考山东卷4】日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O ），地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40︒，则晷针与点A 处的水平面所成角为 （ ）A ．20︒B ．40︒C ．50︒D ．90︒2. 【2017课标II ，理10】已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ）A B C D 3．【2020年高考全国Ⅰ卷理数16】如图，在三棱锥P ABC -的平面展开图中，1,3,,,30AC AB AD AB AC AB AD CAE ===⊥⊥∠=︒，则cos FCB ∠=_____________．4.【2020年高考全国Ⅱ卷理数20】如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，,M N 分别为11,BC B C 的中点，P 为AM 上一点．过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：1AA //MN ，且平面1A AMN ⊥平面11EB C F ；（2）设O 为Ⅰ111C B A 的中心，若F C EB AO 11平面∥，且AB AO =，求直线E B 1与平面AMN A 1所成角的正弦值．5.【2020年高考江苏卷24】在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD BD =2，O 为BD 的中点，AO Ⅰ平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；（2）若点F在BC上，满足BF=14BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．6．【2020年高考浙江卷19】如图，三棱台DEF—ABC中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC．（I）证明：EF⊥DB；（II）求DF与面DBC所成角的正弦值．7．【2020年高考山东卷20】如图，四棱锥P ABCD-的底面为正方形，PD⊥底面ABCD，设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知1PD AD==，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．【反馈练习】1．【江西省乐平市第一中学2021届高三上学期联考理科】已知正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是线段BC ，1BB 的中点，则异面直线DE 与1D F 所成角的余弦值为（ ）A B C ．35 D ．452．【湖南省永州市宁远、道县、东安、江华、蓝山、新田2020届高三下学期六月联考】某四棱锥的三视图如图所示，点E 在棱BC 上，且2BE EC =，则异面直线PB 与DE 所成的角的余弦值为（ ）A ．BCD ．153．【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟】如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是平面11A BC 内一个动点，且满足12DP PB +=1B P 与直线1AD 所成角的余弦值的取值范围为（ ）A ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12⎡⎢⎣⎦D ．1,22⎡⎢⎣⎦4．【广西玉林市2021届高三11月教学质量监测理科】如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱AD ，CC 1的中点，则异面直线A 1E 与BF 所成角的大小为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 5．【山东省泰安市2020届高三第四轮模拟复习质量】如图，在三棱锥A —BCD 中，AB =AC =BD =CD =3，AD =BC =2，点M ，N 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是（ ）A ．58B ．8C ．78D ．86．【福建省厦门市2020届高三毕业班（6月）第二次质量检查（文科）】如图，圆柱1OO 中，12OO =，1OA =，1OA O B ⊥，则AB 与下底面所成角的正切值为( )A ．2BC ．2D ．127．【内蒙古赤峰市2020届高三（5月份）高考数学（理科）】若正方体1AC 的棱长为1，点P 是面11AA D D 的中心，点Q 是面1111D C B A 的对角线11B D 上一点，且//PQ 面11AA B B ，则异面直线PQ 与1CC 所成角的正弦值为__.8．【吉林省示范高中（四平一中、梅河口五中、白城一中等）2020届高三第五次模拟联考】如图，已知直三棱柱ADF BCE -，AD DF ⊥，2AD DF CD ===，M 为AB 上一点，四棱锥F AMCD -的体积与该直三棱柱的体积之比为512，则异面直线AF 与CM 所成角的余弦值为________.9．【湖北省华中师大附中2020届高三下学期高考预测联考文科】如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上一点，PA ⊥平面ABC ，E 、F 分别是PC 、PB 边上的中点，点M 是线段AB 上任意一点，若2AP AC BC ===.（1）求异面直线AE 与BC 所成的角：（2）若三棱锥M AEF -的体积等于19，求AM BM10．【广东省湛江市2021届高三上学期高中毕业班调研测试】如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为2的等边三角形，侧面11BCC B 为菱形，且平面11BCC B ⊥平面ABC ，160CBB ∠=︒，D 为棱1AA 的中点．（1）证明：1BC ⊥平面1DCB ；（2）求二面角11B DC C --的余弦值．11．【河南省焦作市2020—2021学年高三年级第一次模拟考试数学（理）】如图，四边形ABCD 为菱形，120ABC ∠=︒，四边形BDFE 为矩形，平面BDFE ⊥平面ABCD ，点P 在AD 上，EP BC ⊥.（1）证明：AD ⊥平面BEP ；（2）若EP 与平面ABCD 所成角为60°，求二面角C PE B --的余弦值.12．【广西南宁三中2020届高三数学（理科）考试】如图1，在直角ABC 中，90ABC ∠=︒，AC =AB =D ，E 分别为AC ，BD 的中点，连结AE 并延长交BC 于点F ，将ABD △沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，如图2所示.（1）求证：AE CD ⊥；（2）求平面AEF 与平面ADC 所成锐二面角的余弦值.13．【广西柳州市2020届高三第二次模拟考试理科】已知三棱锥P ABC -的展开图如图二，其中四边形ABCD ABE △和BCF △均为正三角形，在三棱锥P ABC -中：（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）若M 是PA 的中点，求二面角P BC M --的余弦值．14．【浙江省“山水联盟”2020届高三下学期高考模拟】四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，侧面PBC 为正三角形，平面PBC ⊥平面ABCD ，3ABC π∠=，点M 为AD 中点.；（1）求证：CM PB（2）若点N是线段PA上的中点，求直线MN与平面PCM所成角的正弦值.。

立体几何中角的求法1.异面直线所成角的求法：范围(直线与直线所成角(] 90,0∈θ：（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；2.直线与平面所成的角 范围：(直线与平面所成角[] 90,0∈θ）斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影.通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线,是产生线面角的关键； 3。

二面角的求法 范围：二面角])180,0[ ∈θ 方法：作，证，算知识：正弦定理,余弦定理，特殊角，反正弦(余弦，正切）(1）定义法:直接在二面角的棱上取一点(特殊点)，分别在两个半平面内作棱的垂线,得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性;（2）三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角;（3）垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；（4)射影法：利用面积射影公式S 射＝S 原cos θ,其中θ为平面角的大小，此法不必在图形中画出平面角; 特别：对于一类没有给出棱的二面角,应先延伸两个半平面，使之相交出现棱,然后再选用上述方法(尤其要考虑射影法）。

（二面角的取值范围[) 180,0∈θ) 1、在正方体1AC 中，求下列线面角 ⑴1DB 与底面AC ⑵1A B 与平面11A B CD2、如图,,,AB ABCD BC CD AB BC AD ⊥⊥=平面 与平面ABCD 所成的角为30o ⑴求AD 与平面ABC 所成的角 ⑵AC 与面ABD 所成的角线线角1. 如图所示，ABCD 是一个正四面体，E 、F 分别为BC和AD 的中点。

专题复习：用空间向量解立体几何问题空间角1．异面直线所成的角点A ，B ∈直线a,C ，D ∈直线b 。

构成向量CD AB ,。

><⋅>=<CD AB CDAB CD AB CD AB ,,,cos 所对应的锐角或直角即为直线a(AB)与b(CD)所成的角。

2．线面所成的角AP 与平面α的法向量n 所成的角所对应的锐角的余角或直角即为直线AP 与平面α所成的角θ，所以AP 与n 的角的余弦值的绝对值为直线AP 与平面α所成的角的正弦值。

><=∴n AP ,cos arcsin θ3．二面角的求法二面角βα--l ，平面α的法向量m ，平面β的法向量n 。

θ>=<n m ,，则二面角βα--l 的平面角为θ或πθ-。

OAαPnl lαβnm所以，nm n m n m ⋅>=<,cos ，若将法向量的起点放在两个半平面上(不要选择起点在棱上)，当两个法向量的方向都向二面角内或外时，则><n m ,为二面角的平面角的补角；当两个法向量的方向一个向二面角内，另一个向外时，则><n m ,为二面角的平面角。

空间距离1．点到面的距离点P 到面α的距离d 可以看成AP 在平面α的法向量n 的方向上的射影的长度。

2． 异面直线间的距离异面直线a,b 之间的距离可以看成),(b F a E EF ∈∈在a,b 的公垂向量n 的方向上的射影的长度。

3．线面距离 直线a 与平面α平行时，直线上任意一点A 到平面α的距离就是直线a 与平面α之间的距离。

其求法与点到面的距离求法相同。

4． 平面与平面间的距离平面α与平面β平行时，其中一个平面α上任意一点到平面β的距离就是平面α与平面β间的距离。

其求法与点到面的距离求法相同。

例题：例1．（07，重庆理19）如题（19）图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AA =，1AB =，90ABC = ∠；点D E ，分别在1BB ，1A D 上，且11B E A D ⊥，四棱锥1C ABDA -与直三棱柱的体积之比为3:5（Ⅰ）求异面直线DE 与11B C 的距离；（Ⅱ）若2BC =，求二面角111A DC B --的平面角的正切值答案：（Ⅰ）22929 （Ⅱ）3322．(07，天津理19)如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，60AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=，，°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点EPABC DE 1B1C1Allαβmnn nEF d ⋅=EbaF nnn AP d ⋅=OAαPn（Ⅱ）证明PD ⊥平面ABE ；（Ⅲ）求二面角A PD C --的大小答案：（Ⅲ）14arcsin43．（07，四川理19）如图，PCBM 是直角梯形，∠PCB ＝90°，PM ∥BC ，PM ＝1，BC ＝2，又AC ＝1，∠ACB ＝120°，AB ⊥PC ，直线AM 与直线PC 所成的角为60° （Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面ABC ; （Ⅱ）求二面角B AC M --的大小; （Ⅲ）求三棱锥MAC P -的体积答案：（Ⅱ） 21arccos7（Ⅲ）3124．(07，陕西理19)如图,在底面为直角梯形的四棱锥,//,BC AD ABCD P 中-,90︒=∠ABC平面⊥PA ABCD,32,2,4===AB AD PA ,BC =6(Ⅰ)求证:BD ;PAC BD 平面⊥(Ⅱ)求二面角D BD P --的大小 答案：(Ⅱ) 393arccos315．（07，山东理19）如图，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，已知122DC DD AD AB ===，AD DC ⊥，AB DC ∥（Ⅰ）设E 是DC 的中点，求证：1D E ∥平面11A BD ；（Ⅱ）求二面角11A BD C --的余弦值答案：(Ⅱ)二面角11A BD C --的余弦为336．（07，全国Ⅱ理19）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD E F ，，分别为AB SC ，的中点 （1）证明EF ∥平面SAD ；（2）设2SD DC =，求二面角A EF D --的大小答案：(2)3arccos 37．（07,全国Ⅰ理19）四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD 已知45ABC =∠，2AB =，22BC =，3SA SB ==BCSABCDEFSBCDA1A1D 1C1BEA B CD EP（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小答案：(Ⅱ)22arcsin118．（07，辽宁理18）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠= ，AC BC a ==，D E ，分别为棱AB BC ，的中点，M 为棱1AA 上的点，二面角M DE A --为30（I ）证明：111A B C D ⊥；（II ）求MA 的长，并求点C 到平面MDE 的距离答案：(Ⅱ)4a 作业：1．（07，江西理20）右图是一个直三棱柱（以111A B C 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC 已知11111A B BC ==，11190A B C ∠=，14AA =，12BB =，13CC =（1）设点O 是AB 的中点，证明：OC ∥平面111A B C ； （2）求二面角1B AC A --的大小；（3）求此几何体的体积 答案：（2）30（3）322． (07，湖南理18)如图1，E F ，分别是矩形ABCD 的边AB CD ，的中点，G 是EF 上的一点，将GAB △，GCD △分别沿AB CD ，翻折成1G AB △，2G CD △，并连结12G G ，使得平面1G AB ⊥平面ABCD ，12G G AD ∥，且12G G AD < 连结2BG ，如图2A BCD EF GFE G 2G 1D CBA图1图2（I ）证明：平面1G AB ⊥平面12G ADG ；（II ）当12AB =，25BC =，8EG =时，求直线2BG 和平面12G ADG 所成的角ABCA 1B 1C 1OABC DA 1B 1C 1E M答案：(Ⅱ) 122arcsin253．(07,湖北理18)如图，在三棱锥V ABC -中，VC ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，D 是AB 的中点，且AC BC a ==，VDC θ∠=π02θ⎛⎫<< ⎪⎝⎭（I ）求证：平面VAB ⊥VCD ；（II ）当解θ变化时，求直线BC 与平面VAB 所成的角的取值范围答案：(Ⅱ) π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，(07,福建理18)如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点（Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ；（Ⅱ）求二面角1A A D B --的大小；（Ⅲ）求点C 到平面1A BD 的距离 答案：(Ⅱ) 10arcsin4 （Ⅲ）22ABCDA 1B 1C 1ABCDV。

微专题3空间中角的求解空间角，能比较集中反映空间想象能力的要求．空间角是异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角总称．空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系求解．空间角的求法一般是：一找、二证、三计算．一、异面直线所成角的求法异面直线所成的角的范围：0°<θ≤90°.(一)平移法平移法，即通过作直线的平行线的方法，把异面直线所成的角转化到某个三角形中，进而求解．例1已知四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，P A⊥平面AC，且BC＝2，P A ＝AD＝AB＝1，求异面直线PC与BD所成角的余弦值的大小．解如图，过点C作CE∥BD交AD的延长线于E，连接PE，则PC与BD所成的角为∠PCE 或它的补角．由作法可得四边形BCED为平行四边形，∴CE＝BD＝2，且PE＝P A2＋AE2＝10，AC＝AB2＋BC2＝5，PC＝P A2＋AC2＝6，∴由余弦定理得cos∠PCE＝PC2＋CE2－PE22PC·CE＝－36，∴PC与BD所成角的余弦值为3 6.(二)补形法补形法是立体几何中的一种常见方法，通过补形，可以将问题转化为易于研究的几何体来处理，当通过平移法不能求异面直线所成的角时，常常通过补形来解决．例2已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为8，侧棱长为6.求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值．解把正三棱柱ABC－A1B1C1补为正四棱柱ABCE－A1B1C1E1，如图所示，连接C1E，BE，因为在正四棱柱ABCE －A 1B 1C 1E 1中，AB 1∥C 1E ，故∠BC 1E 或其补角即为异面直线AB 1 与BC 1所成角．因为BC 1＝C 1E ＝82＋62＝10，BE ＝82＋82－2×8×8×⎝⎛⎭⎫－12＝83， 在△BC 1E 中，根据余弦定理得，cos ∠BC 1E ＝C 1E 2＋BC 21－BE 22C 1E ·BC 1＝125， 所以异面直线AB 1 与BC 1所成角的余弦值为125.二、直线与平面所成角直线与平面所成角的范围：0°≤θ≤90°，方法：射影转化法(关键是作垂线，找射影)．例3 如图，在三棱锥P －ABC 中，∠APB ＝90°，∠P AB ＝60°，AB ＝BC ＝CA ，点P 在平面ABC 内的射影O 在AB 上，求直线PC 与平面ABC 所成的角的正切值．解 如图，连接OC ，则∠OCP 为直线PC 与平面ABC 所成角，设AB 的中点为D ，连接PD ，CD .∵AB ＝BC ＝CA ，所以CD ⊥AB ，∵∠APB ＝90°，∠P AB ＝60°，∴∠PBA ＝30°，∴AB ＝2P A ，∴P A ＝AD ，∴△P AD 为等边三角形．不妨设P A ＝2，则OD ＝1，OP ＝3，AB ＝4，∴CD ＝23，OC ＝OD 2＋CD 2＝13，在Rt △OCP 中，tan ∠OCP ＝OP OC ＝313＝3913. 三、二面角的求法二面角的范围：0°≤θ≤180°.求二面角的大小，关键在于找出或作出二面角的平面角．从找平面角的角度出发，有以下几种方法：(一)定义法：在棱上选一恰当的“点”(一般是选一个特殊的点，如：垂足、中点等)，过这一“点”在两个半平面内作棱的垂线，两垂线所成的角即为二面角的平面角．(一般在找出角后，利用三角形求解)例4 在三棱锥P －ABC 中，∠APB ＝∠BPC ＝∠APC ＝60°，求二面角A －PB －C 的余弦值． 解 在PB 上取PQ ＝1，作MQ ⊥PB 交P A 于M ，作QN ⊥PB 交PC 于N ，所以∠MQN 为二面角A －PB －C 的平面角，解直角三角形得MQ ＝NQ ＝3，PN ＝PM ＝2，又∠APC ＝60°，所以MN ＝2，所以cos ∠MQN ＝3＋3－42×3×3＝13， 即二面角A －PB －C 的余弦值为13. (二)利用三垂线三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影．从半平面α内的任一点A 作直线AH ⊥平面β，过H 作棱l 的垂线HG ，垂足为G ，连接AG ，则由三垂线定理可证l ⊥AG ，故∠AGH 就是二面角α－l －β的平面角．三垂线定理是求解二面角问题的最常用的方法，其关键是寻找或求作一条垂线，即从第一个半平面内的某一个点出发，且垂直于另一个半平面．例5在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝BB1＝1，直线B1C与平面ABC成30°角，求二面角B－B1C－A的正弦值．解由直三棱柱性质得平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，过A作AN⊥BC，垂足为N，则AN⊥平面BCC1B1(AN即为我们要找的垂线)，在平面BCB1内过N作NQ⊥棱B1C，垂足为Q，连接QA，则∠NQA即为二面角的平面角．∵CA⊥BB1，CA⊥AB，BB1∩AB＝B，∴CA⊥平面ABB1，∴CA⊥B1A，又AB＝BB1＝1，得AB1＝ 2.∵直线B1C与平面ABC成30°角，∴∠B1CB＝30°，∴B1C＝2，则Rt△B1AC中，由勾股定理得AC＝ 2.∴AQ＝1，在Rt△BAC中，AB＝1，AC＝2，得AN＝6 3.∴sin∠AQN＝ANAQ＝63.即二面角B－B1C－A的正弦值为6 3.。

立体几何专题：空间角第一节：异面直线所成的角一、基础知识1.定义： 直线a 、b 是异面直线，经过空间一交o ，分别a ΄//a ，b ΄//b ，相交直线a ΄b ΄所成的锐角（或直角）叫做。

2.范围： ⎥⎦⎤⎝⎛∈2,0πθ3.方法： 平移法、问量法、三线角公式（1）平移法：在图中选一个恰当的点（通常是线段端点或中点）作a 、b 的平行线，构造一个三角形，并解三角形求角。

（2）向量法：可适当选取异面直线上的方向向量，利用公式ba b a b a ⋅=><=,cos cos θ求出来方法1：利用向量计算。

选取一组基向量，分别算出 b a ⋅，a ，b 代入上式 方法2：利用向量坐标计算，建系，确定直线上某两点坐标进而求出方向向量),,(111z y x a =),,(222z y x b =222222212121212121cos z y x z y x z z y y x x ++++++=∴θ（3）三线角公式 用于求线面角和线线角 斜线和平面内的直线与斜线的射影所成角的余弦之积等于斜线和平面内的直线所成角的余弦 即：θθθcos cos cos 21= 二、例题讲练例1、（2007年全国高考）如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中， 12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为 例2、在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知AB=a ，BC=)(b a b >,AA 1=c ，求异面直线D 1B 和AC 所成的角的余弦值。

方法一：过B 点作 AC 的平行线（补形平移法） 方法二：过AC 的中点作BD1平行线方法三：（向量法）例3、 已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ，且12PA AD DC ===，1AB =，M 是PB 的中点（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；例4、 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，3AB =，1BC =，2PA =， E 为PD 的中点求直线AC 与PB 所成角的余弦值；AB1B 1A 1D 1CCDOBB1A1AC1D CD1ϕ2ϕ1c b aθPαO AB1.正方体的12条棱和12条 面对角线中，互相异面的两条线成的角大小构成的集合是。

第十二讲 立体几何之空间角一、基本知识回顾空间的角主要包括两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。

1） 异面直线所成角 1.022.π⎧⎛⎤ ⎪⎥⎝⎦⎪⎨⎧⎪⎨⎪⎩⎩范围：，平移相交（找平行线替换）求法：向量法⎥⎦⎤ ⎝⎛20π， 2） 直线与平面所成角 1.π⎧⎡⎤⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎨⎧⎪⎨⎪⎩⎩范围0，2定义2.求法向量法⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π nm n m ϖρρρ⋅⋅=arcsin θ 若n m ρρ⊥则α//a 或α⊂a 若n m ρρ//则α⊥a 3） 二面角[]1.0.2.π⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩范围：定义法（即垂面法）作二面角平面角的方法：三垂线定理及逆定理垂线法直接法3.求二面角大小的方法射影面积法向量法 θcos S S =' (S 为原斜面面积,S '为射影面积,θ为斜面与射影所成锐二面角的平面角)当θ为锐角时, nm n m ϖρρρ⋅⋅=arccos θ 当θ为锐角时, nm n m ϖρρρ⋅⋅-=arccos πθ二、例题讲解1.在正三棱柱111ABC A B C -中, 若12,AB BB =求1AB 与BC 1所成的角的大小。

解：法一：如图一所示,设O 为C B 1、B C 1的交点, D AC 为的中点, 则所求角是DOB ∠。

设1,2BB a AB a ==则, 于是在DOB ∆中,122211336,2,222213,,2OB BC a BD a a OD AB a BD OB OD =======+ 即90,DOB ∠=︒∴ ︒=∠90DOB法二：取11A B 的中点O 为坐标原点, 如图建立空间直角坐标系,xyz O -AB 21的长度单位,则由12AB BB =有()()()()()()111111110,1,2,0,1,2,0,1,0,3,0,00,2,2,3,1,2,220,A B B C AB C B AB C B AB C B -∴=-=-⋅=-=∴⊥u u u r u u u r u u u r u u u r2.如图二所示, 在四棱锥P ABCD -中, 底面ABCD 是一直角梯形, 90,//,,2,BAD AD BC AB BC a AD a ∠=︒===且PA ABCD ⊥底面，PD 与底面成30︒角。

高中数学知识专题系列空间角的求法（1）定义法:求解空间角的大小，一般都是根据有关角的定义（如异面直线所成的角、斜线和平面所成的角、二面角的平面角），把空间角转化为平面角来求解的。

例1、如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是1CC 、AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于（ ）A 、510 B 、515 C 、54 D 、32解：（方法一）如图2，取11C D 的中点M ，连结MO O 为底面中心，∴O 为BD 中点，从而FO 为DAB ∆的中位线M D AB FO 1//21//∴，∴四边形FOM D 1为平行四边形F D MO 1//∴，故MOE ∠（或其补角）即为异面直线F D 1和OE 所成的角。

在MOE ∆中，2,51221==+==ME F D OMOE 3)2(1222=+=+=OC EC 由余弦定理得：5153522352cos 222=⋅⋅-+=⋅-+=∠OE OM ME OE OM MOE 故选B（方法二）如图3，取C D 1的中点N ，连结NF 、N D 1，易知NF //EO ，FN D 1∠∴（或其补角）即为异面直线F D 1和OE 所成的角。

在FN D 1∆中，3,221,5111=====OE NF C D N D F D ，由余弦定理得： 5153522352cos 1212211=⋅⋅-+=⋅⋅-+=∠NF FD N D NF FD FN D 故选BA 1 图1C A 1图2A 1图3A 1 D 图4高中数学知识专题系列haiPage 2 of 13(方法三) 如图4，设BC 中点为P ，PC 中点为Q ，连结P C 1、EQ 、OQ 、OP ，易知F D P C 11//F D EQ P C EQ 1121//,21//∴OEQ ∠∴（或其补角）即为异面直线F D 1和OE 所成的角。

安徽省寿县正阳中学周多民NO： 200701126空间角能比较集中的反映学生对空间想象能力的体现，也是历年来高考命题者的热点, 儿乎年年必考。

空间角是线线成角、线面成角、面面成角的总称。

其取值范围分别是：0° < 9W90°、0° W 0 W90° > 0° <0 W180°。

空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边 角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。

空间角的求法--般是：一找、二证、三求解， 手段上可采用：几何法(正余弦定理)和向量法。

下面举例说明。

一、异面直线所成的角：例1如右下图，在长方体A BCD-A.B^D,中，已知A8 = 4, AO = 3, AA }=2.E 、F 分别是线段AB. BC 上的点，且EB = FB = \.求直线互弓与所成的角的余弦值。

思路一：本题易于建立空间直角坐标系,把EC 】与F0所成角看作向量EC 与FD ］的夹角， 用向量法求解。

思路二：平移线段GE 让G 与Di 重合。

转化为 平面角，放到三角形中，用儿何法求解。

(图1)解法一：以A 为原点，届J 万、熟分别为x 轴、 y轴、z 轴的正向建立空间直角坐标系，则有 D, (0, G (4, 3, 2),于是瓦= (1,3,2),福= (-4,2,2) 3, 2)、E (3, 0, 0)、F (4, 1, 0)、设ECi 与FD|所成的角为”，贝IJ ：cos 8 -EC「FD 、EC.・ FDlx(-4) + 3x2 + 2x2 _ V2lV12 +32 +22 x7(-4)2 + 22 +22 14・.・直线EC X 与FD ［所成的角的余弦值为14立体几何中空间角的求法解法二：延长BA 至点E”使AE|=1,连结EiF 、DE 】、D 】E|、DF,异而直线小12的夹角的余弦为:有 D]Ci 〃E]E, DiG=E]E, 则四边形D.E.ECi 是平行四边形。

立体几何专题复习-----空间角的求法(三)(一)异面直线所成的角：定义：已知两条异面直线a,b，经过空间任一点0作直线a //a,b //b，a ,b■所成的角的大小与点0的选择无关，把a,b所成的锐角(或直角)叫异面直线a,b所成的角(或夹角)•为了简便，点0通常取在异面直线的一条上•(1)平移法：即根据定义，以“运动”的观点，用“平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角。

(2)异面直线所成的角的范围：(0,—］.2(3)异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直•两条异面直线a,b垂直，记作a_b.(4)求异面直线所成的角的方法：法1:通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；法2;找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求+(二)直线和平面所成的角1. 线面角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角2. 记作：二；3 、范围：0，— 1; 当一条直线垂直于平面时，所成的角二2即直线与平面垂直；2当一条直线平行于平面或在平面内，所成角为二二0。

3. 求线面角的一般步骤：(1)经过斜线上一点作面的垂线；(2)找出斜线在平面内的射影，从而找出线I面角；(3)解直角三角形。

cos^=L，sin日l l(三)二面角1. 二面角的平面角：(1)过二面角的棱上的一点O分别在两个半平面内作棱的两条垂线OA,OB，则AOB 叫做二面角〉-丨- 一：的平面角.(2)一个平面垂直于二面角〉-丨- 1的棱丨，且与两半平面交线分别为0A,0B,0 为垂足，则.A0B也是〉-丨- 1的平面角*说明：(1)二面角的平面角范围是［0,180'］；(2)二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直(3)二面角的平面角的特点：1）角的顶点在棱上；2）角的两边分别在两个面内；3）角的边都要垂直于二面角的棱。

空间角的求法方法归纳
空间角的求法方法归纳
在数学和物理学中，空间角是一种非常重要的概念。

物体在空间中的角度关系经常被用到各种计算和分析中。

因此，求解空间角的方法也变得尤为重要。

本文将按类划分，总结空间角的求法方法。

立体角的求法
立体角是三维空间中用来描述四面体的角度大小的量，并且与其各个顶点相对应。

求解四面体的立体角可以通过以下公式进行计算：
V5 = 1/3(arccos(A1) + arccos(A2) + arccos(A3) - π )
其中V5指四面体的立体角，A1、A2、A3为三个向量的夹角余弦，pi 为圆周率。

平面角的求法
平面角是在二维平面中两个射线之间的角度大小，于是端点重合，两条射线叫做角的顶点，并记为O。

平面角的计算公式如下：
cosθ = a·b / |a||b|
其中，a和b分别表示两个向量，|a|和|b|表示向量的模，lala和lblb都为0，则cosθ没有定义。

球面角的求法
球面角是指在球面上相互靠近的两条弧（或线）之间的角度大小。

求解球面角需要先计算其对应的球面扇形的面积，然后进行换算即可，具体公式如下：
S = R²θ
其中R表示球体半径，θ表示对应的球面角。

总结
空间角的求法方法主要包括立体角、平面角和球面角三种。

其中立体角的求解需要根据四面体的三个向量夹角余弦值计算，平面角的计算需要先计算两个向量的点积并除以其模，而球面角的求解则需要先计算出对应的球面扇形面积。

这些空间角的求法方法可以帮助我们更准确地分析并解决各类问题。

柳铁一中竞成文科数学一本临界《立体几何》培训专题一【空 间 的 角】一．异面直线所成的角 1.范围是]2,0(π；2.方法：平移法、问量法、三线角公式（1）平移法：在图中选一个恰当的点（通常是线段端点或中点）作a 、b 的平行线，构造一个三角形，并解三角形求角。

（2）向量法：可适当选取异面直线上的方向向量，利用公式b a =><=,cos cos θ求出来方法1：利用向量计算。

选取一组基向量，分别算出 b a ⋅代入上式 方法2：利用向量坐标计算，建系，确定直线上某两点坐标进而求出方向向量),,(111z y x a = ),,(222z y x b =222222212121212121c o sz y x z y x z z y y x x ++++++=∴θ（3）三线角公式 用于求线面角和线线角斜线和平面内的直线与斜线的射影所成角的余弦之积等于斜线和平面内的直线所成角的余弦 即：θθθcos cos cos 21=（三余弦定理）例1、如图，正四棱柱1111ABC D A B C D -中， 12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为例2、在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知AB=a ，BC=)(b a b >,AA 1=c ，求异面直线D 1B 和AC 所成的角的余弦值。

方法一：过B 点作 AC 的平行线（补形平移法）方法二：过AC 的中点作BD1平行线方法三：（向量法）例3、 如图，在四棱锥P A B C D -中，底面A B C D 为矩形，侧棱P A ⊥底面A B C D ，AB =1B C =，2PA =，E 为P D 的中点 求直线A C 与P B 所成角的余弦值；A B 1B1A1D1CC D二．直线与平面所成的角 1.范围是]2,0[π。

2.斜线与平面所成的角是此斜线与平面内所有直线所成角中最小的角。

（最小值定理）3. 求法： 几何法 公式法 问量法（1角形求出此角。