立体几何中用传统法求空间角

-立体几何中的传统法求空间角知识点：一．异面直线所成角：平移法二．线面角1.定义法：此法中最难的是找到平面的垂线.1.）求证面垂线，2）.图形中是否有面面垂直的结构，找到交线，作交线的垂线即可。

2.用等体积法求出点到面的距离sinA=d/PA三．求二面角的方法1、直接用定义找，暂不做任何辅助线；2、三垂线法找二面角的平面角.例一：如图, 在正方体错误！未找到引用源。

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的中点, 则异面直线错误！未A1B1N找到引用源。

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所成的角的大小是______90______. D CM考向二线面角AB 例二、如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AD ⊥PD，BC=1，PC=2 3 ，PD=CD=2.（I ）求异面直线PA与BC所成角的正切值；（II ）证明平面PDC⊥平面ABCD；（III ）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。

练习：如图，在三棱锥P ABC 中，PA 底面A B, C P A, AB 6 0A B,C， BC A点D，E分别在棱PB, PC 上，且DE // BC（Ⅰ）求证：BC 平面PAC ；（Ⅱ）当D 为P B 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的正弦值；（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC ，∴PA⊥BC.又BCA 90 ，∴AC ⊥BC.∴BC⊥平面PAC.（Ⅱ）∵D 为PB 的中点，DE//BC ，∴1DE BC ，2又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点 E.∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角，∵PA⊥底面ABC ，∴PA⊥AB ，又PA=A B，∴△ABP 为等腰直角三角形，∴1AD AB ，2∴在Rt△ABC 中，ABC 60 ，∴1BC AB.2∴在Rt△ADE 中，sin DAE DE BC2 AD 2AD 4，考向三：二面角问题在图中做出下面例题中二面角例三：.定义法（2011 广东理18）如图5．在椎体P-ABCD 中，ABCD 是边长为 1 的棱形，且∠DAB=60 ，P A PD 2 ,PB=2,E,F 分别是BC,PC 的中点．（1）证明：AD 平面DEF;（2）求二面角P-AD-B 的余弦值．法一：（1）证明：取AD 中点G，连接PG，BG，BD。

空间角求法题型（线线角、线面角、二面角）空间角能比较集中的反映学生对空间想象能力的体现， 也是历年来高考命题者的热点， 几乎年年必考。

空间角是线线成角、线面成角、面面成角的总称。

其取值范围分别是：0° < 90°、0°< < 90°、0° < 180°。

空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转 化为空间向量的坐标运算来解。

空间角的求法一般是：一找、二证、三求解，手段上可采用：几何法（正 余弦定理）和向量法。

下面举例说明。

一、异面直线所成的角：例1如右下图，在长方体 ABCD A i BiGD i 中，已知AB 4 , AD 3, AA 2。

E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB FB 1。

求直线EC i 与FD i 所成的角的余弦值。

思路一：本题易于建立空间直角坐标系，uuu uuu把EC i 与FD i 所成角看作向量 EC 与FD 的夹角，用向量法求 解。

思路二：平移线段C i E 让C i 与D i 重合。

转化为平面角，放到 三角形中，用几何法求解。

（图I ）uuu uju umr解法一：以A 为原点，ABAD'AA 分别为x 轴、y 轴、z 轴的•••直线EC i 与FD i 所成的角的余弦值为 --- I4解法二： 延长 BA 至点 E i ,使 AE i =I ，连结 E i F 、DE i 、D i E i 、DF , 有D i C i //E i E , D i C i =E i E ,则四边形 D i E i EC i 是平行四边形。

则 E i D i //EC i 于是/ E i D i F 为直线EC i 与FD i 所成的角。

在 Rt △ BE i F 中， E i F -J E i F 2 BF 2「5 2 i 2 「‘莎。

空间角求法题型（线线角、线面角、二面角）空间角能比较集中的反映学生对空间想象能力的体现，也是历年来高考命题者的热点，几乎年年必考。

空间角是线线成角、线面成角、面面成角的总称。

其取值范围分别是：0°< θ ≤90°、0°≤ θ ≤90°、0°< θ ≤180°。

空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。

空间角的求法一般是：一找、二证、三求解，手段上可采用：几何法（正余弦定理）和向量法。

下面举例说明。

一、异面直线所成的角：例1如右下图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知4AB =，3AD =，12AA =。

E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且1EB FB ==。

求直线1EC 与1FD 所成的角的余弦值。

思路一：本题易于建立空间直角坐标系，把1EC 与1FD 所成角看作向量EC 1与FD 的夹角，用向量法求解。

思路二：平移线段C 1E 让C 1与D 1重合。

转化为平面角，放到三角形中，用几何法求解。

（图1）解法一：以A 为原点，1AB AD AA 、、分别为x 轴、y 轴、z 轴的正向建立空间直角坐标系，则有 D 1（0，3，2）、E （3，0，0）、F （4，1，0）、C 1（4，3，2），于是11(1,3,2),(4,2,2)EC FD ==-设EC 1与FD 1所成的角为β，则：112222221121cos 14132(4)22EC FD EC FD β⋅===⋅++⨯-++ ∴直线1EC 与1FD 所成的角的余弦值为2114解法二：延长BA 至点E 1，使AE 1=1，连结E 1F 、DE 1、D 1E 1、DF ， 有D 1C 1//E 1E ， D 1C 1=E 1E ，则四边形D 1E 1EC 1是平行四边形。

则E 1D 1//EC 1 于是∠E 1D 1F 为直线1EC 与1FD 所成的角。

专题35 空间中线线角、线面角、二面角的求法【高考地位】立体几何是高考数学命题的一个重点，空间中线线角、线面角的考查更是重中之重. 其求解的策略主要有两种方法：其一是一般方法，即按照“作——证——解”的顺序进行；其一是空间向量法，即建立直角坐标系进行求解. 在高考中常常以解答题出现，其试题难度属中高档题.类型一 空间中线线角的求法方法一 平移法例1正四面体ABCD 中， E F ，分别为棱AD BC ，的中点，则异面直线EF 与CD 所成的角为 A.6π B. 4π C. 3π D. 2π 【变式演练1】【2021届全国著名重点中学新高考冲刺】如图，正方体1111ABCD A B C D -，的棱长为6，点F 是棱1AA 的中点，AC 与BD 的交点为O ，点M 在棱BC 上，且2BM MC =，动点T （不同于点M ）在四边形ABCD 内部及其边界上运动，且TM OF ⊥，则直线1B F 与TM 所成角的余弦值为（ ）A B C D ．79【变式演练2】【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期9月月考模拟测试】当动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的棱DC 上运动时，异面直线1D P 与1BC 所成角的取值范围（ ）A ．,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【变式演练3】【甘肃省白银市靖远县2020届高三高考数学（文科）第四次联考】在四面体ABCD 中，2BD AC ==，AB BC CD DA ====E ，F 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线EF 与AC 所成的角为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2【变式演练4】【2020年浙江省名校高考押题预测卷】如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，4AB BC ==，90ABC ∠=︒，侧棱SB 与平面ABC 所成的角为45︒，M 为AC 的中点，N 是侧棱SC上一动点，当BMN △的面积最小时，异面直线SB 与MN 所成角的余弦值为（ ）A ．16B ．3C D ．6方法二 空间向量法例2、【重庆市第三十七中学校2020-2021学年高三上学期10月月考】在长方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为棱1AA ，11C D ，1DD 的中点，12AB AA AD ==，则异面直线EF 与BG 所成角的大小为（ ） A ．30B ．60︒C ．90︒D ．120︒例3、【四川省泸县第四中学2020-2021学年高三上学期第一次月考】在长方体1111ABCD A B C D -中，2BC =，14AB BB ==，E ，F 分别是11A D ，CD 的中点，则异面直线1A F 与1B E 所成角的余弦值为（ ）A ．34B ．34-C D ．6【变式演练5】【2021届全国著名重点中学新高考冲刺】《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形ABCD 为矩形，//EF AB ，若3AB EF =，ADE 和BCF △都是正三角形，且2AD EF =，则异面直线AE 与CF 所成角的大小为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【变式演练6】【云南省云天化中学、下关一中2021届高三复习备考联合质量检测卷】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为线段AB 的中点，点F 在线段AD 上移动，异面直线1B C 与EF 所成角最小时，其余弦值为（ ）A ．0B ．12C D ．1116类型二 空间中线面角的求法方法一 垂线法第一步 首先根据题意找出直线上的点到平面的射影点；第二步 然后连接其射影点与直线和平面的交点即可得出线面角； 第三步 得出结论.例3如图，四边形ABCD是矩形，1,AB AD ==E 是AD 的中点，BE 与AC 交于点F ，GF ⊥平面ABCD .（Ⅰ）求证：AF ⊥面BEG ；（Ⅰ）若AF FG =，求直线EG 与平面ABG 所成角的正弦值.【变式演练7】已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等,1A 在底面ABC 内的射影为ABC 的中心,则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为（ ）A ．13 B． C．3 D ．23【变式演练8】【北京市朝阳区2020届高三年级下学期二模】如图，在五面体ABCDEF 中，面ABCD 是正方形，AD DE ⊥，4=AD ，2DE EF ==，且π3EDC ∠=．（1）求证：AD ⊥平面CDEF ；（2）求直线BD 与平面ADE 所成角的正弦值；GFEDCBA（3）设M 是CF 的中点，棱AB 上是否存在点G ，使得//MG 平面ADE ？若存在，求线段AG 的长；若不存在，说明理由．方法二 空间向量法第一步 首先建立适当的直角坐标系并写出相应点的空间直角坐标； 第二步 然后求出所求异面直线的空间直角坐标以及平面的法向量坐标；第三步 再利用a bsin a bθ→→→→⋅=即可得出结论.例4 【内蒙古赤峰市2020届高三（5月份）高考数学（理科）模拟】在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，//BC AD ，222AD BC CD ===，O 是AD 的中点，PO ⊥平面ABCD ，过AB 的平面交棱PC 于点E （异于点C ，P 两点），交PO 于F .（1）求证：//EF 平面ABCD ；（2）若F 是PO 中点，且平面EFD 与平面ABCD 求PC 与底面ABCD 所成角的正切值.【变式演练9】【2020年浙江省名校高考仿真训练】已知三棱台111ABC A B C -的下底面ABC 是边长为2的正三角形，上地面111A B C △是边长为1的正三角形.1A 在下底面的射影为ABC 的重心，且11A B A C ⊥.（1）证明：1A B ⊥平面11ACC A ；（2）求直线1CB 与平面11ACC A 所成角的正弦值.类型三 空间二面角的求解例4【江西省部分省级示范性重点中学教科研协作体2021届高三统一联合考试】三棱锥S ABC -中，2SA BC ==，SC AB ==，SB AC ==记BC 中点为M ，SA 中点为N（1）求异面直线AM 与CN 的距离； （2）求二面角A SM C --的余弦值.【变式演练10】【2021年届国著名重点中学新高考冲刺】如图，四边形MABC 中，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，MAC △是边长为2的正三角形，以AC 为折痕，将MAC △向上折叠到DAC △的位置，使D 点在平面ABC 内的射影在AB 上，再将MAC △向下折叠到EAC 的位置，使平面EAC ⊥平面ABC ，形成几何体DABCE .（1）点F 在BC 上，若//DF 平面EAC ，求点F 的位置； （2）求二面角D BC E --的余弦值. 【高考再现】1．【2020年高考山东卷4】日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O ），地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40︒，则晷针与点A 处的水平面所成角为 （ ）A ．20︒B ．40︒C ．50︒D ．90︒2. 【2017课标II ，理10】已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ）A B C D 3．【2020年高考全国Ⅰ卷理数16】如图，在三棱锥P ABC -的平面展开图中，1,3,,,30AC AB AD AB AC AB AD CAE ===⊥⊥∠=︒，则cos FCB ∠=_____________．4.【2020年高考全国Ⅱ卷理数20】如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，,M N 分别为11,BC B C 的中点，P 为AM 上一点．过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：1AA //MN ，且平面1A AMN ⊥平面11EB C F ；（2）设O 为Ⅰ111C B A 的中心，若F C EB AO 11平面∥，且AB AO =，求直线E B 1与平面AMN A 1所成角的正弦值．5.【2020年高考江苏卷24】在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD BD =2，O 为BD 的中点，AO Ⅰ平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；（2）若点F在BC上，满足BF=14BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．6．【2020年高考浙江卷19】如图，三棱台DEF—ABC中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC．（I）证明：EF⊥DB；（II）求DF与面DBC所成角的正弦值．7．【2020年高考山东卷20】如图，四棱锥P ABCD-的底面为正方形，PD⊥底面ABCD，设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知1PD AD==，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．【反馈练习】1．【江西省乐平市第一中学2021届高三上学期联考理科】已知正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是线段BC ，1BB 的中点，则异面直线DE 与1D F 所成角的余弦值为（ ）A B C ．35 D ．452．【湖南省永州市宁远、道县、东安、江华、蓝山、新田2020届高三下学期六月联考】某四棱锥的三视图如图所示，点E 在棱BC 上，且2BE EC =，则异面直线PB 与DE 所成的角的余弦值为（ ）A ．BCD ．153．【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟】如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是平面11A BC 内一个动点，且满足12DP PB +=1B P 与直线1AD 所成角的余弦值的取值范围为（ ）A ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12⎡⎢⎣⎦D ．1,22⎡⎢⎣⎦4．【广西玉林市2021届高三11月教学质量监测理科】如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱AD ，CC 1的中点，则异面直线A 1E 与BF 所成角的大小为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 5．【山东省泰安市2020届高三第四轮模拟复习质量】如图，在三棱锥A —BCD 中，AB =AC =BD =CD =3，AD =BC =2，点M ，N 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是（ ）A ．58B ．8C ．78D ．86．【福建省厦门市2020届高三毕业班（6月）第二次质量检查（文科）】如图，圆柱1OO 中，12OO =，1OA =，1OA O B ⊥，则AB 与下底面所成角的正切值为( )A ．2BC ．2D ．127．【内蒙古赤峰市2020届高三（5月份）高考数学（理科）】若正方体1AC 的棱长为1，点P 是面11AA D D 的中心，点Q 是面1111D C B A 的对角线11B D 上一点，且//PQ 面11AA B B ，则异面直线PQ 与1CC 所成角的正弦值为__.8．【吉林省示范高中（四平一中、梅河口五中、白城一中等）2020届高三第五次模拟联考】如图，已知直三棱柱ADF BCE -，AD DF ⊥，2AD DF CD ===，M 为AB 上一点，四棱锥F AMCD -的体积与该直三棱柱的体积之比为512，则异面直线AF 与CM 所成角的余弦值为________.9．【湖北省华中师大附中2020届高三下学期高考预测联考文科】如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上一点，PA ⊥平面ABC ，E 、F 分别是PC 、PB 边上的中点，点M 是线段AB 上任意一点，若2AP AC BC ===.（1）求异面直线AE 与BC 所成的角：（2）若三棱锥M AEF -的体积等于19，求AM BM10．【广东省湛江市2021届高三上学期高中毕业班调研测试】如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为2的等边三角形，侧面11BCC B 为菱形，且平面11BCC B ⊥平面ABC ，160CBB ∠=︒，D 为棱1AA 的中点．（1）证明：1BC ⊥平面1DCB ；（2）求二面角11B DC C --的余弦值．11．【河南省焦作市2020—2021学年高三年级第一次模拟考试数学（理）】如图，四边形ABCD 为菱形，120ABC ∠=︒，四边形BDFE 为矩形，平面BDFE ⊥平面ABCD ，点P 在AD 上，EP BC ⊥.（1）证明：AD ⊥平面BEP ；（2）若EP 与平面ABCD 所成角为60°，求二面角C PE B --的余弦值.12．【广西南宁三中2020届高三数学（理科）考试】如图1，在直角ABC 中，90ABC ∠=︒，AC =AB =D ，E 分别为AC ，BD 的中点，连结AE 并延长交BC 于点F ，将ABD △沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，如图2所示.（1）求证：AE CD ⊥；（2）求平面AEF 与平面ADC 所成锐二面角的余弦值.13．【广西柳州市2020届高三第二次模拟考试理科】已知三棱锥P ABC -的展开图如图二，其中四边形ABCD ABE △和BCF △均为正三角形，在三棱锥P ABC -中：（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）若M 是PA 的中点，求二面角P BC M --的余弦值．14．【浙江省“山水联盟”2020届高三下学期高考模拟】四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，侧面PBC 为正三角形，平面PBC ⊥平面ABCD ，3ABC π∠=，点M 为AD 中点.；（1）求证：CM PB（2）若点N是线段PA上的中点，求直线MN与平面PCM所成角的正弦值.。

专题08 立体几何解答题常考全归类【命题规律】空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，是常考的重点，立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个空间几何体为依托，分步设问，逐层加深．解决这类题目的原则是建系求点、坐标运算、几何结论．作为求解空间角的有力工具，通常在解答题中进行考查，属于中等难度．【核心考点目录】核心考点一：非常规空间几何体为载体核心考点二：立体几何探索性问题核心考点三：立体几何折叠问题核心考点四：立体几何作图问题核心考点五：立体几何建系繁琐问题核心考点六：两角相等（构造全等）的立体几何问题核心考点七：利用传统方法找几何关系建系核心考点八：空间中的点不好求核心考点九：创新定义【真题回归】1．（2022·天津·统考高考真题）直三棱柱111ABC A B C 中，112,,AA AB AC AA AB AC AB ===⊥⊥，D 为11A B 的中点，E 为1AA 的中点，F 为CD 的中点．(1)求证：//EF 平面ABC ；(2)求直线BE 与平面1CC D 所成角的正弦值；(3)求平面1ACD 与平面1CC D 所成二面角的余弦值．2．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求CF 与平面ABD 所成的角的正弦值．3．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知ABCD 和CDEF 都是直角梯形，//AB DC ，//DC EF ，5AB =，3DC =，1EF =，60BAD CDE ∠=∠=︒，二面角F DC B --的平面角为60︒．设M ，N 分别为,AE BC 的中点．(1)证明：FN AD ⊥；(2)求直线BM 与平面ADE 所成角的正弦值．4．（2022·全国·统考高考真题）如图，PO 是三棱锥-P ABC 的高，PA PB =，AB AC ⊥，E 是PB 的中点．(1)证明：//OE 平面PAC ；(2)若30ABO CBO ∠=∠=︒，3PO =，5PA =，求二面角C AE B --的正弦值．5．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求三棱锥F ABC -的体积．6．（2022·全国·统考高考真题）在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面,,1,2,ABCD CD AB AD DC CB AB DP =====∥(1)证明：BD PA ⊥；(2)求PD 与平面PAB 所成的角的正弦值．7．（2022·北京·统考高考真题）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，侧面11BCC B 为正方形，平面11BCC B ⊥平面11ABB A ，2AB BC ==，M ，N 分别为11A B ，AC 的中点．(1)求证：MN ∥平面11BCC B ；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB 与平面BMN 所成角的正弦值． 条件①：AB MN ⊥；条件②：BM MN =．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．8．（2022·全国·统考高考真题）如图，直三棱柱111ABC A B C 的体积为4，1A BC 的面积为(1)求A 到平面1A BC 的距离；(2)设D 为1A C 的中点，1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，求二面角A BD C --的正弦值．【方法技巧与总结】1、用综合法求空间角的基本数学思想主要是转化与化归，即把空间角转化为平面角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得．求解的一般步骤为：（1）作图：作出空间角的平面角．（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的．（3）计算：在证明的基础上计算得出结果．简称：一作、二证、三算．2、用定义作异面直线所成角的方法是“平移转化法”，可固定一条，平移另一条；或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上．3、求直线与平面所成角的常见方法（1）作角法：作出斜线、垂线、斜线在平面上的射影组成的直角三角形，根据条件求出斜线与射影所成的角即为所求．（2）等积法：公式θ=sin h l，其中θ是斜线与平面所成的角，h 是垂线段的长，是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可构造三棱锥，利用等体积法来求垂线段的长．（3）证垂法：通过证明线面垂直得到线面角为90°．4、作二面角的平面角常有三种方法（1）棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角．（2）面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角．（3）空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角．【核心考点】核心考点一：非常规空间几何体为载体【规律方法】关键找出三条两两互相垂直的直线建立空间直角坐标系．【典型例题】例1．（2022·陕西安康·统考一模）如图，已知AB 为圆锥SO 底面的直径，点C 在圆锥底面的圆周上，2BS AB ==，6BAC π∠=，BE 平分SBA ∠，D 是SC 上一点，且平面DBE ⊥平面SAB .(1)求证：SA BD ⊥；(2)求二面角E BD C --的正弦值.例2．（2022·安徽·校联考二模）如图，将长方形11OAAO （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，其中11,2OA O O ==，劣弧11A B 的长为,6AB π为圆O 的直径.(1)在弧AB 上是否存在点C （1,C B 在平面11OAAO 的同侧），使1BC AB ⊥，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由；(2)求平面11A O B 与平面11B O B 夹角的余弦值.例3．（2022·山东东营·胜利一中校考模拟预测）如图，,AB CD 分别是圆台上､下底面的直径，且AB CD ，点E 是下底面圆周上一点，AB =(1)证明：不存在点E 使平面AEC ⊥平面ADE ；(2)若4DE CE ==，求二面角D AE B --的余泫值.例4．（2022·河北·统考模拟预测）如图，在圆台1OO 中，上底面圆1O 的半径为2，下底面圆O 的半径为4，过1OO 的平面截圆台得截面为11ABB A ，M 是弧AB 的中点，MN 为母线，cos NMB ∠=(1)证明：1AB ⊥平面1AOM ； (2)求二面角M NB A --的正弦值.核心考点二：立体几何探索性问题【规律方法】与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或二面角满足特定要求时的存在性问题．处理原则：先建立空间直角坐标系，引入参数（有些是题中已给出），设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断．【典型例题】例5．（2022·上海虹口·统考一模）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，底面ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，侧面11AAC C 为菱形，点1A 在底面上的投影为AC 的中点D ，且2AB =．(1)求证：1BD CC ⊥；(2)求点C 到侧面11AA B B 的距离；(3)在线段11A B 上是否存在点E ，使得直线DE 与侧面11AA B B 请求出1A E 的长；若不存在，请说明理由．例6．（2022春·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，1AB C 为等边三角形，四边形11AA B B 为菱形，AC BC ⊥，4AC =，3BC =.(1)求证：11AB AC ⊥；(2)线段1CC 上是否存在一点E ，使得平面1AB E 与平面ABC 的夹角的余弦值为14？若存在，求出点E 的位置；若不存在，请说明理由.例7．（2022春·黑龙江绥化·高三海伦市第一中学校考期中）如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 是DC 的中点，将DAE 沿AE 折起，使得点D 到达点P 的位置，且PB ＝PC ，如图2所示．F 是棱PB 上的一点．(1)若F 是棱PB 的中点，求证：//CF 平面P AE ；(2)是否存在点F ，使得二面角F AE C --？若存在，则求出PF FB 的值；若不存在，请说明理由．例8．（2022·广东韶关·统考一模）已知矩形ABCD 中，4AB =，2BC =，E 是CD 的中点，如图所示，沿BE 将BCE 翻折至BFE △，使得平面BFE ⊥平面ABCD .(1)证明：BF AE ⊥；(2)若(01)DP DB λλ=<<是否存在λ，使得PF 与平面DEF 求出λ的值；若不存在，请说明理由.核心考点三：立体几何折叠问题【规律方法】1、处理图形翻折问题的关键是理清翻折前后长度和角度哪些发生改变，哪些保持不变．2、把空间几何问题转化为平面几何问题，把握图形之间的关系，感悟数学本质．【典型例题】例9．（2022春·江苏南通·高三期中）已知梯形ABCD 中，//AD BC ，π2∠=∠=ABC BAD ，24AB BC AD ===，E ，F 分别是AB ，CD 上的点，//EF BC ，AE x =，G 是BC 的中点，沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF ．(1)当2x =时①求证：BD EG ⊥；②求二面角D BF C --的余弦值；(2)三棱锥D FBC -的体积是否可能等于几何体ABE FDC -体积的一半？并说明理由．例10．（2022春·辽宁·高三辽宁实验中学校考期中）如图1，在平面四边形ABCD 中，已知ABDC ，AB DC ∥，142AD DC CB AB ====，E 是AB 的中点．将△BCE 沿CE 翻折至△PCE ，使得2DP =，如图2所示．(1)证明：DP CE ⊥；(2)求直线DE 与平面P AD 所成角的正弦值．例11．（2022春·湖南长沙·高三宁乡一中校考期中）如图，平面五边形P ABCD 中，PAD 是边长为2的等边三角形，//AD BC ，AB ＝2BC ＝2，AB BC ⊥，将PAD 沿AD 翻折成四棱锥P －ABCD ，E 是棱PD 上的动点（端点除外），F ，M 分别是AB ，CE 的中点，且PC =(1)证明：AB FM ⊥；(2)当直线EF 与平面P AD 所成的角最大时，求平面ACE 与平面P AD 夹角的余弦值．例12．（2022·四川雅安·统考模拟预测）如图①，ABC 为边长为6的等边三角形，E ，F 分别为AB ，AC 上靠近A 的三等分点，现将AEF △沿EF 折起，使点A 翻折至点P 的位置，且二面角P EF C --的大小为120°（如图②）．(1)在PC 上是否存在点H ，使得直线//FH 平面PBE ？若存在，确定点H 的位置；若不存在，说明理由． (2)求直线PC 与平面PBE 所成角的正弦值．核心考点四：立体几何作图问题 【规律方法】（1）利用公理和定理作截面图（2）利用直线与平面平行的性质定理作平行线 （3）利用平面与平面垂直作平面的垂线 【典型例题】例13．（2022·贵州·校联考模拟预测）如图，已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，112CD CC AC ===，3DCB π∠=且113cos cos 4C CD C CB ∠=∠=.(1)试在平面ABCD 内过点C 作直线l ，使得直线//l 平面1C BD ，说明作图方法，并证明：直线11//l B D ； (2)求点C 到平面1A BD 的距离.例14．（2022秋·河北石家庄·高一石家庄市第十五中学校考期中）如图为一块直四棱柱木料，其底面ABCD 满足：AB AD ⊥，AD BC ∥．(1)要经过平面11CC D D 内的一点P 和棱1BB 将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？（借助尺规作图，并写出作图说明，无需证明）(2)若2AD AB ==，11BC AA ==，当点P 是矩形11CDD C 的中心时，求点1D 到平面1APB 的距离．例15．（2022·全国·高三专题练习）如图多面体ABCDEF 中，面FAB ⊥面ABCD ，FAB 为等边三角形，四边形ABCD 为正方形，//EF BC ，且332EF BC ==，H ，G 分别为CE ，CD 的中点.（1）求二面角C FH G --的余弦值；（2）作平面FHG 与平面ABCD 的交线，记该交线与直线AB 交点为P ，写出APAB的值（不需要说明理由，保留作图痕迹）.例16．（2022·全国·高三专题练习）四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，23DAB π∠=.ACBD O =,且PO ⊥平面ABCD ，PO =点,F G 分别是线段.PB PD 上的中点，E 在PA 上.且3PA PE =.（Ⅰ）求证：//BD 平面EFG ；（Ⅰ）求直线AB 与平面EFG 的成角的正弦值；（Ⅰ）请画出平面EFG 与四棱锥的表面的交线，并写出作图的步骤.核心考点五：立体几何建系繁琐问题 【规律方法】 利用传统方法解决 【典型例题】例17．如图，已知三棱柱-111ABC A B C 的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，M ，N 分别为BC ，11B C 的中点，P 为AM 上一点．过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ． （1）证明：1//AA MN ，且平面⊥1A AMN 平面11EB C F ；（2）设O 为△111A B C 的中心．若//AO 平面11EB C F ，且=AO AB ，求直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值．例18．如图，在锥体-P ABCD 中，ABCD 是边长为1的菱形，且∠=︒60DAB ，==PA PD ，=2PB ，E ，F 分别是BC ，PC 的中点（1）证明：⊥AD 平面DEF （2）求二面角--P AD B 的余弦值．例19．（2022春·福建南平·高三校考期中）在三棱柱111ABC A B C 中，AB AC ⊥，1B C ⊥平面ABC ，E 、F 分别是棱AC 、11A B 的中点.(1)设G 为11B C 的中点，求证：//EF 平面11BCC B ；(2)若2AB AC ==，直线1BB 与平面1ACB 所成角的正切值为2，求多面体1B EFGC -的体积V .核心考点六：两角相等（构造全等）的立体几何问题 【规律方法】 构造垂直的全等关系 【典型例题】例20．如图，已知三棱柱-111ABC A B C 的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，M ，N 分别为BC ，11B C 的中点，P 为AM 上一点．过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ． （1）证明：1//AA MN ，且平面⊥1A AMN 平面11EB C F ；（2）设O 为△111A B C 的中心．若//AO 平面11EB C F ，且=AO AB ，求直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值．例21．如图，在锥体-P ABCD 中，ABCD 是边长为1的菱形，且∠=︒60DAB ，==PA PD ，=2PB ，E ，F 分别是BC ，PC 的中点（1）证明：⊥AD 平面DEF （2）求二面角--P AD B 的余弦值．核心考点七：利用传统方法找几何关系建系【规律方法】利用传统方法证明关系，然后通过几何关系建坐标系． 【典型例题】例22．如图：长为3的线段PQ 与边长为2的正方形ABCD 垂直相交于其中心()O PO OQ >． （1）若二面角P AB Q --的正切值为3-，试确定O 在线段PQ 的位置；（2）在（1）的前提下，以P ，A ，B ，C ，D ，Q 为顶点的几何体PABCDQ 是否存在内切球？若存在，试确定其内切球心的具体位置；若不存在，请说明理由．例23．在四棱锥P ABCD -中，E 为棱AD 的中点，PE ⊥平面ABCD ，//AD BC ，90ADC ∠=︒，2ED BC ==，3EB =，F 为棱PC 的中点．（Ⅰ）求证：//PA 平面BEF ；（Ⅰ）若二面角F BE C --为60︒，求直线PB 与平面ABCD 所成角的正切值．例24．三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，侧面11BCC B 为矩形，123A AB π∠=，二面角1A BC A --的正切值为12． （Ⅰ）求侧棱1AA 的长；（Ⅰ）侧棱1CC 上是否存在点D ，使得直线AD 与平面1A BC ，若存在，判断点的位置并证明；若不存在，说明理由．核心考点八：空间中的点不好求 【规律方法】 方程组思想 【典型例题】例25．（2022·江苏南京·模拟预测）已知三棱台111ABC A B C 的体积为143，且π2ABC ∠=，1A C ⊥平面11BB C C . (1)证明：平面11A B C ⊥平面111A B C ；(2)若11AC B C =，11112A B B C ==，求二面角1B AA C --的正弦值.例26．（2022春·浙江·高三浙江省新昌中学校联考期中）如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，3DAB π∠=，平面11BDD B ⊥平面ABCD ，点1,O O 分别为11,B D BD 的中点，1111,,O B A AB O BO ∠∠=均为锐角.(1)求证：1AC BB ⊥；(2)若异面直线CD 与1AA ，四棱锥1A ABCD -的体积为1，求二面角1B AA C --的平面角的余弦值.例27．（2022春·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考期中）如图，在几何体ABCDE 中，底面ABC 为以AC为斜边的等腰直角三角形.已知平面ABC ⊥平面ACD ，平面ABC ⊥平面,//BCE DE 平面,ABC AD DE ⊥.(1)证明；DE ⊥平面ACD ；(2)若22AC CD ==，设M 为棱BE 的中点，求当几何体ABCDE 的体积取最大值时,AM 与CD 所成角的余弦值.核心考点九：创新定义 【规律方法】以立体几何为载体的情境题都跟图形有关，涉及在具体情境下的图形阅读，需要通过数形结合来解决问题．图形怎么阅读一是要读特征，即从图形中读出图形的基本特征；二是要读本质，即要善于将所读出的信息进行提升，实现“图形→文字→符号”的转化；三是要有问题意识，带着问题阅读图形，将研究图形的本身特征和关注题目要解决的问题有机地融合在一起；四是要有运动观点，要“动手”去操作，动态地去阅读图形．【典型例题】例28．（2022·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）已知顶点为S 的圆锥面（以下简称圆锥S ）与不经过顶点S 的平面α相交，记交线为C ，圆锥S 的轴线l 与平面α所成角θ是圆锥S 顶角（圆S 轴截面上两条母线所成角θ的一半，为探究曲线C 的形状，我们构建球T ，使球T 与圆锥S 和平面α都相切，记球T 与平面α的切点为F ，直线l 与平面α交点为A ，直线AF 与圆锥S 交点为O ，圆锥S 的母线OS 与球T 的切点为M ，OM a =，MS b =．(1)求证：平面SOA ⊥平面α，并指出a ，b ，θ关系式； (2)求证：曲线C 是抛物线．例29．（2022·全国·高三专题练习）类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线PA ，PB ，PC 构成的三面角-P ABC ，APC α∠=，BPC β∠=，APB γ∠=，二面角A PC B --的大小为θ，则cos cos cos sin sin cos γαβαβθ=+．（1）当α、π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，证明以上三面角余弦定理；（2）如图2，四棱柱1111ABCD A B C D -中，平面11AA C C ⊥平面ABCD ，160A AC ∠=︒，45BAC ∠=︒， ①求1A AB ∠的余弦值；②在直线1CC 上是否存在点P ，使//BP 平面11DA C ？若存在，求出点P 的位置；若不存在，说明理由．例30．（2022·全国·校联考模拟预测）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示．蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥H ABC -，J CDE -，K EFA -，再分别以AC ，CE ，EA 为轴将ACH ∆，CEJ ∆，EAK ∆分别向上翻转180︒，使H ，J ，K 三点重合为点S 所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示．蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于2π减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）．（1）求蜂房曲顶空间的弯曲度；（2）若正六棱柱的侧面积一定，当蜂房表面积最小时，求其顶点S 的曲率的余弦值．【新题速递】1．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，1BC CC =，1AC AB =.(1)证明：平面1ABC ⊥平面11BCC B ；(2)若BC =，1AB B C =，160CBB ∠=︒，求直线1BA 与平面111A B C 所成角的正弦值.2．（2022·四川达州·统考一模）如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，112AB AC BB ===，，160ABB ∠=.(1)证明: 1AB B C ⊥；(2)若12B C =，求1AC 与平面1BCB 所成角的正弦值.3．（2022·陕西宝鸡·统考一模）如图在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 是平行四边形.已知2,1,PA AB AD AC E ====是PB 中点.(1)求证：平面PBC ⊥平面ACE ；(2)求平面PAD 与平面ACE 所成锐二面角的余弦值.4．（2022·广东广州·统考一模）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，平面PBC ⊥平面ABCD ，30,ACD E ∠=为AD 的中点，点F 在PA 上，3AP AF =.(1)证明：PC //平面BEF ；(2)若PDC PDB ∠∠=，且PD 与平面ABCD 所成的角为45，求平面AEF 与平面BEF 夹角的余弦值.5．（2022·上海奉贤·统考一模）如图，在四面体ABCD 中，已知BA BD CA CD ===.点E 是AD 中点.(1)求证：AD ⊥平面BEC ；(2)已知95,arccos,625AB BDC AD ∠===，作出二面角D BC E --的平面角，并求它的正弦值.6．（2022·上海浦东新·统考一模）如图，三棱锥-P ABC 中，侧面P AB 垂直于底面ABC ，PA PB =，底面ABC 是斜边为AB 的直角三角形，且30ABC ∠=︒，记O 为AB 的中点，E 为OC 的中点.(1)求证：PC AE ⊥；(2)若2AB =，直线PC 与底面ABC 所成角的大小为60°，求四面体P AOC 的体积.7．（2022·四川成都·石室中学校考模拟预测）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB BD BP ===PA PD ==90APD ∠=︒，E 是棱PA 的中点，且BE 平面PCD(1)证明：CD ⊥平面PAD ；(2)若1CD =，求二面角A PB C --的正弦值.8．（2022春·江苏徐州·高三期末）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，N 为PB 的中点.(1)若点M 在AD 上，2AM MD =，34AD BC =，证明：MN 平面PCD ； (2)若3PA AB AC AD ====，4BC =，求二面角D AC N --的余弦值.9．（2022·陕西汉中·统考一模）如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，60,ABC FA ∠=⊥平面,ABCD ED FA ∥，且22AB FA ED ===.(1)求证：BD FC ⊥；(2)求二面角F AC E --的大小.10．（2022·陕西汉中·统考一模）如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，60,ABC FA ∠=⊥平面,ABCD FA ED ∥，且22AB FA ED ===.(1)求证：BD FC ⊥；(2)求点A 到平面FBD 的距离.11．（2022·四川广安·广安二中校考模拟预测）APD △是等腰直角三角形，AP PD ⊥且AD =ABCD 是直角梯形，AB BC ⊥，DC BC ⊥，且222AB BC CD ===，平面APD ⊥平面ABCD .(1)求证：AP ⊥平面BPD ；(2)若点E 是线段PB 上的一个动点，问点E 在何位置时三棱锥D APE -.12．（2022·四川南充·统考一模）在平面五边形ABCDE 中（如图1），ABCD 是梯形，//AD BC ，2AD BC ==AB =90ABC ∠=︒，ADE 是等边三角形．现将ADE 沿AD 折起，连接EB ，EC 得四棱锥E ABCD -（如图2）且CE =(1)求证：平面EAD ⊥平面ABCD ；(2)在棱EB 上有点F ，满足13EF EB =，求二面角E AD F --的余弦值．13．（2022·贵州贵阳·贵阳六中校考一模）如图，在四棱锥P ABCD -中，DA AB ⊥，PD PC ⊥，PB PC ⊥，1AB AD PD PB ====，4cos 5DCB ∠=.(1)求证：BD ⊥平面PAC .(2)设E 为BC 的中点，求PE 与平面ABCD 所成角的正弦值.14．（2022春·广东广州·高三校考期中）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，//,222AB CD PC AB AD CD ====，点E 在侧棱PB 上.(1)求证：平面EAC ⊥平面PBC ；(2)若平面PAC 与平面ACE PE BE 的值.。

立体几何大题的解题技巧——综合提升【命题分析】高考中立体几何命题特点：1.线面位置关系突出平行和垂直，将侧重于垂直关系．2.空间“角”与“距离”的计算常在解答题中综合出现．3.多面体及简单多面体的概念、性质多在选择题，填空题出现．4.有关三棱柱、四棱柱、三棱锥的问题，特别是与球有关的问题将是高考命题的热点． 此类题目分值一般在17---22分之间，题型一般为1个选择题，1个填空题，1个解答题. 【考点分析】掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念.【高考考查的重难点*状元总结】空间距离和角：“六个距离”：1两点间距离 221221221)()()(d z z y y x x -+-+-= 2点P 到线l的距离d = （Q 是直线l 上任意一点，u 为过点P 的直线l 法向量）3两异面直线的距离d =（P 、Q 分别是两直线上任意两点u 为两直线公共法向量）4点P 到平面的距离d =（Q 是平面上任意一点，u 为平面法向量）5直线与平面的距离【同上】 6平行平面间的距离【同上】“三个角度”：1异面直线角【0，2π】cos θ=2121v v v v 【辨】直线倾斜角范围【0，π）2线面角 【0，2π】sin θ=nv vn n v =,cos 或者解三角形3二面角 【0，π】cos 2121n n n n ±=θ 或者找垂直线，解三角形不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成，即寓证明于运算之中，正是本专题的一大特色.求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。

其中，利用空间向量求空间距离和角的套路与格式固定，是解决立体几何问题这套强有力的工具时，使得高考题具有很强的套路性。

求空间角的方法-高考数学一题多解一、攻关方略空间角的探究是立体几何的一类重要题型.空间的角包括异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角，求空间角首先要把它转化为平面角（即降维策略的应用），然后用代数的方法、三角的方法求解，或者直接用向量的方法求解，异面直线所成角的范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦，直线与平面所成角的范围是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，二面角的范围是[]0,π.1.异面直线所成角的求解（1）平移法.在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线；也可在两条异面直线外空间选择“特殊点”，分别作两条两异面直线的平行线（单移或双移）.（2）补形法.把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，从而发现两条异面直线间的关系.（3）向量法.建立适当的空间直角坐标系，求出两异面直线所在向量的坐标，代入向量夹角公式即可求出.求异面直线AB 与CD 的夹角θ，cos AB CD AB CDθ⋅= .2.直线与平面所成角的求解（1）直接法.通过斜线上某个特殊点作出平面的重线段，连接垂足和斜足，找出线面角（斜线段和斜线段在平面上的射影所成的角），在直角三角形中求解.（2）向量法.建立适当的空间直角坐标系，求出平面的法向量的坐标和斜线段所在直线的向量坐标，代入向量夹角公式，求出法向量与斜线段所在直线的夹角θ，则直线与平面所成角为2πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求直线l 与平面α所成角θ，sin PM n PM nθ⋅=⋅ （其中n 为平面α的法向量，M 为l 与α的交点，P 为l 上不同于M 的任一点）.3.二面角的求解（通常通过平面角求解）（1）定义法.直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面中作棱的垂线，得出平面角，在相应的平面图形中计算.（2）三垂线法.已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或其逆定理作出平面角，在直角三角形中计算.（3）垂面法.已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线，所成的角即为平面角，二面角的平面角所在的平面与棱垂直.（4）射影法.利用面积射影公式：cos S S θ=射影截面，其中θ为平面角的大小.（5）向量法.建立适当的空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，然后代入向量夹角公式，求出两法向量的夹角θ，则两个平面的二面角的平面角为()πθ-或θ.求二面角θ，有1212cos n n n n θ⋅= （1n ，2n 分别为两个平面的法向量）对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法.真可谓：三维化二维紧扣定义，转化与归纳配合运用，求空间角妙据迭出，施向量法更添风采.【典例】如图30-5所示，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD .AD BC ∥，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点.（1）证明：MN ∥平面PAB ；（2）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.解题策略本题主要考查空间直线和平面平行关系的证明以及求直线与平面所成角的正弦值.第（1）问，可以利用线面平行的判定定理证明，也可以用纯向量法或向量坐标法证明；第（2）问，可以通过作出相应射影角求解，若结合等体积法求点A 到平面PMN 的距离也会对解题带来方便，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解直线与平面所成角的正弦值也是好方法.应指出的是：直线l 与平面α所成角θ与直线的方向向量d 和平面的法向量n 的夹角,d n 不是一回事，两者之间关系为sin cos ,d n θ= .第（1）问策略一立体几何方法：由线线平行⇒线面平行策略二纯向量法，即证明MN 向量与平面PAB 内两个不共线向量满足共面向量定理策略三向量坐标法，即证明MN 向量与平面PAB 的法向量垂直第（2）问策略一转化为求斜线AN 与其与平面PMN 内射影所成角策略二运用等体积法求点A 到平面PMN 的距离，再求线面角策略三运用向量坐标法求向量AN 与平面PMN 的法向量所成角的余弦值，即为AN 与平面PMN 所成角的正弦值（1）证法一（立体几何常规证法：先证线线平行，再推得线面平行）由已知得223AM AD ==，取BP 的中点T ，连接AT 、TN ，如图30-6所示.由N 为PC 的中点知TN BC ∥，122TN BC ==.又AD BC ∥，故TN AM ∥，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN AT ∥.∵AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，∴MN ∥平面PAB .证法二（纯向量法）如图30-6所示，由已知得223AM AD ==，N 为PC 的中点，以向量AB 、AD 、AP 为基底，有()12MN AN AM AP AC AM =-=+- ()12AP AB BC AM =++- ()1112222AP AB AM AM AP AB =++-=+ .∴MN 、AP 、AB 共面，又MN ⊄平面PAB ，∴MN ∥平面PAB .证法三（向量坐标法）取BC 中点E ，连接AE ，易证AE BC ⊥，即AE AD ⊥，AE A 为原点建立空间直角坐标系，如图30-7所示.则()0,0,0A ，()0,0,4P，)2,0B -，()0,2,0M，,1,22N ⎫⎪⎪⎝⎭，1,22MN ⎫=-⎪⎪⎝⎭ ，()0,0,4AP =，)2,0AB =- .可取平面PAB的法向量()n = ，则0MN n ⋅= ，MN n ⊥ .∴MN ∥平面PAB .（2）解法一（立体几何方法一：转化为求射影角）如图30-8所示，取BC 中点E ，连接AE 、CM ，易证AE BC ⊥，MC AE ∥，CM BC ⊥，CM ⊥平面PAD .作AG PM ⊥，垂足为点G ，易证AG ⊥平面PMC .连接NG ，则∠ANG 为AN 与平面PMN （即平面PMC ）所成的角.易求得52AN =，AG =，sin 25AG ANG AN ∠==.解法二（立体几何方法二：等积法求距离再求线面角）由已知图30-5，平面PMN 即平面PMC ，由P ANC A PMC V V --=易求得点A 到平面PMN 的距离h =设AN 与平面PMN （即平面PMC ）所成的角为θ，则sin h AN θ=.正方向，建立如图30-7所示的空间直角坐标系A xyz -，由题意知()0,0,4P ，()0,2,0M，)2,0C，,1,22N ⎫⎪⎪⎝⎭.()0,2,4PM =-，2PN ⎫=-⎪⎪⎝⎭，2AN ⎫=⎪⎪⎝⎭.设(),,n x y z = 为平面PMN 的法向量，则00n PM n PN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即240,20.y z x y z -=⎧+-=可取()0,2,1n = .于是cos 25n AN n AN n AN⋅⋅== .则直线AN 与平面PMN所成角的正弦值为25.【点评】第一种方法中使用纯几何方法，适合于没有学习空间向量之前的方法，有利用培养学生的集合论证和空间想象能力，第二种方法使用空间向量方法，两小题前后连贯，利用计算论证和求解，定为最优解法；方法三在几何法的基础上综合使用体积方法，计算较为简洁.【针对训练】1．在三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ∠=∠=︒，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为______.2．如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD.(1)证明：PA BD ⊥；(2)若PD AD =，求二面角A PB C --的余弦值.3．如图所示，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB ⊥平面BEC ，BE EC ⊥，2AB BE EC ===，G ，F 分别是线段BE ，DC 的中点.(1)求证：//GF 平面ADE ；(2)求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值.4．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，且2PA AB ==，3AD =，E 是棱BC 上的动点，F 是线段PE 的中点.(1)求证：PB ⊥平面ADF ；(2)若直线DE 与平面ADF 所成的角为30°，求EC 的长.（2020·北京卷）5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点.(1)求证：1//BC 平面1AD E ；(2)求直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值.（2022·浙江）6．如图，三棱台ABC —DEF 中，平面ACFD ⊥平面ABC ，45ACB ACD ∠=∠=︒，2DC BC =.(1)证明：EF DB ⊥；(2)求DF 与面DBC 所成角的正弦值.7．如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE AD =.ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，PO =.(1)证明：PA ⊥平面PBC ；(2)求二面角B PC E --的余弦值.8．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，M ，N 分别为BC ，11B C 的中点，P 为AM 上一点，过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F .(1)证明：1//AA MN ，且平面1A AMN ⊥平面11EB C F ；(2)设O 为111A B C △的中心，若//AO 平面11EB C F ，且AO AB =，求直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值.9．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED =，12BF FB =.(1)证明：点1C 在平面AEF 内；(2)若2AB =，1AD =，13AA =，求二面角1A EF A --的正弦值.10．如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点.(1)证明：OA CD ⊥；(2)若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求三棱锥A BCD -的体积.参考答案：1．6【分析】解法一：先证明四边形11BB C C 为矩形，再由中位线定理得到异面直线1AB 与1BC 所成角等于EF 与BF 所成的角，由此利用余弦定理即可求得所求余弦值；解法二与解法三：利用补形法得到异面直线1AB 与1BC 所成角，再分别求得所需要的边，结合余弦定理即可求得所求余弦值；解法四：建立空间直角坐标系，求出各点坐标，从而利用向量夹角的坐标表示求得所求；解法五：由向量线性运算的几何意义得到1111BC BA AA AC =++ ，1111AB AAA B =+ ，从而利用数量积运算求得1BC ，1AB = ，111BC AB ⋅= ，由此可求得所求.【详解】解法一：（直接平移法）如图所示，作1A O ⊥底面ABC ，由1160BAA CAA ∠=∠=︒可知，AO 为∠BAC 的角平分线，且AO BC ⊥，BC ⊥面1AA O ，1BC AA ⊥，于是1BC BB ⊥，四边形11BB C C 为矩形，取AC 的中点E ，连接1B C 交1BC 于点F ，则F 为1B C 的中点，1111,22EF AB EF AB =//，所以异面直线1AB 与1BC 所成角等于EF 与BF 所成的角，即∠BFE 或其补角，设三棱柱的棱长为2，由题意即可得BE =112EF AB ==112BF BC ==于是222cos26BF EF BE BFE BF EF +-∠==⋅，故异面直线1AB 与1BC 解法二：（补形法一）在三棱柱111ABC A B C -的上底面补一个大小相同的三棱柱111222A B C A B C -，如图所示，连接12B C 、2AC 且2AC 交11A C 于D ，则12AB C ∠或其补角为异面直线1AB 与1BC 所成角，设1AB =，易得1AB ==121B C BC ==，22AC AD ===所以在12AB C △中，有22212cosAB C +-∠==.故异面直线1AB 与1BC 解法三：（补形法二）将三棱柱补为平行六面体，再放同样的一个平行六面体，如图所示，1C BE ∠就是异面直线1AB 与1BC 所成的角，设棱长为1，在1A AB △中，易求得1AB =，即BE ，在11A C E △中，易求1C E =1BC AA ⊥，则1BC CC ⊥，从而在1BCC中，求得1BC =在1BC E △中，由余弦定理得1cos 6C BE ∠=.解法四：（向量坐标法）如图所示，以A 为原点，过1A 作1A M ⊥平面ABC 于M ，则M 必在x轴上，且1cos A AM ∠=1sin A AM ∠=设棱长为1，则1A ⎛，1,02B ⎫⎪⎪⎝⎭，1,02C ⎫-⎪⎪⎝⎭，所以1112AB AA AB =+=，1112AC AA AC =+=- ，故11BC AC AB =-=-⎝ ，设异面直线1AB 与1BC 所成角为θ，则1111cos 6BC AB BC AB θ⋅== .解法五：（纯向量法）不妨设AB 长为1，因为1111BC BA AA AC =++ ，1111AB AA A B =+ ，所以()2211112BC BA AA AC =++= ，()2211113AB AA A B =+= ，则1BC =1AB = ，又因为()()111111111BC AB BA AA A C AA A B ⋅=++⋅+= ，设异面直线1AB 与1BC 所成角为θ，则1111cos 6BC AB BC AB θ⋅=故答案为：6.2．(1)证明见解析(2)7-【分析】（1）利用题设条件可证BD AD ⊥、BD PD ⊥，从而可得BD ⊥平面PAD ，故可证PA BD ⊥，我们也可以利用利用空间向量及其坐标运算来证明PA BD ⊥.（2）利用向量或建立空间直角坐标系可求二面角的余弦值，也可以利用定义构建二面角的平面角来求其余弦值，也可以利用补体将二面角转化为二面角Q PB A --的大小来进行计算.【详解】（1）证法一：∵60DAB ∠=︒，2AB AD =，由余弦定理得22222cos 603BD AD AB AD AB AD =+-⨯︒=，故BD =，从而222BD AD AB +=，故BD AD ⊥.又PD ⊥底面ABCD ，而BD ⊂底面ABCD ，可得BD PD ⊥，而,,AD PD D AD PD =⊂ 平面PAD ，∴BD ⊥平面PAD ，而PA ⊂平面PAD ，故PA BD ⊥.证法二：∵PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，∴PD BD ⊥，0PD BD ⋅= .∴()()PA BD PD DA BD DA BD DA BA AD ⋅=+⋅=⋅=⋅+ 2222cos 0DA BA AD AD AB DAB AD AD AD =⋅-=⋅∠-=-= ，∴PA BD ⊥ ，即PA BD ⊥.证法三：作DE AB ⊥，垂足为E ，分别以DE 、DC 、DP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示.令AD a =，则1,,022A a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，3,,022B a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,2,0C a .设()0,0,P z，由于1,,22PA a a z ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，3,,02DB a ⎫=⎪⎪⎝⎭ ，则221333,,,,002244PA DB a z a a a ⎫⎫⋅=--⋅=-=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，于是PA DB ⊥ ，即PA BD ⊥.（2）解法一：因为PD ⊥底面ABCD ，而BC ⊂底面ABCD ，故PD BC ⊥，由（1）中证明可得BD AD ⊥，而//BC AD ，故//BD BC ，因为,,BD PD D BD PD ⋂=⊂平面PDB ，故BC ⊥平面PDB ，而PB ⊂平面PDB ，故BC PB ⊥，而AM PB ⊥，平面APB ⋂平面PBC PB =,故二面角A PB C --的大小等于MA 与BC 所成角的大小，设为θ.设1PD AD ==，则2AB =，BD =∴2PB =，PA =.在PAB中，cos 4APB ∠==，而APB ∠为三角形内角，故sin 4APB ∠=，故42AM ==，142PM ==，故32BM =，在ADC △中，2222cos120527AC AD DC AD DC =+-⨯︒=+=，故AC =又()22AC AM MB BC =++ 222222AM MB BC AM MB AM BC MB BC=+++⋅+⋅+⋅2222cos AM MB BC AM BC θ=++- .∴797144θ=++，解得cos θ=∴二面角A PB C --的余弦值为解法二：以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D xyz -，则()1,0,0A，()B，()C -，()0,0,1P.()AB =-，()1PB =- ，()1,0,0BC =- .设平面PAB 的一个法向量为(),,n x y z = ，则00n AB n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0,0.x z ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，取1y =，则x z =，故n = .设平面PBC 的一个法向量为m，同理可求(0,1,m =-.cos ,m n == ，而二面角A PB C --的平面角为钝角，故二面角A PB C --的余弦值为7-.解法三：由解法一的计算可得BC ⊥平面PDB ，而BC ⊂平面PBC ，故平面PBC ⊥平面PDB ，即二面角D PB C --的大小为90︒.过A 作AM PB ⊥，垂足为M ，连接DM ，如图所示.由（1）中证明可得AD BD ⊥，而PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，故PD AD ⊥，PD BD D ⋂=，,PD BD ⊂平面PBD ，故AD ⊥平面PBD ，PB ⊂平面PBD ，故AD PB ⊥，而,,,AM PB AD AM A AD AM ^=Ì平面ADM ，故PB ⊥平面ADM ，但DM ⊂平面ADM ，故DM PB ^.∴AMD ∠是二面角A PB D --的平面角.设1PD AD ==，则2AB =，BD =2PB =.在Rt PBD △中，2PD DB DM PB ⨯==，在Rt ADM △中，2AM =.∴sin 7AD AMD AM ∠==，∴二面角A PB C --的余弦值为cos(90)sin AMD AMD ︒+∠=-∠=-.解法四：由解法一的计算可得BC ⊥平面PBD ，而PB ⊂平面PBD ，故BC PB ⊥.如图所示，过点B 在平面PAB 内作直线BE PB ⊥，交PA 的延长线于点E ，则∠EBC 是二面角A PB C --的平面角.设1PD =，由解法一的计算可得：1AD BC ==，2AB =，BD =AC =PA =，2PB AB ==，且cos 4APB ∠=，sin 4APB ∠=故tan BE BPAPB∠=，∴BE =PE =在Rt PDC 中，由勾股定理求得PC =，在PAC △中，因为222AC PA PC =+，故PA PC ⊥.故在Rt PEC 中，有EC ==在BEC 中，由余弦定理得cos7CBE ∠==-.∴二面角A PB C --的余弦值为7-.解法五：将四棱锥补成直四棱柱，如图所示，则二面角A PB C --的大小与二面角Q PB A --的大小互补.由解法一可得BC PB ⊥，而//PQ BC ，∴PQ PB ⊥.设点Q 到平面PAB 的距离为h ，则由Q PAB B AQP V V --=得1133PAB PQA hS BD S =⋅△△.设1PD =，则PA =，BD =2PB AB ==，12APB S =△211=22PQA S AD =△，∴h =于是二面角Q PB A --的正弦值为h PQ =.∴二面角A PB C --的余弦值为7-.3．(1)证明见解析；(2)23.【分析】（1）利用线面平行的判定定理即得；（2）利用射影法，结合条件求出AEF △及BEC 的面积进而即得；利用坐标法，求出平面BEC 和平面AEF 的法向量，由向量夹角的余弦值即得；利用直接法，延长BC 、AF 交于点Q ，作BR QE ⊥，交QE 的延长线于点R ，连接AR ，可得∠ARB 是二面角A EQ B --的平面角，结合条件即得．【详解】（1）将五面体ABCDE 置于正方体AMDN BECP -之中，如图所示，显然题设的条件全部满足，取AE 的中点H ，连接HG ，FG ，∵////HG AB CD ，即//HG DF ，又1HG DF ==，∴四边形HGFD 是平行四边形，∴//GF DH ，又∵DH ⊂平面ADE ，GF ⊄平面ADE ，∴//GF 平面ADE ；（2）解法一（射影法）：设平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的大小为θ，∵AB ⊥平面BCE ，FC ⊥平面BCE ，∴AEF △在平面BCE 上的射影为BEC ，易得AE =EF =3AF =，∴cos AEF ∠==sin AEF ∠=∴132AEF S =⨯=△，又∵12222BEC S =⨯⨯=△，∴2cos 3BEC AEF S S θ==△△.解法二（向量法）：如图，分别以射线BE 、BP 、BA 为x 、y 、z轴建立空间直角坐标系，∵正方体棱长为2，则()0,0,2A ，()2,0,0E ，()2,2,1F ，显然()0,0,2BA = 是平面BECP 的法向量，设平面AEF 的法向量为()2,,n x y = ，则n AE ⊥ ，即()()2,,2,0,20n AE x y ⋅=⋅-= ，解得2y =，则n AF ⊥ ，即()()2,,2,2,10n AF x y ⋅=⋅-= ，解得=1x -，∴()2,1,2n =- ，设所求锐二面角的大小为θ，则()()2,1,20,0,22cos 323n BA n BAθ-⋅⋅===⨯ .解法三（直接法）：如图，延长BC 、AF 交于点Q ，因为2BE=，BC CQ ==45EBQ ∠=︒，由余弦定理可得(222222cos 2224202EQ BE BQ BE BQ EBQ =+-⋅∠=+-⨯⨯=，即EQ =在BEQ 中，由正弦定理，得sin sin 45BQ EQ BEQ =∠︒，∴sin BEQ ∠=，显然90BEQ ∠>︒，作BR QE ⊥，交QE 的延长线于点R ，连接AR ，∴AB ⊥平面BCE ，QE ⊂平面BCE ，∴AB ⊥QE ，又BR QE ⊥，,AB BR B AB =⊂ 平面ABR ，BR ⊂平面ABR ，∴QE ⊥平面ABR ，AR ⊂平面ABR ，∴QE ⊥AR ，∴∠ARB 是二面角A EQ B --的平面角，设其大小为θ，在BER △中，2BR ==在Rt ABR 中，由勾股定理，得AR =∴2cos 3BR AR θ==.4．(1)证明见解析；(2)2.【分析】（1）方法一，取棱PB ，PC 的中点分别为M ，N ，利用线面垂直的判断定理可得AD ⊥平面PAB ，进而可得PB ⊥平面ADF ；方法二，利用坐标法，求出AD ，AF 向量和向量BP 的坐标表示，证明垂直即得；（2）方法一，作EH 垂直MN 于点H ，则30EDH ∠=︒，结合条件即得；方法二，利用坐标法，根据线面角的向量求法可得求出E 点坐标，即得.【详解】（1）方法一：分别取线段PB 、PC 的中点M 、N ，易知点M 、N 、F 共线，∵PA AB =，∴PB AM ⊥，又∵PA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥AD ，又四边形ABCD 是矩形，AD AB ⊥，∵,PA AB A PA ⋂=⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，∴AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，∴PB AD ⊥，又PB AM ⊥，,AD AM A AD =⊂ 平面ADF ，AM ⊂平面ADF ，因此PB ⊥平面ADF ；方法二，以A为原点建立空间直角坐标系，设()2,,0E t 、1,,12t F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()0,3,0AD = ，1,,12t AF ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，()2,0,2BP =- ，∴0BP AD ⋅= ，0BP AF ⋅= ，∴BP AD ⊥，BP AF ⊥，,AD AF A AD =⊂ 平面ADF ，AF ⊂平面ADF ，因此PB ⊥平面ADF ；（2）方法一：由于平面ADF 即为平面AMND ，且PB ⊥平面ADF ，PB ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面AMND ，又平面PBC ⋂平面AMND MN =，在平面PBC 内，作EH 垂直MN 于点H ，则EH ⊥平面AMND ，∴30EDH ∠=︒，∵EH BM ==∴ED =因此2CE =，即EC 的长为2；方法二：∵()2,3,0DE t =- ，平面ADF 的法向量为()2,0,2BP =- ，∴由12BP DE BP DE ⋅= ，解得1t =，∴2CE =，即EC 的长为2.5．(1)证明见解析；(2)23.【分析】（1）方法一，根据线面平行的判定定理即得；方法二，利用坐标法，可求出向量1BC 及平面1AD E 的法向量进而即得；（2）延长1CC 到F ，使得1C F BE =，连接EF ，交11B C 于G ，作11C H DG ⊥，垂足为H ，利用线面垂直的判定定理可得1D G ⊥平面1C FH ，进而可得可知∠1C FH 为直线1AA 与平面1AD G 所成的角，结合条件即得；利用坐标法，根据线面角的向量求法即得；利用等体积法，求出点到平面的距离进而即得.【详解】（1）[方法一]：几何法如下图所示：在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB A B 且11AB A B =，1111//A B C D 且1111A B C D =，11//B C A D ∴且11AB C D =，所以，四边形11ABC D 为平行四边形，则11//BC AD ，1BC ⊄ 平面1AD E ，1AD ⊂平面1AD E ，1//BC ∴平面1AD E ；[方法二]：空间向量坐标法以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()0,0,0A 、()10,0,2A 、()12,0,2D 、()0,2,1E ，()12,0,2AD = ，()0,2,1AE = ，设平面1AD E 的法向量为(),,n x y z = ，由100n AD n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得22020x z y z +=⎧⎨+=⎩，令2z =-，则2x =，1y =，则()2,1,2n =- .又∵向量()12,0,2BC = ，()12201220BC n ⋅=⨯+⨯+⨯-= ，又1BC ⊄ 平面1AD E ，1//BC ∴平面1AD E ；（2）[方法一]：几何法延长1CC 到F ，使得1C F BE =，连接EF ，交11B C 于G ，又∵1//C F BE ，∴四边形1BEFC 为平行四边形，∴1//BC EF ，又∵11//BC AD ，∴1//AD EF ，所以平面1AD E 即平面1AD FE ，连接1D G ，作11C H DG ⊥，垂足为H ，连接FH ，∵1FC ⊥平面1111D C B A ，1D G ⊂平面1111D C B A ，∴11FC D G ⊥，又∵111FC C H C ⋂=，1FC ⊂平面1C FH ，1C H ⊂平面1C FH ，∴直线1D G ⊥平面1C FH ，又∵直线1D G ⊂平面1D GF ，∴平面1DGF ⊥平面1C FH ，∴1C 在平面1D GF 中的射影在直线FH 上，∴直线FH 为直线1FC 在平面1D GF 中的射影，∠1C FH 为直线1FC 与平面1D GF 所成的角，根据直线1//FC 直线1AA ，可知∠1C FH 为直线1AA 与平面1AD G 所成的角，设正方体的棱长为2，则111C G C F ==，1D G =∴1C H ，∴FH =∴112sin 3C H C FH FH ∠==，即直线1AA 与平面1ADE 所成角的正弦值为23.[方法二]：向量法由上知平面平面1AD E 的法向量()2,1,2n =- ，又∵()10,0,2AA = ，∴11142cos ,323n AA n AA n AA ⋅==-=-⨯⋅ ，∴直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值为23.[方法三]：几何法+体积法如图，设11B C 的中点为F ，延长111,,A B AE D F ，易证三线交于一点P，因为111,////BB AA EF AD ，所以直线1AA 与平面1AD E 所成的角，即直线1B E 与平面PEF 所成的角，设正方体的棱长为2，在PEF !中，易得PE PF EF =，可得32PEF S = ，设当1B 到平面PEF 的距离为1B H ，由11B PEF P B EF V V --=，得113111123232B H ⨯⋅=⨯⨯⨯⨯，整理得123B H =，所以1112sin 3B H B EH B E ∠==，所以直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值为23.[方法四]：纯体积法设正方体的棱长为2，点1A 到平面1AED 的距离为h ，在1AED △中，113AE AD D E ===，2221111cos 25D E AE AD AED D E AE +-∠===⋅，所以1sin AED ∠=13AED S = ，由1111E AA D A AED V V --=，得111111133AD A AED S A B S h ⋅=⋅ ，解得43h =，设直线1AA 与平面1AED 所成的角为θ，所以12sin 3h AA θ==.6．(1)证明见解析；【分析】（1）方法一,使用几何方法证明，作DH AC ⊥交AC 于H ，利用面面垂直的性质可得DH ⊥平面ABC ，然后利用线面垂直的判定定理可得EF ⊥平面BHD ，即得；方法二，利用坐标法即得；方法三，使用了两垂直角的三余弦定理得到60BCD ∠=︒，进而证明；（2）方法一使用几何做法，作HG BD ⊥于G ，由题可得HCG ∠即为所求角，结合条件即得；方法二使用空间坐标系方法，即得；方法三使用空间向量法；方法四使用三余弦定理法即得；方法五采用等体积转化法可得H 到平面DBC 的距离，进而即得.【详解】（1）[方法一]：几何证法作DH AC ⊥交AC 于H ，连接BH ，∵平面ADFC ⊥平面ABC ，而平面ADFC 平面ABC AC =，DH ⊂平面ADFC ，∴DH ⊥平面ABC ，而BC ⊂平面ABC ，即有DH BC ⊥，∵45ACB ACD ∠=∠=︒，∴2CD BC CH =⇒=，在CBH 中，22222cos 45BH CH BC CH BC BC =+-⋅︒=，即有222BH BC CH +=，∴BH BC ⊥.由棱台的定义可知，//EF BC ，所以DH EF ⊥，BH EF ⊥，而BH DH H = ，BH ⊂平面BHD ，DH ⊂平面BHD ，∴EF ⊥平面BHD ，而BD ⊂平面BHD ，∴EF DB ⊥；[方法二]：空间向量坐标系方法作DO AC ⊥交AC 于O ，∵平面ADFC ⊥平面ABC ，而平面ADFC 平面ABC AC =，DO ⊂平面ADFC ，∴DO ⊥平面ABC ，以O 为原点，建立空间直角坐标系如图所示，设OC =1，∵45ACB ACD ∠=∠=︒，2DC BC ==∴BC ()()110,0,1,0,1,0,,,022D C B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴11,,122BD ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，11,,022BC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以11·044BD BC =-= ，∴BC ⊥BD ，又∵棱台中//BC EF ，∴EF ⊥BD ；[方法三]：三余弦定理法∵平面ACFD ⊥平面ABC ，∴1cos cos cos cos 45cos 452BCD ACB ACD ∠=∠∠=︒︒=，∴60BCD ∠=︒，又∵DC =2BC ，∴90CBD ∠=︒，即CD BD ⊥，又∵//EF BC ，∴EF DB ⊥；（2）[方法一]：几何法因为//DF CH ，所以DF 与平面DBC 所成角即为与CH 平面DBC 所成角，作HG BD ⊥于G ，连接CG ，由（1）可知，BC ⊥平面BHD，因为平面BCD ⊥平面BHD ，而平面BCD 平面BHD BD =，HG ⊂平面BHD ，∴HG ⊥平面BCD ，即CH 在平面DBC 内的射影为CG ，所以HCG ∠即为所求角，在Rt HGC 中，设BC a =，则CH =，BH DH HG BD ⋅==，∴sin 3HG HCG CH ∠==，故DF 与平面DBC[方法二]：空间向量坐标系法设平面BCD 的法向量为(),,n x y z =r ，由（1）得11,,122BD ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，11,,022BC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴1102211022n BD x y z n BC x y ⎧⋅=--+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩，令1x =，则()1,1,1n = ，又()0,1,0OC =，cos ,3n OC == 由于//DF OC ，∴直线DF 与平面DBC[方法三]：空间向量法以{,,}CH CB CD为基底，不妨设22DC BC ==，则45,45,60DB CH HCB HCD DCB ==∠=∠=︒∠=︒︒(由（1）的结论可得），设平面DBC 的法向量为n xCH yCB zCD =++ ，则由00n CD n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2400x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，取1z =，得32n CH CB CD =-++ ，设直线DF 与平面DBC 所成角为θ，则直线HC 与平面DBC 所成角也为θ，由公式得||sin ||||HC n HC n θ⋅=== [方法四]：三余弦定理法由45ACB ACD ∠=∠=︒，可知H 在平面DBC 的射影G 在DCB ∠的角平分线上，设直线DF 与平面DBC 所成角为θ，则HC 与平面DBC 所成角也为θ，由（1）的结论可得60BCD ∠=︒，由三余弦定理，得cos 45cos30cos θ=︒⋅︒，cos θ=，从而sin 3θ=.[方法五]：等体积法设H 到平面DBC 的距离为h ，设1DH =，则1,,22HC DC BC BD ====，设直线DF 与平面DBC 所成角为θ，由已知得HC 与平面DBC 所成角也为θ.由H DBC D HBC V V --=，1111601sin 451322322h ⨯︒⨯=⨯⨯⨯︒⨯，求得h所以3sin 1h HC θ===7．(1)证明见解析；.【分析】（1）方法一，利用勾股定理即及线面垂直的判定定理即得；方法二，利用坐标法即得；方法三，利用线面垂直，结合勾股定理可证出；方法四，利用空间基底法即得；（2）方法一，利用坐标法及面面角的向量求法即得；方法二，利用几何法，作出二面角，求解三角形进行求解二面角，即得；方法三，利用射影面积法求解二面角.【详解】（1）[方法一]：勾股运算法证明由题设，知DAE 为等边三角形，设1AE =，则DO =1122CO BO AE ===，所以64PO DO ==，4PC PB PA ====，又ABC 为等边三角形，则2sin 60BA OA = ，所以BA =，22234PA PB AB +==，则90APB ∠= ，所以PA PB ⊥，同理PA PC ⊥，又PC PB P = ，PC ⊂平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，所以PA ⊥平面PBC ；[方法二]：空间直角坐标系法不妨设AB =4sin 60==︒=AB AE AD ，由圆锥性质知DO ⊥平面ABC ，所以===DO ==PO 因为O 是ABC 的外心，因此AE BC ⊥，在底面过O 作BC 的平行线与AB 的交点为W ，以O 为原点， OW 方向为x 轴正方向，OE 方向为y 轴正方向，OD 方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，则(0,2,0)A -，B ，(C ，(0,2,0)E ，P .所以(0,AP = ，(=- BP ，=- CP ，故0220⋅=-+= AP BP ，0220⋅=-+= AP CP ，所以AP BP ⊥，AP CP ⊥，又BP CP P = ，PC ⊂平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，故AP ⊥平面PBC ；[方法三]：因为ABC 是底面圆O 的内接正三角形，且AE 为底面直径，所以AE BC ⊥，因为DO （即PO ）垂直于底面，BC 在底面内，所以PO BC ⊥，又因为PO ⊂平面PAE ，AE ⊂平面PAE ，PO AE O =I ，又PO ⊂平面PAE ，AE ⊂平面PAE ，所以BC ⊥平面PAE ，又因为PA ⊂平面PAE ，所以PA BC ⊥，设AE BC F = ，则F 为BC 的中点，连结PF ，设DO a =，且PO ，则2AF a =，2PA =，12PF a =.因此222+=PA PF AF ，从而PA PF ⊥，又因为PF BC F = ，PF ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以PA ⊥平面PBC ；[方法四]：空间基底向量法如图所示，圆锥底面圆O 半径为R ，连结DE ，AE AD DE ==，易得OD =，因为=PO ，所以=PO R ，以,,OA OB OD 为基底，OD ⊥平面ABC ，则=+=-+AP AO OP OA ，6=+=-+BP BO OP OB OD ，且212OA OB R ⋅=- ，0OA OD OB OD ⋅=⋅= ，所以66⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭AP BP OA OB2106⋅--+=OA OB OA OB OD ，故0AP BP ⋅= ，所以AP BP ⊥，即AP BP ⊥，同理AP CP ⊥，又BP CP P = ，PC ⊂平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，所以AP ⊥平面PBC ；（2）[方法一]：空间直角坐标系法过O 作ON ∥BC 交AB 于点N ，因为PO ⊥平面ABC ，以O 为坐标原点，OA 为x 轴，ON 为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则111(,0,0),(0,0,((,,0)244444E P B C ---，1(,444PC =--，1(,)444PB =--，1(,0,)24PE =- ，设平面PCB 的一个法向量为111(,,)n x y z =，由00n PC n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得11111100x x ⎧--=⎪⎨-+-=⎪⎩，令1x =，得111,0z y =-=，所以1)n =-，设平面PCE 的一个法向量为222(,,)m x y z =由00m PC m PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22222020x x ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，令21x =，得223z y ==，所以m = ，故cos,5||||n mm nn m⋅==⋅，设二面角B PC E--的大小为θ，由题可知二面角为锐二面角，所以cos5θ=；[方法二]：几何法设=BC AE F，易知F是BC的中点，过F作//FG AP交PE于G，取PC的中点H，连接GH，则∥HF PB，由PA⊥平面PBC，得FG⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，∴FG⊥PC，由（1）可得，222BC PB PC=+，得PB PC⊥，所以FH PC⊥，又,FH GF F FH=⊂平面GHF，GF⊂平面GHF，∴PC⊥平面GHF，GHÌ平面GHF，∴GH PC⊥，所以GHF∠是二面角B PC E--的平面角，设圆O的半径为r，则3sin602︒==AF AB r，2AE r=，12=EF r，13EFAF=，所以14=FG PA，1122==FH PB PA，12=FGFH，在Rt GFH中，1tan2∠==FGGHFFH，cos5∠=GHF，所以二面角B PC E--的余弦值为5.[方法三]：射影面积法如图所示，在PE上取点H，使14HE PE=，设BC AE N=，连结NH，由（1）知14NE AE=，所以∥NH PA，故NH ⊥平面PBC ，所以，点H 在面PBC 上的射影为N，故由射影面积法可知二面角B PC E --的余弦值为cos PCNPCHS θS = ，在PCE中，令=PC PE 1CE =，易知= PCE S ，所以34PCH PCE S S == ，又1328PCN PBC S S == ，故38cos 5PCN PCHS θS == ，所以二面角B PC E --.8．(1)证明见解析；【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可得BC ⊥平面1A AMN ，根据线面平行的性质定理可得11//B C EF ，然后根据面面垂直的判定定理即得；（2）利用几何法，作出线面角，结合条件即得；利用向量法，利用线面角的向量求法即得.【详解】（1） ,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN BB ∴，又11//AA BB ，1//MN AA ∴，在ABC 中，M 为BC 中点，则BC AM ⊥，又 侧面11BB C C 为矩形，1BC BB ∴⊥，又1//MN BB ，∴MN BC ⊥，又MN AM M ⋂=，,MN AM ⊂平面1A AMN ，∴BC ⊥平面1A AMN ，又 11//B C BC ，且11B C ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，11//B C ∴平面ABC ，又 11B C ⊂平面11EB C F ，且平面11EB C F ⋂平面ABC EF =，11//B C EF ∴，//EF BC ∴，又BC ⊥ 平面1A AMN ，∴EF ⊥平面1A AMN ，又EF ⊂ 平面11EB C F ，∴平面11EB C F ⊥平面1A AMN ；（2）[方法一]：几何法如图，过O 作11B C 的平行线分别交1111,A B A C 于点11,E F ，连接11,,,AE AO AF NP ，由于//AO 平面11EB C F ，11//E F 平面11EB C F ，11= AO E F O ，AO ⊂平面11AE F ，11E F ⊂平面11AE F ，所以平面11//AE F 平面11EB C F ，又因平面11 AE F 平面111=AA B B AE ，平面11EB C F ⋂平面111=AA B B EB ，所以11//EB AE ，因为111B C A N ⊥，11B C MN ⊥，1A N MN N = ，1A N ⊂平面1AA NM ，MN ⊂平面1AA NM ，所以11B C ⊥平面1AA NM ，又因1111∥E F B C ，所以11⊥E F 平面1AA NM ，所以1AE 与平面1AA NM 所成的角为1∠E AO ，令2AB =，则11=NB ，由于O 为111A B C △的中心，故112233==OE NB ，在1Rt AE O 中，122,3===AO AB OE ，由勾股定理得1=AE所以111sin 10∠==E O E AO AE ，由于11//EB AE ，直线1B E 与平面1A AMN[方法二]：几何法因为//AO 平面11EFC B ，平面11 EFC B 平面1=AMNA NP ，AO ⊂平面1AMNA ，所以//AO NP ，因为//ON AP ，所以四边形OAPN 为平行四边形，由（1）知EF ⊥平面1AMNA ，则EF 为平面1AMNA 的垂线，所以1B E 在平面1AMNA 的射影为NP ，从而1B E 与NP 所成角的正弦值即为所求，在梯形11EFC B 中，设1EF =，过E 作11EG B C ⊥，垂足为G ，则3==PN EG ，在直角三角形1B EG 中，1sin ∠B EG即直线1B E 与平面1A AMN [方法三]：向量法由（1）知，11B C ⊥平面1A AMN ，则11B C为平面1A AMN 的法向量，因为//AO 平面11EB C F ，AO ⊂平面1A AMN ，且平面1A AMN ⋂平面11EB C F PN =，所以//AO PN ，由（1）知11//,AA MN AA MN =，即四边形APNO 为平行四边形，则==AO NP AB ，因为O 为正111A B C △的中心，故13==AP ON AM ，由面面平行的性质得111111,33=∥EF B C EF B C ，所以四边形11EFC B 为等腰梯形.由P ，N 为等腰梯形两底的中点，得11PN B C ⊥，则11110,⋅==++= PN B C EB EP PN NB 111111111623+-=-B C PN B C PN B C ，设直线1B E 与平面1A AMN 所成角为θ，AB a =，则211111113sin θ⋅== a EB B C EB B C 所以直线1B E 与平面1A AMN[方法四]：基底法不妨设2===AO AB AC ，则在直角1AAO中，13AA =.以向量1,,AA AB AC为基底，从而1,2π= AA AB ，1,2π= AA AC ，,3π= AB AC ，1111123=++=+ EB EA AA A B AB AA ，BC AC AB =-，则1= EB ||2BC = ，所以112()3⎛⎫⋅=+⋅-= ⎪⎝⎭EB BC AB AA AC AB 2224333⋅-=- AB AC AB ，由（1）知BC ⊥平面1A AMN ，所以向量BC为平面1A AMN 的法向量，设直线1B E 与平面1A AMN 所成角θ，则111sin cos ,10||θ⋅===EB BC EB BC EB BC ，故直线1B E 与平面1A AMN所成角的正弦值为sin 10θ=.9．(1)证明见解析；7.【分析】（1）方法一：通过证明直线1//C E AF ，根据平面的基本事实二的推论即可证出；方法二：利用空间向量基本定理证明；方法三：利用平面向量基本定理；方法四：利用平面的基本事实三通过证明三点共线说明点在平面内；方法五：利用平面的基本事实以及平行四边形的对角线和长方体的体对角线互相平分即可证出.（2）方法一：利用建立空间直角坐标系，由两个平面的法向量的夹角和二面角的关系求出；方法二：利用二面角的定义结合解三角形求出；方法三：利用和二面角公共棱垂直的两个向量夹角和二面角的关系即可求出；方法四：利用三面角的余弦公式即可求出.【详解】（1）［方法一］：利用平面基本事实的推论。

DBA C α立体几何第三课 §用传统方法求距离和角度一、知识点1．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。

（1）异面直线所成的角的范围是]2,0(π。

求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。

具体步骤如下：①作平行四边形对边； ②作三角形中位线；（2）直线与平面所成的角的范围是]2,0[π。

求直线和平面所成的角用的是射影转化法。

具体步骤如下：①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角； ③把该角置于三角形中计算。

注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，α为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有αθ≤； （3）二面角的范围是],0(π，作二面角的平面角常有三种方法①定义法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角； ②三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；③射影面积法：θcos ⋅='S S (S 为原斜面面积,S '为射影面积,θ为斜面与射影所成二面角的平面角) 2．空间的距离求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。

点到平面的距离：点Ｐ到平面α的距离为点Ｐ到平面α的垂线段的长． 常用求法①作出点Ｐ到平面的垂线后求出垂线段的长，“一找二证三求”；②等体积法锥体体积：Sh V 31=（S 为底面积，h 为高）二、例题1、已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，E 为BC 的中点．（1）求证：DE ⊥平面PAE ；（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角． 例题1证明：在ADE ∆中，222AD AE DE =+，∴AE DE ⊥∵PA ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ，∴PA DE ⊥又PA AE A ⋂=，∴DE ⊥平面PAE （2）DPE ∠为DP 与平面PAE 所成的角在Rt PAD ∆，42PD =，在Rt DCE ∆中，22DE =在Rt DEP ∆中，2PD DE =，∴030DPE ∠=2、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是060DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ．（1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ；（2）求证：AD PB ⊥；（3）求二面角A BC P --例题2证明：（1）ABD ∆为等边三角形且G 为AD 的中点，∴BG AD ⊥又平面PAD ⊥平面ABCD ，∴BG ⊥平面PAD （2）PAD 是等边三角形且G 为AD 的中点，∴AD PG ⊥且AD BG ⊥，PG BG G ⋂=，∴AD ⊥平面PBG ，PB ⊂平面PBG ，∴AD PB ⊥（3）由AD PB ⊥，AD ∥BC ，∴BC PB ⊥又BG AD ⊥，AD ∥BC ，∴BG BC ⊥∴PBG ∠为二面角A BC P --的平面角 在Rt PBG ∆中，PG BG =，∴045PBG ∠=3、如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点， 2, 2.CA CB CD BD AB AD ======（I ）求证：AO ⊥平面BCD ；（II ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小； （III ）求点E 到平面ACD 的距离。